第四章功和能1
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功和能ppt课件
AAB (1) ABA (2) 0
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。
f
dr
L
b
f
dr
L'
a
f
dr
L
a
b
L
b
f
dr
L'
b
f
dr
0
a
a
a
b L’
万有引力、静电力、弹性力
与保守力相对的称为耗散力，如摩擦力。
21
三种保守力的功
17
§4.3 一对力的功
A f1 r1 f2 r2
系统内力总是成对出现
f2 (r2 r1) f2 r21
B
r 1
B1
f
1
r
B2
r 21
f
r 2
2
1
r 2
A1 A A2
O
B
AAB f2 dr21 A
一对力所做的功，等于 其中一个物体所受的力 沿两个物体相对移动的 路径所做的功。
f
1
d
r1
B2 A2
f
2
d11 r 2
1 2
m1v12B＋12
m2v22B
（1 2
m1v12A＋12
m2v22A）
即：外力的功之和＋内力的功之和
＝系统末动能－系统初动能
对质点系
A外 A内 EKB EKA
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之 和等于质点系总动能的增量。
注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统 的总动量。
大学物理《功和能》课件
A
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
功和能知识点总结PPT
功和能知识点总结PPT一、功的概念及公式1.1 功的概念功是描述力对物体作用的效果的物理量，是衡量力的作用效果的大小。
当力使物体发生位移时，我们就说力对物体做了功。
1.2 功的公式在恒力作用下，物体在沿着力方向位移s的过程中所做的功W可以用下面的公式表示：\[ W = F \cdot s \cdot \cos\theta \]其中，F为作用力的大小，s为物体的位移，\(\theta\)为作用力与位移方向夹角的余弦值。
二、能的概念及分类2.1 能的概念能是物体由于自身的性质或者受到外力的作用而具有的做功能力，是物体的一种属性，是描写物体在某一过程中所具有的状态的物理量。
2.2 能的分类根据能量的形式和来源，能可以分为以下两类：（1）动能：物体由于运动而具有的能量。
（2）势能：物体由于位置关系而具有的能量。
三、能的转化和守恒3.1 能的转化在自然界和人类社会中，能的形式经常发生转化。
动能可以转化为势能，势能也可以转化为动能，而且能够相互转化。
3.2 能的守恒能量守恒定律是自然界中最基本的规律之一。
它表明在一个封闭系统中，系统内所有能量的代数和始终保持不变。
四、功率概念及计算4.1 功率的概念功率是描述力的作用速度的物理量，是衡量单位时间内所做功的大小。
公式如下：\[ P = \frac{W}{t} \]其中，P为功率，W为作用力在时间t内所做的功。
4.2 功率的计算在恒力作用下，力F对物体做功的功率可以用下面的公式表示：\[ P = F \cdot \cos\theta \cdot v \]其中，F为作用力的大小，v为物体的速度，\(\theta\)为作用力与速度方向夹角的余弦值。
五、应用实例5.1 计算功的应用在机械工程中，我们经常需要计算物体在受力作用下做的功，以便评估机械的性能。
5.2 能的转化应用在能源领域，我们需要掌握能量的转化原理，以便合理利用能源资源，减少能源消耗。
5.3 功率的应用在电气工程中，我们需要计算电路中的功率，以便设计安全可靠的电器设备。
大学物理功和能1
dt dt dt
W
F
dr
Fdx
F
dx dt
dt
Fvdt
T
m(6t 2)(3t 2 2t)dt
0
T
2m (9t 3 9t 2 2t )dt
0
m (9T 4 12T 3 4T 2 ) 2
例：水平桌面上一物体 m，在外力作用下沿半径为 R 的圆从
A 运动到 B，移动了半个圆周，设摩擦系数为 k ,求这一过程
(T
P
F
)
dr
EKB
EKA
0
P
ds
F
ds
重力的功
Wp
பைடு நூலகம்
