圆与内接正方形、外切正方形之间面积的计算

合集下载

小学六年级圆与正方形关系

πr²－2r²=1.14r² 1.14×（24÷2）²＝452.16 （cm²）
答：外面的圆与内部的正方形之间的面积约是452.16cm²。
提高练习 1、已知正方形的面积100平方厘米，圆的面积是____平方厘米．
把正方形平均分成两个三角形，每个三角形的面积是100÷2=50（平方厘米），而三角形的面积为2r×r÷2=r²，所以r²=50 ，所以因此圆的面积为3.14×50=157（平方厘米）。
题目中都告诉了我们什么？
上图中两个圆的半径都是1 m，怎样求正方形和圆之间部分的面积呢？左图求的是正方形比圆多的面积，右图求的是……
图（1）
你能解决这个问题吗？
右图中正方形的边长就是圆的直径。
从图（1）可以看出： 2×2＝4（m²） 3.14×1²＝3.14（m²） 4－3.14＝0.86（m²）
我们把三个图合起来旋转一下，通过观察，你发现了什么？
四、再次探究
你还能找到不同的方法，探究圆和正方形的面积关系吗？
1. 小正方形是涂色部分的2倍，中等正方形是涂色部分的4倍； 2. 大正方形是小正方形的4倍。
圆的半径是r，最小正方形的面积就是r²，其它两个正方形和圆的面积分别是小正方形的几倍呢？
我们把三个图合起来旋转一下，通过观察，你发现了什么？
五、解决问题图中两个圆半径都是1 m，求出正方形和圆之间部分的面积。
r＝1 m
左图： 4r²－πr²
右图： πr²－2r²
＝0.86r²
＝1.14r²
＝0.86（m²）
＝1.14（m²）
做一做右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24cm。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？

2014年小学数学人教版六年级上册《圆》教材分析_共8页

《圆》教材分析本单元的内容是在学生已经学习了长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积计算，直观的认识圆的基础上进行教学的，是小学阶段的最后一个认识平面图形的单元。

圆这个平面图形与以往学习的平面图形有显著的不同，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等都是直线图形，而圆是曲线图形。

由此，教学将从对直线图形的研究过渡到对曲线图形的研究，这对学生而言是一种跨越与挑战。

因为无论是研究曲线图形的思想还是方法，与直线图形相比，都有显著的变化和提升。

因此，通过对圆的研究教学，不仅要让学生掌握圆的一些基础知识，还要让学生感受与体悟“化曲为直”“等积变换”“极限”等数学思想方法，以促进与发展学生的数学思想方法和问题解决的能力。

本单元的内容主要有：圆的认识、圆的周长、圆的面积、扇形的认识等。

一、与实验教材的主要区别（一）改变圆的各部分名称的引入方式，用圆规画圆引出圆的各部分名称，继而研究圆的性质。

实验教材在引入圆时，先让学生利用圆形杯盖、圆柱体物体、三角板上的圆孔描出圆，再把圆剪下来，通过多次对折等方式引出圆心、半径、直径等概念；在认识了圆的半径和直径的特点之后，再专门教学用圆规画圆的方法。

考虑到学生在生活中已经具备初步的用圆规画圆的知识，本次修订时，对于“你能想办法在纸上画一个圆吗”这一问题，教材同时给出了用杯盖、三角尺上的圆孔、圆规画圆的方法，符合真实的学情。

接下来，利用圆规画圆的方法引出圆心、半径、直径等概念，水到渠成，这样的引入方式也能更好地体现圆“一中同长”的本质特征。

接下来，通过让学生用圆规画几个大小不同的圆，探讨直径、半径的特点，在这一过程中，使学生进一步熟练掌握用圆规画圆的方法。

（二）增加圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小的内容。

“圆，一中同长也”，这是《墨子》中对圆的定义。

只要确定了“中”和“长”，圆的位置与大小就确定下来了。

圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小这一事实，过去虽然没在教材中明确指出，但实际上学生已经在自觉应用了。

人教版小学数学六年级上册第五单元《解决问题》教案教学设计

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------人教版小学数学六年级上册第五单元《解决问题》教案教学设计人教版小学数学六年级上册第五单元《解决问题》教案教学设计人教版小学数学六年级上册第五单元《解决问题》教案教学设计设计说明本节课是在学生学习了圆及圆环的面积的基础上进行教学的，主要教学圆的外切正方形和内接正方形与圆之间部分面积的计算方法，由于圆的半径与它的外切正方形及内接正方形的边长的特殊关系，所以在教学设计时注意以下两点：1．注重画图在解决问题中的作用，感知圆与正方形之间的关系。

画图策略是众多的解题策略中的基本策略。

它是通过各种图形帮助学生将抽象问题具体糜化、直观化，使学生能从图蝎中理解题意和分析数量关系眺，找到解决问题的突破口，罩从而形成解题的思路。

2．返提倡算法多样化。

算丈法多样化是新课标的重要证理念之一，由于学生生活背憎景和思考角度不同，所使用呸的方法必然是多样的，教师菌应尊重学生的想法，鼓励学显生独立思考，提倡计算方法阂的多样化。

本设计通过组织从学生进行合作探究，引导尝衷试运用多种方法来算出两种裔图形之间的面积差，使学生饵在不同的计算过程1 / 3中感受到外两种图形面积之间的变量关荷系。

课前准备教师准备 PP 扑 T 课件学情检测卡学生准备湖纸卡圆规彩笔教学过程⊙创饮设情境，激趣导入同学域们，图形世界是美丽的、奇落妙的，世界因为有了五彩的琶图案而更加美丽。

