直线的斜率和直线方程知识点
直线方程及两直线的位置关系知识梳理
直线与方程一、基础知识梳理知识点1：直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的 所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为（2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的 为该直线的斜率，即k=t a n α注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.（当α=900时， k 不存在）（3）过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：k=t a n 1212x x y y --=α（当x 1＝x 2时，k 不存在，此时直线的倾斜角为900）.知识点2：直线的方程直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
二、易错知识梳理1、忽视截距为零【易错题1】求经过点（2,1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 2、忽视与x 轴平行的情况 【易错题2】已知直线过（1,2）、（2，b ），求直线方程. 3、忽视斜率不存在的情况【易错题3】已知直线l 过点P （1,2）且与以A(-2,-3)、B （3,0）为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围. 三、考点类型剖析题型一 斜率与倾斜角的关系例1、 已知过点Ｐ（１－ａ，１＋ａ）和Ｑ（３，２ａ） 的直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围为归纳小结：任意一条直线都有唯一确定倾斜角，但斜率未必都存在. )000,180⎡∂∈⎣，k R ∈，)000,90⎡∂∈⎣，(0,)k ∈+∞；00(90,180)∂∈(,0)k ∈-∞. 题型二 三点共线问题例2、 求证A （1,5），B （0,2），C （2,8）三点共线.变式训练：（浙江高考）已知a>0，若平面内三点A （1,-a ），B （2, 2a ），C （3, 3a ）共线，则a=题型三 待定系数法求直线方程例3、 过点P(1,3)的直线分别与两坐标轴交于A,B 两点，若P 为中点，求直线的方程.变式训练：一条直线过点A （-2,3），并且与两坐标轴围成三角形的面积为1，求此直线方程. 题型四 直线方程的应用问题例4、如右图所示一条光线从点A （3,2）发出，经x 轴反射，通过B(-1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程.变式训练1：已知直线120mx ny ++=在x 轴，y 轴截距分别为-3和-4，求m,n 的值. 变式训练2：已知点A(2,5)与点B(4，-7)，试在y 轴上求一点P,使得PA PB +的值最小. 四、知能达标训练基础训练1、过点P (－2, m )和Q (m , 4)的直线斜率等于1，那么m 的值等于 （ ） A 、1或3 B 、4 C 、1 D 、1或42、在直角坐标系中，直线y= -3x+1的倾斜角为（ ）A 、0120B 、-030C 、060D 、- 060 3、过点(-3, 0)和点(-4,3)的倾斜角是（ ）A 、030B 、0150C 、060D 、0120 4、如图，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，则有（ ） A 、k 1<k 2<k 3 B 、k 3<k 1<k 2 C 、k 3<k 2<k 1 D 、k 1<k 3<k 25．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在3、过两点（-1，1）和（3，9）的直线，在x 轴上的截距是（ ） A 、32-B 、23- C 、25 D 、23、过点(5,2),且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A 、2x+y-12=0 B 、2x+y-12=0 或2x-5y=0 C 、x-2y-1=0 D 、x+2y-9=0或2x-5y=0 7、若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则（ ）A 、ab>0，bc>0B 、ab>0，bc<0C 、 ab<0，bc>0D 、 ab<0，bc<0 8、把直线l 的一般式260x y -+=化为斜截式，求出直线l 的斜率以及与两坐标轴的截距.综合训练1．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)2．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥B ．324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 3．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为___________________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为___________________;若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为________________;5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 7、已知ABC ∆的三个顶点是A （3，-4），B （0，3），C （-6，0），求它的三条边所在的直线方程。
1直线的斜率及方程
点Q1（－2，－1），Q2（4，－2），Q3（－3，2），试计算直线 l1，l2，l3的斜率． L5
● ● ●
x y Q1 l1 l2 l3 Q3 Q2 Ｐ l2 l4 y
l1 l3
●
Ｐ
x
●
●
变式：上述图中，5条直线对应的斜率由小到大依次为
．
8已知两点，动点在线段上运动，则的最大值是
，最小值是
．
9．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的大小的5倍，
求分别满足下列条件的直线的方程：
（1）过点；
（2）在y轴上的截距为3．
10．倾斜角直线与两坐标轴围成的三角形面积不大于，则直线在轴
上的截距的取值范围为
．
11．分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形面积：
直线的斜率
一 知识梳理 1 坡度： 2 斜率． 3 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与
轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与
轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是
.