q 0
P
dr
q 0
P cos(π 2
q )ds
q T
dr
F
P
q
P sinq ldq Pl(1 cosq ) W
0
例：一物体由斜面底部以速度 斜面下滑，滑到底部时速度为
vvf0
向斜面上方冲，到最高点后沿
，斜面的倾角为q，求物体上
(L1)
A1
A2
A1
A2
VB2
B2
F2
m2 f2
VA2
A2 (L2)
W外
W内
(1 2
m1VB21
1 2
m2VB22
)
(1 2
m1VA21
1 2
m2VA22
)
EKB
EKA
对质点系
注意
W外 W内 E KB E KA
内力可以改变质点系的总动能， 尽管不能改变质点系的总动量。 适用于惯性系。
例：炸弹爆炸过程，内力和为零， 但内力所做的功转化为弹片的动能。
W
F
dr
Fdx
F
dx dt
dt
Fvdt
T
m(6t 2)(3t 2 2t)dt
0
T
2m (9t 3 9t 2 2t )dt
0
m (9T 4 12T 3 4T 2 ) 2
例：水平桌面上一物体 m，在外力作用下沿半径为 R 的圆从
A 运动到 B，移动了半个圆周，设摩擦系数为 k ,求这一过程
(T
P
F
)
dr
EKB
EKA
0
P
ds
F
ds
重力的功
Wp
பைடு நூலகம்
q 0
P
dr
q 0
P cos(π 2
q )ds
q T
dr
F
P
q
P sinq ldq Pl(1 cosq ) W
0
例：一物体由斜面底部以速度 斜面下滑，滑到底部时速度为
vvf0
向斜面上方冲，到最高点后沿
，斜面的倾角为q，求物体上
(L1)
A1
A2
A1
A2
VB2
B2
F2
m2 f2
VA2
A2 (L2)
W外
W内
(1 2
m1VB21
1 2
m2VB22
)
(1 2
m1VA21
1 2
m2VA22
)
EKB
EKA
对质点系
注意
W外 W内 E KB E KA
内力可以改变质点系的总动能， 尽管不能改变质点系的总动量。 适用于惯性系。
例：炸弹爆炸过程，内力和为零， 但内力所做的功转化为弹片的动能。
第四章 功和能
第一篇力学第4章功和能第4章功和能Work & Energy第1节功功率第2节动能动能定理第3节保守力势能第4节功能原理机械能守恒定律d rαrr 'ab Fod d A F r =⋅所做的总功d b ab a A F r =⋅⎰d cos b F S α=⎰d cos b aF r α=⎰Work & Power第1节功功率1.功——力的空间积累效应将质点由a 移动到b ，F力相应于元位移d rF , 力对质点所做的功为:——元功tt +d t合力做的功：注意：d b ab aA F r=⋅⎰可见:合力对物体所做的功等于其中各个分力分别对该物体所做功的代数和。
若有多个力同时作用在质点上，则d bab a A F r =⋅⎰ d 12(...)b a F F r=++⋅⎰d d 12...b b a a F r F r =⋅+⋅+⎰⎰...A A ++=21(1)力对质点所做的功, 不仅与始、末位置有关，而且往往与路径有关。
2.功率平均功率：瞬时功率(功率)：——做功的快慢功率：力在单位时间内所做的功A P t∆∆=d d 0lim t A A P tt ∆∆∆→==d d A F r=⋅ d d r F F v t =⋅=⋅ P F v∴=⋅单位: 瓦特符号W 1W ＝1J·s －1当额定功率一定时,负荷力越大,可达到的速率就越小;负荷力越小,可达到的速率就越大。
这就是为什么汽车在上坡时走得慢,下坡时走得例1.如图所示,一匹马以平行于圆弧形路面的拉力拉着质量为m 的车沿半径为R 的圆弧形路面极缓慢地匀速移动,车与路面的滑动摩擦系数为μ，求:车由底端A 被拉上顶端B 时,各力对车所做的功。
解:车受4个力的作用拉力F 、摩擦力f ，沿切向路面支持力N 指向圆心O重力mg 竖直向下在切向与法向有:sin 0F f mg θ--=Nf μ=而()cos sin F mg μθθ∴=+cos 0N mg θ-=拉力的功:d B F A A F S=⎰31[]mgR μ=+d 600(cos sin )mg R μθθθ=+⎰R O R AB θo60重力的功d 600sin g A mg R θθ=-⋅⎰d()600cos mgR θ=⎰/2mgR =-摩擦力的功d 0Sf A f S=-⎰d 600cos mg R μθθ=-⋅⎰μmgR 23-=路面支持力N 的功为零.RORABθo60例2.一人从H ＝10m 深的水井中提水,开始时,桶中装有M ＝10kg 的水(忽略桶的质量).由于水桶漏水,每升高1m 要漏出0.2kg 的水,求将水桶匀速地从井中提到井口的过程中,人所做的功。
