课后限时作业15

12．某新式可调火炮水平射出的炮弹所做的运动可视为平抛 运动．如图所示，目标是一个剖面为 90°的扇形山崖 OAB，半径 为 R.重力加速度为 g.
(1)若炮弹以初速度 v0 射出，炮弹恰好垂直打在圆弧的中点 C，求炮弹到达 C 点所用时间；
(2)若在同一高地 P 处先后以不同速度射出两发炮弹，击中 A 点的炮弹运动的时间是击中 B 点的两倍，已知 O、A、B、P 在同 一竖直平面内，求高地 P 离 A 点的高度．
点．以下说法中正确的是( D )
A．∠AOP 为 45° B．若要使两小球落在 P 点右侧的弧面上同一点，则应使 v1、 v2 都增大 C．改变 v1、v2，只要两小球落在弧面上的同一点，v1 与 v2 之和就不变 D．若只增大 v1，则两小球可在空中相遇
解析：连接 O、P，过 P 点作 AB 的垂线，垂足为 D，如图 甲所示．两球在竖直方向上运动的位移相等，所以运动时间相 等，两球在水平方向上做匀速直线运动，所以ABDD＝vv12＝13，而 AD＋BD＝2R，所以 AD＝12R，OD＝12R，cos∠AOP＝OODP＝12， 即∠AOP＝60°，故 A 错误；若要使两小球落在 P 点右侧的弧 面上同一点，则左边小球水平位移增大，右边小球水平位移减 小，而两球的竖直位移和运动时间均相等，所以应使 v1 增大， v2 减小，故 B 错误；要使两小球落在弧面上的同一点，则其水
(1)小球水平抛出的速度 v0 的大小； (2)滑块的初速度 v 的大小．
解析：(1)设小球落入凹槽时竖直速度为 vy，则 vy＝gt＝10×0.4 m/s＝4 m/s 因为小球垂直落入凹槽中，则有vv0y＝tan37°， 所以 v0＝vytan37°＝3 m/s.
(2)小球落入凹槽时的水平位移 x＝v0t＝3×0.4 m＝1.2 m 则小滑块的位移 s＝co1s.327°＝1.5 m 小滑块上滑时，由牛顿第二定律得 mgsin37°＋μmgcos37°＝ma 解得 a＝8 m/s2 根据公式 s＝vt－12at2 解得 v＝5.35 m/s.
解析：设斜面倾角为 θ，斜面长度为 l，第一次小球的加速 度为 a＝gsinθ，第二次小球做平抛运动，加速度为 g，则第二 次速度变化更快，第一次运动的时间 t＝ gs2inl θ，第二次运动 的时间 t′＝ 2lsginθ，所以第一次运动经历时间更长，选项 A、B 错误；第一次和第二次运动的过程中，都只有重力做功， 可知运动过程中小球所受的合力做功相同，动能的变化量相同， 但第二次初速度大于零，所以第二次小球到达 B 点的速度更大， 选项 C 正确；小球第一次到达 B 点时速度沿斜面方向，第二次 到达 B 点时速度不沿斜面方向，速度方向不同，选项 D 错误．
斜面上时，瞬时速度方向与水平方向夹角的正切值 tanα＝vgt0＝
2tan30°，所以瞬时速度方向一定，故 C 正确；若小球垂直落在
右边斜面上，则竖直位移 y′和水平位移 x′满足xy′′＝2gvt0＝12
tan60°＝
23，但由图可知，xy′′<tan30°＝
3，故 3
D
错误．
10.如图所示，半圆形凹槽的半径为 R，O 点为其圆心．在与 O 点等高的边缘 A、B 两点分别以水平速度 v1、v2 同时相向抛出 两个小球，已知 v1 v2＝1 3，两小球恰好都落在弧面上的 P
A. tanθ C. tan3θ
B．tanθ D．tan2θ
解析：由平抛运动规律得，水平方向上，有 Rsinθ＝v1t1， Rcosθ＝v2t2，竖直方向上，有 Rcosθ＝12gt12，Rsinθ＝12gt22，联立 解得vv12＝ tan3θ，选项 C 正确．
9．(多选)如图所示，横截面为直角三角形的两个相同斜面紧 靠在一起，固定在水平面上，它们的倾角都是 30°.小球从左边斜 面的顶点以不同的初速度向右水平抛出，最后落在斜面上，其中 三个小球的落点分别是 a、b、c，已知落点 a 最低，落点 c 最高．图
4，故 C 错误，D 正
6．军事演习中，在 M 点的正上方离地 H 高处的蓝军飞机以 水平速度 v1 投掷一颗炸弹攻击地面目标，反应灵敏的红军地面高 炮系统同时在 M 点右方地面上 N 点以速度 v2 斜向左上方发射拦 截炮弹，如图所示，两弹恰在 M、N 连线的中点正上方相遇爆
炸．若不计空气阻力，则发射后至相遇过程( C )
4．某同学将小球从距水平地面高为 h1 处水平击出，不计空
气阻力，小球落地时的水平射程为 s1.若将该小球从距水平地面高
为 h2 处以相同速度水平击出，则小球落地时的水平射程为( A )
A. hh12s1
B.hh21s1
C. hh21s1
D.hh12s1
解析：小球从高为 h1 处水平抛出时，由 s1＝vt1，h1＝12gt21，
落到半圆轨道上，小球 b 能落到斜斜面上 B．a 球可能垂直落在半圆轨道上 C．a、b 两球可能同时落在半圆轨道和斜面上 D．a、b 两球不可能同时落在半圆轨道和斜面上