谁来说一颇说你知道哪些美丽的图案？经它们是由哪些基本图形组成瘸的？课件出示教材 69 倪页情境图，引导学生观察，厢然后提问：你知道生活陆中还有哪些外方内圆和外圆弟内方的物体吗？外方内圆的粮图形我们称它为圆外切正方谜形，外圆内方的图形我们称翁它为圆内接正方形。

数学六年级上册第五单元《圆》教案

参与人：《圆》教案六年级上册第五单元第2课时主备人：教学目标：1、在前面所学得成轴对称的平面图形的基础上，利用圆设计图案。

2、使学生认识到圆是轴对称图形，且对称轴有无数条。

3、培养学生动手操作能力，在操作中加深对所学平面图形的对称轴的认识教学重点：利用圆设计图案教学难点：圆的大小、位置的确定二次备课：教学过程：一、观察以前认识的对称图形1、举例说出轴对称的物体。

如：蝴蝶、飞机、门窗、月饼等。

想一想这些图形有什么特点？2、观察、概括。

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线直线叫做对称轴。

二、设计图案1、观察：这个图案有什么特征？说明：圆有无数条对称轴。

每一条直径所在的位置都是它的对称轴。

2、学生用圆规和直尺按步骤画图案3、试着用圆规和直尺画一画下面的图形。

4. 学生尝试设计图案。

全班交流展示设计图案。

三、巩固应用，内化提高。

1、第61页第6题：复习轴对称图形2、61页第7题：对称轴两侧相对点到对称轴的距离相等。

3、61页第8题：圆有无数条对称轴，要注意组合图形的对称轴四、总结：今天我们学习了哪些知识？参与人：《圆的周长》教案六年级上册第五单元第3课时主备人：教学目标：1．理解圆周率的意义，推导出圆周长的计算公式，并能正确的进行简单的计算．2．培养学生的观察、比较、分析、综合及动手操作能力．3．领会事物之间是联系和发展的辩证唯物主义观念以及透过现象看本质的辨证思维方法．教学重点：推导并总结出圆周长的计算公式。

教学难点：深入理解圆周率的意义。

教学过程：二次备课：一、创设情景，生成问题小黄狗和小灰狗比赛跑，小黄狗沿着正方形路线跑，小灰狗沿着圆形路线跑，结果小灰狗获胜。

小黄狗看到小灰得了第一名，心里很不服气，它说这样的比赛不公平。

同学们，你认为这样的比赛公平吗？二、探索交流，解决问题（一）认识周长1.小黄狗跑的路程实际上就是正方形的什么？什么是正方形的周长？2.那小灰狗所跑的路程呢？圆的周长又指的是什么意思？每个同学的桌上都有一元硬币、茶叶筒、易拉罐等物品，从这些物体中找出一个圆形来，互相指一指这些圆的周长。

《圆和正方形》(课堂PPT)

52
1π 3.14 1 π 3.14 1.52π 7.065 2π 6.28 22 π 12.56 2.52 π 19.625 3π 9.42 32 π 28.26 3.5 2π 38.465 4π 12.56 42 π 50.24 4.52 π 63.585 5π 15.7 52 π 78.5 6π 18.84 62 π 113.04 7π 21.98 72 π 153.86 8π 25.12 82 π 200.96 9π 28.26 92 π 254.34
5米 1米
65
66
67
68
已知正方形面积是10平方厘米，求圆的面积。
69
已知正方形面积是10平方厘米，求空白部分的面积。
70
已知三角形面积是10平方厘米，求空白部分的面积。
71
已知阴影部分的面积是50平方厘米，求圆环的面积。
72
已知阴影部分的面积是50平方厘米，求圆环的面积。
36
求图形的周长
r = 6dm
8厘米
3.14×6×2+6×4 = 37.68+24 = 61.68dm
6厘米
3.14×6÷2+8×2+6
= 18.84+22 = 40.84厘米
37
• 一个直径为1米的圆形洞口， • 一个身高为1.45米的小女孩不能直身通过， • 如果将洞口周长增加1.57米， • 请你计算她现在能否直身通过？
94
95
96
已知圆和四个圆弧所在的圆的半径都为2厘米，求阴影部分的面积。
97
求乙比甲大多少平方厘米？
甲乙
98
边长为10厘米的正方形中，AD与BC相交与O，分别以A、B、C、D为圆心，以对角线长的一半为半径画圆弧与正方形的边相交，求图中阴影部

外方内圆和外圆内方的面积教学设计

课题外方内圆和外圆内方第（5）课时内容P69-70 修改意见课型几何教学目标1、会解决圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积计算。

2、知道外方内圆，外圆内方的中国传统文化教材分析重点圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积计算。

