第3课时 函数的三种表示方法(教案)
函数的表示法教案
函数的表示法
一、教学目标
知识与技能：（1）进一步理解函数概念，使学生掌握函数的三中表示法：解析法、列表法、函数法；（2）能够恰当运用函数的三种表示法，并借此解决一些实际问题；初步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；（3）了解映射的概念。
过程与方法：（1）通过三种方法的学习，渗透数形结合思想；（2）在运用函数解决实际问题的过程中，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学生运用数学的意识。
（3）将映射作为函数的推广，并通过一些例子进一步理解映射的概念。
情感态度与价值观：（1）让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣。
二、教学重点与难点
重点：函数的三种表示方法，分段函数和映射的概念。
难点：根据不同的实际需要选择恰当的方法表示函数。
（因为“恰当”比较难把握）
三、教学手段：多媒体辅助教学
四、教学情境设计
五、板书设计
六、设计思想
本节课的实际遵循新课程的基本理念：发张学生的数学应用意识：体现数学的文化价值；注意信息技术与数学课程的整合。
使学生在学习的过程中学会用数学的思考方式去解决问题。
5.2函数(2)教案浙教版数学八年级上册
分课时教学设计合作探究问题1 求下列函数自变量的取值范围.问题2 儿童节的时候，每人发2颗糖果，总人数x与总发的糖果数y的函数关系式为_________,其中人数x的取值范围是_____________.y= 2x x为正整数求自变量的取值范围时,还要注意什么?②符合实际意义.例1、等腰三角形ABC的周长为10,底边BC 长为y, 腰AB长为x,求:(1)y关于x的函数解析式;(2)自变量x的取值范围;(3)腰长AB=3时,底边的长.解：（1）由三角形的周长为10，得2x+y=10∴y=10–2x（2）∵x，y是三角形的边长，∴x＞0，y＞0，2x＞y（两边之和大于第三边）102x＞02x＞102x∴解得：2.5 < x < 5（3）当腰长AB = 3，即x = 3 时，y =102×3=4∴当腰长AB = 3 时，底边BC长为4当x= 6时,y=102x 的值是多少?对本例有意义吗?当x= 2 呢?当x= 6时,y=2 对本例没有意义。
当x= 2 时，y=6,不能构成三角形，没有意义自变量的范围要符合：①代数式本身要有意义; ②符合实际意义归纳：要求y关于x的函数解析式，可先得到函数与自变量之间的等式，再解出函数关于自变量的解析式函数的三类基本问题：①求解析式②求自变量的取值范围③已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值求相应的自变量的值例2、游泳池应定期换水. 某游泳池在一次换水前存水936立方米,换水时打开排水孔, 以每时312立方米的速度将水放出.设放水时间为t 时,游泳池内的存水量为Q立方米.(1)求Q关于t 的函数解析式和自变量t 的取值范围;(2)放水2 时20分后,游泳池内还剩水多少立方米?(3)放完游泳池内全部水需要多少时间?解：（1）Q关于t的函数解析式是：Q=936312t∵Q≥0，t≥0y＝－2x2＋36x9＜x＜18选做题：3.求下列自变量的取值范围．【综合拓展类作业】4.已知两邻边不相等的长方形的周长为24cm，设相邻两边中，较短的一边长为ycm，较长的一边长为xcm．（1）求y关于x的函数解析式；（2）求自变量x的取值范围；（3）当较短边长为4cm时，求较长边的长．解：（1）∵2（x+y）=24，∴y=12x；（2）∵ 12x＞0y=12x＜x∴6＜x＜12；（3）当y=4时，y=12x=4解得：x=8cm．1.如果一个圆筒形水管的外径是R，内径是6，它的横截面积S关于外径R的函数关系式为S＝π(R2－36)，那么R的取值范围为（）A.全体实数C.全体非负实数D选做题：2.某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费；每户每月用水量如果超过20吨，未超过的部分仍按每吨1.9元收费，超过的部分则按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x吨，应交水费为y元．(1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x间的函数关系式；(2)若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？【综合拓展类作业】3.．。
函数的表示方法教案
函数的表示法一．教学目标了解函数的三种表示方法(解析法、图象法、列表法);知道三种表示法各自的优缺点;会根据不同的实际情境选择恰当的方法表示函数.二．教学重难点教学重点：函数的三种表示方法.教学难点：在实际情境中，函数表示方法的恰当选择.三．教学过程(一) 导入新课以提问的方式复习函数的概念, 来揭示函数概念的内涵(尽量让学生自己总结出来).只要有一个对应关系, 使得取值范围中的每一个值都有唯一确定的y 和它对应即可, 不用管这个对应关系是以何种形式给出.让学生阅读课本15至16页的三个引例, 学生很容易就可以发现其对应关系分别以解析式、图象、表格的形式. 与之对应, 函数常用的三种表示法为解析法、图象法、列表法.设计意图:帮助学生回忆出初中就已经接触过的函数的三种表示法:解析法、图象法、列表法.(二) 讲解新课设计思路:围绕课本15至16页的三个引例讲解函数的三种表示法, 以下内容均通过这三个例子进行讲解.1. 三种表示法的定义(了解即可)解析法:用数学表达式表示两个变量之间对应关系的方法.图象法:用图象表示两个变量之间对应关系的方法.列表法:列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法.2. 函数用不同方法表示时定义域、值域的不同求法(1)函数定义域的求法①当函数y =f (x ) 用解析式给出时, 函数的定义域是指使解析式有意义的实数x 的集合; ②当函数y =f (x ) 用图像给出时, 函数的定义域是指图像在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合;③当函数y =f (x ) 用表格给出时, 函数的定义域是指表格中实数x 的集合.(2)函数值域的求法①当函数y =f (x ) 用解析式给出时, 函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定; ②当函数y =f (x ) 用图像给出时, 函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合;③当函数y =f (x ) 用表格给出时, 函数的值域是指表格中实数y 的集合.3. 函数三种表示法优缺点的对比(1)解析法的优点:一是简明, 全面地概括了变量间的关系; 二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.缺点:不够形象, 直观, 具体, 而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来.(2)图像法的优点:能形象直观地表示出函数的变化情况.缺点:只能近似地求出自变量的值所对应的函数值, 而且有时误差较大. (企业生产图、股市走势图等)(3)列表法的优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.缺点:它只能表示自变量取较少的有限值时的对应关系. (银行利率表、列车时刻表等)(四) 巩固练习课本练习小结1. 函数的三种表示法: 解析法、图象法、列表法.2. 函数用不同方法表示时定义域、值域的不同求法.3. 函数三种表示法优缺点的对比, 这也是选择函数表示法的标准.。
高中数学《函数的表示法》教案1北师版必修
函数的表示方法教学目标：1.掌握函数的三种表示方法(列表法、解析法、图象法),会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
2.根据实际问题中的条件列出函数解析式,然后解决实际问题.3.了解简单的分段函数，并能简单的应用。
一 课题引入与教材认知：1.以引入函数概念的三个问题为背景，引入函数的表示方法。
2.教材认知。
函数的三种表示方法：（1）列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法。
（2）解析法:用等式来表示两个变量之间函数关系的方法.（3）图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法。
列表法优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。
缺点：只用于自变量为有限个的函数。
解析法优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。
缺点：一些实际问题很难找到它的解析式。
图象法优点：能直观形象地表示出函数的变化情况。
缺点：只能近似地反映函数的变化情况。
二 典型例题例1、购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元。
若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示x （{}4,3,2,1∈x ）的函数,并指出该函数的值域。
小结：同一个函数可以用不同的方法表示，在实际情境中，能根据不同的要求选择恰当的方法表示函数。
中学阶段研究的函数主要是用解析式表示的函数。
例2、某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内（含3km ）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km 收费,试写出收费关于路程的函数解析式.例2中的函数具有如下特点：在定义域内不同部分上，有不同的解析式。
像这样的函数通常叫做分段函数 （注：分段函数是一个函数，而不是几个函数。
）小结：（1）在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。
(2) 回顾初中所学内容，如正比例，一次，二次，反比例函数等若已知函数类型，求函数解析式时常用待定系数法其基本步骤是设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。
第3讲函数的表示方法
问题研究
求函数解析式通常有哪些方法？
典型例题1
例1 分别根据下列条件，求函数f(x)的解析式：
⑴已知 f ( x 1) x 2 x ；
⑵已知 f ( x)是一次函数，且f f x 9x 8； ⑶已知 3 f x 2 f x 2x 5； ⑷已知 f 0 0,且对任意x，y R，有
例2
已知函数
f
( x)满足：f
x
1 x
x2
1， x2
求函数 f ( x)的解析式.
