工科数学分析下考试题带答案

合集下载

北京交通大学第二学期工科数学分析Ⅱ期末考试试卷及其答案

解此方程组，得
10．设函数 f ( x ) =
∫
0
x
sin t dt ．⑴ 试将 f ( x ) 展成 x 的幂级数，并指出其收敛域．⑵ 若在上式中 t
令 x = 1 ，并利用其展开式的前三项近似计算积分解： ⑴ 由于
∫
1
sin x dx ，试判断其误差是否超过 0.0001 ？ x 0
( t 2 t 4 t 6 t 8 t 10 − 1) t 2 n −2 = 1− + − + − +"+ +" (2n − 1)! 3! 5! 7! 9! 11! 所以，在区间 [0, x ]上逐项积分，得
y x+ y ∫∫ e dxdy ，其中积分区域 D 是由直线 x = 0 ， y = 0 及 x + y = 1 所围成的闭区 D
6．计算二重积分域．
解：作极坐标变换 x = r cos θ ,
y = r sin θ ，则有
rdr
∫∫ e
D
y x+ y
π
dxdy = ∫ dθ
0
2
1 cos θ + sin θ
Σ
(
)
(
)
= ∫∫∫ z + x + y dV
2 2 2
(
)
Ω
= ∫ dθ ∫ sin ϕdϕ ∫ ρ 4 dρ
0 0 0
−2
2π
π
2 a
2 = πa 5 5
8．求解微分方程 x y ′′ + xy ′ − 4 y = 2 x ．解：
2
这是 Euler 方程，令 x = e ，或 t = ln x ，原方程化为

2017级工科数分(下)期中考试卷(附解答)

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《工科数学分析》2017—2018学年第二学期期中考试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：开（闭）卷；本试卷共 4个大题，满分100分，考试时间90分钟。

10分，共60分）设函数f 有二阶连续偏导数,求函数22,x z f x y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的二阶混合偏导数.解:12212222211122223212,4112+24+210z f x f x yf f z x f x y y y y y f x xxyf f f y y y ∂''=⋅+⋅∂''∂∂∂-'=⋅+⋅∂∂∂∂'⎛⎫''''''=--- ⎪⎝⎭计算 2421222xxxdx dy dx dy yyππ+⎰⎰:()22421221322sin724210xy yx x dx dy dx dyyyx dy dx yπππππ+==+⎰⎰⎰⎰分分计算体密度为ρ=:z ∑=与1z =所围成立体的质量。

解：在球坐标下1z =即1cos 1,cos z r r ϕϕ===，z ∑=：cos sin r r ϕϕ==，进而tan 1,cos 04πϕϕϕ=≥⇒=。

z ∑=：1z =交线即221,1x y z +==得立体投影域22:1xy D x y +≤含原点。

从而立体1:02,0,04cos r πθπϕϕΩ≤≤≤≤≤≤，2分用球坐标计算质量()1/cos 2/4201/cos /430sin 72sin 1106m d d r r drd r dr ϕππϕπθϕϕπϕϕπΩ==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰4. 计算()221(1)Lx dy ydx x y ---+⎰，其中L 为下列闭曲线，沿逆时针方向：（1）点()1,0在L 所围区域之外；（2）点()1,0在L 所围区域之内。

09级《工科数分》(下A解答)

09级《工科数学分析》(下)试题A 参考答案一．填空题（每小题4分，总12分。

将答案按题号写在答题纸上，不写解题过程）1、222,0y C Cx C =+≥的常数；2、3 ；3、0 ，34-. 二．选择题（每小题4分，总12分。

每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号按题号写在答题纸上）1、C;2、B ；3、B.三（7分）、解：sin ,xz f e y x ∂'=∂2222sin sin ;x x z f e y f e y x∂'''=+∂ 同理2222sin cos ;x x zf ey f e y y∂'''=-+∂结合已知得0.f f ''-=解这个常微分方程得 1212(),,t t f t C e C e C C -=+为任意常数。

