对称矩阵的主子矩阵及其性质概要

毕业论文题目对称矩阵的主子矩阵及其性质学生姓名王强学号1109014134 所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(师范类)11级2班指导教师邓方安2015 年 6 月 12日对称矩阵的主子矩阵及其性质王强（陕西理工学院数学与计算机科学学院数教1102班，陕西汉中 723101）指导教师邓方安[摘要]：本文总结了对称矩阵的主子矩阵的一些基本性质, 探讨了对称矩阵的主子矩阵的特征值与原矩阵的关系, 通过实例说明了主子矩阵的主子式的应用．[关键词]：对称矩阵;主子矩阵;特征值;主子式Principal submatrix and its properties of symmetric matrixWangQiang(Grade02 Class2011 School of mathematics and computer science Shaanxi University of Technology Hanzhong 723001 Shaanxi)Tutor: Fang-an Deng[Abstract]：This paper is divided into four parts and discusses some important properties of symmetry matrices, including some basic properties of symmetry matrices, diagonalization of symmetry matrices, eigenvalue, eigenvector, positive definiteness of symmetry matrices and etc.[Key words]：S ymmetric matrix；Master matrix；eigenvalue；principal minor.1.引言矩阵在数学的许多分支中经常用到，比如线性方程组、二次型都可以归结为有关矩阵某些方面的研究，有些完全不同的性质归结为矩阵以后却是相同的。

