2015年高考数学复习学案：圆锥曲线的统一定义(精)
2015年高考数学二轮专题五 第二讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
金版教程 · 大二轮复习 · 数学 · 理
主干知识整合 热点探究悟道 建模规范答题 专题知能提升
[命题全解密] 何性质．
1.命题点：圆锥曲线的定义、标准方程与几
2．交汇点：常与函数、方程、不等式、平面向量等知识交 汇考查． 3．常用方法：求圆锥曲线标准方程的方法，直线与曲线位 置关系的研究方法.
专题五 第二讲
专题五 第二讲
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[解析]
2 2
不妨设点A在第一象限，∵AF2⊥x轴，∴A(c，
2,
→ b )(其中c ＝1－b 0<b<1，c>0)．又∵|AF1|＝3|F1B|，∴由 AF1 ＝
2 2 4 5c b2 y 25 c b → 3 F1B 得B － 3 ，－ 3 ，代入x2＋ 2 ＝1得 ＋ 2 ＝1，又c2＝1 b 9 9b
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专题五
解析几何
专题五 第二讲
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第二讲
圆锥曲线的定义、方程与性质 (选择、填空题型)
专题五 第二讲
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2 y 2. [2014· 安徽高考]设F1，F2分别是椭圆E：x2＋ 2＝1(0<b<1) b
的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝ 3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
案例分析——高三一轮复习课——圆锥曲线的统一定义及应用 教学设计
这节课还充分显示出“多媒体课件”与探究合作式教学理念的有机结合的教学优势。借助于电脑多媒体课件，全体学生参与空间增大；难以理解的抽象的数学理论变得形象、生动且通俗易懂，学生拥有更多的时间自悟、自练、自查，充分发挥主体作用。
Jx16152课题高中数学新课程实践案例分析
教学案例-高三一轮复习课--圆锥曲线统一定义的建立及应用
●案例情景
（一）课程导入，问题引导
1.复习回顾：
（1）圆锥曲线方程的定义及标准方程（以焦点在x轴上为例）；
（2）从方程形式上（二次曲线）、现实生活中（天体运行轨迹）、几何上（圆锥体截面）几个方面认识圆锥曲线。
【学情预设】
根据以往的经验，多数学生看上去都能顺利解答本题,但真正能完整解答的可能并不多。
事实上，解决本题的关键在于能准确写出点A的轨迹，
在教师在黑板上给出图形之后，只要引导学生从定义出发，这个问题对学生们来讲就不难了，因此面对例2（1），多数学生应该能准确给出解答，
对于例2（2），只要引导学生往统一定义上去想，也很快能够解决；
（3）已知点P（－2，3）及焦点为F的抛物线 ，在抛物线上求一点M，使|PM|+|FM|最小。
4．已知A（4，0），B（2，2）是椭圆 内的点，M是椭圆上的动点，求|MA|+|MB|的最小值与最大值。
●案例自析
【意图分析】
一、教学内容分析
本课阅读教材选自高中数学《选修2-1 数学》(北师大版)第三章圆锥曲线与方程的内容。
圆锥曲线定义
圆锥曲线定义
圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。
当e\ue1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0\uce\uc1时，为椭圆，当e=0时，为一点。
当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
平面内一个动点至一个定点与一条的定直线的距离之比是一个大于1的正常数e。
平面内一个动点至两个定点（焦点）的距离和等同于定长2a的点的子集（设动迪潘县p，两个定点为f1和f2，则pf1+pf2=2a）。
根据e的范围不同，曲线也各不相同。
具体如下：
1) e=0，轨迹为一点或一个圆；
2) e=1（即到p与到l距离相同），轨迹为抛物线；
3) 0\uce\uc1，轨迹为椭圆；
4) e\ue1，轨迹为双曲线。
高三数学(文科)一轮学案【第45-46课时】圆锥曲线的统一定义
一、复习目标：1、用联系的观点看圆锥曲线的统一定义，学会圆锥曲线几何性质的简单综合应用2、进一步体会转化与化归、数形结合以及分类讨论等数学思想.二、知识梳理：1、圆锥曲线的统一定义为：___________时为椭圆。
时为双曲线。
时为抛物线。
2、焦半径公式（焦点在x 轴上）①椭圆②双曲线③抛物线三、基础训练：1、双曲线221169x y 右支上一点P 到右焦点的距离为2，则P 到左准线距离是___________.2、一动圆圆心在抛物线22x y 上，过点1(0,)2且恒与定直线l 相切，则直线l 的方程为3、圆锥曲线2214x y a 的一条准线方程是8x ，则a 的值为____________.4、方程22(2)(2)3x y x y 表示的曲线是_____ _________5、把椭圆2212516x y 的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P 1，P 2…P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127||||...||PF PF PF 的值为6、为抛物线24y x 的焦点，,,A B C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ，则FA FB FC _______________7、若双曲线11213y x 一支上有三点A(x 1,y 1)、B(26,6)、C(x 3,y 3),若A 、B 、C 三点到焦点的距离成等差数列，则13y y = .8、已知A （112，3）为一定点，Ｆ为双曲线221927x y 的右焦点，Ｍ在双曲线右支上移动，则|AM|＋12|MF|最小为__________，求Ｍ点的坐标为__________.四、例题讲解：1、（1）已知直线1:4360l x y 和直线2:1l x ，抛物线24y x 上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（2）已知椭圆22:12x C y 的右焦点为F,右准线l ，点A l ，线段AF 交C 于点 B.若3FA FB ,则AF =2、已知椭圆221(0)xy a b a b的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c ，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F ，则该椭圆的离心率的取值范围为．3、双曲线22221xy a b 的右支上存在一点P ，使得P 到右焦点2F 的距离为1PF 与P 到右准线的距离的等比中项，求双曲线离心率的取值范围。
《2.2.4圆锥曲线的统一定义》教学案1
《2.2.4圆锥曲线的统一定义》教学案教学目标：(1)了解圆锥曲线的共同特征.(2)熟练利用坐标法求解曲线方程.(3)培养类比、联想、归纳、总结的能力.教学重点、难点：重点:圆锥曲线统一定义的推导难点：对圆锥曲线统一定义的理解与运用.教学程序设计：(1)创设情境，引入新课：用平面截取圆锥面，得到椭圆、抛物线、双曲线，它们都是由平面截圆锥面所得，因此都称为圆锥曲线，这节课我们就一起来研究圆锥曲线的统一定义.(这个问题的设计：起了承上启下的作用，承上：前面的圆锥曲线第一定义，启下：本节所研究的圆锥曲线的统一定义，通过多媒体的演示，激发学习和探究知识的兴趣；通过图象说明问题.由“形”上共同特点类比得出“数”上的共同特点.)为了便于下面的探索活动，我设计知识回顾.复习回顾：1．平面内到两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做____．表达式：2．平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于F 1F 2且不等于零)的点的轨迹叫做______．表达式：3．平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做______．表达式：(这个环节的设计：是引导学生复习回顾旧知，为新知的探究打好基础.)接下来，我设计了问题1：(2)提出问题，探究新知y )到定点F (2，0)的距离和它到定直线x =-2的距离的比是常数1，问题1：曲线上点M (x ，求曲线的方程.(这个问题学生可能会从两个角度求解：1.定义法，2.坐标法，肯定定义法，强化坐标法的运用，为问题2，3的解决做好铺垫，强调如何解决有关根式化简的问题.由学生通过实物投影仪展示他们的解题过程，由其他学生点评，培养学生叙述和书写的正规化，完善学生的知识结构.