桁架有限元理论

桁架有限元理论知识
空间杆系有限元法是计算精度最高的一种方法，适用于各种类型、各种平面形状、不同边界条件的网架，静力荷载、地震作用、温度应力等工况均可计算。

空间钢架结构，有15个未知函数，6个应力分量，分别为xx σ、yy σ、zz σ、xy σ、yz σ、zx σ；6个应变分量，分别为xx ε、yy ε、zz ε、xy ε、yz ε、zx ε；3个位移分量u 、v 、w 。

这15个未知函数满足15个基本方程，分别为3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程，以及受力边界条件及位移边界条件[6]。

图1为桁架结构水平段一侧局部示意图。

其中，①为上弦材，②和④为纵梁，③为下弦材，⑤为斜材。

此结构为4个节点和5个单元的钢架结构。

对此桁架任意方向上的杆件离散化，选择单元⑤进行分析。

桁架问题一般需要两个坐标系进行描述，即整
图2 自动扶梯桁架结构水平段一侧局部示意图
结构分析中为方便杆端力和位移的叠加，应采用统一坐标系，即结构整体坐标xyz 。

这样需对局部坐标系下的单元刚度矩阵进行坐标转换。

体坐标系和局部坐标系，选择固定的整体坐标系XY ：1）描述了每个节点的位置，使用角度标记θ记录每个（单元）的方向；2）施加约束及载荷；3）表示问题的解，即在整体方向上的每个节点的位移。

同时，还需要一个局部的单元坐标系来描述各个杆件（单元）的受力情况。

如图3所示为局部坐标
系与整体坐标系之间的关系[7]。

图3 整体坐标系与局部坐标系关系图
整体位移（在节点i 的U iX ，U iY 和在节点j 的U jX 和U jY ）和局部位移（在节点i 的u ix ，u iy 和在节点j 的u jx 和u jy ）之间的关系为：
θθθ
θθ
θθ
θcos sin sin cos cos sin sin cos jy jx iY jy jx jX iy ix iY iy ix iX u u U u u U u u U u u U +=-=+=-= (1)
将方程(1)转化为矩阵形式为：
TU U = (2)
其中：
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=jy jx iy ix jY jX iY iX u u u u u T U U U U U ,cos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos ,θθθθθθθθ U 和u 分别代表整体坐标系XY 和局部坐标系xy 下节点i 和节点j 的位移。

T 是从局部形变转化为整体形变的变换矩阵。

与形变推导公式相类似，局部力和整体力的关系如下：
θθθ
θθ
θθ
θcos sin sin cos cos sin sin cos jy jx jY jy jx jX iy ix iY iy ix iX f f F f f F f f F f f F +=-=+=-= (3)
将式(3)写成矩阵形式：
Tf F =
(4)
其中F 是整体坐标系下施加在节点i 和节点j 上的力的分量:
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=jY jX iY iX F F F F F f 是局部坐标系下施加在节点i 和节点j 上的力的分量：
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=jy jx iy ix f f f f f 上述步骤推导出了单元在局部坐标系和整体坐标系之间的关系。

然而，需要注意的是，在局部坐标系下y 方向上的位移和合力为零。

因为在假设的二力杆条件下，杆只能沿着轴向（局部坐标系下x 方向）伸长或者压缩，说明内力总是沿着x 轴方向的，如图4所示。

推导开始时不将这些值设置为0，以便于保持对矩阵的一般性描述，这将更加方便于推导单元刚度矩阵。

当将y 方向的位移以及力设置为0时，将会使方程变得非常清楚。

局部坐标系下内力和位移通过刚度矩阵关系为：
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡jy jx iy ix jy jx iy ix u u u u k k k k f f f f 0000000000
00 (5) 上式中，L
AE k k eq ==，转化为矩阵形式为： Ku f = (6)
将f 和u 替换成F 和U ，有：
u f U T K F T 11--= (7)
上式中，T -1为变换矩阵。

