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带电粒子在磁场中运动最小面积问题
例 1.在 xOy 平面有许多电子（质量为m, 电荷量为e） ,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限 ,如图所示 .现加上一个垂直于 xOy 平面的磁感应强度为 B 的匀强磁场 ,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于 x 轴向运动 ,试求出符合条件的磁场最小面积 .
例 2 ．一质量为m 、带电荷量为q 的粒子以速度v0 从 O 点沿 y 轴向射入磁感应强度为 B 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从 b 处穿过 x 轴，速度方向与x 轴向夹角30°，如图所示 (粒子重力忽略不计)．试求：
(1)圆形磁场区域的最小面积．
(2)粒子从 O 点进入磁场区域到达 b 点所经历的时间．
(3)b 点的坐标．
例 3 ．一个质量为 m，带＋ q 电量的粒子在 BC 边上的 M 点以速度 v 垂直于 BC 边飞入正三角形 ABC。

为了使该粒子能在 AC 边上的 N 点图示 (CM ＝ CN)垂直于 AC 边飞出三角形 ABC，可在适当的位置加一个垂
直于纸面向里，磁感应强度为 B 的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域，且不计粒子的重
力．试求：
(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r 及周期 T；
(2)该粒子在磁场里运动的时间t ；
(3)该正三角形磁场区域的最小边长；
针对训练
1． (09 年高考 )如图甲所示， ABCD 是边长为 a 的形．质量为 m、电荷量为 e 的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC 边射入形区域．在形适当区域中有匀强磁场．电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场．不计重力，求：
(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．
(2)此匀强磁场区域的最小面积．
2．（ 09 年卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，
T,在 X 轴上距坐标原点 L=0.50m的 P 处为离子的入射口，在Y 上安放接收器，磁感应强度大小 B=2.0 ×10
-3
现将一带正电荷的粒子以v=3.5 ×104m/s 的速率从 P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0.50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为 q,不记其重力。

（ 1）求上述粒子的比荷q/m
（ 2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强
电场；
（3）为了在 M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限的磁场可以局限在一个矩形区域，求此
矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

3、（ 1994 年全国高考试题）如图 12 所示，一带电质点，质量为
m ，电量为 q ，以平行于 Ox 轴的速度 v 从 y 轴上的 a 点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 Ox 轴的速度 v
射出，可在适当的地方加一个垂直于
xy 平面、磁感应强度为
B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形
区域，试求这圆形磁场区域的最小半径。

重力忽略不计。

4.[2010 · 模拟 ] 如图甲所示，水平放置的平行金属板
A 和
B 间的距离为 d ，板长 L ＝ 2 3d ， B 板的右侧边
缘恰好是倾斜挡板 NM 上的一个小孔 K ， NM 与水平挡板 NP 成 60°角， K 与 N 间的距离 K N ＝ a.现有质
量为 m 、带正电且电荷量为 q 的粒子组成的粒子束，从 AB 的中点 O 以平行于金属板方向
OO ′的速度 v 0
不断射入，不计粒子所受的重力．
(1) 若在 A 、 B 板上加一恒定电压 U ＝ U 0，则要使粒子穿过金属板后恰好打到小孔
K ，求 U 0 的大小．
2L (2) 若在 A 、B 板上加上如图乙所示的电压，电压为正表示
A 板比
B 板的电势高，其中
T ＝
v 0 ，且粒子只在 T K 的粒子在何时从 O 点射入？
0～ 时间入射，则能打到小孔
2 (3)在 NM 和 NP 两挡板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场， 使满足条件 (2)从小孔 K 飞入的粒
子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板
NP 上 (之前与挡板没有碰撞 )，求该磁场的磁感应强度的最小值．
5.如图，一带电粒子以某一速度在竖直平面做匀速直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁 感应强度为 B 的最小的圆形匀强磁场区域
(图中未画出磁场区域 )，粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为
L
的匀强电场，电场强度大小为
E ，方向竖直向上．当粒子穿出电场时速率变为原来的 2 倍．已知带电粒
子的质量为 m ，电荷量为 q ，重力不计．粒子进入磁场前的速度与水平方向成θ＝ 60°角．试回答：
(1) 粒子带什么电？
(2) 带电粒子在磁场中运动时速度多大？
(3) 该最小的圆形磁场区域的面积为多大？
参考答案
例 1.在 xOy 平面有许多电子（质量为 m, 电荷量为 e ） ,从坐标原点 O 不断以相同大小的速度
v 0 沿不同的方
向射入第一象限 ,如图所示 .现加上一个垂直于
xOy 平面的磁感应强度为
B 的匀强磁场 ,要求这些电子穿过该
磁场后都能沿平行于
x 轴向运动 ,试求出符合条件的磁场最小面积 .
解：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径
R ＝ mv /Be 是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的
运动轨道如图所示，因为电子只能向
第一象限平面发射，
所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆
O 1，它就是磁场的上边界。