注：①当
或
时，直线
垂直于
轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与
轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且 当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 4直线的斜率与倾斜角的关系：
直线的方程
一 知识梳理
1. 直线的点斜式方程:
①一般形式：
②适用条件：
2．斜截式方程:
①截距：
②一般形式：
③适用条件：
3．直线的两点式方程：
（1）一般形式：
（2）适用条件：
直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结一、直线的表示1、比例表达式：对于任意的两个不同的点A(x1,y1)与B(x2,y2)，它们所连成的直线上任意的一点P(x,y)都满足比例关系：$$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$2、斜截式：也叫斜率表达式：对于任意的两个不同的点A(x1,y1)与B(x2,y2)，它们所连成的直线可用如下斜率表达式：$$y-y_1=k(x-x_1)$$其中，k为斜率，可以根据两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，计算得出：$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$3、标准方程：直线可以用标准方程表达：$$Ax+By+C=0$$其中，A、B、C可以根据两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，计算得出：$$A=y_2-y_1,B=x_1-x_2,C=x_2y_1-x_1y_2$$二、方程的表示1、一元一次方程：一元一次方程可以按如下形式表示：$$Ax+B=0$$其中，A、B为常数，A≠0，解析解可以表示为：$$x=-\frac{B}{A}$$2、一元二次方程：一元二次方程可以按如下形式表示：$$Ax^2+Bx+C=0$$其中，A、B、C为常数，A≠0，解析解可以表示为：$$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$3、二元一次方程：二元一次方程可以按如下形式表示：$$Ax+By+C=0$$其中，A、B、C为常数，解析解可以表示为：$$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$$$y=\frac{-A\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2B}$$4、同次及非同次线性方程组：。
《直线的方程》全章知识点总结及典型例题
、考点、热点回顾已知条件图示方程形式适用条件 局限 点斜式点 P （x 0， y 0）和斜不能表示斜率不y －y 0＝k （x －x ）斜率存在存在的直线率k斜率 k 和直线在不能表示斜率不斜截式y ＝ kx ＋b斜率存在y 轴上的截距 b存在的直线x 1≠x 2 ，y 1≠y 2 即P 1（x 1，y 1），P （x ，y － y 1 x － x 1斜率存在且两点式能表示与坐标轴y 2），其中 x 1y 2－ y 1 x 2－ x 1不为 0平行的直线y 1≠y 2在 x ，y 轴上的截斜率存在且不能表示与坐标截距式距分别为 a ， bx＋y ＝1不为 0，不过原轴平行及过原点ab的直线且 a ≠0，b ≠0点一般形式Ax ＋ By ＋C ＝ 0A ，B 不同时为 0无知识点二、线段的中点坐标公式若点 P 1， P 2的坐标分别为 （x 1，y 1），（x 2，y 2），设 P （x ，y ）是线段 P 1P 2 的中点，则知识点三、直线的一般式求直线平行或垂直设直线 l 1与 l 2的方程分别为 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0（A 1，B 1 不同时为 0），A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0（A 2，B 2不同时为0），A1B2－ A2B1＝ 0，A1 B1 C1 则 l 1∥l 2?或 A1 B1 C1（A 、B 、C 均不为零 ）B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－ A 2C 1≠ 0. A 2B 2C 2直线的方程x ＝x 1＋ x 2 y 1＋y 2l1⊥ l2? A1A2＋B1B2＝ 0.二、典型例题考点一、直线的点斜式方程例 1、写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点 A(2,5)，且与直线 y＝2x＋ 7 平行；(2)经过点 C(－1，－ 1)，且与 x轴平行；(3)经过点 D(1,2)，且与 x 轴垂直．变式训练 1、(1)经过点 (－3,1)且平行于 y 轴的直线方程是__ ．(2) ________________________________________________________________________ 直线 y＝2x ＋1绕着其上一点 P(1,3)逆时针旋转 90°后得到直线 l，则直线 l 的点斜式方程是_________________ ．(3) ______________________________________________________________________________ 一直线 l1过点 A(－1，－2)，其倾斜角等于直线 l2：y＝33x的倾斜角的 2 倍，则 l1的点斜式方程为_________ ．考点二、直线的斜截式方程例 2、 (1) 倾斜角为 60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3 的直线的斜截式方程是 ___ __．(2)已知直线 l1的方程为 y＝－ 2x＋ 3， l 2的方程为 y＝4x－2，直线 l与 l 1平行且与 l2在y轴上的截距相同，求直线 l 的方程．变式训练 2、已知直线 l 的斜率为1，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形，求 l 的斜截式方程．6考点三、直线过定点问题例 3、求证：不论 m 为何值时，直线 l：y＝(m－1)x＋2m＋1 总过第二象限 .变式训练 3、已知直线 l：5ax－5y－ a＋ 3＝ 0.求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限考点四、直线的两点式方程例4、已知 A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中，(1)求 BC 边的方程；(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程．变式训练 4、若点 P(3，m)在过点 A(2，－ 1)，B(－ 3,4)的直线上，则 m＝_考点五、直线的截距式方程6 的直线方程是 ( )例 5、过点 P(1,3) ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于A．