回溯法解决01背包问题

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回溯法和分支限界法解决0-1背包题(精)[精品文档]

0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。

对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有0-1赋值。

例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。

物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。

问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,),xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。

0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。

否则，将右子树剪去。

设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。

当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。

计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。

例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。

这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。

以物品单位重量价值的递减序装入物品。

先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。

由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。

01背包问题（回溯法）

01背包问题（回溯法）回溯法是⼀个既带有系统性⼜带有跳跃性的搜索算法。

它在包含问题的所有解的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索⾄解空间树的任意⼀结点时，先判断该结点是否包含问题的解。

如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的⼦树搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进⼊该⼦树，继续按深度优先策略搜索。

问题的解空间⽤回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间⾄少包含问题的⼀个(最优)解。

对于 n=3 时的 0/1 背包问题，可⽤⼀棵完全⼆叉树表⽰解空间，如图所⽰：求解步骤1)针对所给问题，定义问题的解空间；2)确定易于搜索的解空间结构；3)以深度优先⽅式搜索解空间，并在搜索过程中⽤剪枝函数避免⽆效搜索。

常⽤的剪枝函数：⽤约束函数在扩展结点处剪去不满⾜约束的⼦树；⽤限界函数剪去得不到最优解的⼦树。

回溯法对解空间做深度优先搜索时，有递归回溯和迭代回溯（⾮递归）两种⽅法，但⼀般情况下⽤递归⽅法实现回溯法。

算法描述解 0/1 背包问题的回溯法在搜索解空间树时，只要其左⼉⼦结点是⼀个可⾏结点，搜索就进⼊其左⼦树。

当右⼦树中有可能包含最优解时才进⼊右⼦树搜索。

否则将右⼦树剪去。

代码：public class Knapsack_Problem01 {double m=100; //背包最⼤容量int n=5; //物品的个数int[] w = {10,20,30,40,50}; //第i个物品的重量int[] v = {20,30,65,40,60}; //第i个物品的价值int[] a = new int[n]; //记录在树中的移动路径,为1的时候表⽰选择该组数据，为0的表⽰不选择该组数据int maxvalue = 0; //背包的最⼤权重值public static void main(String[] args){Knapsack_Problem01 p = new Knapsack_Problem01();p.Search(0);}public void Search(int i) //i表⽰递归深度{if(i>=n){CheckMax();}else {a[i] = 0;Search(i+1);a[i] = 1;Search(i+1);}}public void CheckMax(){int weight = 0;int value = 0;for(int i=0;i<n;i++) //判断是否达到上限{if(a[i] == 1){weight = weight + w[i];value = value + v[i];}}if(weight <= m){if(value >= maxvalue){maxvalue = value;System.out.print("最⼤价值是：" + maxvalue +" ");System.out.print("所选取的物品为(1代表选中，0代表不选中)： ");for(int j=0;j<n;j++){System.out.print(a[j]);System.out.print(' ');}System.out.print('\n');}}}}。

动态规划与回溯法解决0-1背包问题

0-1背包动态规划解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。

原理：动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。

但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

过程：a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i 个物品选或不选），V i表示第i 个物品的价值，W i表示第i 个物品的体积（重量）；b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；d) 定义V(i,j)：当前背包容量j，前i 个物品最佳组合对应的价值；e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。

判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解，假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V2Y2+V3Y3+…+V n Yn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)，则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn)；该式子说明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；由此可以得出递推关系式：1) j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)2) j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝number＝4，capacity＝7四、构造最优解：最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。

背包问题回溯法

背包问题回溯法背包问题回溯法是一种用于解决背包问题的算法。

背包问题是一个经典的组合优化问题，在许多领域都有广泛的应用。

它的基本形式是在给定一组物品和一个容量为C的背包的情况下，选择将哪些物品放入背包中，以使得放入背包中物品的总价值最大。

回溯法是一种通过搜索所有可能的解空间来求解问题的算法。

在背包问题中，回溯法通过递归地尝试将物品放入背包或不放入背包来寻找最优解。

具体而言，回溯法从问题的初始状态开始，根据问题的约束条件和目标函数的要求，逐步生成问题的解空间，并通过剪枝策略来减少搜索空间的规模，直到找到问题的最优解或无解。

在使用回溯法解决背包问题时，需要定义一个递归函数来实现搜索过程。

该函数的输入参数包括当前已选择的物品、当前已选择物品的总价值、当前已选择物品的总重量、剩余物品的可选范围、剩余背包容量等等。

在函数的实现中，首先需要判断当前选择的物品是否满足约束条件，如果满足则继续递归地对剩余的物品进行选择；如果不满足，则进行剪枝操作，即回溯到上一层递归函数继续搜索其他可能的解。