四（8分）、解：设32(18)F x y z x y z λ=+++-，令2233230200180x y z F x y z F x yz F x y F x y z λλλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩，解出9,6,3x y z ===由题意知最大产出必存在，所以9,6,3x y z ===为所求。

五（7分）、解：令23zF z e xy =-+-，则有()2|4,x P F P y '==()2|2,y P F P x '==()(1)|0.z z P F P e '=-=故切平面方程为4(1)2(2)0(0)0x y z -+-+⋅-= 即 240x y +-= 法线方程120420x y z ---==即 120.210x y z ---== 六（8分）、解：依题意令密度函数为k ρ=为待定常数。

由球体的对称性只需求其对z 轴的转动惯量22()d z I x y V ρΩ=+⎰⎰⎰即可。

又由题设m dV ρΩ=⎰⎰⎰。

工科数学分析试卷+答案

工科数学分析试题卷及答案考试形式（闭卷）：闭答题时间：150 （分钟）本卷面成绩占课程成绩 80 %一、填空题（每题2分，共20分）1．---→xx x x sin 11lim 30 3-2．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,13sin )(2x a x xe x xf ax 在0=x 处连续，则a 3- 3．设01lim 23=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ，则 =a 1 ， =b 0 4．用《δε-》语言叙述函数极限R U ⊂∈=→)(,)(lim 0x x A x f x x 的定义： εδδε)()()(:000A x f x x ∈→∈∀>∍>∀U 5．若当)1(,023+++-→cx bx ax e x x是3x 的高阶无穷小，则=a61=b21=c 1 6．设N ∈=--→n x x x f x f nx x ,1)()()(lim2000，则在0x x =处函数)(x f 取得何种极值？答：极小值姓名: 班级：学号：遵守考试纪律注意行为规范7．设x x y +=，则dydx x)211(+⋅8．设x x y sin =，则=dy dx xxx x xx)sin ln (cos sin +9．⎰=+dx x x 21arctan C x +2arctan 21 10．⎰=+dx ee xx12 C e e x x ++-)1l n ( 二、选择题：（每题2分，共20分）1．设0,2)1()1l n (2s i n2t a n li m 2222≠+=-+-+-→c a e d x c xb x a x x ，则必有（ D ）（A ）d b 4=；（B ）c a 4-=；（C ）d b 4-=；（D ）c a 2-= 2．设9320:0<<>k x ，则方程112=+x kx 的根的个数为（ B ）（A ）1 ；（B ） 2 ；（C ） 3 ；（D ）03．设)(x f 连续，且0)0(>'f ，则存在0>δ使得（ A ）（A ）)(x f 在),0(δ内单增；（B ）对),0(δ∈∀x 有)0()(f x f >；（C ）对)0,(δ-∈∀有)0()(f x f >；（D ）)(x f 在)0,(δ-内单减。

10-11-2《高等数学A(工科数学分析)》第二学期期末考试试卷(精简版)及参考答案

河南理工大学 2010-2011 学年第 2 学期《工科数学分析》(下)试卷（A 卷）一、填空题（共28分，每小题4分）１．函数xyz z xy u -+=32在点()2,1,1处沿方向l （其方向角分别是00060,45,60）的方向导数是 9/2 ．２．设0 < p < 1，计算级数()∑∞=--1121k k p p k =)20(,22<<-p pp3. 函数())sin(,22y x y x f +=在点)0,0(的泰勒公式（到二阶为止）为()()()2222,y x y x y x f +=++=ρρο４．函数()xx f 3=的幂级数展开式为∑∞=0!3ln n nn x n ．5.设()⎰-=22x xxy dy ex F ,则=')(x F ()⎰----+-223522x xxy x x dy ey ex e６．()⎰C ds x =()15532-，其中（C ）为抛物线x y =从点()0,0到点()1,1的一段弧。

7．微分方程()02='+''y y ，满足初始条件1,000='===x x y y 的特解为1ln y +=x 。

二、解答题（共50分，每小题10分）1、设()v u ,Φ具有连续偏导数，函数()y x z ,由隐方程()bz cy az cx --Φ,=0确定，求yz b x z a∂∂+∂∂。

