高二数学古典概率
高中数学第13章概率132概率及其计算1321古典概率模型应用案巩固提升课件湘教版必修5
第13章 概 率
9．已知关于 x 的二次函数 f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合 P＝{－1，1，2，3，4，5}和 Q＝{－2，－1，1，2，3，4}， 分别从集合 P 和 Q 中任取一个数作为 a 和 b 的值， 求函数 y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
第13章 概 率
解：函数 f(x)＝ax2－4bx＋1 的图象的对称轴为 x＝2ab，要 使函数 f(x)＝ax2－4bx＋1 在区间[1，＋∞)上为增函数，当 且仅当 a>0 且2ab≤1，即 a≥2b 且 a>0. 若 a＝1，则 b＝－2，－1； 若 a＝2，则 b＝－2，－1，1； 若 a＝3，则 b＝－2，－1，1； 若 a＝4，则 b＝－2，－1，1，2； 若 a＝5，则 b＝－2，－1，1，2. 所以事件包含的基本事件的个数是 2＋3＋3＋4＋4＝16， 又所有基本事件的个数是 6×6＝36， 所以所求事件的概率为1366＝49.
解析：选 B.点(a，b)取值的集合共有 36 个元素．方程组只 有一个解等价于直线 ax＋by＝3 与 x＋2y＝2 相交，即a1≠b2， 即 b≠2a，而满足 b＝2a 的点只有(1，2)，(2，4)，(3，6)， 共 3 个，故方程组axx＋＋2by＝y＝23，只有一个解的概率为3336＝1112.
第13章 概 率
13．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号 分别为 1，2，3，4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋 中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 n<m ＋2 的概率．
第13章 概 率
第13章 概 率
10．某学在高二年级开设了 A、B、C 三个兴趣小组，为
高二数学必修3知识点整理：古典概型
【导语】以下是⽆忧考为⼤家推荐的有关⾼⼆数学必修3知识点整理：古典概型，如果觉得很不错，欢迎点评和分享～感谢你的阅读与⽀持！ 古典概型的基本概念 1.基本事件：在⼀次试验中可能出现的每⼀个基本结果称为基本事件; 2.等可能基本事件：若在⼀次试验中，每个基本事件发⽣的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件; 3.古典概型：满⾜以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型①所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等; 4.古典概型的概率：如果⼀次试验的等可能基本事件共有n个，那么每⼀个等可能基本事件发⽣的概率都是 1，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发⽣的概率为nP(A)?m.n 知识点⼀：古典概型的基本概念 *例1：从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件?思路分析： 题意分析：本试题考查⼀次试验中⽤列举法列出所有基本事件的结果，⽽画树状图是列举法的基本⽅法. 解题思路：为了了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来.或者利⽤树状图将它们之间的关系列出来.解答过程：解法⼀：所求的基本事件共有6个： A?{a,b},B?{a,c},C?{a,d}D?{b,c},E?{b,d},F?{c,d} 解法⼆：树状图 解题后的思考：⽤树状图求解⼀次试验中的基本事件数⽐较直观、形象，可做到不重不漏.掌握列举法，学会⽤数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题. **例2：(1)向⼀个圆⾯内随机地投射⼀个点，如该点落在圆内任意⼀点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么? (2)如图，某同学随机地向⼀靶⼼射击，这⼀试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环??命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么? 思路分析： 题意分析：本题考查古典概型的概念.应明确什么是古典概型及其应具备什么样的条件.解题思路：结合古典概型的两个基本特征可进⾏判定解决.解答过程： 答：(1)不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆⾯内所有的点，试验的所有可能结果数是⽆限的，虽然每⼀个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满⾜古典概型的第⼀个条件. (2)不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，⽽命中10环、命中9环??命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满⾜古典概型的第⼆个条件. 解题后的思考：判定是不是古典概型，主要看两个⽅⾯，⼀是实验结果是不是有限的;另⼀个就是每个事件是不是等可能的. ***例3：单选题是标准化考试中常⽤的题型，⼀般是从A，B，C，D四个选项中选择⼀个正确答案.如果考⽣掌握了考查的内容，他可以选择正确的答案.假设考⽣不会做，他随机的选择⼀个答案，问他答对的概率是多少?思路分析： 题意分析：本题考查古典概型概率的求解运算. 解题思路：解本题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果考⽣掌握了全部或部分考查内容，这都不满⾜古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考⽣不会做，随机地选择了⼀个答案的情况下，才可将此问题看作古典概型. 解答过程：这是⼀个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考⽣随机地选择⼀个答案是选择A，B，C，D的可能性是相等的.从⽽由古典概型的概率计算公式得： P(答对\答对所包含的基本事件的个数1==0.25 基本事件的总数4解题后的思考：运⽤古典概型的概率公式求概率时，⼀定要先判定该试题是不是古典概型，然后明确试验的总的基本事件数，和事件A发⽣的基本事件数，再借助于概率公式运算.⼩结：本知识点的例题主要考查对古典概型及其概率概念的基本理解.把握古典概型的两个特征是解决概率问题的第⼀个关键点;理解⼀次试验中的所有基本事件数，和事件A发⽣的基本事件数，是解决概率问题的第⼆个关键点. 知识点⼆：古典概型的运⽤ *例4：同时掷两个骰⼦，计算：(1)⼀共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?(3)向上的点数之和是5的概率是多少? (4)为什么要把两个骰⼦标上记号?如果不标记号会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?思路分析： 题意分析：本题考查了古典概型的基本运算问题. 解题思路：先分析“同时掷两个骰⼦的所有事件数”，然后分析事件A：向上的点数之和为5的基本事件数，最后结合概率公式运算.同时可以运⽤举⼀反三的思想⾃⾏设问、解答. 解答过程： 解：(1)掷⼀个骰⼦的结果有6种，我们把两个骰⼦标上记号1，2以便区分，由于1号骰⼦的结果都可与2号骰⼦的任意⼀个结果配对，我们⽤⼀个“有序实数对”来表⽰组成同时掷两个骰⼦的⼀个结果(如表)，其中第⼀个数表⽰掷1号骰⼦的结果，第⼆个数表⽰掷2号骰⼦的结果.(可由列表法得到)1号骰⼦2号骰⼦1(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2) (4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5) (5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)123456由表中可知同时掷两个骰⼦的结果共有36种.(2)在上⾯的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1) (3)由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得 P(A)=A所包含的基本事件的个数41== 基本事件的总数369(4)如果不标上记号，类似于(1，2)和(2，1)的结果将没有区别.这时，所有可能的结果将是： (1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)(4，4)(4，5)(4，6)(5，5) (5，6)(6，6)共有21种，和是5的结果有2个，它们是(1，4)(2，3)，则所求的概率为 P(A)=A所包含的基本事件的个数2= 基本事件的总数21这就需要我们考察两种解法是否满⾜古典概型的要求了.可以通过展⽰两个不同的骰⼦所抛掷出来的点，感受第⼆种⽅法构造的基本事件不是等可能事件. 解题后的思考：考查同学们运⽤古典概型的概率计算公式时应注意验证所构造的基本事件是否满⾜古典概型的第⼆个条件. 对于同时抛掷的问题，我们要将骰⼦编号，因为这样就能反映出所有的情况，不⾄于把(1，2)和(2，1)看作相同的情况，保证基本事件的等可能性.我们也可将此试验通过先后抛掷来解决，这样就有顺序了，则基本事件的出现也是等可能的. **例5：从含有两件正品a1，a2和⼀件次品b1的三件产品中，每次任取⼀件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有⼀件次品的概率.思路分析： 题意分析：本题考查的是不放回抽样的古典概型概率的运⽤ 解题思路：⾸先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明⽩⼀次试验指的是“不放回的，连续的取两次”. 先列举出试验中的所有基本事件数，然后求事件A的基本事件数，利⽤概率公式求解.解答过程： 解法1：每次取出⼀个，取后不放回地连续取两次，其⼀切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中⼩括号内左边的字母表⽰第1次取出的产品，右边的字母表⽰第2次取出的产品. ⽤A表⽰“取出的两件中，恰好有⼀件次品”这⼀事件，则A=[(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)]事件A由4个基本事件组成，因⽽P(A)= 42=63解法2：可以看作不放回3次⽆顺序抽样，先按抽取顺序(x，y)记录结果，则x有3种可能，y有2种可能，但(x，y)，(y，x)是相同的，所以试验的所有结果有3×2÷2=3种，按同样的⽅法，事件B包含的基本事件个数为2×1÷1=2，因此P(B)= 23解题后的思考：关于不放回抽样，计算基本事件的个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是⽆顺序的，其结果是⼀样的，但⽆论选择哪⼀种⽅式，观察的⾓度必须⼀致，否则会导致错误. ***例6：从含有两件正品a1，a2和⼀件次品b1的三件产品中，每次任取⼀件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有⼀件次品的概率.