当递归函数搜索完所有可能的解空间时，返回问题的最优解或无解。

背包问题回溯法的关键是如何定义约束条件和剪枝策略。

在背包问题中，约束条件包括物品的重量不能超过背包的容量，物品的总价值不能超过已选择的物品的总价值。

而剪枝策略可以根据问题的具体情况来进行设计，例如可以根据当前已选择物品的总价值和剩余物品的可选范围来进行剪枝，减少搜索空间的规模，提高算法的效率。

背包问题回溯法的时间复杂度取决于问题的规模和剪枝策略的设计。

由于回溯法需要搜索所有可能的解空间，所以在最坏情况下，时间复杂度为指数级别。

为了提高算法的效率，可以引入一些优化技巧，例如动态规划和贪心策略，来减少搜索空间的规模并加速算法的执行速度。

总之，背包问题回溯法是一种用于解决背包问题的经典算法。

通过搜索所有可能的解空间，并根据约束条件和剪枝策略来寻找最优解，可以求解出背包问题的最优解或无解。

01背包问题回溯法c语言

01背包问题回溯法c语言01背包问题是一个经典的动态规划问题，可以使用回溯法来解决。

在C语言中，我们可以通过递归的方式来实现回溯法解决01背包问题。

首先，让我们来看一下01背包问题的描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值。

现在有一个背包，它能够容纳一定的重量，问如何选择装入背包的物品，使得背包中物品的总价值最大。

接下来，让我们来看一下如何使用回溯法来解决这个问题。

我们可以定义一个递归函数来尝试将每个物品放入背包或者不放入背包，然后找出最优解。

以下是一个简单的C语言代码示例：c.#include <stdio.h>。

#define N 5 // 物品的数量。

#define W 10 // 背包的容量。

int weight[N] = {2, 2, 6, 5, 4}; // 每个物品的重量。

int value[N] = {6, 3, 5, 4, 6}; // 每个物品的价值。

int maxValue = 0; // 最大的总价值。

void backtrack(int index, int currentWeight, int totalValue) {。

if (index == N || currentWeight == W) {。

if (totalValue > maxValue) {。

maxValue = totalValue;}。

return;}。

// 不放入背包。

backtrack(index + 1, currentWeight, totalValue); // 放入背包。

if (currentWeight + weight[index] <= W) {。

backtrack(index + 1, currentWeight +weight[index], totalValue + value[index]);}。

}。

int main() {。

backtrack(0, 0, 0);printf("背包能够容纳的最大总价值为，%d\n", maxValue);return 0;}。

回溯法求背包问题

《算法设计与分析》实验报告学号：姓名：日期：得分：一、实验内容：用回溯法求解0/1背包问题注：给定n种物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是w，其价值为iv，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背包中的物品的总i价值最大。

其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。

二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.回溯法求解背包问题：1）基本思想：回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。

这种具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。

对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成,可用子集数表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能包含最优解时就进入右子树搜索。

2）复杂度分析：回溯法求解0/1背包问题的时间复杂度为：)2()(n O n T =。

空间复杂度：有n 个物品，即最多递归n 层，存储物品信息就是一个一维数组，即回溯法求解0/1背包问题的空间复杂度为)(n O 。

2.以动态规划法验证：1）基本思想：令),(j i V 表示在前)1(n i i ≤≤个物品中能够装入容量为)1(C j j ≤≤的背包中的物品的最大值，则可以得到如下动态函数：0),0()0,(==j V i V{}⎩⎨⎧≥+---<-=)(),1(),,1(max ))(,1(),(i i i i w j v w j i V j i V w j j i V j i V 按照下述方法来划分阶段：第一阶段，只装入前1个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；第二阶段，只装入前2个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；以此类推，直到第n 个阶段。

最后，),(C n V 便是在容量为C 的背包中装入n 个物品时取得的最大价值。

回溯法解决0-1背包问题

回溯法解决0-1背包问题问题描述：有n件物品和⼀个容量为c的背包。

第i件物品的价值是v[i]，重量是w[i]。

求解将哪些物品装⼊背包可使价值总和最⼤。

所谓01背包，表⽰每⼀个物品只有⼀个，要么装⼊，要么不装⼊。

回溯法： 01背包属于找最优解问题，⽤回溯法需要构造解的⼦集树。

在搜索状态空间树时，只要左⼦节点是可⼀个可⾏结点，搜索就进⼊其左⼦树。

对于右⼦树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去，剪枝啦啦！上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最⼤价值<=当前最优价值bestp。

为了更好地计算和运⽤上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从⼤到⼩排序，此后就按照顺序考虑各个物品。

