对称矩阵的性质
§4 对称矩阵的对角化
于是得正交阵
1 0 0 P = ( P1 , P2 , P3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2 2 0 0 −1 P AP = 0 4 0 . 0 0 4
则
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为： 1. 求A的特征值 λ1 , λ2 ,, λn ; 2. 由( A − λi E ) x = 0, 求出 A的特征向量; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5. 写出正交阵 P = ( P1 , P2 , , Pn ) ，
由于 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 . 第四步 将特征向量单位化 ξi , i = 1,2,3. 令 Pi = ξi
得
− 2 3 23 P1 = 2 3 , P2 = 1 3 , −1 3 − 2 3
2−λ −2 0 A − λE = − 2 1 − λ − 2 = (4 − λ )(λ − 1)(λ + 2) = 0 0 −2 −λ 得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = −2.
第二步 由( A − λi E ) x = 0, 求出A的特征向量
对 λ1 = 4,由( A − 4 E ) x = 0, 得 2 x1 + 2 x2 = 0 − 2 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系 ξ1 = 2 . − 1 2x + 4x = 0 2 3 对 λ2 = 1,由( A − E ) x = 0, 得
− x1 + 2 x2 = 0 2 x1 + 2 x3 = 0 2x &#ξ 2 = 1 . − 2
快速写出对称矩阵的正定分解
快速写出对称矩阵的正定分解【原创版】目录1.对称矩阵的定义与性质2.正定分解的定义与性质3.对称矩阵的正定分解方法4.举例说明对称矩阵的正定分解正文1.对称矩阵的定义与性质对称矩阵是指一个方阵，其转置等于其本身。
换句话说，如果一个矩阵 A 是一个 n×n 的方阵，并且满足 A^T=A，那么矩阵 A 就是一个对称矩阵。
对称矩阵具有一些重要的性质，如：对称矩阵的特征值是实数，对称矩阵可以正交对角化等。
2.正定分解的定义与性质正定分解是指将一个对称矩阵分解为两个正定矩阵的乘积，即 A = PDP^T，其中 P 是正交矩阵，D 是对角矩阵。
正定分解具有一些重要的性质，如：正定分解是唯一的，即对于一个给定的对称矩阵，其正定分解是唯一的；正定分解可以有效地用于求解线性方程组，迭代算法等。
3.对称矩阵的正定分解方法对称矩阵的正定分解可以通过求解线性方程组或者使用正交矩阵来进行。
其中，最常用的方法是使用正交矩阵进行分解。
具体步骤如下：（1）计算对称矩阵的特征值和特征向量；（2）将特征向量单位化，并按照特征值大小的顺序排列；（3）构造一个正交矩阵 P，其中 P 的列向量是按特征值大小顺序排列的特征向量；（4）计算对角矩阵 D，其中 D 的对角线元素是特征值；（5）计算 PDP^T，即为对称矩阵的正定分解。
4.举例说明对称矩阵的正定分解假设有一个对称矩阵 A = [[2, 1], [1, 2]]，我们需要对其进行正定分解。
（1）计算特征值和特征向量：特征值λ1 = 2, λ2 = 1，对应的特征向量分别为 v1 = [1, 1]^T 和 v2 = [1, -1]^T。
（2）将特征向量单位化，并按照特征值大小的顺序排列：v1 = [1/√2, 1/√2]^T，v2 = [1/√2, -1/√2]^T。
（3）构造正交矩阵 P：P = [[1/√2, 1/√2], [1/√2, -1/√2]]。
（4）计算对角矩阵 D：D = diag(2, 1)。
对称矩阵的相似矩阵
说明：本节所提到的对称矩阵， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 明，均指实对称矩阵． 定理5 对称矩阵的特征值为实数. 对称矩阵的特征值为实数. 定理
定理6 设λ1 , λ2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ2 , 则p1与p2正交 .
0 1 0 η1 = 1 2 , η2 = 0 , η3 = 1 2 . − 1 2 0 1 2
于是得正交阵
1 0 0 P = (η1 ,η 2 ,η 3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2 2 0 0 −1 P AP = 0 4 0 . 0 0 4
由于 ξ1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 .