3x＋y－6＝0 B．x＋ 3y－ 10＝ 0C．3x－ y＝0 D．x－3y＋8＝ 0变式训练 5、直线 l 过点 P(34， 2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为 12，求直线 l 的方程．3A．2 条 B．3 条 C．4 条 D ．无数多条变式训练 6、过点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有 ( )A．1 条 B．2 条 C．3条 D．无数多条考点六、直线的一般式方程(1)斜率是 3，且经过点 A(5,3) ；(2)斜率为 4，在 y 轴上的截距为－ 2；(3)经过点 A(－ 1,5)，B(2，－ 1)两点；(4)在 x轴，y 轴上的截距分别为－ 3，－1.变式训练 7、根据条件写出下列直线的一般式方程：1(1)斜率是－21，且经过点 A(8，－ 6)的直线方程为 ____________ ；(2)经过点 B(4,2)，且平行于 x 轴的直线方程为 ______________ ；3(3) __________________________________________________ 在 x轴和 y轴上的截距分别是2和－3 的直线方程为 ________________________________________________________________(4) ____________________________________________ 经过点 P1(3，－ 2)，P2(5，－ 4)的直线方程为 _____________________________________________________________________ ．例 8、设直线 l 的方程为（m2－ 2m－ 3）x－（2m2＋m－ 1）y＋ 6－2m＝ 0.（1）若直线 l 在 x 轴上的截距为－ 3，则 m＝；（2）若直线 l 的斜率为 1，则 m＝ __ .变式训练 8、若方程（a2＋5a＋6）x＋（a2＋2a）y＋ 1＝0 表示一条直线，则实数 a 满足．考点七、由直线的一般式研究直线的平行与垂直命题角度 1 利用两直线的位置关系求参数例 9、（1）已知直线 l 1： 2x＋（m＋ 1）y＋4＝ 0与直线 l2：mx＋3y－2＝0 平行，求 m的值；（2）当 a 为何值时，直线 l1：（a＋2）x＋（1－a）y－1＝0 与直线 l2：（a－1）x＋（2a＋3）y＋2＝0互相垂直？变式训练 9、已知直线 l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋（a＋1）y－a＝0，求满足下列条件的 a 的值．（1）l1∥ l2；（2）l1⊥l2.例 10、已知直线 l 的方程为 3x＋ 4y－12＝ 0，求满足下列条件的直线 l′的方程：（1）过点（－1,3），且与 l 平行；（2）过点（－1,3），且与 l 垂直．变式训练 10、已知点 A（2,2）和直线 l：3x＋ 4y－20＝0. 求：（1）过点 A 和直线 l 平行的直线方程；（2）过点 A 和直线 l 垂直的直线方程．三、课后练习一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．不论 m为何值，直线（m－ 1）x＋（2m－ 1）y＝ m－ 5 恒过定点（）1A. 1,B. （－ 2,0）C. （2,3）D. （9 ，－ 4）范围为（）A. B. C. D.3．若直线 l1：x＋ay＋6＝0与 l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则 l1与 l2之间的距离为（）A. B. C. D.4．若点A 1,1 关于直线y kx b 的对称点是B 3,3 ，则直线y kx b 在y 轴上的截距是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 5．已知直线l1 :x y 1 0，动直线l2 : k 1 x ky k 0 k R ，则下列结论错误．．的是（）A. 存在k，l1使得l2的倾斜角为 90° B. 对任意的k，l1与l2都有公共点C. 对任意的k，l1与l2都不．重合D. 对任意的k，l1与l2都不．垂．直．6．设点A 2, 3 ，B 3, 2 ，直线 l 过点P 1,1 ，且与线段AB 相交，则 l 的斜率k 的取值范围（）33A. k 或k 4B. 4 k 44C. 3k 4D. 以上都不对47．图中的直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3 ，则有（）A. k1 k2 k3 B. k3k1k2 C. k3k2k1 D. k2k3k18．直线x 3y1 0 的倾斜角为（）.A. B. C. D.9．直线的斜率和在轴上的截距分别是（)A. B. C. D.10 ．过点，且平行于向量的直线方程为（）2．已知不等式组表示的平面区域为18．已知 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．11．过点 A （3，3） 且垂直于直线 的直线方程为二、填空题13．已知 a,b, c 为直角三角形的三边长， c 为斜边长，若点 M m,n 在直线 l :ax by 2c 0上，则 m 2 n 2的 最小值为 __________ ．14．m R ，动直线 l 1:x my 1 0过定点 A ，动直线 l 2:mx y 2m 3 0过定点 B ，若直线 l 与l 2相交于 点 P （异于点 A,B ），则 PAB 周长的最大值为 ________15．过点 （2，－ 3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 _________ ．16．定义点 到直线 的有向距离为 .已知点 到直线 的有向距离分别是 ，给出以下命题： ① 若 ，则直线 与直线 平行； ② 若 ，则直线 与直线 平行； ③若，则直线与直线 垂直；④若 ，则直线 与直线 相交；其中正确命题的序号是 _______________ . 三、解答题17．求符合下列条件的直线方程： （ 1）过点 ，且与直线 平行； （ 2）过点 ，且与直线垂直；（ 3）过点， 且在两坐标轴上的截距相等．1）求边 上的高所在直线的一般式方程；A. B. C. D.12．在平面直角坐标系中，已知 A 1,2， 3,0 ，那么线段 AB 中点的坐标为（）．A. 2, 1B. 2,1C. 4,D.1,22）求边上的中线所在直线的一般式方程19．已知直线l :3x y 2 2 x 4y 2 0（ 1）求证：直线 l 过定点。
直线的斜率与方程
直线的斜率与方程直线是解析几何中的基本图形之一，而直线的斜率与方程是描述直线性质的重要元素。
本文将介绍直线的斜率的概念及计算方法，并详细阐述直线的方程的几种常见形式。
一、直线的斜率直线的斜率是指直线与水平方向的夹角的正切值，也可以理解为直线在x轴上的增量与在y轴上的增量之比。
