第五章受弯承载力计算双筋矩形截面
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2 0
2 1.0 19.1 200 4402 0.55 (1 0.5 0.55)
294.9kN m
)
6 6 330 10 294 . 9 10 M M ' u2 As ' ' 300 (400 35) f s (h0 s )
作业：
5-1（1） 5-4（1）（2） 5-8
◆基本公式 1 f cbx + As f y As f y
x M u 1 f cbx (h0 ) + As f y (h0 as ) 2
f A As1 f y
' y ' s
M 0
hf M u 1 f cbf hf (h0 ) 2
判别条件：
h xh f M a1 f cbf hf (h0 ) 第一类 T形截面 2
f
f
• 截面设计时:
h xh f M a1 f cbf hf ( h0 ) 第二类 T形截面 2 • 截面复核时:
' Mu1 f y' As' (h0 s )
300 941 (400 35)
215.7 106
则：
Mu 2 Mu Mu1 330 106 114.3 106
215.7 106
已知M1后，就按单筋矩形截面求As1。设 as=60mm、h0=500-60=440mm。
【解】
由附表（纵向受力钢筋的混凝土保护层最
小厚度表）知，环境类别为一级，假定受拉钢筋放
两排，设保护层最小厚度为
则
故设α s=60mm，
h0=500-60=440mm 由混凝土和钢筋等级，查附表（混凝土强
度设计值表、普通钢筋强度设计值表），得： fc=19.1N/mm2，fy=300N/mm2，fy’=300N/mm2， 由表知： 由表知： α 1=1.0，β 1=0.8 ξ b=0.55
当x > bh0
截面处于超筋状态, 应取x = xb ， 则由式求得：
Mu
x As f y (h0 as ) + 1 f cbx(h0 ) 2
【例5-4】
已知：矩形截面梁b× h＝200 ×500mm； 弯矩设计值M=330kNm，混凝土强度等级为C40， 钢筋采用HRB335级钢筋，即Ⅱ级钢筋；环境类 别为一级 。 求：所需受压和受拉钢筋截面面积As、A’s
1.0 14.3 200 112.3 (352.5 112.3 + 300 402 (352.5 ) 2 112.3 ) 2
132.87 106 N mm 90 106 N mm
，安全。
5.5 T形截面受弯构件正截面承载力计算
5.5.1概述
度设计值表、普通钢筋强度设计值表），得： fc=14.3N/mm2，fy= fy’= 300N/mm2， 由表知： 由表知： α 1=1.0，β 1=0.8 ξ b=0.55
由式：
1 f cbx + As f y As f y
x As f y As f y
，得
1 f cb
T形连续两跨中与支座截面
2. T形截面翼缘计算宽度bf'的取值:
◆ T形截面受压翼缘(compression
flange )越大，对截面受弯越有利(x 减小，内力臂增大）
◆ 但试验和理论分析均表明，整个受
压翼缘混凝土的压应力增长并不是 同步的。
◆ 翼缘处的压应力与腹板处受压区
压应力相比，存在滞后现象，
M u1
As f y (h0 as )
+
1 fcbx As2 f y
单筋部分
M u2
纯钢筋部分
x 1 f c bx ( h0 ) 2
受压钢筋与其余部分受拉钢筋As2组成的“纯钢筋截面” 的受弯承载力与混凝土无关
因此截面破坏形态不受As2配筋量的影响，理论上这部 分配筋可以很大，如形成钢骨混凝土构件。
As f y
xh a1 f cbf hf 第一类 T形截面
f
As f y
xh a1 f cbf hf 第二类 T形截面
f
bf
（1） 第一类T形截面的计算公式:
hf
与bf‘h的矩形截面相同：
AS
X 0
M 0
适用条件:
1 f cbx
fy
1
而
As1
As f y fy
As f y + 1 f cbx fy
最后可得：
As As1 + As2
当 > b
表明As太少, 应加大截面尺寸或按 As未知 的情况I分别求As及As。
当x < 2a's 说明As过大, 受压钢筋应力达不到fy，式 已不适 用, 此时可假定：力臂 则 当as/hb 较大 若 as
b f
h f
h f AS
b f
AS
(a)
b
••••
b
(b)