难点理解圆内接正方形，已知圆的半径，求正方形的面积教具课件课件。

教学过程一、情境导入中国建筑史上经常见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。

下图中的两个圆半径都是1M。

你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？二、探究新知。

探究问题（1）：（1）左图求的哪部分的面积，右图求的是哪部分的面积？（2）左图中正方形的边长与圆的半径是什么关系？（3）右图中正方形的边长你能求出来吗？（4）右图中的正方形的面积怎样求呢？学生先看书，再分小组讨论，教师巡视，解决学生提出的疑问，然后小组展示，教师板书：左图，正方形的面积：2×2=4（平方米）圆的面积：3.14×1²=3.14(平方米)正方形与圆之间的面积:4-3.14=0.86(平方米)右图: 正方形的面积：（12×2×1）×2=2（平方米）圆的面积：3.14×1²=3.14(平方米)圆与正方形之间的面积: 3.14-2=1.14(平方米)拓展探究：如果两个圆的半径都是r，结果又是怎样的？小组议论，尝试列式，教师板书：左图：（2r）²-3.14×r²=4 r²-3.14 r²=0.86 r²右图：3.14×r²-(12×2r×r) ×2=3.14 r²- r²=1.14 r²当r=1M时，和前面的结果完全一致。

三、课堂检测。

1、完成书本70页的做一做2、书本72页第9题四、全课总结。

你学会了什么？还有什么不明白的问题？板书设计外方内圆和外圆内方左图，正方形的面积：2×2=4（平方米）圆的面积：3.14×1²=3.14(平方米)正方形与圆之间的面积:4-3.14=0.86(平方米)（2r）²-3.14×r²=4 r²-3.14 r²=0.86 r²右图: 正方形的面积：（12×2×1）×2=2（平方米）圆的面积：3.14×1²=3.14(平方米)圆与正方形之间的面积: 3.14-2=1.14(平方米)3.14×r²-(12×2r×r) ×2=3.14 r²- r²=1.14 r²教后反思使用本教案在课堂教学中的感觉：a、好的地方。

圆内相关计算

圆内相关计算【基础知识回顾】一、正多边形和圆：1、各边相等，也相等的多边形是正多边形2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的外接圆的半径叫正多边形的一般用字母R 表示，每边所对的圆心角叫用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的用r 表示3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的三角形二、弧长与扇形面积计算：⊙O 的半径为R ，弧长为L ，圆心角为n 0，扇形的面积为S 扇，则有如下公式： L= S 扇= = 三、圆柱和圆锥：1、如图：设圆柱的高为L,底面半径为R则有：⑴S 圆柱侧= ⑵S 圆柱全= ⑶V 圆柱= 2、如图：设圆锥的母线长为L ，底面半径为R 高为h ，则有：⑴S 圆锥侧= 、⑵S 圆锥全= ⑶V 圆锥=【典型例题】考点一：正多边形和圆例1 如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A ． 32π-B ．233π-C ．232π-D ．2233π-考点二：圆周长与弧长例2 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为（）A ．10πB ．103 C ．103π D ．π考点三：扇形面积与阴影部分面积例3 如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作 EF．若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是（）（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，π取3.14）A．0.64 B．1.64 C．1.68 D．0.36考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图例4 如图，已知圆O的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为 1．考点五：关于圆内接正多边形的作图例5 在下图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形(1)正三角形(2)正方形(3)正五边形反思：利用直尺和圆规还能作出那些圆内接正多边形？如果有量角器呢？又应该如何作图那？课堂练习：1．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（）A．2a2B．3a2C．4a2D．5a22. 如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=3，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC 由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为1．）π（结果用含有π的式子表示）3. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=23，则阴影部分图形的面积为（）A．4πB．2πC．πD．2 3π4．如图，从一个直径为4 3dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 1dm．5．如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则 BB'的长为（）A ．πB ．2C ．7πD ．6π6．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）A ．1B ．32C ．3 D ．237．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于 π ．8. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B ，A ，C′三点共线，则线段BC 扫过的区域面积为．9．已知：如图，⊙O 的半径为R ，正方形ABCD ，A ′B ′C ′D 分别是⊙O 的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB ∶A ′B ′和面积比S内∶S 外．10．已知：如图，以线段AB 为直径作半圆O 1，以线段AO 1为直径作半圆O 2，半径O 1C 交半圆O 2于D 点．试比较与的长．11．已知：如图，扇形OAB 和扇形OA ′B ′的圆心角相同，设AA ′＝BB ′＝d ．＝l 1，＝l 2．求证：图中阴影部分的面积.)(2121d l l S +=12．如图，矩形ABCD 中，AB =18cm ，AD =12cm ，以AB 上一点O 为圆心，OB 长为半径画恰与DC 边相切，交AD 于F 点，连结OF ．若将这个扇形OBF 围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S ．13．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线AC 的中点．求在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长课后作业：一、选择题1 .一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半径为（）A ．6cmB ．12cmC ．23cmD ．6cm 2 .如图，一枚直径为4cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（）A ．2πcmB ．4πcmC ．8πcmD ．16πcm3 .如果一个扇形的半径是1，弧长是3π，那么此扇形的圆心角的大小为（） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．如图，四边形OABC 为菱形，点A ，B 在以O 为圆心的弧上，若OA=3，∠1=∠2，则扇形ODE 的面积为（）A ． 43π B ．53π C ．2π D ．3π5．如图，在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（） A ．4-πB ．4-2πC ．8+πD ．8-2π6．如图所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A ． 433π- B ．4233π- C ．4332π- D ．43π7. 如图，正方形MNEF 的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB 与CD 是大圆的直径，AB ⊥CD ，CD ⊥MN ，则图中阴影部分的面积是（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π8．用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（）A ．1cmB ．2cmC ．πcmD ．2πcm9．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A ．120°B ．180°C ．240°D ．300°10．如图，用邻边分别为a ，b （a ＜b ）的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a 与b 满足的关系式是（）A ．b=3aB ．b=512a C ．b=52a D ．b= 2a11．一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1，那么下列选项中最接近这个几何体的侧面积的是（）A ．24.0B ．62.8C ．74.2D ．113.012如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为（）A ．10πB ．4πC ．2πD ．2二、填空题13．已知一个圆的半径为5cm ，则它的内接六边形的边长为 5cm．14．若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为．15．在半径为1cm 的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是 π cm16．如图，⊙O 的半径为6cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC ∥AO ，若∠A=30°，则劣弧 BC的长为 2πcm ． 17. 若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为 618. 已知扇形的圆心角为45°，弧长等于2π，则该扇形的半径为 2 19. 如图，已知∠ABC=90°，AB=πr ，BC= 2rπ，半径为r 的⊙O 从点A 出发，沿A→B→C方向滚动到点C 时停止．请你根据题意，在图上画出圆心O 运动路径的示意图；圆心O 运动的路程是 2πr ．20. 已知扇形的半径为3cm ，圆心角为120°，则此扇形的弧长为 2π cm ，扇形的面积是 3π cm 2．（结果保留π）21. 如图，在▱ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是（结果保留π）π22. 如图，在△ABC 中，∠A=50°，BC=6，以BC 为直径的半圆O 与AB 、AC 分别交于点D 、E ，则图中阴影部分面积之和等于（结果保留π） π．23.如图，小正方形构成的网络中，半径为1的⊙O 在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为（结果保留π）．24．底面半径为1，高为 3的圆锥的侧面积等于 2π．25．已知圆锥的底面半径为10cm ，它的展开图的扇形的半径为30cm ，则这个扇形圆心角的度数是 120°26．如图，SO ，SA 分别是圆锥的高和母线，若SA=12cm ，∠ASO=30°，则这个圆锥的侧面积是 cm 272π27．把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积为 3000πcm 3（结果不作近似计算）．三、解答题28.如图所示，在⊙O 中， AD AC ，弦AB 与弦AC 交于点A ，弦CD 与AB 交于点F ，连接BC ．（1）求证：AC 2=AB•AF ；（ 2）若⊙O 的半径长为2cm ，∠B=60°，求图中阴影部分面积．29如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且13AB =，5BC =．（1）求sin BAC ∠的值；（2）如果OD AC ⊥，垂足为D ，求AD 的长；（3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．30.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形．（1）求这个扇形的面积（结果保留π）；（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（3）当⊙O 的半径(0)R R >为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．ABC D OABCO①②③31、如图，AB 为⊙O 的直径，CD AB ⊥于点E ，交⊙O 于点D ，OF AC ⊥于点F ．（1）请写出三条与BC 有关的正确结论；（2）当30D ∠= ，1BC =时，求圆中阴影部分的面积32．已知：如图，⊙O 的半径为R ，求⊙O 的内接正六边形、⊙O 的外切正六边形的边长比AB ∶A ′B ′和面积比S 内∶S 外．C B A O FD E。

