江苏省常州市2019年中考数学真题试题(含解析)
江苏常州市中考数学试题及答案
2019江苏常州市中考数学试题及答案2019年江苏常州市初中毕业暨升学统一考试数学试卷注意事项：1、全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。
2、答卷前将密封线内的项目填写清楚，并将座位号填写在试卷规定的位置上。
3、用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔将答案直接填写在试卷上。
4、考生在答题过程中，可以使用CZ1206、HY82型函数计算器，若试题计算结果没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号和π）。
一、填空题（本大题每个空格1分，共18分，把答案填写在题中横线上）1．3的相反数是，的绝对值是，9的平方根是。
2．在函数中，自变量的取值范围是；若分式的值为零，则。
3．若的补角是120°，则＝°，。
4．某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环）如下：8，6，10，7，9，则这五次射击的平均成绩是环，中位数环，方差是环。
5．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形的弧长是，扇形的面积是。
6．已知反比例函数的图像经过点（1，），则这个函数的表达式是。
当x时，的值随自变量值的增大而（填“增大”或“减小”）7、如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上的一点，DF平分CE于点G，，则，△ADE与△ABC的周长之比为，△CFG与△BFD的面积之比为。
8．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米。
二、选择题（下列各题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中有且只有一个是正确的，把正确答案的代号填在题后括号内，每小题2分，共18分）9．下列计算正确的是( )A．B．C．D．10．如图，已知⊙O的半径为5，弦，则圆心O到AB的距离是( ) A．1 B．2 C．3 D．411．小刘同学用10元钱买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元，设1元的贺卡为张，2元的贺卡为张，那么、所适合的一个方程组是( )A．B．C．D．12．刘翔为了备战2019年奥运会，刻苦进行110米跨栏训练，为判断他的成绩是否稳定，教练对他10次训练的成绩进行统计分析，则教练需了解刘翔这10次成绩的( )A．众数B．方差C．平均数D．频数13、图1表示正六棱柱形状的高大建筑物，图2中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域，小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在( )A．P区域B．Q区域C．M区域D．N区域14、下列左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为( )15．锐角三角形的三个内角是∠A、∠B、∠C，如果，，，那么、、这三个角中( )A．没有锐角B．有1个锐角C．有2个锐角D．有3个锐角16、如果，那么下列关系式中正确的是( )A．B．C．D．17．已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2的速度沿图1的边线运动，运动路径为：GàCàDàEàFàH，相应的△ABP的面积关于运动时间的函数图像如图2，若，则下列四个结论中正确的个数有（）①图1中的BC长是8 ②图2中的M点表示第4秒时的值为24③图1中的CD长是4 ④图2中的N点表示第12秒时的值为18 A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题共2小题，共20分，解答应写出演算步骤）18．（本小题满分10分）计算或化简：（1）（2）19．（本小题满分10分）解方程或解不等式组：（1）（2）四、解答题（本大题共2小题，共12分，解答应写出证明过程）20．（本小题满分5分）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交与点O，AB∥CD，，求证：四边形ABCD是平行四边形。
2019年江苏省常州市中考数学真题--含解析-
2019年江苏省常州市中考试题解析（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8题，每小题2分，共16分）1．（2019江苏常州，1，2分）﹣3的相反数是（）A．13B．−13C．3 D．﹣3【答案】C【解析】解：（﹣3）+3＝0．故选：C．【知识点】相反数2.（2019江苏常州，2，2分）若代数式x+1x−3有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠3【答案】D【解析】解：∵代数式x+1x−3有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3．故选：D．【知识点】分式有意义的条件3.（2019江苏常州，3，2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球【答案】A【解析】解：该几何体是圆柱．故选：A．【知识点】由三视图判断几何体4.（2019江苏常州，4，2分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD【答案】B【解析】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选：B．【知识点】垂线段最短5.（2019江苏常州，5，2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【答案】B【解析】解：∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：2．故选：B．【知识点】相似三角形的性质6.（2019江苏常州，6，2分）下列各数中与2+√3的积是有理数的是（）A．2+√3B．2 C．√3D．2−√3【答案】D【解析】解：∵（2+√3）（2−√3）＝4﹣3＝1，故选：D．【知识点】分母有理化7.（2019江苏常州，7，2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2 B．−12C．0 D．12【答案】A【解析】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．【知识点】命题与定理8.（2019江苏常州，8，2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t 的函数关系大致是（）【答案】B【解析】解：当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B．【知识点】函数的图象；极差二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9.（2019江苏常州，9，2分）计算：a3÷a＝．【答案】a2【解析】解：a3÷a＝a2．故答案为：a2．【知识点】同底数幂的除法10.（2019江苏常州，10，2分） 4的算术平方根是．【答案】2【解析】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．【知识点】算术平方根11.（2019江苏常州，11，2分）分解因式：ax2﹣4a＝．【答案】a（x+2）（x﹣2）【解析】解：ax2﹣4a＝a（x2﹣4）＝a（x+2）（x﹣2）．【知识点】提公因式法与公式法的综合运用12.（2019江苏常州，12，2分）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于°．【答案】55【解析】解：∵∠α＝35°，∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°故答案为：55．【知识点】余角和补角13.（2019江苏常州，13，2分）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是．【答案】5【解析】解：∵a ﹣b ﹣2＝0，∴a ﹣b ＝2，∴1+2a ﹣2b ＝1+2（a ﹣b ）＝1+4＝5；故答案为5．【知识点】代数式求值14. （2019江苏常州，14，2分）平面直角坐标系中，点P （﹣3，4）到原点的距离是 ．【答案】5【解析】解：作PA ⊥x 轴于A ，则PA ＝4，OA ＝3．则根据勾股定理，得OP ＝5．故答案为5．【知识点】坐标与图形性质；勾股定理15. （2019江苏常州，15，2分）若{x =1，y =2是关于x 、y 的二元一次方程ax +y ＝3的解，则a ＝ ．【答案】1【解析】解：把{x =1y =2代入二元一次方程ax +y ＝3中， a +2＝3，解得a ＝1．故答案是：1．【知识点】二元一次方程的解16.（2019江苏常州，16，2分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠AOC ＝120°，则∠CDB ＝ °．【答案】30【解析】解：∵∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB =12∠BOC ＝30°．故答案为30．【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理17. （2019江苏常州，17，2分）如图，半径为√3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则tan ∠OCB ＝ ．【答案】√35【解析】解：连接OB，作OD⊥BC于D，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∴∠OBC＝∠OBA=12∠ABC＝30°，∴tan∠OBC=ODBD，∴BD=ODtan30°=√3√33=3，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∴tan∠OCB=ODCD =√35．故答案为√35．【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形18.（2019江苏常州，18，2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3√10，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN ＝．【答案】6【解析】解：作PF⊥MN于F，如图所示：则∠PFM＝∠PFN＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，BC ＝AD ＝3AB ＝3√10，∠A ＝∠C ＝90°，∴AB ＝CD =√10，BD =√AB 2+AD 2=10，∵点P 是AD 的中点，∴PD =12AD =3√102， ∵∠PDF ＝∠BDA ，∴△PDF ∽△BDA ，∴PF AB =PD BD ，即PF √10=3√10210， 解得：PF =32，∵CE ＝2BE ，∴BC ＝AD ＝3BE ，∴BE ＝CD ，∴CE ＝2CD ，∵△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，PF ⊥MN ，∴MF ＝NF ，∠PNF ＝∠DEC ，∵∠PFN ＝∠C ＝90°，∴△PNF ∽△DEC ，∴NF PF =CECD =2，∴NF ＝2PF ＝3，∴MN ＝2NF ＝6；故答案为：6．【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理三、解答题（本大题共10小题，满分84分，各小题都必须写出解答过程）19.（2019江苏常州，19，8分）计算：（1）π0+（12）﹣1﹣（√3）2；（2）（x ﹣1）（x +1）﹣x （x ﹣1）．【思路分析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可；【解题过程】解：（1）π0+（12）﹣1﹣（√3）2＝1+2﹣3＝0；（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）＝x2﹣1﹣x2+x＝x﹣1；【知识点】实数的运算；整式的运算；零指数幂；负指数幂；多项式乘以多项式（单项式）的运算法则20.（2019江苏常州，20，6分）解不等式组{x+1＞0，3x−8≤−x，并把解集在数轴上表示出来．【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解题过程】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，解不等式3x﹣8≤﹣x，得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：【知识点】解一元一次不等式组21.（2019江苏常州，21，8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．【思路分析】（1）根据AD＝C'B，ED＝EB，即可得到AE＝C'E，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'＝∠EC'A＝∠EBD＝∠EDB，进而得出AC'∥BD；（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB＝∠EBD，进而得出BE＝DE．【解题过程】解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）22.（2019江苏常州，22，8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是，这组数据的众数为元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．【思路分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果；（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．【解题过程】解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元；故答案为：30，10；=12（元）；（2）这组数据的平均数为6×5+11×10+8×15+5×2030（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；算术平均数；众数23.（2019江苏常州，23，8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）【思路分析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．【解题过程】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23；故答案为：23；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为26=13．【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案；概率公式；列表法与树状图法24.（2019江苏常州，24，8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？【思路分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可．【解题过程】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，由题意得：180x =12030−x，解得：x＝18，经检验：x＝18是原分式方程的解，则30﹣18＝12（个）．答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．【知识点】分式方程的应用25.（2019江苏常州，25，8分）如图，在▱OABC中，OA＝2√2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比例函数y=k（x＞0）的图象经过点A、D．x（1）求k的值；（2）求点D的坐标．【思路分析】（1）根据已知条件求出A点坐标即可；（2）四边形OABC是平行四边形OABC，则有AB⊥x轴，可知B的横纵标为2，D点的横坐标为1，结合解析式即可求解；【解题过程】解：（1）∵OA＝2√2，∠AOC＝45°，∴A（2，2），∴k＝4，；∴y=4x（2）四边形OABC是平行四边形OABC，∴AB⊥x轴，∴B的横纵标为2，∵点D是BC的中点，∴D点的横坐标为1，∴D（1，4）；【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的图象；平行四边形的性质26.（2019江苏常州，26，10分）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝；【运用】（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以（m +n ）个点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形．当n ＝3，m ＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y ＝7．①当n ＝4，m ＝2时，如图4，y ＝ ；当n ＝5，m ＝ 时，y ＝9；②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳猜想，可得y ＝ （用含m 、n 的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．【思路分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．（2）由图可知n 行n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为n 2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n ﹣1．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论．【解题过程】解：（1）有三个Rt △其面积分别为ab ，12ab 和12c 2．直角梯形的面积为12（a +b ）（a +b ）．由图形可知：12（a +b ）（a +b ）=12ab +12ab +12c 2整理得（a +b ）2＝2ab +c 2，a 2+b 2+2ab ＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2．故结论为：直角长分别为a 、b 斜边为c 的直角三角形中a 2+b 2＝c 2．（2）n 行n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为n 2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n ﹣1． 由图形可知：n 2＝1+3+5+7+…+2n ﹣1．故答案为1+3+5+7+…+2n ﹣1．（3）①如图4，当n ＝4，m ＝2时，y ＝6，如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．②方法1．对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y＝n+2（m﹣1）．方法2．以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成3+2（m ﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成n+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得y＝n+2（m﹣1）．故答案为：①6，3；②n+2（m﹣1）．【知识点】图形的变化规律27.（2019江苏常州，27，10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S ，求点P的坐标．△QRB【思路分析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值．（2）求点B、C、D坐标，求直线BC、BD解析式．设点P横坐标为t，则能用t表示点P、M、N、H 的坐标，进而用含t 的式子表示PM 、MN 、NH 的长．以PM ＝MN 为等量关系列得关于t 的方程，求得t 的值合理（满足P 在第一象限），故存在满足条件的点P ，且求得点P 坐标．（3）过点P 作PF ⊥x 轴于F ，交直线BD 于E ，根据同角的余角相等易证∠EPQ ＝∠OBD ，所以cos ∠EPQ ＝cos ∠OBD =2√55，即在Rt △PQE 中，cos ∠EPQ =PQ PE =2√55；在Rt △PFR 中，cos ∠RPF =PF PR =2√55，进而得PQ =2√55PE ，PR =√52PF ．设点P 横坐标为t ，可用t 表示PE 、PF ，即得到用t 表示PQ 、PR ．又由S △PQB ＝2S △QRB 易得PQ ＝2QR ．要对点P 位置进行分类讨论得到PQ 与PR 的关系，即列得关于t 的方程．求得t 的值要注意是否符合各种情况下t 的取值范围．【解题过程】解：（1）∵二次函数y ＝﹣x 2+bx +3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）∴﹣1﹣b +3＝解得：b ＝2故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点P ，使得PM ＝MN ＝NH ．∵二次函数解析式为y ＝﹣x 2+2x +3当x ＝0时y ＝3，∴C （0，3）当y ＝0时，﹣x 2+2x +3＝0解得：x 1＝﹣1，x 2＝3∴A （﹣1，0），B （3，0）∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3∵点D 为OC 的中点，∴D （0，32）∴直线BD 的解析式为y =−12x +32，设P （t ，﹣t 2+2t +3）（0＜t ＜3），则M （t ，﹣t +3），N （t ，−12t +32），H （t ，0）∴PM ＝﹣t 2+2t +3﹣（﹣t +3）＝﹣t 2+3t ，MN ＝﹣t +3﹣（−12x +32）=−12t +32，NH =−12t +32 ∴MN ＝NH∵PM ＝MN∴﹣t 2+3t =−12t +32解得：t 1=12，t 2＝3（舍去）∴P （12，154）∴P 的坐标为（12，154），使得PM ＝MN ＝NH ．