2018-2019学年上海市徐汇中学高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019 学年上海市徐汇中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明n33n23n 1这一不等式时，应注意n 必须为（）A．n N*B．n N*，n 2 C．n N*，n 3D n N*，n 4【答案】D【解析】根据题意验证n 1，n 2，n 3时，不等式不成立，当n 4时，不等式成立，即可得出答案.【详解】解：当n 1，n 2，n 3时，显然不等式不成立，当n 4 时，64 61 不等式成立，故用数学归纳法证明n33n23n 1这一不等式时，应注意n必须为n 4，n N* 故选：D.【点睛】本题考查数学归纳法的应用，属于基础题．2．设n N *，则“数列｛ a n｝为等比数列”是“数列｛ a n｝满足a n a n 3 a n 1 a n 2”的（）A ．充分非必要条件B．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】Aa n 1 a n 3【解析】“数列｛a n｝为等比数列”，则n1 n 3 q，数列｛ a n｝满足a n a n 2a n a n 3 a n 1 a n 2 ．反之不能推出，可以举出反例．【详解】a n 1 a n 3解：“数列｛a n｝为等比数列”，则q，数列｛a n｝满足a n a n 3 a n 1 a n 2．充a n a n 2分性成立；反之不能推出，例如a n 0，数列｛ a n ｝满足a n a n 3 a n 1 a n 2 ，但数列不是等比数列，即必要性不成立；故“数列｛a n ｝为等比数列 ”是“数列｛ a n ｝满足a n a n 3 a n 1 a n 2 ”的充分非必要条件 故选： A ．【点睛】 本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题．3．设 z 是复数，从 z ，z ，z ，|z|2，|z 2 |，|z|2， z z 中选取若干对象组成集合，则 这样的集合最多有（ ）A ．3 个元素B ．4个元素C ．5个元素D ．6个元素【答案】 A【解析】设复数 z a bi a,b R 分别计算出以上式子，根据集合的元素互异性， 可判断答案 . 【详解】解：设复数 z a bi a,b Rz a bi a,b R ， z a bi z a,b R ，2 2 2| z| a b ，22z z a bi a bi a 2b 2z 2 a bia 2b 2 2abi故选： A 【点睛】本题考查复数的运算及相关概念，属于中档题4．已知数列 A:a 1,a 2, ,a n （0 a 1 a 2a n ，n 3）具有性质 P ：对任意 i 、 j1 i j n ），a j a i 与a j a i 两数中至少有一个是该数列中的一项，对于命题： ① 若数列 A 具有性质 P ，则 a 1 0； ② 若数列 a 1，a 2， a 3(0 a 1 a2 a3 )具有性质 P ，则 a 1 a 3 2a 2；下列判断正确的是( )A ．①和 ②均为真命题B ．①和 ②均为假命题C ． ①为真命题， ② 为假命题D ． ① 为假命题， ② 为真命题【答案】 A 【解析】本题是一种重新定义问题，要我们理解题目中所给的条件，解决后面22| z|ab 2z 2 a 2 b 22abia 2b 2 2ab a 2 b 2 a 2 b 2故由以上的数组成的集合最多有 a bi ， a bi ， a 2 b 2 这 3 个元素，的问题，把后面的问题挨个验证．【详解】解：①若数列｛ a n｝具有性质P，取数列｛ a n｝中最大项a n，则a n a n 2a n 与a n a n 0 两数中至少有一个是该数列中的一项，而2a n 不是该数列中的项，0是该数列中的项，又由0剟a1 a2 ? a n ，a1 0；故① 正确；② 数列a1，a2 ，a3具有性质P，0, a1 a2 a3，a1 a3 与a3 a1至少有一个是该数列中的一项，且a1 0 ，1 若a1 + a3是该数列中的一项，则a1 a3 a3 ，a1 0 ，易知a2 a3不是该数列的项a3 a2 a2 ，a1 a3 2a2 ．2 若a3 a1是该数列中的一项，则a3 a1 a1或a2或a3，a、若a3 a1 a3 同1 ，b 、若a3 a1 a2 ，则a3 a2 ，与a2 a3 矛盾，c、a3 a1 a1，则a3 2a1 ，综上a1 a3 2a2．故②正确．故选：A ．【点睛】考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．、填空题25．计算： lim n 2n 2n3n 2 1答案】 136．若复数 z 满足 iz 1 i （ i 为虚数单位） ，则 z答案】 1 i解析】分析：由复数的除法运算可得解1 i 1 i i详解：由 iz 1 i ，得 z 1 i 1 i .i1故答案为： 1 i . 点睛：本题考查了复数的除法运算，属于基础题 .7．在等比数列 {a n } 中， a 3 4，a 5 16，则 a 7 _____________【答案】 64【解析】根据等比数列下标和性质解得。