这个问题的设计：是为了进一步让学生熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神)(在充分肯定学生回答后，依次提出)问题2：曲线上点M(x，y)到定点F(2，0)的距离和它到定线l:x=8的距离的比是常数曲线还是抛物线吗？如果不是，又会是什么呢？问题3：曲线上点M(x，y)到定点F(-4，0)的距离和它到定线l:x=-1的距离的比是常数2，求曲线的方程.曲线还是抛物线或者椭圆吗？如果不是，又会是什么呢？(学生同样采用分组讨论，通过实物投影仪展示解题过程，这样的设计：是让学生经历知识和方法产生和发现过程，进而得出解决同类问题的一般方法，同时也给学生渗透了探究问题的基本思路——由特殊到一般.)通过上面3个问题的研究，提出问题4：让学生们观察对比动点到定点和到定直线的距离的比值，与该动点轨迹图形有什么关联呢？分组讨论交流，最后由学生表述结论，老师最后给出标准的圆锥曲线的统一定义，结论：椭圆、抛物线、双曲线都可以看作到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数e的点的集合.当0<e<1时，圆锥曲线是椭圆；当e >1时，圆锥曲线是双曲线；当e=1时，圆锥曲线是抛物线.其中常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F叫做圆锥曲线的焦点，定直线l就是该圆锥曲线的准线.(强调比值的顺序性)强调此定义中三个关键词：比值、定点、定直线，并分别给予定义.(这个环节的设计：突出了本节课的重点，圆锥曲线的统一定义，通过学生展示解决问题的方法，培养学生的语言表达能力和沟通能力，增强学生思维的严谨性，重点和难点初步突破.把学生学习数学的过程转变为学生对数学知识的“再创造”过程，体验数学发现和创造的历程，为学生形成积极探究的学习方式，创造有利条件，发展了学生的创新意识.培养学生的类比、联想、归纳、概括能力)通过课前的预习学生知道抛物线只有一个焦点和一条准线，而椭圆和双曲线都有两个焦点和两条准线，强调焦点准线对应关系.为了巩固圆锥曲线的统一定义，我设计如下的例题：(3)巩固新知，深化理解例求证：通过椭圆的两个焦点的直线垂直于椭圆的一条准线.证明：如图，已知圆锥面S.平面σ截S所得截线为一椭圆.圆锥面的两个内切球O1和O2分别与平面σ相切于点F1和F2.球O1的切点圆所在的平面记为平面δ，平面δ和平面σ相交于直线l，则l为椭圆的准线.1，2分别作球的半径O 1F 1和O 2F 2，则O 1F 1⊥平面σ，O 2F 2⊥平面δ因此O 1F 1//O 2F 2，O 1F 1和O 2F 2确定一平面O 1O 2F 1.平面σ的交点必在F 1F 2上，并且F 1F 2为O 1O 2在平面所以直线F 1F 2为平面O 1O 2F 1与平面σ的交线，O 1O 2与σ内的射影.又因为直线l 是平面σ和平面δ的交线，所以O 1O 2⊥l ，从而F 1F 2⊥l .(三垂线定理)即通过椭圆两个焦点的直线垂直于椭圆的准线.为了让学生与已经学过的圆锥曲线第一定义联系起来，我设计如下的变式训练：(4)．变式探究，强化方法x 2y 2变式训练：已知双曲线-=1上一点P 到其左焦点的距离是10，求点P 到右准线的169距离.(此题是双曲线的两个定义的综合应用，强调焦点与准线的关系.)为了检查学生本节课对圆锥曲线的统一定义掌握情况，我设计了以下当堂检测.(5)．知识应用【当堂检测】：1.动点P 到点(3，1)的距离与它到直线x =8的距离之比为3，则点P 的轨迹是；2.动点P 到点(-1，2)的距离与它到直线x =8的距离之比为0.8，则点P 的轨迹是；3.动点P 到点(6，0)的距离与它到直线x =-9的距离相等，则点P 的轨迹是；4.动点P 到直线x =6的距离与它到点(2，1)的距离之比为0.5，则点P 的轨迹是；5．已知双曲线4x 2－9y 2 =36，①若双曲线右支上的点P 到右焦点的距离为2，求它到左焦点的距离.②若双曲线右支上的点P 到右焦点的距离为2，求它到左准线的距离.③求双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比.(这5题由浅入深，符合学生的思维发展规律，目的是突出重点，突破难点.)(6)．课堂小结(通过小结使学生理清本节知识的脉络和使用方法)。
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
2 12丄2(X ∙ a)a y_ 2b2 2.22b丄 b2・・讨=X — Xa a圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲 线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、 四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e,则当O ：：： e ：：： 1时， 动点P 的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P 的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P 的轨迹是双曲线；若e = O ,我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值(非零)，则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为 焦点，L 为准线。
二、 四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们 把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P ,则P =L 。
a2 2如图1 ,将椭圆罕■笃=1(a b O)按向量(a,O )平移a b二椭圆的方程可写成 y 2 = 2 px ' (e 2 -1) χ2( O ：：: e ：：: 1 )2 2类似的，如图2，将双曲线 —--^2 -1(a - O, b - O)按向量(-a, O)平移得到a b得到2(X -a)2a2 2bb2…y = X ~ Xaa•••椭圆的半通径 b 2 IF I M I |= p =—，ab 2~ =1 —eT 双曲线的半通径IF 2M 2I = L , b y =e 2 一1a a∙°∙双曲线方程可写成y = 2 px ∙ (e? 一 1)χ2 (e . 1)对于抛物线y 2 =2px(x .0) P 为半通径，离心率e =1，它也可写成2 2 2y 2 px (e -1) X (e =1)对于圆心在(P ，0)，半径为P 的圆，其方程为(X- p)2 + y 2 = p2，它也可 写成『=2 px 亠(e T)x?(^= 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2 =2px (e 2 -1)x 2 ,其中P 是曲线的半通径长，当e=0，0 ::： e ::： 1， e =1,e . 1时分别表示圆、椭圆、 抛物线、双曲线。
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
圆锥曲线间的三个统一之袁州冬雪创作内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导教师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内涵的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论.一、四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的间隔到定直线L 的间隔之比等于常数e ，则当01e <<时，动点P 的轨迹是椭圆：当1e =时，动点P 的轨迹是抛物线；当1e >时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e =，我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的间隔为定值（非零），则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为核心，L 为准线.二、四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状.为了实现统一我们把椭圆、双曲线停止平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为p ，则2b p a=. 