斜率的计算公式如下：斜率 m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
斜率的性质是：1. 平行于x轴的直线的斜率为0；2. 平行于y轴的直线斜率不存在（无穷大）；3. 两条直线互相垂直时，它们的斜率之积为-1。
二、直线的方程直线的方程是用来表示直线的数学表达式。
直线的方程有多种不同的形式，下面将一一介绍。
1. 斜截式方程斜截式方程是直线方程中最常见的形式，它用直线的斜率和截距来表示。
方程的形式如下：y = mx + b其中，m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点的纵坐标。
2. 一般式方程一般式方程是直线方程中的另一种常见形式，它的一般形式如下：Ax + By + C = 0其中，A、B、C是常数，A和B不同时为0。
3. 点斜式方程点斜式方程是直线方程的一种特殊形式，它利用直线上的一个点和直线的斜率来表示。
方程的形式如下：(y - y1) = m(x - x1)其中，(x1, y1)为直线上的一个点，m为直线的斜率。
4. 两点式方程两点式方程是通过直线上两个已知点来表示直线的方程，方程的形式如下：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。
以上是直线方程的几种常见形式，根据不同的题目要求，我们可以选择合适的方程形式来进行求解和应用。
总结：本文介绍了直线的斜率与方程的相关概念和计算方法，并详细介绍了直线方程的几种常见形式。
了解直线的斜率和方程对于解析几何的学习和问题的求解具有重要意义。
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
张喜林制2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率教材知识检索考点知识清单1．直线方程的概念一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都在 且这条直线上点的坐标都是 ，那么这个方程叫做这条直线叫做 ．由于方程b kx y +=的图象是 因此我们常说直线 2．直线的倾斜角当直线与x 轴相交时，x 轴正向与直线 所成的角叫做这条直线的 ，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 ，因此，直线倾斜角的取值范围是 3．直线的斜率直线b kx y +=中的系数k 叫做 ，垂直于x 轴的直线 直线上的两点),,(),(2211y x B y x A 、那么直线的斜率=k ).(21x x =/当0=k 时，直线 或当0>k 时，直线的倾斜角为 ．k 值增大，直线的倾斜角也随着当0<k 时，直线的倾斜角为____，k 值增大，直线的倾斜角也随着____；垂直于x 轴的直线要点核心解读1．对直线方程概念的理解把—次函数b kx y +=的每一对x 与y 的值，看成直角坐标系中的点（x ，y ），则（x ，y ）的集合便是一条直线.b kx y +=另一表达形式0=--b kx y 是二元一次方程的形式，这样，这个方程的实数解就和这条直线上的点的坐标建立了一一对应的关系，于是得到以下两个方面的含义：以一个二元一次方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个二元一次方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线． 2．直线的斜率(1)斜率公式的推导．直线b kx y +=被其上的任意两个不同的点所唯一确定（如图2 -2 -1-1所示），由这条直线上任意两点、),(11y x A ),(22y x B 的坐标可以计算出k 的值．由于11,y x 和22,y x 是直线方程b kx y +=的两组解，所以,,2211b kx y b kx y +=+=两式相减，得),(1212x x k y y -=-故=k ),(121212x x x x y y =/--那么)(121212x x x x y y k =/--=称为直线的斜率公式． 由斜率公式可知，斜率k 可以由直线上两个不同点的坐标求得，但它的大小与这两个点在直线上的顺序无关．(2)斜率的定义通常，我们把直线b kx y +=中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，斜率不存在． 除了垂直于x 轴的直线，只要知道直线上两个不同点的坐标，由斜率公式就可以算出这条直线的斜率．方程b kx y +=的图象是过点(O ，b)且斜率为k 的直线．(3)求斜率的步骤，我们可以写出求一条直线斜率的计算步骤，以便应用计算机进行计算： ①给直线上两点的坐标赋值：?,,?,?,2121=⋅===y y x x ②计算;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③如果,0=∆x 则判定“斜率k 不存在”； ④如果,0=/∆x 计算;xyk ∆∆=⑤输出斜率k ， 3．直线的倾斜角(1)定义．x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．(2)斜率与倾斜角的关系．由斜率k 的定义可知：0=k 时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；0>k 时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 0<k 时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 垂直于x 轴的直线的倾斜角等于.90典例分类剖析考点1 直线与二元一次方程的对应关系 命题规律(1)已知两点求斜率和倾斜角． (2)已知斜率或直线方程求倾斜角．[例1] 如图2 -2 -1-2所示直线321l l l 、、都经过点P(3，2)，又321l l l 、、分别经过点、)1,2(1--Q、)2,4(2-Q ),2,3(3-Q 试计算直线321l l l 、、的斜率．[解析] 已知两点求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，则其斜率不存在；若不相等，可用公式求之．[答案] 设321k k k 、、分别表示直线321l l l 、、的斜率，由于321Q Q Q P 、、、⋅的横坐标均不相等．,43422,53322121-=---==----=∴k k .033223=---=k母题迁移 1．已知,1)7,()5,3()1,1(-（、、、D a C B A )b 四点共线，求直线方程.b ax y +=[例2] 求经过下列两点的直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角：);7,2(),3,1)(1().5,3(),1,4)(2(- [解析] 利用直线的斜率公式1212x x yy k --=求之，根据k 的正负判定倾斜角是锐角还是钝角．