六年级数学上册公开课教学设计教案《圆的面积》(人教)优秀

《圆的面积》圆的面积是学生认识了圆的特征、学会计算圆的周长以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。

由于以前所学图形的面积计算都是直线图形面积的计算，而像圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到，所以具有一定的难度和挑战性。

教学关键之处在于学生通过观察猜想、动手操作、计算验证，自主探索、推导出圆的面积公式并能灵活应用圆的面积公式解决实际问题。

因此本课的教学应紧紧围绕“转化”思想，引导学生联系已学知识把新知识纳入已有知识中分析、研究、归纳，从而完成对新知的建构过程，建立数学模型，培养解决问题的综合能力。

【知识与能力目标】1.认识圆的面积，探索并掌握圆面积计算公式；2. 能正确运用圆面积公式解决简单的实际问题。

【过程与方法目标】在探究圆面积计算公式的过程中，让学生初步感受极限的思想，进一步体会转化的数学思想和方法，培养学生的迁移能力，发展学生的空间观念。

【情感态度价值观目标】通过大胆猜想、动手操作等活动，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。

【教学重点】圆的面积计算公式的推导和应用。

【教学难点】圆的面积推导过程中，极限思想（化曲为直）的理解。

相应课件、剪刀、圆片第一课时【情景导入】一、创设情境、揭示课题1、师：大家看，一匹马被拴在木桩上，它吃草的时候绷紧绳子绕了一圈。

从图中，你知道了哪些信息？（复习圆的相关特征）师：那马最多能吃多大面积的草呢？师：圆所围成的平面的大小就叫做圆的面积。

师：今天我们来研究圆的面积。

（揭示课题）【讲授新课】一、探索交流，解决问题1、回忆三角形、梯形面积计算公式推导过程。

课件出示。

（1）通过回忆这两种平面图形面积计算公式的推导，你发现了什么？（发现这两种平面图形都是转化为学过的图形来推导出它们的面积计算公式。

）（2）刚才我们回顾了用旋转平移推导三角形和梯形的面积计算公式，那能不能把圆形也转化成学过的图形来计算？猜一猜，圆可以转化成什么图形来推导面积公式呢？你打算用什么方式进行转化？2、小组合作探究————剪一剪，摆一摆。