解：将隐方程两边全微分可得：()()()()()0,2121=-⋅Φ'+-⋅Φ'=-⋅Φ'+-⋅Φ'=--Φbdz cdy adz cdx bz cy d az cx d bz cy az cx d ………………………………………………3分整理得：dy b a c dx b a c dz 212211Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'=……………………………………6分所以，212211,Φ'+Φ'Φ'=∂∂Φ'+Φ'Φ'=∂∂b a c y zb ac x z …………………………………………8分 y zb x z a ∂∂+∂∂=c b a c b b a c a =Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'212211,………………………………………10分2、判定正项级数∑⎰∞=+1141n n dx x x的敛散性。

北京理工大学2009-2010学年第二学期工科数学分析期末试题(A卷)答案

2009-2010第二学期工科数学分析期末试题解答(A 卷)一.1.11,65arccos(2分,2分)2.(1,2,7),4(2分,2分)3.25-,}52,51{-(2分,2分)4.∑∞=+--01)1(4)1(n nn n x ,∑∞=---+11)1(4)1(4ln n nn n x n (2分,2分)5.dy dx 2-,}2,1{-(2分,2分)6.x x y ln ,34ln(2分,2分)7.0，ππ324+，0，12+π(1分，1分，1分，1分)二.⎰=Ly dlx I μ2…………………….(2分)⎰+=15322)1(1dxx x μ……………………(6分)μμ35611532=+=⎰dx x x ……………………(9分)三.设V 在第一卦限部分为1V ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==122486V VdVx dV x I ……………(3分)⎰⎰⎰---=yx xdzdy dx x 101010248……………..(6分)⎰⎰---=xdyy x dx x 10102)1(48………………..(7分)⎰-=1022)1(24dx x x …………………(8分)54=…………………(9分)四.令02==∂∂x xz，014=-=∂∂y yz………………(2分)解得0=x ,41=y ,得驻点)41,0(,………………..(3分)由122=+y x ，得221y x -=，代入目标函数得62+-=y y z )11(≤≤-y ………………..(4分)令012=-=y dydz，得21=y ，此时23±=x ，得两点)21,23(±………..(6分)当1±=y 时，0=x ，得两点)1,0(±………………..(7分)83941,0(=z ，42321,23(=±z ，8)1,0(=-z ，6)1,0(=z 8max =z ，839min =z ……………..(9分)五．由题意,有yXx Y ∂∂=∂∂……………………….(1分)λλλλλλλλ2121)()()33()(3)()()3()(3y x y x y y x y x y x x y y x ++--+=++--+---…….(3分)即033=--+y x y x λλ，3=λ…………………….(4分)1),()1,1(33)(3)(3),(C dy y x xy dx y x x y y x u y x ++-++-=⎰…………………….(6分)11313)(3)(3C dy y x x y dx y x xy x++-++-=⎰⎰……………………(8分)C y x yx ++-=2)(……………………(10分)注：没有加C 不扣分。