解
配方，得f
x
1 x
x
1 x
2
-2，
f ( x) x2 -2.
错！
思考1 解题是否就此结束？
定义域！
思考2 函数定义域是｛x∈R︱x≠0｝，对吗？
求解过程
x 0且x 1.
1
－1 O 1
x
回顾反思
（1）求解步骤：
①确定函数的定义域；
y
②化简函数的解析式；
③作出函数的图象. （2）思维误区：
1
－1 O 1
x
①不会化简，无从下手；
②范围有误，图象失真；
③忽视细节，作图粗糙.
思路分析
例3 画出下列函数的图象：(2) y x 1 x 2 .
①×3－ ②×2，解得 f(x)＝2x＋1.
回顾反思
（1）基本策略：解方程组，实施消元. （2）数学思想：函数与方程思想. （3）思维障碍：无法找到另一个方程，思维受阻.
思路分析
例1 ⑷已知f(0) ＝1，且对任意x，y∈R，有 f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x). 赋值法！
19. 函数的表示方法 获奖【一等奖教案】
第2课时 函数的表示方法1．了解函数的三种不同的表示方法并在实际情境中，会根据不同的需要，选择函数恰当的表示方法；(重点) 2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(难点) 一、情境导入 问题：(1)某人上班由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距单位的距离看成是关于出发时间的函数，想一想我们用怎样的方法才能更好的表示这一函数呢？ (2)生活中我们经常遇到银行利率、列车时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些问题在实际生活中又是如何表示的？二、合作探究探究点一：函数的表示方法【类型一】 用列表法表示函数关系有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题： 质量(克) 1 2 3 4 …伸长量(厘米) 0.5 1 1.5 2 …总长度(厘米) 10.5 11 11.5 12 …(1)要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？(2)当所挂重物为x 克时，用h 厘米表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式．(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克．解析：(1)根据挂重物每克伸长0.5厘米，要伸长5厘米，可得答案；(2)根据挂重物与弹簧伸长的关系，可得函数解析式；(3)根据函数值，可得所挂重物质量．解：(1)5÷0.5×1＝10(克)，答：要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克； (2)函数的表达式：h ＝10＋0.5x (0≤x ≤50)； (3)当h ＝25时，25＝10＋0.5x ，x ＝30，答：当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．方法总结：列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等． 【类型二】 用图象法表示函数关系 如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s (千米)和行驶时间t (小时)之间的关系，请根据图象回答下列问题：(1)汽车共行驶的路程是多少？(2)汽车在行驶途中停留了多长时间？ (3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？ (4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？ 解析：根据图象解答即可． 解：(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240(千米)； (2)由横坐标看出2－1.5＝0.5(小时)，故汽车在行驶途中停留了0.5小时； (3)由纵坐标看出汽车到达B 点时的路程是80千米，由横坐标看出到达B 点所用的时间是 1.5小时，由此算出平均速度80÷1.5＝1603(千米/时)；由纵坐标看出汽车从B 到C 没动，此时速度为0千米/时；由横坐标看出汽车从C到D用时3－2＝1(小时)，从纵坐标看出行驶了120－80＝40(千米)，故此时的平均速度为40÷1＝40(千米/时)；由纵坐标看出汽车返回的路程是120千米，由横坐标看出用时4.5－3＝1.5(小时)，由此算出平均速度120÷1.5＝80(千米/时)；(4)由横坐标看出4.5－3＝1.5小时，返回用了1.5小时．方法总结：图象法的优点是直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．【类型三】用解析式法表示函数关系一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩余油量为y(升)，行驶路程为x(千米)．(1)写出y与x的关系式；(2)这辆汽车行驶35千米时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？(3)这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米？解析：(1)根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得函数解析式；(2)根据自变量，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值；(3)令y＝0，求出x即可．解：(1)y＝－0.6x＋48；(2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升；当y ＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米；(3)令y＝0，－0.6x＋48＝0，解得x＝80，即这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶80km.方法总结：解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．探究点二：函数表示方法的综合运用【类型一】分段函数及其表示为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)．现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是()解析：根据题意，当0≤x≤100时，y ＝0.5x；当x＞100时，y＝100×0.5＋0.8(x －100)＝50＋0.8x－80＝0.8x－30，所以，y 与x的函数关系为y＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x（0≤x≤100），0.8x－30（x>100）.纵观各选项，只有C 选项图形符合．故选C.方法总结：根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；②要求关于某个具体点，向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标；③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．【类型二】函数与图形面积的综合运用如图①所示，矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP 的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示．(1)求矩形ABCD的面积；(2)求点M、点N的坐标；(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的15，求满足条件的x的值．解析：(1)点P从点B运动到点C的过程中，运动路程为4时，面积发生了变化且面积达到最大，说明BC 的长为4；当点P 在CD 上运动时，△ABP 的面积保持不变，就是矩形ABCD 面积的一半，并且运动路程由4到9，说明CD 的长为5.然后求出矩形的面积；(2)利用(1)中所求可得当点P 运动到点C 时，△ABP 的面积为10，进而得出M 点坐标，利用AD ，BC ，CD 的长得出N 点坐标；(3)分点P 在BC 、CD 、AD 上时，分别求出点P 到AB 的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y 关于x 的函数关系式，进而求出x 即可．解：(1)结合图形可知，P 点在BC 上，△ABP 的面积为y 增大，当x 在4～9之间，△ABP 的面积不变，得出BC ＝4，CD ＝5，∴矩形ABCD 的面积为4×5＝20；(2)由(1)得当点P 运动到点C 时，△ABP 的面积为10，则点M 的纵坐标为10，故点M 坐标为(4，10)．∵BC ＝AD ＝4，CD ＝5，∴NO ＝13，故点N 的坐标为(13，0)；(3)当△ABP 的面积为矩形ABCD 面积的15，则△ABP 的面积为20×15＝4. ①点P 在BC 上时，0≤x ≤4，点P 到AB 的距离为PB 的长度x ，y ＝12AB ·PB ＝12×5x ＝5x 2，令5x2＝4，解得x ＝1.6；②点P 在CD 上时，4≤x ≤9，点P 到AB 的距离为BC 的长度4，y ＝12AB ·PB ＝12×5×4＝10(不合题意，舍去)；③点P 在AD 上时，9≤x ≤13时，点P到AB 的距离为P A 的长度13－x ，y ＝12AB ·P A＝12×5×(13－x )＝52(13－x )，令52(13－x )＝4，解得x ＝11.4，综上所述，满足条件的x 的值为1.6或11.4.