【详解】解：因为数列 {a n } 是等比数列， a 3 4 ， a 5 162 a 5 a3 a 7即 162 4a 7 解得 a 7 64 故答案为： 64 点睛】本题考查等比数列的性质若 m n p q ，则 a m a n a p a q ，属于基础题 . 8．若复数 z i （2i ） （ i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数 z ______________________解析】分子分母同除以 n2，即可求出结果 .详解】n 2n 2因为 limnn 2n 2 3n 2limn2n 3n 2 1 2 n11lim n n 2 2 n3 n 12n故答案为点睛】本题主要考查”型的极限计算，熟记常用做法即可，属于基础题型【答案】1 2i 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z＝i （2﹣i）＝1+2i，得z 1 2i ．故答案为：1﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．9．已知数列{a n}满足a1 1，a n 1 2a n 1（n N*），则a5 _________________ .【答案】31【解析】根据数列的首项及递推公式依次求出a2、a3、⋯⋯a5即可.【详解】解：a1 1 ，a n 1 2a n 1a2 2a1 1 3a32a2 1 7a42a3 1 15a5 2a4 1 31故答案为：31【点睛】本题考查利用递推公式求出数列的项，属于基础题.10．设S n是等差数列a n 的前n项和，若S5 10，S10 5，则公差d （___）．【答案】1【解析】根据两个和的关系得到公差条件，解得结果.【详解】由题意可知，S10 S5 5 10 15 ，即a6 a7 a8 a9 a10 15 ，又a1 a2 a3 a4 a5 10 ，两式相减得25d 25，d 1.【点睛】本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.11．若a n 是等比数列，a4a7 512 ，a3 a8 124 ，且公比q为整数，则a10 _____________【答案】512【解析】由题设条件知a3和a8是方程x2 124x 512 0 的两个实数根，解方程x2 124x 512 0 并由公比q 为整数，知a3 4 ，a8 128 ，由此能够求出公比，从而得到a10 .【详解】a n 是等比数列，a4a7 512，a3 a8 124，a3a8 512，a3 a8 124 ，a3 和a8是方程x2 124x 512 0 的两个实数根，解方程x2 124x 512 0 ，得x1 128 ，x2 4 ，公比q 为整数，a3 4 ，a8 128 ，54q5 128 ，解得q 2，2a10 a8 ( 2) 2 128 4 512 .故答案为：512【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，利用了等比数列下标和的性质，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.12．关于x的方程x24x m 0( m R)的两虚根为、，且| | 2，则实数m 的值是.【答案】5【解析】关于x方程x24x m 0 两数根为与，由根与系数的关系得：4，ab =m，由| | 2及与互为共轭复数可得答案．【详解】解：Q 与是方程x24x m 0 的两根由根与系数的关系得：4，ab = m，由与为虚数根得：4 4m 16i，4 4m 16i，22则| | | 4m 16i| 2 ，解得m 5 ，经验证，符合要求，故答案为：5 ．【点睛】本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意与为虚数根情形，否则漏解，属于基础题．