唐常杰翻译计算理论导引
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如果不存在这样的顶点，则输出当前的割并且停止。”
18.01.2021
唐常杰翻译计算理论导引
8
定理1０.2
定理11.2：B是最大割集的2-优的多项式近似算法。 证明：
割的大小不超过G的边数，故B是多项式时间的。 证明B输出的割X至少包含G中的所有边的一半。
X的每个顶点的割边>=非割边。 X的所有顶点的割边数和＝ X的割边总数×2。 X的所有顶点的非割边数和＝ X的非割边总数×2。 X的割边数和>= X的非割边数和 X的割边数 >= G的所有边数/2 G的所有边数>=最大割边数
18.01.2021
唐常杰翻译计算理论导引
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定理1０.1
定理11.1：A是一个多项式时间算法，它给出G的一个顶点覆盖，其大 小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。
证明思路: A的运行时间显然是多项式界限的。 设X是它输出的顶点集合，H是有标记的边的集合。因为G的每一 条边要么属于H，要么与H中的一条边相邻，因此X与G的所有边关 联，因此X是一个顶点覆盖。 证明X的大小不超过最小顶点覆盖Y的大小的2倍。
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素数性
定理11.6：
例子：
如p是 果素a 数 p ， ， ap 则 1 且 1 (mp)。 od
p7,a2 2(71)266,46m 4 7 od 1
p通过在pa 的6,a 费 马2测试2(6 是1) 指253,232m5 od 2 如果一个数能通过所有关于ap小1于1(m 它o且pd)与它
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9
概率算法
概率算法使用随机过程的结果。典型包含 一条“扔硬币”的指令，并且扔硬币的结 果可能影响算法后面的执行和输出。
BPP类 素数性 只读一次的分支程序
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10
概率图灵机
概率图灵机M是一种非确定型图灵机，它的每 一非确定步，称作掷硬币步，并且有两个合 法的下次动作。定义分支b的概率如下，其中 k是在分支b中出现的掷硬币步的步数。 Prb[]2k
定义M接受ω的概率为
PrM [接受 ]＝P[rb] b是接受分支
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唐常杰翻译计算理论导引
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BPP类
对于0<=ε<1/2，如果满足下面的条件则称 M以错误概率ε识别语言A。
A蕴P 涵rM [接 受 ]1 A蕴P 涵rM [拒 绝 ]1
BPP是多项式时间的概率图灵机以错误概率 1/3识别的语言类。
1
Chap 10 复杂性理论中的高级专题 (同学报告）
可根据 提供的ＰPT素材+参考以前同学的报告， 修改成为有自己见解的讨论报告
建议：
底色用浅色（象牙白， 浅黄， 白色等） 适合色盲 色弱 观众 字体颜色选择余地大 在投影机 效果差时 也还能能看见
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近似算法
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5 4
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最小顶点覆盖的一个近似算法
下述多项式时间算法近似地解这个最优化问题，它给出一个顶点覆 盖，其大小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。
A＝ “对于输入<G>，这里G是一个无向图： 重复下述操作直至G中所有的边都与有标记的边相邻。 在G中找一条不与任何有标记的边相邻的边。 给这条边作标记。 输出所有有标记边的顶点。 ”
在最优化问题中，通常试图在可行解中寻 找最好的解，即最优解。
在实践中，可能并不一定非要最优解不可， 一个接近最优的解可能是足够好的，而且 可能更容易找到。
近似算法是为了求近似最优解而设计的。
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顶点覆盖问题
若G是无向图，则G的顶点覆盖是节点的一 个子集，使得G的每条边都与子集中的节 点之一相关联。
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5
最大割集的近似算法 1
4
2
把顶点集V划分成两个不相交的子集S和T，称为无向图中的割3。顶点 分别在两个子集 中的边称为割边，割边的数目称为割的大小。
B＝ “对于输入<G>，这里G是顶点集为V的无向图： 令S＝Ø和T＝V。 如果把一个顶点从S移到T或者从T移到S，使割的大小变大，则做 这样的移动，并且重复这一步。
互素的数的费马测试，则称这个数为伪素 数，其中可能包含卡米切尔数和素数。
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测试伪素数的多项式概率算法
PSEUDOPERI“ M对于输p： 入 在p中随机地选 a1, 取,ak 对于每一i，个计算 ai(p1) modp 如果所有计算出都 来等 的于 1值 ，则接受；否则拒绝
Chap 10 复杂性理论中的高级专题 (同学报告）
可以从下列文件获得ＰPT素材： 13_10-复杂理论高级专题-同学报告素材.doc
本章提纲 10.1 近似算法、 10.2 概率算法 10.3 交错式 10.4 交互证明， 10.5 并行计算 10.6 密码学
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引理10.5
引理11.5：设ε是一个固定常数，且0<ε<1/2。 又设M1是一台错误概率为ε的多项式时间概率 图灵机，则对于任意的多项式poly(n)，存在 与M1等价的错误概率为 2pol(yn的) 多项式时间概 率图灵机M2。
证明思路：M2用如下方式模拟M1：运行M1 多项式次，并且取这些运行结果中的多数作 为计算结果。错误概率将随M1的运行次数指 数下降。
如果p是伪素数则能通过全部测试，如果p不是伪素数则至多能通过全部测试的
一半。于是它通过全部k个随机选择的测试的概率不大于 ，因此该算法以错
误概率 识别所有伪素数组成的语言。
2k
2k
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避免卡米切尔数的算法PRIME
X的大2021
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k-优算法
如果一个最小化问题的近似算法总能找到 不超过最优解k倍的可行解，则称这个算 法是k-优的。
对于最大化问题，一个k-优近似算法总能 找到不小于最优解大小的1/k的可行解。