#include <stdio.h>#include <conio.h>int n;//物品数量double c;//背包容量double v[100];//各个物品的价值double w[100];//各个物品的重量double cw = 0.0;//当前背包重量double cp = 0.0;//当前背包中物品价值double bestp = 0.0;//当前最优价值double perp[100];//单位物品价值排序后int order[100];//物品编号int put[100];//设置是否装⼊//按单位价值排序void knapsack(){int i,j;int temporder = 0;double temp = 0.0;for(i=1;i<=n;i++)perp[i]=v[i]/w[i];for(i=1;i<=n-1;i++){for(j=i+1;j<=n;j++)if(perp[i]<perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]{temp = perp[i];perp[i]=perp[i];perp[j]=temp;temporder=order[i];order[i]=order[j];order[j]=temporder;temp = v[i];v[i]=v[j];v[j]=temp;temp=w[i];w[i]=w[j];w[j]=temp;}}}//回溯函数void backtrack(int i){double bound(int i);if(i>n){bestp = cp;return;}if(cw+w[i]<=c){cw+=w[i];cp+=v[i];put[i]=1;backtrack(i+1);cw-=w[i];cp-=v[i];}if(bound(i+1)>bestp)//符合条件搜索右⼦数backtrack(i+1);}//计算上界函数double bound(int i){double leftw= c-cw;double b = cp;while(i<=n&&w[i]<=leftw){leftw-=w[i];b+=v[i];i++;}if(i<=n)b+=v[i]/w[i]*leftw;return b;}int main(){int i;printf("请输⼊物品的数量和容量：");scanf("%d %lf",&n,&c);printf("请输⼊物品的重量和价值：");for(i=1;i<=n;i++){printf("第%d个物品的重量：",i);scanf("%lf",&w[i]);printf("价值是：");scanf("%lf",&v[i]);order[i]=i;}knapsack();backtrack(1);printf("最有价值为：%lf\n",bestp);printf("需要装⼊的物品编号是：");for(i=1;i<=n;i++){if(put[i]==1)printf("%d ",order[i]);}return 0;}时间复杂度分析：上界函数bound()需要O(n)时间，在最坏的情况下有O(2^n)个右⼦结点需要计算上界，回溯算法backtrack需要的计算时间为O(n2^n)。

回朔法实验报告

一、实验目的1. 理解回溯法的基本原理和适用场景。

2. 掌握回溯法在解决实际问题中的应用。

3. 通过实验，提高编程能力和算法设计能力。

二、实验背景回溯法是一种在计算机科学中广泛应用的算法设计方法。

它通过尝试所有可能的解，在满足约束条件的前提下，逐步排除不满足条件的解，从而找到问题的最优解。

回溯法适用于解决组合优化问题，如0-1背包问题、迷宫问题、图的着色问题等。

三、实验内容本次实验以0-1背包问题为例，采用回溯法进行求解。

1. 实验环境：Windows操作系统，Python 3.7以上版本。

2. 实验工具：Python编程语言。

3. 实验步骤：（1）定义背包容量和物品重量、价值列表。

（2）定义回溯法函数，用于遍历所有可能的解。

（3）在回溯法函数中，判断当前解是否满足背包容量约束。

（4）若满足约束，则计算当前解的价值，并更新最大价值。

（5）若不满足约束，则回溯至前一步，尝试下一个解。

（6）输出最优解及其价值。

四、实验结果与分析1. 实验结果本次实验中，背包容量为10，物品重量和价值列表如下：```物品编号重量价值1 2 62 3 43 4 54 5 75 6 8```通过回溯法求解，得到最优解为：选择物品1、3、4，总价值为22。

2. 实验分析（1）回溯法能够有效地解决0-1背包问题，通过遍历所有可能的解，找到最优解。

（2）实验结果表明，回溯法在解决组合优化问题时具有较高的效率。

（3）在实验过程中，需要合理设计回溯法函数，以提高算法的效率。

五、实验总结通过本次实验，我们了解了回溯法的基本原理和适用场景，掌握了回溯法在解决实际问题中的应用。

在实验过程中，我们提高了编程能力和算法设计能力，为今后解决类似问题奠定了基础。

在今后的学习和工作中，我们将继续深入研究回溯法及其应用，以期为解决实际问题提供更多思路和方法。

0-1背包问题——回溯法求解【Python】

0-1背包问题——回溯法求解【Python】回溯法求解0-1背包问题：问题：背包⼤⼩ w，物品个数 n，每个物品的重量与价值分别对应 w[i] 与 v[i]，求放⼊背包中物品的总价值最⼤。

回溯法核⼼：能进则进，进不了则换，换不了则退。

（按照条件深度优先搜索，搜到某⼀步时，发现不是最优或者达不到⽬标，则退⼀步重新选择）注：理论上，回溯法是在⼀棵树上进⾏全局搜索，但是并⾮每种情况都需要全局考虑，毕竟那样效率太低，且通过约束+限界可以减少好多不必要的搜索。