13．若{a n} 是等差数列，首项a1 0 ，a2006 a2007 0，a2006 a2007 0，则使前n 项和S n 最大的自然数n 是 _________________ .【答案】4012【解析】由已知条件推导出a2006 0，a2007 0 ，由此能求出使前n 项和S n 0成立的最大自然数n 的值．【详解】解：等差数列{a n}，首项a1 0 ，a2006 a2007 0，a2006 a2007 0，a2006 0，a2007 0．如若不然，a2006 0 a2007 ，则d 0 ，而a1 0 ，得a2006 a1 2005d 0，矛盾，故不可能．a1 a4012 4012 a2006 a2007 4012S4012 = 022a1 a4013 4013S4013 =4013a2007 02使前n项和S n 0成立的最大自然数n为4012 ．故答案为：4012 ．【点睛】本题考查等差数列的前n项和取最大值时n的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，第7 页共15 页注意等差数列的通项公式的合理运用．{a n }是递增数列，则满足条件的 q 的取值范围是答案】（0,1）考点】等比数列的性质的取值范围是 答案】 (0,32) (23,3)解析】由题意可得 q 1且 q 0，即 1 q 1且 q 0， a1 a2详解】33 化简可得 a 123 23q30 a 1 3且 a 12即 a 1 (0, 23) ( 23,3)33故答案为： (0,3) (3,3)22点睛】 本题考查数列极限以及不等式的性质，属于中档题16．数列{ a n }的前 n 项和为 S n ，a 1 2，且 3a n 1 2S n 3（n N *），记S a 1 a 2 a n ，则 S 的值是14．等比数列 {a n }中， a 1<0， 解析】试题分析：由题意可得a2a 1q a 1 a3 a 11 11，∴{ 112 ，解得 0<q <1 a 1q a 1q 2a215．若首项为 a 1，公比为 q （ q 1 ） 的等比数列 {a n }满足 l n im （2a 1a 1 a 2q n ) 23，则 a 12 a 132 ，化简可得33a 132 32q 由不等式的性质可得a 1 的取值范围 .解： lim(n2a 1 a 1 a 2q n ) 322a 1 lim na 1 a 2lim q nn故有 1 q 1且 q 0，2 a1a 1 a 2【答案】 31【解析】由已知条件推导出 {a n } 是首项为 2，公比为 的等比数列，由此能求出 S 的 3 值.【详解】 解：因为数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，a 1 2，且3a n 1 2S n 3（n N * ），3a n 2S n 1 3， n 2.1 {a n } 是首项为2 ，公比为 1的等比数列，题.17．把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成 一列，得到一个数列 {a n } ，若 a n 2019 ，则 n ___________________3a n 1 a n 0 即an 1 a n113， n 2.21 3n112 1 n Sn2 13n S n113S a 1 a 2a nS limS n lim nn2 1 1n213n2 311331 13故答案为： 3点睛】本题考查数列的前 n 项和的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理应用， 属于中档答案】 1032解析】 由图乙可得：第 k 行有 k 个数，且第 k 行最后的一个数为 k 2 ，从第三行开始每 一行的数从左到右都是公差为 2的等差数列，注意到 442 1936 ， 452 2025 ，据此 确定 n 的值即可 . 【详解】分析图乙，可得 ①第k 行有 k 个数，则前 k 行共有 k（k 1）个数， ②第k 行最后的一个 2数为 k 2 ，③从第三行开始每一行的数从左到右都是公差为 2的等差数列，又由442 1936 ， 452 2025 ，则 442 2019 452，则 2019出现在第 45行，第 45行990 个数，则 2019 为第 990 42 1032 个数．故填 1032 ．点睛】 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确， 通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一 种发现一般性规律的重要方法．