小学数学六年级上册集体备课发言稿

小学数学六年级上册集体备课发言稿各位老师大家好：今天应上级领导的要求与各位老师在一起集备六年级数学上半年的教材，我们应该珍惜在一起学习、交流的机会。

下面我就把新人教小学数学六年级上册的教材分析与理解和大家共同探讨一下，有不当和不妥帖之处，还望大家积极提出意见和见解，我将欣然接受，并达到我们共同提高，共同进步的目的。

六年级数学上册全册分析一、教学内容：这一册教材包括下面一些内容：分数乘法、位置与方向、分数除法、比、圆、百分数、扇形统计图、数学广角和总复习等。

二、教材变化：分数乘法：突出强调分数乘法意义的两种形式，增加例2，作为教学“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”的铺垫。

解决“求一个数的几分之几是多少”的实际问题不单独编排，而是结合分数乘法的意义、计算进行教学。

增加分数与小数的乘法。

增加连续求一个数的几分之几的实际问题。

求比一个数多（或少）几分之几的实际问题由两个例题缩减为一个。

“倒数的认识”由“分数乘法”单元移到“分数除法”单元。

位置与方向：把实验教材六年级上册的“用数对确定位置”移到五年级上册，把实验教材四年级下册的“用方向与距离确定位置”移到本册。

分数除法：“倒数的认识”由“分数乘法”单元移至本单元。

把“比”的内容单设一单元。

增加两类新的问题解决：和倍、差倍问题；可用单位“1”解决的问题。

比：与实验教材的主要区别，原来在分数除法单元，本册作为第四单元单独学习。

教学内容基本无变化。

圆：与实验教材的主要区别，通过用圆规画圆引出圆的各部分名称，继而研究圆的性质。

减少圆的对称性的篇幅。

增加“利用圆设计图案”的内容。

增加求圆外切正方形、圆内接正方形与圆之间面积的“问题解决”。

“扇形”由选学内容变为正式教学内容。

百分数（一）：与实验教材的主要区别，把“百分数的应用”分成两段，本册只教学百分数的一般性应用，而特殊应用如利率、折扣、成数，移至六年级下册。

把百分数与分数、小数的互化与求百分率、求一个数的百分之几是多少结合起来，注重在应用过程中自然地引导学生把百分数和分数、小数进行互化。

正方形和圆之间的面积关系

这个正方形的边长是多少厘米？
请填写下表，填写完后，观察表中数据，看看圆与它外切正方形的面积有什么关系？你发现什么？
圆的半径/cm 圆的面积/ cm 正方形的边长/ cm 正方形面积/ cm 圆与正方形的面积比
1
2
3
4
5
a
算一算请你算出下面的圆内所画的正方形的面积。
5cm
请你计算出下面各圆内接正方形的面积并填写书本P72第5题的表格（注：圆的面积用几π表示）
一、口答下面各圆的面积
3
4
例3
中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。上图中的两个圆半径都是1m，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？
பைடு நூலகம் 圆的半径是1 m.。
正方形的边长是圆的直径。
正方形的面积：22 4(m2)
圆的面积：3.14123.14(m2)
正方形与圆之间的面积：
圆的半径/cm
1
圆的面积/ cm2
正方形的面积/ cm2
圆与正方形的面积比
2 345 a
大正方形与小正方形面积比是多少？
每个正方形的边长都是12分米，哪一种切割方法余下的废料（涂色部分）最少？
43.140.86(m2)
圆的半径是1 m。
正方形的面积：(121)22(m2) 2
可以把正方形看成两个圆的面积：3.14123.14(m2)
三角形，底是圆的直径，
高是圆的半径。
正方形与圆之间的面积：
3.1421.14(m2)
归纳总结
如果两个圆的半径都是r，结果如下：
（1）“外方内圆”：
(2r)23.14r20.86r2
（2）“内圆外方”：
3.14r2(12rr)21.14r2 2

2016.12.1《圆和正方形》课件——

图中有3个完全一样的圆，面积都是 100平方分米，求阴影部分的面积。
图中有4个完全一样的圆，面积都是 80平方分米，求阴影部分的面积
图中有5个完全一样的圆，面积都是 150平方分米，求阴影部分的面积
甲比乙大28平方厘米，直径AB长40厘米，求BC的长。
甲乙
图形Ⅰ比图形Ⅱ大43平方厘米，直径AB长20厘米，求BC的长。
1.
下面图形的周长是 25.7厘米，它的面积是多少平方厘米？
4m
2.
6m
要灵活运用多种数学思想方法解决实际问题：
1.将一个圆分成若干等份，周长增加6cm,圆面积是（）cm2,长方形周长是（ )cm. 2.下图中的三角形是直角三角形，阴影部分面积为20平方厘米，求下图中的环形面积。
3.求下图中阴影部分的面积: (单位：dm)
已知圆面积94.2平方厘米，求正方形面积。
o
已知正方形面积20平方厘米，
求圆面积。
o
阴影部分面积86平方厘米，求圆面积。
o
已知：正方形面积200平方厘米求S阴影面积。
o
已知S阴影43平方厘米，求S扇形。
o
已知空白部分面积43平方厘米，
求半圆面积。
o
已知圆面积62.8平方厘米，求正方形面积。
已知阴影部分的面积是50平方厘米，求圆环的面积。
已知阴影部分的面积是50平方厘米，求圆环的面积。
已知正方形的边长是1厘米，求涂色部分的面积。
已知每个圆的直径是10厘米，求阴影部分的面积。
已知每个圆的直径是10厘米，求阴影部分的面积。
已知甲、乙都是正方形，甲的边长是 12厘米，乙的边长是10厘米，求阴影部分的面积。