如图1，将椭圆22221(0)x y a b a b+=>>按向量（,0a ）平移 得到2222()1x a y a b -+=∴222222b b y x x a a=+ ∵椭圆的半通径211||b F M p a ==，2221b e a=- ∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x =+-(01)e <<近似的，如图2，将双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>按向量(,0)a -平移得到 2222()1x a y a b +-=∴222222b b y x x a a=+ ∵双曲线的半通径222||b F M a =，2221b e a=- ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+->对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成2222(1)(0)y px e x e =+-=于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别暗示圆、椭圆、抛物线、双曲线.三、四种圆锥曲线的统一核心坐标、准线方程和焦半径公式在同一坐标系下，作出方程2222(1)y px e x =+-所暗示的四种圆锥曲线，如图3，设P 、B 、A 、C 分别是圆的圆心，椭圆的左核心、抛物线的核心、双曲线的右核心统一记为2222(1)y px e x =+-的核心F 则有222(1)(1)11c a a e P OC c a e a c e e --=-===>+++ (1)21p p OA e e ===+，222(1)(01)11a c a e p OB a c e a c e e --=-===<<+++即方程2222(1)y px e x =+-所暗示的四种圆锥曲线的一个核心为(,0)1p F e +，设核心F 相应的准线为x m =，则有OFe m =-. ∴准线L 为(1)p x m e e -==+，对于圆0e =暗示准线L 在无限远处，设点00(,)M x y 为曲线2222(1)y px e x =+-上在y 轴右侧的动点，则点M 对核心F 的焦半径00||()1p mF e x m ex e =-=++. 圆锥曲线的内涵统一，使我们可以将圆、椭圆、双曲线和抛物线有机地接洽起来，从而更好地懂得圆锥曲线的含义，更好地运用圆锥曲线处理实际问题.圆锥曲线中的数学思想方法内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导教师：薛红梅在处理圆锥曲线的有关问题时，数学思想方法尤为重要，通过对我们平时所遇到的例题及习题的归纳、总结，可以得出以下一些关于圆锥曲线问题中的数学思想方法，帮忙我们处理问题.思想方法一：分类讨论思想例1. 给定抛物线22y x =设(,0)A a ()a R +∈，P 是抛物线上的一点，且||PA d =，试求d 的最小值.解：设00(,)P x y (0)x ≥，则2002y x = ∴||d PA ====又a R +∈，00x ≥∴（1）当01a <<时，10a ->，此时有00x =（2）当1a ≥时，此时有01x a =-评注：引起分类讨论的情况有：参数的取值范围、去相对值符号、大小关系不等式等，在讨论中要思维全面，谨严，做到不懂不漏.思想方法二：转化思想例2 已知过点A （―2，―4）且斜率为1的直线L 交抛物线22(0)y px p =>于B 、C 两点，若|AB|、|BC|、|CA|成等比数列，求抛物线方程.解：直线L 的方程为2y x =-设B （11,x y ），22(,)C x y由222y x y px=-⎧⎨=⎩ 得22(2)40x p x -++= ∴122(2)x x p +=+124x x =∵|AB|、|BC|、|CA|成等比数列 ∴||||||||BC CA AB BC = 过A 作直线l '∥x 轴，设B 、C 在l '上的射影分别是B '，C ' 则211||||||||2x x BC B CAB AB x ''-=='+2212||||||||x CA C A BC B A x x '+==''- ∴21222122x x x x x x -+=+- 即22112()(2)(2)x x x x -=++ ∴212121212()42()4x x x x x x x x +-=+++得24(2)1644(2)4p p +-=+++ 化简为2340p p +-=解得1p =知足1∆>或4p =-（舍去）故所求的抛物线方程为22y x =评注：如何将“|AB|、|BC|、|CA|成等比数列”这一条件转化为A 、B 、C 三点坐标间的关系是解题的关键，本题巧妙运用了“投影”方法将这一条件转化为在水平线上的三线段之间的比例关系，从而达到转化的目标.思想方法三：化归思想例3 直线L ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于分歧的两点A 、B.（1）求实数k 的取值范围.（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆颠末双曲线C 的右核心.解：（1）将直线L 的方程1y kx =+代入双曲线C 的方程2221x y -=，得22(2)220k x kx -++=①依题意直线L 与双曲线C 的右支交于分歧两点∴2222220(2)8(2)02220,022k k k k k k k ⎧⎪-≠⎪∆=-->⇒-<<⎨⎪⎪->>--⎩2）设A 、B 两点的坐标分别为1122(,)(,)x y x y则由①可得 12222kx x k +=-，12222x x k =-② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆颠末双曲线C 的右核心F （c ，0）则由FA⊥FB 得1212()()0x c x c y y --+=整理得：221212(1)()()10k x x k c x x c ++-+++=③把②式及2c =代入③式化简得：2560k +-=∴k =或(2,k =-（舍去）∴k =使得以AB 为直径的圆颠末双曲线C 的右核心F. 评注：处理数学问题的过程，实质就是在不竭转化与化归的过程.应在解题时注意思维调控，恰当转化解题途径，使解题更加便捷.思想方法四：数形连系思想例 4 函数y 的最大值是________.分析：原式定曲线2y x =上的动点(,)p x y 到两定点A （3，2），B （0，1）的间隔之差，要求其最大值.||||||y AP PB AB =-≤==max y 评注：操纵问题模子的几何意义，借助图形性质来处理问题，可以使抽象问题详细化，复杂问题简单化.思想方法五：函数与方程思想例5 斜率为2的直线与等轴双曲线2212x y -=相交于两点12,P P ，求线段12PP 中点的轨迹方程.解：设直线方程为2y x m =+代入双曲线方程得2234120x mx m +++=∵直线与双曲线相交于12,P P∴22(4)43(12)0m m ∆=-⨯⨯+>∴6m >或6m <-设12,P P 的坐标为11(,)x y 22(,)x y ，线段12PP 中点为(,)x y 则12223x x x m +==-且4x <-或4x >∴32m x =- 代入直线方程得： 所求轨迹方程为12y x = （4x >或4x <-） 思想方法六：构造思想例6 已知,x y 知足2211625x y +=，求3y x -的取值范围. 解：令3y x -=b ，则3y x b =+ 原问题转化为：在椭圆2211625x y +=相切时，有最大截距与最小截距 由22311625y x bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得2216996164000x bx x ++-= 由0∆= 得13b =±∴3y x =的取值范围为[－13，13]评注：应用构造思想解题的关键有①要有明白方向，即为何构造②要弄清条件的实质特点，以便停止逻辑组合.思想方法七：对称思想例7 在直线L ：90x y --=上任取一点M 过M 且以椭圆221123x y +=的核心为核心作椭圆.问M 在何处时，所作的椭圆长轴最短，并求出其方程. 解：∵221123x y +=的两核心12(3,0),(3,0)F F -，1F '是1F 关于L 的对称点又11F F '的直线方程为30x y ++=与90x y -+=联立，求得1(9,6)F '-，这时12F F '的方程为230x y +-=23090x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 得(5,4)M =- 这时122||a F F '==∴椭圆方程为2214536x y += 评注：用对称思想解题，不但可以操纵对称的性质，沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的处理.思想方法八：参数思想例8 在椭圆2244x y x +=上，求使22z x y =-取得最大值和最小值的点P 的坐标. 解：将已知方程转化为22(2)141x y -+= 设椭圆上动点P 为(22cos ,sin )θθ+∴22z x y =-=222241(22cos )sin 5cos 8cos 35(cos )55θθθθθ+-=++=+-∴当4cos 5θ=-，即点P 坐标为23(,)55或23(,)55-时，min 15z =- 当cos 1θ=，即点P 坐标为（4，0）时，max 16z =评注：参数法是很重要的一种方法，特别是求最值问题、不等式问题，引入参数往往能减少变元，防止繁琐的运算.