(图a)第一类T形截面：中和轴在翼缘高度范围内, 即x hf (图b)第二类T形截面：中和轴在梁助内部通过, 即x > hf 两类T形截面的界限状态是 x = hf
a1 fc
b f
中和轴
M
As
As f y
• ••
b
图 第一种类型T形截面梁 界限状态 x = hf时的平衡状态可作为第一, 二类T 形截面的判别条件： A f f b X 0 s y 1 c f hf
_
_ 2 =3436mm 。受压钢筋选
【例5-5】
已知：矩形截面梁b× h＝200 ×500mm；
弯矩设计值M=330kNm，混凝土强度等级为C40， 钢筋采用HRB335级钢筋，即Ⅱ级钢筋；环境类
_
别为一级 。 受压钢筋选用3 φ 20mm钢筋， As’=941mm2 。 求：所需受拉钢筋截面面积As
◆ 随距腹板(stem)距离越远，滞后
程度越大，受压翼缘压应力的分 布是不均匀的。
取值办法：
◆ 计算上为简化采有效翼缘宽度bf’
Effective flange width，
见表
◆ 认为在bf’ 范围内压应力为均匀分布， bf’ 范围以外部分的翼 缘则不考虑。
◆ 有效翼缘宽度也称为翼缘计算宽度
◆ 它与翼缘厚度h'f 、梁的宽度l0、受力情况(单独梁、整浇肋形 楼盖梁)等因素有关。
1. T形截面的由来:
◆ 挖去受拉区混凝土，形成T形
◆ 节省混凝土，减轻自重。 ◆ 受拉钢筋较多，可将截面底
h h0 b bf’ hf’
x
截面，对受弯承载力没有影响。
hf bf
部适当增大，形成工形截面。 工形截面的受弯承载力的计算 与T形截面相同。
T形截面是指翼缘处于受压区的状态, 同样是T形截 面受荷方向不同, 应分别按矩形和T形考虑。
288.9mm2
由式：
As
1 f cb b h0 + As f y fy
1.0 19.1 0.55 200 440 300 + 288.9 300 300
3370.4mm2
受拉钢筋选用7 φ 25，As 用2 φ 14mm的钢筋，As’=308mm2
As f y 1 f cbf x
x M 1 f cbf x(h0 ) 2
(a)
b
b
min
M u2 s 1 f cbh02
215.7 106 1.0 19.1 200 4402
0.292
1 1 2 s 1 1 2 0. 292
0.355 b 0.55, 满足使用条件 (1)
x b0 0.355 440 156mm
300 1473 - 300 402 1.0 14.3 200
112.3mm b h0 0.55 352.5 194mm
' 2as 2 42 84mm
代入式：
Mu
x 1 f cbx(h0 ) + As f y (h0 as ) 2
【解】 表）知，环境类别为一级，假定受拉钢筋放两排，设保护
由附表（纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度
层最小厚度为
h0=500-60=440mm
故设α s=60mm，则
由混凝土和钢筋等级，查附表（混凝土强度设计值表 普通钢筋强度设计值表），得： fc=19.1N/mm2，fy=300N/mm2，fy’=300N/mm2， 由表知： α 1=1.0，β 1=0.8 由表知： ξ b=0.55
_ φ 受压钢筋选用3 20mm钢筋，As’=941mm2 。
求：所需受拉钢筋截面面积As
【解】
由附表（纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度表）知，
环境类别为二级b，假定受拉钢筋放两排，设保护层
最小厚度35mm为故设α s=35+25/2=47.5mm，则
h0=400-47.5=352.5mm
由混凝土和钢筋等级，查附表（混凝土强
1 l0 3
b+ Sn ––– b + 12hf
b + 12hf
1 l0 3
––– b + 12hf b + 6hf b
1 l0 6 Sn b+ 2
––– b + 5hf b + 5hf
当0.1>hf/h00.05
当hf/h0 < 0.05
5.5.2 基本公式及适用条件
T形截面根据其中性轴的位置不同分为两种类型。
As As1 + As2 941+ 1986 2927 .0mm2
_6 φ25mm，A =2945.9mm2。 受拉钢筋选用 s
【例5-6】
已知：矩形截面梁b× h＝200 ×500mm；弯矩设计 值M=330kNm，混凝土强度等级为C40，钢筋采用 HRB335级钢筋，即Ⅱ级钢筋；环境类别为一级 。
2as' 120mm, 满足使用条件 (2).