ξi , i = 1,2,3. 令 ηi = ξi
第四步 将特征向量单位化
− 2 3 23 得 η1 = 2 3 , η 2 = 1 3 , −1 3 − 2 3
定理 7 设 A为 n阶对称矩阵 , λ 是A的特征方程的 r 重根, 则矩阵 A − λ E 的秩 R( A − λE ) = n − r , 从而 对应特征值 λ 恰有 r 个线性无关的特征向量 .
定理8 设A为n阶对称矩阵 , 则必有正交矩阵 P , 使 −1 P AP = Λ , 其中 Λ 是以 A的 n 个特征值为对角元 素的对角矩阵 .
5.5
则
三、小结
作 业 P162 7; 9(2); 12 ; 14
1. 对称矩阵的性质： 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数 特征值为实数； (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交 属于不同特征值的特征向量正交； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵 将其化为对角矩阵， 必存在正交矩阵， (4) 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 求特征值； 找特征向量 找特征向量； 将特征向 求特征值 量单位化；(4)最后正交化． 量单位化； 最后正交化． 最后正交化
5.4实对称矩阵对角化
1 2
1 1 0
1 2
1 1 2
.
1
1
再将2 , 3 单位化 ,
得 p2
1
2
1 0
,
p3
1 6
1 2
.
将 p1 , p2 , p3 构成正交矩阵
1 3
1 2
对应特征值 i (i 1,2, , s),恰有 r i 个线性无
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得 r i 个
单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs n知, 这样的特征向量共可得 n个.
由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这n 个单位特征向量两两正交.
解方程(A 2E)x 0 , 由
1 1 2
0 0 0
得基础解系1 对应 2 3 1 ,
1 1 1
, 将 1 单位化
解方程 组(A
,得
E)x
p1 0
1 3
,由
1 1 1
.
1 1 1 A E 1 1 1
1 1
.
并有p ( 1 1
, 2 ) 2
1 2
11
11 ,
再求出 p1
1 2
11
11 .
于是
An
pn p1
1 2
11
11 10
0 1 3n 1
11
1 2
11
2
得 1 4,
2 1, 3 2.
第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
线性代数-对称矩阵
xT Ax(xT AT )x(Ax)T x(x)T xxT x
两式相减 得 ( )xT x0
n
n
但因x0 所以 xT x xixi |xi |2 0
i1
i1
故 0 即 这就说明是实数
注意：设为实对称矩阵的特征值，故(iE A)X 0的
系数矩阵为实矩阵，故此方程组的解必有实的 基础解系，故A的特征向量也可以取为实向量。
思考题解答
解 由 A2 A可得A的特征值为1或0,又A是实对称
阵, 且秩为r , 故存在可逆阵P , 使得
P 1 AP E r 0 , 0 0
其中E r 是r阶单位阵. 从而 det(2E A) det(2P P1 P P1)
det(2E ) det E r 0
2nr .
0 2 Enr
课后作业
• P138
15，17
定理3 设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有 r 个线性无关的特征向量.
定理4 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使
P 1 AP ,其中 是以 A的 n 个特征值为对角元 素的对角矩阵.