工科数学分析(下)智慧树知到答案2024年北京航空航天大学

工科数学分析（下）北京航空航天大学智慧树知到答案2024年第一章测试1.A:图中C B:图中A C:图中B D:图中D答案:B2.A:图中C B:图中D C:图中B D:图中A答案:A3.A:图中C B:图中A C:图中D D:图中B答案:B4.A:图中B B:图中D C:图中C D:图中A答案:A5.A:图中A B:图中B C:图中C D:图中D答案:D6.A:图中B B:图中A C:图中C D:图中D答案:B7.A:图中A B:图中C C:图中DD:图中B答案:C8.A:图中DB:图中B C:图中C D:图中A答案:A9.A:图中A B:图中C C:图中B D:图中D答案:A10.A:图中B B:图中C C:图中D D:图中A答案:D第二章测试1.A:图中A B:图中C C:图中B D:图中D答案:A2.A:(3)错 B:全错 C:(1)错 D:(2)错答案:C3.A:图中A B:图中B C:图中D D:图中C答案:A4.A:图中B B:图中A C:图中D D:图中C答案:AA:图中B B:图中D C:图中C D:图中A答案:D第三章测试1.A:图中C B:图中B C:图中A D:图中D答案:C2.A:图中C B:图中A C:图中D D:图中B答案:B3.A:图中C B:图中D C:图中A D:图中B答案:D4.A:图中B B:图中D C:图中A D:图中C答案:C5.A:图中B B:图中D C:图中C D:图中A答案:D6.A:图中D B:图中C C:图中A D:图中B答案:D7.A:图中C B:图中A C:图中D D:图中B答案:C8.A:图中D B:图中C C:图中B D:图中A答案:D9.A:图中B B:图中C C:图中A D:图中D答案:A10.A:图中D B:图中C C:图中B D:图中A答案:D第四章测试1.A:图中D B:图中B C:图中A D:图中C答案:C2.A:图中B B:图中A C:图中D D:图中C答案:B3.A:图中A B:图中B C:图中C D:图中D答案:B4.A:图中C B:图中B C:图中D D:图中A答案:B5.A:图中C B:图中A C:图中B D:图中D答案:D6.A:图中B B:图中C C:图中D D:图中A答案:D7.A:图中C B:图中B C:图中A D:图中D答案:C8.A:9 B:1 C:3 D:-1答案:C9.A:图中B B:图中C C:图中A D:图中D答案:C10.A:图中C B:图中A C:图中D D:图中B答案:C第五章测试1.A:图中A B:图中C C:图中D D:图中B答案:A2.A:图中B B:图中C C:图中A D:图中D答案:C3.A:图中C B:图中B C:图中A D:图中D答案:D4.A:图中C B:图中D C:图中A D:图中B答案:C5.A:图中D B:图中B C:图中A D:图中C答案:C第六章测试1.A:图中B B:图中D C:图中C D:图中A答案:D2.A:图中C B:图中B C:图中D D:图中A答案:C3.A:图中D B:图中C C:图中B D:图中A答案:D4.A:图中B B:图中A C:图中D D:图中C答案:D5.A:图中B B:图中C C:图中A D:图中D答案:B第七章测试1.A:图中B B:图中A C:图中D D:图中C答案:C2.A:图中A B:图中C C:图中D D:图中B答案:B3.A:图中A B:图中D C:图中C D:图中B答案:B4.A:图中B B:图中D C:图中A D:图中C答案:B5.A:图中A B:图中C C:图中B D:图中D答案:C第八章测试1.A:图中D B:图中C C:图中A D:图中B答案:A2.A:图中A B:图中D C:图中C D:图中B答案:B3.A:图中A B:图中B C:图中C D:图中D答案:B4.A:图中D B:图中B C:图中C D:图中A答案:A5.A:图中D B:图中C C:图中B D:图中A答案:D第九章测试1.A:图中D B:图中A C:图中B D:图中C答案:B2.A:图中D B:图中C C:图中A D:图中B答案:B3.A:图中D B:图中A C:图中B D:图中C答案:A4.A:图中A B:图中C C:图中D D:图中B答案:A5.A:图中B B:图中A C:图中D D:图中C答案:B第十章测试1.A:图中D B:图中B C:图中C D:图中A答案:C2.A:图中A B:图中C C:图中D D:图中B答案:D3.A:图中B B:图中D C:图中C D:图中A答案:B4.A:图中B B:图中C C:图中A D:图中D答案:D5.A:图中A B:图中D C:图中C D:图中B答案:C。

工科数学分析(下)考试题(带答案)培训资料

工科数学分析（下）期末考试模拟试题姓名：___________得分: _________一、填空题（每小题3分，满分18分）1、设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为_________.2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y=⎰+Ñ设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分1,()cc x y x y ds +=+=⎰Ñ3.设曲线为则曲线积分 ___________4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________5、2sin(xy)(y)______________.y yF dx x=⎰的导数为 6、{,01,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim0→→y x ()xy yx y x sin 11232+-(2) 220)(lim 22y x x y x y +→→2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xvx u ∂∂⋅∂∂（中间为乘号）.3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）1. ∑∞=1!.2n n n nn2.∑∞=-1!2)1(2n n nn四、（本小题8分）求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k u r r r u r 穿过球面∑： 222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量；五、（本小题7分）2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y lx e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。

