2.1随机误差讲解
2.1.1随机误差的正态分布性质
4.抵偿性：在等精度测量条件下，当测量次数趋于无穷时，全部随机误差的算数平均值趋于零。
任何一次测量，随机误差的存在都是不可避免的。这一事实可以由下述现象反映出来：对同一静态物理量进行等精度重复测量，每一次测量所获得的测定值都各不相同，尤其是在各个测定值的尾数上，总是存在着差异，表现出不定的波动状态。测定值的随机性表明了测量误差的，但在总体上却遵循一定的统计规律。在对大量的随机误差进行统计分析后，人们认识并总结出随机误差分布的如下几点性质：
1.有界性：在一定的测量条件下，测量的随机误差总是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率为零。也就是说，随机误差的绝对值实际上不会超过一定的界限。
2.单峰性：随机误差具有分布上的单峰性。绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小，零误差出现的概率比任何其他数值的误差出现的概率都大。
随机误差分布符合正态分布因此
△x
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
图2.2 误差频率分布图
（1）高斯误差定律 正态分布的分布密度函数为：
f (x)
1
( x )2
e 2 2 ( x )（2-1）
2
式中 、 为参数，可记为 x～N（ , 2 ）。其分布函数为：
x
F(x)
1
(x)2
e 2 2 dx
随机误差分布符合正态分布因此
在第1章中给出了一个实际测量结果的例子，以误差作为横坐标，以频率数 f 作为纵坐标，将所得数据画成频率分布的直方图，如图2.1 所示。
f i 18% 16%
14%
12%
10%
8%6%4%2%0%-0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0
0.01
一般的正态分布可以通过适当变换化为标准正态分布。
若x～ N（,2） ， 令Z=x， 则Z～ N（ 0， 1） 符 合 标 准 正 态 分 布 ， 如 下 式 ：
F(x)(x)(Z) Z
1
Z2
e2dZ
2
（2-4）
（ 2-4）其值见附表1。分布图见图2.3-1 19世纪德国的科学家高斯研究大量的测量数据时发现，随机误差分布符合正态分布。因此，在误差理论中将正态分布又称为高斯分布，图 2.3中的曲线称为高斯曲线，其分布密度函数及概率分布函数分别表示为：
准 误 差 为 σ， 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量 可 表 示 x 为～ N （ a， ( )2） ， 按 正 态 分 布 概 率 积 分
2
（2-2）
F（x）的图形关于中心轴对称，由此可以得出：
（2-3）
第四章 随机误差与系统误差
（一）系统误差产生的原因
在长期的测量实践中人们发现，系统误差的产生一般与测量仪器或装置 本身的准确度有关；与测量者本身的状况及测量时的外界条件有关。
1）在检定或测试中，标准器或设备本身存在一定的误差；这 种误差称为装置误差。
2）测量时的客观环境条件（如温度、湿度、恒定磁场等）也 会给测量结果带来误差。如各地的重力加速度因地点不同而 异，相关重力加速度的测量，未按测量地点不同加以修正， 也会给测量结果带来误差；一般称为环境误差。
正态分布的概率计算
p p(x)dx 0.6827 2
p p(x)dx 0.9545 2 3
p p(x)dx 0.9973 3
σ 前的系数1、2、3，与置信概率有关，称为置信因子，在不确定 度评定时，又称包含因子，以区别于传统统计理论
(2)可变系统误差消除法
合理地设计测量顺序可以消除测量系统的线性漂移或周期性变化引入的系统误差。 用对称测量法消除线性系统误差 例：用质量比较仪作指示仪表，用F2级标准砝码替代被校砝码的方法校准标准标称值
为10kg的M1级砝码，为消除由质量比较仪漂移引入的可变系统误差，砝码替代 方案采用按“标准-被校-被校-标准”顺序进行，测量数据如下：第一次加标准砝 码时的读数ms1=+0.010g,接着加被校砝码，读数为mx1=+0.020g,再第二次加被 校砝码，读数为mx2=+0.025g,再第二次加标准砝码，读数为ms2=+0.015g。则 被校砝码与标准砝码的质量差⊿m=（mx1+mx2）/2-(ms1+ms2)/2=+0.01g,由此 获得被校砝码的修正值为-0.01g。 半周期偶数测量法消除周期性系统误差 半周期性系统误差通常可以表示为ε=αsin(2πl/T) 式中：T——误差变化的周期； l ——决定周期性系统误差的自变量（如时间、角度等）。 因为相隔T/2半周期的两个测量结果中的误差是大小相等符号相反的。所以凡相隔半周 期的一对测量值的均值中不再含有此项系统误差。这种方法广泛用于测角仪上。