（3）过点P 作PF ⊥x 轴于F ，交直线BD 于E∵OB ＝3，OD =32，∠BOD ＝90°∴BD =√OB 2+OD 2=3√52 ∴cos ∠OBD =OB BD =33√52=2√55∵PQ ⊥BD 于点Q ，PF ⊥x 轴于点F∴∠PQE ＝∠BQR ＝∠PFR ＝90°∴∠PRF +∠OBD ＝∠PRF +∠EPQ ＝90°∴∠EPQ ＝∠OBD ，即cos ∠EPQ ＝cos ∠OBD =2√55 在Rt △PQE 中，cos ∠EPQ =PQ PE =2√55 ∴PQ =2√55PE 在Rt △PFR 中，cos ∠RPF =PF PR =2√55 ∴PR =PF2√55=√52PF ∵S △PQB ＝2S △QRB ，S △PQB =12BQ •PQ ，S △QRB =12BQ •QR∴PQ ＝2QR设直线BD 与抛物线交于点G∵−12x +32=−x 2+2x +3，解得：x 1＝3（即点B 横坐标），x 2=−12∴点G 横坐标为−12设P （t ，﹣t 2+2t +3）（t ＜3），则E （t ，−12t +32）∴PF ＝|﹣t 2+2t +3|，PE ＝|﹣t 2+2t +3﹣（−12t +32）|＝|﹣t 2+52t +32|①若−12＜t ＜3，则点P 在直线BD 上方，如图2，∴PF ＝﹣t 2+2t +3，PE ＝﹣t 2+52t +32∵PQ ＝2QR∴PQ =23PR∴2√55PE =23•√52PF ，即6PE ＝5PF ∴6（﹣t 2+52t +32）＝5（﹣t 2+2t +3）解得：t 1＝2，t 2＝3（舍去）∴P （2，3）②若﹣1＜t ＜−12，则点P 在x 轴上方、直线BD 下方，如图3，此时，PQ ＜QR ，即S △PQB ＝2S △QRB 不成立．③若t ＜﹣1，则点P 在x 轴下方，如图4，∴PF ＝﹣（﹣t 2+2t +3）＝t 2﹣2t ﹣3，PE =−12t +32−（﹣t 2+2t +3）＝t 2−52t −32∵PQ ＝2QR∴PQ ＝2PR∴2√55PE ＝2•√52PF ，即2PE ＝5PF ∴2（t 2−52t −32）＝5（t 2﹣2t ﹣3）解得：t 1=−43，t 2＝3（舍去）∴P （−43，−139）综上所述，点P 坐标为（2，3）或（−43，−139）．【知识点】二次函数的图象与性质；一次函数的图象与性质；解一元二次方程；同角的余角相等；三角函数的应用28. （2019江苏常州，28，10分）已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆： ；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，0）、B （1，0），C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d ．①若d ＝2，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C 在⊙M 上运动，⊙M 的半径为1，圆心M 在过点（0，2）且与y 轴垂直的直线上．对于⊙M 上任意点C ，都有5≤d ≤8，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围．【思路分析】（1）①平面图形S 的“宽距”的定义即可解决问题．②如图1，正方形ABCD 的边长为2，设半圆的圆心为O ，点P 是⊙O 上一点，连接OP ，PC ，OC ．求出PC 的最大值即可解决问题．（2）①如图2﹣1中，点C 所在的区域是图中正方形AEBF ，面积为2．②如图2﹣2中，当点M 在y 轴的右侧时，连接AM ，作MT ⊥x 轴于T ．求出d ＝5或8时，点M 的坐标，即可判断，再根据对称性求出点M 在y 轴左侧的情形即可．【解题过程】解：（1）①半径为1的圆的宽距离为1，故答案为1．②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt△ODC中，OC=√CD2+OD2=√12+22=√5∴OP+OC≥PC，∴PC≤1+√5，∴这个“窗户形“的宽距为1+√5．故答案为1+√5．（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，∴当d＝5时．AM＝4，∴AT=√AM2−MT2=2√3，此时M（2√3−1，2），当d＝8时．AM＝7，∴AT=√82−22=2√15，此时M（2√15−1，2），∴满足条件的点M的横坐标的范围为2√3−1≤x≤2√15−1．当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2√15+1≤x﹣2√3+1．【知识点】圆综合题；平面图形S的“宽距”的定义；正方形的判定和性质；三角形的三边关系。
江苏省常州市2019年中考数学试题含答案解析
常州市2019年中考数学试题一、选择题（每小题2分，共16分） 1．－3的绝对值是A ．3B ．－3C ．31D ．－312．要使分式23x 有意义，则x 的取值范围是 A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≠－2 D ．x ≠23．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B ＝40°，则∠ECD 的度数是E DCA BA ．70°B ．60°C ．50°D ．40°5．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列说法一定正确的是ODBCAA ．AO ＝ODB ．AO ⊥ODC ．AO ＝OCD ．AO ⊥AB6．已知a ＝22，b ＝33，c ＝55，则下列大小关系正确的是A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b7．已知二次函数y ＝2x ＋（m －1）x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是A ．m ＝－1B ．m ＝3C ．m ≤－1D ．m ≥－18．将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是AA ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．3316cm 2 D ．16cm 2二、填空题（每小题2分，共20分） 9．计算12)1(-+-π＝_________．10．太阳的半径约为696000km ，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________．11．分解因式：2222y x -＝____________________________．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________．13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB ＝1：2，DE ＝2，则BC 的长是______．EDBCA14．已知x ＝2是关于x 的方程a x a 21)1(=+＋x 的解，则a 的值是______________．15．二次函数y ＝－2x ＋2x －3图像的顶点坐标是____________．16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是_______________．y （单位：m ）（单位：m ）Ox300400CBA17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2； 12＝5＋7；6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7；8＝3＋5；16＝3＋13＝5＋11；10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11；…通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）．18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC 的长是_______________．C OBAD三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：)2()1(2x x x --+，其中x ＝2．20．（8分）解方程和不等式组： ⑴x x x 311213--=-； ⑵⎩⎨⎧->->+.521,042x x21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图； ⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．1.5小时 24％1小时0.5小时 20％2小时时间/小时人数2小时1.5小时20018016014012010080601小时400200.5小时22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序． ⑴求甲第一个出场的概率； ⑵求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在□ABCD 中，∠BCD ＝120°，分别延长DC 、BC 到点E ，F ，使得△BCE 和△CDF都是正三角形． ⑴求证：AE ＝AF ； ⑵求∠EAF 的度数．ABDFEC24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m 元，3公里后按n 元/公里计费．光明中学市图书馆光明电影院2公里5公里⑴求m ，n 的值，并直接写出车费y （元）与路程x （公里）（x ＞3）之间的函数关系式；⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°．⑴若AD＝2，求AB；⑵若AB＋CD＝23＋2，求AB．CDA B26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”． ⑴阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．理由：连接AH ，EH ．∵ AE 为直径 ∴ ∠AHE ＝90° ∴ ∠HAE ＋∠HEA ＝90°． ∵ DH ⊥AE ∴ ∠ADH ＝∠EDH ＝90° ∴ ∠HAD ＋∠AHD ＝90°∴ ∠AHD ＝∠HED ∴ △ADH ∽_____________． ∴DEDH DH AD，即2DH ＝AD ×DE ． 又∵ DE ＝DC ∴ 2DH ＝____________，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．FHBE D ACD⑵操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与□ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．⑶解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．⑷拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n－1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．AC BADC B27．（10分）如图，一次函数y ＝－x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合． ⑴写出点A 的坐标；⑵当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．⑶若点M 在直线l 上，且∠POM ＝90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是1S 、2S ，求2111S S 的值．l yxO BQ A P28．（10分）如图，反比例函数y ＝x k 的图像与一次函数y ＝41x 的图像交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB 的上方．⑴若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△PAB 的面积；⑵设直线PA 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；⑶设点Q 是反比例函数图像上位于P 、B 之间的动点（与点P 、y xOA B PB不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．。
2019年江苏省常州市中考数学试题(原卷+解析)
2019年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣3的相反数是（）A．B．C．3D．﹣3【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．【解答】解：（﹣3）+3＝0．故选：C．2．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠3【分析】分式有意义的条件是分母不为0．【解答】解：∵代数式有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3．故选：D．3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥．【解答】解：该几何体是圆柱．故选：A．4．（2分）如图，在线段P A、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段P A B．线段PB C．线段PC D．线段PD【分析】由垂线段最短可解．【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选：B．5．（2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：2．故选：B．6．（2分）下列各数中与2+的积是有理数的是（）A．2+B．2C．D．2﹣【分析】利用平方差公式可知与2+的积是有理数的为2﹣；【解答】解：∵（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1；故选：D．7．（2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．﹣C．0D．【分析】反例中的n满足n＜1，使n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．8．（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．【分析】根据极差的定义，分别从t＝0、0＜t≤10、10＜t≤20及20＜t≤24时，极差y2随t的变化而变化的情况，从而得出答案．【解答】解：当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
【中考真题】2019年江苏省常州市中考数学真题试卷(附答案)
_ …__ …__ …… __ __ __ … __ …级 …3B ． 13C ．-3D ．3x - 3 有意义，则实数x 的取值范围是（ __…… __名 …… ____ …… _:校 号 _ _ …… … … ○ … … … … 线 … … … …… … … ○ … … … … 线 … ……绝密★启用前2019 年江苏省常州市中考数学真题试卷（附答案 )注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题)一、单选题1．﹣3 的相反数是（ ）……○○_ … _…… ： … 订考 订… _ … _ … __ …： … ○ 班 ○ …_ … _…_… … ：装 姓 装 … _… _… … _… ○ 学… … … … … … … … 外 内 … … … … … … … … ○ ○ A ． -12．若代数式 x + 1）A ． x = -1B ． x = 3C ． x ≠ -1D ． x ≠ 33．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．圆柱B ．正方体C ．圆锥D ．球 4．如图，在线段 P A 、 PB 、 PC 、 PD 中，长度最小的是（ ）A ．线段 P AB ．线段 PBC ．线段 PCD ．线段 PD5．若 ∆ABC ～∆A 'B 'C ' ，相似比为1: 2 ，则 ∆ABC 与 ∆A 'B 'C ' 的周长的比为（ ）A ． 2 :1B ．1: 2C ． 4 :1D ．1: 46．下列各数中与 2 + 3 的积是有理数的是（ ）A ． 2 + 3B ． 2C ． 3D ． 2 - 37．判断命题“如果 n ＜1，那么 n 2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的 n 可以为（ ）A．﹣2B．﹣1D．1※…内订…※○※※…不……※※…※订※⎩y=22C．028．随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y12表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y与t的函数关系大致是（）2…………○…………线…………………○…………线………A．B．C．D．第II卷（非选择题)二、填空题9．计算：a3÷a=__________．10．4的算术平方根是．11．分解因式：ax2－4a＝．12．如果∠α=35°，那么∠α的余角等于__________°．13．如果a-b-2=0，那么代数式1+2a-2b的值是_____．14．平面直角坐标系中，点P(-3,4)到原点的距离是_____．……○○…※……题…※……答…订※…※…线……※……※…※○…装……※……在…※…装要装…※…※…请……※○○……………………内外………………⎧x=115．若⎨，是关于x、y的二元一次方程ax+y=3的解，则a=_____．……○○_ …__ …__ …… __ __ __ … __ …级 … __ …… __ 名 …… __ __ …… _:校 ⎪ - ( 3) ；（2） (x -1)(x +1)- x (x -1)． 19．计算：（1） π 0 +号 _ _ ⎧…… … … ○ … … … … 线 … … …… … … ○ … … … … 线 …… 16．如图， A B 是⊙ O 的直径，C 、D 是⊙ O 上的两点，∠AOC = 120︒ ，则 ∠CDB = _____ ︒ ．17．如图，半径为 3 的⊙ O 与边长为 8 的等边三角形 ABC 的两边 AB 、BC 都相切，…… … …○ ○ _ … _…… ： … 订考 订… _ … _ … __ …： … ○ 班 ○ … _ … _ …_ … …：装 姓 装 … _ … _ … … _…连接 OC ，则 tan ∠OCB = _____．18．如图，在矩形 ABCD 中，AD = 3 A B = 3 10 ，点 P 是 AD 的中点，点 E 在 BC 上，CE = 2BE ，点 M 、N 在线段 BD 上．若 ∆PMN 是等腰三角形且底角与 ∠DEC 相等，则 MN = _____．三、解答题⎛ 1 ⎫-1 2⎝ 2 ⎭○学… … … … 20．解不等式组 ⎨ x + 1 > 0, ⎩3x - 8 ≤ - x并把解集在数轴上表示出来．…… … … 外 内 … … … … … … … … ○ ○ 21．如图，把平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在点 C ' 处， B C ' 与 AD 相交于点 E ．※ …内 订… ※○ ※※ …不 …… ※25．如图，在 OABC 中，OA = 2 2 ， ∠AOC = 45︒ ，点C 在 y 轴上，点 D 是 BC 的 ※ …、 （※订※的结论．22．在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．………… ○ … … … … 线 … ………… … … ○ … … … … 线 … ……（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有 600 学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．23．将图中的 A 型（正方形） B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这 3 个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的 2 个盒子中摸出1个盒子，把摸出的 2 个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．不重叠无缝隙拼接）24．甲、乙两人每小时共做 30 个零件，甲做180 个零件所用的时间与乙做120 个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？Y中点，反比例函数 y = k (x > 0) 的图象经过点 A 、 Dx（1）求 k 的值；（2）求点 D 的坐标．… …○ ○… ※… … 题 … ※ …… 答 …订 ※… ※ …线 … … ※ …… ※ … ※ ○ … 装 …… ※… … 在… ※ …装 要 装… ※… ※ …请 … … ※○ ○… … … … … … … … 内 外 … … … … … … … … ○ ○_ …__ …__ …… __ __ __ … __ …级 … __…… __名 …… ____ …… _:校 号 _ _ …… … … ○ … … … … 线 … … … …… … … ○ … … … … 线 … ……两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．（理解）：（1）如图，两个边长分别为a 、b 、 c 的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；……○○_ … _…… ： … 订考 订… _ … _ … __ …： … ○ 班 ○ …_ … _…_… … ：装 姓 装 … _… _… … _… ○ 学… … … … … … … … 外 内 … … … … … … … … ○ ○（2）如图 2，n 行 n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： n 2 = ________；（运用）： 3）n 边形有 n 个顶点，在它的内部再画 m 个点，以（ m + n ）个点为顶点， 把 n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得 y 个这样的三角形．当 n = 3 ，m = 3 时，如图，最多可以剪得 7 个这样的三角形，所以 y = 7 ．①当 n = 4 ， m = 2 时，如图， y = ；当 n = 5 ， m = 时， y = 9 ；②对于一般的情形，在 n 边形内画 m 个点，通过归纳猜想，可得 y = （用含 m 、n 的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．27．已知平面图形 S ，点 P 、 Q 是 S 上任意两点，我们把线段 PQ 的长度的最大值称为平面图形 S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：________；,※…内订…※○※※…不……※※订※（2）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-1,0)、B(10)，C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．