3）把这两两正交的单位特征向量作为列向量构成正交矩阵P， 则P-1AP PT AP ，其中中元素的排列顺序应该与 矩阵P中的特征向量的排列顺序相对应。
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
性质2:设1 2是对称阵A的两个特征值 p1 p2是 对应的特征向量 若12 则p1与p2正交
对称矩阵的性质(2021年整理)
对称矩阵的性质（2021年整理）
对称矩阵是指一个矩阵的转置矩阵等于该矩阵本身，也就是说，矩阵中每个元素关于主对角线对称。
下面是对称矩阵的一些性质：
1.对称矩阵的主对角线上的元素必须是实数。
3.对称矩阵的每个特征值（即特征方程的根）都是实数。
4.对称矩阵的特征向量可以相互正交。
5.对称矩阵可以被对角化为一个对角矩阵，其对角线上的元素即为它的特征值。
6.对称矩阵的正交补可以由它自己和它的特征向量张成，且正交补的维数等于矩阵的秩。
7.若对称矩阵A的特征值不同，则其特征向量必然线性无关。
8.可以利用对称矩阵的特殊性质，如Cholesky分解、广义逆矩阵等方法，加快算法的收敛速度。
9.对称矩阵在物理学、工程学、经济学等领域应用广泛，如刚体力学中的惯量矩阵、线性规划中的二次规划、回归分析中的杠杆效应等等。
10.对称矩阵的各种性质深受数学家们的研究，如对称矩阵的特征值分布、对称矩阵的最大和最小特征值、对称矩阵的谱聚类等等。
总之，对称矩阵是一类非常特殊和重要的矩阵，它具有许多独特的性质和应用，对于理解线性代数、数学物理等领域有着重要的作用。
对称矩阵求特征值的化简技巧
对称矩阵求特征值的化简技巧【实用版4篇】目录（篇1）1.对称矩阵的定义与性质2.求特征值的一般方法3.对称矩阵求特征值的化简技巧4.实例解析5.总结正文（篇1）一、对称矩阵的定义与性质对称矩阵是指一个矩阵与其转置矩阵相等，即 A = A^T。
对称矩阵具有一些特殊的性质，例如主对角线与副对角线元素相等，且矩阵的行列式值为 0。
二、求特征值的一般方法对于一个矩阵 A，如果存在非零向量 x 和标量λ，使得 Ax = λx，则λ称为矩阵 A 的特征值。
求特征值的一般方法有如下步骤：1.构造矩阵 A - λI，其中 I 为单位矩阵。
2.计算行列式 |A - λI|。
3.求解方程 |A - λI| = 0 的根。
三、对称矩阵求特征值的化简技巧对称矩阵在求特征值时，可以利用其特殊性质进行化简。
具体技巧如下：1.对称矩阵的特征向量是正交的。
3.对称矩阵的行列式值非负。
利用这些性质，可以简化求特征值的计算过程。
例如，对于一个 3 阶实对称矩阵 A，已知其特征值之一为λ，可以构造方程组求解其他特征值：(A - λI)x = 0(A + λI)x = 0四、实例解析假设有一个 3 阶实对称矩阵 A：A = [[1, 2, 3],[2, 4, 6],[3, 6, 9]]1.计算行列式值：|A - λI| = (λ^2 - 9)(λ^2 - 4) = 0，解得特征值λ1 = 3，λ2 = -3，λ3 = 2，λ4 = -2。
2.验证特征值：计算 A - λI 的行列式值，当λ = 3 时，|A - 3I| = 0，说明 3 是特征值；当λ = -3 时，|A + 3I| = 0，说明 -3 是特征值；当λ = 2 时，|A - 2I| ≠ 0，说明 2 不是特征值；当λ = -2 时，|A + 2I| ≠ 0，说明 -2 不是特征值。
五、总结对称矩阵在求特征值时，可以利用其特殊性质进行化简，例如特征向量正交、特征值为实数、行列式值非负等。
对称矩阵的对角化
5/3 0 2/ 3 1 3 , p 2 / 5 , p 2 5 /15 p1 2 3 2 3 1/ 5 4 5 /15
第三步
1 8, 2 3 1
Q AQ , Q AQ
T
1
5.4 实对称矩阵的对角化
二、实对称矩阵的对角化
对称矩阵对角化的步骤: (1) 求全部特征值; (2) 求特征值对应的线性无关的特征向量:
若特征值为单根,对特征向量单位化;
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
1 2 p p2 0.
T 1
1 2 , p1 p2 0. 即p1与p2正交.
T
5.4 实对称矩阵的对角化
定理3
使 Q AQ
设A为n阶对称矩阵,则必有n阶正交矩阵Q , 1 2 1
n
其中 1 ,2 , ,n 是A的全部特征值.
5.4 实对称矩阵的对角化
A:对称矩阵
1 满足Q AQ 求正交阵Q , ,
1 由A的特征值构成
2
n
Q 若特征值为单根,对特征向量单位化 若特征值为重根, 对特征向量正交化、单位化 由A的特征向量构成 Q p1 , p2 ,, pn .
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
Q ( p1 , p2 ,, pn )为正交阵,且 Q 1 AQ
5.4 实对称矩阵的对角化
( A x )T x ( x ) Ax ( x A) x ( x A ) x T T ( x ) x ( x ) x T ( )( x ) x 0TT来自TT2
对称矩阵
i 0 , 1 i n .