s 0.5 (1 1 2 s ) 0.5 1 1 2 0. 292
0.823
Mu2 As 2 f y s h0
215.7 106 300 0.823 440
最后得：
1986mm2
有效翼缘宽度 实际应力图块
b f
等效应力图块
实际中和轴
图 T形截面梁受压区实际应力和计算应力图
bf‘的取值与梁的跨度l0, 梁的净距sn, 翼缘高度hf及受力情
况有关, 《规范》规定按表4-7中的最小值取用。
T形、I形及倒L形截面受弯构件翼缘计算宽度bf 表
考 虑 情 况
按计算跨度l0考虑 按梁(肋)净距Sn考虑 按翼缘高 度hf考虑 当hf / h0 0.1 T 型 截 面 肋形梁 (板) 独 立 梁 倒L形截面 肋形梁 (板)
(h0 as )
M
wenku.baidu.com
As
f y (h0 as )
M s' s' ＜2 (1 ) 时 1 f cb h0 h0 h0
按单筋梁确定受拉钢筋截面面积As，以节约钢材。
2.截面校核： 已知：正截面弯矩设计值M、混凝土强度等
级及钢筋强度等级、构件截面尺寸b及h、受拉
钢筋截面面积As及受压钢筋截面面积As’。
1）求计算系数：
M 330 106 s 2 1.0 19.1 200 4002 1 f cbh0
0.446
1 1 2 s 1 1 2 0.4 46
0.672＞b 0.55
∴应设计成双筋矩形截面。
取ξ = ξ b，
M u 1 f cbh (1
解两个联立方程，求两个未知数x和As：
M u M u1 + M u 2 M u1 As f y (h0 as ) M u 2 M u M u1 x 1 f cbx(h0 ) 2
Mu2 x f y (h0 ) 2
由求出x ，然后由式出As2：
As 2
求：正截面受弯承载力设计值Mu
当 x < 2as， 截面此时As并未充分利用，由求得
M u As f y (h0 as )
当2asxbh0 截面处于适筋状态, 将x代入式求得Mu：
Mu
x 1 f cbx(h0 ) + As f y (h0 as ) 2
2 1.0 19.1 200 4402 0.55 (1 0.5 0.55)
294.9kN m
)
6 6 330 10 294 . 9 10 M M ' u2 As ' ' 300 (400 35) f s (h0 s )
作业：
5-1（1） 5-4（1）（2） 5-8
◆基本公式 1 f cbx + As f y As f y
x M u 1 f cbx (h0 ) + As f y (h0 as ) 2
f A As1 f y
' y ' s
M 0
hf M u 1 f cbf hf (h0 ) 2
判别条件：
h xh f M a1 f cbf hf (h0 ) 第一类 T形截面 2
f
f
• 截面设计时:
h xh f M a1 f cbf hf ( h0 ) 第二类 T形截面 2 • 截面复核时:
' Mu1 f y' As' (h0 s )
300 941 (400 35)
215.7 106
则：
Mu 2 Mu Mu1 330 106 114.3 106
215.7 106
已知M1后，就按单筋矩形截面求As1。设 as=60mm、h0=500-60=440mm。
【解】
由附表（纵向受力钢筋的混凝土保护层最
小厚度表）知，环境类别为一级，假定受拉钢筋放
两排，设保护层最小厚度为
则
故设α s=60mm，
h0=500-60=440mm 由混凝土和钢筋等级，查附表（混凝土强
度设计值表、普通钢筋强度设计值表），得： fc=19.1N/mm2，fy=300N/mm2，fy’=300N/mm2， 由表知： 由表知： α 1=1.0，β 1=0.8 ξ b=0.55
当x > bh0
截面处于超筋状态, 应取x = xb ， 则由式求得：
Mu
x As f y (h0 as ) + 1 f cbx(h0 ) 2
【例5-4】
已知：矩形截面梁b× h＝200 ×500mm； 弯矩设计值M=330kNm，混凝土强度等级为C40， 钢筋采用HRB335级钢筋，即Ⅱ级钢筋；环境类 别为一级 。 求：所需受压和受拉钢筋截面面积As、A’s
1.0 14.3 200 112.3 (352.5 112.3 + 300 402 (352.5 ) 2 112.3 ) 2
132.87 106 N mm 90 106 N mm