思路分析： 题意分析：本题考查放回抽样的概率问题. 解题思路：⾸先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明⽩⼀次试验指的是“有放回的，连续的取两次”. 解答过程：每次取出⼀个后放回，连续取两次，其⼀切可能的结果组成的基本事件有9个，即 (a1，a1)，(a1，a2)和(a1，b1)(a2，a1)，(a2，b1)和(a2，a2)(b1，a1)，(b1，a2)和(b1，b1) 其中⼩括号内左边的字母表⽰第1次取出的产品，右边的字母表⽰第2次取出的产品.⽤A表⽰“取出的两件中，恰好有⼀件次品”这⼀事件，则A=[(b1，a1)，(b1，a2)，(a2，b1)，(a1，b1)]事件A由4个基本事件组成，因此P(A)= 4.9解题后的思考：对于有放回抽样的概率问题我们要理解每次取的时候，总数是不变的，且同⼀个体可被重复抽取，同时，在求基本事件数时，要做到不重不漏.⼩结： (1)古典概型概率的计算公式是⾮常重要的⼀个公式，要深刻体会古典概型的概念及其概率公式的运⽤，为我们学好概率奠定基础. (2)体会求解不放回和有放回概率的题型. 知识点三：随机数产⽣的⽅法及随机模拟试验的步骤 **例7：某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少?思路分析： 题意分析：本题考查的是近似计算⾮古典概型的概率. 解题思路：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能⽤古典概型的概率公式计算，我们⽤计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%.解答过程： 我们通过设计模拟试验的⽅法来解决问题，利⽤计算机或计算器可以⽣产0到9之间的取整数值的随机数. 我们⽤1，2，3，4表⽰投中，⽤5，6，7，8，9，0表⽰未投中，这样可以体现投中的概率是40%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为⼀组. 例如：产⽣20组随机数： 812，932，569，683，271，989，730，537，925，488907，113，966，191，431，257，393，027，556，458 这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表⽰恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为解题后的思考： (1)利⽤计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决⾮古典概型的概率的求解问题.(2)对于上述试验，如果亲⼿做⼤量重复试验的话，花费的时间太多，因此利⽤计算机或计算器做随机模拟试验可以⼤⼤节省时间. (3)随机函数(RANDBETWEEN)(a，b)产⽣从整数a到整数b的取整数值的随机数. ⼩结：能够简单的体会模拟试验求解⾮古典概型概率的⽅法和步骤.⾼考对这部分内容不作更多的要求，了解即可.5=25%.20 【同步练习题】 1.(2014•惠州调研)⼀个袋中装有2个红球和2个⽩球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同⾊的概率为()A.12；B.13；C.14；D.25 答案：A[把红球标记为红1、红2，⽩球标记为⽩1、⽩2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同⾊的事件有8个：红1，红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，⽩1、⽩1，⽩1、⽩2，⽩2、⽩1，⽩2、⽩2，故所求概率为P=816=12.] 2.(2013•江西⾼考)集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取⼀个数，则这两数之和等于4的概率是 ()A.23B.12C.13D.16 答案：C[从A，B中各任取⼀个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率为26=13.故选C.] 3.(2014•宿州质检)⼀颗质地均匀的正⽅体骰⼦，其六个⾯上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这⼀颗骰⼦连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为()A.112B.118C.136D.7108 答案：A[基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1，1，1)，(1，2，3)，(3，2，1)，(2，2，2)，(1，3，5)，(5，3，1)，(2，3，4)，(4，3，2)，(3，3，3)，(2，4，6)，(6，4，2)，(3，4，5)，(5，4，3)，(4，4，4)，(4，5，6)，(6，5，4)，(5，5，5)，(6，6，6)共18个，所求事件的概率P=186×6×6=112.] 4.(2013•安徽⾼考)若某公司从五位⼤学毕业⽣甲、⼄、丙、丁、戊中录⽤三⼈，这五⼈被录⽤的机会均等，则甲或⼄被录⽤的概率为 ()A.23B.25C.35D.910 答案：D[五⼈录⽤三⼈共有10种不同⽅式，分别为：{丙，丁，戊}，{⼄，丁，戊}，{⼄，丙，戊}，{⼄，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，⼄，戊}，{甲，⼄，丁}，{甲，⼄，丙}. 其中含甲或⼄的情况有9种，故选D.] 5.(理)(2014•安徽⽰范⾼中联考)在棱长分别为1，2，3的长⽅体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选取的概率相同，则选到两个顶点的距离⼤于3的概率为()A.47B.37C.27D.314 答案：B[从8个顶点中任取两点有C28=28种取法，其线段长分别为1，2，3，5，10，13，14.①其中12条棱长度都⼩于等于3;②其中4条，棱长为1，2的⾯对⾓线长度为5<3;故长度⼤于3的有28-12-4=12，故两点距离⼤于3的概率为12C28=37，故选B.]。
课题：古典概型
课题：古典概型江苏省赣榆县厉庄高级中学张宁善一、设计思路本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法。
①设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；②提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识。
二、教学目标知识与技能目标：理解古典概型及其概率计算公式，会求简单的古典概型；会用列举法或图表法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
过程与方法目标：通过模拟试验让学生理解古典概型的特征，并归纳出古典概型的概率计算公式，提高学生的探究问题、分析与解决问题的能力，渗透数形结合及转化的思想，优化学生的思维品质。
情感与态度目标：通过经历对古典概型公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、数学的严谨美。
三、教学重点理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。
四、教学难点判断一个试验是否为古典概型，及能找准在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。
五、教学准备硬币、骰子；及阅读、寻找生活中的一些概率问题。
六、教学过程1 创设情境，提出问题在课堂教学的开始，让学生分组做下面两个试验：①掷一枚质地均匀的硬币；②掷一个质地均匀的骰子。
思考:在这两个试验中共出现了多少个结果?这两个试验所包含的基本事件的特点是什么？【设计意图】数学是现实世界的反映。
通过学生动手试验，激发学生的兴趣，引发学生的思考，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。
2 分析问题，形成概念引导学生回答，结合同学的课前预习，可自然引出基本事件的概念：在一次试验中可能出现的每一个基本结果。
分析可得这两个试验所包含的基本事件有限；每个基本事件出现的可能性一样。
这些特征也就是我们今天要研究的基本内容。
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。
10-1-3古典概型课件-高二上学期数学人教A版(1)
因为C={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)， (5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}， 所以n(C)=15，
从而P(C)
n(C) n()
15 36
=
5． 12
●在例2中，为什么要把两枚骰子标上记号？ 你能解释其中原因吗? ●同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
因为B={(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，所以事件B发生的可能性 大小为 3．
8
古典概型的概率计算公式：
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含 其中的k个样本点，则定义事件A的概率
P( A)
事件A包含的样本点的个数k 样本空间样本点的总数n
n( A) n()
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大 小．因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量．
显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A=“抽到男生” 包含18个样本点．因此，事件A发生的可能性大小为 18 9 ．
40 20
(2)抛掷一枚硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”；
概率为396＝14.
