对称矩阵的性质
§4 对称矩阵的对角化
于是得正交阵
1 0 0 P = ( P1 , P2 , P3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2 2 0 0 −1 P AP = 0 4 0 . 0 0 4
则
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为： 1. 求A的特征值 λ1 , λ2 ,, λn ; 2. 由( A − λi E ) x = 0, 求出 A的特征向量; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5. 写出正交阵 P = ( P1 , P2 , , Pn ) ，
由于 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 . 第四步 将特征向量单位化 ξi , i = 1,2,3. 令 Pi = ξi
得
− 2 3 23 P1 = 2 3 , P2 = 1 3 , −1 3 − 2 3
2−λ −2 0 A − λE = − 2 1 − λ − 2 = (4 − λ )(λ − 1)(λ + 2) = 0 0 −2 −λ 得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = −2.
第二步 由( A − λi E ) x = 0, 求出A的特征向量
对 λ1 = 4,由( A − 4 E ) x = 0, 得 2 x1 + 2 x2 = 0 − 2 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系 ξ1 = 2 . − 1 2x + 4x = 0 2 3 对 λ2 = 1,由( A − E ) x = 0, 得
− x1 + 2 x2 = 0 2 x1 + 2 x3 = 0 2x &#ξ 2 = 1 . − 2
快速写出对称矩阵的正定分解
快速写出对称矩阵的正定分解【原创版】目录1.对称矩阵的定义与性质2.正定分解的定义与性质3.对称矩阵的正定分解方法4.举例说明对称矩阵的正定分解正文1.对称矩阵的定义与性质对称矩阵是指一个方阵，其转置等于其本身。
换句话说，如果一个矩阵 A 是一个 n×n 的方阵，并且满足 A^T=A，那么矩阵 A 就是一个对称矩阵。
对称矩阵具有一些重要的性质，如：对称矩阵的特征值是实数，对称矩阵可以正交对角化等。
2.正定分解的定义与性质正定分解是指将一个对称矩阵分解为两个正定矩阵的乘积，即 A = PDP^T，其中 P 是正交矩阵，D 是对角矩阵。
正定分解具有一些重要的性质，如：正定分解是唯一的，即对于一个给定的对称矩阵，其正定分解是唯一的；正定分解可以有效地用于求解线性方程组，迭代算法等。
3.对称矩阵的正定分解方法对称矩阵的正定分解可以通过求解线性方程组或者使用正交矩阵来进行。
其中，最常用的方法是使用正交矩阵进行分解。
具体步骤如下：（1）计算对称矩阵的特征值和特征向量；（2）将特征向量单位化，并按照特征值大小的顺序排列；（3）构造一个正交矩阵 P，其中 P 的列向量是按特征值大小顺序排列的特征向量；（4）计算对角矩阵 D，其中 D 的对角线元素是特征值；（5）计算 PDP^T，即为对称矩阵的正定分解。
4.举例说明对称矩阵的正定分解假设有一个对称矩阵 A = [[2, 1], [1, 2]]，我们需要对其进行正定分解。
（1）计算特征值和特征向量：特征值λ1 = 2, λ2 = 1，对应的特征向量分别为 v1 = [1, 1]^T 和 v2 = [1, -1]^T。
（2）将特征向量单位化，并按照特征值大小的顺序排列：v1 = [1/√2, 1/√2]^T，v2 = [1/√2, -1/√2]^T。
（3）构造正交矩阵 P：P = [[1/√2, 1/√2], [1/√2, -1/√2]]。
（4）计算对角矩阵 D：D = diag(2, 1)。
对称矩阵的相似矩阵
说明：本节所提到的对称矩阵， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 明，均指实对称矩阵． 定理5 对称矩阵的特征值为实数. 对称矩阵的特征值为实数. 定理
定理6 设λ1 , λ2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ2 , 则p1与p2正交 .
0 1 0 η1 = 1 2 , η2 = 0 , η3 = 1 2 . − 1 2 0 1 2
于是得正交阵
1 0 0 P = (η1 ,η 2 ,η 3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2 2 0 0 −1 P AP = 0 4 0 . 0 0 4
由于 ξ1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 .
ξi , i = 1,2,3. 令 ηi = ξi
第四步 将特征向量单位化
− 2 3 23 得 η1 = 2 3 , η 2 = 1 3 , −1 3 − 2 3
定理 7 设 A为 n阶对称矩阵 , λ 是A的特征方程的 r 重根, 则矩阵 A − λ E 的秩 R( A − λE ) = n − r , 从而 对应特征值 λ 恰有 r 个线性无关的特征向量 .
