九年级上册数学小专题(二) 一元二次方程的实际问题

合集下载

九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳

九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，可归纳为七个步骤：“审、找、设、列、解、验、答”。

1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；2）找：找出等量关系；3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；4）列：列出一元二次方程；5）解：求出所列方程的解；6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；7）答：作答。

二、典型题型1.数字问题例1：有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

练：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A。

25.B。

36.C。

25或36.D。

-25或-362.传播问题公式：(a+x)n=M，其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数。

例3：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？例4：有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A。

8.B。

9.C。

10.D。

11练：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题1.循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)和双循环问题n(n-1)。

例5：参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？例6：参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例7：一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例8：生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是（）A。

专题2解一元二次方程配方法九年级数学上册课后作业(人教版)

专题2 解一元二次方程配方法课后作业（解析版）班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________一、单选题(共10小题)1．用配方法解一元二次方程x 2﹣10x +11＝0，此方程可化为（）A ．（x ﹣5）2＝14B ．（x +5）2＝14C ．（x ﹣5）2＝36D ．（x +5）2＝36 【答案】A解：∵x 2﹣10x +11＝0，∴x 2﹣10x ＝﹣11，则x 2﹣10x +25＝﹣11+25，即（x ﹣5）2＝14，故选：A ． 2．方程26100x x --=变形时，下列变形正确的为（）A ．2(3)1x +=B ．2(3)1x -=C ．2(3)19x +=D ．2(3)19x -= 【答案】D解：方程移项得：x 26x =10，配方得：x 26x +9=19，即（x 3）2=19，故选：D ．【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3.一元二次方程（x ﹣22）2＝0的根为（）A ．1x =2x ＝22B ．1x =2x ＝﹣22C ．1x ＝0，2x ＝22D ．1x ＝﹣22，2x ＝224．将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（） A ．4-，21B ．4-，11C ．4，21D ．8-，69【答案】A解：2850x x --=，移项得285x x -=，配方得2284516x x -+=+，即()2421x -=，∴a =4，b =21．故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．5.一元二次方程x 2﹣6x +1＝0配方后可化为（）A ．（x +3）2＝2B ．（x ﹣3）2＝8C ．（x ﹣3）2＝2D ．（x ﹣6）2＝35 【答案】B解：∵x 2﹣6x +1＝0，∴x 2﹣6x ＝﹣1，则x 2﹣6x +9＝﹣1+9，即（x ﹣3）2＝8．故选：B ．6．把一元二次方程x 2﹣6x +6＝0化成（x +a ）2＝b 的形式，则a ，b 的值分别是（）A ．﹣3，3B ．﹣3，15C ．3，3D ．3，15 【答案】A解：方程x 2﹣6x +6＝0，移项得：x 2﹣6x ＝﹣6，配方得：x 2﹣6x +9＝3，即（x ﹣3）2＝3，∵一元二次方程x 2﹣6x +6＝0化成（x +a ）2＝b 的形式，∴a ＝﹣3，b ＝3．故选：A ．二、填空题7．若把代数式245x x --化为()2x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=______．【答案】7【详解】x 2−4x−5=x 2−4x+4−4−5=(x−2) 2−9，所以m=2，k=−9，所以m+k=2−9=−7.故答案为7【点睛】此题考查配方法的应用，解题关键在于掌握运算法则.8．一元二次方程x 2﹣4x+4=0的解是________．【答案】x 1=x 2=2解：x 2﹣4x+4=0，（x2）2=0，∴x 1=x 2=2【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程,属于简单题,选择配方法是解题关键. 9．方程x 2+2x ﹣1=0配方得到（x+m ）2=2，则m=_____．【答案】1【详解】：x 2+2x1=0，x 2+2x=1，x 2+2x+1=2，（x+1）2=2，则m=1；故答案为1．三、解答题10．用配方法解方程：x 2+2x ﹣2＝0．【答案】x 1＝﹣1+，x 2＝﹣1﹣．【解答】解：x 2+2x ﹣2＝0，原方程化为：x 2+2x ＝2，配方，得x 2+2x +1＝3，即（x +1）2＝3，开方，得x +1＝±，解得：x 1＝﹣1+，x 2＝﹣1﹣．11．用配方法解方程：x 2+10＝8x ﹣1．【答案】，．【解答】解：∵x 2+10＝8x ﹣1，∴x 2﹣8x +11＝0，∴x 2﹣8x +16﹣16+11＝0，∴（x ﹣4）2＝5，∴x ﹣4＝， ∴，．。