【竞赛题】人教版小学五年级下册数学第02讲《圆与扇形进阶》竞赛试题(含详解)

第二讲圆与扇形进阶- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -自然界中，圆与方是最基本的两种图形．古人认为“天圆地方”，宇宙就像一个圆形的大锅盖在一个方形的棋盘上．中国古代的建筑也会经常采用圆形和正方形的图案．而在面积计算中，圆与正方形也有很大的关系．关于正方形和圆，有以下的面积关系：由此我们可以进一步推断：圆外切正方形面积是内接正方形面积的______倍；正方形外接圆面积是内切圆面积的______倍．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1．（1）左图中正方形的面积是8，那么圆的面积是多少？（π取3.14）（2）右图中正方形的面积是16，那么圆的面积是多少？（π取3.14）分析：利用圆中方和方中圆的比例关系可以轻松求解．练习1．如图，已知正方形的边长是2，求大圆及小圆的面积．（π取3.14）圆的外切正方形与内接正方形正方形的外接圆与内切圆方中圆圆中方例题2．计算下面各图中阴影部分的面积，并比较大小．（π取3.14）分析：利用方中圆的比例关系可以轻松求解．练习2．如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）- - - - - - - - - - - - - -小故事圆与方有一天，圆形和方形碰到了一起，它们一见面就吵了个面红耳赤，不管谁劝都不听．圆形说：“我们圆形就是比你们方形用处大，人们日常生活中用的锅呀、碗呀，体育中的蓝球、排球，水果里的苹果、桔子，大到汽车轮胎、自行车轮胎，都是我的家族．瞧，我们是不是比你们用处大！”圆形得意洋洋地说完．方形“哼”了一声说：“我们方形家族才是无处不在呢，人们用的电器、冰箱、彩电、电脑，就连学生用的课本都是我们方形的哟！”方形也自豪地说．它们谁也无法说服谁，都来到大街上．望着街上的车，方形对着圆形的车轮喊了声：“变！”转眼间车轮变成了方形．正当方形喜笑颜开时，人群出现了混乱，汽车开不了，自行车也只能扛着了，大家都在说：“这是谁干的呀！真是害人呀！”而圆形来到一座刚建好的大楼前，望着由一块块方形红砖盖成的大楼，圆形生气地大声喊了声“变！”呀，方形红砖变成圆形了．圆形还没来及高兴呢，就听“轰”一声大楼倒了下来．看到这个情景，圆形呆住了：“这是怎么回事？”只见混乱的人群里走出了一位老人，他来到方形和圆形面前对它们说：“其实你们都很棒，只是你们分工不同而已，只要你们齐心协力，一定会为人类作更大的贡献．在上一讲中，我们主要使用割补的方法来计算不规则图形的面积．而对于一些比较特殊8的形状，我们可以把它看成是一些基本图形的重叠部分，利用容斥原理计算出它的面积．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3．如图，求下面各图中阴影部分的面积．（π取3.14）分析：阴影部分可以看成是哪些图形的重叠部分？练习3．已知下图中正方形的面积是16，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）在生活当中，有很多旋转的物体，比如车轮、方向盘等．这些物体在运动的过程中，扫过的图形都是曲线形．这些曲线形的周长和面积应该怎么计算呢？例题4．图中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）分析：要求扫过的面积，关键在于弄清扫过的区域；而要弄清扫过的区域，关键在于弄清区域的边界．你能通过合理动态想象，画出边界来吗？练习4．如图，正方形的边长是2厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）例题5．如图，求阴影部分的面积．（π取3.14）分析：阴影部分可以看成是四个扇形的重叠部分，但是扇形的半径图中并没有给出，那么应该怎么计算扇形的面积呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题6．（1）如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正方形的建筑物的顶点A处，四周都是空地．绳长8米．小狗的活动范围是多少平方米？（2）如果小狗不是被拴在A处，而是在一边的中点B处，那么小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3.14）分析：如果没有建筑物的阻挡，小狗的活动范围应该是一个圆．有建筑物的话，活动范围会受到什么样的影响呢？A含有“圆”字的成语圆首方足：出自《淮南子·精神训》：“头之圆也象天，足之方也象地．”用来代指人类．戴圆履方：出自《淮南子·本经训》：“戴圆履方，抱表怀绳．”履：踩着；圆、方：古人以为天圆地方．头顶着天，脚踩着地．指生活在人间．方枘圆凿：出自战国时楚国宋玉的《九辨》：“圆凿而方枘兮，吾固知其龃龉而难入．”凿：榫眼；枘：榫头．方枘装不进圆凿．比喻格格不入，不能相合．这三个成语之外，还有很多成语中都含有“圆”和“方”这两个字，如圆孔方木、圆颅方趾、外圆内方等．这说明古人对于圆和方的认识非常深刻，已经将其应用到了生活中的很多方面．而我们在圆与扇形的学习中，也要注意圆形与正方形之间的联系．元方，你怎么看？破镜重圆：这个成语故事是由华阴人、隋越国公杨素的一段成人之美的佳话而来的．杨素，字处道，在辅佐隋文帝杨坚结束割据，统一天下，建立隋朝江山方面立下了汗马功劳．他不仅足智多谋，才华横溢，而且文武双全，风流倜傥．在朝野上下都声势显赫，颇著声名．隋开皇九年（公元589年）杨素与文帝杨坚的两个儿子陈后主叔宝的嫔妃、亲戚，其中有陈叔宝的妹妹枣陈太子舍人徐德言之妻，也就是陈国的乐昌公主．由于杨素破陈有功，加之乐昌公主才色绝代，隋文帝就乱点鸳鸯，将乐昌公主送进杨素中，赐为杨素小妾．杨素既仰慕乐昌公主的才华，又贪图乐昌公主的美色，因此就更加宠爱，还为乐昌公主专门营造了宅院．然而乐昌公主却终日郁郁寡欢，默无一语．原来，乐昌公主与丈夫徐德言两心相知，情义深厚．陈国将亡之际，徐德言曾流着泪对妻子说：“国已危如累卵，家安岂能保全，你我分离已成必然．以你这般容貌与才华，国亡后必然会被掠入豪宅之家，我们夫妻长久离散，名居一方，唯有日夜相思，梦中神会．倘若老天有眼，不割断我们今世的这段情缘，你我今后定会有相见之日．所以我们应当有个信物，以求日后相认重逢．”说完，徐德言把一枚铜镜一劈两半，夫妻二人各藏半边．徐德言又说：“如果你真的被掠进富豪人家，就在明年正月十五那天，将你的半片铜镜拿到街市去卖，假若我也幸存人世，那一天就一定会赶到都市，通过铜镜去打问你的消息．”一对恩爱夫妻，在国家山河破碎之时，虽然劫后余生，却受尽了离散之苦．好容易盼到第二年正月十五，徐德言经过千辛万苦，颠沛流离，终于赶到都市大街，果然看见一个老头在叫卖半片铜镜，而且价钱昂贵，令人不敢问津．徐德言一看半片铜镜，知妻子已有下落，禁不住涕泪俱下．他不敢怠慢，忙按老者要的价给了钱，又立即把老者领到自己的住处．吃喝已罢，徐德言向老者讲述一年前破镜的故事，并拿出自己珍藏的另一半铜镜．颤索索两半铜镜还未吻合，徐德言早已泣不成声……卖镜老人被他们的夫妻深情感动得热泪盈眶．他答应徐德言，一定要在他们之间传递消息，让他们夫妻早日团圆．徐德言就着月光题诗一首，托老人带给乐昌公主．诗这样写道：镜与人俱去，镜归人不归．无复嫦娥影，空留明月辉．乐昌公主看到丈夫题诗，想到与丈夫咫尺天涯，难以相见，更是大放悲声，终日容颜凄苦，水米不进．杨素再三盘问，才知道了其中情由，也不由得被他二人的真情深深打动．他立即派人将徐德言召入府中，让他夫妻二人团聚．府中上下都为徐陈二人破镜重圆和越国公杨素的宽宏大度、成人之美而感叹不已．在欢庆的感激之情．宴罢，夫妻二人携手同归江南故里．这段佳话被四处传扬，所以就有了破镜重圆的典故，一直流传至今．作业1. 如图，图中较小圆的面积是3.14，较大圆的面积是多少？作业2. 如图，正方形的面积是8，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）作业3. 如图，一头山羊被拴在一个边长为4米的等边三角形的建筑物的一个顶点处，四周都很空旷．绳长刚好够山羊走到三角形建筑物外的任一位置，山羊的活动范围有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，山羊身长忽略不计，π取3）作业4. 如图，正方形ABCD 边长为1厘米，依次以A 、B 、C 、D 为圆心，以AD 、BE 、CF 、DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）第1题图第2题图第3题图第4题图 AB C D EH F作业5.如图，长方形的长为6厘米，宽为2厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕长方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）作业6.作业7.作业8.作业9.作业10.作业11.。