工科数学分析下册其中考试(修改)附参考答案

z xv yu 2 ; 代入①即得 2 x x y
z vy xu 2 . 代入②即得 2 y x y
y2 6.(1) z x f ( ) : x
2y f
y2 2y3 2 y f ( 2 ) 2 f x x
y2 (2) z f ( x ) : x
7.在第一卦限作椭球面
的切平面,
使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点.
x2 y2 z 2 解: 设 F ( x, y, z ) 2 2 2 1, 切点为 a b c 则切平面的法向量为 2 x0 2 y0 2 z0 n ( Fx , Fy , Fz ) , 2 , 2 2 M a b c 切平面方程
z u v v u y y y
1 u ln( x 2 y 2 ) 2
②
由 x eu cos v, y eu sin v , 得
y v arctan x

u x 2 , 2 x x y y x y 2
唯一驻点
c2 c2 z 2 2 2 0 Fz 2 z z c
由实际意义可知
为所求切点 .
利用行列式解出 du, dv ：
du
d x e u sin v d y e u cos v e u cos v e u sin v u u e sin v e cos v
e
u
cos v
e u sin v
e u sin v
e u cos v
z u v v u x x x ① u v z v u ② y y y
期中考试参考答案
1. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线

工科数学分析试卷(含答案)

哈尔滨工业大学（威海）秋季学期工科数学分析(B 类)试题卷（A ）题号一二三四五六七八卷面总分平时成绩课程总成绩分数一、选择题（请把答案写在括号内，每题2分，共10分）1. 数列有界是数列收敛的( )(A)必要条件 (B)充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件2.设22(cos )sin f x x '=,且(0)0f =,则()f x =( )(A) 21cos cos 2x x + (B) 241cos cos 2x x -(C) 212x x - (D) 212x x +3. 11lim(1)lim(sin )xx x x x x-→→∞++= ( ) (A).e (B). 1e -; (C). 1e + (D). 11e -+4. 对于不定积分，在下列等式中正确的是( )（A ）[()]()d f x dx f x =⎰；（B ）()()df x f x =⎰；（C ）()()f x dx f x '=⎰；（D ）()()df x dx f x dx =⎰. 得分遵守考试纪律注意行为规范5. 设()y f x =满足关系式240y y y '''-+=,若0()0f x >且0()0f x '=，则()y f x =在0x 点（）.(A).取极大值； (B).取极小值；(C).在某邻域内单调增； (D).在某邻域内单调减.二、填空题（每题2分，共10分） 1. 设,m n 为正整数，且m n <，则0sin()lim (sin )n mx x x →= .2. 设()(1)(2)(2002)f x x x x x =++⋅⋅⋅+，则 (0)f '= .3.定积分0=⎰ .4. 设()()f x g x '=，则微分2[(sin )]d f x = .5.不定积分2= .三、算题（每题5分，共30分）1. 计算11lim()ln 1x x x x →--.遵守考试纪律注意行为规范2.计算.1 lim(123)n n nn→∞++.3.已知21ln cos arcsin2xy x xx=++求y'.4.求由参数方程sin1cosx t ty t=-⎧⎨=-⎩确定的函数的导数dydx,22d ydx.5.计算积分(1ln)xe x xdxx+⎰.6.计算Iπ=⎰.四、解答下列各题（每题10分，共50分）1.设函数32ln(1),0,arcsin()60,10.sin4axaxxx xf x xe x axxxx⎧⎪+<⎪-⎪⎪==⎨⎪+--⎪>⎪⎪⎩问(1)a为何值时, ()f x在0x=处连续;(2)a为何值时, 0x=是()f x的可去间断点.2.当a为何值时，抛物线y=x2与三直线x = a，x = a+1，y= 0所3.围成的图形面积最小？4.已知1x2x =…, 1n x +=证明数列{}n x 收敛并求其极限.5. 设函数()f x ,()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，()0g x ≠，试证：至少存在一个(,)a b ξ∈，使()()()()f g f g ξξξξ''=.5设严格单调递增函数()[,]f x C a b ∈且()0f x ''>，证明：()()()()()()2ba f a fb b a f a f x dx b a +-<<-⎰遵守考试纪律注意行为规范哈尔滨工业大学（威海）秋季学期工科数学分析(B 类)试题卷（A ）答案一. (1).A (2).C (3).D (4).D (5)A二(1).0 (2).2002! (3)π(4)2(sin )sin 2g x x(5)35224235x x C ++三1. 11ln 1ln ()lim lim limln 1(1)ln (1)ln(11)111x x x x x x xx x x x x x x x x -----==---+-→→→211ln lim(1)x x x xx →--=-1ln 11lim 2(1)21x x x --==--→ 2．解：因为1113(3)(123)(33)n nn n nnn=≤++≤⨯=3lim n →∞=，所以1(123)3lim nn nn →∞++= 3．223211tan 2arcsin 22(1)x y x x x x x '=-++-+ 4．sin 1cos dydy t dt dx dx t dt==-， 22411()()()2sin 2d y d dy d dy dt d dy dx t dx dx dt dx dx dt dx dxdt ====- 5．(1ln )ln ln ln ln x x x x x x x xx e x x e e e e dx dx e xdx dx xde dx e x dx x x x x xe x C+=+=+=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰6.202cos sin sin cos sin cos 1x xdx x xdx x xdx πππππ==-=⎰⎰⎰⎰四．解答题 1.解33200000000ln(1)3(00)()lim lim lim limarcsin arcsin 1x x x x ax ax ax f f x x x x x →-→-→-→-+-====---003(16lim x a a →-=-=-22200000011(00)()4lim lim lim sin4ax ax x x x e x ax e x ax f f x x x x →+→+→++--+--+=== 2220000002224442(2)lim lim lim 222ax ax ax x x x ae x a a e a e a x →+→+→++-++====+令(00)f +=(00)(0)f f -=得1a =-，从而当1a =-时()f x 在0x =连续；令(00)f +=(00)(0)f f -≠得2a =-，从而当2a =-时0x =是()f x 的可去间断点。