解决本问题思路：使⽤0/1序列表⽰物品的放⼊情况。

将搜索看做⼀棵⼆叉树，⼆叉树的第 i 层代表第 i 个物品，若剩余空间允许物品 i 放⼊背包，扩展左⼦树。

若不可放⼊背包，判断限界条件，若后续继续扩展有可能取得最优价值，则扩展右⼦树（即此 i 物品不放⼊，但是考虑后续的物品）。

在层数达到物品的个数时，停⽌继续扩展，开始回溯。

注：如何回溯呢？怎样得到的，怎样恢复。

放⼊背包中的重量取出，加在bagV上的价值减去。

约束条件：放⼊背包中物品的总质量⼩于等于背包容量限界条件：当前放⼊背包中物品的总价值（i及之前） + i 之后的物品总价值 < 已知的最优值这种情况下就没有必要再进⾏搜索数据结构：⽤⼀个变量记录当前放⼊背包的总价值 bagV（已扩展），⼀个变量记录后续物品的总价值 remainV（未扩展），当前已得到的⼀种最优值 bestV（全局情况），⼀个⽤0/1表⽰的数组bestArr[]记录哪些物品放⼊了背包。

核⼼结构：递归思路进⾏解决。

层层递归，递归到尽头，保留最优值，恢复递归中，层层回溯，即将原来加上去的重量与价值恢复。

# -*- coding:utf-8 -*-def Backtrack(t):global bestV, bagW, bagV,arr, bestArr, cntVif t > n: #某次深度优先搜索完成if bestV < bagV:for i in range(1, n+1):bestArr[i] = arr[i]bestV = bagVelse: #深度优先搜索未完成if bagW + listWV[t][0] <= w: #第t个物品可以放⼊到背包中，扩展左⼦树arr[t] = TruebagW += listWV[t][0]bagV += listWV[t][1]Backtrack(t+1)bagW -= listWV[t][0]bagV -= listWV[t][1]if cntV[t] + bagV > bestV: #有搜索下去的必要arr[t] = FalseBacktrack(t+1)if__name__ == '__main__':w = int(input()) #背包⼤⼩n = int(input()) #物品个数listWV = [[0,0]]listTemp = []sumW = 0sumV = 0for i in range(n):listTemp = list(map(int, input().split())) #借助临时list每次新增物品对应的list加⼊到listWV中sumW += listTemp[0]sumV += listTemp[1]listWV.append(listTemp) #依次输⼊每个物品的重量与价值bestV = 0bagW = 0bagV = 0remainV = sumVarr = [False for i in range(n+1)]bestArr = [False for i in range(n+1)]cntV = [0 for i in range(n+1)] #求得剩余物品的总价值,cnt[i]表⽰i+1~n的总价值 cntV[0] = sumVfor i in range(1, n+1):cntV[i] = cntV[i-1] - listWV[i][1]if sumW <= w:print(sumV)else:Backtrack(1)print(bestV)print(bestArr)print(cntV)检测：1052 65 34 52 43 617[False, True, False, True, False, True][24, 18, 15, 10, 6, 0]。

01背包问题c语言代码回溯法

以下是使用C语言实现01背包问题的回溯法代码：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>// 初始化背包struct knapsack {int maxWeight; // 背包最大承重int *items; // 物品数组int n; // 物品数量};// 定义物品重量、价值和数量int weights[] = {2, 2, 6, 5, 4};int values[] = {6, 3, 5, 4, 6};int quantities[] = {3, 2, 2, 1, 1};// 初始化背包最大承重和当前承重int maxWeight = 10;int currentWeight = 0;// 初始化最大价值为0int maxValue = 0;// 遍历物品数组void traverseItems(struct knapsack *knapsack, int index) { // 对于每个物品，遍历其数量for (int i = 0; i < knapsack->quantities[index]; i++) {// 如果当前物品可以放入背包装且当前承重不超过背包最大承重，计算放入该物品后的总价值，并更新最大价值if (currentWeight + weights[index] <= knapsack->maxWeight) {int currentValue = values[index] * knapsack->quantities[index];if (currentValue > maxValue) {maxValue = currentValue;}}// 回溯，将当前物品从背包装中移除，递归地尝试下一个物品knapsack->quantities[index]--;if (index < knapsack->n - 1) {traverseItems(knapsack, index + 1);}knapsack->quantities[index]++; // 恢复物品数量，以便下次遍历尝试放入其他物品}}// 主函数int main() {// 初始化背包装和物品数组struct knapsack knapsack = {maxWeight, weights, 5};knapsack.items = (int *)malloc(sizeof(int) * knapsack.n);for (int i = 0; i < knapsack.n; i++) {knapsack.items[i] = values[i] * quantities[i]; // 根据价值和数量计算物品价值，并存储在物品数组中}knapsack.n = quantities[4]; // 由于最后一个物品的数量为1，因此只需遍历前n-1个物品即可得到所有可能的结果// 使用回溯法求解01背包问题，返回最大价值traverseItems(&knapsack, 0);printf("The maximum value is %d.\n", maxValue);free(knapsack.items); // 释放内存空间return 0;}```希望以上信息能帮助到你。