数学人教版九年级上册一元二次方程解决实际问题

三、课堂小结
1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、
验、答．
2 ．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．
3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增
长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)． 4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．
行检验，舍根的依据要看是否符合实际意义．
重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长 ( 降低 ) 过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．
一、引入新课
1．列方程解应用题有哪几个基本步骤？应注意些什么？ 2．科学家在细胞研究过程中发现： (1)如果一个细胞一次可分裂成2个，那么经过3次分裂后，共有多少个细胞？
(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一
月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2； n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.
(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.
21.3
实际问题与一元二次方程
第1课时
解决传播和增长率问题
1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤． 2．学生通过自主探究，能分析问题中的数量关系，并能列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤． 3．通过解答实际问题，让学生认识到对实际问题的解必须要进
有________人患流感．
(2)本题中有哪些数量关系？应如何理解这些关系？ (3)已知的数量关系与列方程之间有何关系？

九年级数学上册第二十一章一元二次方程小专题2 一元二次方程的实际应用习题新人教版

小专题2 一元二次方程的实际应用类型1 数字、传播与握手问题1．(台州中考)有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是(A)A.12x(x －1)＝45B.12x(x ＋1)＝45 C ．x(x －1)＝45 D ．x(x ＋1)＝452．九(1)班张老师自编了一套健美操，他先教会一些同学，然后学会的同学每人教会相同的人数，每人每轮教会的人数相同，经过两轮，全班57人(含张老师)都能做这套健美操，问：每轮中每人必须教会几人？设每人每轮必须教会x 人，可列方程为1＋x ＋x 2＝57．3．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．解：设十位上的数字为x ，则个位上的数字为(x ＋2)．根据题意，得3x(x ＋2)＝10x ＋(x ＋2)，整理，得3x 2－5x －2＝0，解得x 1＝2，x 2＝－13(不合题意，舍去)．当x ＝2时，x ＋2＝4.答：这个两位数是24.类型2 增长率与利润问题4．(恩施中考)某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x 为(B)A ．8B ．20C ．36D ．185．(襄阳中考)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，xx 年利润为2亿元，xx 年利润为2.88亿元．(1)求该企业从xx 年到xx 年利润的年平均增长率；(2)若xx 年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业xx 年的利润能否超过3.4亿元？解：(1)设该企业xx 年到xx 年利润的年平均增长率为x.根据题意，得2(1＋x)2＝2.88.解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该企业xx 年到xx 年利润的年平均增长率为20%.(2)如果xx 年仍保持相同的年平均增长率，那么xx 年该企业年利润为2．88×(1＋20%)＝3.456(亿元)>3.4亿元．答：该企业xx 年的利润能超过3.4亿元．6．(铜仁中考)某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间为一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 的函数表达式；(2)要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？解：(1)当0＜x ＜20时，y ＝60；当20≤x≤80时，设y 与x 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，把(20，60)，(80，0)代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧60＝20k ＋b ，0＝80k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝80. ∴y＝－x ＋80.