工科数学分析试题及答案

A一、求解下面问题（每小题6分，满分48分）1.设),(y x f 为一连续函数，求极限.),(122220lim dxdy y x f rr y x r ⎰⎰≤+→+π解 (0,0)),(12222limf dxdy y x f r r y x r =⎰⎰≤+→+π建议：中间过程4分2. 改变累次积分的积分顺序：dy y x f dx x x ),(-21-426-2⎰⎰0820-1(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx---=+⎰⎰⎰⎰3. 计算二重积分dxdy y x D22sin +⎰⎰，其中积分区域为}.4|),{(2222ππ≤+≤=y x y x D解：D⎰⎰4. 计算三重积分dxdydz x y V⎰⎰⎰+)1(2012，其中V 由22--4y x z =与223y x z +=所成的立体.解：由于V 是关于yoz 平面对称的，且x y 2012是关于x 的奇函数，所以02012=⎰⎰⎰d x d y d z x yV，于是23220121()r VVyx dxdydz dxdydz d πθ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰223)r d rdr πθ=⎰2223001)()2r d d r πθ=⎰22220012(4)()62r d r d r πθ⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰34222001219(4)6236r d r πθπ⎡=⋅---=⎢⎥⎣⎦⎰ （写出对称性给2分，计算过程适当给分）2204sin 6d r rdr πππθπ==-⎰⎰5. 计算积分2(2)I x z ds Γ=+⎰，其中曲线Γ为2222,0.x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩（利用对称性）解：利用轮换对称性知2322222212()333a a x ds y ds z ds x y z ds ds πΓΓΓΓΓ===++==⎰⎰⎰⎰⎰1()03zds xds yds x y z ds ΓΓΓΓ===++=⎰⎰⎰⎰ 所以322(2)3a x z ds πΓ+=⎰（建议：两个对称性各3分，写出参数方程直接计算适当给分）6. 计算第一型曲面积分()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥)0(a h <<的部分. （可利用对称性）解：利用对称性知0xdS ydS ∑∑==⎰⎰⎰⎰设xy D ={|),(y x 2222x y a h +≤-} 则()x y z dS ∑++⎰⎰=zdS ∑⎰⎰=⎰⎰=aDxydxdy ⎰⎰=22()a a h π-（建议：对称性0xdS ydS∑∑==⎰⎰⎰⎰2分，= 1分，zdS ∑⎰⎰计算过程3分）7. 证明向量场))2(),2(),2((z y x xy z y x xz z y x yz F ++++++= 是有势场，并求其势函数.解：先验证有势场0)2()2()2(=++++++=∂∂∂∂∂∂z y x xy z y x xz z y x yz F rot zyxk j故是有势场. ---------3分.)2()2()2(.),,222000000),,(),,(),,(),,(0000000C xyz z xy yz x dz z y x xy dy z y x xz dx z y x z y RdzQdy Pdx s d F z y x zzyy xx z y x z y x z y x z y x +++=++++++++=++==⎰⎰⎰⎰⎰（φ（另一种方法也可（这里略），请判卷的时候注意。