其中勾股数只有(3，4，5)，所以所 求概率为110. 求概率为110.
3．(2019·高考全国卷Ⅱ)生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项
3指．标(2．01若9·从高这考5全只国兔卷子Ⅱ中)生随物机实取验出室3有只5，只则兔恰子有，2 其只中测只量有过该3 只指测标量的过概某率为项
例1.单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选 项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正 确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率 是多少？
2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)6-2 古典概型及条件概率(精讲)(解析版)
6.2 古典概型及条件概率（精讲）（基础版）思维导图考点呈现例题剖析考点一古典概型【例1】（2022·河南安阳）某市在疫情期间，便民社区成立了由网格员､医疗人员､志愿者组成的采样组，并上门进行，核酸检测，某网格员对该社区需要上门核酸检测服务的老年人的年龄（单位：岁）进行了统计调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左开右闭区间），得到的频率分布直方图如图所示.(1)求m 的值，并估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄的平均数；（精确到1，同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)在年龄处于(]70,90的老人中，用分层随机抽样的方法选取9人，再从9人中随机选取2人，求2人中恰有1人年龄超过需要上门核酸检测服务的老年人的平均年龄的概率. 【答案】(1)0.016m =，平均数为80岁(2)59【解析】（1）解：由图可得()0.0320.0400.012101m +++⨯=，解得0.016m =.估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄的平均数为650.16750.32850.4950.1279.880⨯+⨯+⨯+⨯=≈岁.（2）解：(]70,80，(]80,90两组的人数之比为0.032:0.0404:5=，∴在(]70,80，(]80,90的老人中抽取的人数分别为4，5，分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，从9人中随机选取2人，样本空间()()()()()()()(){1213141112131415Ω,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a ab a b a b a b a b =()()()()()()()23242122232425,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a b a b a b ()()()()()()343132333435,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b ()()()()()4142434445,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ()()()()12131415,,,,,,,,b b b b b b b b ()()()232425,,,,,,b b b b b b ()()3435,,,,b b b b ()}45,b b ，共有36个样本点，恰有一人年龄超过80岁，即恰有一人年龄在(]80,90，令“恰有一人年龄在(]80,90”为事件B ，则()()()()(){1112131415,,,,,,,,,,B a b a b a b a b a b =()()()()()2122232425,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ()()()()()3132333435,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ()()()()()}4142434445,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ，共有20个样本点，∴()205369P B ==.【一隅三反】1．（2022河北省）某校为了保障体艺节顺利举办，从高一、高二两个年级的同学中挑选了志愿者60人，人数如下表所示：(1)从所有志愿者中任意抽取一人，求抽到的这人是女同学的概率；(2)用等比例分层随机抽样的方法从所有的女志愿者中按年级抽取六人，再从这六人中随机抽取两人接受记者采访，求这两人中恰有一人来自高一年级的概率.【答案】(1)35(2)815【解析】（1）高一年级志愿者有121628+=人，其中女同学12人，高二年级志愿者有82432+=人，其中女同学24人.故抽到的这人是女同学的概率1224328325+==+P .（2）在高一年级中抽取的志愿者的人数为2，在高二年级中抽取的志愿者的人数为4.记从高一年级中抽取的志愿者为a ，b ，从高二年级中抽取的志愿者为A ，B ，C ，D ，样本空间{(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),()}Ω=ab aA aB aC aD bA bB bC bD AB AC AD BC BD CD ，共15个样本点.设事件M =“这两人中恰有一人来自高一年级”，则{(),(),(),(),(),(),(),()}=M aA aB aC aD bA bB bC bD ，共8个样本点.故所求概率为8()15P M =. 2．（2022·广东）新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在[)70,90的居民有660人．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)根据频率分布直方图估计本次评测分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，并精确到0.1）；(3)为了今后更好地完成当地的防疫工作，政府部门又采用比例分配的分层抽样的方法，从评分在[)40,60的居民中选出6人进行详细的调查，再从中选取两人进行面对面沟通，求选出的两人恰好都是评分在[)40,50之间的概率．【答案】(1)0.025(2)80.7(3)115【解析】（1）()0.0020.0040.0140.0200.035101a +++++⨯=，0.025a ∴=.（2）平均数为()450.002550.004650.014750.020850.035950.0251080.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（3）评分在[)40,50和[)50,60的频率之比为1:2，∴应在评分在[)40,50的居民中应抽取2人，记为,A B ；在[)50,60的居民中应抽取4人，记为a b c d ,,,，则从中选取两人有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共15种情况；其中选出的两人恰好都是评分在[)40,50之间的有AB ，仅有1种；∴所求概率115p =. 3．（2022·四川眉山）某校高二（2）班的一次化学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图：(1)求全班人数及全班分数的中位数；(2)根据频率分布直方图估计该班本次测试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (3)若从分数在[)80,90及[]90,100的答题卡中采用分层抽样的方式抽取了5份答题卡，再从抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡了解学生失分情况，求这2份答题卡至少有一份分数在[]90,100的概率. 【答案】(1)50人，76.5分(2)77.2(3)710【解析】（1）解：由茎叶图可知，分数在[)50,60内的频数为3，由频率分布直方图可知，分数在[)50,60内的频率为0.006100.06⨯=，所以， 全班人数为3500.06=人，因为分数在[)60,70内的频数为11，分数在[)70,80内的频数为16，所以，全班分数的中位数767776.52+=. （2）解：由茎叶图知，分数在[)50,60内的频数为3，在[)60,70内的频数为11，分数在[)70,80内的频数为16，在[]90,100内的频数为8，所以，分数在[)80,90内的频数为5031116812----=，所以，该班本次测试的平均成绩为550.06650.22750.32850.24950.1677.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）解：因为分数在[)80,90内的频数为12，在[]90,100内的频数为8，所以，由分层抽样抽取了5份答题卡中，分数在[)80,90内的有3份，分别记为,,a b c ，分数在[]90,100内的有2份，分别记为,m n ，所以，从抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡的所有情况有：()()()(),,,,,,,a b a c a m a n ，()()(),,,,,b c b m b n ，()(),,,c m c n ，(),m n 共10种，其中，这2份答题卡至少有一份分数在[]90,100内的情况有：()(),,,a m a n ，()(),,,b m b n ，()(),,,c m c n ，(),m n 共7种，所以，这2份答题卡至少有一份分数在[]90,100的概率为710P =. 考点二 条件概率【例2-1】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）设()()()11,||32P P P B A A B A ===，则()P B =（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D 【解析】因为()()()1|3P AB P B A P A ==，且()12P A =，所以()16P AB = ()()()1|3P AB P A B P B ==，所以()12P B =，故选：D. 【例2-2】（2022·陕西渭南·高二期末（文））甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝、唯怡豆奶、雪碧这3种饮品中随机选择一个，且两人的选择结果互不影响．记事件A =“甲选择唯怡豆奶”，事件B =“甲和乙选择的饮品不同”，则条件概率()P B A =________． 【答案】23【解析】由题意得，设加多宝、唯怡豆奶、雪碧分别标号为1,2,3，则两人的选择结果有： (1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)，，，，，,(3,1,)(3,2)(3,3)，，，则事件A 的可能结果为：(2,1)(2,2)(2,3)，，，共3个， 在事件A 的条件下发生事件B 的结果有(2,1)(2,3)，，共2个，所以2()3P B A =.故答案为: 23.【例2-3】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求： (1)第一次取到正品的概率；(2)在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率.【答案】(1)35(2)12【解析】（1）解：设A =“第一次取到正品” B =“第二次取到正品”，所以()11341154C C 3C C 5P A ==，第一次取到正品的概率为35；（2）解：()11321154C C 3C C 10P AB ==，所以()()()3110|325P A P AB P B A ===，故在第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率为12. 【一隅三反】1．（2022·福建）设A ，B 为两个事件，已知()0.4P B =，()0.5P A =，()|0.3P B A =，则()|P A B =（ ） A ．0.24B ．0.375C ．0.4D ．