常微分方程习题集

常微分方程习题集Last revision on 21 December 2020

《常微分方程》测试题1

一、填空题30%

1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。

2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函

数.n

3、如果存在常数-对于所有

函数称为在R上关于满足利普希兹条件。

4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里

5、设的某一解，则它的任一解

-。

二、计算题40%

1、求方程

2、求方程的通解。

3、求方程的隐式解。

4、求方程

三、证明题30%

1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间

a上的基解矩阵。

2.设为方程x=Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:(t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>

《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%）

1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满

足的微分方程是.

2、方程的通解中含有任意常数的个数为.

3、方程有积分因子的充要条件为 .

4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件．

5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．

6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们(有或无)共同零点．

7、设是方程的通解，则.

8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与

线性无关的另一解.

9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个

线性无关解是.

10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.

二、求下列微分方程的通解：（40%）

1、

2、

3、

4、

5、求解方程．

三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出

在解的存在区间的误差估计.（10分）

四、求解微分方程组

满足初始条件的解.（10%）

五、证明题：（10%）

设，是方程

的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C

《常微分方程》测试题3

1．辨别题

指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)

（1）（2）（3）

（4）（5）（6）

2、填空题(8%)

（1）．方程的所有常数解是___________.

（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.

（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是

________________.

（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.

3、单选题(14%)

（1）．方程是（）.

(A)可分离变量方程（B）线性方程

(C)全微分方程（D）贝努利方程

（2）．方程，过点（0，0）有（）.

(A)一个解（B）两个解

(C)无数个解（D）三个解

（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.

(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1

(C)x=±1 (D)y=1,x=1

（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1,则在x =e时y=( ).

(A) (B)(C)2 (D)e

（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．

（A）维（B）维（C）维（D）维

（6）.方程（）奇解．

（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个

（7）．方程过点（）．

（A）有无数个解（B）只有三个解

（C）只有解（D）只有两个解

4.计算题(40%)

求下列方程的通解或通积分：

（1）.

（2）.

（3）.

（4）.

（5）.

5.计算题(10%)

求方程的通解．

6．证明题（16%）

设在整个平面上连续可微，且．求证：方程

的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>

《常微分方程》测试题4

1．辨别题

指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)

（1）（2）（3）

（4）（5）（6）

2、填空题(8%)

（1）．方程的所有常数解是___________.

（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.

（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是

________________.

（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________

3、单选题(14%)

（1）．方程是（）.

(A)可分离变量方程（B）线性方程

(C)全微分方程（D）贝努利方程

（2）．方程，过点（0，0）有（）.

(A)一个解（B）两个解

(C)无数个解（D）三个解

（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.

(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1

(C)x=±1 (D)y=1,x=1

（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1,则在x =e时

y=( ).

(A) (B)(C)2 (D)e

（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．

（A）维（B）维（C）维（D）维