误差理论与数据处理知识总结
1.1.1 研究误差的意义为：1)正确认识误差的性质，分析误差产生的愿意，以消除或者减小误差2)正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3)正确组织实验过程，合理设计仪器或者选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2.1 误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1.2.2 绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4 引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为份子，以测量范围上限值或者全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5 误差来源： 1)测量装置误差 2)环境误差 3)方法误差 4)人员误差1.2.6 误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8 随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3.1 精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1.3.2 精度可分为：1)准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2)精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3) 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4.1 有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那末从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或者非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
1.4.3 数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：1)若舍去部份的数值，大于保留部份的末位的半个单位，则末位加一2)若舍去部份的数值，小于保留部份的末位的半个单位，则末位不变3)若舍去部份的数值，等于保留部份的末位的半个单位，则末位凑成偶数。
浅谈测量误差、系统误差和随机误差的理解
浅谈测量误差、系统误差和随机误差的理解摘要：测量误差包括了系统误差与随机误差，从概念上存在以下公式：测量误差=系统误差+随机误差。
通常情况下测量误差、系统误差和随机误差都是理想的概念性术语，不可能通过测量得到它们的准确值。
在我们日常工作中，经常提及测量误差、随机误差和系统误差等专业名词，那么究竟它们是如何定义和理解的呢？关键词：测量误差；减小；随机误差1 依据JJF1001-1998《通用计量术语及定义》，测量误差的定义是“测量结果减去被测量真值”，实际工作中测量误差又简称误差。
“测量结果是指由测量所得到的赋予被测量的值”，是客观存在的量的实验表现，仅是对测量所得被测量之值的近似或估计，它不仅与量本身有关，而且与测量程序、测量仪器、测量环境及测量人员等有关。
“真值是与给定的特定量的定义相一致的值”，它是通过完美的测量才能获得的。
一般情况下，由于真值不能确定，测量误差是未知的，实际上应用的是约定真值，这样便可以得到测量误差。
实际上无论是测量标准的标准值，还是其他的约定真值，都是存在不确定度的，所以得到的只是测量误差的估计值。
获得测量误差的估计值的目的通常是为了得到测量结果的修正值。
2 测量误差包括系统误差和随机误差两类不同性质的误差2.1 系统误差，是指“在重复性条件下，对同一被测量进行无限次测量所得结果的平均值与被测量真值之差”。
它是在重复测量中保持恒定不变或可按预见方式变化的测量误差的分量。
由于只能进行有限次数的重复测量，真值也只能是用约定真值代替，因此可能确定的系统误差也只是估计值。
系统误差的来源可以是已知或未知的，那么怎样发现系统误差呢？2.1.1 在规定的测量条件下多次测量同一个被测对量，从所得测量结果与计量标准所复现的量值之差可以发现并得到恒定的系统误差的估计值。
