数学分析(I)复习题

数学分析（I ）复习题
一、确界原理
1．叙述函数)(x f 在0x 点局部无界的定义. 2．叙述函数)(x f 在数集D 上有上确界A 的定义. 3. 证明函数2
()1x f x x =+在(,)-∞+∞上有界.
4. 证明函数2
1()f x x
=
在(0,1)上无界.
5. 设x x S |{=为区间)1,0(中的无理数}.试按上、下确界的定义验证：
.0inf ,1sup ==S S
6. 设g f ,为定义在D 上的有界函数，满足D x x g x f ∈≤),()(，证明：
)(sup )(sup x g x f D
x D
x ∈∈≤.
7. 设g f ,为定义在D 上的有界函数，证明：
{})(sup )(sup )()(sup )(inf )(sup x g x f x g x f x g x f D
x D
x D
x D
x D
x ∈∈∈∈∈+≤+≤+.
8. 设数集S 为非空有下界数集．证明:inf min S S S ξξ=∈⇔=. 9. 设非空数集S 有上界，sup S η=.证明: 1)存在数列{}n a S ⊂,使lim n n a η→∞
=.
2)若S η∉,则存在严格递增的数列{}n a S ⊂,使lim n n a η→∞
=.
二、极限与连续
1. 用“δε-”语言叙述A x f a
x ≠→)(lim 的定义.
2. 叙述lim ()x f x →+∞
=-∞的严格定义.
3．叙述lim ()x a
f x -
→不是无穷大的严格定义.
4. 叙述极限lim ()x f x →-∞
存在的归结原则.
5. 叙述极限lim ()x a
f x -
→存在的柯西准则.
6. 按照函数极限的柯西准则，写出极限lim ()x f x →∞
不存在的充要条件.
7. 设a x g x =+∞
→)(lim （a 为有限数），)(x f 在点a 连续，证明：
)()]([lim a f x g f x =+∞
→
8. 用N ε-语言证明
（1）12lim lim
n
n n n a a a a a a n
→∞
→∞
+++=⇒= ；
（2
）0,lim lim
n n n n a a a a →∞
→>=⇒=.
9. 设f 为0()U x +
上递增有界函数，证明)0(0+x f 存在，且
)(inf )0()
(000
x f x f x U x +∈=
+
10. 设3
3
1112
n a n
=+
++
,证明{}n a 收敛.
11. 求下列极限.
(1) 0
2
lim
arcsin
x x →-;
(2) 0
lim ln sin x x x +
→;
(3) cot 0
lim (sin cos )
x
x x x →+;
(4) tan 0
1
lim ()
x
x x
+
→;
(5) 2
1cot lim x x x
x →⎛⎫
-
⎪⎝⎭
;
(6) 0
1lim
x
x e x →--.
12. 指出下列函数的间断点及其类型.
(1) 2ln(1)
,0()1,0x x f x x
x ⎧+≠⎪
=⎨⎪=⎩; (2) 1sin ,0
()1,0x x f x x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩
13. 设[0,1]f C ∈.若值域()[0,1]R f ⊂,则存在[0,1]ξ∈,使得()f ξξ=. 14. 设[,]f C a b ∈.若()()f a f b =,则在[,]a b 中存在,,2
b a
c
d d c --=,使得()()f c f d =.
15. 证明: 1sin
x
在(0,1)内不一致连续,在[1,)+∞上一致连续.
16. f 在(,)a b 一致连续⇔f 在(,)a b 连续，且(0)f a +和(0)f b -都存在. 17. 设f 在),[+∞a 连续，且)(lim x f x +∞
→存在，证明f 在),[+∞a 上一致连续.
三、一元函数微分学
1. 计算下列函数的导数或微分. (1)
设()tan(arcsin
x
f x e =++求()f x ';
(2)
设ln arctan ,
x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩求22
d d y x ; (3) 设函数()y y x =由方程y
e xy e +=所确定,求(0)y ''. (4) 设cos(ln )x
y x x =⋅,求d y .
2. 设1,0()10,0
x x
x f x e x ⎧≠⎪
=⎨+⎪
=⎩. 问(0)f '是否存在.
3. 设函数()f x 在0x 的邻域0()U x 有定义，证明：导数0()f x '存在的充分必要条件是存在函数()g x ，它在0()U x 有定义，在点0x 连续，且在0()U x 内成立等式
00()()()()f x f x x x g x =+-
而且此时有00()()f x g x '=.
4. 叙述并证明导函数介值定理（Darboux 定理）.
5. 叙述并证明导函数极限定理.
6. 证明：当0,1≠->x x 时，成立不等式
x x x
x <+<+)1ln(1
7. 设函数f 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，()()0f a f b = =.证明：∃(,)a b ξ∈，使得
[()()]1e
f f ηξ
ηη-'+=.
8. 设函数f 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，()()1f a f b = =.证明：∃,(,)a b ξη∈，使得
()()f f ξξ'=.
9. 函数f 在[,]a b 上二阶可导，()()0f a f b ''==；则∃(,)a b ξ∈，使得
2
4()()()()
f f b f a b a ξ''≥--.
10. 求函数43()(1)f x x x =-的极值.
11. 求椭圆222
2
1x y a
b
+
=的内接矩形中面积最大的矩形.
12. 证明不等式
1
1(1)12
p
p
p x x -≤+-≤,[0,1],1x p ∈>.
13. 利用函数的凸性证明
1
2
112212n
n n n
a a a a a a λλλλλλ+++≥ ,
其中 0,0,1,2,,i i a i n λ≥>= 121n λλλ+++= .
四、一元函数积分学
1. 利用换元法求下列不定积分 (1)
d 1sin x
x
+⎰;
(2)
⎰
; (3)
()x a b <⎰
.
2. 利用分部积分法求下列不定积分
(1)
ln(d x x +
⎰
; (2)
arcsin d 1x x +⎰; (3) arctan 3
2
2
d (1)x
xe
x x +⎰
.
3. 求不定积分 2
2
4
2
4
d ,d 11x
x
I J x x
x
x
x
=
=
++++⎰⎰.。