[答案] ,041237)1(>=--=k 所以倾斜角是锐角； ,064315)2(<-=-+=k 所以倾斜角是钝角． [点拨] 若直线的斜率大于0，则其倾斜角为锐角；若直线的斜率小于O ，则其倾斜角为钝角；若直线的斜率等于O ，则其倾斜角为,0若直线的斜率不存在，则其倾斜角为.90o[例3] 已知直线321l l l 、、的斜率分别为,321k k k 、、如图2-2 -1-3所示，则( )．321.k k k A << 213.k k k B << 123.k k k C << 231.k k k D <<[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 由图可知直线1l 的倾斜角为钝角，所以;01<k 直线2l 与直线3l 的倾斜角均为锐角，且直线2l 的倾斜角较大，所以,032>>k k 所以⋅>>132k k k[答案] D母题迁移 2．求经过点,0)(,().,(=/ab b a B mb ma A )1=/m 两点的直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角，考点2 求斜率或倾斜角的取值范围 命题规律已知直线与线段有公共点，求斜率k 的取值范围．[例4] 已知、)3,3(--A ),1,2()2,2(--P B 、如图2 -2 -1 -4所示，若直线L 过P 点且与线段AB 有公共点，试求直线L 的斜率k 的取值范围．[答案] ,4)3(2)3(1=⋅-----=PA k,4322)2(1-=----=PB k∴ 要使直线L 与线段AB 有公共点，k 的取值范围应该是43-≤k 或.4≥k母题迁移 3．已知实数x 、y 满足,82=+y x 当32≤≤x 时，求xy的最大值和最小值， 考点3 利用斜率证明三点共线 命题规律已知平面上三点，证明三点共线．[例5] 已知三点),5,4()3,3()1,1(C B A 、、-求证：三点在同一直线上． [答案] 证法一：用距离公式证明．,53||,5||,52||===AC BC AB |,|53552||||AC BC AB ==+=+∴即A 、B 、C 三点共线．证法二：用斜率公式证明，,23435,21313=--==-+=BC AB k k ⋅=∴BC AB k k 又 ∵直线AB 、BC 有公共点B ．∴ A 、B 、C 三点共线．[点拨] 本题有很多种证明方法，这里选用了距离公式和斜率公式两种方法，继续学习后，还会有其他证明方法．母题迁移 4.一束光线从点A （-2，3）射入，经x 轴上的点P 反射后，通过点B(5，7)，求点P 的坐标．优化分层测讯学业水平测试1．给出下列四个命题，其中正确命题的个数是( )．①直线L 一定是一个一次函数的图象；②一次函数，y = kx +b 的图象一定是一条不过原点的直线；③如果一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，那么这个方程就叫做这条直线的方程；④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线． A.O 个 B.l 个 C.2个 D.3个． 2．集合A={直线方程=+=B b kx y },{一次函数的解析式}，则集合A 与B 的关系为( )．B A A =. B A B ⊇. A BC ⊇.D ．以上说法都不对3．直线L 过点),2(m p -⋅和)4,(m Q 两点，且L 的斜率为1，则m 的值为( )．1.A 4.B 31.或C 41.或D4．过点)3,2()2,3(--N M 与的直线的斜率=k ，倾斜角为 . 5．已知点A(3，4)，在坐标轴上有一点B ，若,2=AB k 则B 点的坐标为 6．已知方程.0632=++y x(1)把这个方程改写成一个一次函数的形式； (2)画出这个方程所对应的直线L ； (3)点)1,23(是否在直线L 上．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：IOO 分） 一、选择题（5分x8 =40分）1．点)4,3()1,0(B A 、在直线1l 上，若直线,12l l ⊥则直线2l 的倾斜角为( )．30.-A 30.B o C 120. 150.D2．直线L 的倾斜角为ααsin ,是方程033442=+-x x 的根，则a 的值是( )．60.A 120.B 150O 30.或o C 12060.或D3．设直线L 的倾斜角为θ，则L 关于直线3=y 对称的直线的倾斜角是( )．θ.A θ- 90.B θ-o C 180. θ- 90.D4．若)0,()4,9()2,3(x C B A 、、--三点共线，则x 的值为( )．1.A 1.-B 0.C 7.D5．若直线L 经过点)1,2(--a 和),1,2(--a 且与经过点、)1,2(-斜率为32-的直线垂直，则实数a 的值是( )．32.-A 23.-B 32.C 23.D 6．设点),2,3()3,2(---B A 、直线L 过点P(l ，1)且与线段AB 相交，则L 的斜率k 的取值范围是( )．443.-≤≥k k A 或 4143.-≤≥k k B 或 434.≤≤-k C 443.≤≤-k D 7．直线L 过点A(l ，2)，且L 不过第四象限，那么L 的斜率k 的取值范围是( )．]2,0.[A ]1,0.[B ]21,0.[C )21,0[⋅D8．已知),1,3()2,(+b B a A 、且直线AB 的倾斜角为,90则a 、b 的值为( )．1,3.==b a A 2,2.==b a B 3,2.==b a C 1,3.=/∈=b R b a D 且二、填空题（5分x4 =20分）9．给出以下命题：①任何一条直线都有唯一确定的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以是;30- ③倾斜角为00的直线只有一条，即x 轴；④按照直线倾斜角的概念，直线倾斜角的集合<≤αα0|{}180与直线的集合建立了一一对应的关系．其中正确命题的序号是10．三点（2，-3）、(4，3)及)2,5(k 在同一条直线上，则k 的值等于11．已知过)2,3()1,1(a Q a a P 和+-的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 12.直线)(013cos R y x ∈=++⋅θθ的倾斜角的取值范围是 三、解答题（10分x4 =40分）13.斜率为2的直线经过),1()7,()5,3(b C a B A -、、三点，求a 、b 的值．14．(1)已知矩形ABCD 中，、、)1,2()2,1(B A 中心),3,3(E 点),(y x P 在矩形的边界及内部运动，求xy的取值范围；(2)若实数x 、y 满足：,3,212-≥≤+=y x x y 且求xy的取值范围．15.求经过两点))(3,()2,1(R m m N M ∈-、的直线的斜率，并讨论m 为何值时倾斜角是锐角、钝角和直角？16.求函数2sin 1sin 3++=x x y 的值域.。
直线方程的概念与直线的斜率 PPT课件 人教课标版
一．直线方程的概念
直线的方程与方程的直线：
一般地，如果以一个方程的解为坐标 的点都是某条直线上的点；反之，这条直 线上点的坐标都是这个方程的解，那么这 个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫 做这个方程的直线.