4 功和能
功能原理
A内非 0
封闭系统：不受外界作用的系统。 封闭系统内有非保守力做功时，机械能不守恒，能 量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。
例7：在平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时 处于静止状态，另一球速度 v。 求证：碰撞后两球速度总互相垂直 解：设碰撞后两球速度 由动量守恒 两边平方
A
Aext Aint EkB EkA
质点组的动能定理： 外力功与内力功的总和，等于 质点系动能的增量。 内力可以改变系统的总动能（电荷的作用、爆炸）
但内力不能改变系统的总动量！ （守恒条件）
例4：有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置 在光滑水平面，一小球（质量m），从静止开始沿圆面从顶端 无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体时速度 v ， 求：1）重力所做的功；2）内力所做的功。 解：重力只对小球做功 m M R A重力 mgs cos mgh A重力 mgR 水平方向无外力，系统水平方向动量守 恒。
A A B dv m dr m vdv A dt A 1 2 1 2 mvB mvA 2 2
B
dv Ft m dt
动能定理: 合外力对质点做的功等于质点动能的增量。
2.质点系的动能定理 B B1 B1 1 1 2 F1 dr1 f1 dr1 m1v 1B m1v 21 A F2 A1 f2 A1 2 2 F1 f1 m2 B2 B2 1 1 2 m1 F2 dr2 f 2 dr2 m2v 2 B m2v 2 2 A A2 A2 2 2
l2
(A) kxdx
l1 l 2 l0
l2
(B )
第4章 功和能
对小球做功
三、功的计算
功的计算公式：功 ＝ 力 × 距 离
W ＝F
四、功的单位
S S ＝ F·
在国际单位制中，力的单位是牛，距离的单位是米
功的单位叫焦耳简称焦
换算： 1焦耳 ＝1牛· 米
1J ＝ 1 N · m
【例1】在平地上，用50牛的水平推力推动重100牛的箱 子，前进了10米，推箱子的人做了多少功？如果把这个 箱子匀速举高1.5米，他做了多少功？
功率
功的两个 必要因素
一是作用在物体上的力
二是在力的方向上通过的距离 一、有距离无力
不做功的 几种情况
二、有力无距离
三、力和通过距离的方向垂直
1、物体是否受到力的作用，不受力的物体 不存在做功问题。 2、物体是否运动，不运动的物体不存在做 功问题。 3、判断物体受力的方向和运动的方向之间的 关系，若二者方向相互垂直，即物体虽然受 到了力，也运动了一段距离，但在力的方向 上没有移动距离。则力也不做功。
G
F
使用机械时，对于额外负担所不得不做的功 叫______ 额外功 ，除此之外，对完成工作任务有用 的功叫做______ 有用功 ，有用功和额外功之和叫做 ____ 。 机械效率 总功。有用功在总功中所占的比例叫_______ 机械工作时因为额外功是不可避免的，故___ 总 功总大于_____ 有用 功，所以机械效率总是_____1 小于 。
G
正确理解机械效率，关键是明确三种机械功 4、提高机械效率的方法：减小摩擦、减小自重。
使用机械时，人们所做的功，都等于 不用机械而直接用手所做的功。
使用机械时，人们所做的功指的是什么功？ 指的是有用功。 直接用手所做的功呢？ 也是有用功。 功的原理就是说，人们使用机械所做的 有用功跟人们直接用手做的功相等。
水务工程大学物理第四章功和能-PPT课件
以汽车为参考系以汽车为参考系分别为和斜面相对汽车的位移物体当二次电子数最少为一个时可代替初始电子的作用继续不断从阴极发出电子形成不依赖外界因素的初始电子从而产生自持放电