工科数学分析第二学期期中试卷11-12-2(精简版)

河南理工大学 2011-2012 学年第二学期《工科数学分析2》期中试卷（A ）一．填空题（共35分，每小题5分.）1．设函数 f (u ) 具有二阶连续导数，而 )sin (y e f z x = 满足方程 z e y z x z x 22222=∂∂+∂∂，则f (u )=2．第一型线积分()()⎰+C ds y x 的值为，其中()C 为以 (1,0) 和 (0,1) 为顶点的线段．3．三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 222 的值为，其中(){}2220,,y x z z y x --≤≤=Ω． 4．y x x y x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-211lim 0= ．5．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+y z y y x ϕ22 确定()y x z z ,=，其中ϕ为可微函数，则=∂∂y z ． 6．球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程为． 7．xOz 坐标面上的圆92=+z x 2绕z 轴旋转一周，生成的旋转曲面方程为．二．试解下列各题（共35分，每小题7分）8．用定义证明()()21110,0=-+→xy xy limy x,． 9. 计算二重积分⎰⎰--=Dd y x a I σ22241．其中D 是由曲线22x a a y -+-=（a > 0）和直线 x y -= 围成．10. 若3,,2,5π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∧b a b a ，求：(1)()()b a b 3-a 2 2+⨯; (2) ()b 3-a 2 .11. 求密度为μ均匀物体：222222,2z y x z y x ≥+≤++对z 轴的转动惯量．12. 求通过点()0,0,3A 和()1,0,0B 且与xOy 面成3π角的平面的方程．三．证明题（共30分，每小题10分）13. 证明函数()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,0,,00,0,,1sin ,2222y x y x y x y x y x f 在()0,0处可微． 14. 设()t r r =为空间3R 中动点()()()()T t z t y t x ,,的向径，证明：()C t r = （C 为常数）的充分必要条件为()()0,='t r t r ．15. 设1:222≤++Ωz y x ．证明： ππ3852223433≤+-+≤⎰⎰⎰Ωdv z y x ．。

工科数学分析2016_2017_2_B 解答

xdy−ydx =
12π
；
Γ
3. 向量场 x2yzi + xy2zj + xyz2k 在点 (1, 1, 1) 的散度为
6
；
4.
初值问题
y′
+
3 x
y
=
y|x=1 = 1
2 x3
的解为
2 x2
−
1 x3
；
5.
设
f (x) = πx + x2, −π < x < π
的傅里叶
(Fourier)
级数为
a0 2
x ∈ (−1, 1).
当 x = −1 时，由幂级数的性质知 f (x) 在 x = −1 连续。而函数 − ln(1 − x) 也在 x = −1 连续。因此，
f (x) = − ln(1 − x), x ∈ [−1, 1). · · · · · ·（3 分）
《工科数学分析》试卷第 6 页共 8 页
所以，
ˆ S = xyds
Γ
ˆπ 2
= 4 cos t sin t · 2dt
0
= 4. · · · · · ·（3 分）
《工科数学分析》试卷第 5 页共 8 页
√ 3. 设 Σ 是锥面 z = x2 + y2 被平面 z = 0 及 z = 1 截下的部分的下侧，
˜ 计算第二类曲面积分 xdydz + ydzdx + (z2 − 2z)dxdy。
λ2 + 4λ + 3 = 0.
特征方程有两个实数根 λ1 = −3 和 λ2 = −1。因此微分方程的通解为 y = C1e−3x + C2e−x. · · · · · ·（5 分）