解析： 将半圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图所示，交点为 A， 当初速度合适时，小球做平抛运动落在 A 点，即两球同时落在 半圆轨道和斜面上，若初速度不合适，由图可知，小球可能先 落在斜面上，也可能先落在半圆轨道上，故 C 正确，A、D 错 误；若 a 球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向 与水平方向的夹角是位移方向与水平方向的夹角的 2 倍，而在 平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移 方向与水平方向夹角正切值的 2 倍，两者相互矛盾，所以 a 球 不可能垂直落在半圆轨道上，故 B 错误．
3.如图所示，光滑斜面固定在水平面上，第一次让小球从斜 面顶端 A 由静止释放，使小球沿斜面滑到底端 B；第二次将小球 从斜面顶端 A 沿水平方向抛出，使小球刚好落到斜面底端 B.比较 两次小球的运动，下列说法正确的是( C )
A．第二次小球运动经历时间更长 B．第一次小球运动速度变化更快 C．第二次小球到达 B 点的速度更大 D．两种情况下小球到达 B 点的速度方向相同
的影响．下列说法中正确的是( D )
A．两小球的下落时间之比为 1 3
B．两小球的下落时间之比为 1 4
C．两小球的初速度大小之比为 1 3
D．两小球的初速度大小之比为 1 4 解析：两球做平抛运动，下落高度相同，则下落的时间相 同，故 A、B 错误；由于两球的水平位移之比为 1 4，根据
v0＝xt 知，两小球的初速度大小之比为 1 确．
中三小球相比较，下列判断正确的是( BC )
A．落在 a 点的小球初速度最大 B．落在 a 点的小球飞行过程速度的变化量最大 C．改变小球抛出时初速度大小，小球落在左边斜面时的瞬 时速度的方向是一定的 D．改变小球抛出时初速度大小，小球落在右边斜面时的瞬 时速度方向可能与斜面垂直
解析：平抛运动的时间由下落高度决定，由 h＝12gt2 得，t
答案：(1)3 m/s (2)5.35 m/s
8.如图所示，半圆形容器竖直放置，从其圆心 O 点处分别以 水平初速度 v1、v2 抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落 在圆弧上的 A 点和 B 点，已知 OA 与 OB 互相垂直，且 OA 与竖 直方向成 θ 角，则两小球的初速度之比为( C )
A．小球初速度为 gttanθ B．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 C．小球着地速度大小为signtθ D．小球在 t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为 θ
解析：如图所示，小球落地时在竖直方向的分速度为 vy＝ gt，则初速度为 v0＝tagntθ，落地时速度 v＝signtθ，选项 C 正确， A 错误；平抛运动的时间 t＝ 2gy，仅由下落高度决定，选项 B 错误；设位移方向与水平方向的夹角为 α，则 tanα＝xy＝2gvt0， 而 tanθ＝vv0y＝vgt0，故 tanθ＝2tanα，选项 D 错误．
联立解得 h＝43R.
答案：(1)vg0
4 (2)3R
13.如图所示，小球自楼梯顶的平台上以水平速度 v0 做平抛 运动，所有阶梯的高度为 0.20 m，宽度为 0.40 m，重力加速度 g 取 10 m/s2.
(1)求小球抛出后能直接打到第 1 级阶梯上 v0 的范围； (2)求小球抛出后能直接打到第 2 级阶梯上 v0 的范围； (3)若小球以 10.4 m/s 的速度水平抛出，则小球直接打到第几 级阶梯上？
解得 s1＝v
2gh1；小球从高为 h2 处水平抛出时，由 s2＝vt2，
h2＝12gt22，解得 s2＝v
2h2，联立得 g
s2＝
hh12s1，选项 A 正确．
5．如图所示，在 M 点分别以不同的速度将两小球水平抛 出．两小球分别落在水平地面上的 P 点、Q 点．已知 O 点是 M 点在地面上的竖直投影，OP PQ＝1 3，且不考虑空气阻力
7.如图所示，倾角为 37°的粗糙斜面底端有一质量 m＝1 kg 的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数 μ＝0.25，现小滑 块以某一初速度 v 从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一 小球以速度 v0 水平抛出，经过 0.4 s，小球恰好垂直斜面落入凹 槽，此时小滑块还在上滑．已知 sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g 取 10 m/s2，求：
A．两弹飞行的轨迹重合 B．初速度大小关系为 v1＝v2 C．拦截弹相对攻击弹做匀速直线运动 D．两弹相遇点一定在距离地面34H 高度处
解析：两弹在 M、N 连线的中点正上方相遇，说明末位置 相同，但不能说明运动轨迹重合，故 A 错误；由于两弹恰在 M、 N 连线的中点正上方相遇，说明它们的水平位移大小相等，又 由于运动的时间相同，所以它们在水平方向上的速度相同，即 v2cosθ＝v1，所以 v2>v1，故 B 错误；两弹都只受到重力，都做 匀变速运动，加速度相同，所以拦截弹相对攻击弹做匀速直线 运动，故 C 正确；根据题意只能求出两弹运动时间相同，但不 知道拦截炮弹竖直方向初速度的具体值，所以不能判断两弹相 遇点距离地面的高度，故 D 错误．