（2） （3）由于 i 0 , 1 i n .可以取 D1 diag ( 1 , 2 , , n ) ，我们注意到 每个 i 0 且 ( i )2 = i ，因而 D1 0 . 令 P =Q D1Q ，则 P 0 .并且满足
T T T
ai xi ，则 f ( A) ai Ai 也是一
i 0 i 0
n
n
矩阵的定义（左右都可逆）易知（5）成立； （6）的证明只需注意到对于任意一个 m n 阶 矩阵 A 都满足： rankA rank ( AA ) rank ( A A) （此结论证明参见[5]、[6]） ；至于（7）
T T
x T Ax + y T A1 y 2 x T y
等号成立等价于 x A y ，即 y Ax . 性质 12 设矩阵 A 是 n 阶对称矩阵,则 rankA n 当且仅当存在 n 阶实方阵 Q ，使得
1
AQ + Q T A 正定对称阵.
证明：一方面，设 rankA n .则矩阵 A 可逆，取 Q =A ，则 AQ + Q A 2 I 是正定
-4-
对称矩阵及其性质
可见 AQ + Q A 不是正定阵，与前提矛盾，命题得证.（文献[2]）
T
性质 13
实对称矩阵 A 的特征值都是实数.
证明：利用对称矩阵（也就是 Hermite 方阵）的正交相似易知：
Q T AQ D diag (1 , 2 , , n )
其中 Q 是正交阵，并且 1 , 2 , , n 就是矩阵 A 的全体特征值.
T 1
实对称阵. 另一方面，反设 rankA n ，则存在非零的实列向量 x 使得 Ax = 0 . 对任意 n 阶实方 阵 Q ，根据 A 的对称性,有
线性代数中的对称矩阵及其对角化
线性代数中的对称矩阵及其对角化在线性代数的领域中，矩阵是一项非常关键的概念。
而对称矩阵更是其中的重要角色之一。
它们不仅具有对称性，还有着很多独特的性质和应用。
本文将从对称矩阵的定义开始，逐步深入探讨该类矩阵的多种性质及其对角化方法。
一、对称矩阵的定义对称矩阵是指一个矩阵 A，满足 A 的转置矩阵等于其本身，即A = A^T。
其中，A^T 表示 A 的转置矩阵，即将 A 中的行列交换。
例如，若 A = [1,2;2,3]，则 A^T = [1,2;2,3]。
这种对称性不仅易于计算，而且在实际应用中也很常见。
二、对称矩阵的性质1. 对称矩阵是实矩阵：由对称矩阵的定义可知，对称矩阵 A 的每一个元素都与其转置后的对应元素相等。
因此，对称矩阵的元素都是实数，即对称矩阵是实矩阵。
2. 对称矩阵的特征值都是实数：对于一个对称矩阵 A，其特征值λ 和特征向量 x 满足Ax = λx。
由于 A 是实矩阵，则 x 也必须为实向量。
于是，特征方程式det(A-λI) = 0的解λ 必须是实数。
这一性质在矩阵的谱分解及特征值问题中起到了关键作用。
3. 对称矩阵的特征向量具有正交性：假设 A 是一个 n×n 的对称矩阵，其特征向量分别为x1,x2,…,xn，对应特征值为λ1,λ2,…,λn。
则对于任意i ≠ j，有 x^T_i x_j = 0。
也就是说，对称矩阵的特征向量构成的集合是一个正交基，对于正交矩阵 P，满足 P^T=P^-1，则矩阵 P 内所有的特征向量组成的矩阵 P^-1 A P 即为对称矩阵 A的对角化形式。
三、对称矩阵的对角化对角化是将一个矩阵变为对角矩阵的过程。
对于一个 n×n 的对称矩阵 A，在其特征向量组成的正交基{x1,x2,…,xn} 中，可表示x = a1x1 + a2x2 + … + anxn其中，a1,a2,…,an 是实数。
于是有A x = λ x，即A (a1x1 + a2x2 + … + anxn) = λ (a1x1 + a2x2 + … + anxn)用 A 对上式的每一项做左乘运算，则有A aixi = λ aixi (i=1,2,…,n)即x1,x2,…,xn 分别是 A 的特征向量，λ1,λ2,…,λn 为对应的特征值。
§4 对称矩阵的对角化
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 .