0.5【答案】B 【解析】由()0.5P A =，()|0.3P B A =，得()()()|0.15P AB P B A P A =⋅=，所以()()()0.15|0.3750.4P AB P A B P B ===.故选：B 2．（2022·陕西西安）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h ，这些人的近视率约为60%．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2h 的概率为（ ） A ．45B ．15C ．35D ．320【答案】A【解析】从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件A ，且()0.3P A =，从该校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过2h 记为事件B ，且由题可知，()0.60.40.24P AB =⨯=，所以从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2h 的概率为：()0.244(|)()0.35P BA P B A P A ===.故B ，C ，D 错误.故选：A.3．（2022·福建三明）有3箱同一品种的零件，每箱装有10个零件，其中第一箱内一等品6个，第二箱内一等品4个，第三箱内一等品2个，现从3箱中随机挑出一箱，然后从该箱中依次随机取出2个，取出的零件均不放回，求：(1)第1次取出的零件是一等品的概率；(2)在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率． 【答案】(1)25(2)1127【解析】(1)设i A ＝“被挑出的是第i 箱”()i 1,2,3=，i B ＝“第i 次取出的零件是一等品”()i 1,2=， 则()()()12313P A P A P A ===， 因为()()()311121634221|,|,|105105105P B A P B A P B A ======，()()()()()()()223111111313212|||35555P B P A P B A P A P B A P A P B A ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭，所以第1次取出的零件是一等品的概率是25．(2)由（1）得()125P B =， 因为()()()222642121122123222101010C C C 121|,|,|C 3C 15C 45P B B A P B B A P B B A ======，所以()()()()()()()12112212231231|||P B B P A P B B P A P B B A P A P B B A A =++1112112233315345135=⨯+⨯+⨯=，所以()()()1221111|27P B B P B B P B ==．故在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率为1127． 考点三 综合运用【例3】（2022·江苏扬州·高三期末）为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（20212025-）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为(]50,60、(]60,70、(]70,80、(]80,90、(]90,100，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取20名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中a 、b 、c 成公比为2的等比数列．(1)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，用X 表示得分高于90分的人数，求X 的分布列及期望；(2)若学校打算从这20名学生中依次抽取3名学生进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内的条件下，后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90的概率．【答案】(1)分布列见解析，期望为1；(2)257. 【解析】(1)解：由题意得2b a =，4c a =，因为10101010101a b c b a ++++=，所以0.01a =． 由分层抽样，抽出的20名学生中得分位于区间(]50,60内有200.12⨯=人， 位于(]60,70内有200.24⨯=人，位于(]70,80内有200.48⨯=人， 位于(]80,90内有200.24⨯=人，位于区间(]90,100学生有200.12⨯=人， 这样，得分位于80分以上的共有6人，其中得分位于(]90,100的有2人，所以X 的可能取值有0、1、2，()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===()124236C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为：所以()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.(2)解：记事件:A 第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内， 记事件:B 后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90内，则()82205P A ==，()1284320C A 4A 1519P AB ==⨯，由条件概率公式可得()()()4521519257P AB P B A P A ==⨯=⨯. 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率.【答案】（1）13；（2）15.【解析】记4名男生为A ，B ，C ，D ，2名女生为a ，b ，则从6名成员中挑选2名成员，有AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Da ，Db ，ab ，共15种情况.（1）记“男生甲被选中”为事件M ，不妨假设男生甲为A ，事件M 所包含的基本事件为AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，共有5个，∴()51153P M ==. （2）记“男生甲被选中”为事件M ，“女生乙被选中”为事件N ，不妨设男生甲为A ，女生乙为b ，则()115P M N ⋂=. 又由（1）知：()13P M =，故()()()15P M N P N M P M ⋂==. 2．（2022·辽宁沈阳·二模）甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种．(1)甲在每次挑战中，成功的概率都为12．设X 为甲在3次挑战中成功的次数，求X 的分布列和数学期望；(2)乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1．（∴）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率； （∴）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率． 【答案】(1)分布列见解析，32(2)（∴）0.4；（∴）0.62． 【解析】(1)由题意得，1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3311C 122k kk P X k -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,1,2,3k =， 则X 的分布列为：则()13322E X =⨯=. (2)设事件i A 为“乙在第i 次挑战中成功”，其中1,2,3i =．（∴）设事件B 为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则1212B A A A A =+， 则()()()()()()()1212121121P B P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+()()0.510.610.50.40.4=⨯-+-⨯=．即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为0.4．（∴）因为()()()()()()21212121121P A P A A A A P A P A A P A P A A =+=+0.50.60.50.40.5=⨯+⨯=，且()()()()23123123123123P A A P A A A A A A P A A A P A A A =+=+0.50.60.70.50.40.50.31=⨯⨯+⨯⨯=，所以()()()233220.310.620.5P A A P A A P A ===． 即乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率为0.62．。
高二数学概率知识点总结
高二数学概率知识点总结
一、随机事件的概率
1. 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
2. 必然事件：在一定条件下必然发生的事件。
3. 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
4. 概率的定义：对于一个随机事件A，它发生的概率P(A)满足0 ≤ P(A) ≤ 1。
如果P(A)=1，则事件A 为必然事件；如果P(A)=0，则事件A 为不可能事件。
二、古典概型
1. 古典概型的特征：
-试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
-每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的概率计算公式：P(A)=事件A 包含的基本事件数÷总的基本事件数。
三、几何概型
1. 几何概型的特征：
-试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个。
-每个基本事件出现的可能性相等。
2. 几何概型的概率计算公式：P(A)=构成事件A 的区域长度（面积或体积）
÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
四、互斥事件和对立事件
1. 互斥事件：如果事件A 和事件B 不能同时发生，那么称事件A 和事件B 为互斥事件。
-互斥事件的概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)（A、B 互斥）。
2. 对立事件：如果事件A 和事件B 必有一个发生，且仅有一个发生，那么称事件A 和事件 B 为对立事件。
-对立事件的概率计算公式：P(A)=1 - P(A 的对立事件)。
高中数学第七章概率2古典概型第1课时古典概型的概率计算公式及其应用课后习题北师大版必修第一册