方法总结：函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型问题，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义．三、板书设计1．函数的三种表示方法 (1)列表法； (2)图象法； (3)解析式法．2．函数表示方法的综合运用函数表示法这节课的难点在于针对不同的问题如何选择这三种方法进行表示．针对这个问题，可通过引导学生对例子比较来解决．这样学生通过对不同例子的比较就能很好的区分这三种方法的特点，并能选择合适的方法．这节课的另一个目标是让学生了解分段函数，通过两个例子的介绍，能理解分段函数并按要求进行求值．第2课时 勾股定理的逆定理的应用1．进一步理解勾股定理的逆定理；(重点) 2．灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题．(难点) 一、情境导入某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？二、合作探究探究点：勾股定理的逆定理的应用【类型一】运用勾股定理的逆定理求角度如图，已知点P是等边△ABC内一点，P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．解析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，判断△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数．解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC.可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE ＝PB＝4，∠BPE＝60°.在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2＋P A2，∴△APE 为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题的关键是根据题意构造△APE为直角三角形．【类型二】运用勾股定理的逆定理求边长在△ABC中，D为BC边上的点，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求BD 的长．解析：根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD为直角三角形，即∠ADC＝∠ADB ＝90°.在Rt△ABD中利用勾股定理可得出BD的长度．解：∵在△ADC中，AD＝12，CD＝9，AC＝15，∴AC2＝AD2＋CD2，∴△ADC是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝AB2－AD2＝5，∴BD的长为5.方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中．【类型三】勾股定理逆定理的实际应用如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形．解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答．【类型四】运用勾股定理的逆定理解决方位角问题如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？解析：已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海．解题的关键是得出走私船所走的路程，根据题意，CE 即为走私船所走的路程．由题意可知，△ABE 和△ABC 均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．解：设MN 与AC 相交于E ，则∠BEC ＝90°.∵AB 2＋BC 2＝52＋122＝132＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°.∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我国领海的最短距离是CE .由S △ABC ＝12AB ·BC ＝12AC ·BE ，得BE ＝6013海里．由CE 2＋BE 2＝122，得CE ＝14413海里，∴14413÷13＝144169≈0.85(小时)＝51(分钟)，9时50分＋51分＝10时41分．答：走私艇C 最早在10时41分进入我国领海．方法总结：用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的数学模型，注意提炼题干中的有效信息，并转化成数学语言．三、板书设计1．利用勾股定理逆定理求角的度数 2．利用勾股定理逆定理求线段的长 3．利用勾股定理逆定理解决实际问题在本节课的教学活动中，尽量给学生充足的时间和空间，让学生以平等的身份参与到学习活动中去，教师要帮助、指导学生进行实践活动，这样既锻炼了学生的实践、观察能力，又在教学中渗透了人文和探究精神，体现了“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的教育思想．。
第3讲函数的表示方法
x 30 34 40 45 50
y 60
48
30
15
0
⑴根据表中信息，确定y与x的一个函数关系式；
⑵设经营此商品的日销售利润为 P 元，问：当销
售单价为多少元时，可获得最大日销售利润？
思路分析
例4 x 30
34
40
45
50
y 60
48
30
15
0
⑴根据表中信息，确定y与x的一个函数关系式；
步骤1 在直角坐标系中 y
待定系数法. 数学思想：整体换元思想，函数与方程思想. 思维策略：根据问题特点，灵活选择方法. 思维盲点：忽视由中间变量的取值范围确定函
数的定义域.
廓清疑点：函数定义域的确定
典型例题2
例2
已知函数
f ( x)满足：f
x
1 x
x2
1， x2
求函数 f ( x)的解析式.
思路分析
例2
已知函数
f
( x)满足：f
x
1 x
x2
1， x2
求函数 f ( x)的解析式.
解
配方，得f
x
1 x
x
1 x
2
-2，
f ( x) x2 -2.
错！
思考1 解题是否就此结束？
定义域！
思考2 函数定义域是｛x∈R︱x≠0｝，对吗？
求解过程
解 令t x 1 ，则x2 tx 1 0. x
根据关于x的方程有实数解的条件，得 t 2 4≥0，解得t≥2或t≤-2.
函数的表示法 教案
函数的表示法（一）执教人：王玉立教学目标：1．掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．会用描点法画一些简单函数的图象，并能通过几何直观得到函数的有关信息。
会用待定系数法求函数的解析式。
2．使学生经历知识生成的过程，同时渗透数形结合的数学思想方法。
3．使学生体会函数知识的应用价值，培养学生良好的观察品质和小组合作意识。
教学重难点：重点：掌握函数的三种表示法，会画函数的图像，会用待定系数法求函数的解析式。
难点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
教学流程：一、复习导入上节课我们研究过三个例子，一个是发射炮弹的例子，这个函数是用数学表达式来表示两个变量之间的对应关系，我们把这种表示函数的方法叫做解析法；第二个例子是南极臭氧层空洞的例子，这个函数是通过图像表示两个变量之间的对应关系，这种方法叫图象法，第三个例子是恩格尔系数，这个函数是通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，这种方法我们叫它列表法。
函数可以通过以上这三种方法来表示(解析法、图象法、列表法)，这三种方法呢，同学们在初中的时候也已经初步接触过，这节课呢我们将进一步学习函数的这三种表示法。
（板书题目）二、探究新知1. 课本例题3：同学们首先来看这个例题。
读题目。
同学们先自己在练习本上独立完成。
找一个学生代表（具有问题一或者问题二）到台前来汇报做法。
我们让某某同学来汇报他的做法，同学们仔细听。
你们有不同的看法吗。
（要相信自己啊，你的想法或许才是正确的。
）加上定义域，加还是不加？你到黑板上给大家解释一下。
为什么？（提意见的同学到黑板上解释。
（板书：y=x 和 y=x 加还是不加，现在问题就转化成了判断这两个函数是否相等。
前面这个函数的定义域是R,而题目中的定义域是 。
所以得加上。
）如果学生代表只具有问题之一，教师提前从学生手中搜集到另一个问题再来展示。
让学生纠错。
为什么？纠错的同学解释为什么。
教学设计3：3.1.2 函数的表示法