2.1.2 在测量条件改变时，例如随时间、温度等街道条件改变时按某一确定的规律变化，可能是线性的或非线性地增长可减小，就可以发现测量结果中存在的可变的系统误差。
随机误差的名词解释
随机误差的名词解释随机误差是指在实验或观察过程中，由于各种无法预测的、不可控制的因素而引起的测量结果的变动。
与之相对的是系统误差，指的是由于仪器、方法或观察条件的固有偏差而引起的测量结果的偏离。
随机误差与系统误差是统计学中常用的两个概念，在实验和研究中起着重要的作用。
随机误差的存在是由于实际测量过程中无法完全控制和排除所有的干扰因素。
无论是人为的影响，如实验员的操作技巧、主观判断等，还是自然的波动，如气温的变化、环境噪声等，都可能对测量结果产生不同程度的影响。
随机误差具有两个基本特点：首先，它是无规律的，无法被准确预测或预测；其次，它是在一定误差范围内的，即不同次的测量结果可能相差一些，但不会超过一个限定值。
为了更好地理解随机误差，可以举一个简单的例子。
假设我们要测量一支铅笔的长度，并重复进行多次测量。
由于人的手部的不稳定性、机械测量涉及到的一些微小波动等原因，每次测量的结果都会略有不同。
如果我们统计这些测量结果，并绘制成频率分布图，我们会发现，虽然大部分结果集中在某个值附近，但其波动范围并不是完全一致的。
这个波动范围就是随机误差的表现。
在科学实验和研究中，准确度和精确度是评估测量结果可靠性的重要指标。
准确度指的是测量结果与真实值之间的接近程度，而精确度则表示一组测量结果中的相对一致性。
随机误差对于测量结果的准确度和精确度都会产生一定的影响。
由于随机误差的波动是无规律的，因此测量结果与真实值之间的接近程度无法直接评估。
然而，通过多次重复测量并进行统计分析，我们可以从中估计出测量结果的平均值和其变异程度，来评估随机误差的影响。
为了减少随机误差的影响，科学家和研究人员通常采用一系列方法来提高测量的可靠性。
首先，通过增加测量次数，可以减小随机误差的波动范围。
其次，使用精确度更高的测量仪器和方法，可以降低系统误差和人为误差的影响。
此外，合理的实验设计和操作规范也能帮助减少随机误差的产生。
总之，随机误差是实验和观察中不可避免的误差来源，它由于各种无法预测的、不可控制的因素引起。
随机误差名词解释
随机误差名词解释随机误差是指在测量或实验过程中不可避免的、对结果产生随机影响的误差。
它是由许多随机因素引起的，难以精确衡量和控制。
随机误差可以被看作是每次测量或实验的不确定性，可能导致结果在重复测量或实验中有所偏差。
随机误差的产生原因可以是各种不确定因素，包括仪器设备的精度、操作人员的技术水平、环境的变化等。
这些因素都会对结果产生随机干扰，使得测量或实验结果出现偏差。
随机误差具有以下几个特点：1. 无规律性：随机误差是无法预测和重复的，它并不遵循某种明确的规律或趋势。
2. 可以正或负：随机误差的方向可以是正向或负向的，也就是说，在重复测量或实验中，结果有可能高于真实值也有可能低于真实值。
3. 平均值为零：在进行多次独立的测量或实验时，随机误差的平均值趋近于零。
这是因为随机误差的方向和大小在不同次测量或实验中是随机变化的，所以在大量实验中，各次测量或实验的误差均值会相互抵消，得到的平均误差接近零。
4. 可以用统计方法描述和分析：由于随机误差具有随机性，无法准确知道每次测量或实验的误差值。
但可以通过多次测量或实验得到一组误差值，然后用统计方法进行分析，得到误差的分布特点和误差范围。
随机误差对科学研究和实验的结果有着重要的影响。
它的存在使得测量或实验的结果不是绝对准确的，而是在真实值附近波动的。
对于科学研究来说，我们在分析结果时需要考虑到随机误差的存在，将其视为不可避免的随机干扰因素，以便更加准确地评估结果的可靠性。
为了减小随机误差的影响，我们可以采取以下措施：1. 增加重复测量或实验次数：通过增加测量或实验的次数，可以更好地反映出随机误差的范围和分布特点，从而提高结果的可靠性。
2. 使用更精确的仪器设备：提高仪器设备的精度可以减小仪器的测量误差，从而减小随机误差的影响。
3. 严格控制操作条件：在进行测量或实验过程中，要尽量减少其他干扰因素的影响，保持操作条件的稳定性，以减小随机误差的产生。
4. 采用统计方法分析数据：通过运用统计学的知识，对测量或实验数据进行合理的分析，可以帮助我们更好地理解随机误差的特征和影响程度，并提供科学依据。
2.1 随机误差
v
0.033 10
i
n ( n 1)
1.253
0.250 10 9
0.033 mm
0.0104 mm