定理8 设A为n阶对称矩阵 , 则必有正交矩阵 P , 使 −1 P AP = Λ , 其中 Λ 是以 A的 n 个特征值为对角元 素的对角矩阵 .
5.5
则
三、小结
作 业 P162 7; 9(2); 12 ; 14
1. 对称矩阵的性质： 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数 特征值为实数； (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交 属于不同特征值的特征向量正交； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵 将其化为对角矩阵， 必存在正交矩阵， (4) 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 求特征值； 找特征向量 找特征向量； 将特征向 求特征值 量单位化；(4)最后正交化． 量单位化； 最后正交化． 最后正交化
5.4实对称矩阵对角化
1 2
1 1 0
1 2
1 1 2
.
1
1
再将2 , 3 单位化 ,
得 p2
1
2
1 0
,
p3
1 6
1 2
.
将 p1 , p2 , p3 构成正交矩阵
1 3
1 2
对应特征值 i (i 1,2, , s),恰有 r i 个线性无
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得 r i 个
单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs n知, 这样的特征向量共可得 n个.
由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这n 个单位特征向量两两正交.
解方程(A 2E)x 0 , 由
1 1 2
0 0 0
得基础解系1 对应 2 3 1 ,
1 1 1
, 将 1 单位化
解方程 组(A
,得
E)x
p1 0
1 3
,由
1 1 1
.
1 1 1 A E 1 1 1
1 1
.
并有p ( 1 1
, 2 ) 2
1 2
11
11 ,
再求出 p1
1 2
11
11 .
于是
An
pn p1
1 2
11
11 10
0 1 3n 1
11
1 2
11
2
得 1 4,
2 1, 3 2.
第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
线性代数-对称矩阵
xT Ax(xT AT )x(Ax)T x(x)T xxT x
两式相减 得 ( )xT x0
n
n
但因x0 所以 xT x xixi |xi |2 0
i1
i1
故 0 即 这就说明是实数
注意：设为实对称矩阵的特征值，故(iE A)X 0的
系数矩阵为实矩阵，故此方程组的解必有实的 基础解系，故A的特征向量也可以取为实向量。
思考题解答
解 由 A2 A可得A的特征值为1或0,又A是实对称
阵, 且秩为r , 故存在可逆阵P , 使得
P 1 AP E r 0 , 0 0
其中E r 是r阶单位阵. 从而 det(2E A) det(2P P1 P P1)
det(2E ) det E r 0
2nr .
0 2 Enr
课后作业
• P138
15，17
定理3 设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有 r 个线性无关的特征向量.
定理4 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使
P 1 AP ,其中 是以 A的 n 个特征值为对角元 素的对角矩阵.
3）把这两两正交的单位特征向量作为列向量构成正交矩阵P， 则P-1AP PT AP ，其中中元素的排列顺序应该与 矩阵P中的特征向量的排列顺序相对应。
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
性质2:设1 2是对称阵A的两个特征值 p1 p2是 对应的特征向量 若12 则p1与p2正交
对称矩阵的性质(2021年整理)
对称矩阵的性质（2021年整理）
对称矩阵是指一个矩阵的转置矩阵等于该矩阵本身，也就是说，矩阵中每个元素关于主对角线对称。
下面是对称矩阵的一些性质：
1.对称矩阵的主对角线上的元素必须是实数。
3.对称矩阵的每个特征值（即特征方程的根）都是实数。
4.对称矩阵的特征向量可以相互正交。
5.对称矩阵可以被对角化为一个对角矩阵，其对角线上的元素即为它的特征值。
6.对称矩阵的正交补可以由它自己和它的特征向量张成，且正交补的维数等于矩阵的秩。
7.若对称矩阵A的特征值不同，则其特征向量必然线性无关。
8.可以利用对称矩阵的特殊性质，如Cholesky分解、广义逆矩阵等方法，加快算法的收敛速度。
9.对称矩阵在物理学、工程学、经济学等领域应用广泛，如刚体力学中的惯量矩阵、线性规划中的二次规划、回归分析中的杠杆效应等等。
10.对称矩阵的各种性质深受数学家们的研究，如对称矩阵的特征值分布、对称矩阵的最大和最小特征值、对称矩阵的谱聚类等等。
总之，对称矩阵是一类非常特殊和重要的矩阵，它具有许多独特的性质和应用，对于理解线性代数、数学物理等领域有着重要的作用。
对称矩阵求特征值的化简技巧
对称矩阵求特征值的化简技巧【实用版4篇】目录（篇1）1.对称矩阵的定义与性质2.求特征值的一般方法3.对称矩阵求特征值的化简技巧4.实例解析5.总结正文（篇1）一、对称矩阵的定义与性质对称矩阵是指一个矩阵与其转置矩阵相等，即 A = A^T。
对称矩阵具有一些特殊的性质，例如主对角线与副对角线元素相等，且矩阵的行列式值为 0。
二、求特征值的一般方法对于一个矩阵 A，如果存在非零向量 x 和标量λ，使得 Ax = λx，则λ称为矩阵 A 的特征值。