，安全。
5.5 T形截面受弯构件正截面承载力计算
5.5.1概述
度设计值表、普通钢筋强度设计值表），得： fc=14.3N/mm2，fy= fy’= 300N/mm2， 由表知： 由表知： α 1=1.0，β 1=0.8 ξ b=0.55
由式：
1 f cbx + As f y As f y
x As f y As f y
，得
1 f cb
T形连续两跨中与支座截面
2. T形截面翼缘计算宽度bf'的取值:
◆ T形截面受压翼缘(compression
flange )越大，对截面受弯越有利(x 减小，内力臂增大）
◆ 但试验和理论分析均表明，整个受
压翼缘混凝土的压应力增长并不是 同步的。
◆ 翼缘处的压应力与腹板处受压区
压应力相比，存在滞后现象，
M u1
As f y (h0 as )
+
1 fcbx As2 f y
单筋部分
M u2
纯钢筋部分
x 1 f c bx ( h0 ) 2
受压钢筋与其余部分受拉钢筋As2组成的“纯钢筋截面” 的受弯承载力与混凝土无关
因此截面破坏形态不受As2配筋量的影响，理论上这部 分配筋可以很大，如形成钢骨混凝土构件。
As f y
xh a1 f cbf hf 第一类 T形截面
f
As f y
xh a1 f cbf hf 第二类 T形截面
f
bf
（1） 第一类T形截面的计算公式:
hf
与bf‘h的矩形截面相同：
AS
X 0
M 0
适用条件:
1 f cbx
fy
1
而
As1
As f y fy
As f y + 1 f cbx fy
最后可得：
As As1 + As2
当 > b
表明As太少, 应加大截面尺寸或按 As未知 的情况I分别求As及As。
当x < 2a's 说明As过大, 受压钢筋应力达不到fy，式 已不适 用, 此时可假定：力臂 则 当as/hb 较大 若 as
b f
h f
h f AS
b f
AS
(a)
b
••••
b
(b)
(图a)第一类T形截面：中和轴在翼缘高度范围内, 即x hf (图b)第二类T形截面：中和轴在梁助内部通过, 即x > hf 两类T形截面的界限状态是 x = hf
a1 fc
b f
中和轴
M
As
As f y
• ••
b
图 第一种类型T形截面梁 界限状态 x = hf时的平衡状态可作为第一, 二类T 形截面的判别条件： A f f b X 0 s y 1 c f hf
_
_ 2 =3436mm 。受压钢筋选
【例5-5】
已知：矩形截面梁b× h＝200 ×500mm；
弯矩设计值M=330kNm，混凝土强度等级为C40， 钢筋采用HRB335级钢筋，即Ⅱ级钢筋；环境类
_
别为一级 。 受压钢筋选用3 φ 20mm钢筋， As’=941mm2 。 求：所需受拉钢筋截面面积As
◆ 随距腹板(stem)距离越远，滞后
程度越大，受压翼缘压应力的分 布是不均匀的。
取值办法：
◆ 计算上为简化采有效翼缘宽度bf’
Effective flange width，
见表
◆ 认为在bf’ 范围内压应力为均匀分布， bf’ 范围以外部分的翼 缘则不考虑。
◆ 有效翼缘宽度也称为翼缘计算宽度
◆ 它与翼缘厚度h'f 、梁的宽度l0、受力情况(单独梁、整浇肋形 楼盖梁)等因素有关。
1. T形截面的由来:
◆ 挖去受拉区混凝土，形成T形
◆ 节省混凝土，减轻自重。 ◆ 受拉钢筋较多，可将截面底
h h0 b bf’ hf’
x
截面，对受弯承载力没有影响。
hf bf
部适当增大，形成工形截面。 工形截面的受弯承载力的计算 与T形截面相同。
T形截面是指翼缘处于受压区的状态, 同样是T形截 面受荷方向不同, 应分别按矩形和T形考虑。
288.9mm2
由式：
As
1 f cb b h0 + As f y fy
1.0 19.1 0.55 200 440 300 + 288.9 300 300
3370.4mm2
受拉钢筋选用7 φ 25，As 用2 φ 14mm的钢筋，As’=308mm2
As f y 1 f cbf x
x M 1 f cbf x(h0 ) 2
(a)
b
b
min
M u2 s 1 f cbh02
215.7 106 1.0 19.1 200 4402
0.292
1 1 2 s 1 1 2 0. 292
0.355 b 0.55, 满足使用条件 (1)