…………○…………线…………………○…………线………①若d=2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点(0,2)且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．……○○…※……题…※……答…订※…※…线……※……※…※○…装……※……在…※…装要装…※…※…请……※…○※○……………………内外……………………○○参考答案1．D【解析】【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3.故选D.【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键.2．D【解析】【分析】分式有意义的条件是分母不为0．【详解】Q代数式x+1x-3有意义，∴x-3≠0，∴x≠3故选：D．【点睛】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的条件．3．A【解析】【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆柱．【详解】该几何体是圆柱．故选：A．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．4．B【解析】【分析】由垂线段最短可解．【详解】由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选：B．【点睛】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．5．B【解析】【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【详解】Q∆ABC～∆A'B'C'，相似比为1:2，∴∆ABC与A'B'C'的周长的比为1:2．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．6．D【解析】【分析】利用平方差公式可知与2+3的积是有理数的为2-3；【详解】2Q(2 + 3 )( - 3 )= 4 - 3 = 1 ；故选：D ．【点睛】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．7．A【解析】【分析】反例中的 n 满足 n ＜1，使 n 2-1≥0，从而对各选项进行判断．【详解】解：当 n ＝﹣2 时，满足 n ＜1，但 n 2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果 n ＜1，那么 n 2﹣1＜0”是假命题， 举出 n ＝﹣2．故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8．B【解析】【分析】根据极差的定义，分别从 t = 0 、 0 < t ≤ 10 、10 < t ≤ 20 及 20 < t ≤ 24 时，极差 y 2 随 t 的变化而变化的情况，从而得出答案．【详解】当 t = 0 时，极差 y 2 = 85 - 85 = 0 ，当 0 < t ≤ 10 时，极差 y 2 随 t 的增大而增大，最大值为 43 ；当10 < t ≤ 20 时，极差 y 2 随 t 的增大保持 43 不变；当 20 < t ≤ 24 时，极差 y 2 随 t 的增大而增大，最大值为 98 ；故选：B ．【点睛】( )本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法．9． a 2 ．【解析】【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减【详解】解：原式＝ a 3-1 = a 2 ．故答案为 a 2．10．2． 【解析】试题分析：∵ 22 = 4 ，∴4 算术平方根为 2．故答案为 2．考点：算术平方根．11． 【解析】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式 a 后继续应用平方差公式分解即可：ax 2 - 4a = ax 2 - 4 = a (x + 2 )(x - 2 ) ．12．55 【解析】【分析】根据互为余角的两个角的和等于 90°列式计算即可得解．【详解】∵∠α=35°，∴∠α 的余角等于 90°﹣35°=55°，故答案为：55．【点睛】本题考查了余角，熟记互为余角的两个角的和等于 90°是解题的关键．13．5【解析】【分析】将所求式子化简后再将已知条件中a-b=2整体代入即可求值；【详解】Q a-b-2=0，∴a-b=2，1+2a-2b=1+2(a-b)=1+4=5；∴故答案为：5．【点睛】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．14．5【解析】【分析】作P A⊥x轴于A，则P A=4，OA=3，再根据勾股定理求解．【详解】作P A⊥x轴于A，则P A=4，OA=3．则根据勾股定理，得O P=5．故答案为：5．【点睛】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．15．1【解析】⎧ ∴ ∠CDB ＝ ∠BOC = 30︒ ．【分析】把 ⎨ x = 1 ⎩ y = 2代入二元一次方程 ax + y = 3 中即可求 a 的值．【详解】⎧ x = 1 把 ⎨ 代入二元一次方程 ax + y = 3 中， ⎩ y = 2a + 2 = 3 ，解得 a = 1 ．故答案是：1 ．【点睛】本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．16． 30【解析】【分析】先利用邻补角计算出 ∠BOC ，然后根据圆周角定理得到 ∠CDB 的度数．【详解】Q ∠BOC = 180︒-∠ AOC = 180︒- 120︒ = 60︒ ，1 2故答案为： 30 ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17． 35【解析】【分析】1 连接 OB ，作 OD ^ BC 于 D ，根据切线长定理得出 ∠OBC = ∠OBA = ∠ABC = 30︒ ，解 2直角三角形求得 BD ，即可求 CD ，然后解直角三角形 O CD 即可求得 tan ∠OCB 的值．【详解】连接 OB ，作 OD ^ BC 于 D ，30 Q ⊙ O 与等边三角形 ABC 的两边 AB 、 BC 都相切，∴ ∠OBC = ∠OBA = 1 2 ∠ABC = 30︒ ， ∴ tan ∠OBC =∴ BD = tan OD ︒OD BD = ， 3 3= 3， 3∴ CD = BC - BD = 8 - 3 = 5 ，∴ tan ∠OCB = OD = 3 CD 5．故答案为 3 5．【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．18．6 或 158【解析】【分析】分两种情况：①MN 为等腰△PMN 的底边时，作 PF ⊥ MN 于 F ，则 ∠PFM = ∠PFN = 90︒ ，由矩形的性质得出 AB = CD ，BC = AD = 3 A B = 3 10 ， ∠A = ∠C = 90︒ ，得出 AB = CD = 10 ，BD = AB 2 + AD 2 = 10 ，证明 ∆PDF : ∆BDA ，得出 PF PD 3 = ，求出 PF = ，证出 AB BD 2CE = 2CD ，由等腰三角形的性质得出 MF = NF ， ∠PNF = ∠DEC ，证出答案第7页，总17页∆PNF:∆DEC，得出NF CE==2，求出NF=2PF=3，即可得出答案；PF CD②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，设MN=PN=x，则FN=3-x，在△Rt PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图所示：则∠PFM=∠PFN=90︒，Q四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，BC=AD=3A B=310，∠A=∠C=90︒，∴AB=CD=10，BD=Q点P是AD的中点，AB2+AD2=10，∴PD=1AD=31022Q∠PDF=∠BDA，∴∆PDF:∆BDA，，PF PD∴=AB BD310，即PF=21010，解得：PF=32，Q CE=2BE，∴BC=AD=3BE，∴BE=CD，∴CE=2CD，Q∆PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF=NF，∠PNF=∠DEC，Q∠PFN=∠C=90︒，∴NF在RtVPNF中， ⎪+(3-x)2=x2，（1）π+ ⎪-(3)=1+2-3=0；∴∆PNF:∆DEC，CE==2，PF CD∴NF=2PF=3，∴MN=2NF=6；②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图所示，由①得：PF=3，MF=3，2设MN=PN=x，则FN=3-x，⎛3⎫2⎝2⎭解得：x=15815，即MN=，8综上所述，MN的长为6或15 8.【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．19．（1）0；（2）x-1.【解析】【分析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可；【详解】0⎛1⎫-1⎝2⎭2（2）(x-1)(x+1)-x(x-1)=x2-1-x2+x=x-1；【点睛】本题考查实数的运算，整式的运算；熟练掌握零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则是解题的关键．20．-1<x≤2，见解析.【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解不等式x+1>0，得：x>-1，解不等式3x-8≤-x，得：x≤2，∴不等式组的解集为-1<x≤2，将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（1）AC'//B D；（2）EB与ED相等，详见解析.【解析】【分析】（1）根据AD=C'B，ED=EB，即可得到AE=C'E，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'=∠EC'A=∠EBD=∠EDB，进而得出AC'//B D；（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB=∠EBD，进而得出BE=DE．【详解】解：（1）连接AC'，在平行四边形ABCD中，AD=BC，∠ADB=∠CBD，Q把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C'处.∴AD=BC'，∠CBD=C'BD，∴∠ADB=∠C'BD，∴ED=EB.∴AE=C'E，∴∠EAC'=∠EC'A=∠EBD=∠EDB.∴AC'//B D，故答案为AC'//B D；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD=∠C'BD，Q AD//B C，∴∠ADB=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE．【点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．22．（1）30，10；（2）平均数为12元；（3）学生的捐款总数为7200元.【解析】【分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6+11+8+5=30，由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果；（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．【详解】（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5=30，这组数据的众数为10元；故答案为：30，10；（2）这组数据的平均数为6⨯5+11⨯10+8⨯15+5⨯20=12（元）；30（3）估计该校学生的捐款总数为600⨯12=7200（元）．【点睛】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．23．（1）21；（2）见解析，.33【解析】【分析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C 和A，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．【详解】（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，2∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；3故答案为：23；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，21∴拼成的图形是轴对称图形的概率为=63．【点睛】本题主要考查了概率公式，列举法（树状图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图．24．甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．由题意得：180【解析】【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30-x）个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可．【详解】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30-x）个零件，120=，x30-x解得：x=18，经检验：x=18是原分式方程的解，则30-18=12（个）．答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意检验．25．（1）k=4；（2）D(1,4).【解析】【分析】（1）根据已知条件求出A点坐标即可；（2）四边形O ABC是平行四边形O ABC，则有AB⊥x轴，可知B的横纵标为2，D点的横坐标为1，结合解析式即可求解；【详解】（1）Q OA=22，∠AOC=45︒，∴A(2,2)，∴k=4，∴y=4 x；（2）四边形O ABC是平行四边形O ABC，∴AB⊥x轴，（（由图形可知：(a+b)(a+b)=ab+ab+c2∴B的横纵标为2，Q点D是BC的中点，∴D点的横坐标为1，∴D(1,4)；【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质；利用平行四边形的性质确定点B的横坐标是解题的关键．26．1）见解析，故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2=c2；2）1+3+5+7+L+2n-1；（3）①6，3；②n+2(m-1)，见解析.【解析】【分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．（2）由图可知n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n-1．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论．【详解】（1）有三个Rt∆其面积分别为111ab，ab和c2．222直角梯形的面积为1(a+b)(a+b)．211112222整理得(a+b)2=2ab+c2，a2+b2+2ab=2ab+c2，∴a2+b2=c2．故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2=c2．（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n-1．27．（1）①2；②1 + 5 ；（2）①面积为 π −2 3 ；②当点 M 在 y 轴的右侧时，满足条件由图形可知： n 2 = 1 + 3 + 5 + 7 + L + 2n - 1 ．故答案为：1 + 3 + 5 + 7 + L + 2n -1．（3）①如图，当 n = 4 ， m = 2 时， y = 6 ，如图，当 n = 5 ， m = 3 时， y = 9 ．②方法 1．对于一般的情形，在 n 边形内画 m 个点，第一个点将多边形分成了 n 个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加 2 部分，故可得 y = n + 2 (m -1)．方法 2．以∆ABC 的二个顶点和它内部的 m 个点，共（m + 3）个点为顶点，可把∆ABC 分割成 3 + 2 (m -1)个互不重叠的小三角形．以四边形的 4 个顶点和它内部的 m 个点，共（ m + 4 ）个点为顶点，可把四边形分割成 4 + 2 (m -1)个互不重叠的小三角形．故以 n 边形的 n 个顶点和它内部的 m 个点，共（ m + n ）个点作为顶点，可把原 n 边形分割成n + 2 (m -1)个互不重叠的小三角形．故可得 y = n + 2 (m -1)．故答案为：① 6 ， 3 ；② n + 2 (m -1)．【点睛】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．8 3的点 M 的横坐标的范围为 4 2 −1≤x ≤3 5 −1；当点 M 在 y 轴的左侧时，满足条件的点M 的横坐标的范围为−3 5 ＋1≤x ≤−4 2 ＋1．2点C所在的区域的面积为S1＋S2＝8π【解析】【分析】（1）①平面图形S的“宽距”的定义即可解决问题．②如图，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．求出PC的最大值即可解决问题．（2）①如图，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S1和S2，点C所在的区域的面积是S1＋S2．②如图，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．求出d＝5或8时，点M 的坐标，即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可．【详解】（1）①半径为1的圆的宽距离为2，故答案为2．②如图，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt∆ODC中，OC=CD2+OD2=22+12=5∴OP+OC≥PC，∴PC≤1+5，∴这个“窗户形“的宽距为1+5．故答案为1+5．（2）①如图2−1中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S1和S（分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域）．3−23．( )②如图，当点 M 在 y 轴的右侧时，连接 AM ，作 MT ⊥ x 轴于 T ．Q AC ≤ AM + CM ，又Q 5 ≤ d ≤ 8 ，∴ 当 d = 5时． AM = 6 ，∴ A T =AM 2 - MT 2 = 4 2 ，此时 M (4 2 - 1,2 )，当 d = 8 时． AM = 7 ，∴ A T = 72 - 22 = 3 5 ，此时 M 3 5 - 1,2 ，∴满足条件的点 M 的横坐标的范围为 4 2 −1≤x ≤3 5 −1．当点 M 在 y 轴的右侧时，满足条件的点 M 的横坐标的范围为 4 2 −1≤x ≤3 5 −1．当点 M 在 y 轴的左侧时，满足条件的点 M 的横坐标的范围为−3 5 ＋1≤x ≤−4 2 ＋1．【点睛】本题属于圆综合题，考查了平面图形 S 的“宽距”的定义，正方形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
2019年江苏省常州市中考数学试题(附解析)
2019年江苏省常州市中考数学试题（附解析）时间：120分钟 满分：120分一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2019年常州）－3的相反数是（ ）A ．13 B ．－13C ．3D ．－3 {答案}C{解析}本题考查了相反数的定义，和为0的两个数互为相反数，由于－3＋3＝0，从而－3的相反数是3，因此本题选C ． 2．（2019年常州）若代数式13x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＝－1 B ．x ＝3 C ．x ≠－1 D ．x ≠3{答案}D{解析}本题考查了分式有意义的条件，只要分母不为0，分式就有意义，由x －3≠0得x ≠3，因此本题选D ．3．（2019年常州）下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．3圆柱B ．正方体C ．圆锥D ．球{答案}A{解析}本题考查了由几何体的三视图认识几何体，因为该几何体的主视图与左视图都是矩形，所以该几何体是柱体；又因为该几何体的俯视图是圆，所以该几何体是圆柱，因此本题选A ．4．（2019年常州）如图，在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是（ ）A ．线段PAB ．线段PBC ．线段PCD ．线段PD第3题图{答案}B{解析}本题考查了垂线的性质及点到直线的距离，根据“垂线段最短”，易知在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是PB ，因此本题选B ．5．（2019年常州）若△ABC ∽△A B C '''，相似比为1﹕2，则△ABC 与△A B C '''的周长的比为（ ）A ．2﹕1B ．1﹕2C ．4﹕1D ．1﹕4{答案}B{解析}本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，知△ABC 与△A B C '''的周长的比为1﹕2，因此本题选B ．6．（2019年常州）下列各数中与2的积是有理数的是（ ）A ．2．2 CD ．2{答案}D{解析}本题考查了分母有理化及二次根式的乘法法则，因数(2)(2＝1，因此本题选D ．7．（2019年常州）判断命题“如果n ＜1，那么n 2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n 可以为（ ）A ．－2B ．－12 C ．0 D ．12{答案}A{解析}本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“－2＜1，而(－2)2－1＝3＞1”，从而反例中的n 可以为－2，因此本题选A ．8．（2019年常州）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y 1（ug/m 3）随着时间t （h ）的变化如图所示，设y 2表示0到t 时PM2.5的值的极第4题图DC B AP差（即0时到t 时PM2.5的最大值与最小值的差），则y 2与t 的函数关系大致是（ ） ABC ．2 D{答案}B{解析}本题考查了极差的意义及函数图像的应用，将一天24小时分成三段：0≤t ≤10、10≤t ≤20、20≤t ≤24，在0≤t ≤10，y 2随t 的增大而增大；在10≤t ≤20，y 2随t 的增大而不变（恒为85－42＝43），在20≤t ≤24，y 2随t 的增大而增大，因此本题选B ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）{题目}9．