20分钟2、学以致用定义域：t∈{0≤t≤24}(2)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．如3.1.1 问题4所说的恩格尔系数变化情况表：上表中r是y的函数，所以自变量y的定义域：y∈{2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}，可知，定义域也可以是离散型的.(3)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系.如3.1.1问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：ｋｍ）与运行时间t（单位：ｈ）的关系可以表示为：S=350t.（对应法则）其中，定义域：t∈{0≤t≤0.5},值域S∈{0≤S≤175}.因为有定义域和对应法则就可以求出值域，所以，我们一般用解析法表示函数时只要写出对应法则和定义域.二、学以致用接下来我们通过三道例题来进一步掌握函数的三种表示法及其特点.例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y=f(x)．提问1：审题是理清思路的前提，也是成功解题的关键，所以仔细审题，题中有哪些关键点？如何准确又快速地把这道题数学化？讨论后回答：因为x∈{1,2,3,4,5}，属于离散型，有限集，学生最直观的想法就是用列对应值表的方法表示函数y=f(x).（若x有1000个取值呢？）如下表所示：其中定义域：x∈{1,2,3,4,5}追问：通过列表的过程，我们发现，一方面，表格一目了然地把x和y的对应关系表示出来；另一方面，在得到表中第二行钱数y的值的时候，也是需要通过题意简单计算的.所以，我们思考一下，得到这个表格之后，我们如何进一步阐发这一道题呢？回答追问1：从表格两行的结构看，我们不妨以x为横轴，y为纵轴，建立直角坐标系，这样，上述表格中的每一列的（x，y）的值就可以表示为x−o−y坐标系中的点.如下图所示：这就是图象法表示函数y=f(x).（定义域：x∈{1,2,3,4,5}）研究图象可知，和列表法相比，图象法虽然能直观反映x和y的对应关系，但是其横纵坐标不够精准，另一方面，图象法还能反映x和y的变化趋势，如图，反映了x越大，y越大，也就是买的笔记本越多，花的钱越多。
《函数的表示方法》教学设计-优质教案
2.1.2函数的表示方法●三维目标1．知识与技能(1)明确函数的三种表示方法；(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；(2)通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．2．过程与方法学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情感、态度与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法．●重点、难点重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象．●教学建议1．关于选用适当的方法来表示函数的教学建议教师在教学中，多结合一些实例，使学生了解各种不同的表示函数的方法的特点，并能学会选择适当的方法表示函数．2．对于函数与其图象的关系的理解与把握建议教师从函数概念出发，结合对应的概念，使学生能够从数形结合的角度准确把握函数与其图象的关系．●教学流程创设问题情境，通过实例，列出函数的三种表示方法：列表法、解析法、图象法⇒引导学生探究3种函数表示方法的特点，并结合一些实例，说明如何选择合适的方法表示函数⇒通过实例，引出分段函数的定义，并探究求分段函数的定义域、值域的方法⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求函数解析式的几种常用方法⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握解决有关分段函数的综合问题的方法⇒通过例3及其变式训练，使学生初步掌握函数在实际问题中的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正【问题导思】某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．1．函数的定义域是什么？【提示】{1,2,3,4,5}．2．y与x的关系是什么？【提示】y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．3．试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．【提示】4．试用图象表示x与y之间的关系．【提示】列表等式图像【问题导思】国内投寄信函(本埠)，假设每封信函不超过20 g 付邮资0.8元，超过20 g 不超过40 g 付邮资1.6元，依此类推，每封x g(0<x ≤100)的信函应付邮资为y (单位：元)．1．x 与y 是否具有函数关系？ 【提示】 有函数关系．2．其函数的定义域、值域各是什么？【提示】 定义域为0<x ≤100，值域为{0.8,1.6,2.4,3.2,4}． 3．x 与y 之间关系有何特点？【提示】 x 在不同区间内取值时与y 所对应的关系不同．在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数.类型1求函数的解析式例1 (1)已知函数f (x )是一次函数，且f (f (f (x )))＝8x ＋7，求f (x )． (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．【思路探究】 解答题(1)可利用待定系数法，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，再根据题设条件列方程组求解待定系数k ，b ；配凑法求解．题(2)实际上是寻找对应关系f 怎样对自变量起作用．解答本题可在“x ＋2x ”中配凑出“x ＋1”来或将“x ＋1”整体换元求解．【自主解答】 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)． 则f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ， ∴f (f (f (x )))＝f (k 2x ＋kb ＋b ) ＝k (k 2x ＋kb ＋b )＋b＝k 3x ＋k 2b ＋kb ＋b ＝8x ＋7，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 3＝8k 2b ＋kb ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝1. ∴f (x )＝2x ＋1. (2)法一 (换元法)： 令x ＋1＝t (t ≥1)， 则x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2t －12＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二 x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 规律方法1．求函数解析式的常用方法是待定系数法和换元法．当已知函数的类型时，可设出其函数解析式，利用待定系数法求解，这里包含着方程思想的应用．2．当不知函数类型时，一般可采用换元法，所谓换元法即将接受对象“x ＋1”换作另一个字母“t ”，然后从中解出x 与t 的关系，代入原式中便可求出关于“t ”的函数关系，此即为所求函数解析式，但要注意自变量取值范围的变化情况．3．另外，求函数解析式的方法还有配凑法、解方程组法等． 变式训练求下列各题中f (x )的解析式．(1)已知函数f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x )． 【解】 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6. ∴f (x )＝x 2－5x ＋6.(2)法一 ∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16， ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)． 法二 设x ＋4＝t (t ≥4)， 则x ＝t －4，x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16， ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．类型2有关分段函数问题例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4－3≤x ≤0，x 2－2x 0<x ≤4，－x ＋24<x ≤5.(1)求f (5)，f (f (5))，f (f (f (5)))； (2)作出函数的图象； (3)求函数的值域．【思路探究】 (1)f (5)→f (f (5))→f (f (f (5)))；(2)在同一坐标系中画出每个范围内的图象即为f (x )的图象； (3)由(2)结合图象观察得函数的值域． 【自主解答】 (1)∵4<5≤5，∴f(5)＝－5＋2＝－3.∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.又∵0<1≤4，∴f(f(f(5)))＝f(1)＝1－2＝－1.(2)画出函数图象如图所示：(3)由(2)画出的图象可知：函数的值域为[－3，－2)∪[－1,8].规律方法1．求分段函数的函数值时，一般是先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后用与这个子区间相对应的对应法则来求函数值，另外对于f(f(f(a)))的求法，常采用由里向外的方式逐层求解．2．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．3．求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．互动探究在题设不变的情况下，若f(x)＝3求x的值．【解】当－3≤x≤0时，由f(x)＝x＋4＝3，得x＝－1，符合题意．当0<x≤4时，由f(x)＝x2－2x＝3，得x＝－1或x＝3，经验证x＝3符合题意．当4<x≤5时，由f(x)＝－x＋2＝3，得x＝－1，不符合题意．综上可知x＝－1或3.例3x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x ，y )对应的点，并确定y 与x 的一个函数关系式y ＝f (x )；(2)设销售此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？