§4-1 功
一 功和功率
功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力 对空间积累作用。
功的定义： 力在位移方向上的 投影与位移大小的 乘积。
v=1.53m/s
§4-3 保守力与非保守力 势能
（1）重力的功
质量为m的物体在重力作用 下,沿ab,重力对物体作力为
z
za
zb
a
r
W Fd r ab
b a
b mg
O
za zb mg d z mg
b a
mg k d x i d y j d z k
§4-5 由势能求保守力
保守力与势能的积分关系： 保守力与势能的微分关系： 因为：
W Ep
d W d E p
d W F d r F d x F d y F d z x y z
E E E p P P d E d x d y d z p x y z
a x a y a z
b x
b y
b z
结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点
作功之代数和
。
注意： 功是标量。只有大小，没有方向。
1当0 a 2当a 3当
2
2
时，dW0, 力做正功；
2
时，dW 0, 力不做功；
a 时，dW0，力做负功。
功不仅和力的大小、方向、始末位置有 关，还和具体路径有关，即功是过程量。
O
v0
§4-1 功
一 功和功率
功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力 对空间积累作用。
功的定义： 力在位移方向上的 投影与位移大小的 乘积。
v=1.53m/s
§4-3 保守力与非保守力 势能
（1）重力的功
质量为m的物体在重力作用 下,沿ab,重力对物体作力为
z
za
zb
a
r
W Fd r ab
b a
b mg
O
za zb mg d z mg
b a
mg k d x i d y j d z k
§4-5 由势能求保守力
保守力与势能的积分关系： 保守力与势能的微分关系： 因为：
W Ep
d W d E p
d W F d r F d x F d y F d z x y z
E E E p P P d E d x d y d z p x y z
a x a y a z
b x
b y
b z
结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点
作功之代数和
。
注意： 功是标量。只有大小，没有方向。
1当0 a 2当a 3当
2
2
时，dW0, 力做正功；
2
时，dW 0, 力不做功；
a 时，dW0，力做负功。
功不仅和力的大小、方向、始末位置有 关，还和具体路径有关，即功是过程量。
O
v0
第4章 功和能ppt课件
4-5 人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦 点上，则卫星的（ C ）。 （A）动量不守恒，动能守恒 （B）动量守恒，动能不守恒 （C）对地心的角动量守恒，动能不守恒 （D）对地心的角动量不守恒，动能守恒
解：卫星受地球的力始终指向地球，故卫星运动过程中受到地球的 引力矩始终为零，进而角动量守恒；但地球对卫星的引力的 功不为零，故动能不守恒
由点P→Q
Ax
0
p Fxdx
0
p maxd x
p0mp2costdx
p0m2xdx
1 mp22
2
q
Ay 0 Fydy
q
0 maydy
qmq2si ntdy 0
0qm2ydy
1 mq22
2
或由动能定理
vp qˆj
vvq
)
pi
A x1 2m p2201 2m p22 .A y01 2m q2
（A）1.5 J （B）3 J
（C）4.5 J
（D）-1.5 J
解： 依题意，质点的位矢为
r x i y j 5 ti 0 .5 t2 j
dr5it j
dt
tt 2 4 5 5ii 2 4 jj
t2
5222
29
t4
5242
41
由动能定理
W 1 2 m t 42 1 2 m t 22 1 2 0 .5 (4 2 1) 9 3
垂部分正好相反。
y
则重力的功为 则摩擦力的功为
W重力 al m l yg
dm y (gl2a2) 2l
W 摩擦 力 a lm l(ly)gd y2 m l (lg a)2
.
.