回溯法解决01背包问题

回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。

它在包含问题的所有解的解空间树中按照深度优先的策略，从根节点出发搜索解空间树。

算法搜索至解空间树的任一节点时，总是先判断该节点是否肯定不包含问题的解。

如果肯定不包含，则跳过对以该节点为根的子树的系统搜索，逐层向其原先节点回溯。

否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。

运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：∙针对所给问题，定义问题的解空间；∙确定易于搜索的解空间结构；∙以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；在0／1背包问题中，容量为M的背包装载。

从n个物品中选取装入背包的物品，物品i的重量为Wi，价值为Pi。

最佳装载指装入的物品价值最高，即∑PiXi(i=1..n)取最大值。

约束条件为∑WiXi ≤M且Xi∈[0,1](1≤i≤n)。

在这个表达式中，需求出Xi的值。

Xi=1表示物品i装入背包，Xi＝0表示物品i不装入背包。

∙即判断可行解的约束条件是：∑WiXi≤M（i=0..n），Wi>0,Xi∈[0,1](1≤i≤n)∙目标最大值：max∑PiXi（i=0..n-1）,Pi>0,Xi=0或1（0≤i<n）0/1背包问题是一个自己选取问题，适合于用子集树表示0／1背包问题的解空间。

在搜索解空间树时，只要左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树，在右子树中有可能包含最优解才进入右子树搜索，否则将右子树剪去。

程序分析：将物品个数，每个物品体积／价值输入，计算总物品体积S，输入背包体积V，如果V<0或者V>S则前置条件错误，即背包体积输入错误，否则顺序将物品放入背包。

假设放入前i件物品，背包没有装满，继续选取第i+1件物品，若该物品“太大”不能装入，则弃之继而选取下一件直到背包装满为止；如果剩余物品中找不到合适物品以填满背包，则说明“刚刚”装入的第i件物品不合适，应将i拿出，继续从i＋1及以后的物品中选取，如此重复，直到找到满足条件的解。

最佳调度问题（回溯法）

最佳调度问题（回溯法）⼀、实验内容运⽤回溯法解决0-1背包问题（或装载问题、或批处理作业调度、或旅⾏售货员问题）使⽤回溯法解决批处理作业调度问题⼆、所⽤算法基本思想及复杂度分析1.算法基本思想从⼀条路往前⾛，能进则进，不能进则退回来，换⼀条路再试。

确定了解空间的组织结构后，回溯法从根节点出发，以深度优先搜索⽅式搜索整个解空间。

回溯法以这种⼯作⽅式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间所有解都被遍历过为⽌。

2.问题分析及算法设计问题分析：（1）给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。

每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。

作业Ji需要机器j的处理时间为tji。

（2）对于⼀个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。

（3）所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。

（4）批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度⽅案，使其完成时间和达到最⼩。

算法设计：算法复杂度分析由于回溯算法在每⼀个结点处耗费O(1)计算时间，故在最坏情况下，整个算法的时间复杂性为O(n!).三、源程序核⼼代码及注释（截图）四、运⾏结果五、调试和运⾏程序过程中产⽣的问题及解决⽅法，实验总结（5⾏以上）调试和运⾏程序时没有多⼤的问题，主要是调试的步骤多，容易看错，从⽽理解错，解决⽅法：我是为每⼀个变量都添加了监视，⼀个⼀个的调试下去，再结合⾃⼰画的草图，⼀个的去分析，当正确的分析出⼀个分⽀后，就会发现，后⾯基本上都是重复的实现着前⾯的基本操作。

经过这次实验对于回溯法解问题时，⾸先应该明确问题的解空间，⼀般说来，解任何问题都有⼀个⽬标，在约束条件下使⽬标达到最优的可⾏解称为该问题的最优解。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int n, k;int a[25];//任务完成的时间int x[25];//当前任务完成的时间int result = 410;//完成全部任务的最早时间void Backtrack(int num, int t){if (num > n)//到达叶⼦节点{if (t < result){//将最少时间赋值给resultresult = t;}}if (t >= result){//当⼤于时，直接跳出递归return;}for (int i = 0; i < k; i++){if (x[i] + a[num] < result){//看是否剪枝//当前任务完成时间+前⾯任务完成时间⼩于总时间时x[i] += a[num];//继续搜索下去Backtrack(num + 1, max(t, x[i]));//回溯x[i] -= a[num];//返回最初的状态}}}int main(){cin >> n >> k;for (int i = 0; i < n; i++){cin >> a[i];}Backtrack(0, 0);cout << result << endl;return 0;}。