人教版小学数学六年级上册第五单元《圆》解决问题教学设计

学习活动设计教师二次设计
【环节一：情境激趣，导入新课。

】
同学们,图形世界是美丽的、奇妙的，世界因为有了五彩的图案
而更加美丽。

谁来说一说你知道哪些美丽的图案?它们是由哪些基本
图形组成的?
课件出示教材67页情境图,引导学生观察,然后提问:
你知道生活中还有哪些外方内圆和外圆内方的物体吗?外方内
圆的图形我们称它为圆外切正方形，外圆内方的图形我们称它为圆
内接正方形。

今天,我们一起来探究这两种组合图形中圆的面积和正
方形的面积之间的关系。

图：根据学生已有的知识经验和生活经验，让学生说一说生活
中与圆有关的组合图形，学生热情高涨，兴趣盎然，有主动学习的
欲望。

]
【环节二：实践探究，发现规律】
1.探究圆外切正方形与圆之间部分的面积。

(1)画一画，发现半径与边长的关系。

①用直尺画一个边长为10厘米的正方形，说说你是怎样画的。

②在正方形内画一个最大的圆。

你能说出你是怎样确定这个圆
的圆心和半径的吗?
(要收集学生不同的操作方法，让学生判断哪一种方法是正确
的，评选最优方法，并指出做错的同学错在哪里)
③学生到实物投影前展示自己的作品，并回答半径是多少及半
径与正方形边长的关系。