第1课时 古典概型的概率计算公式及其应用A级必备知识基础练1.下列事件属于古典概型的是( )A.任意抛掷两颗均匀的正方体骰子,所得点数之和作为基本事件B.篮球运动员投篮,观察他是否投中C.测量一杯水分子的个数D.在4个完全相同的小球中任取1个2.(2021浙江杭州期中)从一副52张的扑克牌中任抽一张,“抽到K或Q”的概率是( )A.1 26B.113C.326D.2133.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有相等的实根的概率为( )A.1 12B.19C.136D.1184.(多选题)以下对各事件发生的概率判断正确的是( )A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是13B.在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为115C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是536D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是125.20名高一学生、25名高二学生和30名高三学生在一起座谈,如果任意抽其中一名学生讲话,抽到高一学生的概率是 ,抽到高二学生的概率是 ,抽到高三学生的概率是 .6.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 .7.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 .8.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖(所有的球除颜色外都相同).(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.9.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛.(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;(2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.B级关键能力提升练10.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为( )A.5 8B.18C.38D.1411.若集合A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是( )A.2 9B.13C.89D.112.(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是( )A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是12B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是12D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为1613.天气预报说,今后三天每天下雨的概率相同,现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率,用骰子点数来产生随机数.依据每天下雨的概率,可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨;投三次骰子代表三天;产生的三个随机数作为一组.得到的10组随机数如下:613,265,114,236,561,435,443,251,154,353.则在此次随机模拟试验中,每天下雨的概率的近似值是 ,三天中有两天下雨的概率的近似值为 .14.有6根细木棒,长度分别为1,2,3,4,5,6,从中任取3根首尾相接,能搭成三角形的概率是 .15.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.16.某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[40,50),[50,60), [60,70),…,[90,100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图.(1)求图中x的值;(2)求这组数据的中位数;(3)现从被调查的问卷满意度评分值在[60,80)的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.C级学科素养创新练17.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差x/℃101113128发芽数y/颗2325302616 (1)求这5天发芽数的中位数;(2)求这5天的平均发芽数;(3)从3月1日至3月5日中任选2天,记前面一天发芽的种子数为m,后面一天发芽的种子数为n,的概率.用(m,n)的形式列出所有基本事件,并求满足{25≤m≤30,25≤n≤3018.从某商场随机抽取了2 000件商品,按商品价格(单位:元)进行统计,所得频率分布直方图如图所示.记价格在[800,1 000),[1 000,1 200),[1 200,1 400]对应的小矩形的面积分别为S1,S2,S3,且S1=3S2=6S3.(1)按分层随机抽样从价格在[200,400),[1 200,1 400]的商品中共抽取6件,再从这6件中随机抽取2件作价格对比,求抽到的两件商品价格差超过800元的概率;(2)在节日期间,该商场制定了两种不同的促销方案:方案一:全场商品打八折;方案二:全场商品优惠如下表,如果你是消费者,你会选择哪种方案?为什么?(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)商品价格[200,400)[400,600)[600,800)[800,1 000)[1 000,1 200)[1 200,1 400]优惠/元3050140160280320第1课时 古典概型的概率计算公式及其应用1.D 判断一个事件是否为古典概型,主要看它是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性. A选项,任意抛掷两颗均匀的正方体骰子,所得点数之和对应的概率不全相等,如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等,不属于古典概型,故A排除;B选项,“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等,不属于古典概型,故B排除;C选项,杯中水分子有无数多个,不属于古典概型,故C排除;D选项,在4个完全相同的小球中任取1个,每个球被抽到的机会均等,且包含的基本事件共有4个,符合古典概型,故D正确.故选D.2.D 设“抽到K或Q”为事件A,∵基本事件总数为52,事件A包含的基本事件数为8,∴P(A)=8 52=2 13.3.D 样本点总数为6×6=36,若方程有相等的实根,则b2-4c=0,满足这一条件的b,c的值只有两种:b=2,c=1;b=4,c=4,故所求概率为236=1 18.4.BCD 对于A,如图所示:由图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=13,P(乙获胜)=1 3,故玩一局甲不输的概率是23,故A错误;对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,有(2,3),(2,5),(2,7), (2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,15),共有15种样本点,其中和等于14的只有(3,11)一组,所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为115,故B正确;对于C,基本事件总共有6×6=36(种)情况,其中点数之和是6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种情况,则所求概率是536,故C正确;对于D,记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,任取两件产品的所有可能为A1A2,A1A3,A1B,A2A3,A2B,A3B,共6种,其中两件都是正品的有A1A2,A1A3,A2A3,共3种,则所求概率为P=36=12,故D正确.故选BCD.5.4 151325 任意抽取一名学生是等可能事件,样本点总数为75,记事件A,B,C分别表示“抽到高一学生”“抽到高二学生”和“抽到高三学生”,则它们包含的样本点的个数分别为20,25和30.故P(A)=2075=415,P(B)=2575=13,P(C)=3075=25.6.15 “从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿”的所有可能结果为(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8), (2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共10个样本点,又“它们的长度恰好相差0.3m”包括(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2个样本点,由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为210= 1 5.7.23 甲、乙、丙三人随机地站成一排有:(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙), (丙,乙,甲),共6种样本点,其中甲、乙相邻有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种样本点.所以甲、乙两人相邻而站的概率为46= 2 3.8.解(1)所有可能的摸出结果是(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2), (B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2).(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1,a1),(A1,a2),(A2,a1),(A2,a2),共4种,所以中奖的概率为412=13,不中奖的概率为1-13=23>13.故这种说法不正确.9.解根据题意可知其样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)},共6个样本点.(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A,事件A包含的样本点有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),共2个,所以P(A)=26=13.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13.(2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B,事件B包含的样本点有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4个,所以P(B)=46= 2 3.所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23.10.A 甲、乙所猜数字的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种情况,其中满足|a-b|≤1的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况,故所求概率为1016= 5 8.11.C 随着a,b的取值变化,集合B有32=9(种)可能,如表.经过验证很容易知道其中有8种满足A∩B=B,所以概率是89.故选C.12.ACD 记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.A选项,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=36=12,A正确;B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1), (3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},共12种样本点,B错误;C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为12,C正确;D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2), (1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},共16种样本点,D正确.故选ACD.13.1315 每个骰子有6个点数,出现1或2为下雨天,共有6种,则每天下雨的概率的近似值为13,10组数据中,114,251,表示3天中有2天下雨,所以从得到的10组随机数来看,3天中有2天下雨的有2组,则3天中有2天下雨的概率近似值为210= 1 5.14.720 从这6根细木棒中任取3根首尾相接,有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4), (1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6), (3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共20个样本点,能构成三角形的取法有(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共7个样本点,所以由古典概型概率公式可得所求概率为P=720.15.