【思路探究】 (1)描点→观察、选模型→求解析式 (2)构建P 关于x 的关系式→求最值→结论【自主解答】 (1)根据表中数据作图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)，它们近似在同一条直线上，设它们共线于直线l ：y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 50k ＋b ＝045k ＋b ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3b ＝150， ∴y ＝－3x ＋150(30≤x ≤50)，经检验点(30,60)、(40,30)也在此直线上， 故所求函数关系式为y ＝－3x ＋150(30≤x ≤50)， (2)依题意有P ＝y (x －30) ＝(－3x ＋150)(x －30) ＝－3(x －40)2＋300，∴当x ＝40时，P 有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润． 规律方法解答函数建模问题的关键在于读懂题意，先将实际问题数学化，然后结合变量间对应关系特点选择合适的函数模型，解答过程中要密切关注实际问题中的隐含条件以及实际环境对自变量的限制．图2－1－6变式训练如图2－1－6所示，在边长为4的正方形ABCD 边上有一点P ，由点B (起点)沿着折线BCDA ，向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求：(1)y 与x 之间的函数关系式； (2)画出y ＝f (x )的图象．【解】 (1)当0≤x ≤4时，S △ABP ＝12·4x ＝2x ；当4<x ≤8时，S △ABP ＝12×4×4＝8；当8<x ≤12时，S △ABP ＝12×4·(12－x )＝24－2x ，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.(2)画出y ＝f (x )的图象，如图所示．对分段函数的概念理解不深刻致误典例 已知两个函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x ≥0，－x x <0， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x x >0，x 2x ≤0.(1)当x ≤0时，求f (g (x ))的解析式； (2)当x <0时，求g (f (x ))的解析式．【错解】 (1)由已知，当x ≤0时，有f (g (x ))＝f (x 2)＝－x 2. (2)当x <0时，g (f (x ))＝g (－x )＝(－x )2＝x 2.【错因分析】 本题错误是对分段函数没有理解，而选择了错误的解析式．【防范措施】 对于分段函数的解析式，一定要根据自变量的取值范围来选择解析式． 【正解】 (1)由已知，当x ≤0时，有f (g (x ))＝f (x 2)＝(x 2)2＝x 4. (2)当x <0时，g (f (x ))＝g (－x )＝－1x.课堂小结本节课主要学习了表示函数的三种方法：解析法、列表法和图象法．1．求函数的解析式，常用的方法有两种：一是待定系数法，适用于已知函数解析式结构的函数；二是换元法，适用于已知f [g (x )]的表达式．2．列表法适用于自变量的个数有限，可直接看出自变量与函数值的对应情况．但有很大的局限性． 3．图象法就是用图象来表示两个变量的函数关系，它的优点是直观形象地表示了当自变量变化时，相应的函数值变化的趋势，使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质．4．在实际问题中建立的函数式都要求自变量的取值范围，即所求出的函数的定义域.当堂达标1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，x x ＋1，x <0，则f (－2)＝________.【解析】 ∵－2<0，∴f (－2)＝－2(－2＋1)＝2. 【答案】 22．函数f (x )＝|x －1|的图象是________．(填序号)【解析】 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x ≥1，1－x ， x <1，故②正确．【答案】 ②3．设f (x ＋2)＝2x ＋3，则f (x )＝________. 【解析】 令x ＋2＝t ，则x ＝t －2， ∴f (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1， ∴f (x )＝2x －1. 【答案】 2x －14．某市空调公共汽车的票价如下：①5公里以内(包括5公里)，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)有21个汽车站，请根据题意写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．【解】 设票价为y ，里程为x ，根据题意，如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x 的取值范围是(0,20]，则可得到以下函数解析式：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤53，5<x ≤104，10<x ≤155，15<x ≤20，根据这个函数解析式，可画出函数图象，如图所示．课后检测一、填空题1．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________． 【解析】 2m ＋3＝6，m ＝32.【答案】 322．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2x <22x ＋1 x ≥2，则f (－3)的值为________．【解析】 f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2) ＝f (1)＝f (1＋2)＝f (3)＝2×3＋1＝7. 【答案】 73．已知函数f (2x ＋1)＝4x 2，则f (5)＝________. 【解析】 由2x ＋1＝5，得x ＝2.∴f (5)＝4×22＝16. 【答案】 164．若f (2x )＝4x 2＋1，则f (x )的解析式为________．【解析】 f (2x )＝4x 2＋1＝(2x )2＋1，∴f (x )＝x 2＋1. 【答案】 f (x )＝x 2＋15．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1满足f (1)＝2，f (2)＝5，则f (x )＝________.【解析】 由f (1)＝2，f (2)＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝24a ＋2b ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，∴f (x )＝x 2＋1.【答案】 x 2＋16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x >0，－1，x ＝0，2x －3，x <0，则f (f (f (5)))＝________.【解析】 ∵f (5)＝0，∴f (f (5))＝f (0)＝－1， ∴f (f (f (5)))＝f (－1)＝－2－3＝－5. 【答案】 －57．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是________． 【解析】 ∵g (x ＋2)＝2x ＋3，令x ＋2＝t ，则x ＝t －2， ∴g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1， ∴g (x )＝2x －1. 【答案】 g (x )＝2x －18．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ≤0，x 2， x >0，若f (a )＝4，则实数a ＝________.【解析】 当a ≤0时，f (a )＝－a ＝4，得a ＝－4；当a >0时，f (a )＝a 2＝4，得a ＝2， ∴a ＝－4或a ＝2. 【答案】 －4或2 二、解答题9．求下列函数的解析式(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝3x ＋2，求f (x )． (2)已知f (x －3)＝x 2＋5，求f (x )． (3)已知2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，求f (x )．【解】 (1)∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．又f (f (x ))＝3x ＋2，∴f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝3x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝3kb ＋b ＝2，∴⎩⎨⎧ k ＝3b ＝3－1或⎩⎨⎧k ＝－3b ＝－3－1. ∴f (x )＝3x ＋3－1或f (x )＝－3x －3－1. (2)∵f (x －3)＝x 2＋5，∴设t ＝x －3，则x ＝t ＋3，第11页 ∴f (t )＝(t ＋3)2＋5＝t 2＋6t ＋14，∴f (x )＝x 2＋6x ＋14.(3)由2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2.将－x 代x 得2f (－x )＋f (x )＝－3x ＋2.