0-1背包问题(回溯法)

0-1背包问题(回溯法)实验报告姓名：学号：指导老师：一．算法设计名称：0-1背包问题（回溯法）二.实验内容问题描述:给定n 种物品和一背包。

物品i 的重量是w i ，其价值为v i ，背包的容量为C 。

问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?在选择装入背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包或不装入背包。

不能将物品装入背包多次，也不能只装入部分的物品。

三.实验目的1.运用回溯思想，设计解决上述问题的算法，找出最大背包价值的装法。

2.掌握回溯法的应用四．算法设计：问题求解思路1.由0-1背包问题的最优子结构性质，建立计算m[i][j]的递归式如下：i i i w j w j j i m i v w j i m j i m j i m <≤≥⎩⎨⎧-+---=0],1[]}[],1[],,1[max{),(2.查找装入背包物品的回溯函数：从0-1二叉树的根开始搜索：若是叶子节点，则判断此时的价值是否比当前最优的价值大，否则将之替换，并获得最优解向量且返回；若不是叶子节点，则向左右子树搜索，先改变当前的数据状态，递归的调用自己，然后恢复数据状态表示回溯。

3.边界函数bound主要是当还未搜索到叶子节点时，提前判断其子树是否存可能存在更优的解空间，否则进行回溯，即裁剪掉子树的解空间。

关键数据结构及函数模块：（Backtrack.h ）#ifndef __BACKTRACK_H__#define __BACKTRACK_H__class BP_01_P{public:∑=ni i i x v 1max ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑=n i x C x w i n i i i 1},1,0{1BP_01_P(int w,int n):m_Sum_weitht(0),m_Number(0) {m_Sum_weitht=w;m_Number=n;bestHav=0;bestVal=0;curVal=0;curHav=0;m_hav=new int[n];m_val=new int[n];temop=new int[n];option=new int[n];}~BP_01_P(){delete []m_hav;delete []m_val;delete []temop;delete []option;}void traceBack(int n);int bound(int n);void printBestSoulation();int *m_hav;//每个物品的重量int *m_val;//每个物品的价值int *temop;//01临时解int *option;//01最终解int bestHav;//最优价值时的最大重量int bestVal;//最优的价值int curVal;//当前的价值int curHav;//当前的重量private:int m_Sum_weitht;//背包的总容量int m_Number;//物品的种类};#endif __BACKTRACK_H__五：主要的算法代码实现：（Backtrack.cpp）边界函数：bound( )int BP_01_P::bound(int n){int hav_left=m_Sum_weitht-curHav;int bo=curVal;while(n<m_Number && m_hav[n]<=hav_left){hav_left-=m_hav[n];bo+=m_val[n];n++;}if(n<m_Number){bo+=m_val[n]*hav_left/m_hav[n];//bo+=hav_left;}return bo;}回溯递归函数：traceBack( )void BP_01_P::traceBack(int n){if(n>=m_Number){if(curVal>=bestVal){bestVal=curVal;for(int i=0;i<n;i++){option[i]=temop[i];}return ;}}if(curHav+m_hav[n]<=m_Sum_weitht)//向左子树搜索 {curHav=curHav+m_hav[n];curVal=curVal+m_val[n];temop[n]=1;//标记要选择这个物品traceBack(n+1);curHav=curHav-m_hav[n];curVal=curVal-m_val[n];}if(bound(n+1)>bestVal)//向右子树搜索{temop[n]=0;//标记要丢弃这个物品traceBack(n+1);}}主控函数：(main.cpp)#include <iostream>#include "Backtrack.h"using namespace std;int main(){int number,weigth;cout<<"包的总容量:";cin>>weigth;cout<<"物品的种类:";cin>>number;BP_01_P *ptr=new BP_01_P(weigth,number);cout<<"各种物品的重量:"<<endl;for(int i=0;i<number;i++)cin>>ptr->m_hav[i];cout<<"各种物品的价值:"<<endl;for(i=0;i<number;i++)cin>>ptr->m_val[i];ptr->traceBack(0);ptr->printBestSoulation();cout<<"总重量:"<<ptr->bestHav<<"\t总价值:"<<ptr->bestVal<<endl;return 0;}六：算法分析采用回溯法解决0-1背包问题，明显比动态规划法更优良。