大一工科数学分析试卷及答案

大一工科数学分析试卷及答案大一工科数学分析试卷考试形式闭卷答题时间：120 （分钟）本卷面成绩占课程成绩80 %一、填空题（每题3分，共30分）1．=+∞→nnnx n 42lim 22．=+-∞→xx x 1)21(lim3．设?>+≤=00)(22x x x x x x f ，则=-)(x f4．摆线??-=-=ty t t x cos 1sin 在2π=t 处的法线方称为5．函数x x f arctan )(=按马克老林公式展开到)(12+n x ο的表达式为： 6．若??x t dt t f dt e 11)(32，则=)(x f7．若?++=c x dx x f 2cos sin )(（其中c 时任意常数），则 =)(x f8．?-=-+112)1cos (dx x x x9．设)100()2)(1()(---=x x x x f ，则=')1(f姓名: 班级：学号：遵守考试纪律注意行为规范10．若-ba xb dxα)(收敛（其中0>α），则α的取值范围是二、试解答下列各题：（每题5分，共50分）1．求极限)2122321(lim 2nn n -+++∞2．已知0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，求b a ,。

遵守考试纪律注意行为规范3．设1lim )()1()1(2+++=--∞→x n x m n e bax e x x f ，求b a ,使)(x f 可导。

4．求由等式0333=-+xy y x 确定的)(x f y =在0>x 范围内的极限点。

5．设ttte y e x ==-,，求22,dx y d dx dy 。

6．求曲线)1ln()(2++=x x x f 在1=x 时的曲率。

7．计算不定积分?-dx e x11。

8．计算定积分?20xdx x 。

9．设?<+≥+=011011)(x e x xx f x，求-2)1(dx x f 。

工科数学分析习题答案(下)

习题6.11．（1）（a ）23()()()d ()d ,x y x y σσσσ+>+⎰⎰⎰⎰ （b ）23()()()d ()d ,x y x y σσσσ+<+⎰⎰⎰⎰（2）(a)2()()e d e d xyxy σσσσ<⎰⎰⎰⎰，（d ）2()()e d e d xy xy σσσσ>⎰⎰⎰⎰2．（1）02I ≤≤；（2）0I ≤≤ （3）e I ππ≤≤ （4）3075I ππ≤≤习题6.21．（1）221；（2）3221；（3）4(3115-；（4）62e 9e 4--；（5）54ln 22-；（6）425-；（7）21)15；（8）3cos1sin1sin 42+-2．（1）2 44 04d (,)d d (,)d yy xI x f x y y y f x y x ==⎰⎰⎰⎰；（2） sin 1 arcsin 0 0 0 arcsin d (,)d d (,)d ;xyyI x f x y y y f x y x ππ-==⎰⎰⎰⎰（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==21212121211d ,d d ,d d ,d yyxxx y x f y x y x f y y y x f x I（4）21 01 01 21d (,)d d (,)d I x f x y y y f x y x ---==⎰⎰⎰⎰.3．（1）2 10 d (,)d xx x f x y y ⎰⎰；（2） 1 0d (,)d y f x y x ⎰⎰；（3） 1eed (,)d y y f x y x ⎰⎰；（4）1220 0 1d (,)d d (,)d xxx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰；（5） 132 0d (,)d yy f x y x -⎰；（6）22 2 2 00 22d (,)d d (,)d d (,)d aa aa aay y a aaay f x y x y f x y x x f x y x +++⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（7）214d (,)d yy f x y x -⎰⎰；（8） 12 01d (,)d yy f x y x -⎰⎰。