别捷尔斯公式是贝塞尔公式的近似计算公式， 由于当时在计算天文数据的标准差，数据较 多，开平方根较麻烦，所以用残差绝对值的 和代替开平方根。
f(δ)
1
1 2 3
2
3
标准差计算公式
D ( X ) ( x ) 2 f ( x)dx
2
D( X )
要注意的是标准差σ不是测量列中任何一个具体测得值的随 机误差， σ值越大只说明在一定条件下等精度测量列随机 误差的概论分布情况。在该条件下，任一次测得值的随机误 差一般不等于σ，但认为这一系列测量中所有测得值都属同 样一个标准差σ的概率分布。在不同条件下，对同一被测量 进行两个系列的等精度测量，其标准差σ也不相同。
在n次测量服从正态分布且独立的条件下，有
(s)
s 1 M n2 n
( s)
s
1 M n2
估计标准差的相对误差，用百分数表示，该 百分数愈小，表示估计的信赖程度愈高。
适用的估计贝塞尔公式的相对误差的公式
(s)
s 1 2( n 1)
（二）测量列算术平均值的标准差
为测量总体的数学期望，如不计系统误 差，则 x 即为随机误差 为测量总体的标准差，是评价随机误差 的指标
分布的误差特性
（1）单峰性：小误差出现的 概率比大误差出现的概率大。 （2）对称性：正误差出现的 正态分布的这四个 概率与负误差出现的概率相等。 特点与误差大样本 下的统计特性相符。 （3）有界性：在一定条件下 但在理论上，正态 绝对值不会成功一定界限。 分布无界，这也是 （4）抵偿性：随测量次数增 正态分布与实际误 加，算术平均值趋于零。 差有界性不相符之
随机误差名词解释
随机误差名词解释
随机误差是统计学中一个重要的概念。
定义为描述测量结果与其实际值之间差异的统计量，随机误差可用于评估统计模型的准确性，从而决定是否接受或拒绝给定的估计值。
随机误差可以理解为测量结果与实际值之间的差异，这个差异是无法被预测的，这也是它的特点之一。
比如，用一台体重表测量某个人的体重，如果定义给定范围内的重量测量精度为1磅，那么可以认为测量结果和实际体重之间的误差为1磅，这种误差就属于随机误差。
随机误差可以分为两类，即系统误差和非系统误差。
系统误差是在衡量方法本身存在误差，由测量变量的特性或测量设备的误差造成的误差，由于是一种可预测的误差，所以可以进行相应的修正和补偿。
非系统误差与环境的不确定性有关，是不可预测的，因此只能通过测量多次来尽量减小误差。
随机误差可以用于研究和评估统计模型，以评估模型的准确性。
如果模型仍然存在较大的随机误差，则该模型的准确性较低，因此不能接受，只有降低随机误差后，才能接受该模型的估计值。
应用随机误差的另一个重要方面是在统计分析中使用它来应对
不确定性，由于随机误差是不可预测的，因此可以用来模拟数据的随机性，以满足统计分析的需要。
从以上分析可以看出，随机误差是统计学中一个重要的概念，它可以用来评估统计模型的准确性，并应用于统计分析，以提高分析的准确性。
同时，随机误差也具有降低研究准确性的可能性，因此在统
计分析中，应尽量避免模型误差和测量误差。
知识笔记-2.2 随机误差的分析1-随机误差的统计处理
§ 2.2随机误差的分析§ 2.2.1随机误差的统计处理1、测量值的数学期望：对某一被测量进行n 次等精度测量，得到x 1,x 2...x n ,其算数平均值为：11ni i x x n ==∑，也称为样本平均值。
当测量次数n →∞时，样本平均值x 的极限称为测量值的数学期望。
2、方差：当n →∞时，测量值与期望值之差的平方的统计平均值，可写为：2221111lim ()lim n n i x i n n i i x E n n σδ→∞→∞===-=∑∑ 3、标准差：211lim n i n i n σδ→∞==∑ 标准差反映了测量的精密度。
4、正态分布根据概率论中的中心极限定理和随机误差的性质可知，在多数情况下，随机误差服从正态分布。
其分布密度可以写为如下公式：22-(x -E )1(x )=exp[]2σ2πσi x i ϕ 测量值x i 的分布曲线如图所示：可以看出，测量值对称的分布在数学期望的两侧。
根据随机误差的正态分布曲线，可以得出以下结论：☆ δ愈小、Φ(δ)愈大，说明绝对值小的随机误差出现的概率大；☆随着δ的加大, Φ(δ)很快趋于0，即超过一定界限的随机误差实际上几乎不出现(有界性；☆ σ愈小，正态分布愈尖，表明测得值愈集中，精密度高；☆ 大小相等符号相反的误差出现的概率相等 (对称性、补偿性)。
5、残差：i i u x x =-注意两点：☆ 残差的代数和等于0.☆当测量次数趋于无穷时，残差等于随机误差.6、有限次测量的标准差：贝塞尔公式：∑-==∧σn u i i n 1112 用极差法求标准差：=σCR x ˆ 其中R 为测量结果中的最大值和最小值之差。