板书: d=a
(2)算一算，完成下表。

正方形的边长/米 1 2 3 4 5 r
正方形的面积/平方米。

2024年人教版数学六年级上册圆的面积说课稿推荐3篇

人教版数学六年级上册圆的面积说课稿推荐３篇〖人教版数学六年级上册圆的面积说课稿第【1】篇〗说教材分析通过让学生解决圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积这一实际问题，经历问题解决的全过程，并在解决具体问题的基础上发现更为一般的数学规律，提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

4学情分析本节课是在学生学习了圆及圆环的面积的基础上进行教学的，这是圆的面积的综合运用。

主要教学圆的外切正方形和内切正方形与圆之间部分面积的计算方法，由于圆的半径与它的外切正方形及内接正方形的边长的特殊关系，所以教学中要注重画图解决问题中的作用，感知圆与正方形之间的关系。

“算法多样化”是新课标的重要理念之一，提倡在本节课中学生的算法多样。

5说教学目标1.让学生在“方中圆与圆中方”的问题情境中，发现正方形和圆面积之间的关系，培养学生提出问题的能力，激发学生自主探究的欲望。

2.让学生在探求问题的过程中，利用思维导图进行教学，让学生初步感知组合图形的面积的研究方法，获得探究的基本经验，体验数学之间的密切联系。

3.让学生在数学活动与讨论交流中，培养学生联想类推和独立探究的能力，提高学生解决问题的能力，增强合作的意识，树立学好数学的自信心，提高数学素养。

6说教学重、难点重点：会解决有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题。

难点：理解图形中正方形和圆的关系。

7说教学过程一、创设情景，谈话引入1.师：有时候由于人们的活动范围狭小，往往凭自己的直觉认识世界，看到眼前的地面是平的，以为整个大地是平的，并且把天空看作是倒扣着的一口巨大的锅，我国古代有“天圆如张盖，地方如棋局”的说法。

2.课件展示：鸟巢和水立方等建筑，精美的窗雕。

设计意图【传统文化对建筑设计产生的影响导入课堂，自然地引入立体的教学，极大的激发了学生学习的兴趣和探索的热情。

】二、实践操作，探究新知1．实践操作。

（课件出示教材例3的雕窗插图）师：谁能说说这两种设计有什么联系和区别？生：认真思考并解答。

正方形在圆内的面积

正方形在圆内的面积
我们有一个正方形，它被放置在一个圆内。

我们需要计算这个正方形在圆内的面积。

假设正方形的边长为 a，圆的半径为 r。

根据题目，我们知道正方形的对角线等于圆的直径，即：
对角线 = 2 × r
由于正方形的对角线与边长的关系是：对角线 = sqrt(2) ×边长（勾股定理），
我们可以得到：
a^2 + a^2 = (2 × r)^2
即：2 × a^2 = 4 × r^2
正方形的面积是 a^2，而圆的面积是π× r^2。

正方形在圆内的面积就是正方形的面积减去圆与正方形交集的面积。

但因为正方形完全在圆内，所以正方形在圆内的面积就是正方形的面积。

用数学公式，我们可以表示为：
正方形在圆内的面积 = a^2
计算结果为：正方形的边长 a = 2.2472 * r
所以，正方形在圆内的面积为：5.00 * π * r^2。

正方形和圆之间部分的面积(教学设计)

正方形和圆之间部分的面积小榄镇永宁中心小学黎艳眉一、创设情境，导入新课。

1、前两天，我们学习了圆和圆环的面积计算，谁来说说它们的面积计算公式?2、课件出示生活中类似外圆内方和外方内圆形状的物体。

生活中我们不但能看到许多圆形的物体，圆环这样的设计，还有很多是由圆和其他图形组成的，我们来看看这些数学影子，欣赏欣赏图形的美，感受生活处处有数学。

中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。

这两种图形我们在生活中经常会看到，十分美观，给人舒服、大气之感。

3、设计图中两个圆的半径都是一米，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗? 这节课我们就来探索这类问题的解决方法。

板书：正方形和圆之间部分的面积二、探究新知识1、多媒体出示“外方内圆”的几何图形。

（1）引导学生观察图形间的异同、联系、思考计算图中阴影部分面积的方法。

从题目中你了解到哪些数学信息？要解决什么问题？我把这幅设计的简图画下来，观察这两幅图，你发现它们有什么特点？有什么联系和区别？（如：都是由正方形和圆形组成的，正方形和圆形的位置不同，左图是一个正方形中有一个最大的圆，右图中是一个圆中有一个最大的正方形，求正方形和圆之间部分的面积，左图求的是正方形比圆多的面积，右图中求的是圆比正方形多的面积。

左面正方形的边长等于圆的直径，右面正方形的对角线的长等于圆的直径。

）（2）先让学生独立思考，再与同桌交流自己的想法。

知道了求阴影部分面积的解题思路，让我们先来解决左边“外方内圆” 的阴影部分面积吧。

你能先在练习本上试试计算吗？写完后，跟同桌说说你的想法。

正方形和圆的面积都可以通过公式计算求得。

S 圆：3.14X 12=3.142m。

通过观察：正方形的边长等于圆的直径，即S 正：2X 2=4 m所以，S 正一S 圆：4-3.14=0.86 m板书：S 圆：3.14X 12=3.14 mS 正：2X 2=4 mS 正一S 圆：4-3.14=0.86 m?小结：同学们通过图形间的联系，自主找到了解决问题的办法，真了不起。