网孔电流法

i1
R1
② i5
R2
i2
i1 + i3 i4 = 0
us2
us1
① i4
R5 R4 R3 us3
④ R6
i6
i1 i2 + i5 = 0 i2 i3 i6 = 0
③
i4 = i1 + i3 i5 = i1 + i2 i6 = i2 i3
i3
电流i 是非独立电流，它们由独立电流i 电流 4、i5和i6是非独立电流，它们由独立电流 1、i2和i3的线性 组合确定。这种线性组合的关系，可以设想为电流 组合确定。这种线性组合的关系，可以设想为电流i1、i2和i3沿每个 网孔边界闭合流动而形成，如图中箭头所示。 网孔边界闭合流动而形成，如图中箭头所示。这种在网孔内闭合流 动的电流，称为网孔电流。 动的电流，称为网孔电流。它是一组能确定全部支路电流的独立电 流变量。对于具有 条支路和 个结点的平面连通电路来说， 条支路和n个结点的平面连通电路来说 流变量。对于具有b条支路和 个结点的平面连通电路来说，共有 (b-n+1)个网孔电流。 个网孔电流。 个网孔电流
二、网孔方程
以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的 以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的KVL方程分 方程分 别为： 别为：
i1
R1
② i5
R2
i2
R i1 + R5i5 + R4i4 = uS1 1 R2i2 + R5i5 + R6i6 = uS2 (1)
us1
① i4
R5 R4 R3 us3
3.wk.baidu.com 网孔电流法
在支路电流法一节中已述及， 在支路电流法一节中已述及，由独立电压源和线性电阻构成 的电路，可以 个支路电流变量来建立电路方程 个支路电流变量来建立电路方程。 个支路电流 的电路，可以b个支路电流变量来建立电路方程。在b个支路电流 中，只有一部分电流是独立电流变量，另一部分电流则可由这些 只有一部分电流是独立电流变量， 独立电流来确定。若用独立电流变量来建立电路方程， 独立电流来确定。若用独立电流变量来建立电路方程，则可进一 步减少电路方程数。 步减少电路方程数。
④ R6 i6
us2
③
R3i3 R6i6 + R4i4 = uS3
定律有： 由KCL定律有： 定律有
i4 = i1 + i3
i3
i5 = i1 + i2 i6 = i2 i3
将以上三式代入方程组(1) 消去i 后可以得到： 将以上三式代入方程组 ，消去 4、i5和i6后可以得到：
R1i1 + R5 (i1 + i2 ) + R4 (i1 + i3 ) = uS1 R2i2 + R5 (i1 + i2 ) + R6 (i2 i3) = uS2 R3i3 R6 (i2 i3 ) + R4 (i1 + i3 ) = uS3 (2)
R i1 + R i2 +... + R im = uS11 11 12 1m R21i1 + R22i2 +... + R2mim = uS22 ........................ Rm1i1 + Rm2i2 +... + Rm im = uSmm m
三、网孔电流法的应用
网孔分析法的计算步骤如下： 网孔分析法的计算步骤如下： 1．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。规定各回路 ．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。 绕行方向均与对应的网孔电流方向一致. 绕行方向均与对应的网孔电流方向一致 2．用观察法列出全部网孔电流方程,注意自电阻均为正值 ．用观察法列出全部网孔电流方程 注意自电阻均为正值 注意自电阻均为正值, 可为负值. 互电阻 可为负值 3．解联立方程组，求出各网孔电流。 ．解联立方程组，求出各网孔电流。 4．选定支路电流及参考方向。将支路电流用网孔电流表 ．选定支路电流及参考方向。 求得各支路电流。 示，求得各支路电流。 5．根据题目要求 计算支路电压和功率等 ．根据题目要求,计算支路电压和功率等 计算支路电压和功率等.
例1
用网孔电流法求图示电路各支路电流。 用网孔电流法求图示电路各支路电流。
图2-22
的参考方向，如图所示。 选定两个网孔电流i 解：①选定两个网孔电流 1和i2的参考方向，如图所示。 ②用观察电路的方法直接列出网孔方程： 用观察电路的方法直接列出网孔方程：
(1 +1)i1 (1)i2 = 5V 1i1 + (1 + 2)i2 = 10V
解得： ③解得：
i1 = 1A i2 = 2A i3 = 3A
各支路电流分别为 ④各支路电流分别为:
i4 = i3 i1 = 4A i5 = i1 i2 = 3A i6 = i3 i2 = 1A
当电路中含有无伴电流源支路或含有受控源时 的处理方法: 的处理方法:
1.无伴电流源在电路的边界支路上 设网孔电流就等于电流源 无伴电流源在电路的边界支路上,设网孔电流就等于电流源 无伴电流源在电路的边界支路上 的电流,不再列写该回路的网孔电流方程。 的电流 不再列写该回路的网孔电流方程。 不再列写该回路的网孔电流方程 2。无伴电流源在两个网孔的公共支路上，可以将电流源的端 。无伴电流源在两个网孔的公共支路上， 电压u设为未知量，将其视为电压源的电压， 电压 设为未知量，将其视为电压源的电压，列写网孔电流方 设为未知量 程。因增加了未知量，故必须补充一个方程。 因增加了未知量，故必须补充一个方程。 3.如果电路中含有受控源 将其视为独立电源 列写网孔电流方 如果电路中含有受控源,将其视为独立电源 如果电路中含有受控源 将其视为独立电源,列写网孔电流方 并将受控源的控制量用网孔电流表示,代入网孔电流方程中 程,并将受控源的控制量用网孔电流表示 代入网孔电流方程中 并将受控源的控制量用网孔电流表示 代入网孔电流方程中, 使方程中只含有网孔电流. 使方程中只含有网孔电流