两式联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 2f x ＋f －x ＝3x ＋22f －x ＋f x ＝－3x ＋2，∴f (x )＝3x ＋23. 10．某市营业区内住宅电话通话费为前3 min 0.20元，以后每min 0.10元(不足3 min 按3 min 计，以后不足1 min 按1 min 计)．(1)在直角坐标系内，画出一次通话在6 min 内(包括6 min)的通话费y (元)关于通话时间t (min)的函数图象；(2)如果一次通话t min(t >0)，写出通话费y (元)关于通话时间t (min)的函数关系式(可用<t >表示不小于t 的最小整数．【解】 (1)如图：(2)由(1)知，话费与时间t 的关系是分段函数，当0<t ≤3时，话费为0.2元；当t >3时，话费应为[0.2＋(<t >－3)×0.1]元，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2， 0<t ≤3，0.2＋<t >－3×0.1， t >3. 11．已知f (x )＝x 2－4|x |＋5，(1)把f (x )写成分段函数的形式，并画出图象；(2)若方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x <0， 其图象如图所示：(2)令f (x )＝x 2－4|x |＋5，y ＝m ，由图可知函数f (x )与函数y ＝m 有四个交点时，1<m <5.。
函数的三种表示方法教案
函数的三种表示方法教案教案标题：函数的三种表示方法教案教案建议和指导：教学目标：1. 理解函数的概念及其在数学中的应用；2. 掌握函数的三种表示方法：文字描述、函数图像和符号表示；3. 能够在不同的情境中灵活运用函数的三种表示方法。
教学准备：1. 教师准备一份包含函数相关的知识点和例题的教学讲义；2. 准备一台投影仪或电子白板，用于展示函数图像等内容；3. 准备一些函数的实例题目，供学生练习。
教学过程：步骤一：引入函数的概念（10分钟）1. 通过实例引出函数的概念，比如温度与时间的关系等；2. 解释函数的定义：将一个集合中的每个元素都通过一个规则与另一个集合中的元素建立起对应关系。
步骤二：函数的文字描述（15分钟）1. 讲解函数的文字描述表示方法，即用自然语言描述函数；2. 通过示例展示文字描述函数的表达方式，比如“温度随时间呈线性增长”。
步骤三：函数的图像表示（20分钟）1. 使用投影仪或电子白板，展示函数图像的绘制方法；2. 解释如何根据函数规则绘制函数图像；3. 示范绘制几个简单函数图像，如线性函数、二次函数等；4. 让学生尝试绘制一些函数图像。
步骤四：函数的符号表示（20分钟）1. 介绍函数的符号表示方法，即用数学符号表示函数；2. 解释如何使用自变量和函数表达式表示函数；3. 示范几个函数的符号表示，比如y = 2x + 1；4. 让学生尝试表示一些函数的符号表示方法。
步骤五：综合运用（15分钟）1. 给学生一些实际问题，要求他们根据问题用文字描述、函数图像和符号表示来表示函数；2. 让学生互相交流并分享自己的解答；3. 教师总结学生的回答，强调函数的三种表示方法的灵活运用。
步骤六：小结和作业布置（5分钟）1. 小结函数的三种表示方法：文字描述、函数图像和符号表示；2. 布置一些练习题，要求学生根据给定的函数用三种表示方法表示。
教学辅助手段：1. 投影仪或电子白板用于展示函数图像；2. 准备一些函数的实例题目，供学生练习；3. 预先准备好的教学讲义。
函数的表示法听课手册
第3课时 函数的表示法
【归纳总结】函数三种表示方法的适用范围： 列表法：需要直接用部分函数值表达函数关系时选用列表法． 图象法：需要明显表现函数变化趋势时选用图象法． 解析式法： 需要明显表现自变量与函数值的对应规律时选用解 析式法． 函数的三种表示方法可以根据需要相互转化， 在转化过程中注 意实际问题中自变量的取值与函数图象的关系．
第3课时 函数的表示法
2．列表法就是用表格来表示变量之间的关系的方法． 优点：根据表格中已列出的自变量的值，可以直接找到与其对应 的函数值，不需要计算，一目了然． 缺点：表格中列出的对应值是有限的，由表格不容易看出两个变 量之间的对应规律，不能直观、形象地反映变量之间的变化趋势． 3．图象法就是用图象来表示变量之间的关系的方法． 优点：可以直观、形象地表示出变量之间的关系． 缺点：通过观察图象所得的数据、数量关系，一般都是近似的， 往往不够精确．
数 学
八年级 下册
新课标（RJ）
第十九章 一次函数
19．1 函数 19.1.2 函数的图象
第十九章 一次函数
第3课时 函数的表示法
知识目标 目标突破 总结反思
第3课时 函数的表示法
知识目标
1．在理解函数图象的基础上，能根据问题情景，用图象表示 函数．
2．通过理解函数的三种表示方法，能将这三种表示方法互相
y(km)与快车行驶的时间 t(h)之间的函数
图象的是( C )
图 19－1－5
第3课时 函数的表示法
[解析] 描述两车之间的距离 y(km)与快车行驶的时间 t(h)之间的函数图象应抓住 以下四个时刻： (1)开始：t＝0，两车相距 1000 km，即 y＝1000； (2)相遇：t＝1000÷(100＋150)＝4，y＝0； 20 20 2000 (3)特快车到终点：t＝1000÷150＝ ，y＝100× ＝ ； 3 3 3 (4)快车到终点：t＝1000÷100＝10，y＝1000. 由以上分析可知，答案是 C 或 D. 20 由于相遇后两车同时行驶的时间内(即 4＜t＜ )y 随 t 的变化大于快车单独行驶的 3 20 时间内(即 ＜t＜10)y 随 t 的变化，因此排除选项 D.故选 C. 3
函数的三种表示方法教案
函数的三种表示方法教案函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量。
在数学和计算机科学中，函数有多种表示方法，包括数学公式、图表和程序代码。
本教案将介绍函数的三种表示方法，并提供相关的教学示例和练习。
一、数学公式表示。
数学公式是最常见的函数表示方法之一。
通过数学公式，我们可以用符号和变量的组合来描述函数的关系。
例如，函数f(x) = x^2就是一个数学公式表示的函数，它表示了输入变量x和输出变量f(x)之间的关系。
在教学中，我们可以通过讲解数学公式的含义和使用方法，帮助学生理解函数的抽象概念，并进行相关的练习和作业。
二、图表表示。
图表表示是另一种直观的函数表示方法。
通过绘制函数的图表，我们可以直观地看到输入和输出之间的关系。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，我们可以通过绘制正弦曲线来展示函数的周期性和波动特性。
在教学中，我们可以引导学生观察和分析图表，帮助他们理解函数的变化规律和特点，并进行相关的练习和实验。
三、程序代码表示。
在计算机科学中，函数通常通过程序代码来表示和实现。
程序代码表示方法将函数的计算过程具体化，使得函数可以被计算机执行和应用。
例如，对于函数f(x) = 2x + 1，我们可以用Python代码来实现这个函数，并通过输入不同的x值来得到相应的输出结果。
在教学中，我们可以通过编程实践来教授函数的程序代码表示方法，帮助学生理解函数的实际运用和计算机实现。
综上所述，函数的三种表示方法分别是数学公式表示、图表表示和程序代码表示。
通过这些表示方法，我们可以全面地理解和应用函数的概念和特性。
在教学中，我们可以结合具体的例子和练习，帮助学生掌握这些表示方法，并培养他们的函数思维和计算能力。
希望本教案能够对函数的教学和学习有所帮助。
函数的表示方法教案
3.1.2函数的表示方法【教学目标】1. 了解函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．2. 已知函数解析式会用描点法作简单函数的图象．3. 培养学生数形结合、分类讨论的数学思想方法，通过小组合作培养学生的协作能力．【教学重点】函数的三种表示方法；作函数图象．【教学难点】作函数图象．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组讨论教学法．本节课先借助一个实例，简要介绍函数的三种表示方法，进一步刻画函数概念；然后通过两个例题，使学生初步感知如何由解析式分析函数性质以指导画图，避免画图的盲目性．通过本节教学，使学生初步了解数形结合研究函数的方法，为下面学习函数的单调性和奇偶性做铺垫．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1．函数的定义是什么？2．你知道的函数表示方法有哪些呢？师：提出问题．生：回忆思考回答．为知识迁移做准备．新课1．函数的三种表示方法：(1) 解析法(2) 列表法(3) 图象法2．问题.由3.1.1节的问题中所给的函数解析式s＝100 t (0≤t≤2)作函数图象．解：列表(略)；画图学生阅读教材P62，了解函数的三种表示方法．师：函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图象．师：你知道画函数图象的步骤是什么吗？生：第一步：列表；第二步：描点；第三步：连线．师：在问题及解答过程中，我们分别用到了哪些函数的表示方法？生：解析法、列表法、图象法这一部分内容简单，可采用阅读思考等方式进行教学，充分利用教材资源发挥学生的主动性．培养学生勤于思考善于分析的意识和能新课3．针对上面的例子，思考并回答下列问题：(1) 在上例描点时，是怎样确定一个点的位置的？哪个变量作为点的横坐标？哪个变量作为点的纵坐标？(2) 函数的定义域是什么？(3) s的值能大于200吗？能是负值吗？为什么？函数的值域是什么？(4) 距离s 随行驶时间t 的增大有怎样的变化？4．例1作函数y＝x3 的图象．解列表画图5．结合例1完成下列问题：(1) 函数y＝x3 的定义域、值域是什么？(2) 函数值y随x的增大有怎样的变化？(3) f(a)与f(－a)相等吗？有怎样的关系？