∴y 与x 的函数表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧60（0<x<20），－x ＋80（20≤x≤80）. (2)依题意，得(x －20)(－x ＋80)＝800.解得x 1＝40，x 2＝60，∴要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元．7．(山西中考)山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？解：(1)设每千克核桃应降价x 元. 根据题意，得(60－x －40)(100＋x 2×20)＝2 240. 化简，得 x 2－10x ＋24＝0.解得x 1＝4，x 2＝6.答：每千克核桃应降价4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元.此时，售价为60－6＝54(元)，5460×100%＝90%. 答：该店应按原售价的九折出售.类型3 面积问题8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以1 cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，则2__s 或4__s 后，△DPQ 的面积等于28 cm 2.9．(襄阳中考)如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m 的住房墙，另外三边用25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m 2?解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m ，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m.依题意，得 x(26－2x)＝80.解得x 1＝5，x 2＝8.当x ＝5时，26－2x ＝16>12(舍去)；当x ＝8时，26－2x ＝10<12.答：所建矩形猪舍的长为10 m ，宽为8 m.10．(大同期中)xx 年大同市政府出台了一系列惠民举措，其中御东新区西京街道绿化景观带正在如火如荼地进行当中．如图，施工过程中，在一块长为30米，宽为20米的矩形地面上，要修建两条同样宽度且互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为551平方米．(1)道路宽度应为多少？(2)已知施工过程中草坪每平方米的成本为50元，道路每平方米的成本为30元，则完成这一处景观所要花费的金额是多少？解：(1)设道路宽度为x米，则(30－x)(20－x)＝551，x2－50x＋49＝0，(x－1)(x－49)＝0.∵x＜20，∴x＝1.答：道路宽度为1米．(2)551×50＋(30×20－551)×30＝29 020(元)．答：所要花费的金额是29 020元．类型4 其他问题11．如图，某天晚上8时，一台风中心位于点O正北方向160 km的点A处，台风中心以每小时20 2 km的速度向东南方向移动，在距台风中心≤120 km的范围内将受到台风影响，同时，在点O处有一辆汽车以每小时40 km的速度向东行驶．(1)汽车行驶了多少小时后受到台风影响？(2)汽车受到台风影响的时间有多长？解：(1)以O为原点，OA所在直线为y轴，汽车行驶的路线为x轴，作出坐标系．设当台风中心在M点，汽车在N点开始受到影响，设运动时间是t小时，过M作MC⊥x轴，作MD⊥y 轴．则△ADM是等腰直角三角形，AM＝202t，则AD＝DM＝22AM＝20t，M 的坐标是(20t ，160－20t)，N 的坐标是(40t ，0)．汽车受到影响，则MN ＝120，即(40t －20t)2＋(160－20t)2＝1202，整理，得t 2－8t ＋14＝0，解得x 1＝4－2，x 2＝4＋ 2.答：汽车行驶了(4－2)小时后受到台风影响．(2)(4＋2)－(4－2)＝22(小时)．答：汽车受到台风影响的时间有22小时．12．(教材P23数学活动的变式与应用)如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：(1)在第n 个图中，第一横行共(n ＋3)块瓷砖，第一竖列共有(n ＋2)块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为n 2＋5n ＋6(用含n 的代数式表示)；(2)上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值；(3)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．解：(2)根据题意，得n 2＋5n ＋6＝506，解得n 1＝20，n 2＝－25(不符合题意，舍去)．∴此时n 的值为20.(3)根据题意，得n(n ＋1)＝2(2n ＋3)，解得n ＝3±332(不符合题意，舍去)． ∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．。

