数学分析(I)复习题

数学分析（I ）复习题

一、确界原理

1．叙述函数)(x f 在0x 点局部无界的定义. 2．叙述函数)(x f 在数集D 上有上确界A 的定义. 3. 证明函数2

()1x f x x =+在(,)-∞+∞上有界.

4. 证明函数2

1()f x x

=

在(0,1)上无界.

5. 设x x S |{=为区间)1,0(中的无理数}.试按上、下确界的定义验证：

.0inf ,1sup ==S S

6. 设g f ,为定义在D 上的有界函数，满足D x x g x f ∈≤),()(，证明：

)(sup )(sup x g x f D

x D

x ∈∈≤.

7. 设g f ,为定义在D 上的有界函数，证明：

{})(sup )(sup )()(sup )(inf )(sup x g x f x g x f x g x f D

x D

x D

x D

x D

x ∈∈∈∈∈+≤+≤+.

8. 设数集S 为非空有下界数集．证明:inf min S S S ξξ=∈⇔=. 9. 设非空数集S 有上界，sup S η=.证明: 1)存在数列{}n a S ⊂,使lim n n a η→∞

=.

2)若S η∉,则存在严格递增的数列{}n a S ⊂,使lim n n a η→∞

=.

二、极限与连续

1. 用“δε-”语言叙述A x f a

x ≠→)(lim 的定义.

2. 叙述lim ()x f x →+∞

=-∞的严格定义.

3．叙述lim ()x a

f x -

→不是无穷大的严格定义.

4. 叙述极限lim ()x f x →-∞

存在的归结原则.

5. 叙述极限lim ()x a

f x -

→存在的柯西准则.

6. 按照函数极限的柯西准则，写出极限lim ()x f x →∞

不存在的充要条件.

7. 设a x g x =+∞

→)(lim （a 为有限数），)(x f 在点a 连续，证明：

)()]([lim a f x g f x =+∞

→

8. 用N ε-语言证明

（1）12lim lim

n

n n n a a a a a a n

→∞

→∞

+++=⇒= ；

（2

）0,lim lim

n n n n a a a a →∞

→>=⇒=.

9. 设f 为0()U x +

上递增有界函数，证明)0(0+x f 存在，且

)(inf )0()

(000

x f x f x U x +∈=

+

10. 设3

3

1112

n a n

=+

++

,证明{}n a 收敛.

11. 求下列极限.

(1) 0

2

lim

arcsin

x x →-;

(2) 0

lim ln sin x x x +

→;

(3) cot 0

lim (sin cos )

x

x x x →+;

(4) tan 0

1

lim ()

x

x x

+

→;

(5) 2

1cot lim x x x

x →⎛⎫

-

⎪⎝⎭

;

(6) 0

1lim

x

x e x →--.

12. 指出下列函数的间断点及其类型.

(1) 2ln(1)

,0()1,0x x f x x

x ⎧+≠⎪

=⎨⎪=⎩; (2) 1sin ,0

()1,0x x f x x

x ⎧

≠⎪=⎨⎪=⎩

13. 设[0,1]f C ∈.若值域()[0,1]R f ⊂,则存在[0,1]ξ∈,使得()f ξξ=. 14. 设[,]f C a b ∈.若()()f a f b =,则在[,]a b 中存在,,2

b a

c

d d c --=,使得()()f c f d =.

15. 证明: 1sin

x

在(0,1)内不一致连续,在[1,)+∞上一致连续.

16. f 在(,)a b 一致连续⇔f 在(,)a b 连续，且(0)f a +和(0)f b -都存在. 17. 设f 在),[+∞a 连续，且)(lim x f x +∞

→存在，证明f 在),[+∞a 上一致连续.

三、一元函数微分学

1. 计算下列函数的导数或微分. (1)

设()tan(arcsin

x

f x e =++求()f x ';

(2)

设ln arctan ,

x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩求22

d d y x ; (3) 设函数()y y x =由方程y

e xy e +=所确定,求(0)y ''. (4) 设cos(ln )x

y x x =⋅,求d y .

2. 设1,0()10,0

x x

x f x e x ⎧≠⎪

=⎨+⎪

=⎩. 问(0)f '是否存在.

3. 设函数()f x 在0x 的邻域0()U x 有定义，证明：导数0()f x '存在的充分必要条件是存在函数()g x ，它在0()U x 有定义，在点0x 连续，且在0()U x 内成立等式

00()()()()f x f x x x g x =+-

而且此时有00()()f x g x '=.