C 为极差系数，可以通过查表得到。
7、算术平均值的标准差：当n 为有限次测量时，平均值的标准差课表示为：=σσn x /ˆˆ 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）。
2.1 随机误差
五、标准偏差的几种计算方法
（一）等精度测量列中单次测量标准偏差的计算 1 l1 x x L0 1、见塞尔(Bessel)公式
i li L0
n ln x x L0
1 v1 x 2 v2 x
误差理论与数据处理 青岛大学机电工程学院
一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2-1）求得 随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。 此时的随机误差称为残余误差，简称残差：
i li x
li li l o
x
(2-9)
此时可用更简便算法来求算术平均值。任选一个接近所有测 得值的数 l0 作为参考值，计算每个测得值 li 与l0 的差值：
l
i 1 i i 1
n
n
i
nL0
i
n n 由前面正态分布随机误差的第四特征可知 lim n
x
Lo
l
i 1
n
i 1
n
i
i 1
n
i
l
i 1
n
n
0 ，因此
i
n
L0
由此得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得 到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就 是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然 值）被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限 次测量，故只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。
l
i 1
11 i 1
11
i
22000.74mm n x 11 2000.067mm 22000.737mm
2误差分析与数据处理
2误差分析与数据处理
2. 误差分析与数据处理
2.1误差分析 2.2数据。实际的检测系统（仪 表）一般按误差性质、使用的工作条件、测量特性进行 分类。
3.粗大误差－明显偏离真值的误差称为粗大误差（过失误 差）。
产生原因－人操作上的粗心大意，外界的强大干扰。
消除方法－当发现粗大误差时，应予以剔除。 结论：在进行误差分析时，粗差剔除，系统误差和随机误
差要用适当的方法进行处理和估算。
课堂提问：
1.请举出生话中的系统误差、随机误差、粗大误差的 实例。
2.第1章讲过一些仪表性能指标，其中就涉及哪个误 差概念？
第21页
2.随机误差－在同一条件下，多次测量同一被测量，有时 会发现测量值时大时小，误差的绝对值及正、负以不可预 见的方式变化，该误差称为随机误差。随机误差反映了测 量值离散性的大小。
产生原因（随机效应）－随机误差是测量过程中许多独立 的、微小的、偶然的因素引起的综合结果。
消除方法－单个测量值误差是随机的，难以消除或修正； 但误差的整体服从正态分布统计规律，因此可以增加测量 次数，并对测量结果进行数据统计处理。
2.1.2按使用工作条件分类
工作条件包括环境温度、相对湿度、电源电压、安装方 式等。
1.基本误差—仪表在规定的标准（额定）条件下进行测量 所产生的测量误差。
检测仪表的精度等级就是由基本误差决定的。
2.附加误差—当仪表的使用条件偏离标准（额定）工作条 件，就会出现附加误差。
2004年9月24日
2.1.1按误差性质分类（常用方法） 系统误差、随机误差、粗大误差 1.系统误差－凡误差的数值固定或按一定规律变化者，均 属于系统误差。系统误差＝无限次测量均值－真值。 产生原因（系统效应）－环境温度、湿度，电源电压， 元件老化，零点漂移，零件变形等。 消除方法－系统误差是有规律性的，因此可以通过实验 的方法或引入修正值的方法计算修正，也可以重新调整 测量仪表的有关部件使系统误差尽量减小。
第2讲随机误差的统计特性及其估算方法
b K dx=1
a
15
2、均匀分布的数学期望与方差 Ex = (a+b)／2 2 = (b – a)2／12 = (b – a) ／12
16
例：用一只150Ｖ的电压表进行测量，示值为Vx=100V， 仪表的分辨力为1V，求Ex及 的值。 解：据题意，示值可认为在99～101V之间均匀分布， 因而a=99V，b=101V，故有
反映随机误差的影响。 3、精确度：它反映系统误差和随机误差综合
