不等关系与不等式 公开课课件

[点评] 两个不等式只进行同向加法不进行减法，需 要减时两边同乘“－1”，再同向相加即可．
变式训练2 若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：a－e c2> e b－d2.
证明：∵c<d<0， ∴－c>－d>0，∴a－c>b－d>0. ∴(a－c)2>(b－d)2>0. ∴0<a－1 c2<b－1d2. 又∵e<0，∴a－e c2>b－e d2.
[正解1] (待定系数法)设f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋ n(a＋b)，
所以m－＋mn＋＝n4＝－2， 解得mn＝＝13. 所以f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)．
因为1≤a－b≤2， 所以3≤3(a－b)≤6. 又因为2≤a＋b≤4， 所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10. 即5≤f(－2)≤10.
答案：< > >
6．若bc－ad≥0，bd＞0， 求证：a＋b b≤c＋d d.
证明：∵bc－ad≥0，bd＞0， ∴bc≥ad，b1d＞0. ∴dc≥ab，∴dc＋1≥ab＋1， 即c＋d d≥a＋b b，即a＋b b≤c＋d d.
[例4] 设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg e，则( )
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．c>b>a
[分析] 比较实数大小的题目经常与对数函数、指数 函数的性质相结合，难度不大，常以选择题形式出现，这 类题在高考中比较常见．此类题的解法主要是比较法或者 从不等式的性质入手即可，要熟记不等式的性质．
[正解2] (换元法)设xy＝ ＝aa－ ＋bb， 则a＝x＋2 y，b＝y－2 x. 所以f(－2)＝4a－2b＝2(x＋y)－(y－x)＝3x＋y， 而1≤x＝a－b≤2,2≤y＝a＋b≤4， 所以5≤f(－2)≤10.
思悟升华
在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提 条件．例如：
1．在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号 而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b， b<c⇒a<c.
[点评] 要判断命题是真命题，应说明理由或加以证 明，推理过程应合乎性质结论；要判断命题是假命题，只 需要举一个反例即可．
变式训练1 判断下列说法的对错：
(1)ac<bc且c>0⇒a>b；
(2)若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d；
(3)a>b>0，且c>d>0⇒
a d>
bc；
(4)ca2>cb2⇒a>b.
2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”．例 如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，则a>b ⇒ac2>bc2就是错误结论(∵当c＝0时，取“＝”)．
3．“a>b>0⇒an>bn>0(n∈N，n>1)”成立的条件是“n
为大于1的自然数，a>b>0”，假如去掉“n为大于1的自然
[解析] 方法1：(比较法)∵2<e< 10，
∴0<lg
1 e<2.
方法2：(利用不等式的性质判断)∵2<e< 10，
∴0<lg
e<12<1，∴lg
e·lg
1 e<2·lg
e<1·lg
e，∴(lg
e)2<lg
e<lg e，∴b<c<a，即a>c>b.故选B.
[答案] B
变式训练4 若log2a<0，(12)b>1，则(
2．若a>b>0，当n<0时，an>bn成立吗？
提示：不成立．如当a＝3，b＝2，若n＝－1， 则3－1＝13<2－1＝12.