由于方程y=kx+b的图象是一条直线，因 而我们以后就说直线y=kx+b
23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。
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24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。
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25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
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26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
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27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
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28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
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29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
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67、心中有理想 再累也快乐
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68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。
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69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。
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70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！
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71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。
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72、只要路是对的，就不怕路远。
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73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。
2 3
，
y
所以可以得 x 的最大值为2，
最小值为 2 ．
A
3
B
练习题：
1．对于下列命题 ①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°; ②若k是直线的斜率，则k∈R； ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率; ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是（ C ）
关于直线的知识点总结
(2)点斜式:知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，
则直线可表示为 y-y0=k(x-x0)
当k不存在时，直线可表示为 x=x0
(3)截距式:不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线
知道直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),
二、直线方程的距离
1、点到直线的距离
点P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0的距离可表示为：
d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)
2、两平行线间的距离
设两条直线方程为
Ax+By+C1=0
Ax+By+C2=0
两平行直线间距离公式d=｜C1-C2｜/√(A^2+B^2)，
将B（8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.
则直线可表示为 x/a+y/b=1
(4)斜截式: Y=KX+B (K≠0)
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
两直线平行时 K1=K2
两直线垂直时 K1 X K2 = -1
(5)两点式 x1不等于x2 y1不等于y2
五、定比分点问题
1、定比分点定义
直线L上两点P、O，它们的坐标分别为（x1，y1),(x2，y2)，在直线L上一个不同于P， O的任一点M使PM/MO等于已知常数λ。即PM/MO=λ，我们就把M叫做有向线段PO的定比分点。 若设M的坐标为(x，y)，
(精品)直线与方程知识点+经典习题
直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义:倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ; 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点:(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；（2）k 与P 1、P 2的顺序无关；（3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；（4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1. ②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y ab+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ，即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ,B 不全为0)注意：错误!各式的适用范围 错误!特殊的方程如: 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线:a x =（a 为常数）； (5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数) （二）过定点的直线系(ⅰ)斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ;（ⅱ)过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）,其中直线2l 不在直线系中.(6）两直线平行与垂直当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时,212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否. （7）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的一组解。
知识要点-直线的倾斜角与斜率及直线方程
第1讲直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率：对于一条与X轴相交的直线,把X轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范用是［0°, 180°）直线的倾斜角α与斜率k的关系：当α ≠ 90°时，k与a的关系是k = tana； « = 90°时，直线斜率不存在：经过两点P I（X If y1）P=（x=,y=）（χ1≠χ=）的直线的斜率公式是R =旦二如:心一召三点A.B.C共线的充要条件是k Al） = kλc2.直线方程的五种形式：点斜式方程是y-y0= ψ-⅞）;不能表示的直线为垂直于迟轴的宜线斜截式方程为y = kx+b i不能表示的直线为垂宜于兰轴的宜线两点式方程为=L =上二土：不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线y2 - >,ι v2-西截距式方程为- + - = 1：不能表示的宜线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线• a b一般式方程为coc+by + c = 0 .3.几种特殊直线的方程：①过点P（a,b）垂直于X轴的直线方程为空;过Pab）垂直于y轴的直线方程为y≡b②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为y = kx+b；③已知直线的横截距为a,可设其方程为x = my + a^④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx★重难点突破★重点：理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时，条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确立直线位置的要素,从而顺利求岀直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角（或范用）求斜率（范由）（2）已知斜率（或范围)求倾斜角(或范围),如: 问题1：直线Xtan-+ y + 2 = O的倾斜角&是、兀GltCM TXπA.—B. —C. —D.——3 6 3 3点拨:转化为：已知tana =-tan—,c? ∈[0,Λ∙),求α ,答案：C 问题2:求直线XCOS0 + √3>- + 2 = 0的倾斜角的取值范用点拨：要从k = tana和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，①当α∈[O,-)f⅛, /r∈[0Λ∞), k随α的增大而增大；2②当QE(Z+s)时，k∈ (-≪>,0) I&随Q的增大而增大.2本题可先求出斜率的取值范国，再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范囤. k=--cosθ,故：心亜3 3 一一3当05R≤g时，直线的倾斜角α满足：0≤α≤兰3 6当_迺“<0时,直线的倾斜角α满足-≤a<π3 6所以，直线的倾斜角的范围：0≤a≤-和竺SavTr6 6(2)利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数f(x) = a∖{a> O且a≠l),当xVo时,f(x) > 1,方程y = ax +丄表aV点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确龙直线的斜率和截距的范用,再确泄直线的位置，由已知可得a∈ (0,1),从而斜率k∈ (0,1),截距b>∖,故选C(3)选择恰当的形式求直线方程问题4:过点P(-l,-2)的宜线分别交X轴、y轴的负半轴于A,B两点，当IP4I∙IPBI最小时，求直线/的方程。