（2019年常州）计算：a 3÷a ＝__________． {答案}a2{解析}本题考查了同底幂的除法法则：同底幂相除，底数不变，指数相减，而a 3÷a ＝a 3－1＝a 2，因此本题答案为a 2．10．（2019年常州）4的算术平方根是__________． {答案}2{解析}本题考查了算术平方根的定义，因为22＝4，所以4的算术平方根为2，因此本题答案为2．11．（2019年常州）分解因式：ax 2－4a ＝__________． {答案}a (x ＋2)(x ＋2){解析}本题考查了因式分解的常用方法，根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行分解，ax 2－4a ＝a (x 2－4)＝a (x ＋2)(x ＋2)，因此本题答案为a (x ＋2)(x ＋2)．A ．B ．C ．D ．第8题图12．（2019年常州）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于__________°．{答案}55°{解析}本题考查了余角的定义，根据和为90°的两个角称为互为余角，∵35°＋55°＝90°，∴∠α的余角等于55°，因此本题答案为55°．13．（2019年常州）如果a－b－2＝0，那么代数式1＋2a－2b的值是__________．{答案}5{解析}本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值．∵a－b－2＝0，∴a－b＝2．∴1＋2a－2b＝1＋2(a－b)＝1＋2×2＝5，因此本题答案为5．14．（2019年常州）平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是__________．{答案}5{解析}本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，可求得点P(－3，4)5，因此本题答案为5．15．（2019年常州）若12xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的二元一次方程ax＋y＝3的解，则a＝__________．{答案}1{解析}本题考查了二元一次方程的解的定义，将12xy=⎧⎨=⎩代入方程ax＋y＝3，得a＋2＝3，a＝1，因此本题答案为1．16．（2019年常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝__________°．{答案}30{解析}本题考查了圆周角定理，∵AB是⊙O的直径，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°．∴∠CDB＝30°．因此本题答案为30．17．（2019O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC 都相切．连接OC，则tan∠OCB＝__________．第16题图B{答案{解析}本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识．设⊙O与BC边相切于点D，连接OB、OD．由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，再由切线长定理易求∠OBC＝30°，而OD，从而由tan∠OBD＝ODBD，得BD＝3，于是CD＝BC－BD＝8－3＝5．在Rt△OCD中，由正切函数定义，得tan∠OCB＝ODCD＝5．因此本题答案为5．18．（2019年常州）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝__________．{答案}6{解析}本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点．首先由勾股定理，求得BD＝10，然后由“AD＝3AB＝点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE”，求得PD＝2，CE＝这样由tan∠DEC＝12DCEC=；第四步过点P作PH⊥BD于点H，在BD上依次取点M、N，使MH＝NH＝2PH，于第18题图第17题答图第17题图是因此△PMN是所求符合条件的图形；第五步由△DPH∽△DBA，得PH PD BA BD=，即210=，得PH＝32，于是MN＝4PH＝6，本题答案为6．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）{题目}19．（2019年常州）（8分）计算：（1）0121()2π-+-；（2）(x－1)(x＋1)－x(x－1) ．{解析}本题考查了实数的运算、整式的加减乘除法运算，解题的关键是按实数的运算法则与运算顺序、整式的乘法法则及加减法法则进行计算即可．{答案}解：（1）原式＝1＋2－3＝0；（2）原式＝x2－1－x2＋x＝x－1．20．（2019年常州）（6分）解不等式组1038xx x+>⎧⎨-≤-⎩并把解集在数轴上表示出来．{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法及在数轴上表示法，解题先分别求每一个不等式的解集，然后借助数轴找它们解集的公共部分即为原不等式组的解集，另外，画出数轴按相关要求将其解集表示出来．{答案}解：不等式①的解集为x＞－1；不等式②的解集为：3x＋x≤8，4x≤8，x≤2．∴原不等式组的解集为－1＜x≤2，在数轴上表示如下：21．（2019年常州）（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在C'处，BC'与AD相交于点E．第20题答图HNMPEDCBA第18题答图（1）连接AC'，则AC'与BD的位置关系是_________；（2）EB与ED相等吗?证明你的结论．第21题图{解析}本题考查了折叠、平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点，连接AC'，从图形上容易看出并证明四边形ABDC'是等腰梯形，故AC'∥BD．由折叠（轴对称性质）及平行四边形的性质、等角对等边可证明EB＝ED．第21题答图{答案}解：（1）AC'∥BD；（2）EB＝ED．理由如下：由折叠可知∠CBD＝∠EBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠CBD＝∠EDB．∴∠EBD＝∠EDB．∴EB＝ED．22．（2019年常州）（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．{解析}本题考查了统计中的条形图的应用，众数、平均数的求法及用样本估计总体的统计核心思想．将条形图的四组数据相加即可样本容量；由图可知这组数据的众数为10元；利用加权平均数计算公式即可求出这组数据的平均数；最后用样本平均数去乘数据总个数即可计该校学生的捐款总数．{答案}解：（1）30，10；（2）x＝56101115820530⨯+⨯+⨯+⨯＝36030＝12（元）；（3）∵12×600＝7200（元），∴估计该校学生的捐款总数为7200元．23．（2019年常州）（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．根据以上信息，解决下列问题：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）{解析}本题考查了概率的求法，第（1）问用简单枚举法及概率的意义较易求出；第（2）问用列表法或画树状图法可以解决．{答案}解：（1）23；（2）现画树状图如下：第23题图111CBA第22题图/元由图可知共有6种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种，故P (拼成的图形是轴对称图形)＝26＝13． 24．（2019年常州）（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？ {解析}本题考查了分式方程的应用，解题时按列分式方程解应用的步骤进行操作即可，本题的等量关系是：甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等． {答案}解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做(30－x )个零件，根据题意，得18012030x x=-，解得x ＝18． 经检验，x ＝18是原方程的解，则30－x ＝12． 答：甲、乙两人每小时分别做18个和12个零件．25．（2019年常州）（8分）如图，在□ABCD 中，OA ＝，∠AOC ＝45°，点C 在y轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图像经过点A 、D ． （1）求k 的值；（2）求点D 的坐标．{解析}本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数等知识点．（1）如答图，延长BA 交x 轴于点F ，取OA 的中点E ，连接DE ．由OA ＝，∠AOC ＝45°，利用等腰直角三角形的边角关系易求OF ＝AF ＝2，从而A (2，2)，并代入双曲线的解析式即可第23题答图(C,B)(C,A)(B,C)(B,A)(A,C)(A,B)结果：第二次：第一次：开始ABC ABC CB A得k＝4．（2）由中点公式，易求点E的坐标，从而D点的横坐标与E点相同，在y＝4x，将点E的横坐标代入可求y的值，从而求出点D的坐标．{答案}解：（1）如答图，延长BA交x轴于点F，取OA的中点E，连接DE，则AF⊥x轴于点F．在Rt△AOF中，OA＝，∠AOC＝45°，可得OF＝AF＝2，从而A(2，2)．∵反比例函数y＝kx（x＞0）的图像经过点A、D，∴k＝2×2＝4．（2）∵O(0，0)，A(2，2)，∴线段OA的中点E的坐标为 (1，1)．∵在y＝kx中，当x＝1，y＝4，∴点D的坐标为(1，4)．26．（2019年常州）（10分）【阅读】数学中，常对同一个量．．．．（图形的面积、点的个数、三角形内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得到等式：n2＝___________________________．【运用】（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以(m ＋n )点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形．当n ＝3，m ＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y ＝7． ①当n ＝4，m ＝2时，如图4，y ＝______；当n ＝5，m ＝_______时，y ＝9；②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳思想，可得y ＝__________（用含m 、n 的代数式表示）．请对同一个量．．．．用算两次的方法说明你的猜想成立．{解析}本题考查了勾股定理的验证、数列的求和公式推导、规律探究等知识点．（1）利用梯形面积的两种不同的计算方式，得到关于直角三角形三边a 、b 、c 的数量关系：a 2＋b 2＝c 2，从而得到结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）根据图2中n行n 列个点的计算方式，得到n 2＝1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）．（3）先观察图3和图4，不难解决第①问；②利用多边形的内角和公式，得到在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即可得到y 与m 、n 的数量关系式． {答案}解：（1）∵S 梯形＝12(a ＋b )(a ＋b )＝12(a 2＋2ab ＋b 2)， 又∵S 梯形＝2×12ab ＋12c 2， ∴12(a 2＋2ab ＋b 2)＝2×12ab ＋12c 2． ∴a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2． ∴a 2＋b 2＝c 2．结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．图26—3 图26—4图26—1bc ca图26—2（2）1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）． （3）①6，3；②n ＋2m －2，理由如下：如答图，在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即180°•(n －2)＋m •360°，故180y ＝180(n －2)＋360 m ，故y ＝n ＋2m －2．27．（2019年常州）（10分）如图，二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 坐标为(－1，0)，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上．（1）b ＝_____；（2）若点P 在第一象限，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N ．是否存在这样的点P ，使得PM ＝MN ＝NH ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ，求点P 的坐标．{解析}本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点有：用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、相似三角形的性质与判定等．（1）直接将点A 坐标代入抛物线解析式，得到关于b 的一元一次方程，解之即可；（2）先求直线BC 、BD 的解析式，然后令P (m ，－m 2＋2m ＋3)，则M (m ，－m ＋3)、N (m ，－12m ＋32)，再利用PM ＝MN ＝NH ，得到m 的一元二次方程解之即可锁定符合条件的点P 坐标；（3）如答图2，过点P 作PK ⊥AB 于点K ，过点Q 作QJ ⊥AB 于点J ，则PK ∥QJ ．通过面积关系及相似三角形知识，将问题转化为点P 的纵坐标为点Q 纵坐标3倍关系，最后利用坐标法仿照（2）得到符合条件的点P 的坐标．第27题图 第27题备用图第26题答图{答案}解：（1）∵二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像过点A(－1，0)，∴0＝－(－1)2－b＋3．∴b＝2．（2）如答图1，连接BD、BC，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC、BD分别于点M、N．∵抛物线y＝－x2＋2x＋3交x轴于点A(－1，0)、B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，且点D为OC的中点，∴D(0，32 )．易求直线BC的解析式为y＝－x＋3，直线BD的解析式为y＝－12x＋32．假设存在符合条件点P(m，－m2＋2m＋3)，则M(m，－m＋3)、N(m，－1 2 m＋32)．∵PM＝MN＝NH，∴－12m＋32＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)．整理，得2m2－7m＋3＝0，解得m1＝12，m2＝3（不合题意，舍去）．∴P(12，154)即为所求的符合条件的点．（3）如答图2，过点P作PK⊥AB于点K，过点Q作QJ⊥AB于点J，则PK∥QJ．∵过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，∴PQ＝2QR，从而PR＝3QR．∵PK ∥QJ ， ∴△RQJ ∽△RPK ． ∴13QJ RQ PK RP ==． ∴PK ＝3QJ ．设P (n ，－n 2＋2n ＋3)，由BD 的解析式为y ＝－12x ＋32，且直线PQ ⊥BD ，可令直线PQ 的解析式为y ＝2x ＋t ，则－n 2＋2n ＋3＝2n ＋t ，解得t ＝3－n 2，于是，PQ ：y ＝2x ＋3－n 2．由2132223y x y x n ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩，解得2223551955x n y n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，从而Q (22355n -，21955n -+)．由PK ＝3QJ ，得－n 2＋2n ＋3＝3(21955n -+)，整理，得n 2－5n ＋6＝0，解得n 1＝2，n 2＝3（舍去）．当n ＝2时，－n 2＋2n ＋3＝3，故P (2，3)即为所求的点．28．（2019年常州）（10分）已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：________；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”：________；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)、B (1，0)，C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d ．①若d ＝2，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C 在⊙M 上运动，⊙M 的半径为1，圆心M 在过点(0，2)且与y 轴垂直的直线上．对于⊙M 上的任意点C ，都有5≤d ≤8，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围．{解析}本题考查了新定义问题、点到圆的最大距离、扇形的面积、尺规作图、动态问题、探究问题等内容．（1）易知直径是圆有最大的弦；在“窗户形”图形中，中利用点到圆的最大距离的线段在点与圆心的连心线上找，据此可求该图形的宽距．（2）解答本问的两个问题都遵循“一找二求”原则：找出符合条件的图形，再根据条件求相应结论．具体思路参照答图2至答图4，充分利用数形结合思想与分类思想，并利用勾股定理进行求解即可．{答案}解：（1）①2（直径是圆的宽距）；②1．（如答图1，点A与半圆圆心的连线与半圆相交于点D，则AD 的长最大）（2）①如答图2所示，分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域．S阴影＝2(21202360π⋅－112⋅)＝83π-．x－1或1－≤x≤1－．C BA第28题答图1图28—2 图28—1第28题答图3 第28题答图4。
2019年江苏省常州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
常州市2019年二〇一九年初中学业水平考试数学试题（全卷满分120分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．﹣3的相反数是（）A．B．C．3 D．﹣32．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠33．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球4．如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD5．若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：46．下列各数中与2+的积是有理数的是（）A．2+B．2 C．D．2﹣7．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2 B．﹣C．0 D．8．随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程）9．计算：a3÷a＝．10．4的算术平方根是．11．分解因式：ax2﹣4a＝．12．如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于°．13．如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是．14．平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是．15．若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．17．如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．三、解答题（本大题共10小题，共84分。
江苏省常州市2019年中考数学真题试题(含解析)
江苏省常州市2019年中考数学真题试题(含解析)1.选择题1.-3的相反数是（）。
A。
3 B。
-2 C。
1 D。
-12.若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）。
A。
x = -1 B。
x = 3 C。
x ≠ -1 D。
x ≠ 33.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）。
A。
圆柱 B。
正方体 C。
圆锥 D。
球4.如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）。
A。
线段PA B。
线段PB C。
线段PC D。
线段PD5.若△ABC～△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为（）。
A。
2：1 B。
1：2 C。
4：1 D。
1：46.下列各数中与2+的积是有理数的是（）。
A。
2+ B。
2 C。
1：2 D。
2-77.判断命题“如果n＜1，那么n^2-1＜0”是假命题，只需举出一个反例。
反例中的n可以为（）。
A。
-2 B。
0 C。
1 D。
28.随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切。
某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示时到t时PM2.5的值y1的极差（即时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）。
A。
y2随t的增大而增大 B。
y2随t的增大而减小 C。
y2与t无关 D。
y2先增大后减小2.填空题9.计算：a^3 ÷ a = ____。
答案：a^210.4的算术平方根是 ____。
答案：211.分解因式：ax^2-4a = ____。
答案：a(x+2)(x-2)12.如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 ____°。
答案：5513.如果a-b-2＝0，那么代数式1+2a-2b的值是 ____。
答案：314.平面直角坐标系中，点P(-3.4)到原点的距离是 ____。
答案：515.若(1.2)是关于x、y的二元一次方程ax+y=3的解，则a ＝ ____。
2019年江苏省常州市中考数学试卷含答案解析
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似
三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分