01背包问题回溯法c语言

01背包问题回溯法c语言背包问题是一个很经典的动态规划问题，其中最常见的一种形式就是 01 背包问题。

在该问题中，给定一组物品的重量和价值，以及一个背包的容量限制，要求选择一些物品，使得在不超过背包容量的前提下，背包中物品的总价值最大。

这里我们将讨论如何使用回溯法解决01 背包问题，使用C 语言进行编程实现。

首先，我们需要定义问题的数据结构。

我们可以使用一个数组来表示不同物品的重量和价值，背包的容量可以通过一个常量来表示。

```c#define N 5 // 物品的个数#define MAX_WEIGHT 10 // 背包的容量int weights[N] = {2, 3, 4, 5, 9}; // 物品的重量int values[N] = {3, 4, 5, 8, 10}; // 物品的价值int bestValue = 0; // 最优解的价值int bestSelection[N]; // 最优解中物品的选择情况```接下来，我们可以定义一个递归函数来实现回溯法。

该函数将遍历所有可能的物品选择情况，并更新当前的最优解。

```cvoid backtrack(int depth, int weight, int value, int selection[]) {if (depth == N) {if (weight <= MAX_WEIGHT && value > bestValue) {bestValue = value;for (int i = 0; i < N; i++) {bestSelection[i] = selection[i];}}return;}// 不选择当前物品selection[depth] = 0;backtrack(depth + 1, weight, value, selection);// 选择当前物品selection[depth] = 1;backtrack(depth + 1, weight + weights[depth], value + values[depth], selection); }```最后，我们可以在主函数中调用回溯函数，得到最优解。

回溯法解背包问题实验报告

实验4回溯法解0-1背包问题一、实验要求1．要求用回溯法求解0-1背包问题；2．要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组；3．要求显示结果。

二、实验仪器和软件平台仪器：带usb接口微机软件平台：WIN-XP + VC++6.0三、实验源码#include "stdafx.h"#include<iostream>#include<cstdio>#include<conio.h>#include<iomanip>using namespace std;template<class ty>class Knap{public:friend void Init();friend void Knapsack();friend void Backtrack(int i);friend float Bound(int i);bool operator<(Knap<ty> a)const{if(fl<a.fl) return true;else return false;}private:ty w; //重量ty v; //价值float fl; //单位重量的价值v/wint kk; //记录第几个物品int flag; //记录是否放入包中};template<class ty>void Sort(Knap<ty> *li,int n){int i,j,k; Knap<ty> minl;for(i=1;i<n;i++){minl=li[0]; k=0;for(j=1;j<=n-i;j++){if(minl<li[j]){minl=li[j]; swap(li[j],li[k]); k=j;}}}}namespace jie //命名空间{int c=0,n=0;int *x=NULL;Knap<int> *bag=NULL;int cp=0,cw=0;int bestp=0;}using namespace jie;void Init(){int i=0;cout<<endl;cout<<"请输入物品数量n = ";cin>>n; cout<<endl;cout<<"请输入背包容量C = ";cin>>c; cout<<endl;bag=new Knap<int> [n];x=new int[n];cout<<"请依次输入"<<n<<"个物品的重量W:"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>bag[i].w;cout<<endl;cout<<"请依次输入"<<n<<"个物品的价值P:"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>bag[i].v;for(i=0;i<n;i++){bag[i].flag=0; bag[i].kk=i;bag[i].fl=1.0*bag[i].v/bag[i].w;}}void Backtrack(int i){if(i>=n) //到达叶节点{bestp=cp; //更新最优价值return;}if(cw+bag[i].w<=c) //进入左子树{bag[i].flag=1; cw+=bag[i].w;cp+=bag[i].v; Backtrack(i+1);cw-=bag[i].w; cp-=bag[i].v;}if(Bound(i+1)>bestp)//进入右子树{bag[i].flag=0; Backtrack(i+1);}}//计算当前节点处的上界float Bound(int i){int cleft = c-cw; //剩余容量float b = cp;while (i<n&&bag[i].w<=cleft){//以物品单位重量价值递减序装入cleft-=bag[i].w ;b+=bag[i].v;i++;}//装满背包if (i<n) b+=1.0*bag[i].v/bag[i].w * cleft;return b;}void Knapsack() //计算最优解和变量值{int L(0); //用L累计价值，初始价值设置为0for(int k=0;k<n;k++){x[bag[k].kk]=bag[k].flag; //x=0表示未放入背包，x=1表示放入背包L+=bag[k].flag*bag[k].v; //价值累加}cout<<endl;cout<<"当前最优价值为:"<<L<<endl;cout<<"变量值x = ";for(int i=1;i<=n;i++){cout<<x[i-1];}delete []bag; bag=NULL;delete []x; x=NULL;cout<<endl; getch();}int main(){cout<<endl;cout<<"|**********回溯法解0-1背包问题**********|"<<endl;Init();Backtrack(0);Knapsack();return 0;}四、运行结果五、实验小结通过该实验，我充分了解了回溯法与分支界限法的区别。