三、解答题18．（1）已知数列 {a n }的前 n 项和 S n 满足 S n 2n 1，求数列 { a n }的通项公式；（2）数列 {a n } 满足 a 1 1，a n n a n1（n 2 ），求数列 {a n } 的通项公式 . 答案】 （ 1） a n =2n- 1；（2）a n2 n n .2S nn1 解析】 （1）利用 a n求出数列 {a n } 的通项公式；S n Sn 1n22）利用累加法求数列 {a n } 的通项公式； 详解】 解：（ 1） S n 2n 1①当 n 1 时， S 1 2 1 1 即 a 1 1 当 n 2 时， S n 1 2n 1 1② ①减②得a n 2n 2n 1 2n 1n- 1经检验 n 1时， a n = 2n- 1成立 故 a n = 2n- 1（ 2） a n n a n 1 （ n 2 ）a n a n 1 n a 4 a 3 4a 3 a 2 a 2 a 1 2将上述式相加可得 a n a 1 2 3 4 L n第一个数为 4421 1937 ，这行中第2019 193721 42个数为 2019，前 44 行共44 45 2a a2 n n 1 an a12a 1 1n2nan2【点睛】本题考查作差法求数列的通项公式以及累加法求数列的通项公式，属于基础题 .219．已知方程 x 2 kx 100 0， k C .（ 1）若 1 i 是它的一个根，求 k 的值； （ 2）若 k N * ，求满足方程的所有虚数的和 . 【答案】（1） 51 49i ；（ 2） 190.【解析】（1）先设出 k 的代数形式，把 1 i 代入所给的方程，化简后由实部和虚部对应 相等进行求值；2）由方程由虚根的条件，求出 k 的所有的取值，再由方程虚根成对出现的特 点，求出所有虚根之和．【详解】 解：（ 1）设 k a bi （a,b R ） ， 1 i 是 x 2 kx 100 0的一个根，2(1 i)2 (a bi)(1 i) 100 0 ， b a 100 (2 a b)i 0，2)方程 x 2 kx 100 0有虚根， k 2 4 100 0，解得 20k20 ，k N* ， k 1，2，3 19，又 虚根是成对出现的， 所有的虚根之和为 1 2 19 190 ．【点睛】 本题是复数的综合题，考查了复数相等条件的应用，方程有虚根的等价条件，以及方程 中虚根的特点，属于中档题．20 ．2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目． 规划从 2017 年 起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目 .2016 年该项目的净收入 为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50 00．记 2016 年为第 1 年， f n 为第 1 年至此后第 n n N 年的累计利润注：含第 n 年，累计利润 =累计净收入﹣累计投入，单位：千万元） ，且当 f n 为 正值时，认为该项目赢利．1）试求 f n 的表达式；2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．12 12 3212 32...21 23，利用等比数列数列的求和公式可得 f n ；（2） b a 100 0 2ab0解得 a 51 ， b 49 ， k 51 49i ，答案】 (1)2n 7；(2) 2023.解析】试题分析： （ 1）由题意知，第一年至此后第 n n N 年的累计投入为利用指数函数的单调性即可得出23n8 2 n 1 （千万元），第 1年至此后第 n n N 年的累计净收入为1f n 1 f n 12千万元），﹣4]， ∴当 n ≤3时， f （ n+1）﹣ f （n ）＜0，故当 n ≤4时， f （ n ）递减； 当 n ≥4时， f （n+1）﹣f （n ）＞ 0，故当 n ≥4时， f （n ）递增． 又 f （ 1）=﹣ ＜0，f （7） ﹣ 23=2 >0． ∴ 该项目将从第 8 年开始并持续赢利． 答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利； 方法二：设 f （x ） =﹣2x﹣7（x ≥1），从而当 x ∈[1，4）时， f' （x ）＜ 0， f （x ）递减；当 x ∈（4，+∞）时， f'（x ）＞ 0，f （x ）递增．﹣ 23=2 >0．