(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图教师引导学生利用函数图象分析回答函数的性质．师：由上例可以看出，我们在列表、作图时，要认真分析函数，避免盲目列表计算．函数的图象有利于我们研究函数的性质，如本例中函数的定义域、值域以及y随x增大而增大等性质．教师引导学生分析：函数y＝x3 的定义域是R，当x＞0时，y＞0，这时函数的图象在第一象限，y 的值随着x 的值增大而增大；当x＜0时，y＜0，这时函数的图象在第三象限，y 的值随着x 的值减小而减小．教师引导学生完成列表、描点及连线，完成函数图象．师生合作完成例1，让学生体会取值前如何分析研究函数式的特点．学生分组讨论完成，从讨论中掌握分析函数性质的方法．力．本题的设置起到了承上启下的作用．为突破本节课难点而设计．问题(4)为下节引入函数的单调性做准备．让学生在作图过程中体会函数的性质，从做中学．尽可能把主动权交给学生，使学生在自主探索中发现问题解决问题．问题(3)(4)的设置是为引入函数的奇偶性作准备．新课形？6．例2作函数y＝1x2的图象．解列表画图7．结合例2解答下列问题：(1) 函数y＝1x2的定义域、值域是什么？(2) 在第一象限中，函数值y随x的增大有怎样的变化？在第二象限中呢？(3) f (a)与f (－a)相等吗？有怎样的关系？(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？学生小组合作分析课本例2如何取值．学生作出例2图象，教师针对出现的情况进行点评或让学生互评．教师强调自变量的取值，即{x | x≠0}．学生分组讨论完成，从讨论中掌握分析函数性质的方法．避免为作图象而作图象，让学生在画图的过程中学习．让学生进一步掌握分析函数性质的方法．并为下一步学习函数的单调性与奇偶性做准备．小结1. 函数的三种表示方法．2. 作函数图象．学生畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．作业教材P65 ，练习A组第3题；练习B 组第2题．巩固拓展．。
函数的三种表示方法教案
函数的三种表示方法教案函数是数学中非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在学习函数的表示方法时，我们通常会接触到三种不同的表示方法，分别是表格法、图像法和公式法。
本教案将针对这三种方法进行详细的介绍和示范。
一、表格法。
表格法是最直观的函数表示方法之一。
通过建立自变量和因变量之间的对应关系，我们可以将函数的取值用表格的形式清晰地展现出来。
比如，对于函数y = 2x + 1，我们可以列出x的取值和相应的y的取值，然后将其整理成表格的形式。
这样，我们就可以清晰地看到x和y之间的对应关系，从而更好地理解函数的性质。
二、图像法。
图像法是通过绘制函数的图像来表示函数的方法。
通过将函数表示在坐标系中，我们可以直观地看到函数的增减性、奇偶性、周期性等特点。
同时，图像法也可以帮助我们更好地理解函数与几何图形之间的关系，比如直线函数对应着一条直线，二次函数对应着抛物线等。
因此，通过图像法，我们可以更深入地理解函数的几何意义。
三、公式法。
公式法是最常用的函数表示方法之一。
通过用代数符号和运算符号构成的公式来表示函数，我们可以简洁地表达函数的性质和特点。
比如，对于函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表抛物线的开口方向、顶点坐标等特征。
通过公式法，我们可以直接得到函数的一些重要性质，比如导数、极值、零点等，从而更好地分析函数的性态。
综合运用。
在学习函数的表示方法时，我们需要综合运用表格法、图像法和公式法。
通过表格法，我们可以直观地看到函数值的对应关系；通过图像法，我们可以直观地看到函数的几何特征；通过公式法，我们可以简洁地表达函数的性质。
综合运用这三种方法，可以帮助我们更全面地理解函数的性质和特点。
结语。
通过本教案的学习，相信大家对函数的三种表示方法有了更深入的了解。
在学习函数时，我们要灵活运用这三种方法，从不同的角度去理解函数的性质和特点。
同时，我们也要注重实际问题与函数的联系，通过函数的表示方法去解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。
人教初中数学八下 19.1.2 函数的图象教案3 【经典教学设计合编】
一、情境引入问题仓库里现有1000t 粮食，每天运进80t ，x(天)后仓库里一共有粮食y （t ） 1、y 与x 之间的关系式?2、说明y 随x 的变化情况吗？3、还有什么方法可描述它们的变化情况呢？4、怎样用描点法画出它的图象呢？ 二、探究新知1、怎样画出y=x +0.5的图象问题：点(-2，-1.5)是否在函数图象上？ 2、生独立完成画出)0(6>=x xy 的图象的过程 问题 ：点(2，6)是否在函数图象上？3、总结出画函数图像的步骤及其具体操作过程第一步 列表 表中给出一些自变量的值及其对应函数值第二步 描点 在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
第三步 连线 按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来4、观察 y=x +0.5与)0(6>=x xy 的图象，两个函数图象由左到右的变化规律是什么？ y 是如何随 x 的变化而变化的？三、课堂训练1、如图是古代计时器----“漏壶”的示意图在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间。
用x 表示时间，y 表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时间内y 与x 的函数关系？2、如图所示的曲线，哪个表示y 是x 的函数（ ）yx yxyxyxBADC一、情境引入问题仓库里现有1000t 粮食，每天运进80t ，x(天)后仓库里一共有粮食y （t ） 1、y 与x 之间的关系式?2、说明y 随x 的变化情况吗？3、还有什么方法可描述它们的变化情况呢？4、怎样用描点法画出它的图象呢？ 二、探究新知1、怎样画出y=x +0.5的图象问题：点(-2，-1.5)是否在函数图象上？ 2、生独立完成画出)0(6>=x xy 的图象的过程 问题 ：点(2，6)是否在函数图象上？3、总结出画函数图像的步骤及其具体操作过程第一步 列表 表中给出一些自变量的值及其对应函数值第二步 描点 在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
函数的表示法(第三课时)教案
1.2.2 函数的表示法(第三课时)一、教材分析：二、学习目标：①了解映射的概念及表示方法;②会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射;③感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.三、教学重点：通过具体实例，了解简单的分段函数.四、教学难点：了解简单的分段函数,并能简单应用．五、课时安排：1课时六、教学过程1、（一）、合作学习（课堂导入）1、设计问题,创设情境前面学习了函数的概念:一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一的数和它对应.(1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应.(2)班级里的每一位同学在教室都有唯一的坐位与之对应.(3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应.那么这些对应又有什么特点呢?2、自主探索,尝试解决问题1:①给出以下对应关系:这三个对应关系有什么共同特点?②像问题①中的对应我们称为映射,请给出映射的定义.③“都有唯一”是什么意思?④函数与映射有什么关系?3、信息交流,揭示规律分组讨论归纳的结论:（老师对学生得出的结论进行点评和指正，并一起归纳概括得出结论）①集合A,B均为非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.②一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A 到集合B的一个映射.记作“f:A→B”.③包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是一对一或多对一.④函数是特殊的映射,映射是函数的推广.（二）、当堂检测1、课本P23练习3；2、下列哪些对应是从集合A到集合B的映射?(1)A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;(2)A={P|P是平面直角坐标系中的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;(3)A={三角形},B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;(4)A={x|x是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.解:(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;(4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映射的定义.3、下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么?(1)A=R,B={x∈R|x≥0},对应法则是“求平方”;(2)A=R,B={x∈R|x>0},对应法则是“求平方”;(3)A={x∈R|x>0},B=R,对应法则是“求平方根”;(4)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”.