解用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则样本空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以样本点总数n=16.(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的样本点共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的样本点共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=616=38.事件C包含的样本点共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=516.因为38>516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.16.解(1)由(0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x)×10=1,解得x=0.020.(2)设中位数为m,则0.05+0.1+0.2+(m-70)×0.03=0.5,解得m=75.(3)可得满意度评分值在[60,70)内有20人,抽得样本为2人,记为a1,a2,满意度评分值在[70,80)内有30人,抽得样本为3人,记为b1,b2,b3,样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1), (a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},共10个样本点,记“5人中随机抽取2人作主题发言,抽出的2人恰在同一组”为事件A,A包含的样本点个数为4,利用古典概型概率公式可知P(A)=0.4. 17.解(1)因为16<23<25<26<30,所以这5天发芽数的中位数是25.(2)这5天的平均发芽率为23+25+30+26+16100+100+100+100+100×100%=24%.(3)用(m,n)表示所求基本事件,则有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26), (25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个基本事件.记满足{25≤m≤30,25≤n≤30为事件A,则事件A包含的基本事件为(25,30),(25,26),(30,26),共有3个基本事件.所以P(A)=310,即事件{25≤m≤30,25≤n≤30的概率为310.18.解(1)根据频率和为1的性质知0.00050×200+0.00100×200+0.00125×200+S1+S2+S3=1,又S1=3S2=6S3,得到S1=0.30,S2=0.10,S3=0.05.价格在[200,400)的频率为0.00050×200=0.10,价格在[1200,1400]的频率为S3=0.05.按分层随机抽样的方法从价格在[200,400),[1200,1400]的商品中抽取6件,则在[200,400)上抽取4件,记为a1,a2,a3,a4,在[1200,1400]上抽取2件,记为b1,b2.现从中抽出2件,所有可能情况为:a1a2,a1a3,a1a4,a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1,a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2,共计15个样本点,其中符合题意的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2共8个样本点,因此抽到的两件商品价格差超过800元的概率为P=815.(2)对于方案一,优惠的价钱的平均值为:(300×0.10+500×0.20+700×0.25+900×0.30+1100×0.10+1300×0.05)×20%=150;对于方案二,优惠的价钱的平均值为:30×0.10+50×0.20+140×0.25+160×0.30+280×0.10+320×0.05=140.因为150>140,所以选择方案一更好.。
2021_2022学年新教材高中数学第七章概率2.1古典概型的概率计算公式课件北师大版必修第一册20
D.四名同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会
答案:D
2.先在5张卡片上分别写上数字1,2,3,4,5,将它们混合后,再任
意排成一行组成一个五位数,则得到的五位数能被2或5整除
的概率是(
)
..4
..8
解析:一个五位数能否被2或5整除关键看其个位数字,而由
(3,6),(-4,-2),(-4,3),(5,-2),(5,3),(6,-2),(6,3).
弄清题意,避免遗漏.
随 堂 练 习
1.下列随机试验的数学模型属于古典概型的是(
)
A.在一定的条件下,移植一棵吊兰,它可能成活,也可能不成活
B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有
点中任取一个点
取,为了得到试验的全部结果,我们设男生为A,B,C,D,女生为
1,2,3,我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果.如
(A,1)表示从男生中选取的是男生A,从女生中选取的是女生1,
可用列举法列出样本空间的所有样本点,如下表所示.
A
B
C
D
1
2
3
(A,1)
(B,1)
(C,1)
(D,1)
(A,2)
)
A.在公交车站候车不超过10 min的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从
中任取一球,观察颜色
C.向一个圆面内随机地投一个点,观察该点是否落入圆内接
正方形内
D.向上抛掷一枚不均匀的硬币,观察正面、反面出现的情况
解析:用古典概型的两个特征去判断即可.
对于选项A,因为10 min是个 某商场举行购物抽奖促销活动,规定每名顾客从装
高二数学条件概率3
P(B)>0
变式:
P( AB) P( A B )P (B )
P(B)>0
创新P0444
在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果
不放回地依次抽取2道题，求： （1）第1次抽到理科题的概率; P（A）= 5 （2）第1次和第2次都抽到理科题的概率;
P（AB）=
3 5 2 4 3 10
他
3
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽 1 到理科题的概率。 P（B|A）=
P（
P（A|B），P（AB）和P（B）会有什么样的关系
求条件概率公式
一般地,若P(B)>0,则事件B已发生的条件下A发 生的是条件概率
P(A B) P(AB) P(B)
注
(1) 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
P(B A) P(AB) P ( A)
P(A)>0
(2) 利用条件概率,有下面变式
(i i) 一般地
P(A B)
P(AB) P(B)
P ( A | B ) P ( A)
课本例2.如图2-3-1所示的正方形被平均分成 9个部分,向大正方形区域随机地投掷一个点 (每次都能投中),设投中最左侧3个小正方形区 域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或 正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求 P(AB),P(A|B).
1 P （AB） 4 P （A | B） 3 3 P （B） 4 1
再举一例.
抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为
令事件 A 2， 3， 5，B 1 ， 2， 4， 5， 6 S 1 ， 2， 3， 4， 5， 6，
（ A）， P （ B） ,P （ AB）， P （ A | B） 求 P
高二数学上册概率知识点
高二数学古典概型知识点1.基本事件：试验结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件.基本事件的特点：(1)每个基本事件的发生都是等可能的.(2)因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个.(3)任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现一个结果，即产生一个基本事件.(4)基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.2.古典概型的定义：(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.3.计算古典概型的概率的基本步骤为：(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m;(2)计算基本事件的总数n;(3)应用公式P(A)?m计算概率. n4.古典概型的概率公式：P(A)?A包含的基本事件的个数基本事件的总数.应用公式的关键在于准确计算事件A所包含的基本事件的个数和基本事件的总数.要点诠释：古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题;若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题;“在线段AB上任取一点C，求AC>BC的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.高二数学随机事件知识点随机现象在自然界，在人们的实践活动中，所遇到的现象一般可以分为两类：确定性现象随机现象对随机现象进行大量的重复试验(观测)其结果往往能呈现出某种统计规律性l随机试验为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学实验和对事物的观测统称为试验.如果试验具有下述特点：(1)试验可以在相同条件下重复进行;(2)每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个;(3)每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果，则称这种试验为随机试验简称试验。
高二数学古典概型试题
高二数学古典概型试题1.在正方体中任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】从正方体的12条棱中，任取两条棱，有种不同的方法，因为与已知棱成异面直线的有4条，所以共有对异面直线，则这两条棱为异面直线的概率.【考点】古典概型.2.一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则事件与同时发生的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】从装有大小相同的5个白球和3个红球共8个球的袋中先后不放回的各取出一个球的方法共有种，事件与同时发生的即两次中第1次取出的是白球，第2次取出的还是白球，这样的取法有种，由古典概型的概率计算公式得事件与同时发生的概率是，故选择D.【考点】古典概型的概率计算.3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A,B中至少有一件发生的概率是A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知及古典概率得：，；且知事件Ａ，Ｂ相互独立，则也相互独立，则事件Ａ，Ｂ中一个都没有发生的概率为：，又因为“事件Ａ，Ｂ中一个都没有发生”与“事件A,B中至少有一件发生”是对立事件，所以事件A,B中至少有一件发生的概率为：；故选C．【考点】事件的概率．4.袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率是，则至少得到1个白球的概率是 .【答案】【解析】设白球有个，则从袋中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率是解得先求从袋中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率是因此至少得到1个白球的概率是【考点】古典概型概率5.在一次考试中，某班语文、数学、外语平均分在80分以上的概率分别为、、，则该班的三科平均分都在80分以上的概率是________．【答案】【解析】由于语文、数学、外语平均分在80分以上这三个事件是相互独立的，所以所求事件的概率为××＝.6.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为________．【答案】【解析】能获奖有以下两种情况：①5袋食品中三种卡片数分别为1,1,3，此时共有×A33＝60(种)不同的方法，其概率为P1＝＝；②5袋食品中三种卡片数分别为2,2,1，共有×A33＝90(种)不同的装法，其概率为P2＝＝，所以所求概率P＝P1＋P2＝.7.某市准备从5名报名者（其中男3人，女2人）中选2人参加两个副局长职务竞选。