求特征值的一般方法有如下步骤：1.构造矩阵 A - λI，其中 I 为单位矩阵。
2.计算行列式 |A - λI|。
3.求解方程 |A - λI| = 0 的根。
三、对称矩阵求特征值的化简技巧对称矩阵在求特征值时，可以利用其特殊性质进行化简。
具体技巧如下：1.对称矩阵的特征向量是正交的。
3.对称矩阵的行列式值非负。
利用这些性质，可以简化求特征值的计算过程。
例如，对于一个 3 阶实对称矩阵 A，已知其特征值之一为λ，可以构造方程组求解其他特征值：(A - λI)x = 0(A + λI)x = 0四、实例解析假设有一个 3 阶实对称矩阵 A：A = [[1, 2, 3],[2, 4, 6],[3, 6, 9]]1.计算行列式值：|A - λI| = (λ^2 - 9)(λ^2 - 4) = 0，解得特征值λ1 = 3，λ2 = -3，λ3 = 2，λ4 = -2。
2.验证特征值：计算 A - λI 的行列式值，当λ = 3 时，|A - 3I| = 0，说明 3 是特征值；当λ = -3 时，|A + 3I| = 0，说明 -3 是特征值；当λ = 2 时，|A - 2I| ≠ 0，说明 2 不是特征值；当λ = -2 时，|A + 2I| ≠ 0，说明 -2 不是特征值。
五、总结对称矩阵在求特征值时，可以利用其特殊性质进行化简，例如特征向量正交、特征值为实数、行列式值非负等。
对称矩阵的对角化
5/3 0 2/ 3 1 3 , p 2 / 5 , p 2 5 /15 p1 2 3 2 3 1/ 5 4 5 /15
第三步
1 8, 2 3 1
Q AQ , Q AQ
T
1
5.4 实对称矩阵的对角化
二、实对称矩阵的对角化
对称矩阵对角化的步骤: (1) 求全部特征值; (2) 求特征值对应的线性无关的特征向量:
若特征值为单根,对特征向量单位化;
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
1 2 p p2 0.
T 1
1 2 , p1 p2 0. 即p1与p2正交.
T
5.4 实对称矩阵的对角化
定理3
使 Q AQ
设A为n阶对称矩阵,则必有n阶正交矩阵Q , 1 2 1
n
其中 1 ,2 , ,n 是A的全部特征值.
5.4 实对称矩阵的对角化
A:对称矩阵
1 满足Q AQ 求正交阵Q , ,
1 由A的特征值构成
2
n
Q 若特征值为单根,对特征向量单位化 若特征值为重根, 对特征向量正交化、单位化 由A的特征向量构成 Q p1 , p2 ,, pn .
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
Q ( p1 , p2 ,, pn )为正交阵,且 Q 1 AQ
5.4 实对称矩阵的对角化
( A x )T x ( x ) Ax ( x A) x ( x A ) x T T ( x ) x ( x ) x T ( )( x ) x 0TT来自TT2
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对称矩阵的基本性质
在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念.
1 对称矩阵的定义
定义1 设矩阵()ij s n A a ⨯=，记()T ji n s A a ⨯=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知：
1. 对称矩阵一定是方阵.
2. 位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即ij ji a a =，对任意i 、j 都成
立.对称矩阵一定形如1112112
22212n n n
n nn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 定义2 形式为12000000l a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l =，通常称为
对角矩阵.
定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵. 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵.由定义知：
1. 反对称矩阵一定是方阵.
2. 反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素
都为零.反对称矩阵一定形如12112
212000n n n n a a a a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
. 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.
2 对称矩阵的基本性质
性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.
性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵.
性质3设A为n阶对称矩阵（反对称矩阵），若A可逆，则1
A-是对称矩阵（反对陈矩阵）.
性质4任一n n
⨯矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.
性质5设A为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则T X AX是对称矩阵.
性质6设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A、B可交换.
1。