的影响程度。精确度高，说明准确度和精 密度都高，意味着系统误差和随机误差都 小。
6
2.3 随机误差的统计特性及其估算方法
2.3.1 测量值的数学期望与标准差
1、 等精密度测量：在相同条件下，用相同的仪器和 方法，由同一测量者以同样细心的程度进行多次测量， 称为等精密度测量。
恒值系统误差：不随某些测量条件而变化的系统误差。 造成系统误差的原因很多，常见的有：测量设备原因 （测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放 置和使用不当等）；测量环境原因（温度、湿度、电源电 压变化、周围电磁场的影响等）；测量方法原因；测量人 员的原因（感觉器官不完善、生理上的最小分辨能力限制、 不正确的测量习惯等）。
容易得出加权平均值的计算公式为
xW
=
1 —m — i=1Wi
m i=1
Wi
xi
在上例中，m=3，加权平均值为
xW
=
1 —3 — i=1Wi
3 i=1Wi
xi
=—16—+11—+4—（ 1620.5 + 120.1 + 420.3）=20.44(V)
20
电子测量技术
第2讲 结束
课件制作: 王永才
随机误差
(x)
(b
1 a)B(g,
h)
x b
a a
g 1
1
x b
a a
h1
数学期望 bg ah
gh
标准方差 (b a) gh
(g h) g h 1
贝塔分布的性质与密度函数图
在给定分布界限a,b 下通
过参数g,h 取不同值，贝塔
0
1 a2 x2
a xa 其他
数学期望 E 0
f (x )
标准方差
a
2
置信因子 k a 2
服从反正弦分布的可能情形
度盘偏心引起的测角误差；
正弦（或余弦）振动引起的位移误差； -a
o
无线电中失配引起的误差。
a
x
瑞利分布
概率密度函数
f (x)
2、类型
▪正态分布统计检验
❖夏皮罗-威尔克检验 ❖偏态系数检验 ❖峰态系数检验
▪一般分布检验
❖皮尔逊检验
皮尔逊 2
检验( n 50
)
1、提出原假设
H0 : F (x) F0 (x)
▪把整个数轴分成m个区间
(, a1], (a1, a2 ],L L , (am1, )
▪总体X 的分布函数 F(x)未知 ▪ fi 频数，样本的观察值落
在区间 [3 ,3 ] 内的概率P 3
P 3 2(3) 1 20.9987 1 0.9974
随机误差服从正态分布，且标准偏差为 ，则 在该条件下，进行100次测量，可能有99次的随 机误差落在区间内[3 , 3 ]
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随机误差的分析处理
--- 统计方法
N次测量结果 --- xi ( i =1, 2, …, N )
1 测量列 数据特点
数据列表明，各次测值不尽相同，这说明各次测量中含 有随机误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一 个数据出现后，不能预测下一个数据的大小。 但就数据整体而言，却明显具有某种统计规律，这个规 律可以用统计直方图来表示。
第二章 误差的基本性质与处理
§2.1 随机误差
教学目的和要求：
通过本节内容的教学，使学生对随机 误差的产生原因、特点及处理方法有一 个整体的认识。要求学生清楚随机误差 的产生原因、特征，服从正态分布随机 误差的特征；掌握随机误差特征值的确 定方法；了解随机误差的分布；正确求 解极限误差；掌握不等精度测量的数据 处理方法。
测量列图示 测量结果与直方图
2 统计直方图
统计直方图在对称性方面 有一些偏离理想正态分布 的情形。 对于测量状态比较完好的 光电类测量仪器，其随机 误差的分布往往较好的呈 现正态分布的特征 对于测量状态不完好的光 电类测量仪器，特别是对 传动机械部件磨损较严重 而规律尚未掌握的仪器， 其测量随机误差可能就呈 现其他分布的特征。
对防震台充气减震、 关空调减少气流、 开机对激光器预热 等。
戴工作手套装夹工件， 调整光路要尽量减少 离焦、倾斜，并使干 涉条纹疏密适当，人 员尽量远离测量光路； 必要的话，适当增加 重复测量次数取算术 平均值等
随机误差的本质特征
1、具有随机性：测量过程中误差的大小和符 号以不可预知形式的形式出现。 2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因 素在测量开始之后体现出来。 3、与测量次数有关系：增加测量次数可以减 小随机误差对测量结果的影响。
主要内容：