3．a>b，ab>0，则1a<1b成立吗？
提示：成立．ab>0，则a1b>0，又a>b， ∴a×a1b>b×a1b， 即1b>1a，从而1a<1b成立．
典例导悟
类型一 利用不等式的性质判断命题的真假 [例1] 对于实数a，b，c，判断下列命题的真假． (1)若a>b，则ac<bc； (2)若ac2>bc2，则a>b； (3)若a<b<0，则a2>ab>b2；
答案：A
2．已知a>b，c>d，则( )
A．ac>bd
B．ac<bd
C．a＋c>b＋d
ab D.c>d
解析：同向不等式a>b，c>d，两边分别相加，得a＋ c>b＋d，但不能乘、除，所以选项A，B，D不正确，选项 C正确．
答案：C
3．已知m>n，则( A．m2>n2 C．mx2>nx2
) B. m> n D．m＋x>n＋x
解：(1)∵
c a
<
c b
，c>0，∴
1 a
<
1 b
，当a<0，b>0时，此式成
立，此时推不出a>b，∴(1)错．
(2)当a＝4，b＝1时，虽然4＋2>1＋3，
但是2<3，
∴(2)错．
(3)∵a>b>0，c>d>0，∴ad>bc>0，
∴
a d>
bc成立．∴(3)对．
(4)显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b.∴(4)对．
(3)∵aa<<b0， ∴a2>ab. 又ab<<b0， ∴ab>b2，∴a2>ab>b2. 故该命题为真命题． (4)两个负实数，离原点远的数小，绝对值反而大． 故该命题为真命题．
(5)∵c>a>b>0，∴0<c－a<c－b， ∴c－1 a>c－1 b，∴c－a a>c－b b. 故该命题为真命题． (6)由已知条件，得b－a<0，1a－1b>0， ∴b－ aba>0，∴ab<0. 又a>b，∴a>0，b<0. 故该命题为真命题．
(5)可乘方(开方)性 ①可乘方性：如果a>b>0，那么an > bn(n∈N，且 n≥1)．
②可开方性：如果a>b>0，那么
n a
>
n b
(n∈N，且
n≥2)．
提醒：不等式加、减、乘、乘方、开方都有自己的条
件，切不可乱用．
思考感悟
1．两个不同向不等式的两边可以分别相减或相除吗？ 提示：不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相 减，也不能分别相除，在需要求差或商时，可利用不等式 性质转化为同向不等式相加或相乘．
数”这个条件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现3－
1>2－1，即
1 3
>
1 2
的错误结论：假如去掉“b>0”这个条件，取a
＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现32>(－4)2的错误结论．
练习
1．已知a>b，则( ) A．3a>3b C．－a>－b
B．－2a>－2b D．－11a>－11b
解析：选项B，C，D中，a>b两边同乘以一个负数，不 等号的方向没有改变，则选项B，C，D不正确，故选A.
[点评] 本题应利用不等式的性质来求解，而不能错 误地使用同向不等式相减或相除．
变式训练3 根据下列x的取值范围，求1x的取值范围． (1)－2≤x≤－1； (2)－2<x≤1，且x≠0； (3)x≥－2，且x≠0.
解：(1)由－2≤x≤－1，得－12≥1x≥－1.所以1x的取值 范围为[－1，－12]．
类型二 利用不等式的性质证明不等式
[例2] 已知：f(x)＝logax，a>1>b>c>0， 证明：bb－－fcc>c－a－fcb.
[分析] 先确定分母b－c与a－c的大小，从而得出
1 b－c
与
1 a－c
的大小关系，再确定分子b－f(c)与c－f(b)的大
小关系，最后由性质得出两分式的大小关系．
[证明] ∵a>b>c，∴a－c>b－c>0， ∴a－1 c<b－1 c. 又∵f(b)＝logab, f(c)＝logac，a>1， ∴f(b)>f(c)． 又∵1>b>c>0，∴f(b)<0, f(c)<0. ∴0<－f(b)<－f(c)．又b>c>0， ∴b－f(c)>c－f(b)>0. 又b－1 c>a－1 c>0，∴bb－－fcc>c－a－fcb.
类型三 利用不等式的性质求取值范围
[例3]
已知12<a<60,15<b<36，求a－b及
a b
的取值范
ห้องสมุดไป่ตู้围．
[分析] 欲求a－b的取值范围，应先求－b的取值范
围，欲求ab的取值范围，应先求1b的取值范围，然后再利用 不等式的性质求解．
[解] ∵15<b<36，∴－36<－b<－15. ∴12－36<a－b<60－15， 即－24<a－b<45. 又316<1b<115，∴1326<ab<6105. ∴13<ab<4.
(2)由－2<x≤1，且x≠0，即－2<x<0，或0<x≤1，得1x <－12，或1x≥1.
所以1x的取值范围为(－∞，－12)∪[1，＋∞)．