总之，数学思想方法会有很多，而且分歧的题目也会有分歧的方法，在解题过程中不竭地反思，总结经历，对规律性的东西加以归纳整理，在平时操练或测验中加以应用，必定可以以简驭繁，事半功倍，使解题建立在较高水平上.。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义一、椭圆的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()01ce e a=<<时,这个点的轨迹是椭圆.一般称之为椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率. 2.推导过程:例1 点()M x y ,与定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数()0ca c a>>,求点M 的轨迹.解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭. 由此得222()x c y c aa x c-+=-. 将上式两边平方,并化简,得22222222()()a c x a y a a c -+=-. 设222a cb -=,就可化成22221(0)x y a b a b+=>>.这是椭圆的标准方程,所以点M 的轨迹是长轴长为2a ,短轴长为2b 的椭圆. 二、双曲线的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()1ce e a=>时,这个点的轨迹是双曲线圆.一般称之为双曲线的第二定义,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率. 2.推导过程:例2 点()M x y ,到定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数()0cc a a>>,求点M 的轨迹. 解:设d 是点M 到直线l 的距离.根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, 由此得222()x c y c aa x c-+=-,化简,得22222222()()c a x a y a c a --=-. 设222c a b -=,就可化为22221(00)x y a b a b-=>>,这是双曲线的标准方程,所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线(如图1).对于双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，,相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =,根据双曲线的对称性,相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-,所以双曲线有两条准线.三、几点说明:1.圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于常数e 的点的轨迹:0<e <1时, 它表示椭圆；e >1时, 它表示双曲线；e =1时, 它表示抛物线,这里e 为离心率, F 为焦点,l 为准线2.第二定义中的定直线是任意直线,定点也是任意的(不在定直线上),这样得到的圆锥曲线方程不一定是标准形式.3.应用圆锥的第二定义要把握两个关键点:①必须是点到焦点的距离与点到相应准线的距离的比；②必须是焦点距与对应准线距的比.四、第二定义的典型应用 1、直接应用与求焦点弦长.例 1 (1)椭圆22110064x y +=上有一点P ,它到椭圆的左准线的距离等于10,则点P 到它的右焦点的距离为 ；(2)过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,A x y B x y ,,,若126x x +=,则AB 的长为 .解:(1) 解:∵2210064a b ==，,∴22100646c a b =-=-=.∴63105c e a ===. 依椭圆的第二定义,设P 点到椭圆左焦点的距离为x ,则3105x =.∴6x =. ∴点P 到椭圆右焦点距离为210614⨯-=.(2)设AB 的中点为E,点A 、E 、B 在抛物线准线l :1x -=上的射影分别为G 、H 、M.由第二定义知:8)1(2x x 2|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |21=--+==+=+=. 2、求离心率及其取值范围.例2 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ,右准线为l 1,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离,求椭圆的离心率.解:如图,AB 是过F 1垂直于x 轴的弦,|C F |1为F 1到准线l 1的距离,AD ⊥l 1于D,则|AD|=|F 1C|,由题意知|AB |21|AF |1=.由椭圆的第二定义知:21|AB ||AB |21|C F ||AB |21|AD ||AF |e 11==== 例3 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>,12F F ,分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P ,使∠F 1PF 2=90°,求椭圆的离心率e 的取值范围.解:设点P(00y x ，),则由第二定义得0201ex a c a x e |PF |+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=,0022ex a x c a e |PF |-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 因为21F PF ∆为直角三角形,所以2212221|F F ||PF ||PF |=+.即222020c 4)c 2()ex a ()ex a (==-++解得2222e a c 2x -=,由椭圆方程中x 的范围知220a x 0≤≤.2222a e a c 20<-≤∴,解得1e 22<≤. 3、求点的坐标例4 双曲线2213y x -=的右支上一点P ,到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2:1,求点P 的坐标.解:设点P(00y x ，)(0x 0>),双曲线的左准线为l 1:21x -=,右准线为l 2:21x =,则点P 到l 1、l 2的距离分别为21x d 21x d 0201-=+=，.所以,1221x 21x d d PF PF 002121=-+==,解得23x 0=. 将其代入原方程,得215y 0±=.因此,点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±21523，. 4、求最值例5 已知点()23A -，,设点F 为椭圆2211612x y +=的右焦点,点M 为椭圆上一动点,求2MA MF +的最小值,并求此时点M 的坐标.解:如图,过点A 作右准线l 的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M.∵椭圆的离心率21e =∴由第二定义得|MN ||MF |2= ∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长,且1082|AN |=+=∴|MF |2|AM |+的最小值为10,此时点M 的坐标为(32,3).巩固练习:1.椭圆222214x y b b+=上一点到右准线的距离是23b ,则该点到椭圆左焦点的距离为 .解:设该椭圆的的左右焦点分别是12,F F ,该椭圆的离心率为3e =,由圆锥曲线的统一定义可知,23232332PF e b b b =⋅=⨯=所以,12443PF b PF b b b =-=-=即该点到椭圆左焦点的距离为b .2.点P 在椭圆225x +29y =1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 的横坐标是_____.12253.椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2PF 等于 .27解法一:(如下图)设椭圆的右焦点为F 1,左焦点为F 2,过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1,∴a =2,b =1,c =3.∴F 1(3,0).设P (3,y P )代入42x +y 2=1,得y P =21,∴P (3,21),|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4,∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二:椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23,∴|PF 2|=27. 