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线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
6．（2 分）下列各数中与 2+ 的积是有理数的是（ ）
A．圆柱
B．正方体
C．圆锥
第7页（共29页）
D．球
【考点】U3：由三视图判断几何体． 菁优网版权所有
【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为 圆锥． 【解答】解：该几何体是圆柱． 故选：A． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据 主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体 形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助． 4．（2 分）如图，在线段 PA、PB、PC、PD 中，长度最小的是（ ）
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日益密切．某市一天中 PM2.5 的值 y1（ug/m3）随时间 t（h）的变化如图所示，设 y2 表示 0 时到 t 时 PM2.5 的值的极差（即 0 时到 t 时 PM2.5 的最大值与最小值的差），则 y2 与 t 的函 数关系大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。不需写出解答过程，请把答案直接
A．﹣2
B．﹣
C．0
D．
【考点】O1：命题与定理． 菁优网版权所有
【分析】反例中的 n 满足 n＜1，使 n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断． 【解答】解：当 n＝﹣2 时，满足 n＜1，但 n2﹣1＝3＞0， 所以判断命题“如果 n＜1，那么 n2﹣1＜0”是假命题，举出 n＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题 非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只 需举出一个反例即可． 8．（2 分）随着时代的进步，人们对 PM2.5（空气中直径小于等于 2.5 微米的颗粒）的关注 日益密切．某市一天中 PM2.5 的值 y1（ug/m3）随时间 t（h）的变化如图所示，设 y2 表示 0 时到 t 时 PM2.5 的值的极差（即 0 时到 t 时 PM2.5 的最大值与最小值的差），则 y2 与 t 的函 数关系大致是（ ）
江苏省常州市2019年中考数学真题试题(含解析)
江苏省常州市2019年中考数学试卷、选择题（本大题共 8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是 正确的）1 3的相反数是（）3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（A.线段PAB.线段PBC.线段PCD.线段PD5.若△ ABC-A A BC'，相似比为1: 2,则厶ABC W^ AB' C 的周长的比为（）A. 2: 1B. 1 : 2 C .4: 1D .1: 46.下列各数中与2+ 的积是有理数的是（)A. 2+ :B. 2 C.D .2——7.判断命题“如果 nv 1,那么 n 2 — 1 v 0”是假命题,只需举出一个反例反例中的n 可以为（)11A.- 2B -—<C .D .&随着时代的进步，人们对 PM .5 （空气中直径小于等于 2.5微米的颗粒）的关注日益密切.某市A.B. C. 3D.— 32.若代数式有意义,则实数 x 的取值范围是（ A. x =— 1 B. x = 3C. X M — 1D. X M 3C.圆锥D.球A.圆柱B.正方体一天中PM2.5的值y1 （ug/m i）随时间t （h）的变化如图所示，设中表示0时到t时PM.5的值O 10 20 24A.的极差（即0时到t时PM.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. ____________________ 计算：a3+ a= .10. _______________________ 4的算术平方根是 .11 .分解因式：ax2- 4a= _________ .12. 如果/ a = 35°，那么/ a的余角等于______________ °.13. 如果a- b-2= 0，那么代数式1+2a- 2b的值是____________ .14 .平面直角坐标系中，点P （- 3, 4）到原点的距离是________ .卜二15. ______________________________________________________________ 若是关于x、y的二元一次方程ax+y = 3的解，则a= _____________________________________________ .16. _________________________________________________________________________ 如图，AB是O O的直径，C、D是O O上的两点，/ AOC= 120°,则/ CDB= _______________________tan17. 如图，半径为讥的O O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB BC都相切，连接OC则Z OCB= ______22.18.如图，在矩形 ABCDK AD= 3AB= 3^1 C ,点P 是AD 的中点，点 E 在BC 上，CE= 2BE 点MN三、解答题(本大题共 10小题，共84分。
【中考真题】2019年江苏省常州市中考数学真题试卷(附答案)
17．如图，半径为 的⊙ 与边长为 的等边三角形 的两边 、 都相切，连接 ，则 _____．
18．如图，在矩形 中， ，点 是 的中点，点 在 上， ，点 、 在线段 上．若 是等腰三角形且底角与 相等，则 _____．
三、解答题
15．
【解析】
【分析】
把 代入二元一次方程 中即可求 的值．
【详解】
把 代入二元一次方程 中，
，解得 ．
故答案是： ．
【点睛】
本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．
16．
【解析】
【分析】
先利用邻补角计算出 ，然后根据圆周角定理得到 的度数．
【详解】
，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为 的圆：________；
②如图，上方是半径为 的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：________；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已知点 、 ， 是坐标平面内的点，连接 、 、 所形成的图形为 ，记 的宽距为 ．
①若 ，用直尺和圆规画出点 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
【详解】
分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作 于 ，如图所示：
则 ，
四边形 是矩形，
， ， ，
， ，
点 是 的中点，
，
，
，
，即 ，
解得： ，
，
，
，
，
是等腰三角形且底角与 相等， ，
2019江苏省常州市中考数学试题(含解析)
2019年江苏省常州市中考试题解析（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8题，每小题2分，共16分）1．（2019江苏常州，1，2分） ﹣3的相反数是（ ）A ．13B ．−13C ．3D ．﹣3【答案】C【解析】解：（﹣3）+3＝0．故选：C ．【知识点】相反数2. （2019江苏常州，2，2分）若代数式x+1x−3有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝3C ．x ≠﹣1D ．x ≠3【答案】D【解析】解：∵代数式x+1x−3有意义，∴x ﹣3≠0，∴x ≠3．故选：D ．【知识点】分式有意义的条件3. （2019江苏常州，3，2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．圆柱B ．正方体C ．圆锥D ．球【答案】A【解析】解：该几何体是圆柱．故选：A ．【知识点】由三视图判断几何体4. （2019江苏常州，4，2分）如图，在线段P A 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是（）A ．线段P AB ．线段PBC ．线段PCD ．线段PD【答案】B【解析】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B ．故选：B ．【知识点】垂线段最短5.（2019江苏常州，5，2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【答案】B【解析】解：∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：2．故选：B．【知识点】相似三角形的性质6.（2019江苏常州，6，2分）下列各数中与2+√3的积是有理数的是（）A．2+√3B．2 C．√3D．2−√3【答案】D【解析】解：∵（2+√3）（2−√3）＝4﹣3＝1，故选：D．【知识点】分母有理化7.（2019江苏常州，7，2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2 B．−12C．0 D．12【答案】A【解析】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．【知识点】命题与定理8.（2019江苏常州，8，2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）【答案】B【解析】解：当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B．【知识点】函数的图象；极差二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9.（2019江苏常州，9，2分）计算：a3÷a＝．【答案】a 2【解析】解：a 3÷a ＝a 2．故答案为：a 2．【知识点】同底数幂的除法10. （2019江苏常州，10，2分） 4的算术平方根是 ．【答案】2【解析】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．【知识点】算术平方根11. （2019江苏常州，11，2分）分解因式：ax 2﹣4a ＝ ．【答案】a （x +2）（x ﹣2）【解析】解：ax 2﹣4a ＝a （x 2﹣4）＝a （x +2）（x ﹣2）．【知识点】提公因式法与公式法的综合运用12. （2019江苏常州，12，2分）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．【答案】55【解析】解：∵∠α＝35°，∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°故答案为：55．【知识点】余角和补角13. （2019江苏常州，13，2分）如果a ﹣b ﹣2＝0，那么代数式1+2a ﹣2b 的值是 ．【答案】5【解析】解：∵a ﹣b ﹣2＝0，∴a ﹣b ＝2，∴1+2a ﹣2b ＝1+2（a ﹣b ）＝1+4＝5；故答案为5．【知识点】代数式求值14. （2019江苏常州，14，2分）平面直角坐标系中，点P （﹣3，4）到原点的距离是 ．【答案】5【解析】解：作P A ⊥x 轴于A ，则P A ＝4，OA ＝3．则根据勾股定理，得OP ＝5．故答案为5．【知识点】坐标与图形性质；勾股定理15. （2019江苏常州，15，2分）若{x =1，y =2是关于x 、y 的二元一次方程ax +y ＝3的解，则a ＝ ． 【答案】1【解析】解：把{x =1y =2代入二元一次方程ax +y ＝3中， a +2＝3，解得a ＝1．故答案是：1．【知识点】二元一次方程的解16.（2019江苏常州，16，2分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠AOC ＝120°，则∠CDB ＝ °．【答案】30【解析】解：∵∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB =12∠BOC ＝30°．故答案为30．【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理17. （2019江苏常州，17，2分）如图，半径为√3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则tan ∠OCB ＝ ．【答案】√35【解析】解：连接OB ，作OD ⊥BC 于D ，∵⊙O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，∴∠OBC ＝∠OBA =12∠ABC ＝30°，∴tan ∠OBC =OD BD ，∴BD =OD tan30°=√333=3， ∴CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣3＝5，∴tan ∠OCB =OD CD =√35． 故答案为√35．【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形18.（2019江苏常州，18，2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3√10，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．【答案】6【解析】解：作PF⊥MN于F，如图所示：则∠PFM＝∠PFN＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3√10，∠A＝∠C＝90°，∴AB＝CD=√10，BD=√AB2+AD2=10，∵点P是AD的中点，∴PD=12AD=3√102，∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴PFAB=PDBD，即√10=3√10210，解得：PF=3 2，∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴NFPF=CECD=2，∴NF＝2PF＝3，∴MN＝2NF＝6；故答案为：6．【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理三、解答题（本大题共10小题，满分84分，各小题都必须写出解答过程）19.（2019江苏常州，19，8分）计算：（1）π0+（12）﹣1﹣（√3）2； （2）（x ﹣1）（x +1）﹣x （x ﹣1）．【思路分析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可；【解题过程】解：（1）π0+（12）﹣1﹣（√3）2＝1+2﹣3＝0； （2）（x ﹣1）（x +1）﹣x （x ﹣1）＝x 2﹣1﹣x 2+x ＝x ﹣1；【知识点】实数的运算；整式的运算；零指数幂；负指数幂；多项式乘以多项式（单项式）的运算法则20. （2019江苏常州，20，6分）解不等式组{x +1＞0，3x −8≤−x ，并把解集在数轴上表示出来． 【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解题过程】解：解不等式x +1＞0，得：x ＞﹣1，解不等式3x ﹣8≤﹣x ，得：x ≤2，∴不等式组的解集为﹣1＜x ≤2，将解集表示在数轴上如下：【知识点】解一元一次不等式组21. （2019江苏常州，21，8分）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C ′处，BC ′与AD 相交于点E ．（1）连接AC ′，则AC ′与BD 的位置关系是 ；（2）EB 与ED 相等吗？证明你的结论．【思路分析】（1）根据AD＝C'B，ED＝EB，即可得到AE＝C'E，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'＝∠EC'A＝∠EBD＝∠EDB，进而得出AC'∥BD；（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB＝∠EBD，进而得出BE＝DE．【解题过程】解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）22.（2019江苏常州，22，8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是，这组数据的众数为元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．【思路分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果；（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．【解题过程】解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元；故答案为：30，10；（2）这组数据的平均数为6×5+11×10+8×15+5×2030=12（元）；（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；算术平均数；众数23. （2019江苏常州，23，8分）将图中的A 型（正方形）、B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）【思路分析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A 型（正方形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．【解题过程】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A 型（正方形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23； 故答案为：23； （2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为26=13． 【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案；概率公式；列表法与树状图法24. （2019江苏常州，24，8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？【思路分析】设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（30﹣x ）个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可．【解题过程】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（30﹣x ）个零件，由题意得：180x =12030−x ，解得：x ＝18，经检验：x ＝18是原分式方程的解，则30﹣18＝12（个）．答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．【知识点】分式方程的应用25.（2019江苏常州，25，8分）如图，在▱OABC 中，OA ＝2√2，∠AOC ＝45°，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数y =k x （x ＞0）的图象经过点A 、D ．（1）求k 的值；（2）求点D 的坐标．【思路分析】（1）根据已知条件求出A 点坐标即可；（2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，则有AB ⊥x 轴，可知B 的横纵标为2，D 点的横坐标为1，结合解析式即可求解；【解题过程】解：（1）∵OA ＝2√2，∠AOC ＝45°，∴A （2，2），∴k ＝4，∴y =4x ；（2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，∴AB ⊥x 轴，∴B 的横纵标为2，∵点D 是BC 的中点，∴D 点的横坐标为1，∴D （1，4）；【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的图象；平行四边形的性质26. （2019江苏常州，26，10分）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n 2＝ ；【运用】（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以（m +n ）个点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形．当n ＝3，m ＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y ＝7． ①当n ＝4，m ＝2时，如图4，y ＝ ；当n ＝5，m ＝ 时，y ＝9；②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳猜想，可得y ＝ （用含m 、n 的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．【思路分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．（2）由图可知n 行n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为n 2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n ﹣1．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论．【解题过程】解：（1）有三个Rt △其面积分别为ab ，12ab 和12c 2． 直角梯形的面积为12（a +b ）（a +b ）． 由图形可知：12（a +b ）（a +b ）=12ab +12ab +12c 2 整理得（a +b ）2＝2ab +c 2，a 2+b 2+2ab ＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2．故结论为：直角长分别为a 、b 斜边为c 的直角三角形中a 2+b 2＝c 2．（2）n 行n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为n 2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n ﹣1．由图形可知：n 2＝1+3+5+7+…+2n ﹣1．故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1．（3）①如图4，当n＝4，m＝2时，y＝6，如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．