解:(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应.(2)不是从集合A到集合B的映射,因为A中的元素0,在集合B中没有对应的元素.(3)不是从集合A到集合B的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应.(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中都有无穷多个元素与之对应.点评:本题主要考查映射的概念.给定两集合A,B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B的对应有“多对一”“一对一”“一对多”,前两种对应是A到B的映射,而后一种不是A到B的映射.4、变式演练,深化提高（1）设映射f:x→-x2+2x是实数集R=M到实数集R=N的映射,若对于实数p∈N,在M中不存在原象,则实数p的取值范围是()A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1](1).解析:方法一:由于集合M,N都是数集,则映射f:x→-x2+2x就是函数f(x)=-x2+2x,其定义域是M=R,则有值域Q={y|y≤1}⊆N=R.对于实数p∈N,在M中不存在原象,则实数p的取值范围是∁N Q=∁R Q={y|y>1},即p的取值范围是(1,+∞);方法二:当p=0时,方程-x2+2x=0有解x=0,2,即在M中存在原象0和2,则p=0不合题意,排除C,D两项;当p=1时,方程-x2+2x=1有解x=1,即在M中存在原象1,则p=1不合题意,排除B项.答案:A点评:本题主要考查映射的概念和函数的值域,以及综合应用知识解决问题的能力.解决本题的关键是转化思想的应用.把映射问题转化为函数的值域问题,进一步转化为求函数的值域在实数集中的补集.其转化的依据是对映射概念的理解以及对函数与映射关系的把握程度.(2）设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下表(从上到下):则与f[g(1)]相同的是()A.g[f(1)]B.g[f(2)]C.g[f(3)]D.g[f(4)](2).解析:f(a)表示在对应法则f下a对应的象,g(a)表示在对应法则g下a对应的象.由表1和表2,得f[g(1)]=f(4)=1,g[f(1)]=g(3)=1,g[f(2)]=g(4)=2,g[f(3)]=g(2)=3,g[f(4)]=g(1)=4,则有f[g(1)]=g[f(1)]=1,故选A.答案:A(3)设集合A={a,b,c},集合B=R,以下对应关系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是()A.对集合A中的数开平方B.对集合A中的数取倒数C.对集合A中的数取算术平方根D.对集合A中的数立方(3).解析:当a<0时,对a开平方或取算术平方根均无意义,则A,C两项错;当a=0时,对a取倒数无意义,则B项错;由于对任何实数都能立方,并且其立方仅有一个,所以对集合A中的数立方能建立映射,故选D项.答案:D（三）、课堂小结请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容?师生共同归纳本节主要内容.七．课外作业必做:课本P23练习1、4题.选做:已知下列集合A到B的对应,请判断哪些是A到B的映射?并说明理由.(1)A=N,B=Z,对应法则:“取相反数”;(2)A={-1,0,2},B={-1,0,},对应法则:“取倒数”;(3)A={1,2,3,4,5},B=R,对应法则:“求平方根”;(4)A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},对应法则f:a→b=(a-1)2;(5)A=N*,B={0,1},对应法则:除以2所得的余数.八、教学反思：。
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
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第2课时函数的三种表示方法
【知识与技能】
运用丰富的实例帮助学生全面理解函数的三种表示方法.
【过程与方法】
通过观察作图，交流，使学生加深对函数三种表示方法的认识，提高把实际问题转化为数学问题的能力.
【情感态度】
让学生通过实际操作，体会函数表示方法在实际生活中的应用价值，以激发学生对数学的学习兴趣.
【教学重点】
函数三种表示方法及其应用.
【教学难点】
函数三种表示方法的应用.
一、情境导入，初步认识
问题倾斜木板，将小车置于木板顶端，观察小车下滑过程.小车沿斜坡下滑，下滑速度与其下滑时间的关系如图所示.
（1）填写下表：
（2）写出v与t之间的关系式.
【教学说明】教学时，实际演示实验供学生观察，再引导学生阅读图象，从中找出隐含的信息，比如：由图知，小车的速度在2s时间内由0增加到5m/s，表明平均每秒增加2.5m/s.进而推出这个活动过程中包含的函数关系为：v=2.5t.
二、思考探究，获取新知
问题1 请交流列表格、写解析式、画图象三种表示函数关系的方法各有什么优点？小组活动，个人独立思考后小组内交流并作汇总，于课堂上向全班师生汇报.教师引导全班探讨交流，最后总结.
列表法直接给出部分函数值，解析式法明显地表示对应规律，图象法明显地表示趋势.
【教学说明】表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，为了全面地认识问题，有时需要几种方法同时运用.
问题2 一个水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时
的水位高度.
（1）由记录表推出5小时中水位高度y（单位：米）随时间t（单位：时）变化的函数解析式，并画在函数图象上.
（2）据估计这种上涨情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？
【分析】记录表已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系，现在需要从这些数值找出两个变量之间的一般联系规律，并由此写出函数解析式，再画出图象，预测出水位的结果.
解：（1）由表可知，开始水位高10米，以后每隔1小时，水位就升高0.05米，这样的规律可以表示为y=0.05t+10（0≤t≤7），其图象如图.
（2）再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=0.05t+10的函数值，故有y=0.05×7+10=10.35，也可利用函数图象估计出这个值.
【教学说明】（2）的预测是建立在未来2小时水位上升规律不改变的假设之上的，根据问题的数据及对未来的假设有0≤t≤7，故画出的函数图象是线段，其左右端点的横坐标分别为0和
7.
三、典例精析，掌握新知
例1 如图是某观水站8月上旬记录的水位图，看图回答：
（1）8月5日的水位是多少米？8月10日呢？
（2）在这10天中，哪一天的水位最高？最高水位是多少？哪一天的水位最低？最低水位是多少？
（3）这10天中的水位差（最高水位-最低水位）是多少？从最低水位到最高水位经过几天？最高水位保持了几天？
（4）这10天中，有哪几天的水位在上升？有哪几天的水位在下降？有没有水位保持不变的？
（5）从图象中，你还能了解哪些信息？能试着分析水位变化的原因吗？
【分析】不同背景下的图象的上升、下降等变化所表示的实际意义并不相同，所以，要结合背景材料先分清一些词语的意义，如“水位差”等.
【答案】（1）由图可知，8月5日的水位是12m，8月10日的水位是10m；
（2）8月7日水位最高，为15.4m，8月3日水位最低，为8.8m；
（3）水位差=15.4-8.8=6.6（m），从最低水位到最高水位经过了4天，只有8月7日这一天水位最高，所以最高水位只保持了一天；
（4）8月1日至2日、4日至7日水位上升，其余几天水位均下降；
（5）4天的时间水位迅速攀升至15.4m，说明这几天水的注入量很大，而在8月7日以后水位下降，说明可能是排水，我国8月份的降雨量一般比较大，这有可能是在一次洪峰经过该观水站时几天里的水位情况.
【教学说明】从图象中发掘信息的前提是分辨出图象中横轴、纵轴所表示的意义.同时，因观察者的切入点不同，获取的信息可能会不一样.
例2 某城市为了节约用水，采用分段收费标准.若用户居民的每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间关系的图象如图所示，根据图象回答：
（1）当每户月用水量不足5吨时，每吨收费多少元？当每户使用超过5吨时，
每吨收费多少元？
（2）若某户居民每月用3.5吨水，则应交水费多少元？若某月交了水费17元，
则该户居民用了多少吨水？
【分析】（1）观察图象可以发现，当用水量为5吨时，刚好交水费10元，所以当用水量不足
5吨时，每吨交费10
2
5
=（元），而当用水量达到8吨时，交水费20.5元，所以超过5吨的部分交
水费20.5-10=10.5（元），故超过5吨的部分每吨交水费10.5
3.5
85
=
-
（元）.
（2）由（1）可知，用3.5吨水应交3.5×2=7（元），交17元水费，可用水
1752
57
3.5
-⨯
+=（吨）.
【教学说明】本题的图象变化趋势分为两段，前一段是平稳上升，它表明x在0~5间是平均收费，而后一段上升较快，则可知每吨水收费有所提高.
四、师生互动，课堂小结
回顾、交流对函数三种表示方法的认识.
1.布置作业：从教材“习题19.1”中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
本课教学重在培养学生掌握基本的数学思想，以不同问题的解答引导学生积极参与探索、发现、讨论并形成解决问题的能力，教师引导学生从“练”中“悟”，形成函数意识和自主解题能力.。