解法三:由解法一得P (3,21),又F 2(－3,0),∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.4.如果双曲线264x －236y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么P 到它的右准线距离是 .532解析:利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=532. 5.点M 与点()4,0F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程为 . 解:可知原条件⇔M 点到(4,0)F 和到4x =-距离相等,由抛物线的定义,点M 的轨迹是以(4,0)F 为焦点,4x =-为准线的抛物线.∴8=p ∴所求方程是x y 162=.6.已知P 为抛物线24y x =上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定点A (4,5),则PA d +的最小值为 .134-7.已知点()()3220A F ，,，,在双曲线2213y x -=上求一点P ,使12PA PF +的值最小.解:∵1a b ==，∴2c =,∴2e =.设点P 到与焦点(20)F ，相应的准线的距离为d ,则2PFd=, ∴12PF d =.∴12PA PF PA d +=+,该问题就转化为在双曲线上求点P ,使点P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小,即直线PA 垂直于准线时符合题意,∴23P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.8.定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动,设点M 为线段AB 的中点,求点M 到y 轴的最小距离. 解:抛物线焦点1(,0)4F ,准线l :14x =-, 设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ,设点00(,)M x y , 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥,又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥, 又101|4MM x =+,||3AB =,∴01342x +≥,所以054x ≥,即0x 的最小值是54.∴点M 到y 轴的最小距离是54,当且仅当AB 过点F 是取得最小距离.9.已知双曲线22x a -22y b=1的离心率e >12+,左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l ,能否在双曲线的左支上找一点P ,使得212PF PF d =⋅(其中d 是P 到l 的距离)?解:设在左支上存在P 点,使|PF 1|2=|PF 2|·d ,由双曲线的第二定义知d PF ||1=||||12PF PF =e ,即|PF 2|=e |PF 1|. ①再由双曲线的第一定义,得|PF 2|－|PF 1|=2a . ②由①②,解得|PF 1|=12-e a ,|PF 2|=12-e ae ,∵|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,∴12-e a +12-e ae≥2c . ③ 利用e =ac,由③得e 2－2e －1≤0,解得1－2≤e ≤1+2.∵e >1, ∴1<e ≤1+2与已知e >1+2矛盾.∴在双曲线的左支上找不到点P ,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项.10.已知点P 在双曲线221169x y -=上,并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰好是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,求P 点的横坐标.M1M。
圆锥曲线的统一定义
高中数学（一轮复习）学案（69）------圆锥曲线的统一定义班级 姓名 学号一、考纲点击了解圆锥曲线的统一定义，回顾圆锥曲线的几何性质，并能简单应用.二、基础达标1.圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在定直线l 上）的距离之比为一个常数e .这个常数e 叫做圆锥曲线的_________定点F 就是圆锥曲线的_________，定直线l 就是该圆锥曲线的___________．椭圆的离心率满足__________,双曲线的离心率满足________________，抛物线的离心率满足______________．2.椭圆13610022=+y x 的焦点坐标为________________离心率为___________准线方程为____________________．3. 双曲线1322=-y x 上一点P 到左焦点的距离为2，则点P 到左准线的距离为 .4.已知椭圆13610022=+y x 上有一点P 到左、右焦点的距离之比为3:2，则点P 到右准线的距离为 ．5．抛物线x y 42=上一点A 到焦点的距离为5，则点A 到y 轴的距离是__________.三、例题讲解：例1．已知点)2,2(A ，若F 是抛物线x y 42=的焦点，点P 是抛物线上的动点，则当PF PA +最小时，求点P 的坐标．变式1．变式2．变式3．已知定点)3,2(-A ，点F 位椭圆1121622=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上运动，求MF AM +的最小值，并求此时点M 的坐标．变式4．练习．已知定点)3,5(A ，点F 为双曲线191622=-y x 的右焦点，点M 在此双曲线上运动，求MF AM 54+的最小值，并求此时点M 的坐标．小结．。
圆锥曲线的统一定义
左焦点的距离为14，求P点到右准线的距离.
x2 y2 上一点P到 1 64 36
(2)椭圆
x2 y 2 1 25 9
的左右焦点分别为F1、F2
90° , 求ΔF1PF2的面积. 60 P为椭圆上一点,且∠F1PF2=90°
轨迹方程的思考:
例2.已知点P到定点F(1,0)的距离与它到定直线
l1
y
l2 M2 P
M1
P
O
d2
M2 x F1
d2
F1
.
.
F2
.
M1
O
.
F2 P′
x
d1
a 准线: x c
2
PF1 PF2 e 定义式: d1 d2
标准方程
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
图形
焦点坐标
准线方程
a2 x c a2 y c a2 x c
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定 直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛 物线,此时PF/d=1.
探究与思考:
若PF/d≠1呢?
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样 一个式子：
2、左焦点与左准线对应，右焦点与右准线对应，不能混淆， 否则得到的方程不是标准方程。
3、离心率的几何意义：曲线上一点到焦点的距离与到相应 准线的距离的比。
x y 2 1(a b 0) 2 a b
l1 d1 y l2
2
2
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
l : x 5的距离的比是常数
上课圆锥曲线的统一定义
a cx a ( x c) y
2 2
2
将其变形为:
你能解释这个式子的几何意义吗？
圆锥曲线统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比 为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点,
定直线l就是该圆锥曲线的准线.
思考
1、上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，还有 另一焦点，是否还有另一准线？ 2、另一焦点的坐标和准线的方程是什么？ 3、题中的|MF|=ed的距离d到底是到哪一条准线 的距离？能否随意选一条？
1、对于焦点在x轴上的椭圆、双曲线有两个焦点，两条准线， 相对于焦点F2（c,0）的准线是x=a2/c；相对于焦点F1（-c,0） 的准线是x=-a2/c
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定 直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛 物线,此时PF/d=1.