九年级上册2实际问题与一元二次方程

课题：第二十一章一元二次方程
实际问题与一元二次方程（1）
上课时间
年月日
教学目标
知识与技能：使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.
过程与方法：1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力.
解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）2=
去括号：1+1+x+1+2x+x2=
整理，得：x2+=0
解得：x=10%
答：三月份生产电视平均增长的百分率为10%；
三、巩固练习
【学生活动】（学生独立完成）
1．2022年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（）．
【师生活动】（师生一起讨论，得到规律）
例1．某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x，因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．
一、导入新课
【学生活动】（分组讨论，动手做题）
问题1：一个直角三角形的两条直角边的和是14 ,面积是24 ，求两条直角边的长？
解：设一条直角边的长为，则另一条直角边的长为（14- ）

北师版九年级数学上册第二章一元二次方程应用一元二次方程第2课时一元二次方程的实际应用(二)

解：(1)依题意，得 y＝2＋9005－0 x ＝20－5x0 (2)依题意，得(x－400)(20－5x0 )＝1 600，解得 x1＝600，x2＝800， ∵销售量最大，∴x＝600. 答：当每件售价定为 600 元时，该网店每天盈利 1 600 元
4．(4分)(河南中考)国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由 5 000亿元增加到7 500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为( C )
A.(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15 C.(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
2．(5分)(平顶山期末)将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出
500个，经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个．为了赚 8 000元，则售价应定为___6_0_元__或__8_0_元______．
果每千克应降价 9 元
12．(18分)(郑州高新区期中)某汽车租赁公司共有汽车50辆，市场调查表明，当租金为每辆每日200元时可全部租出；当租金每提高10元，租出去的车就减少2辆．
(1)当租金提高多少元时，公司的每日收益可达到10 120元？ (2)公司领导希望日收益达到10 200元，你认为能实现吗？若能，求出此时的租金；若不能，请说明理由； (3)汽车日常维护要一定费用，已知外租车辆每日的维护费为100元，未租出的车辆每日的维护费为50元，当租金为多少元时，公司的每日利润恰好为5 500元？(每日利润＝每日收益－每日维护费)
3．(9分)(平顶山期中)某网店销售一款羽绒服，每件售价900元，每天可卖2件．为迎接“双11”抢购活动，该网店决定降价销售，市场调查反映：售价每降低50元，每天可多卖1件．已知该款羽绒服每件进价400 元，设该款羽绒服每件售价x元，每天的销售量为y件．

2022-2023学年九年级上数学：实际问题与一元二次方程(附答案解析)

A．7个B．49个C．121个D．512个
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为，根据“一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感”，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其正值代入中即可求出结论．
【答案】D
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，
经过三轮传染后患流感的人数共有512个．
故选：．
【精讲2】襄阳市要组织一次少年足球联赛，要求参赛的每两队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，则共有个队参加比赛．
【分析】设共有个队参加比赛，利用比赛的总场数参加比赛的队伍数（参加比赛的队伍数，即可得出关于的一元二次方程析】设这种商品每件涨价元，则销售量为件，根据“总利润每件商品的利润销售量”列出一元二次方程．
【答案】C
【解析】解：设这种商品每件涨价元，则销售量为件，
根据题意，得：，
故选：．
【精讲2】某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．
2022-2023学年九年级上数学第21章一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程
自学笔记：
设基准数为a，两次增长（或下降）后为b；增长率（下降率）为x，第一次增长（或下降）后为；第二次增长（或下降）后为．可列方程为 =b.
命题方向：
与增长率或下降率有关的一元二次方程的应用.
名师点拨：
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

数学人教版九年级上册列一元二次方程解决实际问题

列一元二次方程解决实际问题雄县朱各庄中学闫忠群教学目标：1、能用一元二次方程解决实际问题2、能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性教学重点：应用一元二次方程的知识解决实际问题教学难点：列一元二次方程解决实际问题，并检验解的合理性。

引言：略教学过程：1、用一元二次方程解决实际问题的一般步骤：①审②设③找④列⑤解⑥检⑦答例1：咱们班有一个人得了流感，平均一个人传染2人，经过第一轮传播后，有________人患病？第二轮后，有_________人患病？第三轮后：_________________第四轮后呢：__________________第n轮后呢？____________________。

让学生前面表演，组内交流答案、班级展示。

如果把此题中的平均一个人传染两个人，改为平均一个人传染X个人，答案如何？第一轮后：第二轮后：第三轮后：……………第n轮后：第二轮后有144人患病，求X。

如果咱们班开始有两人得流感呢？第一轮后：__________________ 二轮后：____________________ 第三轮后：_________________ ……………第n轮后：___________________如果有a人得流感，第n轮后，患病人数：________________。

组内交流，班级展示。

针对练习：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，1、平均一台电脑会感染几台电脑？2、若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？小结：增长率问题：1、增长率：增量/基础量×100%2、若起始量为a，平均增长率为x，终止量为b，增长次数为n，则有________。

3、若起始量为a，平均下降率为x，终止量b，下降次数为n，则有_________。

组内交流、班级展示。

例2：某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为：_______________，四月份的营业额呢？_________________。