②方法1．对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y＝n+2（m﹣1）．方法2．以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成3+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m ﹣1）个互不重叠的小三角形．故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n 边形分割成n+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得y＝n+2（m﹣1）．故答案为：①6，3；②n+2（m﹣1）．【知识点】图形的变化规律27.（2019江苏常州，27，10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．【思路分析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值．（2）求点B 、C 、D 坐标，求直线BC 、BD 解析式．设点P 横坐标为t ，则能用t 表示点P 、M 、N 、H 的坐标，进而用含t 的式子表示PM 、MN 、NH 的长．以PM ＝MN 为等量关系列得关于t 的方程，求得t 的值合理（满足P 在第一象限），故存在满足条件的点P ，且求得点P 坐标．（3）过点P 作PF ⊥x 轴于F ，交直线BD 于E ，根据同角的余角相等易证∠EPQ ＝∠OBD ，所以cos ∠EPQ ＝cos ∠OBD =2√55，即在Rt △PQE 中，cos ∠EPQ =PQ PE =2√55；在Rt △PFR 中，cos ∠RPF =PF PR =2√55，进而得PQ =2√55PE ，PR =√52PF ．设点P 横坐标为t ，可用t 表示PE 、PF ，即得到用t 表示PQ 、PR ．又由S △PQB ＝2S △QRB 易得PQ ＝2QR ．要对点P 位置进行分类讨论得到PQ 与PR 的关系，即列得关于t 的方程．求得t 的值要注意是否符合各种情况下t 的取值范围．【解题过程】解：（1）∵二次函数y ＝﹣x 2+bx +3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）∴﹣1﹣b +3＝解得：b ＝2故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点P ，使得PM ＝MN ＝NH ．∵二次函数解析式为y ＝﹣x 2+2x +3当x ＝0时y ＝3，∴C （0，3）当y ＝0时，﹣x 2+2x +3＝0解得：x 1＝﹣1，x 2＝3∴A （﹣1，0），B （3，0）∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3∵点D 为OC 的中点，∴D （0，32） ∴直线BD 的解析式为y =−12x +32，设P （t ，﹣t 2+2t +3）（0＜t ＜3），则M （t ，﹣t +3），N （t ，−12t +32），H （t ，0）∴PM ＝﹣t 2+2t +3﹣（﹣t +3）＝﹣t 2+3t ，MN ＝﹣t +3﹣（−12x +32）=−12t +32，NH =−12t +32∴MN ＝NH∵PM ＝MN∴﹣t 2+3t =−12t +32解得：t 1=12，t 2＝3（舍去）∴P （12，154）∴P 的坐标为（12，154），使得PM ＝MN ＝NH ．（3）过点P 作PF ⊥x 轴于F ，交直线BD 于E∵OB ＝3，OD =32，∠BOD ＝90°∴BD =√OB 2+OD 2=3√52 ∴cos ∠OBD =OB BD =3√52=2√55 ∵PQ ⊥BD 于点Q ，PF ⊥x 轴于点F∴∠PQE ＝∠BQR ＝∠PFR ＝90°∴∠PRF +∠OBD ＝∠PRF +∠EPQ ＝90°∴∠EPQ ＝∠OBD ，即cos ∠EPQ ＝cos ∠OBD =2√55在Rt △PQE 中，cos ∠EPQ =PQ PE =2√55 ∴PQ =2√55PE在Rt △PFR 中，cos ∠RPF =PF PR =2√55 ∴PR =255=√52PF∵S △PQB ＝2S △QRB ，S △PQB =12BQ •PQ ，S △QRB =12BQ •QR∴PQ ＝2QR设直线BD 与抛物线交于点G∵−12x +32=−x 2+2x +3，解得：x 1＝3（即点B 横坐标），x 2=−12 ∴点G 横坐标为−12设P （t ，﹣t 2+2t +3）（t ＜3），则E （t ，−12t +32）∴PF ＝|﹣t 2+2t +3|，PE ＝|﹣t 2+2t +3﹣（−12t +32）|＝|﹣t 2+52t +32|①若−12＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+52t+32∵PQ＝2QR∴PQ=23PR∴2√55PE=23•√52PF，即6PE＝5PF∴6（﹣t2+52t+32）＝5（﹣t2+2t+3）解得：t1＝2，t2＝3（舍去）∴P（2，3）②若﹣1＜t＜−12，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立．③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE=−12t+32−（﹣t2+2t+3）＝t2−52t−32∵PQ＝2QR ∴PQ＝2PR∴2√55PE＝2•√52PF，即2PE＝5PF∴2（t2−52t−32）＝5（t2﹣2t﹣3）解得：t1=−43，t2＝3（舍去）∴P（−43，−139）综上所述，点P坐标为（2，3）或（−43，−139）．【知识点】二次函数的图象与性质；一次函数的图象与性质；解一元二次方程；同角的余角相等；三角函数的应用28.（2019江苏常州，28，10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【思路分析】（1）①平面图形S的“宽距”的定义即可解决问题．②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．求出PC的最大值即可解决问题．（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．求出d＝5或8时，点M的坐标，即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可．【解题过程】解：（1）①半径为1的圆的宽距离为1，故答案为1．②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt△ODC中，OC=√CD2+OD2=√12+22=√5∴OP+OC≥PC，∴PC≤1+√5，∴这个“窗户形“的宽距为1+√5．故答案为1+√5．（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，∴当d＝5时．AM＝4，∴AT=√AM2−MT2=2√3，此时M（2√3−1，2），当d＝8时．AM＝7，∴AT=√82−22=2√15，此时M（2√15−1，2），∴满足条件的点M的横坐标的范围为2√3−1≤x≤2√15−1．当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2√15+1≤x﹣2√3+1．【知识点】圆综合题；平面图形S的“宽距”的定义；正方形的判定和性质；三角形的三边关系。
2019年江苏省常州市中考数学试卷附分析答案
2019年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣3的相反数是（）A． B． C．3D．﹣3 2．（2分）若代数式 㔲 有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠33．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球4．（2分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD 5．（2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：46．（2分）下列各数中与2㔲 的积是有理数的是（）A．2㔲 B．2C． D．27．（2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B． C．0D．8．（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）计算：a3÷a＝．10．（2分）4的算术平方根是．11．（2分）分解因式：ax2﹣4a＝．12．（2分）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于°．13．（2分）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是．14．（2分）平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是．15．（2分）若 t ， t 是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝．16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB ＝°．17．（2分）如图，半径为 的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3 ，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．三、解答题（本大题共10小题，共84分。
常州市2019年中考数学试卷及答案(Word版)
江苏省常州市2019年中考数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.（2019江苏省常州市，1，2分）12-的相反数是（ ） A.12 B. 12- C .－2 D.2 【答案】A2. （2019江苏省常州市，2，2分）下列运算正确的是（ ） A. 33a a a ⋅= B. ()33ab a b = C. ()236aa = D. 842a a a ÷=【答案】C3. （2019江苏省常州市，3，2分）下列立体图形中,侧面展开图是扇形的是（ ）【答案】B4. （2019江苏省常州市，4，分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9.2环,方差分别为22s c π甲 2s 甲 =0.56,2s 乙=0.60, 2s 丙=0.50, 2s 丁=0.45,则成绩最稳定的是（ ）A.甲B.乙C.丙D.丁 【答案】D5. （2019江苏省常州市，5，2分）已知两圆半径分别为3 cm ,5 cm ,圆心距为7 cm ,则这两圆的位置关系为（ ）A. 相交B.外切C.内切D.外离 【答案】A6. （2019江苏省常州市，6，2分）已知反比例函数ky x=的图像经过P （－1,2）,则这个函数的图像位于（ ） A.第二,三象限 B.第一,三象限 C.第三,四象限 D.第二,四象限 【答案】D7. （2019江苏省常州市，7，分）甲,乙两人以相同路线前往距离单位10km 的培训中心参加学习.图中l 甲, l 乙分别表示甲,乙两人前往目的地所走的路程s km 随时间(分)变化的函数图象.以下说法:①乙比甲提前12分钟到达;( ) A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个【答案】B8.（2019江苏省常州市，8，分）在平面直角坐标系xOy 中，直线经过点A （－3，0），点B （0），点P 的坐标为（1，0），与y 轴相切于点O ，若将⊙P 沿x 轴向左平移，平移后得到（点P 的对应点为点P ′），当⊙P ′与直线相交时，横坐标为整数的点P ′共有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 【答案】C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）9.（2019江苏省常州市，9，4分）计算: 1-= , 22-= , ()23-= ,= .【答案】1，－4，9，－210.（2019江苏省常州市，10，2分）已知P （1,－2）,则点P 关于x 轴的对称点的坐标是 . 【答案】（1,2）11.（2019江苏省常州市，11，2分）若∠α=30°,则∠α的余角等于 度, sin α的值为 .【答案】60 12. （2019江苏省常州市，12，2分）已知扇形的半径为3cm ,此扇形的弧长是2πcm ,则此扇形的圆心角等于 度,扇形的面积是 .(结果保留π) 【答案】120，32cm π13. （2019江苏省常州市，13，2分）已知反比例函数2y x=,则自变量x 的取值范围是 ;的值为0,则x = 【答案】x ≠0，314. （2019江苏省常州市，14，2分）已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是1,则m = ,另一个根为 .【答案】2，215. （2019江苏省常州市，15，2分）因式分解:329x xy -= . 【答案】()()33x x y x y -+16. （2019江苏省常州市，16，2分）在平面直角坐标系xOy 中,一次函数10y x =-的图像与函数()60y x x=>的图像相交于点A,B,设点A 的坐标为（1x ,1y ）,那么长为1x ,宽为1y 的矩形的面积为 ,周长为 . 【答案】6，2017.（2019江苏省常州市，17，2分）在平面直角坐标系xOy 中,已知一次函数y kx b =+的图像经过点P （1,1）,与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,且tan ∠ABO=3,那么A 点的坐标是 .【答案】（－2，0）或（4，0）三、解答题（本大题共2小题，满分18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.（2019江苏省常州市，18，8分）计算与化简:（1012tan 453⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭解：原式=2－1+2=－1 （2）()()()111x x x x -+-+ 解：原式=2211x x x x -+-=-【答案】19. （2019江苏省常州市，19，10分）解不等式组和分式方程: （1）32113x x +>-⎧⎨-<⎩（2）32111x x x-=--【答案】解：（1）解不等式①，得：1x > 解不等式②，得：2x >- ∴不等式组的解集为：1x > （2）321x x +=- 312x x -=--32x =-四.解答题:20. （2019江苏省常州市，20，7分）为迎接“六一”儿童节的到来,某校学生参加献爱心捐款活动,随机抽取该校部分学生的捐款数进行统计分析,相应数据的统计图如下:（1）该校本的容量是 ,样本中捐款15元的学生有 人; （2）若该校一共有500名学生,据此样本估计该校学生的捐款总数.【答案】（1）50，10； （2）平均每人的捐款数为：()1155251015109.550⨯⨯+⨯+⨯=，9．5×500=4750（元） 21.（2019江苏省常州市，21，8分）一只不透明的箱子里共有3个球,把它们的分别编号为1,2,3,这些球除编号不同外其余都相同.（1）从箱子中随机摸出一个球,求摸出的球是编号为1的球的概率;（2）从箱子中随机摸出一个球,记录下编号后将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球并记录下编号,求两次摸出的球都是编号为3的球的概率.【答案】解：（1）从箱子中随机摸出一个球,摸出的球是编号为1的球的概率为：31； （2）画树状图如下：共有9种可能的结果，两次摸出的球都是编号为3的球的概率为91. 五.解答题（本大题共2小题,共12分,请在答题卡指定区域内作答,解答应写出证明过程）22.（2019江苏省常州市，22，5分）已知：如图,点C 为AB 中点,CD=BE,C D ∥BE.求证:△ACD ≌△CBE.【答案】证明：∵C D ∥BE ，∴∠ACD =∠B ∵点C 为AB 中点,∴AC=CB又∵CD=BE, ∴△ACD ≌△CBE （S.A.S.）.23. （2019江苏省常州市，23，7分）已知:如图,E,F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点,AF=CE,连接DE,DF,BE,BF.四边形DEBF 为平行四边形.求证:四边形ABCD 是平行四边形. 【答案】证明：连结BD 交AC 于点O∵AF=CE ,∴A F －EF =C E －EF ，即AE=CF ，∴AE ＋OE=CF ＋OF ，即OA=OC ∴四边形ABCD 是平行四边形.六.画图与应用（本大题共2小题,请在答题卡指定区域内作答,共14分）24. （2019江苏省常州市，24，7分）在平面直角坐标系xOy 中,如图,已知Rt △DOE,∠DOE=90°,OD=3,点D 在y 轴上,点E 在x 轴上,在△ABC 中,点A,C 在x 轴上,AC=5. ∠ACB+∠ODE=180°, ∠ABC=∠OED,BC=DE.按下列要求画图（保留作图痕迹）:（1）将△ODE 绕O 点按逆时针方向旋转90°得到△OMN （其中点D 的对应点为点M,点E 的对应点为点N ）,画出△OMN;（2）将△ABC 沿x 轴向右平移得到△A ′B ′C ′（其中点A,B,C 的对应点分别为点A ′,B ′,C ′）,使得B ′C ′与（1）中的 △OMN 的边NM 重合; （3）求OE 的长. 【答案】解：（1）、（2）画图如下：（3）解：设OE=x ，则ON=x ，作M F ⊥A ′B ′于点F ，由作图可知：B ′C ′平分∠A ′B ′O ，且C ′O ⊥O B ′，∴B ′F= B ′O=OE=x ，F C ′=O C ′=OD=3， ∵A ′C ′=AC=5，∴A ′F=43522=-，∴A ′B ′=x ＋4，A ′O=5+3=8，∴()22248x x +=+，解得：6=x ，∴OE=6.25. （2019江苏省常州市，25，7分）某小商场以每件20元的价格购进一种服装,先试销一周,试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x （元/件）如下表所示:假定试销中每天的销售号 (件)与销售价x （元/件）之间满足一次函数. （1）试求与x 之间的函数关系式; （2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下,每件服装的销售定价为多少时,该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大?每天的最大毛利润是多少?（注:每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价－每件服装的进货价） 【答案】解：（1）设与x 之间的函数关系式为：b kx t += ，因为其经过（38，4）和（36，8）两点，∴⎩⎨⎧+=+=bk bk 368384，解得：⎩⎨⎧=-=802b k ，故802+-=x y .（2）设每天的毛利润为w 元，每件服装销售的毛利润为（x －20）元，每天售出（80－2x ）件，则()()x x w 28020--==()2003021600120222+--=-+-x x x ，当x =30时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元.26. （2019江苏省常州市，26，8分）我们用[]a 表示不大于a 的最大整数,例如: []2.52=,[]33=,[]2.53-=-;用a 表示大于a 的最小整数,例如: 2.53=,45=, 1.51-=-.解决下列问题: （1）[]4.5-= , 3.5= .（2）若[]x =2,则x 的取值范围是 ;若y =－1,则y 的取值范围是 .（3）已知x ,y 满足方程组[][]32336x y x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩,求x ,y 的取值范围.【答案】解：（1）－5，4；（2）∵[]x =2,∴则x 的取值范围是21≤<x ；∵y =－1,∴y 的取值范围是12-<≤-y .（3）[]323x y +=⎧⎪⎨，解之得：[]⎨⎧-=1x ，∴x ,y 的取值范围分别为01<≤-x ，32<≤y .27. （2019江苏省常州市，27，10分）在平面直角坐标系xOy 中,二次函数213222y x x =-++的图像与x 轴交于点A,B （点B 在点A 的左侧）,与y 轴交于点 C.过动点H （0, m ）作平行于x 轴的直线,直线与二次函数213222y x x =-++的图像相交于点D,E.（1）写出点A,点B 的坐标;（2）若0m >,以DE 为直径作⊙Q,当⊙Q 与x 轴相切时,求m 的值;（3）直线上是否存在一点F,使得△ACF 是等腰直角三角形?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】解：（1）当y =0时，有0223212=++-x x ，解之得：41=x ，12-=x ，∴A 、B 两点的坐标分别为（4，0）和（－1，0）.（2）∵⊙Q 与x 轴相切，且与213222y x x =-++交于D 、E 两点， ∴圆心O 位于直线与抛物线对称轴的交点处，且⊙Q 的半径为H 点的纵坐标m （0m >）∵抛物线的对称轴为2321223=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=x ， ∴D 、E 两点的坐标分别为：（23－m ，m ），（23＋m ，m ）且均在二次函数213222y x x =-++的图像上， ∵2232323212+⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=m m m ，解得1229-=m 或1229--=m （不合题意，舍去） （3）存在.①当∠ACF=90°，AC=FC 时，过点F 作FG ⊥y 轴于G ，∴∠AOC=∠CGF=90°，∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG ，∴△AC O ≌△∠CFG ，∴CG=AO=4， ∵CO=2，∴m =OG=2+4=6；②当∠CAF=90°，AC=AF 时，过点F 作FP ⊥x 轴于P ，∴∠AOC=∠APF=90°，∵∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP ，∴△AC O ≌△∠FAP ，∴FP =AO=4， ∴m =FP =4；③当∠AFC=90°，FA=FC 时，则F 点一定在AC 的中垂线上，此时m =3或m=128.（2019江苏省常州市，28，10分）在平面直角坐标系xOy 中,点M ）,以点M 为圆心,OM 长为半径作⊙M . 使⊙M 与直线OM 的另一交点为点B,与x 轴, y 轴的另一交点分别为点D,A （如图）,连接AM.点P 是AB 上的动点.（1）写出∠AMB 的度数;（2）点Q 在射线OP 上,且OP ·OQ=20,过点Q 作QC 垂直于直线OM,垂足为C,直线QC 交x 轴于点E. ①当动点P 与点B 重合时,求点E 的坐标;②连接QD,设点Q 的纵坐标为,△QOD 的面积为S.求S 与的函数关系式及S 的取值范围. 【答案】解：（1）90°；（2）①由题意，易知：OM=2，，∴OB=4， 当动点P 与点B 重合时,∵OP ·OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90°，∠POE =45°，∴E 点坐标为（0）②∵，Q 的纵坐标为,∴S=t t 22221=⨯. 当动点P 与B 点重合时，过点Q 作QF ⊥x 轴，垂足为F 点，∵OP=4，OP ·OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD =45°，∴=225，此时S=52252=⨯；当动点P 与A 点重合时，Q 点在y 轴上，∴，∵ OP ·OQ=20，∴，此时S=10252=⨯； ∴S 的取值范围为105≤≤S .。