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定理1０.2
定理11.2：B是最大割集的2-优的多项式近似算法。 证明：
割的大小不超过G的边数，故B是多项式时间的。 证明B输出的割X至少包含G中的所有边的一半。
X的每个顶点的割边>=非割边。 X的所有顶点的割边数和＝ X的割边总数×2。 X的所有顶点的非割边数和＝ X的非割边总数×2。 X的割边数和>= X的非割边数和 X的割边数 >= G的所有边数/2 G的所有边数>=最大割边数
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定理1０.1
定理11.1：A是一个多项式时间算法，它给出G的一个顶点覆盖，其大 小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。
证明思路: A的运行时间显然是多项式界限的。 设X是它输出的顶点集合，H是有标记的边的集合。因为G的每一 条边要么属于H，要么与H中的一条边相邻，因此X与G的所有边关 联，因此X是一个顶点覆盖。 证明X的大小不超过最小顶点覆盖Y的大小的2倍。
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素数性
定理11.6：
例子：
如p是 果素a 数 p ， ， ap 则 1 且 1 (mp)。 od
p7,a2 2(71)266,46m 4 7 od 1
p通过在pa 的6,a 费 马2测试2(6 是1) 指253,232m5 od 2 如果一个数能通过所有关于ap小1于1(m 它o且pd)与它
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概率算法
概率算法使用随机过程的结果。典型包含 一条“扔硬币”的指令，并且扔硬币的结 果可能影响算法后面的执行和输出。
BPP类 素数性 只读一次的分支程序
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概率图灵机
概率图灵机M是一种非确定型图灵机，它的每 一非确定步，称作掷硬币步，并且有两个合 法的下次动作。定义分支b的概率如下，其中 k是在分支b中出现的掷硬币步的步数。 Prb[]2k
定义M接受ω的概率为
PrM [接受 ]＝P[rb] b是接受分支
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BPP类
对于0<=ε<1/2，如果满足下面的条件则称 M以错误概率ε识别语言A。
A蕴P 涵rM [接 受 ]1 A蕴P 涵rM [拒 绝 ]1
BPP是多项式时间的概率图灵机以错误概率 1/3识别的语言类。
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Chap 10 复杂性理论中的高级专题 (同学报告）
可根据 提供的ＰPT素材+参考以前同学的报告， 修改成为有自己见解的讨论报告
建议：
底色用浅色（象牙白， 浅黄， 白色等） 适合色盲 色弱 观众 字体颜色选择余地大 在投影机 效果差时 也还能能看见
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近似算法
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唐常杰翻译计算理论导引
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最小顶点覆盖的一个近似算法
下述多项式时间算法近似地解这个最优化问题，它给出一个顶点覆 盖，其大小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。
A＝ “对于输入<G>，这里G是一个无向图： 重复下述操作直至G中所有的边都与有标记的边相邻。 在G中找一条不与任何有标记的边相邻的边。 给这条边作标记。 输出所有有标记边的顶点。 ”
在最优化问题中，通常试图在可行解中寻 找最好的解，即最优解。
在实践中，可能并不一定非要最优解不可， 一个接近最优的解可能是足够好的，而且 可能更容易找到。
近似算法是为了求近似最优解而设计的。
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唐常杰翻译计算理论导引
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顶点覆盖问题
若G是无向图，则G的顶点覆盖是节点的一 个子集，使得G的每条边都与子集中的节 点之一相关联。
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最大割集的近似算法 1
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把顶点集V划分成两个不相交的子集S和T，称为无向图中的割3。顶点 分别在两个子集 中的边称为割边，割边的数目称为割的大小。
B＝ “对于输入<G>，这里G是顶点集为V的无向图： 令S＝Ø和T＝V。 如果把一个顶点从S移到T或者从T移到S，使割的大小变大，则做 这样的移动，并且重复这一步。
互素的数的费马测试，则称这个数为伪素 数，其中可能包含卡米切尔数和素数。
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测试伪素数的多项式概率算法
PSEUDOPERI“ M对于输p： 入 在p中随机地选 a1, 取,ak 对于每一i，个计算 ai(p1) modp 如果所有计算出都 来等 的于 1值 ，则接受；否则拒绝
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可以从下列文件获得ＰPT素材： 13_10-复杂理论高级专题-同学报告素材.doc
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引理10.5
引理11.5：设ε是一个固定常数，且0<ε<1/2。 又设M1是一台错误概率为ε的多项式时间概率 图灵机，则对于任意的多项式poly(n)，存在 与M1等价的错误概率为 2pol(yn的) 多项式时间概 率图灵机M2。
证明思路：M2用如下方式模拟M1：运行M1 多项式次，并且取这些运行结果中的多数作 为计算结果。错误概率将随M1的运行次数指 数下降。
如果p是伪素数则能通过全部测试，如果p不是伪素数则至多能通过全部测试的
一半。于是它通过全部k个随机选择的测试的概率不大于 ，因此该算法以错
误概率 识别所有伪素数组成的语言。
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避免卡米切尔数的算法PRIME
X的大2021
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k-优算法
如果一个最小化问题的近似算法总能找到 不超过最优解k倍的可行解，则称这个算 法是k-优的。
对于最大化问题，一个k-优近似算法总能 找到不小于最优解大小的1/k的可行解。
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