其它各圆轨迹的圆
心所连成的线必为以点
O 为圆心，以 R 为半径的圆弧 O O O 。

由于要求所有电子均平行于
x 轴向右飞出
1
2 n
磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。

如对图中任一轨迹圆 O 2 而言，要使电 子能平行于 x 轴向右飞出磁场，过 O 2 作弦的垂线 O 2A ，则电子必将从点 A 飞出，相当于将此轨迹的圆心
O 2 沿 y 方向平移了半径 R 即为此电子的出场位置。

由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧 O 1O 2O n 沿 y 方 向向上平移了半径 R 后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧 OAP 示。

综上所述，要求的磁场的最小
区域为弧 OAP 与弧 OBP 所围。

利用形 OO 1PC 的面积减去扇形
2 OO 1P 的面积即为 OBPC 的面积；即 R - π
2
2 2
）＝（π
2
R /4 。

根据几何关系有最小磁场区域的面积为 S ＝ 2（ R - πR /4 /2 -1 ）（ mv 0/Be ） 。

例 2. 一质量为 m 、带电荷量为 q 的粒子以速度 v0 从 O 点沿 y 轴向射入磁感应强度为
B 的一圆形匀强磁
场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从 b 处穿过 x 轴，速度方向与
x 轴向夹角 30°，如
图所示 (粒子重力忽略不计 )．试求： (1)圆形磁场区域的最小面积．
(2)粒子从 O 点进入磁场区域到达 b 点所经历的时间．
(3)b 点的坐标．
mv 0
解析： (1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 R ＝ qB
由图可知 ∠aO ′ b ＝ 60° 磁场区域最小半径
3mv 0
r＝ Rcos 30°＝2qB
22
磁场区域最小面积
23π m v0
22
S＝π r ＝4q B .
1
2π m
(2)由 O 到 a 过程所经历的时间 t ＝
3Bq
由几何关系得 ab＝ 3R＝3mv 0 Bq
粒子由 a 到 b 所经历的时间
ab3m 2＝
v0Bq
∴粒子从 O 点进入磁场区域到达 b 点所经历的时间
m 2
t ＝t 1＋ t2＝ ( π＋ 3)．
Bq 3
R
(3)因为 sin 30°＝O′b，
3mv 0
∴ O′ b＝ 2R 得 Ob ＝ 3R＝Bq
3mv 0
故 b 点的坐标为 (qB， 0)．
例 3 、一个质量为m，带＋ q 电量的粒子在 BC 边上的 M 点以速度 v 垂直于 BC 边飞入正三角形 ABC。

为
了使该粒子能在 AC 边上的 N 点图示 (CM ＝ CN)垂直于 AC 边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为 B 的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域，且不计粒子的
重力．试求：
(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r 及周期 T；
(2)该粒子在磁场里运动的时间t ；
(3)该正三角形磁场区域的最小边长；
针对训练
1．如图甲所示，ABCD 是边长为a 的形．质量为 m、电荷量为 e 的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于 BC 边射入形区域．在形适当区域中有匀强磁场．电子从BC 边上的任意点入射，都只能从 A 点射出磁场．不计重力，求：
甲
(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．
(2)此匀强磁场区域的最小面积．
mv0π － 2 2
【答案】 (1) ea方向垂直纸面向外(2)2a
2．（ 09 年卷） 22.(20 分 )图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域有垂直于纸面向里的匀
强磁场， 磁感应强度大小 B=2.0 ×10 -3 T,在 X 轴上距坐标原点 L=0.50m 的 P 处为离子的入射口， 在 Y 上安放
接收器，现将一带正电荷的粒子以
4
y 轴上距坐标原点 v=3.5 ×10 m/s 的速率从 P 处射入磁场，若粒子在 L=0.50m 的 M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为 m,电量为 q,不记其重力。