探究与思考:
若PF/d≠1呢?
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样 一个式子：
答案 8
课前预习
课堂互动
课堂反馈
方向1 应用统一定义转化求最值
x2 y2 【例 3】 已知椭圆 ＋ ＝1 内有一点 P(1，－1)，F 是椭圆 8 6 的右焦点，在椭圆上求一点 M，使 MP＋2MF 的值为最小.
解
设 d 为 M 到右准线 l 的距离.
圆锥曲线的统一定义复习
圆锥曲线的统一定义班级： 姓名： 组内评价： 教师评价： 【学习目标】1、掌握圆锥曲线的统一定义，并能进行简单应用2、会写出圆锥曲线的准线方程．【重难点】圆锥曲线统一定义的应用 【自主预习案】 知识梳理：1、圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于e 的点的轨迹， 当10<<e 时，它表示椭圆； 当1>e 时，它表示双曲线； 当1=e 时，它表示抛物线．2、对于椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 和双曲线)00(2222>>=-b a by a x ，中，与)0,(c F 对应的准线方程是l ：c a x 2=，与)0,(c F -')对应的准线方程是l '：ca x 2-=；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为：ca y 2±=3、圆锥曲线的焦半径定义：连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径 ①椭圆：点P 到右焦点2F 焦半径：a cx c aPF e d PF =-==222⇒ex a PF -=2，],[a a x -∈⇒],[2c a c a PF +-∈ 点P 到右焦点1F 焦半径：a ccax PF e d PF =+==211⇒ex a PF +=2，],[a a x -∈⇒],[1c a c a PF +-∈②双曲线：点),(y x P 在右支上：a ca caPF e d PF =-==222⇒a ex PF -=2，）+∞∈,[a x ⇒）+∞-∈,[2a c PF【合作探究案】探究问题一：圆锥曲线统一定义求基本量1、中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为12的椭圆的标准方程是_______．2、双曲线x 215－y 2＝1的准线方程为________．3、焦点坐标为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则准线方程为x ＝±52的椭圆的标准方程为______.4、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，右准线为x ＝12，则右焦点的坐标为________．探究问题二：利用圆锥曲线的统一定义求距离问题1、已知抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为2、已知双曲线252x －92y =1的左支上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜等于 （ ）A ．4B ．2C ．1D ．32 3、椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若PF 1＝3PF 2，则P 点到左准线的距离是________．4、椭圆x 225＋y 29＝1上点P 到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________．5、已知椭圆192522=+y x 上一点到左准线的距离为5，则它到左焦点的距离为 6、已知双曲线14922=-y x 上一点P 到右焦点距离为3，则P 到左准线的距离为 探究问题三：利用圆锥曲线统一定义转换求最值1、已知P 为双曲线2213x y -=右支上的一个动点，F 为双曲线的右焦点，若点A 的坐标为(3,1)，则2|||PA PF 的最小值是__2、已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点．(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值；(2)求MB ＋54MA 的最小值及此时点M 的坐标．3、已知双曲线x 24－y 212＝1和点A (4,1)，F 是双曲线的右焦点，P 是双曲线上任意一点，求P A ＋12PF 的最小值．探究问题四：利用圆锥曲线的统一定义求离心率1、已知椭圆)0(2222>>=+b a by a x 的焦点到相应准线距离等于a ，则椭圆的离心率为2、已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的一条准线方程为x ＝32，则a ＝______，该双曲线的离心率为______．3、椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是4、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该离心率e 的取值范围是 ．圆锥曲线的统一定义班级： 姓名： 组内评价： 教师评价： 【学习目标】1、掌握圆锥曲线的统一定义，并能进行简单应用2、会写出圆锥曲线的准线方程．【重难点】圆锥曲线统一定义的应用 【自主预习案】 知识梳理：1、圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于e 的点的轨迹， 当10<<e 时，它表示椭圆； 当1>e 时，它表示双曲线； 当1=e 时，它表示抛物线．2、对于椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 和双曲线)00(2222>>=-b a by a x ，中，与)0,(c F 对应的准线方程是l ：c a x 2=，与)0,(c F -')对应的准线方程是l '：ca x 2-=；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为：ca y 2±=3、圆锥曲线的焦半径定义：连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径 ①椭圆：点P 到右焦点2F 焦半径：a cx c aPF e d PF =-==222⇒ex a PF -=2，],[a a x -∈⇒],[2c a c a PF +-∈ 点P 到右焦点1F 焦半径：a ccax PF e d PF =+==211⇒ex a PF +=2，],[a a x -∈⇒],[1c a c a PF +-∈②双曲线：点),(y x P 在右支上：a ca caPF e d PF =-==222⇒a ex PF -=2，）+∞∈,[a x ⇒）+∞-∈,[2a c PF【合作探究案】探究问题一：圆锥曲线统一定义求基本量1、中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为12的椭圆的标准方程是_______．x 23＋y 24＝12、双曲线x 215－y 2＝1的准线方程为________．解 易知a 2＝15，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝16，即c ＝4，则双曲线的准线方程为x ＝±154.3、焦点坐标为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则准线方程为x ＝±52的椭圆的标准方程为______.解由题意知c ＝2，则a 2c ＝a 22＝52，故a 2＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆的方程为x 25＋y 2＝1.4、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，右准线为x ＝12，则右焦点的坐标为________．解据题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2c ＝12，解得a ＝1，c ＝2，则右焦点的坐标为(2,0)．