x b0 0.355 440 156mm
300 1473 - 300 402 1.0 14.3 200
112.3mm b h0 0.55 352.5 194mm
' 2as 2 42 84mm
代入式：
Mu
x 1 f cbx(h0 ) + As f y (h0 as ) 2
【解】 表）知，环境类别为一级，假定受拉钢筋放两排，设保护
由附表（纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度
层最小厚度为
h0=500-60=440mm
故设α s=60mm，则
由混凝土和钢筋等级，查附表（混凝土强度设计值表 普通钢筋强度设计值表），得： fc=19.1N/mm2，fy=300N/mm2，fy’=300N/mm2， 由表知： α 1=1.0，β 1=0.8 由表知： ξ b=0.55
_ φ 受压钢筋选用3 20mm钢筋，As’=941mm2 。
求：所需受拉钢筋截面面积As
【解】
由附表（纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度表）知，
环境类别为二级b，假定受拉钢筋放两排，设保护层
最小厚度35mm为故设α s=35+25/2=47.5mm，则
h0=400-47.5=352.5mm
由混凝土和钢筋等级，查附表（混凝土强
1 l0 3
b+ Sn ––– b + 12hf
b + 12hf
1 l0 3
––– b + 12hf b + 6hf b
1 l0 6 Sn b+ 2
––– b + 5hf b + 5hf
当0.1>hf/h00.05
当hf/h0 < 0.05
5.5.2 基本公式及适用条件
T形截面根据其中性轴的位置不同分为两种类型。
As As1 + As2 941+ 1986 2927 .0mm2
_6 φ25mm，A =2945.9mm2。 受拉钢筋选用 s
【例5-6】
已知：矩形截面梁b× h＝200 ×500mm；弯矩设计 值M=330kNm，混凝土强度等级为C40，钢筋采用 HRB335级钢筋，即Ⅱ级钢筋；环境类别为一级 。
2as' 120mm, 满足使用条件 (2).
s 0.5 (1 1 2 s ) 0.5 1 1 2 0. 292
0.823
Mu2 As 2 f y s h0
215.7 106 300 0.823 440
最后得：
1986mm2
有效翼缘宽度 实际应力图块
b f
等效应力图块
实际中和轴
图 T形截面梁受压区实际应力和计算应力图
bf‘的取值与梁的跨度l0, 梁的净距sn, 翼缘高度hf及受力情
况有关, 《规范》规定按表4-7中的最小值取用。
T形、I形及倒L形截面受弯构件翼缘计算宽度bf 表
考 虑 情 况
按计算跨度l0考虑 按梁(肋)净距Sn考虑 按翼缘高 度hf考虑 当hf / h0 0.1 T 型 截 面 肋形梁 (板) 独 立 梁 倒L形截面 肋形梁 (板)
(h0 as )
M
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As
f y (h0 as )
M s' s' ＜2 (1 ) 时 1 f cb h0 h0 h0
按单筋梁确定受拉钢筋截面面积As，以节约钢材。
2.截面校核： 已知：正截面弯矩设计值M、混凝土强度等
级及钢筋强度等级、构件截面尺寸b及h、受拉
钢筋截面面积As及受压钢筋截面面积As’。
1）求计算系数：
M 330 106 s 2 1.0 19.1 200 4002 1 f cbh0
0.446
1 1 2 s 1 1 2 0.4 46
0.672＞b 0.55
∴应设计成双筋矩形截面。
取ξ = ξ b，
M u 1 f cbh (1
解两个联立方程，求两个未知数x和As：
M u M u1 + M u 2 M u1 As f y (h0 as ) M u 2 M u M u1 x 1 f cbx(h0 ) 2
Mu2 x f y (h0 ) 2
由求出x ，然后由式出As2：
As 2
求：正截面受弯承载力设计值Mu
当 x < 2as， 截面此时As并未充分利用，由求得
M u As f y (h0 as )
当2asxbh0 截面处于适筋状态, 将x代入式求得Mu：
Mu
x 1 f cbx(h0 ) + As f y (h0 as ) 2