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上， 且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 答案：⎣⎡⎦⎤13，33．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. (3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ] B.⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)， 则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是( )解析：选C 当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n ＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎨⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
直线的斜率与方程
直线的倾斜角、斜率和直线方程1．直线的倾斜角：一条与x 轴相交的直线，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫 做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．直线的倾斜角的范围为[)π,0．2、直线的斜率：当直线的倾斜角α≠90°时，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即该直线的斜率k ＝tan α；注意：当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．3．斜率公式：过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为：()212121x x x x y y k ≠--= ． 若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 注意：直线的斜率k ＝tan α（α≠90°）关于倾斜角α的函数的图像4、直线方程直线方程的五种形式注：设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+（斜率k 存在时）；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)； （3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
注意：经过任意两个不同点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示x5、直线与直线的位置关系：平面内两条直线的位置关系有三种 、 和 （1）．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定（2）、当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．6、点到直线的距离、直线与直线的距离（1）、点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =；（2）、两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =（3）、两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离公式是 。
必修2《直线与方程___知识点_总结》及习题
直线与方程 知识点 总结一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②与x 轴垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值与两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=∙k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可；②斜截式：b kx y += 将已知截距 k b 与斜率 直接带入即可； ③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可；⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可（可简记为“方程组思想”）。
3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-=推导方法：构造直角三角形“勾股定理”； ②点到直线距离：2200B A C By Ax d +++=推导方法：构造直角三角形“面积相等”；③平行直线间距离：2221BA C C d +-=推导方法：在y 轴截距),0(1C 代入②式；4、中点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ 推导方法：构造直角“相似三角形”；一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y xB. 052=-+y xC. 052=-+y xD. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，且sin cos 0θθ+=则a,b 满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或210、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（ ）A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211.（北京卷）“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( ) （A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 12、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 13. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0 14.（北京文）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件15. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1C. 2 D 、22 16. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________.2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a 的值为（ ）3.经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是 。
直线方程知识点及重要方法
直线方程重要知识与方法一．重要知识1.直线的倾斜角：直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，其范围是［0,π）.2.直线的斜率： （1）斜率公式：k =tan α=21122112y y y y x x x x --=-- （2345、三种距离公式：（1）两点间距离公式：d = （2）点到直线的距离公式：d =（3）平行线间的距离公式：（l1:Ax+By+C 1=0，l2:Ax+By+C 2=0）d =6、P （x 0,y 0）关于L ：Ax+By+C=0对称的点的坐标为：000222Ax By C x x A A B ++=-⨯+000222Ax By Cy y B A B++=-⨯+二．重要方法1．直线方程的求法（1）公式法：找到两个条件，用公式写方程。
（2）待定系数法：先设出方程，后找出其中的待定系数。
2．直线系过定点问题的证法：（1）分别取参数的值为0和1后，得出两直线方程； （2）解出上述两直线的交点坐标；（3）证明此点满足已知直线系的方程，从而得出直线系过定点。
圆的方程重要知识与方法一．重要知识 1． 圆的方程（1） 标准方程：以（a ,b ）为圆心，r （r >0）为半径的圆的标准方程: （x-a ）2+（y -b ）2=r 2.（2）一般方程：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0. (D 2+E 2-4F >0) 二．重要方法1.求圆的方程的方法（1）公式法:直接找出圆心和半径，后代入标准式。
（2）待定系数法：先设出方程，后找出其中的待定系数。
2．圆的弦长的求法：AB =为圆心到弦AB 的距离)3.求过圆外一点P(x 0,y 0)圆的切线（或割线）的方法： （1）设出点斜式方程 （2）找出圆心到弦的距离（3）用点到直线的距离公式求k 值（4）写出最后结果（若只有一个k ，则x=x 0是另一条） 4.已知两圆的方程，求相交弦长度的方法：（1）用两圆的方程作差，找出相交弦所在的直线方程（2）找出其中一个圆的圆心和半径r ，并求出该圆心到（1）中直线的距离d（3）计算AB =5．位置关系的判定法（1）点与圆的位置关系：将点到圆心的距离d 与半径r 比较 （2）直线与圆的位置关系：将圆心到直线的距离d 与半径r 比较 （3）圆与圆的位置关系：将两圆心间的距离与半径的和与差比较 6．空间坐标系（1）空间点的对称点坐标求法：“关于谁对称则谁不变，其余变相反”. （2）中点坐标公式：122x x x +=，122y y y +=，122z zx +=（3）空间中两点间距离公式：d =数列重要知识与方法一．重要知识1.Sn 与通项公式an 之间的关系：an ＝⎩⎨⎧S1 n ＝1 ，Sn －Sn －1 n ≥2 （若n=1代入S n －S n －1计算的结果与s1相等时，a n ＝S n －S n －1)2.等差数列与等比数列的知识比较表二．重要方法1.等差数列前n 项和最值的求法： （1）求出a n（2）令a n =0，求出n 的值（3）由a 1的符号，确定前多少项全为负（或为正） （4）算出Sn 的最值2.证明数列是等差数列（或等比数列）的方法： （1）列式：1n n a a --或1n n a a -÷（2）将已知中的a n 用a n-1表示出来，并代入上式（3）计算上式，直到算出结果是常数 （4）下结论3.数列的求和方法：（1）公式法：当数列为等差数列或等比数列时使用。