探究问题二：利用圆锥曲线的统一定义求距离问题1、已知抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为 22、已知双曲线252x －92y =1的左支上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜等于 （ A ）A ．4B ．2C ．1D ．32 3、椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若PF 1＝3PF 2，则P 点到左准线的距离是________．解析 a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴准线x ＝a 2c ＝41＝4，两准线间距离为8，设P 到左准线的距离为d 1，P 到右准线的距离为d 2. ∵PF 1∶PF 2＝3∶1.又∵PF 1d 1＝e ，PF 2d 2＝e ，∴d 1∶d 2＝3∶1.又d 1＋d 2＝8，∴d 1＝8×34＝6.4、椭圆x 225＋y 29＝1上点P 到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________．9,1解析 由PFa2c－x 0＝e 推得PF ＝a －ex 0，又－a ≤x 0≤a ，故PF 最大值为a ＋c ，最小值为a －c .5、已知椭圆192522=+y x 上一点到左准线的距离为5，则它到左焦点的距离为 4 6、已知双曲线14922=-y x 上一点P 到右焦点距离为3，则P 到左准线的距离为 131327探究问题三：利用圆锥曲线统一定义转换求最值1、已知P 为双曲线2213x y -=右支上的一个动点，F 为双曲线的右焦点，若点A 的坐标为(3,1)，则2|||PA PF 的最小值是__32、已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点．(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值；(2)求MB ＋54MA 的最小值及此时点M 的坐标．解： (1)如图所示，由x 225＋y 29＝1，得a ＝5，b ＝3，c ＝4. 所以A (4,0)为椭圆的右焦点，F (－4，0)为椭圆的左焦点． 因为MA ＋MF ＝2a ＝10， 所以MA ＋MB ＝10－MF ＋MB .因为|MB －MF |≤BF ＝(－4－2)2＋(0－2)2＝210， 所以－210≤MB －MF ≤210. 故10－210≤MA ＋MB ≤10＋210，即MA ＋MB 的最大值为10＋210，最小值为10－210.(2)由题意得，椭圆的右准线l 的方程为x ＝254.由图可知，点M 到右准线的距离为MM ′， 由圆锥曲线的统一定义，得MA MM ′＝e ＝45，所以54MA ＝MM ′. 所以MB ＋54MA ＝MB ＋MM ′.由图可知，当B ，M ，M ′三点共线时，MB ＋MM ′最小， 即BM ′＝254－2＝174.当y ＝2时，有x 225＋229＝1，解得x ＝553(舍去负值)， 即点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫553，2. 故MB ＋54MA 的最小值为174，此时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫553，2.3、已知双曲线x 24－y 212＝1和点A (4,1)，F 是双曲线的右焦点，P 是双曲线上任意一点，求P A ＋12PF 的最小值．【解】 由双曲线的方程，知a ＝2，b ＝23，∴c ＝4，离心率e ＝ca ＝2，右准线的方程为x ＝1，设点P 到右准线的距离为d ，由圆锥曲线的定义，有PF d ＝2，即12PF ＝d ，如图所示，过P 作右准线的垂线，垂足为D ，则P A ＋12PF ＝P A ＋d ＝P A ＋PD ，所以当P ，A ，D 三点共线时，P A ＋PD 的值最小，为4－1＝3.探究问题四：利用圆锥曲线的统一定义求离心率1、已知椭圆)0(2222>>=+babyax的焦点到相应准线距离等于a，则椭圆的离心率为215-2、已知双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的一条准线方程为x＝32，则a＝______，该双曲线的离心率为______．3233解析由已知得a2a2＋1＝32，化简得4a4－9a2－9＝0，解得a2＝3.又∵a>0，∴a＝3，离心率e＝ca＝3＋13＝233.3、椭圆22221()x ya ba b+=>>0的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝22a bcc c-=， |PF|∈[a－c,a＋c] 于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c21112cac ca a⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或，又e∈(0,1) 故e∈1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭4、已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF=，则该离心率e的取值范围是．)1,12[-。
2015届高考数学(理科)二轮复习课件 专题六 第二讲 圆锥曲线的定义、标准方程及性质
63 C. 32
菜 单
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高考专题复习 ·数学（理）
析热点 高 考 聚 集 研思想 方 法 提 升 课 跟 训 时 踪 练
3 3 3 解析：易知抛物线中 p＝ ，焦点 F ，0 ，直线 AB 的斜率 k＝ ， 2 3 4 3 3 故直线 AB 的方程为 y＝ x－ ，代入抛物线方程 y2＝3x，整理得 x2－ 3 4 21 9 21 x＋ ＝0.设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则 x1＋ x2＝ .由抛物线的定义可得 2 16 2 21 3 弦长 |AB|＝ x1＋x2＋p＝ ＋ ＝12，结合图象(图略)可得 O 到直线 AB 的 2 2 p 3 1 9 距离 d＝ sin 30° ＝ ，所以△OAB 的面积 S＝ |AB|· d＝ . 2 8 2 4
菜 单
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高考专题复习 ·数学（理）
析热点 高 考 聚 集 研思想 方 法 提 升 课 跟 训 时 踪 练
b 解析：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线 y＝ x 与直线 y＝2x a b ＋10 平行，所以 ＝2 且左焦点为(－5,0)，所以 a2＋ b2＝ c2＝25，解得 a2 a
2 2 x y ＝5，b2＝20，故双曲线方程为 － ＝1，选 A. 5 20
答案：C
菜 单
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2． 2 ( 0 1 4
年 新 课 标 卷
Ⅱ)设 F 为 抛 物 线
C：y2＝3x 的 焦 点 ， 过 △O A B
F 且倾 的 面 积
斜角为 3 0 ° 的直线交 C 于 A，B 两点，O 为 坐 标 原 点 ， 则 为( A. ) 3 3 4 9 3 B. 8 D. 9 4
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一教材分析
1．教学内容
高级中学课本《数学》必修第八章－－圆锥曲线方程。
本章主要研究圆锥曲线的定义
方程、几何性质，以及它们在实际生活中的简单应用。
2．教材的地位与作用
前一章中学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念已经有一些了解，并且已学过求简单曲线方程和利用曲线方程研究曲线几何性质的初步知识。