一元二次方程实际问题

一元二次方程实际问题
一元二次方程是数学中的重要概念，它在实际问题中有许多应用。

下面我将从几个不同的角度来讨论一元二次方程在实际问题中的应用。

首先，一元二次方程可以用来解决关于抛物线的实际问题。

例如，当一个物体从特定的高度以特定的初速度被抛出时，它的高度可以用一元二次方程来描述。

这种问题在物理学和工程学中经常出现，通过解一元二次方程可以求解出物体的最高点、飞行时间、落地点等相关信息。

其次，一元二次方程也可以用来解决关于面积和周长的实际问题。

例如，一个矩形的面积是其长和宽的乘积，可以表示为一元二次方程的形式。

通过解这个方程，可以找到给定周长条件下面积最大或最小的矩形，这在数学优化和经济学中有广泛的应用。

另外，一元二次方程还可以用来解决关于速度、时间和加速度的实际问题。

例如，一个物体的运动轨迹可以用一元二次方程来描述，通过对这个方程进行求导可以得到物体的速度和加速度。

这对于物理学和工程学中研究运动的问题非常重要。

此外，一元二次方程还可以用来解决关于金融和投资的实际问题。

例如，复利计算中的本金、利率和时间之间的关系可以表示为一元二次方程。

通过求解这个方程，可以得到投资的最佳方案和最大收益。

总的来说，一元二次方程在实际问题中有着广泛的应用，涉及到物理学、工程学、数学优化、经济学、金融学等多个领域。

通过解一元二次方程，我们可以更好地理解和解决各种实际问题，这使得它成为数学中一个非常重要的概念。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程. 实际问题与一元二次方程用一元二次方程解决传播问题

A．1＋2x＝100 B．x(1＋x)＝100 C．(1＋x)2＝100 D．1＋x＋x2＝100
2．(教材 P22T4 变式)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，支干、小分支的总数是 110，求每个支干长出多少个小分支．
解：设每个支干长出 x 个小分支，根据题意，得 x＋x2＝110.解得 x1＝10，x2＝－ 11(舍去)．答：每个支干长出 10 个小分支
换两个数位上的数字，则得到的新两位数为____．练习2：一个两位数等于它个位数的平方，且个位数10比a＋十b位数大3，则这个两位数是
() A．25C B．36
C1．2/122/2502或1 36 D．－25或－36
第三页，共十五页。
12/12/2021
第四页，共十五页。
知识点 1：倍数传播问题 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台感染，设每轮感染中平均每一台电脑会感染 x 台电脑，由题意列方程为( C )
5．(2018·绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人数为( C )
A．9 人 B．10 人 C．11 人 D．12 人
6．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了 78 份合同，有__1_3__家公司出席了这次交易会．
解：设每轮一个人要向 x 个人发送微信，由题意得 x(x＋1)＝56，解得 x1＝7，x2 ＝－8(不合题意，舍去)，则每轮一个人要向 7 个人发送微信 13．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小 2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小 36，求原来的两位数．

九年级数学上册21.3 用一元二次方程解决实际问题

（6）答：就是写出答案，其中在书写时还要注意不要漏写单位名称．
2．对于“增长率”问题，如人口的减少、利率的降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少，不能与一般性的增加和减少相混淆．
（二）几何中面积、长度问题
例2 如图所示，一架长为10 m的梯子斜
靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离 A
为8 m，如果梯子的顶端沿墙面下滑2 m，A’ 那么梯子的底端在地面上滑动的距离是多少？
答：梯子的底端在地面上滑动的距离是 2 m．
B
B’
例 3 在宽为 20 m、长为 32 m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540 m 2，道路的宽应为多少？
分析：如图所示，此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于 540元二次方程
用一元二次方程解决实际问题人教版·九年级上册
【常见类型】
列一元二次方程解决实际问题的常见类型有以下几种（1）增长率问题（2）几何中面积、长度问题（3）假设存在问题（4）排列组合问题（5）销售问题
（一）增长率问题
例1 某市为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
解得，x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）．（以下步骤同解法一）
20米
32米
小结 1．解法二和解法一相比更简单，它利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，可以使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．
2．有些同学在列方程解应用题时，往往看到正解就保留，看到负解就舍去．其实，即使是正解也要根据题设条件进行检验，该舍就舍．此题一定要注意原矩形“宽为20 m、长为32 m”这个条件，从而进行正确取舍．

人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程(教案)