ξi , i = 1,2,3. 令 Pi = ξi
第四步 将特征向量单位化
− 2 3 23 得 P1 = 2 3 , P2 = 1 3 , −1 3 − 2 3
4 0 0 ( 2) A = 0 3 1 0 1 3
λ −4
0 0
0
0 −1 = ( λ − 2 )( λ − 4 ) , λ −3
2
λE − A =
λ −3
−1
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
0 对 λ1 = 2,由( 2 E − A ) x = 0, 得基础解系 ξ1 = 1 − 1 对 λ = λ = 4,由 ( 4 E − A ) x = 0, 得基础解系
p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
定理7 定理 设 A为 n阶对称矩阵 , 则必有正交矩阵 P , 使
P AP = Λ , 其中 Λ 是以 A的 n 个特征值为对角元 素的对角矩阵 .
推论 设 A为 n阶对称矩阵, λ 是A的特征方程的 r 重根, 则矩阵 λ E − A 的秩 R(λ E − A) = n − r , 从而
2 3
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
所以 ξ1 , ξ 2 , ξ 3两两正交 .
ξi (i = 1,2,3)得 再将 ξ1 , ξ 2 , ξ 3单位化 , 令Pi = ξi
§4 对称矩阵的对角化
对称矩阵的性质
对称矩阵的基本性质
在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，
以下首先介绍一些基本概念.
1 对称矩阵的定义
定义1 设矩阵()ij s n A a ⨯=，记()T ji n s A a ⨯=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为
对称矩阵.由定义知：
2. 212n n
n nn a a a a ⎪⎪⎪⎪⎭. 00l a ⎪⎪⎪⎭的矩阵，其中1,2,,)l ，通常称为对角矩阵.
若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称2. 2120n n n a a ⎪⎪ ⎪--⎝⎭
. 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.
2 对称矩阵的基本性质
性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.
性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵.
性质3 设A 为n 阶对称矩阵（反对称矩阵），若A 可逆，则1A -是对称矩阵（反对陈矩阵）.
性质4任一n n
矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.
X AX是对称矩阵.
性质5设A为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则T
性质6设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A、B可交换.。
第四节 对称矩阵的对角化
二、对称矩阵的对角化
三、小结
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值i 为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E ) x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
当2 2 时，由 A 2 E x 0,
4 A 2 E 2 0 2 3 2 0 2 2 2 0 2 0 1 0 1 0 0
1 x3 2 x1 p3 2 . 即 得基础解系 x2 2 x1 2 1 3 只需把 p3 单位化，得 3 2 3 . 2 3
第三步
将特征向量正交化
1 1 p1 2 , 先正交化： 令 4 0 5 0 1 ( p2 , 1 ) 4 2 2 p2 1 2 2 5 5 ( 1 , 1 )
1 A E 2 0 2 0 2 0 1 2 0 0 1 2 2 0 0 1 0
2 x1 2 x2 p2 1 . 即 得基础解系 x 3 2 x 2 2 23 只需把 p2 单位化，得 2 1 3 , 2 3
2 1 2 1 2 1 2 , 得正交矩阵 T 1 , 2 , 3 3 1 2 2 4 0 0 有 T 1 AT 0 1 0 . 0 0 2
Байду номын сангаас 三、小结
对称矩阵
ij ji ,
i , j 1,2,n,
所以A为对称矩阵．
§6 对称矩阵的标准形
2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间． 证明：设 是对称变换，W为 的不变子空间． 要证 ( ) W , 即证 ( ) W . 对 W ,
§6 对称矩阵的标准形
有 即
( , ) ( , ),
( , ) ( , ).
( , ) 0
又 ,
即 , 正交．
２．
(定理7)对 A R
nn
, A A, 总有正交矩阵T，使
T AT T 1 AT diag(1 , 2 ,, n ).