q
（ 1）求上述粒子的比荷
m
；
（ 2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻， 在第一象限再加一个匀强电场，就可以使其沿 y 轴向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
（ 3）为了在 M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限的磁场
可以局限在一个矩形区域，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

q
答案（ 1） m =4.9 ×107
C/kg （或 5.0×10
7
C/kg ）；（ 2）
t
7.9 10 6 s ； （ 3） S 0.25m 2
解析：第（ 1）问本题考查带电粒子在磁场中的运动。

第（ 2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（
3 ）
问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。

（ 1）设粒子在磁场中的运动半径为 r 。

如图甲，依题意 M 、P 连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得
2L
r
2
①
由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得
qvB m
v 2
r
②
q
m =4.9 ×107 C/kg （或 5.0×107 C/kg ）③
（ 2）设所加电场的场强大小为 E 。

如图乙，当粒子子经过 Q 点时，速度沿 y 轴向，依题意，在此时加入
沿 x 轴向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有
qE
qvB
④
代入数据得
E 70 N / C
⑤
所加电场的长枪方向沿
x 轴向。

由几何关系可知，圆弧
PQ 所对应的圆心角为 45°，设带点粒子做匀速圆
周运动的周期为 T ，所求时间为
t ，则有
t
45 0
360 0
T
⑥
2 r
T
v
⑦
联立①⑥⑦并代入数据得
t 7.9 10 6 s
⑧
（ 3）如图丙，所求的最小矩形是
MM 1P 1 P
，该区域面积
S 2r 2
⑨
联立①⑨并代入数据得
S 0.25m 2
矩形如图丙中
MM 1 P 1 P
（虚线）、
3、（ 1994 年全国高考试题）如图
12 所示，一带电质点，质量为 m ，电量为 q ，以平行于 Ox 轴的速度 v
从 y 轴上的 a 点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 Ox 轴的速度 v
射出，可在适当的地方加一个垂直于
xy 平面、磁感应强度为 B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形 区域，试求这圆形磁场区域的最小半径。

重力忽略不计。

解析：质点在磁场中作半径为R 的圆周运动，
qvB= （Mv 2） /R，得 R= （ MV ） /（ qB ）。

根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于 R 的圆上的 1/4 圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射
方向的速度相切。