倾斜角、斜率和直线方程
倾斜角、斜率和直线方程知识要点一、倾斜角及斜率1、直线的倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角。
规定：当直线l 与x 轴平行或重合时其倾斜角为002、直线的倾斜角的范围：[0，π）3、直线的斜率的定义：k =tan α (α≠2π) 4、经过两点P 1（x 1,y 1） P 2(x 2,y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率k=1212x x y y -- 例1：直线l 经过原点和点(11)-，，则它的倾斜角是（ ） A ．34π B ． 54π C ．4π或54π D ．4π-例2：若m 经过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率是12．则实数m 的值为________例3：4．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________例4：直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°例5：直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是（ ）A ．[π6，π2)∪(π2，5π6]B ．[0，π6]∪[5π6，π)C ．[0，5π6]D ．[π6，5π6]例6：已知直线l ：sin αx －y +3=0，试求该直线l 的倾斜角的范围。
例7：已知两点A （1，3），B （5，2），若直线l 过点M （－2，－1）且与线段AB 有公共点，求直线l 斜率的取值范围。
例8：若A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)，(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b的值为________． 巩固训练1、直线y =x cos α+1 (α∈R)的倾斜角的取值范围是（ ）A 、[0, 2π]B 、[0, π)C 、[－4π, 6π]D 、[0, 4π]∪[43π,π) 2、若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为（ ）A 、4πB 、54πC 、4π或54π D 、－4π3、若经过点A (1－t , 1+t )和点B(3, 2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 .4、若直线k 的斜率满足－3＜k ＜33，则该直线的倾斜角α的范围是 . 5、若直线l 的倾斜角是连接P (3, －5), Q (0, －9)两点的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 .6、已知M(2, －3), N(－3,－2)，直线l 过点P (1, 1)，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .7、过点M (－2, a ), N(a , 4)的直线的斜率为－21，则a 等于（ ） A 、－8 B 、10 C 、2 D 、48、过点A(2, b )和点B (3, －2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值（ ）A 、－1B 、1C 、－5D 、59、如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（ ）A 、k 1<k 2<k 3B 、k 3<k 1<k 2C 、k 3<k 2<k 1D 、k 1<k 3<k 210、已知y 轴上的点B 与点A(－3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B 的坐标为 .11、已知A (－2, 3), B (3, 2)，过点P (0, －2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 .12、已知矩形ABCD 中, A(－4, 4), D(5, 7)，中心E 在第一象限内，且与y 轴的距离为一个单位，动点P (x , y )沿矩形一边BC 运动，求y x的取值范围。
第一节 直线的斜率与直线的方程
是 1 y0. 1
2 x0
5
变式1－1 已知两点A(－2，－3)，B(3,0) ，过点
P(－1,2)的直线l与线段AB始终有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是________．
解析：如图所示，直线PA的斜率k1
＝ 2 2 ，直线PB的
1 2 5
斜率k2＝
正解2 (1)显然直线3x－2y＝0符合题意． (2)设所求直线方程为7x＋8y－38＋λ(3x－2y)＝ 0，解法同错解2，求得方程为x＋y－5＝0，故 所求方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
链接高考
(2010·安徽改编)过点(1,0)且与直线x－ 2y－2＝0平行的直线方程是________．
4
围是
,
3.
4
4. 直线l过点P(4,3)，且在x轴、y轴上的截距之比 为1∶2，则直线l的方程为__2_x_+_y_-_1_1_=_0___．
解析：因为直线l在x轴、y轴上的截距之比
为1∶2，所以设直线l的方程为
x a
+
y 2a
=1，将点P(4,3)代入直线方程得a= 以直线l的方程为2x+y-11=0.
第八单元 直线与圆的方程
知识体系
最新考纲
内容 直线的斜率与倾斜角
2011年考试说明
要求
A
B
√
直线方程
两直线的平行与垂直关系
√
两直线的交点
√
两点间的距离、点到直线的
√
距离
圆的标准方程和一般方程
直线与圆、圆与圆的位置关
√系ຫໍສະໝຸດ C √√第一节 直线的斜率与直线的方程
基础梳理
(完整word版)直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结一、直线基本知识1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向.②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③倾斜角的范围00180. ④0,900k；,18090k（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。
②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ）的直线的斜率公式是1212x x y y k （21x x ）③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k 。
特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式)(11x xk y y),(11y x 为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式bkx y k 为斜率，b 是直线在y轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式121121x x x x y y y y ),(2121y y x x 其中),(),,(2211y x y x 是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式1b y ax a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线一般式CByAx）不同时为其中0,(B A A ，B ，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。
(完整版)直线与方程知识点及公式
直线方程知识点及公式1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的αα倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这α条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.即tan k α=※2.斜率公式：经过两点的直线的斜率公式：),(),,(222111y x P y x P )(211212x x x x y y k ≠--=※3. 直线的点斜式方程：.直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式)(11x x k y y -=-0=k 1y y =k 求它的方程，这时的直线方程为.1x x =※4．直线的斜截式方程：.只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式.b kx y +=0≠k ※※5.直线方程的一般式：（）x 0A By C ++=220A B +≠6. 直线方程的两点式：.（，）121121x x x x y y y y --=--21x x ≠21y y ≠7．直线方程的截距式：. ,表示截距，它们可以是正，也可以是负.1=+by a x a b 8．斜率存在时两直线的平行：=且.21//l l ⇔1k 2k 21b b ≠9．斜率存在时两直线的垂直： ．⇔⊥21l l 121-=k k 10．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)一条直线的斜率不存在时，即倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．11.直线到的角的定义及公式：1l 2l 两条直线和相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的1l 2l 1l 2l 角,叫做到的角.到的角：0°＜＜1８0°， 如果1l 2l 1l 2l θθ,012121=+即k k k k 如果， 0121≠+k k 12121tan k k k k +-=θ12．直线与的夹角定义及公式: 到的角是, 到的角是π-,两角中的锐角或直角叫两条1l 2l 1l 2l 1θ2l 1l 1θ直线的夹角.显然当直线⊥时,直线与的夹角是.夹角的取值范围：0°＜≤90°.1l 2l 1l 2l 2πα计算方法：如果如果， .2,1,012121πα=-==+则即k k k k 0121≠+k k 12121tan k k k k +-=α13. 两点间距离公式：12PP =14．点到直线距离公式：点到直线的距离为：),(00y x P 0:=++C By Ax l 2200B A CBy Ax d +++=15. 两平行直线间距离公式：2212-B A C C d +=。