定理，即对于方程ax^2 + bx + c = 0，其两个根之和为-b/a，两个根之积为c/a。
四、教学流程
（一）导入新课
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积、速度或距离等与一元二次方程相关的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程在实际问题中的应用奥秘。
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程
1.实际问题中的一元二次方程：以生活中的例子导入，如面积、速度、时间等问题，引导学生理解一元二次方程的实际意义。
2.解一元二次方程的步骤：回顾一元二次方程的定义，总结求解一元二次方程的步骤，包括移项、合并同类项、因式分解等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的建立和解法这两个重点。对于难点部分，如判别式和根与系数的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体抛掷的高度，并利用一元二次方程计算最大高度。
3.应用一元二次方程解决实际问题：结合教材例题，让学生学会将实际问题转化为数学模型，进而求解一元二次方程。
4.一元二次方程的根的判别式：讲解判别式的概念，引导学生学会判断一元二次方程的根的情况。
5.一元二次方程的根与系数的关系：探讨一元二次方程的根与系数之间的关系，如韦达定理等。

人教版九年级上册数学实际问题与一元二次方程(含答案)

实际问题与一元二次方程一、基础练习。

1．制造一种产品，原来每件成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本的( )A ．8.5%B ．9%C ．9.5%D ．10%2．用13 m 的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20 m 2的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为x m ，可得方程( )A ．x (13－x )＝20B ．x ·13－x 2＝20 C ．x (13－12x )＝20 D ．x ·13－2x 2＝20 3．某市2018年平均房价为每平方米4000元，连续两年增长后，2010年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是( )A ．5500(1＋x )2＝4000B ．5500(1－x )2＝4000C ．4000(1－x )2＝5500D ．4000(1＋x )2＝55004．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货( )A ．400个B ．200个C ．400个或200个D ．600个5．三个连续正偶数，其中两个较小的数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数是( )A ．－2,0,2B ．6,8,10C ．2,4,6D ．3,4,56．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000 kg,2009年平均每公顷产9680 kg ，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x .(1)用含x 的代数式表示：①2008年种的水稻平均每公顷的产量为__________________；②2009年种的水稻平均每公顷的产量为__________________；(2)根据题意，列出相应方程________________；(3)解这个方程，得________________；(4)检验：_________________________________________________________________；(5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为____________%.二、提高训练。

九年级数学一元二次方程实际问题

九年级数学一元二次方程实际问题小明是一个喜欢数学的学生，尤其对一元二次方程这个话题格外感兴趣。

他经常从课本上学到很多知识，但总感觉缺少一些实际的应用场景。

于是，他开始积极寻找一些实际生活中的问题，以便将数学知识真正应用于解决实际问题。

一天，小明走在回家的路上，突然想到一个问题。

他发现自己能够用一元二次方程来解决这个问题，于是便着手思考并尝试解答。

问题是这样的：小明在离家10公里的地方发现了一个隧道，按照规定，车辆在通过隧道时必须保持一定的速度。

但是他注意到，某些车辆在通过隧道时会发生事故，而发生事故的车辆多数是在加速或减速的过程中出现问题。

小明好奇地问自己，如果车辆在进入隧道前以60km/h的速度行驶，穿越隧道以后以何种速度行驶能够使车辆在最短的时间内通过隧道。

小明用数学知识来解决这个问题。

首先，他假设车辆从进入隧道开始，到离开隧道结束的这段路程是一个一元二次方程表示的抛物线轨迹。

通过对抛物线轨迹的分析，他发现了一个规律：车辆要在最短时间内通过隧道，就需要保持一定的速度（即加速和减速的过程需要平稳进行），而这个速度正是抛物线轨迹的对称轴所表示的速度。

小明用方程来表示这个情况：设t为车辆行驶的时间（单位：小时），假设车辆在离开隧道时间t时的速度为v(km/h)，则车辆在进入隧道时的速度可以表示为60-v，那么根据物理速度、时间、位移三者之间的关系，可以得到如下一元二次方程：S=-5t^2+(60-v)t+10其中S表示车辆行驶的路程（单位：公里），-5t^2表示车辆在匀加速或减速情况下的位移，(60-v)t表示车辆在匀速行驶的位移，10表示车辆行驶的起始位移。