∴ 该项目将从第 8 年开始并持续赢利． 答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利．1 2 1121．已知数列 {a n }前n 项和 S n n 2n （n N * ），数列{ b n }等差，且满足 b 3 11，22前 9 项和为 153.1）求数列 {a n } 、{b n } 的通项公式；试题解析：（1）由题意知，第 1年至此后第 n （n ∈ N ）年的累计投入为 8+2（ n ﹣1）=2n+6第 1年至此后第 n （n ∈ N ）年的累计净收入为++千万元）．﹣（ 2n+6） =﹣ 2）方法一：∵f （n+1）﹣f （n ）=[∴f （n ）= 2n ﹣ 7（千万元）．﹣ 2（ n+1 ）﹣ 7]﹣ [ 则 f ′（ x ） ===又 f （ 1）=﹣ ＜0，f （7） =≈ 5×21=﹣2）设 c n3（2a n 11）（2b n1），数列 {c n }的前n 项和为 T n ，求T n 及使不等式× +×+⋯+ ×﹣ 2n ﹣ 7]= [﹣ 21=﹣ <0，f （8）= ﹣≈令 f'（ x ）=0，得 =5， ∴≈4．＜0，f （8）=23≈25k *T n 2019对一切 n N * 都成立的最小正整数 k 的值；a n 2l 1( l )N *(3)设 f (n)an n 2l 1( l )N * ，问是否存在 m N *，使得 f(m 15) 5 f(m)b n n 2l(l N *)成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 .【答案】(1) a n n 5，b n 3n 2 ；(2) T n 2n n 1，k min 1010 ；( 3) 11.【解析】(1)由数列的前 n 项和结合 a n S n S n 1(n ⋯2)求得数列 {a n }的通项公式，再 由b n 2 2b n 1 b n 0，可得 { b n }为等差数列，由已知求出公差，代入等差数列的通 项公式得答案；3( 2)把数列 {a n } ，{b n } 的通项公式代入 c n，然后利用裂项相消n n(2a n 11)(2 b n 1)k法求和，可得使不等式 T nk对一切 n 都成立的最小正整数 k 的值；n2019(3)分 m 为偶数和奇数分类分析得答案． 【详解】1 11解：( 1)由 S n 1n 2 11n．221 2 11 1 2 11故当 n ⋯2时， a n S n S n 1 ( n 2n) [ (n 1)2 (n 1)] n 5． 2 2 2 2n 1 时， a 1 S 1 6，而当 n 1时， n 5 6 ，a n n 5(n N * ) ，又 b n 2 2b n 1 b n 0 ，即 b n 2 b n 1 b n 1b n (n N * ) ，{b n } 为等差数列，于是9(b 3 b 7)153 ． 2 23 11而 b 3 11，故 b 7 23， d23 113，3 77 3因此， b n b 3 3(n 3) 3n 2 ，即 b n 3n 2(n N * )；3[2( n 5) 11][(2(3 n 2) 1]1 1 1 1(2n 1)(2n 1) 2(2n 1 2n 1)T n c 1 c 2 c n 1[(1 1) (1 1) (1 1)( 1 1)] 1(1 1)n 1 2 n2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 2 2n 12)3(2a n 11)(2b n 1)n 2n 1n 5,(n 2l 1,l N ) f(n)* 3n 2,(n 2l,l N * ).①当 m 为奇数时， m 15为偶数．此时 f (m 15) 3(m 15) 2 3m 47， 5f(m) 5(m 5) 5m 25 ，3m 47 5m 25， m 11．②当 m 为偶数时， m 15为奇数．此时 f (m 15) m 15 5 m 20 ， 5f(m) 5(3m 2) 15m 10 ．m 20 15m 10 ， 5*m 7 N * (舍去)．综上，存在唯一正整数 m 11，使得 f (m 15) 5f (m) 成立． 【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查数 列的函数特性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．易知 T n 单调递增，k 1由T n 2019，得k 2019T n，而T n 2，故k⋯1095.k min1010 ；3)。