对称矩阵的性质

对称矩阵的基本性质

在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念.

1 对称矩阵的定义

定义1 设矩阵()ij s n A a ⨯=，记()T ji n s A a ⨯=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知：

1. 对称矩阵一定是方阵.

2. 位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即ij ji a a =，对任意i 、j 都成

立.对称矩阵一定形如1112112

22212n n n

n nn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 定义2 形式为12000000l a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l =，通常称为

对角矩阵.

定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵. 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵.由定义知：

1. 反对称矩阵一定是方阵.

2. 反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素

都为零.反对称矩阵一定形如12112

212000n n n n a a a a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭

. 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.

2 对称矩阵的基本性质

性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.

性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵.

性质3设A为n阶对称矩阵（反对称矩阵），若A可逆，则1

A-是对称矩阵（反对陈矩阵）.

性质4任一n n

⨯矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.

性质5设A为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则T X AX是对称矩阵.

性质6设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A、B可交换.

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