而对称矩阵的主子矩阵作为特殊的矩阵无论在矩阵理论方面，还是在实际应用方面都有重要意义。

那么对称矩阵的主子矩阵有什么特殊性质，又有那些实际应用呢？这就是本文的主要内容．2.预备知识2.1 主子矩阵定义以矩阵对角线元为其对角线元的子矩阵，从1阶到n阶.例 1设对称矩阵矩阵A 为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k hg f e dc b a ，则矩阵A 的 一阶主子矩阵为()a ,二阶主子矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛d cb a ,三阶主子矩阵为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k hg f e d c b a . 2.2 主子矩阵的性质由主子矩阵定义可知，对称矩阵的主子矩阵还是对称矩阵,所以对称矩阵的主子矩阵和对称矩阵有着相同的性质.定义2.2.1 若矩阵A =(ij a ) (其中ij a ∈C ),满足TA =A ，则称A 为对称矩阵．由定义知:(1) 对称矩阵一定是方阵，并且它的元素满足ij a =ji a ，因而对称矩阵形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a212221211211. (2) 对角矩阵和数量矩阵都是对称矩阵．定义2.2.2 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵.定义2.2.3 若矩阵A 满足TA A =-，则称A 为反对称矩阵.由定义知：(1) 反对称矩阵一定是方阵.(2) 反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素都为零.形如12112212000n n nna a a a a a ⎛⎫ ⎪-⎪⎪ ⎪--⎝⎭的矩阵一定是反对称矩阵. (3)零矩阵是特殊的反对称矩阵．下面就对称矩阵的主子矩阵的一些基本性质展开讨论.性质2.2.1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.证明 设A 、B 是n 阶对称矩阵，即T A A =,TB B =.则()TT T A B A B A B +=+=+，()()T TT T T A B A B A B A B -=+-=-=-，(),TT k C kA kA kA ∀∈==.性质2.2.2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，TA A 是对称矩阵.证明 因为()()TTT T T T A A A A A A +=+=+，则T A A +是对称矩阵.因为()()TTT T T T AAA A AA ==，则T AA 是对称矩阵，同理可证T A A 也是对称矩阵.性质2.2.3 设A 为n 阶对称矩阵（反对称矩阵），若A 可逆，则1A -是对称矩阵（反对称矩阵）.证明 （1）因为A 可逆，T A A =，()()111TT AA A ---==，所以1A -是对称矩阵.（2）因为A 可逆，TA A =-，1111()()()T T A A A A ----==-=-，则1A -是对称矩阵.性质2.2.4 对任意n 阶方阵A 必能分解为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和． 证明 设A 是任意n 阶方阵，则()TT A A +=TA +A ,()TTA A -=T A –A =–（A –TA ）,由性质1得 2T A A + 与2TA A -分别为对称矩阵与反对称矩阵．而A =2T A A ++2TA A -, 因此，A 可分解为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和．注意：此性质为矩阵的对称分解，对任意n 阶方阵A 可利用此性质分解为A =B +C ,其中B =2T A A +，C =2T A A -分别为对称矩阵与反对称矩阵． 由此命题的证明过程可得以下推论 .推论 任意方阵与其转置之和为对称矩阵，之差为反对称矩阵． 性质2.2.5 对n 阶反对称矩阵A ，若n 为奇数，则|A |=0.证明 设A 为n 阶反对称矩阵，因此，TA =–A ，则|TA |=|–A |=()n 1-|A |，又|TA |=|A |，所以|A |=()n1-|A |，当n 为奇数时, 有|A |=()n1-|A |=–|A |，故|A |=0.推论 一个n 阶反对称矩阵可逆的必要条件是n 为偶数．注：n 为偶数是n 阶反对称矩阵可逆的必要条件而非充分条件，例如零矩阵是反对称矩阵，其行列式为零，因而是不可逆的，特别地，当n 为偶数时，是不可逆的．3.插值关系引理3.1[8，10]（Cauchy-poincar é）设A 为n 阶实对称矩阵,m 为整数,n m ≤≤1,m A 是A 的m阶主子矩阵，则）（）（）（A A A m n i m i i -+≥≥λλλ .,,2,1m i ⋅⋅⋅= 这就是著名的Cauchy-poincar é定理，简称柯西插值定理或交错分布定理.定义3.2[11]设M 为实对称矩阵，将其行列作相同的划分，其每一块子块的平均行和作为元素按其子块的位置顺序构成的矩阵称为M 的商矩阵.例2 设{1,2,…,n}的一个划分为m X X X 21，其中0>=i i n X ，考虑n 阶实对称矩M ,在该划分下的分块矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯mm m m nn M M M M M1111, 其中ij M 是j i n n ⨯阶子块.令ij S 是ij M 中所有元素之和，则M 的商矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯mmm mm m mm n s n s n s n s Q111111. 引理3.3[11]设Q 是实对称分块矩阵M 的一个商矩阵，则)()()(M Q M m n i i i -+≥≥λλλ .,,2,1m i ⋅⋅⋅=引理3.4[11]设S 为()n m m n <⨯阶矩阵，满足S S T为单位矩阵，并设A 为n 阶方阵，AS S B T =,则)()()(A B A m n i i i -+≥≥λλλ, .,,2,1m i ⋅⋅⋅=注：Cauchy-poincar é定理和引理3.3都可以由引理3.4推导出来，见[11].4.主子矩阵的应用4.1插值形式及推广设),,(,21n a a a S =为n 元实数组，将S 中的元素按非增顺序重新排列所得到的实数组记为),,,(**2*1*n a a a S =，即此时有**2*1na a a ≥≥≥ . 定义4.1.1 设21,S S 为两个实数组，),,,(**2*1*1n a a a S =，),,,(**2*1*2m b b b S =，其中n m ≤≤1. 称2S 柯西嵌入到1S ，如果***m n i i i a b a -+≥≥，.,,2,1m i ⋅⋅⋅=这里所说的柯西嵌入就是上面谈到的柯西插值，为方便起见，一下假设所有的n 元组均为非增实数组.下面将柯西嵌入的形式做一些推广.定义4.1.2 设21,S S 为两个实数组，),,,(211n a a a S =，),,,(212m b b b S =，其中n m ≤≤1，1K ,2K 均为非负整数，称2S （1K ,2K ）-嵌入到1S ,如果21k i i k i a b a +-≥≥，.,,2,1m i ⋅⋅⋅=，其中0≤i 时+∞=i a ，1+≥n i 时-∞=i a .显然，定义4.1.2中的柯西-嵌入即为),0(m n --嵌入.当K K K ==21时，),(212K K S -嵌入到1S ，简称为K S 2-嵌入到1S .若此时n m =，则有一个非常有趣的现象，k i i k i a b a +-≥≥实际上等价于k i i k i b a b +-≥≥（其中0≤i 时+∞==i i b a ，1+≥n i 时-∞==i i b a ）.从而当n m =时，K S 2-嵌入到1S 当且仅当K S 1-嵌入到2S .因此我们总是说1S 与K S 2-相互嵌入，或者说1S ，2S 是K -相互嵌入的.4.2 主子矩阵的应用由上述内容可知，实对称矩阵的特征值与它的主子矩阵的特征值两者之间存在着紧密的联系，它直接给出了图与其诱导子图的邻接谱之间的插值性质，在图谱研究中，特征值的插值不等式是一个非常有用的工具，可以用它们对图的许多参数作出估计.定理4.2.1 （重分邻嵌入）设图G 的顶点集为V ,V U ⊆且2≥=K U .若图H 是G 通过U 上的重分邻变换得到，则)(H A 和)(G A 的谱、)(H L 和)(G L 的谱以及)(H δ和)(G δ的谱均是)1(-K -相互嵌入的.对于两个n 阶实对称矩阵B A ,，若A 有一个k n -阶主子矩阵刚好等于B 的某个主子矩阵，则使用Cauchy-poincar é插值定理两次，我们就能得到B A ,的谱是K -相互嵌入的.显然定理4.2.1中的每个矩阵都有公共的k n -阶主子矩阵（对应于顶点集U V \)所以这三对矩阵的谱是K -相互嵌入的.然而，定理4.2.1给出了更强的嵌入形式，即)1(-K -相互嵌入。