4-6 如图所示，把质量为m，各边长均为2a的均质木箱，由位置1 翻转到位置2，则人力所做的功为 ( 2 1)amg 。
第04章 功与能
1．碰撞的物理过程
碰撞问题的求解
设有两个质点发生碰撞。
p10 p20
碰撞前动量为 碰撞后动量为
Ep
G
mM r
1.2 势能曲线
质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来。
E
r
O
O z
重力势能
O 弹性势能
x 万有引力势能
说明：
➢ 系统共有：某一质点的势能为该质点与对该质点 施加保守力的其它质点构成的质点系所共有
➢ 相对值： E p 的值与零势能参考点的选择有关 ➢ 位置的函数： E p E p (r) ， E p E p (r) 构成一
合力对质点作的功为
A
P
v F
drv
P0
P
P0 Ft ds
P dv m ds
P0 dt
P ds m dv
P0 dt
v v0
mvdv
1 2
mv2
1 2
mv02
质点的动能：
Ek
1 2
mv
2
动能定理：
A Ek Ek0
为什么我们可以把动能看作是物体所具有的一种作功的本领？ 利用动能作功的例子
数均为μ，结果如何？
mA
系统？
B m1 h
外力、保守内力、非保守内力？
谁作功？
列方程
mA
摩擦不计
B m0 h
物体B落到地面时的速度v ?
以物体A、B及地球作为系统 系统的机械能守恒
地面为重力势能零点，根据系统的机械能守恒，有：
1 2
mv1
2
1 2
m0 v1 2
m0 gh
v1
2m0 gh m m0
高一物理课件 功和能(1)
能W增非加 了Ek0___E_p__E_p___1_0；5然J 后物体又沿斜面
下 撞返回滑，底回无端能至时量出W损发非 失点E，并p 物与Ek体一1 又垂Ek沿直1 斜斜60面面J向的上挡运板动碰， 物 大 再次体值上第是行至二__最次_高_上_处_，升__阻过_力__程功J.由中重13力000 势 W能6非0增1 加W的非1 最 18J
解： 物体最终不能离开圆弧而在BC间
往复，机械能守恒为mgR/2,由几
何关系知D与C(B)的高度差
H 2.0 m
对物体，从以初速度下滑到在BC
A
间往复，机械能变为mgR/2,由动
能定理
O
120
B
mgH mgS sin60
0
1 2
mv02
S 280 m
D C
题目 一封闭的弯曲的玻璃管处于竖直平面内，其中充
则由动能定理：W非1 Ek1 Ep1 Ep 42 J
问题 如图所示,在斜面上B点以40J的初 动能下滑,经过A点时动能减少10J，机械能 损失了30J，到达斜面底端时刚好停止运动, 现让该物体从斜面底端沿斜面上滑,要能到 达B点,则物体的初动能至少为____2_0_0_J___J.
B
A
问题 质量为m的物体沿高h的斜面下
W摩
W摩 2
1 2
Nm
N
1 L2
T
由上解得：
W机
Nm
gh
N
12
L2
T2
题目 如图所示，固定的斜面倾角45°
，在其顶端装有小定滑轮O，细绳的一端与
水平面上的滑块A连接，此绳跨过定滑轮O
后于另一端系一物体B，其质量与A相等．
斜面高h，滑轮及绳质量不计，不计一切摩
下 撞返回滑，底回无端能至时量出W损发非 失点E，并p 物与Ek体一1 又垂Ek沿直1 斜斜60面面J向的上挡运板动碰， 物 大 再次体值上第是行至二__最次_高_上_处_，升__阻过_力__程功J.由中重13力000 势 W能6非0增1 加W的非1 最 18J
解： 物体最终不能离开圆弧而在BC间
往复，机械能守恒为mgR/2,由几
何关系知D与C(B)的高度差
H 2.0 m
对物体，从以初速度下滑到在BC
A
间往复，机械能变为mgR/2,由动
能定理
O
120
B
mgH mgS sin60
0
1 2
mv02
S 280 m
D C
题目 一封闭的弯曲的玻璃管处于竖直平面内，其中充
则由动能定理：W非1 Ek1 Ep1 Ep 42 J
问题 如图所示,在斜面上B点以40J的初 动能下滑,经过A点时动能减少10J，机械能 损失了30J，到达斜面底端时刚好停止运动, 现让该物体从斜面底端沿斜面上滑,要能到 达B点,则物体的初动能至少为____2_0_0_J___J.