1.概述：产生原因、随机误差特性、随机误差处理的基本 原则。 2.随机误差的分布：正态分布、非正态分布。 3.算术平均值原理：算术平均值原理、残余误差。 4.测量的标准差：单次测量的标准偏差、贝塞尔公式、算 术平均值的标准偏差、标准差的其它估计方法。 5.极限误差：极限误差的定义、单次测量的极限误差、算 术平均值的极限误差。 6.不等精度测量：权、单位权、加权算术平均值、加权算 术平均值的标准差。
2.2.1 随机误差产生的原因
随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不 能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素 中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有 的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化， 而这些微小变化又给测量带来误差。
激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源
氦氖激光源辐 射激光束的频 率不够稳定造 成激光波长的 漂移 放置测量主机和被 测试样的隔震台不 能很好消除外界的 低频震动 操作人员的装夹 调整不当引起被 采集的测量干涉 图像质量低、条 纹疏密不当 离散化采样误差、 各次装夹定位不 一致 CCD光电探测器 采集信号及其 电信号处理电 路造成干涉图 像信号的随机 噪声 空气尘埃的漂 浮、稳压电源 供电电压的微 小波动 采集干涉图像的摄 像头变焦倍数过小 造成较大的离散化 采样误差
2 i i 1 n
概率分布函数
n
F ( )
1 f ( )d 2
e
2 2 2
d
正态分布的分布密度函数：
f()
= 1.0
1 f ( ) e 2
数学期望
方 差
E }
2 2 2
= 1.5
= 2.0
f ( )d 0
D{δ }＝σ2
E E ( ) } 2 f ( )d
2
标准偏差
D( )
平均误差 或然误差
2.1.3 算术平均值
（一）算术平均值的意义
在等精度测量条件下，对某被测量进行多次重 复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值
x1 , x2 ,..., xn
测量装置方面的因素
仪器所在实验 室气流和温度 的波动
测量环境方面的因素
操作人员方面的因素
减小随机误差的技术途径
(1) 测量前，找出并消除或减小 其随机误差的物理源;
(2) 测量中，采用适当的技术 措施，抑制和减小随机误差; (3) 测量后，对采集的测量 数据进行适当处理，抑制和 减小随机误差。
视需要，有针对性地对采集的测量干涉图进 行预处理，如用低通滤波、平滑滤波等方法 来消除中高频随机噪声，用高通滤波法则可 以有效消除低频随机噪声。
n
i
xi nx0
i 1
n
根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有
1 n x xi x0 n i 1
i 1
n
i
n
0
2 在正态分布条件下，满足最大似然原理
该测量事件发生的概率最大
3 满足最小二乘原理
1 n x xi n i 1
作为测量结果的最佳估计。
无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据
证明方法有四种： 1.大数定律；2.似然原理；3.最 小二乘法；4.随机误差抵偿性 1. 若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率 论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值
因为
i 1
分布：正态分布（高斯分布） --- 大多数； 均匀分布 --- 量化误差、舍入误差； 其它 --- 正弦分布、二次分布、卡方分布、指 数分布、 分布、 分布等
正态分布计算
概率密度函数 误差 = l – L0
2 2 2
1 f ( ) e 2
均方根误差/标准差
f ( )
50
40
30
20
10
0 0.114 0.116 0.118
0.12
0.122 0.124 0.126 0.128
样本n无限增加，分段间隔区域趋于0，直方图就形成 了一条光滑连续的曲线，即概率密度曲线。
2.1.2 正态分布
服从正态分布随机误差 的特征
f ( )
1．对称性 2．单峰性 3．有界性 4．抵偿性 由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相同 的正负误差出现的次数大致相同。因此，取这些误差的算 术平均值时，绝对值相同的正负误差产生相互抵消现象， 从而导致了随机误差的第四个特性——抵偿性。