《高二数学概率复习》课件
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率， P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
P(A|B) ≥ 0。
规范性
当事件B是必然事件时，P(A|B) = P(A)。
条件概率的加法规则
如果两个事件B1和B2是互斥的，那么对于任一事件A，有 P(A|B1∪B2) = P(A|B1) + P(A|B2)。
04
概率的应用
概率在日常生活中的应用
天气预报
通过概率分析，预测未来天气变 化，为日常生活和出行提供参考
。
彩票
彩票中奖概率的计算，让人们理性 对待，避免盲目投入。
医学诊断
通过概率统计方法，提高疾病诊断 的准确率。
概率在科学实验中的应用
物理实验
在物理学中，概率被广泛应用于 粒子实验、量子力学等领域。
解析5
进阶题目5的答案是$frac{4}{8} times frac{3}{7} = frac{12}{56} = frac{3}{14}$，因为第一次摸出白球的概 率为$frac{4}{8}$，第二次摸出白球的概率为$frac{3}{7}$ 。
解析6
进阶题目6的答案是$frac{7}{10} times frac{3}{9} = frac{21}{90} = frac{7}{30}$，因为第一次摸出红球的概 率为$frac{7}{10}$，第二次摸出白球的概率为 $frac{3}{9}$。
《高二数学概率复习》ห้องสมุดไป่ตู้ppt课件
目 录
• 概率的基本概念 • 古典概型与几何概型 • 条件概率与独立性 • 概率的应用 • 复习题与答案解析
高二第13讲 古典与几何事件的概率(学生版)
课堂小结：几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”．因为射线AD落在∠DAB内的任意位置是等可能的，所以选择“角度”为“测度”是解决本题的关键．
课堂练习4：如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝ ，在∠BAC内作射线:AM交BC于点M，求BM<1的概率．
三．知识梳理：
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．古典概型的概率公式
P(A)＝ .
课堂小结：解答本题时，要特别注意“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”这句话，由此确定测度是角度．如果把这句话改为“在线段BC上找一点M”，则问题的情境立刻发生改变，相应的测度应改为线段的长度，所求概率为P(N)＝ ＝ ＝ .
题型五 与面积有关的几何概型an
例6：（1）（2013年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ）
(2)若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
课堂小结：这题属于古典概型与几何概型的一个典型的题目，融合了函数的零点知识(一元二次方程根的分布问题)．
课堂练习6：已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－2bx＋8.
高中数学必修3《古典概型》教案
教学设计
教学内容
师生活动
设计意图
二
构
建
概
念
思考交流：观察对比5等分转盘摇奖试验、掷硬币试验和例1的试验有什么共同的特点？
（提示：从试验的基本事件的个数和基本事件的概率特点两个方面入手）
古典概型
一、教材分析
教材的地位和作用：本节课是高中数学必修3第三章概率的第二节，古典概型的第一课时。本节课在教材中起着承前启后的作用。古典概型的引入避免了大量的重复试验，而且得到的概率是精确值。古典概型是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。学好古典概型为后续学习几何概型奠定了知识和方法基础，同时有助于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，并解释生活中的一些概率问题。
3.课堂提问与课后作业为补偿性教学提供依据。
.1任意角
课前预习学案
一、预习目标
1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；
2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；
3、能用集合和数学符号表示象限角；
4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.
由特殊到一般，水到渠成的引出古典概型的定义，从而使学生对古典概型由感性认识上升到理性认识。
三个问题的设计是为了让学生更加准确的把握古典概型的两个本质特征：结果的有限性和等可能性，以突破古典概型识别的难点。其中，问题2破坏了古典概型的等可能性，问题3破坏了古典概型的有限性特征，为后续学习几何概型埋下伏笔。
用动画演示摇奖试验，由教师提出问题。
高中数学第十章概率 古典概型课后提能训练新人教A版必修第二册
第十章 10.1 10.1.3A 级——基础过关练1．(多选)下列是古典概型的是( )A ．从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小B ．同时掷两颗骰子,点数和为7的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率【答案】ABD【解析】A,B,D 为古典概型,因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性,而C 不适合等可能性,故不为古典概型．故选ABD ．2．(2021年郑州模拟)一部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则第一册和第二册相邻的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34 【答案】C【解析】设一部三册的小说为1,2,3,所以试验的样本空间Ω＝{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)},共6个样本点,事件“第一册和第二册相邻”包含4个样本点,故第一册和第二册相邻的概率为p ＝46＝23. 3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛,则甲、乙都当选的概率为( ) A ．25B ．15C ．310D ．35【答案】C【解析】从五个人中选取三人有10种不同结果：(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),而甲、乙都当选的结果有3种,故所求的概率为310.故选C ． 4．(2021年河南模拟)(多选)在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )A ．两件都是一等品的概率是13B ．两件中有1件是次品的概率是12C ．两件都是正品的概率是13D ．两件中至少有1件是一等品的概率是56 【答案】BD【解析】由题意设一等品编号为a ,b ,二等品编号为c ,次品编号为d ,从中任取2件的基本情况有(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),(c ,d ),共6种．对于A,两件都是一等品的基本情况有(a ,b ),共1种,故两件都是一等品的概率P 1＝16,故A 错误；对于B,两件中有1件是次品的基本情况有(a ,d ),(b ,d )(c ,d ),共3种,故两件中有1件是次品的概率P 2＝36＝12,故B 正确； 对于C,两件都是正品的基本情况有(a ,b ),(a ,c ),(b ,c ),共3种,故两件都是正品的概率P 3＝36＝12,故C 错误；对于D,两件中至少有1件是一等品的基本情况有(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),共5种,故两件中至少有1件是一等品的概率P 4＝56,故D 正确． 5．某部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．23 【答案】B【解析】所有样本点为(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个样本点,所以p ＝26＝13.故选B ． 6.(2021年南充模拟)《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(——表示一根阳线, 表示一根阴线),从八卦中任取一卦,这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为( )A ．18B ．14C ．38D ．12【答案】C 【解析】从八卦中任取一卦,基本事件总数n ＝8,这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m ＝3,∴所求概率为P ＝38.故选C ． 7．(2021年太原月考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ,从{1,2,3}中随机选取一个数为b ,则b >a 的概率是________．【答案】15【解析】设所取的数中b >a 为事件A ,如果把选出的数a ,b 写成一数对(a ,b )的形式,则试验的样本空间Ω＝{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},共15个,事件A 包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,因此所求的概率P (A )＝315＝15.8．在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1,2,3,4,5的五本书,若某同学从中任意选出2本书,则选出的2本书编号相连的概率为__________．【答案】25【解析】从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)共10种,满足2本书编号相连的所有可能情况为(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)共4种,故选出的2本书编号相连的概率为410＝25. 9．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,并分别记为x ,y .(1)若记“x ＋y ＝5”为事件A ,求事件A 发生的概率；(2)若记“x 2＋y 2≤10”为事件B ,求事件B 发生的概率．解：将一颗质地均匀的骰子抛掷1次,它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果,抛掷第2次,它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果,因为骰子共抛掷2次,所以共有36种结果．(1)事件A 发生的样本点有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)共4种结果,所以事件A 发生的概率为P (A )＝436＝19. (2)事件B 发生的样本点有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6种结果,所以事件B 发生的概率为P (B )＝636＝16. 