B
A
问题 质量为m的物体沿高h的斜面下
W摩
W摩 2
1 2
Nm
N
1 L2
T
由上解得：
W机
Nm
gh
N
12
L2
T2
题目 如图所示，固定的斜面倾角45°
，在其顶端装有小定滑轮O，细绳的一端与
水平面上的滑块A连接，此绳跨过定滑轮O
后于另一端系一物体B，其质量与A相等．
斜面高h，滑轮及绳质量不计，不计一切摩
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F
b
如果力是位置的函数，设质点在力的作
用元下位沿移一：曲d线r运动，则功的计算如下：
dr
段在位元移位上移的中元将功力为视d为A恒力F，无dr限小 a
在元位移中将力视为恒力，力沿ab的 F
b
功为dA所有F无 d限r小F段c位os移d上r的元F 功cos之d和s 。 dr
A
b
dA
b
F
dr
a
a
分量式： A
A
yb
ya
mgdy
mg
(
yb
ya
)
O
yb
x
可见，重力是保守力。
z
A mg ( yb ya ) －(E pb EPa ) EP
重力的功等于重力势能增量的负值。
重力势能可以某一水平面为零势能点，
EP 为势能增量
EP mgy
•弹力的功和弹性势能
F kx
A
xb xa
Fx
dx
ba
xb xa
这种力称为保守力。
L
2、势能：在具有保守力相互作用的系统内，只 由系统内质点间的相对位置决定的能量称为势 能。
3、几种保守力和相应的势能
•重力的功和重力势能
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点，y
轴d向A上 为m正g，dar、b的Fyy坐d标y 分别m为gyda、yyb。
y b
ma c
mg ya
a
0
例2：有一倔强系数为k的轻弹簧，原长为l0，将 它掉在天花板上，当它下端挂一托盘平衡时，其 长度变为l1，然后托盘中放一重物，弹簧长度变 为l2，则由l1伸长至l2的过程中，弹簧弹性力所做 的功为（以弹簧原长处为坐标原点）
l2
(A) kxdx
l1
l2
(B) kxdx
l1
l2 l0
l2 l0
b
a (Fxdx Fydy)
注意：
a
1、功是过程量。 2、功是标量，但有正负。 3、合力的功为各分力的功的代数和。
例1：某质点在力
F
(4
5x)iˆ
(SI)
的作用
下沿x轴做直 线运动， 求在从x=0移到x=10m的过 程中，力 F 所做的功。
解： A b Fxdx
10
(4 5x)dx
290 (J)
别为m1和m2 ，它们之间的相互作用符合万有引力定律。 开始时，两质点间的距离为l，它们都处于静止状态，试
求当它们的距离变为1/2 l时，两质点的速度各为多少？
解：两自由质点组成的系统在自身的引力场中运动时， 系统的动量和机械能均守恒。设两质点之间的间距变 为1/2 l时，它们的速度分别为v1及v2 ，则有
F
dr
B
A Ft
dr
m
B
A at
dr
at
dv dt
dr vdt
AAB
m
Bdv vdt A dt
m
vB vdv
vA
1 2
m
vB2
1 2
m
vA2
AAB=EKB-EKA 。 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
2、质点系的动能定理
质点系：m1
内力： f1
外力： 初速度：
vF11A
末速度：v1B
机械能守恒：A外 0，A非保内 0
碰撞过程： 完全非弹性碰撞（碰后合在一起）：
动量守恒，动能不守恒
完全弹性碰撞：动量守恒，动能守恒
例8：对质点组有以下几种说法：
（1）质点组总动量的改变与内力无关
（2）质点组总动能的改变与内力无关
（3）质点组机械能的改变与保守内力无关 在上述说法中：
（A）只有（1）是正确的
[A]
3、功率：做功快慢程度
力在单位时间内所作的功
平均功率：P A t
瞬时功率：P dA dt
dA
F
dr
P
F
dr
F
v
dt
单位：Js-1
4、一对作用力和反作用力的功
mm1 1:、rm1 2组f成1 一m个2封: 闭r系2 统f2
在dt时fd1间A内r2fmfm21r112d::drr12A1ddrfr221f2ddA(dr2r2
所以
A外＋ A非保内＝ (EkB+EPB )-(EkA +EPA)
即
A外＋ A非保内＝EB - EA
质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保 守力的功的总和等于它的机械能的增量。称功能原理。
2、机械能守恒定律
如果 A外＝0 A非保内＝0 则EB ＝ EA＝常量
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机 械能保持不变。