通过对这个方程的分析，小明得出了结论：车辆在通过隧道的最短时间内的速度，正是抛物线轨迹的对称轴所表示的速度。

于是，他解出了方程的根，并得到了车辆在最短时间内通过隧道的速度。

小明感到非常高兴，因为他通过数学知识成功解决了现实生活中的实际问题。

他体会到数学知识的真正意义，不仅仅是为了应付考试，更是为了帮助人们解决生活中的实际问题。

初中九年级数学小专题(二) 一元二次方程的实际问题

小专题(二)一元二次方程的实际问题类型1变化率问题变化率问题常用公式：a(1±x)n＝b(其中a是起始量，x是平均变化率，n是变化的次数，b是终止量)．起始量经过一次变化后达到a(1±x)；第二次变化后达到a(1±x)2；第三次变化后达到a(1±x)3；…依次类推．1．(日照中考)某县为大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造和更新.县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为()A．20% B．40% C．－220% D．30%2．(咸宁中考改编)随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市销售烟花爆竹20万箱，到烟花爆竹销售量为9.8万箱．求咸宁市到烟花爆竹年销售量的平均下降率．3．某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2 000 kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000 kg，求南瓜亩产量的增长率．4．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，求到底共建设多少万平方米廉租房．5．脐橙是赣南的大产业，也是农民致富的大产业．“赣南脐橙”已成为中央电视台上榜品牌．我市近几年，通过各种途径，大力发展脐橙果业，脐橙总产量每年也在不断增加(如图所示)．(1)根据图中所提供的信息回答下列问题：底脐橙的总产量为________万吨，比底增加了________%；在所统计的这几年中，增长速度最快的是________年；(2)为满足市场发展的需要，计划到底使脐橙总产量要达到121万吨，试计算、两年脐橙的年平均增长率．类型2 几何图形问题如图，在解决甬道或者边框问题时，灵活运用“平移变换”对分离的图形的面积“整体表示”，使问题简化．6．(深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6 m 2，已知床单的长是2 m ，宽是1.4 m ，求花边的宽度．7．为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30 m ，宽20 m 的长方形空地建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532 m 2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)8．如图，某旅游景点要在长，宽分别为20米，12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的14，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的16，求道路的宽．9．在一块长16 m ，宽12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；(2)你还有其他的设计方案吗？请你设计出草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．参考答案1.A2.设年销售量的平均下降率为x ，依题意，得20(1－x)2＝9.8.解这个方程，得x 1＝0.3，x 2＝1.7.∵x 2＝1.7不符合题意，∴x ＝0.3＝30%.答：咸宁市到烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%.3.设南瓜亩产量的增长率为x ，则种植面积的增长率为2x.根据题意，得10(1＋2x)·2 000(1＋x)＝60 000.解得x 1＝0.5，x 2＝－2(不合题意，舍去)．答：南瓜亩产量的增长率为50%.4.(1)设每年市政府投资的增长率为x ，根据题意，得2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝9.5，∴x 1＝0.5，x 2＝－3.5(舍去)．答：每年市政府投资的增长率为50%.(2)到底共建廉租房面积为9.5÷28＝38(万平方米)．答：到底共建设38万平方米廉租房．5.(1)76 52 (2)设年平均增长率为x ，依题意，得100(1＋x)2＝121，解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1(舍去)．答：年平均增长率为10%.6.设花边的宽度为x 米，依题意，得(2－2x)(1.4－2x)＝1.6.解得x 1＝1.5(舍去)，x 2＝0.2.答：花边的宽度为0.2米．7.设小道进出口的宽度应为x 米，根据题意，得(30－2x)(20－x)＝532.解得x 1＝1，x 2＝34.∵34>30(不合题意，舍去)，∴x ＝1.答：小道进出口的宽度应为1米．8.设道路的宽为x 米，则正方形边长为4x.可列方程为：x(12－4x)＋x(20－4x)＋16x 2＝16×20×12.即x 2＋4x －5＝0.解得x 1＝1，x 2＝－5(舍去)．答：道路的宽为1米．9.(1)不符合．设小路宽度均为x m ，根据题意，得(16－2x)(12－2x)＝12×16×12.解得x 1＝2，x 2＝12.但x 2＝12不符合题意，应舍去．∴．(2)答案不唯一．略。