矩阵T 的逆矩阵为：
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-θθθθθθθθcos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos 1T (8)
图4 桁架内力图
方程(7)两边都乘以T ，得：
U TKT F 1-= (9)
替换方程(9)中的T ，K ，T -1和U 矩阵的值，相乘后得到：
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡jY jX iY iX jY jX iY iX U U U U F F F F θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ22222222sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos (10)
方程(10)表示了施加的外力、单元刚度矩阵K (e)和任意单元节点的整体位移之间的关系。

桁架任意杆（单元）的刚度矩阵K (e)为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ22222222)(sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos k K e (11) 剩下的步骤就是组合单元的刚度矩阵、应用边界条件和载荷条件、求解位移即得到平均应力等其他相关信息。

上述推导公式仅仅局限于扶梯桁架的某一部分，是基于平面桁架进行相关分析的，而扶梯整体桁架结构为空间钢架结构。

空间桁架有限元公式是基于平面桁架公式的扩展和延伸。

在空间桁架结构中，桁架单元的位移有6个未知的物理量，分别为U iX 、U iY 、U iZ 、U jX 、U jY 、U jZ ，连接两个单元的节点可以在三个方向上进行移动。

角度X θ、Y θ和Z θ表示桁架中的杆件相对于整体坐标系XY 的方向。

图5表示了杆件单元与X 、Y 、Z 轴角度的关系图。

图5 杆件单元与X 、Y 、Z 轴角度关系示意图
空间桁架结构推导单元矩阵过程与平面桁架结构相类似。

通过变换矩阵将整体位移和力联系在一起，然后应用杆的二力属性。

与平面桁架单元的44⨯的刚度矩阵不同，空间桁架单元的刚度矩阵为66⨯矩阵。

对于空间桁架单元，假设X l θcos =，Y m θcos =，Z n θcos =，则空间桁架的单元刚度矩阵为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------------=222222222222)(n mn ln n mn ln mn m lm mn m lm ln lm l ln lm l n mn ln n mn ln mn m mn mn m lm ln lm l ln lm l k K e (12) 附上命令流语句。

注意：以“!”打头的文字为注释内容，其后的文字和符号不起运行作用。

关于命令流的调用方式见附录B 。

!%%%%%%%% [典型例题]3.2.5(1) %%%% begin %%%%%%
/ PREP7 !进入前处理
/PLOPTS,DATE,0 !设置不显示日期和时间
!=====设置单元、材料，生成节点及单元
ET,1,LINK1 !选择单元类型
UIMP,1,EX, , ,2.95e11, !给出材料的弹性模量
R,1,1e-4, !给出实常数(横截面积)
N,1,0,0,0, !生成1号节点,坐标(0,0,0)
N,2,0.4,0,0, !生成2号节点,坐标(0.4,0,0)
N,3,0.4,0.3,0, !生成3号节点,坐标(0.4,0.3,0)
N,4,0,0.3,0, !生成4号节点,坐标
(0,0.3,0)
E,1,2 !生成1号单元(连接1号节点和2号节点)
E,2,3 !生成2号单元(连接2号节点和3号节点)
E,1,3 !生成3号单元(连接1号节点和3号节点)
E,4,3 !生成4号单元(连接4号节点和3号节点)
FINISH !前处理结束
!=====在求解模块中，施加位移约束、外力，进行求解
/SOLU !进入求解状态(在该状态可以施加约束及外力)
D,1,ALL !将1号节点的位移全部固定
D,2,UY， !将2号节点的Y方向位移固定
D,4,ALL !将4号节点的位移全部固定
F,2,FX,20000, !在2号节点处施加X方向的力(20000)
F,3,FY,-25000, !在3号节点处施加Y方向的力(-25000) SOLVE !进行求解
FINISH !结束求解状态
!=====进入一般的后处理模块
/POST1 !进入后处理
PLDISP,1 !显示变形状况
FINISH !结束后处理
!%%%%%%%% [典型例题]3.2.5(1) %%%% end %%%%%%。