所以 W 是 W 上的对称变换． 由归纳假设知
W
有n－1 个特征向量 2 , 3 ,, n
构成 W 的一组标准正交基．
§6 对称矩阵的标准形
从而 1 , 2 , 3 ,, n 就是 R n 的一组标准正交基，
又都是 R n 的特征向量． 即结论成立．
3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤
标准正交基下是相互确定的： ① 实对称矩阵可确定一个对称变换． 事实上，设 A R
nn
, A A,
1 , 2 ,..., n 为V的
一组标准正交基． 定义V的线性变换 ：
( 1 ,... n ) ( 1 ,... n ) A
则 即为V的对称变换．
§6 对称矩阵的标准形
n n i , ( j ) i , akj k akj ( i , k ) k 1 k 1
aij ( i , i ) aij
对称矩阵的技巧
对称矩阵的技巧
当我们需要判断一个矩阵是否对称，或者需要在计算中利用对称性的性质，可以使用以下技巧：
1. 对称矩阵的定义：一个矩阵A是对称矩阵，当且仅当它的转置矩阵和自身相等，即A = A^T。
因此，我们可以通过检查矩阵A和它的转置A^T是否相等来判断是否对称。
2. 对称矩阵的性质：对称矩阵的特点是关于其主对角线对称，即第i行第j列元素等于第j行第i列元素，即A(i,j) = A(j,i)。
利用这个性质可以简化计算。
3. 利用对称矩阵的性质简化计算：由于对称矩阵的性质，一些计算中可以减少计算量。
例如，在矩阵乘法中，如果两个矩阵都是对称矩阵，我们可以只计算其中一个三角部分的元素，然后对称复制得到整个矩阵。
4. 利用对称矩阵的性质提高效率：在一些算法中，如果问题可以表示为对称矩阵的计算，那么可以利用对称矩阵的性质来提高计算效率。
例如，对称矩阵的特征值都是实数，并且对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，这使得对称矩阵的特征值分解变得高效。
总结起来，对称矩阵的技巧主要包括检查对称性、利用对称性简化计算和提高计算效率。
这些技巧可以帮助我们在处理对称矩阵时更加高效地进行操作。
对称矩阵的性质及应用
科技视界Science&Technology VisionScience&Technology Vision科技视界1对称矩阵的性质定义1设A为n阶方阵,如果满足A T=A,即a ij=a ji(i,j=1,2,…,n),那么A称为对称矩阵,简称对称阵。
对称阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相等。
规定:本文中的矩阵都为实矩阵。
性质1同阶对称矩阵的和、差、数乘运算得到的矩阵仍为对称矩阵。
性质2设A为n阶方阵,则A T A,A+A T,AA T为对称阵。
性质3设A为n阶对称阵,若A可逆,则A-1,A*为对称阵。
证明:因为A为对称阵,所以A T=A,又因为A可逆,所以(A T)-1=A-1,(A-1)T=A-1,所以A-1为对称阵。
因为A*=A A-1,且A可逆,所以A≠0,由性质1可知A*为对称阵。
性质4实对称矩阵得特征值为实数。
性质5设λ1,λ2是实对称矩阵A的两个特征值,p1,p2是对应的特征向量。
若λ1≠λ2,则p1与p2正交[1]。
证明:λ1p1=Ap1,λ2p2=Ap2,λ1≠λ2。
因A对称,故λ1p1T=(λ1p1)T=(Ap1)T=p1T A T=p1T A,于是λ1p1T p2=p1T Ap2=p1Tλ2p2=λ2p1T p2,即(λ1-λ2)p1T p2=0,但λ1≠λ2,故p1T p2=0,即p1与p2正交。
性质5的推广设λ1,λ2,…,λp(p≥2)是实对称矩阵A的p个特征值,p1,p2,…,p n是对应的特征向量,若λ1≠λ2≠…≠λp,则p1,p2,…,p n两两正交。
性质6设A为n阶实对称矩阵,λ是A的特征方程的r重根,则矩阵A-λE的秩r(A-λE)=n-r,从而对应于特征值λ恰有r个线性无关的特征向量[2]。
性质7设A为n阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使P-1AP=Λ,其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。
性质8设A,B为对称矩阵,存在正交矩阵P使P T AP=B的充分必要条件是A,B的特征值全部相同。
对称矩阵求法
对称矩阵求法什么是对称矩阵？在线性代数中，一个n×n矩阵A被称为对称矩阵，如果它满足如下条件：对于任意的i和j，都有A[i][j] = A[j][i]换句话说，对称矩阵关于其主对角线对称。
主对角线是指从左上角到右下角的斜线。
例如，下面是一个3×3的对称矩阵的例子：1 2 32 4 53 5 6这个矩阵关于其主对角线是对称的，因为A[1][2] = A[2][1]、A[1][3] =A[3][1]、A[2][3] = A[3][2]。
对称矩阵的性质对称矩阵具有一些特殊的性质，这些性质使得它们在数学和计算机科学中非常有用。
性质1：主对角线上的元素都相等在一个对称矩阵中，主对角线上的元素都相等。
这是因为根据定义，A[i][j] =A[j][i]。
当i=j时，即在主对角线上时，等式变为A[i][i] = A[i][i]。
性质2：对称矩阵的转置仍然是对称矩阵如果A是一个对称矩阵，那么它的转置A^T也是一个对称矩阵。
这是因为根据定义，A[i][j] = A[j][i]。
当取A的转置时，原来在位置(i,j)上的元素变为了在位置(j,i)上的元素，而(j,i)又满足A[j][i] = A[i][j]。
性质3：对称矩阵可以通过实对称化得到任意一个方阵都可以通过实对称化得到一个对称矩阵。
实对称化是指将方阵A与其转置相加再除以2，得到一个新的对称矩阵。