由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程很有规律。 由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程很有规律。 可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降的代数 可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降的代数 等于该网孔全部电压源电压升的代数和。 和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。根据以上总结 的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方程。具有 的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方程。具有m 个网孔的平面电路， 个网孔的平面电路，其网孔方程的一般形式为
(1)i1 (1)i3 + u = 20V (5+ 3)i2 (3)i3 u = 0 i1 i2 =1A
i3
将网孔方程写成一般形式： 将网孔方程写成一般形式：
R i1 + R i2 + R i3 = uS11 11 12 13
R21i1 + R22i2 + R23i3 = uS22 R31i1 + R32i2 + R33i3 = uS33
其中R 称为网孔自电阻， 其中 11, R22和R33称为网孔自电阻，它们分别是各网孔内全部 电阻的总和。例如 电阻的总和。例如R11= R1+ R4+ R5, R22= R2 + R5+ R6, R33= R3+ R4+ R6。
整理为
2i1 i2 = 5A i1 + 3i2 = 10A
解得： ③解得： i1 =1A
i2 = 3A
各支路电流分别为i ④各支路电流分别为 1=1A, i2=-3A, i3=i1-i2=4A。 。
用网孔电流法求图示电路各支路电流。 例2 用网孔电流法求图示电路各支路电流。
选定各网孔电流的参考方向，如图所示。 解：①选定各网孔电流的参考方向，如图所示。 用观察法列出网孔方程： ②用观察法列出网孔方程：
i1
R1
② i5
R2
i2
将方程组(2)整理得： 将方程组 整理得： 整理得
(R1 + R4 + R5 )i1 + R5i2 + R4i3 = uS1
us1
① i4
R5 R4 R3 us3
④ R6 i6
us2
③
R5i1 + (R2 + R5 + R6 )i2 R6i3 = uS2
R4i1 R6i2 + (R3 + R4 + R6 )i3 = uS3
us1
① i4
R5 R4
④ R6 i6
③
us2
i 2 i3 i6 = 0 i 4 = i1 + i 3 i 5 = i1 + i 2 i6 = i2 i3
i3
R3 us3
支路电流i 可以用另外三个支路电流i 支路电流 4、i5和i6可以用另外三个支路电流 1、i2和i3的线性组合 来表示。 来表示。
一、网孔电流
若将电压源和电阻串联作为一条支路时，该电路共有 条支路和 若将电压源和电阻串联作为一条支路时，该电路共有6条支路和 4个结点。对①、②、③结点写出KCL方程。 个结点。 方程。 个结点 结点写出 方程 i1
R1
② i5
R2
i2
i1 + i3 i4 = 0 i1 i2 + i5 = 0
(R1 + R4 + R5 )i1 + R5i2 + R4i3 = uS1
R5i1 + (R2 + R5 + R6 )i2 R6i3 = uS2
R4i1 R6i2 + (R3 + R4 + R6 )i3 = uS3
R11i1 + R12i2 + R13i3 = uS11 R21i1 + R22i2 + R23i3 = uS22 R31i1 + R32i2 + R33i3 = uS33
Rk j (k≠j)称为网孔 k 与网孔 j 的互电阻，它们是两网孔公 的互电阻， 称为网孔 共电阻的正值或负值。 共电阻的正值或负值。当两网孔电流以相同方向流过公共电 阻时取正号，例如R12= R21= R5, R13= R31= R4。当两网孔电流 阻时取正号，例如 以相反方向流过公共电阻时取负号，例如 以相反方向流过公共电阻时取负号，例如R23= R32=-R6。 uS11、uS22、uS33分别为各网孔中全部电压源电压升的代 数和。 极的电压源取正号； 数和。绕行方向由 - 极到 + 极的电压源取正号；反之则取负 例如u 号。例如 S11=uS1,uS22=uS2,uS33=-uS3。
用网孔电流法求图示电路的支路电流。 例3 用网孔电流法求图示电路的支路电流。
解：设电流源电压为 ，考虑了电压 的网孔方程为： 设电流源电压为u，考虑了电压u的网孔方程为 的网孔方程为：
(1)i1 + u = 5V (2)i2 u = 10V
补充方程: 补充方程:
i1 i2 = 7A
i1 = 3A i2 = 4A u = 2V
联立求解以上方程得到： 联立求解以上方程得到：
例4
用网孔电流法求解图示电路的网孔电流。 用网孔电流法求解图示电路的网孔电流。
当电流源出现在电路外围边界上时， 解：当电流源出现在电路外围边界上时，该网孔电流等于 电流源电流，成为已知量，此例中为 电流源电流，成为已知量，此例中为i3=2A。此时不必 。 列出此网孔的网孔方程。只需计入 电流源电压 电流源电压u， 列出此网孔的网孔方程。只需计入1A电流源电压 ，列 出两个网孔方程和一个补充方程： 出两个网孔方程和一个补充方程：
(2+1+ 2)i1 (2)i2 (1)i3 = 6V 18V (2)i1 + (2+ 6+ 3)i2 (6)i3 =18V 12V (1)i1 (6)i2 + (3+ 6+1)i3 = 25V 6V
整理为: 整理为
5i1 2i2 i3 = 12A 2i1 +11i2 6i3 = 6A i1 6i2 +10i3 = 19A