如图 13 所示，过 a 点作平行于 x 轴的直线，过 b 点作平行于 y 轴的直线，则与这
两直线均相距 R 的 O′点就是圆周的圆心。

质点在磁场区域中的轨道就是以 O′为圆心、R 为半径的圆（图中虚
线圆）上的圆弧 MN ， M 点和 N 点应在所求圆形磁场区域的边界上。

在通过 M 、N 两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN 连线为直径的圆周。

所以本题所求的圆形磁
场区域的最小半径为：
，
所求磁场区域如图13 所示中实线圆所示。

4 [2010 ·模拟 ] 如图 39－
5 甲所示，水平放置的平行金属板 A 和 B 间的距离为 d ，板长 L＝ 23d ，B 板的右侧边缘恰好是倾斜挡板NM 上的一个小孔K，NM 与水平挡板NP 成 60°角， K 与 N 间的距离K N ＝
a.现有质量为 m、带正电且电荷量为 q 的粒子组成的粒子束，从 AB 的中点 O 以平行于金属板方向 OO ′的速度 v0不断射入，不计粒子所受的重力．
图 39－ 5
(1)若在 A 、 B 板上加一恒定电压
U ＝U 0，则要使粒子穿过金属板后恰好打到小孔
K ，求 U 0 的大小．
2L
(2)若在 A 、 B 板上加上如图乙所示的电压，电压为正表示
A 板比
B 板的电势高，其中
T ＝
v 0 ，且粒子只在
T
0～ 2时间入射，则能打到小孔 K 的粒子在何时从 O 点射入？
(3)在 NM 和 NP 两挡板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场， 使满足条件 (2)从小孔 K 飞入的粒
子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板
NP 上 (之前与挡板没有碰撞 )，求该磁场的磁感应强度的最小值．
2
T 6 －2 3 mv 0
mv 0
例 3 (1)12q (2)t x ＝ 4 (3) 3qa
[解析 ] (1)A 、 B 板间加上电压后，带电粒子做类平抛运动，则： L ＝ v 0t ①
d 1 qU 0 2
＝
2 md t ②
2
2
2
2
把 L ＝ 2 3d 代入 ①② 式可得： U 0＝
md v 0 mv 0
2
＝ ③
qL
12q
(2)粒子在水平方向做匀速直线运动，
t ＝ L
T
T
粒子运动的时间均为
＝ ，设粒子在 t x 时刻进入金属板， 则在 2 －
v 0 2
t x 时刻开始做类抛运动，平抛的时间为
t x ，则：
d
1q · 4U 0 2
＝
t x ④
2 2 md
把 ③ 代入 ④式可得：
t x ＝ T
⑤
4
T
(3)在 射入的粒子，在进入
K 时竖直方向的分速度为 v y ，则
4
q · 4U
T
v 0
v y ＝ at x ＝
· ＝
md ⑥
4 3
v y
3⑦
2223
v＝ v0＋ v y＝3 v0
则θ＝ 30°，即粒子垂直 MN 板入射．如图甲所示，粒子从K 点入射后做匀速直线运动从 D 点开始进入磁场，粒子在进入磁场后，根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板NP，则粒子需偏转300 °后从 E 射出，做匀速直线运动垂直打到NP.
粒子做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，即
2
mv
qvB ＝r⑧
mv
可得 B＝qr⑨
要使 B 最小，则要半径 r 最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，如图乙所示，根据对称性圆
周运动的圆心 C、交点 G 位于∠ MNP 的角平分线上，则由几何关系可得：
CDKF 是边长为 r 的形．则在三角形NCF 中，有
3r ＝ a＋ r，
a
，
可得 r＝
3－ 1
3－ 1mv6－ 2 3 mv 0
.
B＝＝
qa3qa
过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁感应强度为B 的最小的圆形匀强磁场区域(图中未画出磁场区域)，粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为L 的匀强电场，电场强度大小为E，方向竖直向上．当粒子穿出电
场时速率变为原来的 2 倍．已知带电粒子的质量为m，电荷量为 q ，重力不计．粒子进入磁场前的速度
与水平方向成θ＝ 60°角．试回答：
(1)粒子带什么电？
(2)带电粒子在磁场中运动时速度多大？
(3)该最小的圆形磁场区域的面积为多大？
解析： (1)根据粒子在磁场中偏转的情况和左手定则可知，粒子带负电．
(2)由于洛伦兹力对粒子不做功，故粒子以原来的速率进入电场中，设带电粒子进入电场的初速度为v0，在电场中偏转时做类平抛运动，由题意知粒子离开电场时的末速度大小为t2v0t分解为垂直于电场
v ＝，将 v
方向 (x 轴方向 )和平行于电场方向(y 轴方向 )的两个分速度：由几何关系知
L F
xy0y0
v ＝ v ＝ v， v＝ at， v ＝t， a＝m，F＝ Eq
qEL
.
联立以上各式可解得：v0＝m
(3)如图所示，带电粒子在磁场中所受洛伦兹力提供向心力，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，圆形磁场区域的半径为r，则：
mv20
Bqv ＝R
mv 01ELm
R＝Bq＝B q
由几何知识可得：r＝ Rsin30°
磁场区域的最小面积为S＝π r
2
πmEL
联立以上各式可解得S＝2.
4B q
Word 资料。