本章是在这个基础上学习求圆锥曲线方程，研究它们的几何性质，进一步熟悉和掌握坐标法。
由于高考试卷中区分度较大的题目都涉及本章内容，所以难度不易把握。
考虑到本校学生的实际情况，设计例题时难度应适中。
本节课是学习完圆锥曲线几何性质之后的第二节复习课，上节课总结椭圆、双曲线、抛物线的几何条件，标准方程及性质，然后从中归纳它们的几个共同特征，使学生比较清楚的掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系。
这节课继续利用圆锥曲线的第二定义及方程形式上的共同点，进行多题一解的训练。
3．教学重点和难点
圆锥曲线统一定义及其应用。
突破方法：
（1）引导学生围绕思考题讨论，并对具体事例进行分析。
（2）引导学生通过类比联想已学知识，找到问题解决的方法。
4．教学目标
知识目标
圆锥曲线统一定义及其应用。
能力目标
（1）分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。
（2）利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
（3）解题过程中，培养学生运算与思维能力。
情感目标
（1）在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。
（2）讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。
二教法分析
高二学生已经具备一定的探索与研究问题的能力。
所以设计问题时应考虑灵活性。
采用启发探索式教学，师生共同探索，共同研究，充分发挥学生主题能动性，教师的主导作用。
在教学过程中采用讨论法，向学生提出具有启发性和思考性的讨论题，组织学生展开讨论。
通过讨论，提高学生的阅读、探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力。
在教学手段上，采用多媒体等电教手段，增加教学容量和直观性，通过演示，激发学生学习数学的兴趣。
三学法分析
1．指导读书
指导读书是培养学生自学能力以获得知识的一种非常好的方法，我在课堂上让学生带着问题研究课本知识。
这不仅可以引导他们重视基础知识的作用，也可调动学生学习的积极性和主动性。
2．指导分析
从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生分析问题解决问题的能力。
因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求解，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，选择最佳方案加以解决，从而避免“瞎撞、乱撞”的不良解题习惯。
四教学过程
教师活动学生活动设计意图
阅读课本中的椭圆、双曲线的第二定义和抛物线的定义，从中找出共同点，思考能否用统一的形式把定义归纳出来。
学生阅读并讨论得出结论：平面
内，到定点的距离与它到定直线的
距离之比为一个常数e的点的轨
迹。
这里e∈（0，1）时轨迹是椭
圆；e=1时轨迹是抛物线；e∈（1，
+∞）时轨迹是双曲线。
通过分析比较三种曲
线定义之间的共同
点，培养学生的归纳
总结能力，从而使所
学知识前后联系，形
成系统，加深学生对
概念的理解。
例1．已知动点P(x，y 满足=，则动点P的轨迹为 ______。
学生回忆所学知识分析：分子为到
定点（2，2）的距离，分母为到定
直线x+y+2=0的距离，它们的比值
为定值，∈（0，1），所以点P的
轨迹为椭圆。
用方程的形式进一步
考查学生对圆锥曲线
定义的理解。
思考：已知动点P(x，y 满足=a，且动点P的轨迹为双曲线，求a的范围。
若轨迹为抛物线呢？学生容易得到：轨迹为双曲线时，
a>1；抛物线时a=1。
通过对例1问题的变
化，不仅引导学生探
究出问题的本质，而
且使学生对圆锥曲线
的概念能够进一步加
深印象。
例2．设椭圆的右焦点为F2，AB为椭圆中过F2的弦，试分析以AB 为直径的圆和右准线l 的位置关系。
分析：只要判断圆心到直线的距离与半径的大小关系即可。
X
Y
O
A，学生讨论得解：设AB的中点为
M，A，，M，，B，分别为A，
M， B在直线l上的射影。
由第二
定义得=e (e为离心率 =e，则
|AB|=|AF2|+|BF2|=e(|AA，|+|BB，
|=e·2|MM，|，
∴=e| MM，|，又∵0 ，
∴<| MM，| 。
即圆心到准线的距离大于半径，
∴准线与圆相离。
本题一方面考查直线
与圆的位置关系，另
一方面考查学生对于
椭圆第二定义的应
用。
B A B，F2 M M，
思考：由例1作为基础能否联想双曲线与抛物线有没有类似题型，试写出并给出结论。
学生通过比较得到变式1：（双曲
线）设双曲线的右焦点为F2，AB
为双曲线中过F2的弦，试分析以
AB为直径的圆和右准线l的位置关
系。
变式2：（抛物线）设抛物线
的焦点为F，AB为抛物线中过F的
弦，试分析以AB为直径的圆和准
线l的位置关系。
由例1作为基础，学
生可以自己出题，这
对于学生的能力要求
更高了。
O
P
θ
F2
F1
X
Y
m
n
例3．已知椭圆+=1（a>b>0），F1，F2为左右两焦点，P为椭圆上一点，且
∠F1PF2=θ，求（1）（1）男生讨论：设P F1=m，
PF2=n，且∠F1PF2=θ，则△F1PF2
的面积：S=mnsinθ，只要求出mn
即可。
由定义可知m+n=2a…①；由
余弦定理得m2+n2－
2mncosθ=(2c2=4(a2－b2…②。
1 2－②得：2mn(1+cosθ=4b2，
mn=，所以
S=mnsinθ= b2= b2tan。
（2）女生讨论：已知双曲线－=1
（a>0，b>0），F1，F2为左右两焦
点，P为椭圆上一点，且
∠F1PF2=θ，此时△F1PF2的面积？
经过分析同上利用定义和余弦定理
得出结论S =b2cot。
这题是考查学生圆锥
曲线的第二定义及余
弦定理的应用。
采用
男女生分开做难度相
近的题，既培养学生
团结合作精神，又能
形成竞争意识。
△F1PF2的面积S。
（2）双曲线有类似结论吗？是写出并求出。
例4．已知椭圆+=1（a>b>0），P为椭圆上一点，求证满足下列条件的kPM·kPN为一定值，①M、N为长轴的两个端点；②M、N 为在椭圆上关于原点对称的两点。
O
X
Y
P(xo，yo
M（－a，0）
N（a，0）
X
Y
O
P(xo，yo
M（m，n）
N（－m，－n）
思考：双曲线有这个结论吗？试写出。
男生证明：①由题意得M（－a，
0）、N（a，0），设P(xo，yo
∵P在椭圆上，∴+=1，
变形得xo2－a2=－yo2，
又∵kPM·kPN=·=，
∴kPM·kPN=－。
女生证明：②由题意可设M（m，
n）、N（－m，－n），P(xo，yo
∵M、P在椭圆上，
∴+=1，+=1，变形得
yo2=b2(1－，n2=(1－，yo2－
n2=b2，∴kPM·kPN===－。
讨论：已知双曲线－=1（a>0，
b>0），P为椭圆上一点，求证满足
下列条件的kPM·kPN为一定值，
①M、N为长轴的两个端点；②M、
N为在椭圆上关于原点对称的两
点。
方法同上可得在双曲线的结论为
kPM·kPN=
这题考查圆锥曲线几
何性质中的对称性及
第二定义的应用。
通
过圆锥曲线方程形式
上的共同点的联想对
比，培养学生的类比
思维能力。
布置作业作业题目略1置的作业有剃度，
不能一刀切。
2布置一些思考题，
使学有余力的学生的
创造性得到进一步的
发挥。
五板书设计
圆锥曲线统一定义例1 例3
例2 例4
六教学后记
在数学解题过程中，当思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的迁移，将已学过的知识（如例1与例2）或已掌握的解题方法（如例3、例4、例5）迁移过来，就有“柳暗花明又一村”的感觉了。
当然类比在解析几何的实际应用还有很多，例如新课学习焦半径，中点弦的应用等等都可以通过类比来进行学习。
通过类比，学生可以对所学知识形成一个完整的体系，前后知识融会贯通后就能达到举一反三了。
研究数学的方法和手段越来越多，但类比方法仍然是我们数学教学中的一种重要的手段。
在强调素质教育的今天，类比的方法应该得到进一步的加强。
中学数学教材中可用来类比的素材很多，这就有待我们教师在教学中总结发现，把培养学生的类比联想思维的工作落到实处，那我们学生的思维就会上一个台阶。