例如，假设有一个3×3的方阵B：1 2 34 5 67 8 9通过实对称化运算，我们可以得到下面的对称矩阵C：1.0 3.0 5.03.0 5.0 7.05.0 7.0 9.0对称矩阵的求法现在我们来介绍几种常见的方法来求解对称矩阵。
方法1：使用已知对称矩阵的性质由于对称矩阵具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来快速求解对称矩阵。
例如，如果我们已知一个对称矩阵A，并且想求解A的转置A T。
根据性质2，A T也是一个对称矩阵。
因此，我们可以直接使用A的原始数据来构建A^T，而无需进行任何计算。
对称矩阵的性质
T
=
2 2
p A
1
T
T
T = p1 A,
于是 λ1 p 1 p2 =
⇒
T
p
T 1
Ap2 =
p (λ p )
T 1
= λ 2 p p2 ,
T 1
(λ1 − λ 2 ) p1T p2 = 0.
∵ λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交 .
T 1
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定 理 7 设 A为 n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵 P , 使 P −1 AP = Λ , 其中 Λ 是以 A的 n 个特征值为对角元 素的对 角矩阵.
∴ P = (ξ1 ,ξ 2 ) = 1 1 , P −1 = 1 1 1 , 1 −1 2 1 −1
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(
)
(
)
(3)求An,
A =P Λ P
n n −1
1 1 1 = 2 1 −1
⎛1 0 ⎞⋅ 1 1 ⋅⎜ 0 3 n ⎟ 1 −1 ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1 + 3n 1 − 3n ⎞ . = ⎜ 1 − 3n 1 + 3n ⎟ 2⎝ ⎠
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例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P ， −1 使 P AP为对角阵. ⎛ 2 −2 0 ⎞ ⎛ 4 0 0⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ (1) A = ⎜ − 2 1 − 2 ⎟ , ( 2) A = ⎜ 0 3 1 ⎟ ⎜ 0 −2 0 ⎟ ⎜ 0 1 3⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 解 (1)第一步 求 A 的特征值
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理5 对称矩阵的特征值为实数.
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对称矩阵的基本性质
在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念.
1 对称矩阵的定义
定义1 设矩阵()ij s n A a ⨯=，记()T ji n s A a ⨯=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知：
1. 对称矩阵一定是方阵.
2. 位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即ij ji a a =，对任意i 、j 都成
立.对称矩阵一定形如1112112
22212n n n
n nn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 定义2 形式为12000000l a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l =，通常称为
对角矩阵.
定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵. 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵.由定义知：
1. 反对称矩阵一定是方阵.
2. 反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素
都为零.反对称矩阵一定形如12112
212000n n n n a a a a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
. 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.
2 对称矩阵的基本性质
性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.
性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵.
性质3设A为n阶对称矩阵（反对称矩阵），若A可逆，则1
A-是对称矩阵（反对陈矩阵）.
性质4任一n n
⨯矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.
性质5设A为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则T X AX是对称矩阵.
性质6设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A、B可交换.
1。