10．(2021年安庆期末)某学校有初级教师21人,中级教师14人,高级教师7人,现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析,求抽取的2名教师均为初级教师的概率．解：(1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中,3名初级教师分别记为A 1,A 2,A 3,2名中级教师分别记为A 4,A 5,高级教师记为A 6,则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝{(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,A 4),(A 1,A 5),(A 1,A 6),(A 2,A 3),(A 2,A 4),(A 2,A 5),(A 2,A 6),(A 3,A 4),(A 3,A 5),(A 3,A 6),(A 4,A 5),(A 4,A 6),(A 5,A 6)},即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B )的样本点为(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 2,A 3),共3种．所以P (B )＝315＝15. B 级——能力提升练11．两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( ) A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】设两位男同学分别为A ,B ,两位女同学分别为a ,b ,则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知,共有24种等可能的结果,其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种,故所求概率为1224＝12.故选D ． 12．从1,2,3,4中任取两个不同的数,则取出两个数之差的绝对值为2的概率是( ) A ．12B ．13C ．14D ．16 【答案】B【解析】从1,2,3,4中任取两个不同的数,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种不同的结果,取出的2个数之差的绝对值为2有(1,3),(2,4)共2种结果,故取出两个数之差的绝对值为2的概率p ＝26＝13.故选B ． 13．(2021年哈尔滨月考)在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合再任意排成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8 【答案】C【解析】一个五位数能否被2或5整除关键看其个位数字,而由1,2,3,4,5组成的五位数中,个位数是1,2,3,4,5是等可能的,“被2或5整除”这一事件等价于个位数字为2,4,5,∴所求概率为35＝0.6.故选C ． 14．(2021年聊城期末)在国庆阅兵中,某兵种A ,B ,C 三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则B 先于A ,C 通过的概率为________．【答案】13【解析】用(A ,B ,C )表示A ,B ,C 通过主席台的次序,则试验的样本空间Ω＝{(A ,B ,C ),(A ,C ,B ),(B ,A ,C ),(B ,C ,A ),(C ,A ,B ),(C ,B ,A )},共6个样本点,其中事件B 先于A ,C 通过的有(B ,C ,A )和(B ,A ,C ),共2个样本点,故所求概率P ＝26＝13.15．设a 是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数,b 是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数,构成一个样本点(a ,b )．记“这些样本点中,满足log b a ≥1”为事件E ,则E 发生的概率是________．【答案】512【解析】事件E 发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字,共有12种结果,满足条件的样本点是满足log b a ≥1,可以列举出所有的样本点,当b ＝2时,a ＝2,3,4；当b ＝3时,a ＝3,4.所以根据古典概型的概率公式得到概率是3＋212＝512. 16．某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参加书画比赛,其中从高二甲班选出了2名男同学、1名女同学,从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学．(1)若从这6名同学中抽出2名进行活动发言,写出所有可能的结果,并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率；(2)若从高二甲班和乙班各选1名同学现场作画,写出所有可能的结果,并求选出的2名同学性别相同的概率．解：(1)设选出的3名高二甲班同学为A ,B ,C ,其中A 为女同学,B ,C 为男同学,选出的3名高二乙班同学为D ,E ,F ,其中D 为男同学,E ,F 为女同学．从这6名同学中抽出2人的所有可能结果有(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F ),共15种．其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(C ,D ),(D ,E ),(D ,F ),共9种,故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率p ＝915＝35. (2)高二甲班和乙班各选1名的所有可能结果为(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),共9种,选出的2名同学性别相同的有(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(C ,D ),共4种,所以选出的2名同学性别相同的概率为49. C 级——探索创新练17．(2020年江西月考)某学校有40名高中生参加足球特长生初选,第一轮测身高和体重,第二轮足球基础知识问答,测试员把成绩(单位：分)分组如下：第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],得到频率分布直方图如图所示．(1)根据频率分布直方图估计成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)用分层抽样的方法从成绩在第3,4,5组的高中生中抽6名组成一个小组,若从6人中随机选2人担任小组负责人,求这2人来自第3,4组各1人的概率．解：(1)因为(0.01＋0.07＋0.06＋x ＋0.02)×5＝1,所以x ＝0.04.所以成绩的平均值为0.05×75＋802＋0.35×80＋852＋0.30×85＋902＋0.20×90＋952＋0.10×95＋1002＝87.25. (2)第3组学生人数为0.30×40＝12,第4组学生人数为0.20×40＝8,第5组学生人数为0.10×40＝4,所以抽取的6人中第3,4,5组的人数分别为3,2,1.第3组的3人分别记为A 1,A 2,A 3,第4组的2人分别记为B 1,B 2,第5组的1人记为C ,则从中选出2人的基本事件为共15个,记“从这6人中随机选出2人担任小组负责人,这2人来自第3,4组各1人”为事件M , 则事件M 包含的基本事件为(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),共6个,所以P (M )＝615＝25.。
2025年高考数学总复习课件82第十章第四节古典概型与事件的相互独立性
第四节 古典概型与事件的相互独立性
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
4．(教材改编题)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色 球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．
3 5
解析：所求概率p＝C31C·52C21 ＝ 35.
第四节 古典概型与事件的相互独立性
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k k n(A)
个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝___n_＝____n_(_Ω．) 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 注意点： 一个试验是否为古典概型，在于样本点是否具有两个特点——有限性和等可能 性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解 决概率问题的关键．
第四节 古典概型与事件的相互独立性
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
核心回扣 1.古典概型 具有以下特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称 古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有__有__限__个__； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性__相__等__．
如图1，有6种取法；
(2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法．所
以所取的4个点在同一个平面的概率p＝1720 ＝ 365.
第四节 古典概型与事件的相互独立性
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
概率的基本性质 课件-高二上学期数学人教A版必修 第二册
例8：在学校运动会开幕式上，100 名学生组成一个方阵进行表演，他
们按照性别(M (男)、F (女) )及年级(G1 (高一)、G2(高二)、G3(高三)) 分类统计的人数如下表:
G1
G2
G3
M
18
20
14
F
17
24
7
若从这100名学生中随机选一名学生， 求下列概率:
P(M) =_0__.5__2_，P(F) =_0_._4_8__，
(1)C=“抽到红花色”，求P(C)；
(2)D=“抽到黑花色”，求P(D).
解：(1)因为C=A∪B，A与B是互斥事件.
根据互斥事件的概率加法公式，得
11 1
P(C)=P(A)+P(B)= 4 4 2
(2)因为C与D互斥，又因为C∪D是必然
事件，所以C与D互为对立事件.因此
P(D)=1-P(C)=
（1）互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
（2）对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件， 当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
（3）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时， 常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
【注意】有限个彼此互斥事件的ห้องสมุดไป่ตู้的概率，等于这些事件的概
P(M∪F) =_1_____， P(MF) =_0_____，
P(G1) = _0__.3__5_， P(M∪G2) =_0__.7__6__， P(FG3) =_0__.0__7_.
练习1：从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件 A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=41P(B)= ，那么
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电玩城森林舞会版本
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