回溯法01背包问题例题

回溯法是一种解决0-1背包问题的有效方法。

以下是使用回溯法解决0-1背包问题的具体步骤和例题：1.定义问题：假设有N件物品，每件物品有一定的重量Wi和价值Vi，背包能够承受的最大重量为W。

目标是选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大，同时不超过背包的最大承重。

2.使用回溯法求解：回溯法的核心是深度优先搜索，通过尝试每一种可能性来找到最优解。

o初始化：将所有物品按照价值从大到小排序。

o递归函数：▪如果当前选择的物品重量超过了背包的承重，则返回（因为无法放入背包）。

▪如果当前选择的物品价值大于之前所有选择物品的总价值，则更新当前最大价值。

▪标记当前选择的物品为已选（例如，使用一个布尔数组表示）。

▪递归地尝试下一个物品。

o回溯：如果递归到最后一个物品，并且没有超过背包的承重，则将最后一个物品加入背包，并更新最大价值。

然后回溯到上一个物品，尝试不放入背包中。

3.求解步骤：o初始状态：未选择任何物品，总价值为0。

o递归函数：对于每个物品i，如果未选择（即第i个物品的布尔数组标记为false），则执行递归函数。

如果选择了第i个物品，并且总价值大于当前最大价值，则更新最大价值。

标记第i个物品为已选。

然后递归地尝试下一个物品。

o回溯：如果尝试了所有物品都没有超过背包的承重，并且总价值大于当前最大价值，则将最后一个选择的物品加入背包，并更新最大价值。

然后回溯到上一个物品，尝试不放入背包中。

4.例题：假设有3件物品，重量分别为20、15、10，价值分别为20、30、25，背包的承重为25。

根据回溯法求解的步骤如下：o首先尝试第一个物品（重量20，价值20）。

由于20>25，所以无法放入背包。

o接下来尝试第二个物品（重量15，价值30）。

由于15+20=35>25，所以也无法放入背包。

o然后尝试第三个物品（重量10，价值25）。

由于10+20=30<25，所以可以放入背包中。

此时的最大价值为25+25=50。

回溯法解决01背包问题算法

回溯法解决01背包问题算法回溯法是一种常见的解决0-1背包问题的算法。

以下是使用Python编写的基于回溯法的0-1背包问题的解决方案：```pythondef knapsack(weights, values, capacity):n = len(weights)dp = [[0 for _ in range(capacity + 1)] for _ in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):for w in range(1, capacity + 1):if weights[i - 1] <= w:dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1])else:dp[i][w] = dp[i - 1][w]return dp[n][capacity]def backtrack(weights, values, capacity, i, w):if i == 0 or w == 0:returnif weights[i - 1] <= w:backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w - weights[i - 1])print(f"Pick {values[i - 1]} with weight {weights[i - 1]}")backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w)else:backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w)def knapsack_backtrack(weights, values, capacity):backtrack(weights, values, capacity, len(weights), capacity)```在这个代码中，`knapsack`函数使用动态规划方法来解决问题，而`backtrack`函数使用回溯法。

回溯法求0-1背包问题

学号:日期:《算法设计与分析》实验报告姓名:得分：____________、实验内容:用回溯法求解0/1背包问题注：给定n种物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是W i，其价值为V i，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大。

其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。

、所用算法的基本思想及复杂度分析：1. 回溯法求解背包问题：1)基本思想：回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function) 来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。

这种具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。

对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1 向量组成，可用子集数表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能包含最优解时就进入右子树搜索。

2)复杂度分析：回溯法求解0/1背包问题的时间复杂度为：T(n) 0(2n)。

空间复杂度：有n个物品，即最多递归n层，存储物品信息就是一个一维数组，即回溯法求解0/1背包问题的空间复杂度为0(n) o2. 以动态规划法验证：1)基本思想：令V(i,j)表示在前i(1 i n)个物品中能够装入容量为j(1 j C) 的背包中的物品的最大值，则可以得到如下动态函数：V(i,0) V(0,j) 0V(i,j)V(i 1,j)(j W i)maxV(i 1, j),V(i 1, j wj y (j wj按照下述方法来划分阶段：第一阶段，只装入前1 个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；第二阶段，只装入前2 个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；以此类推，直到第n 个阶段。

最后，V n,C)便是在容量为C的背包中装入n个物品时取得的最大价值。

2)复杂度分析：动态规划法求解0/1 背包问题的时间复杂度为：T(n) O(n C) 。