拉力对小环所做的功为 -0.207 J B
提示：
R
A (E P2 - EP1)
(1 2
k x22
1 2
kx12 )
A
O
c
四、机械能守恒定律
1、质点系的功能原理
质点系的动能定理：A外+A内=EkB - EkA
因为 A内=A保内＋A非保内
所以 A外+ A保内＋A非保内= EkB - EkA
又因为 A保内＝-（ EPB－EPA）=EPA－EPB
A rb GMm 1 rˆ dr
ra
r2
两个质点之间在引力作用下相对 运动时 ，以M所在处为原点,M 指向m的方向为矢径的正方向。 m受的引力方向与矢径方向相反。
rb ra
GM
m
1 r2
dr
可见万有引
力是保守力。
GMm
(
1 rb
)
(
(EPb EPa )
1 ra
)
m
dr
r
万有引力的功等于引力势能增量的负值。A F
kxdx
( 1 2
k xb2
1 2
k xa2
)
(EPB
EPA )
可见，弹性力是保守力。
EP
弹性力的功等于弹性势能增量的负值。
弹性势能以弹簧原长为零势能点,则弹簧伸长或压缩x时
的势能为 EP
0
k xdx
(0
1
kx2 )
1
k x2
x
2
2
注意：零势能点可以任意取，前述是一般取法。
•引力的功和引力势能
B1
dr1
f 1
r
1
O
f2drd1)r21
B2
f2 r21
r 2
A1
f2
d
(r2
dr2
A2
r1)
两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其
中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动
的路径所做的功（注意：一般并不零）。
两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等
于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质
（B）（1）（3）是正确的
（C）（1）（2）是正确的
[B]
（D）（2）（3）是正确的
例9：两质量分别为m1、m2的小球，用 一倔强系数为k的轻弹簧相连，放在水 平光滑桌面上，如图所示。今以等值反 向的力分别作用于两小球时，若以两小 球和弹簧为系统，则系统的
（A）动量守恒，机械能守恒 F （B）动量守恒，机械能不守恒 （C）动量不守恒，机械能守恒
3.质量为20 g的子弹，以400 m/s的速率沿图示方 向射入一原来静止的质量为980 g的摆球中，摆 线长度不可伸缩．则子弹射入后开始与摆球一 起运动的速率为v=?
30 v2
4.一块很长的木板，下面装有活动轮子，静止 的置于光滑的水平面上，如图。质量为mA和mB 的两个人A和B站在板的两头，他们由静止开始 相向而行。若mA<mB，A和B对地的速度大小相 同，问木板将如何运动？
B rb
引力势能以二质点相距无穷远为零势能点 ra
rb 时EPb 0
M
则相距r 时
的势能为
E
＝
P
－G
r
Mm r 2 dr
GMm 1 r
小结： 1、只要有保守力，就可引入相应的势能。
2、势能仅有相对意义,计算势能必须规定零势 能参考点。质点在某一点的势能大小等于在 相应的保守力的作用下，由所在点移动到零 势能点时保守力所做的功。
注意：
内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。
说明：1、动能是状态量，任一运动状态对应一定的 动能。2、EK=EKB-EKA为动能的增量，增量可正可 负，视功的正负而变。3、动能是质点因运动而具有 的做功本领。
三、保守力和势能
1、保守力：某些力对质点做功的大小只与质点的
始末位置有关，而与路径无关，或 F dl 0。
m1v1 m2v2 0
①
Gm1m2 l
1 2
m1v12
1 2
m2 v 22
2Gm1m2 l
②
联立①、②，
解得
v1 m2
2G l(m1 m2 )
2G v2 m1 l(m1 m2 )
五、守恒定律的特点及其应用
特点和优点：不追究过程细节而能对系统的状态下
结论。
动量守恒： F外 0
角动量守恒： M外 0
B2 A2
F
2
d r2＋
B1 A1
f
1
d
r1
B2 A2
f
2
dr2
1 2
m1v12B＋12
m2v22B
（1 2
m1v12A＋12
m2v22A）
即：外力的功之和＋内力的功之和
＝系统末动能－系统初动能
记作：A外＋A内＝EKB - EKA
推广到任意质点系：所有外力对质点系做的功和内 力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。