2019江苏常州中考数学试题解析答案
2019年江苏省常州市初中毕业、升学考试数学试题（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的） 1．（2019·江苏常州，1，2）－3的相反数是（ ）A ．13 B ．－13C ．3D ．－3 【答案】C ．【解析】本题考查了相反数的定义，和为0的两个数互为相反数，由于－3＋3＝0，从而－3的相反数是3，因此本题选C ．【知识点】实数的概念；相反数2．（2019·江苏常州，2，2）若代数式13x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＝－1 B ．x ＝3 C ．x ≠－1 D ．x ≠3【答案】D ．【解析】本题考查了分式有意义的条件，只要分母不为0，分式就有意义，由x －3≠0得x ≠3，因此本题选D ． 【知识点】分式有意义的条件 3．（2019·江苏常州，3，2）下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．3圆柱B ．正方体C ．圆锥D ．球【答案】A【解析】本题考查了由几何体的三视图认识几何体，因为该几何体的主视图与左视图都是矩形，所以该几何体是柱体；又因为该几何体的俯视图是圆，所以该几何体是圆柱，因此本题选A ． 【知识点】三视图 4．（2019·江苏常州，4，2）如图，在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是（ ）A ．线段PAB ．线段PBC ．线段PCD ．线段PD【答案】B【解析】本题考查了垂线的性质及点到直线的距离，根据“垂线段最短”，易知在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是PB ，因此本题选B ．【知识点】垂线的性质；点到直线的距离第3题图第4题图DC B AP5．（2019·江苏常州，5，2）若△ABC ∽△A B C '''，相似比为1﹕2，则△ABC 与△A B C '''的周长的比为（ ）A ．2﹕1B ．1﹕2C ．4﹕1D ．1﹕4【答案】B【解析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，知△ABC 与△A B C '''的周长的比为1﹕2，因此本题选B ． 【知识点】相似三角形的性质6．（2019·江苏常州，6，2）下列各数中与2＋3的积是有理数的是（ ）A ．2＋3B ．2C ．3D ．2－3 【答案】D【解析】本题考查了分母有理化及二次根式的乘法法则，因数(2＋3)(2－3)＝1，因此本题选D ．【知识点】分母有理化；二次根式的乘法法则 7．（2019·江苏常州，7，2）判断命题“如果n ＜1，那么n 2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n 可以为（ ）A ．－2B ．－12 C ．0 D ．12【答案】A【解析】本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“－2＜1，而(－2)2－1＝3＞1”，从而反例中的n 可以为－2，因此本题选A ． 【知识点】命题与证明；反证法；举反例 8．（2019·江苏常州，8，2）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y 1（ug/m 3）随着时间t （h ）的变化如图所示，设y 2表示0到t 时PM2.5的值的极 差（即0时到t 时PM2.5的最大值与最小值的差），则y 2与t 的函数关系大致是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】B【解析】本题考查了极差的意义及函数图像的应用，将一天24小时分成三段：0≤t ≤10、10≤t ≤20、20≤t ≤24，在0≤t ≤10，y 2随t 的增大而增大；在10≤t ≤20，y 2随t 的增大而不变（恒为85－42＝43），在20≤t ≤24，y 2随t 的增大而增大，因此本题选B ． 【知识点】极差的意义；函数图像的应用y 1t1020244285140第8题图A ．B ．C ．D ．98024y 2t98024y 2t 98024y 2t t y 224098二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9．（2019·江苏常州，9，2）计算：a3÷a＝__________．【答案】a2【解析】本题考查了同底幂的除法法则：同底幂相除，底数不变，指数相减，而a3÷a＝a3－1＝a2，因此本题答案为a2．【知识点】同底幂的除法法则10．（2019·江苏常州，10，2）4的算术平方根是__________．【答案】2【解析】本题考查了算术平方根的定义，因为22＝4，所以4的算术平方根为2，因此本题答案为2．【知识点】算术平方根的定义11．（2019·江苏常州，11，2）分解因式：ax2－4a＝__________．【答案】a(x＋2)(x＋2)【解析】本题考查了因式分解的常用方法，根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行分解，ax2－4a ＝a(x2－4)＝a(x＋2)(x＋2)，因此本题答案为a(x＋2)(x＋2)．【知识点】因式分解12．（2019·江苏常州，12，2）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于__________°．【答案】55°【解析】本题考查了余角的定义，根据和为90°的两个角称为互为余角，∵35°＋55°＝90°，∴∠α的余角等于55°，因此本题答案为55°．【知识点】余角的定义13．（2019·江苏常州，13，2）如果a－b－2＝0，那么代数式1＋2a－2b的值是__________．【答案】5【解析】本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值．∵a－b－2＝0，∴a－b＝2．∴1＋2a－2b＝1＋2(a－b)＝1＋2×2＝5，因此本题答案为5．【知识点】整式的求值问题；整体思想14．（2019·江苏常州，14，2）平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是__________．【答案】5【解析】本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，可求得点P(－3，4)5，因此本题答案为5．【知识点】平面内两点间的距离公式；勾股定理15．（2019·江苏常州，15，2）若12xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的二元一次方程ax＋y＝3的解，则a＝__________．【答案】1【解析】本题考查了二元一次方程的解的定义，将12xy=⎧⎨=⎩代入方程ax＋y＝3，得a＋2＝3，a＝1，因此本题答案为1．【知识点】二元一次方程的解的定义16．（2019·江苏常州，16，2）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠AOC ＝120°，则∠CDB ＝__________°．【答案】30【解析】本题考查了圆周角定理，∵AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝120°，∴∠BOC ＝60°．∴∠CDB ＝30°．因此本题答案为30．【知识点】圆周角定理17．（2019·江苏常州，17，2）如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切．连接OC ，则tan⊙OCB ＝__________．【答案】35． 【解析】本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识．设⊙O 与BC 边相切于点D ，连接OB 、OD ．由等边三角形的性质得∠ABC ＝60°，再由切线长定理易求∠OBC ＝30°，而OD ＝3，从而由tan⊙OBD＝ODBD，得BD ＝3tan 30 ＝3，于是CD ＝BC －BD ＝8－3＝5．在Rt △OCD 中，由正切函数定义，得tan⊙OCB ＝ODCD＝35．因此本题答案为35．【知识点】切线长定理；等边三角形的性质；锐角三角函数第16题图O D CBA第17题图O CBAO C BAD第17题答图18．（2019·江苏常州，18，2）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3AB ＝310．点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE ＝2BE ，点M 、N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN ＝__________．【答案】6．【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点．首先由勾股定理，求得BD ＝10，然后由“AD ＝3AB ＝310．点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE＝2BE ”，求得PD ＝3102，CE ＝210，这样由tan ∠DEC ＝12DC EC =；第四步过点P 作PH ⊥BD 于点H ，在BD 上依次取点M 、N ，使MH ＝NH ＝2PH ，于是因此△PMN 是所求符合条件的图形；第五步由△DPH ∽△DBA ，得PH PD BA BD =，即31021010PH =，得PH ＝32，于是MN ＝4PH ＝6，本题答案为6．【知识点】矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数；压轴题三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（2019·江苏常州，19，8）计算：（1）0121()(3)2π-+-；（2）(x －1)(x ＋1)－x (x －1) ．【思路分析】本题考查了实数的运算、整式的加减乘除法运算，解题的关键是按实数的运算法则与运算顺序、整式的乘法法则及加减法法则进行计算即可． 【解题过程】解：（1）原式＝1＋2－3＝0；（2）原式＝x 2－1－x 2＋x ＝x －1． 【知识点】实数的运算；整式的加减乘除法运算 20．（2019·江苏常州，20，6）解不等式组1038x x x+>⎧⎨-≤-⎩并把解集在数轴上表示出来．【思路分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及在数轴上表示法，解题先分别求每一个不等式的解集，然后借助数轴找它们解集的公共部分即为原不等式组的解集，另外，画出数轴按相关要求将其解集表示出来． 【解题过程】解：不等式①的解集为x ＞－1；第18题图PEDBA HNMP EDCBA第18题答图不等式②的解集为：3x ＋x ≤8，4x ≤8， x ≤2．∴原不等式组的解集为－1＜x ≤2，在数轴上表示如下：【知识点】一元一次不等式组的解法；不等式的解集在数轴上表示法 21．（2019·江苏常州，21，8）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在C '处，BC '与AD 相交于点E ．（1）连接AC '，则AC '与BD 的位置关系是_________； （2）EB 与ED 相等吗?证明你的结论．【思路分析】本题考查了折叠、平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点，连接AC '，从图形上容易看出并证明四边形ABDC '是等腰梯形，故AC '∥BD ．由折叠（轴对称性质）及平行四边形的性质、等角对等边可证明EB ＝ED ．【解题过程】解：（1）AC '∥BD ；（2）EB ＝ED ．理由如下：由折叠可知∠CBD ＝∠EBD ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ．∴∠CBD ＝∠EDB ． ∴∠EBD ＝∠EDB ． ∴EB ＝ED ．【知识点】折叠；平行四边形的性质；平行线的判定；等腰三角形的判定22．（2019·江苏常州，22，8）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元； （2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．第20题答图-4-3-2-143210第21题图第21题答图【思路分析】本题考查了统计中的条形图的应用，众数、平均数的求法及用样本估计总体的统计核心思想．将条形图的四组数据相加即可样本容量；由图可知这组数据的众数为10元；利用加权平均数计算公式即可求出这组数据的平均数；最后用样本平均数去乘数据总个数即可计该校学生的捐款总数． 【解题过程】解：（1）30，10； （2）x ＝56101115820530⨯+⨯+⨯+⨯＝36030＝12（元）；（3）∵12×600＝7200（元），∴估计该校学生的捐款总数为7200元．【知识点】统计中的条形图的应用；众数、平均数的求法；用样本估计总体 23．（2019·江苏常州，23，8）将图中的A 型（正方形）、B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中． 根据以上信息，解决下列问题：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）【思路分析】本题考查了概率的求法，第（1）问用简单枚举法及概率的意义较易求出；第（2）问用列表法或画树状图法可以解决． 【解题过程】解：（1）23； （2）现画树状图如下：由图可知共有6种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种，故P (拼成第22题图1186520151050捐款数/元人数第23题图111C BA第23题答图(C,B)(C,A)(B,C)(B,A)(A,C)(A,B)结果：第二次：第一次：开始ABC C CB A的图形是轴对称图形)＝26＝13． 【知识点】概率的求法24．（2019·江苏常州，24，8）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？ 【思路分析】本题考查了分式方程的应用，解题时按列分式方程解应用的步骤进行操作即可，本题的等量关系是：甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等． 【解题过程】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做(30－x )个零件，根据题意，得18012030x x=-，解得x ＝18． 经检验，x ＝18是原方程的解，则30－x ＝12．答：甲、乙两人每小时分别做18个和12个零件． 【知识点】分式方程的应用25．（2019·江苏常州，25，8）如图，在□ABCD 中，OA ＝22，⊙AOC ＝45°，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图像经过点A 、D ． （1）求k 的值；（2）求点D 的坐标．【思路分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数等知识点．（1）如答图，延长BA 交x 轴于点F ，取OA 的中点E ，连接DE ．由OA ＝22，⊙AOC ＝45°，利用等腰直角三角形的边角关系易求OF ＝AF ＝2，从而A (2，2)，并代入双曲线的解析式即可得k ＝4．（2）由中点公式，易求点E 的坐标，从而D 点的横坐标与E 点相同，在y ＝4x，将点E 的横坐标代入可求y 的值，从而求出点D 的坐标． 【解题过程】解：（1）如答图，延长BA 交x 轴于点F ，取OA 的中点E ，连接DE ，则AF ⊥x 轴于点F ． 在Rt △AOF 中，OA ＝22，⊙AOC ＝45°，可得OF ＝AF ＝2，从而A (2，2)． ∵反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图像经过点A 、D ， ∴k ＝2×2＝4．（2）∵O (0，0)，A (2，2)，∴线段OA 的中点E 的坐标为 (1，1)．yxO DCB A∵在y ＝kx中，当x ＝1，y ＝4， ∴点D 的坐标为(1，4)．【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形的性质；反比例函数26．（2019·江苏常州，26，10）【阅读】数学中，常对同一个量．．．．（图形的面积、点的个数、三角形内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】（1）如图1，两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得到等式：n 2＝___________________________．【运用】（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以(m ＋n )点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形．当n ＝3，m ＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y ＝7．①当n ＝4，m ＝2时，如图4，y ＝______；当n ＝5，m ＝_______时，y ＝9；②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳思想，可得y ＝__________（用含m 、n 的代数式表示）．请对同一个量．．．．用算两次的方法说明你的猜想成立． 第25题答图FE yxOD CBA图26—1abc cba图26—2【思路分析】本题考查了勾股定理的验证、数列的求和公式推导、规律探究等知识点．（1）利用梯形面积的两种不同的计算方式，得到关于直角三角形三边a 、b 、c 的数量关系：a 2＋b 2＝c 2，从而得到结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）根据图2中n 行n 列个点的计算方式，得到n 2＝1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）．（3）先观察图3和图4，不难解决第①问；②利用多边形的内角和公式，得到在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即可得到y 与m 、n 的数量关系式． 【解题过程】解：（1）∵S 梯形＝12(a ＋b )(a ＋b )＝12(a 2＋2ab ＋b 2)， 又∵S 梯形＝2×12ab ＋12c 2，⊙12(a 2＋2ab ＋b 2)＝2×12ab ＋12c 2． ∴a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2． ∴a 2＋b 2＝c 2．结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）． （3）①6，3；②n ＋2m －2，理由如下：如答图，在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即180°•(n －2)＋m •360°，故180y ＝180(n －2)＋360 m ，故y ＝n ＋2m －2．【知识点】勾股定理的验证；数列的求和公式推导；规律探究；阅读理解题 27．（2019·江苏常州，27，10）如图，二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 坐标为(－1，0)，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上． （1）b ＝_____；（2）若点P 在第一象限，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N ．是否存在这样的点P ，使得PM ＝MN ＝NH ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ，求点P 的坐标．图26—3 图26—4第26题答图【思路分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点有：用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、相似三角形的性质与判定等．（1）直接将点A坐标代入抛物线解析式，得到关于b的一元一次方程，解之即可；（2）先求直线BC、BD的解析式，然后令P(m，－m2＋2m＋3)，则M(m，－m＋3)、N(m，－12m＋32)，再利用PM＝MN＝NH，得到m的一元二次方程解之即可锁定符合条件的点P坐标；（3）如答图2，过点P作PK ⊥AB于点K，过点Q作QJ⊥AB于点J，则PK∥QJ．通过面积关系及相似三角形知识，将问题转化为点P的纵坐标为点Q纵坐标3倍关系，最后利用坐标法仿照（2）得到符合条件的点P的坐标．【解题过程】解：（1）∵二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像过点A(－1，0)，∴0＝－(－1)2－b＋3．∴b＝2．（2）如答图1，连接BD、BC，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC、BD分别于点M、N．∵抛物线y＝－x2＋2x＋3交x轴于点A(－1，0)、B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，且点D为OC的中点，∴D(0，32 )．易求直线BC的解析式为y＝－x＋3，直线BD的解析式为y＝－12x＋32．假设存在符合条件点P(m，－m2＋2m＋3)，则M(m，－m＋3)、N(m，－12m＋32)．∵PM＝MN＝NH，∴－12m＋32＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)．第27题图第27题备用图xODCBAyxODCBAyJ KRQPxODCBAy第27题答图2HNMPxODCBAy第27题答图1整理，得2m 2－7m ＋3＝0，解得m 1＝12，m 2＝3（不合题意，舍去）． ∴P (12，154)即为所求的符合条件的点． （3）如答图2，过点P 作PK ⊥AB 于点K ，过点Q 作QJ ⊥AB 于点J ，则PK ∥QJ ． ∵过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ， ∴PQ ＝2QR ，从而PR ＝3QR ． ∵PK ∥QJ ，∴△RQJ ∽△RPK ．∴13QJ RQ PK RP ==． ∴PK ＝3QJ ．设P (n ，－n 2＋2n ＋3)，由BD 的解析式为y ＝－12x ＋32，且直线PQ ⊙BD ，可令直线PQ 的解析式为y ＝2x ＋t ，则－n 2＋2n ＋3＝2n ＋t ，解得t ＝3－n 2，于是，PQ ：y ＝2x ＋3－n 2．由2132223y x y x n ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩，解得2223551955x n y n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，从而Q (22355n -，21955n -+)．由PK ＝3QJ ，得－n 2＋2n ＋3＝3(21955n -+)，整理，得n 2－5n ＋6＝0，解得n 1＝2，n 2＝3（舍去）． 当n ＝2时，－n 2＋2n ＋3＝3，故P (2，3)即为所求的点． 【知识点】二次函数的综合应用；用待定系数法求函数解析式；一元二次方程的解法；相似三角形的性质与判定；压轴题28．（2019·江苏常州，28，10）已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：________；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”：________；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)、B (1，0)，C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d ．①若d ＝2，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C 在⊙M 上运动，⊙M 的半径为1，圆心M 在过点(0，2)且与y 轴垂直的直线上．对于⊙M上的任意点C ，都有5≤d ≤8，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围．【思路分析】本题考查了新定义问题、点到圆的最大距离、扇形的面积、尺规作图、动态问题、探究问题等内容．（1）易知直径是圆有最大的弦；在“窗户形”图形中，中利用点到圆的最大距离的线段在点与圆心的连心线上找，据B Axy O1-11-1图28—2图28—1此可求该图形的宽距．（2）解答本问的两个问题都遵循“一找二求”原则：找出符合条件的图形，再根据条件求相应结论．具体思路参照答图2至答图4，充分利用数形结合思想与分类思想，并利用勾股定理进行求解即可． 【解题过程】解：（1）①2（直径是圆的宽距）；②5＋1．（如答图1，点A 与半圆圆心的连线与半圆相交于点D ，则AD 的长最大）（2）①如答图2所示，分别以A 、B 为圆心，以AB 为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C 所在的区域．S 阴影＝2(21202360π⋅－12312⋅⋅)＝8233π-．②23－1≤x ≤35－1或1－35≤x ≤1－23．【知识点】新定义问题；点到圆的最大距离；扇形的面积；尺规作图；动态问题；探究问题；压轴题ODCBA第28题答图1B A xyO 1-11-1第28题答图3 第28题答图4AB OxyMCN N CMyxOBA。
常州市2019年中考数学试题含答案(word版)
2019年常州市中考数学试题一、选择题（每小题2分，共16分） 1．－3的绝对值是A ．3B ．－3C ．31D ．－312．要使分式23x 有意义，则x 的取值范围是 A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≠－2 D ．x ≠23．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B ＝40°，则∠ECD 的度数是E DCA BA ．70°B ．60°C ．50°D ．40°5．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列说法一定正确的是ODBCAA ．AO ＝ODB ．AO ⊥ODC ．AO ＝OCD ．AO ⊥AB6．已知a ＝22，b ＝33，c ＝55，则下列大小关系正确的是A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b7．已知二次函数y ＝2x ＋（m －1）x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是A ．m ＝－1B ．m ＝3C ．m ≤－1D ．m ≥－18．将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是ABCA ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．3316cm 2 D ．16cm 2 二、填空题（每小题2分，共20分） 9．计算12)1(-+-π＝_________．10．太阳的半径约为696000km ，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________． 11．分解因式：2222y x -＝____________________________．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________． 13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB ＝1：2，DE ＝2，则BC 的长是______．EDBCA14．已知x ＝2是关于x 的方程a x a 21)1(=+＋x 的解，则a 的值是______________． 15．二次函数y ＝－2x ＋2x －3图像的顶点坐标是____________．16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是_______________．y （单位：m ）（单位：m ）Ox300400CBA17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2； 12＝5＋7； 6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7； 8＝3＋5； 16＝3＋13＝5＋11； 10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11； …通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）． 18．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，∠BAD ＝60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是_______________．COBAD三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：)2()1(2x x x --+，其中x ＝2．20．（8分）解方程和不等式组： ⑴x x x 311213--=-； ⑵⎩⎨⎧->->+.521,042x x21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图； ⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．1.5小时 24％1小时0.5小时 20％2小时时间/小时人数2小时1.5小时20018016014012010080601小时400200.5小时22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序． ⑴求甲第一个出场的概率； ⑵求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在□ABCD 中，∠BCD ＝120°，分别延长DC 、BC 到点E ，F ，使得△BCE 和△CDF 都是正三角形． ⑴求证：AE ＝AF ； ⑵求∠EAF 的度数．ABDFEC24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m 元，3公里后按n 元/公里计费．光明中学市图书馆光明电影院2公里5公里⑴求m ，n 的值，并直接写出车费y （元）与路程x （公里）（x ＞3）之间的函数关系式；⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝45°，∠ADB ＝∠ABC ＝105°． ⑴若AD ＝2，求AB ；⑵若AB ＋CD ＝23＋2，求AB ．CDAB26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”． ⑴阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．理由：连接AH ，EH ．∵ AE 为直径 ∴ ∠AHE ＝90° ∴ ∠HAE ＋∠HEA ＝90°． ∵ DH ⊥AE ∴ ∠ADH ＝∠EDH ＝90° ∴ ∠HAD ＋∠AHD ＝90°∴ ∠AHD ＝∠HED ∴ △ADH ∽_____________． ∴DEDH DH AD ，即2DH ＝AD ×DE ． 又∵ DE ＝DC ∴ 2DH ＝____________，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．FGHBCAE D ABCD⑵操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形． 如图②，请用尺规作图作出与□ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）． ⑶解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）． ⑷拓展探究n 边形（n ＞3）的“化方”思路之一是：把n 边形转化为等积的n －1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD 面积作图）．27．（10分）如图，一次函数y ＝－x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合．⑴写出点A 的坐标；⑵当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．⑶若点M 在直线l 上，且∠POM ＝90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是1S 、2S ，求2111S S 的值．28．（10分）如图，反比例函数y ＝x k 的图像与一次函数y ＝41x 的图像交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB 的上方． ⑴若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△PAB 的面积；⑵设直线PA 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；⑶设点Q 是反比例函数图像上位于P 、B 之间的动点（与点P 、B 不重合），连接AQ 、BQ ，比较∠PAQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由．常州市2019年中考数学试题答案一、选择题（每小题2分，共16分）1、A2．D3．B4．C5．C6．A7．D8．B二、填空题（每小题2分，共20分）三、解答题（共10小题，共84分）。
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江苏省常州市2019年中考数学试卷、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1 3的相反数是（）3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（A.线段PAB.线段PBC.线段PCD.线段PD5.若△ ABC-A A BC'，相似比为1: 2,则厶ABC W^ AB' C的周长的比为（）A. 2: 1B. 1 : 2C.4: 1D.1: 46.下列各数中与2+ 的积是有理数的是（)A. 2+ :B. 2C.D.2——7.判断命题“如果nv 1,那么n2—1 v 0”是假命题, 只需举出一个反例反例中的n可以为（)11A.- 2B-— < C.0 D.&随着时代的进步，人们对PM.5 （空气中直径小于等于 2.5微米的颗粒）的关注日益密切.某市一天中PM2.5的值y1 （ug/m i）随时间t （h）的变化如图所示，设中表示0时到t时PM.5的值A. B. C. 3 D.—32.若代数式有意义, 则实数x的取值范围是（A. x =—1B. x = 3C. X M— 1D. X M 3C.圆锥D.球A.圆柱B.正方体的极差（即0时到t 时PM.5的最大值与最小值的差），则y 2与t 的函数关系大致是（二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在 答题卡相应位置上）9. ____________________ 计算：a 3+ a = .10. _______________________ 4的算术平方根是 . 11 .分解因式：ax 2 - 4a = _________ .12. 如果/ a = 35°，那么/ a 的余角等于 _____________ ° . 13. 如果a - b -2= 0，那么代数式1+2a- 2b 的值是 ____________ . 14 .平面直角坐标系中，点P （- 3, 4）到原点的距离是 ________ .卜二15. ______________________________________________________________ 若是关于x 、y 的二元一次方程 ax +y = 3的解，则a = _______________________________________________ .16. _________________________________________________________________________ 如图，AB 是O O 的直径，C 、D 是O O 上的两点，/ AOC= 120°,则/ CDB= ________________________17. 如图，半径为讥的O O 与边长为8的等边三角形 ABC 的两边AB BC 都相切，连接 OC 贝U tanZ OCB= ______140 854298B .O9SA.oC .o18.如图，在矩形ABCDK AD= 3AB= 3^1 C,点P是AD的中点，点E在BC上，CE= 2BE点MN三、解答题(本大题共10小题，共84分。
请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19. (8分)计算:(2)( x—1)( x+1)—x (x - 1).s+l>0,20. ( 6分)解不等式组并把解集在数轴上表示出来.(8分)如图，把平行四边形纸片ABCD& BD折叠，点C落在点C处，BC与AD相交于点E.捐款数(单位：元)，并绘制成下面的统计图.在线段BD上.若△ PMN是等腰三角形且底角与/ DEC相等，贝U MN=(1) n")21 .抽样调查了该校部分学生的22.(1)连接AC，则AC与BD的位置关系是(1) ___________________________ 本次调查的样本容量是_____ ，这组数据的众数为元;(2)求这组数据的平均数；(3)该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数.23. （8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个3个盒子装入一只不透明的袋子中.（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ___________ ；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2 个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率. （不重叠无缝隙拼接）24. （8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等•甲、乙两人每小时各做多少个零件？25. （8分）如图，在？OABC K 02 2 '',Z AOG= 45°，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比k例函数y=「（X>0）的图象经过点A、D.（1）求k的值；26. （10分）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想.【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成申人数盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这一个梯形•用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；(2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式: 2n = _______ ；【运用】(3)n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以(n+n)个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形•当n= 3, n= 3时，如图3,最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7.①当n = 4, m= 2 时，如图4, y= _______ ;当n= 5, n= ________ 时，y= 9；②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y = ____________ (用含m n的代数式表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.27. (10分)如图，二次函数y=- x+bx+3的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C点A的坐标为(-1,0)，点D为0C的中点，点P在抛物线上.(1)_________ b= ;(2)若点P在第一象限，过点P作PH L x轴，垂足为H, PH与BC BD分别交于点M N是否存在这样的点P,使得PM= MN= NH若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P的横坐标小于3,过点P作PQ L BD垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且&PQ尸28. ( 10分)已知平面图形S,点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”.例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度.(1)写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：_______ ;••••••■・•••.■②如图1,上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：______ ;(2)如图2,在平面直角坐标系中，已知点A(- 1, 0)、B( 1 , 0), C是坐标平面内的点，连接AB BG CA 所形成的图形为S,记S的宽距为d.①若d = 2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示)；②若点C在O M上运动，O M的半径为1,圆心M在过点(0, 2)且与y轴垂直的直线上. 对于O M 上任意点C,都有5W d< 8,直接写出圆心M的横坐标x的取值范围.参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 解：（-3）+3= 0.故选：C.x+12. 解：•••代数式;有意义，x - 3工0,••• XM 3.故选：D.3. 解：该几何体是圆柱.故选：A.4. 解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为 B.故选：B.5. 解：•••△ ABOA A B'C',相似比为1 : 2,• △ ABC W^ A'B' C的周长的比为1：2.故选：B.6 .解：T（2+ :_）（2 - :_）= 4 - 3= 1;故选：D.7.解：当n=- 2 时，满足n v 1，但n2- 1 = 3> 0,所以判断命题“如果n v1,那么n2- 1 v0”是假命题，举出n=- 2.故选：A.& 解：当t = 0 时，极差y2= 85- 85 = 0,当0v t < 10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43;当10v t w 20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20v t w 24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98;故选：B.二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.解：a3+ a= a2.故答案为：a2.10 •解：4的算术平方根是2.故答案为：2.11 .解:ax2- 4a,=a (x2- 4),=a (x+2)( x- 2).12 .解：a = 35 ° ,• ••/ a 的余角等于90 ° - 35°= 55 °故答案为：55.13. 解：T a- b- 2 = 0,•- a- b= 2,•- 1+2a- 2b= 1+2 (a- b)= 1+4= 5；故答案为5.14. 解：作PAL x 轴于A,贝U PA= 4, OA= 3.则根据勾股定理，得OP= 5.故答案为5.15 .解：把代入二元一次方程ax+y = 3中，a+2= 3,解得a= 1.故答案是：1.16.解：•••/ BO= 180°-/ AO= 180° - 120° = 60°,1•••/ CDB= , / BO= 30°.故答案为30.17 .解：连接OB作OD L BC于D,TO O与等边三角形ABC的两边AB BC都相切，1•••/ OB(=Z OBA^ —/ ABC= 30°,0D--tan / OB=；-,叫V3...BD=t 壬二- =___= 3,二CD= BC- BD= 8 -3 = 5,/ …OD V3••• tan / OC= =r=—- CD 5故答案为兰.5B D C18.解：作PF1 MNF F,如图所示：则/ PFM=Z PFN= 90°,•••四边形ABCD!矩形，•AB= CD BC= AD= 3AB= 3心A=Z C= 90°,•AB= CD= !： , BD=，UhC' = 10,•••点P是AD的中点，•••/ PDF=Z BDA• △PDF^A BDAPF PD•/ CE= 2BE•BC= AD= 3BE•BE= CD•CE= 2CD•••△PMN!等腰三角形且底角与/ DEC相等,PFL MN •MF= NF / PNF=Z DEC•••/ PFN=Z C= 90° ,•△PNF^A DEC.NF CE…「厂=•••2P1 3,••• MN= 2NF 6;故答案为：6.三、解答题(本大题共10小题，共84分。