直线的方程知识点及题型归纳总结
直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结一、直线的表示1、比例表达式：对于任意的两个不同的点A(x1,y1)与B(x2,y2)，它们所连成的直线上任意的一点P(x,y)都满足比例关系：$$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$2、斜截式：也叫斜率表达式：对于任意的两个不同的点A(x1,y1)与B(x2,y2)，它们所连成的直线可用如下斜率表达式：$$y-y_1=k(x-x_1)$$其中，k为斜率，可以根据两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，计算得出：$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$3、标准方程：直线可以用标准方程表达：$$Ax+By+C=0$$其中，A、B、C可以根据两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，计算得出：$$A=y_2-y_1,B=x_1-x_2,C=x_2y_1-x_1y_2$$二、方程的表示1、一元一次方程：一元一次方程可以按如下形式表示：$$Ax+B=0$$其中，A、B为常数，A≠0，解析解可以表示为：$$x=-\frac{B}{A}$$2、一元二次方程：一元二次方程可以按如下形式表示：$$Ax^2+Bx+C=0$$其中，A、B、C为常数，A≠0，解析解可以表示为：$$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$3、二元一次方程：二元一次方程可以按如下形式表示：$$Ax+By+C=0$$其中，A、B、C为常数，解析解可以表示为：$$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$$$y=\frac{-A\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2B}$$4、同次及非同次线性方程组：。
《直线的方程》全章知识点总结及典型例题
、考点、热点回顾已知条件图示方程形式适用条件 局限 点斜式点 P （x 0， y 0）和斜不能表示斜率不y －y 0＝k （x －x ）斜率存在存在的直线率k斜率 k 和直线在不能表示斜率不斜截式y ＝ kx ＋b斜率存在y 轴上的截距 b存在的直线x 1≠x 2 ，y 1≠y 2 即P 1（x 1，y 1），P （x ，y － y 1 x － x 1斜率存在且两点式能表示与坐标轴y 2），其中 x 1y 2－ y 1 x 2－ x 1不为 0平行的直线y 1≠y 2在 x ，y 轴上的截斜率存在且不能表示与坐标截距式距分别为 a ， bx＋y ＝1不为 0，不过原轴平行及过原点ab的直线且 a ≠0，b ≠0点一般形式Ax ＋ By ＋C ＝ 0A ，B 不同时为 0无知识点二、线段的中点坐标公式若点 P 1， P 2的坐标分别为 （x 1，y 1），（x 2，y 2），设 P （x ，y ）是线段 P 1P 2 的中点，则知识点三、直线的一般式求直线平行或垂直设直线 l 1与 l 2的方程分别为 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0（A 1，B 1 不同时为 0），A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0（A 2，B 2不同时为0），A1B2－ A2B1＝ 0，A1 B1 C1 则 l 1∥l 2?或 A1 B1 C1（A 、B 、C 均不为零 ）B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－ A 2C 1≠ 0. A 2B 2C 2直线的方程x ＝x 1＋ x 2 y 1＋y 2l1⊥ l2? A1A2＋B1B2＝ 0.二、典型例题考点一、直线的点斜式方程例 1、写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点 A(2,5)，且与直线 y＝2x＋ 7 平行；(2)经过点 C(－1，－ 1)，且与 x轴平行；(3)经过点 D(1,2)，且与 x 轴垂直．变式训练 1、(1)经过点 (－3,1)且平行于 y 轴的直线方程是__ ．(2) ________________________________________________________________________ 直线 y＝2x ＋1绕着其上一点 P(1,3)逆时针旋转 90°后得到直线 l，则直线 l 的点斜式方程是_________________ ．(3) ______________________________________________________________________________ 一直线 l1过点 A(－1，－2)，其倾斜角等于直线 l2：y＝33x的倾斜角的 2 倍，则 l1的点斜式方程为_________ ．考点二、直线的斜截式方程例 2、 (1) 倾斜角为 60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3 的直线的斜截式方程是 ___ __．(2)已知直线 l1的方程为 y＝－ 2x＋ 3， l 2的方程为 y＝4x－2，直线 l与 l 1平行且与 l2在y轴上的截距相同，求直线 l 的方程．变式训练 2、已知直线 l 的斜率为1，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形，求 l 的斜截式方程．6考点三、直线过定点问题例 3、求证：不论 m 为何值时，直线 l：y＝(m－1)x＋2m＋1 总过第二象限 .变式训练 3、已知直线 l：5ax－5y－ a＋ 3＝ 0.求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限考点四、直线的两点式方程例4、已知 A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中，(1)求 BC 边的方程；(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程．变式训练 4、若点 P(3，m)在过点 A(2，－ 1)，B(－ 3,4)的直线上，则 m＝_考点五、直线的截距式方程6 的直线方程是 ( )例 5、过点 P(1,3) ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于A．3x＋y－6＝0 B．x＋ 3y－ 10＝ 0C．3x－ y＝0 D．x－3y＋8＝ 0变式训练 5、直线 l 过点 P(34， 2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为 12，求直线 l 的方程．3A．2 条 B．3 条 C．4 条 D ．无数多条变式训练 6、过点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有 ( )A．1 条 B．2 条 C．3条 D．无数多条考点六、直线的一般式方程(1)斜率是 3，且经过点 A(5,3) ；(2)斜率为 4，在 y 轴上的截距为－ 2；(3)经过点 A(－ 1,5)，B(2，－ 1)两点；(4)在 x轴，y 轴上的截距分别为－ 3，－1.变式训练 7、根据条件写出下列直线的一般式方程：1(1)斜率是－21，且经过点 A(8，－ 6)的直线方程为 ____________ ；(2)经过点 B(4,2)，且平行于 x 轴的直线方程为 ______________ ；3(3) __________________________________________________ 在 x轴和 y轴上的截距分别是2和－3 的直线方程为 ________________________________________________________________(4) ____________________________________________ 经过点 P1(3，－ 2)，P2(5，－ 4)的直线方程为 _____________________________________________________________________ ．例 8、设直线 l 的方程为（m2－ 2m－ 3）x－（2m2＋m－ 1）y＋ 6－2m＝ 0.（1）若直线 l 在 x 轴上的截距为－ 3，则 m＝；（2）若直线 l 的斜率为 1，则 m＝ __ .变式训练 8、若方程（a2＋5a＋6）x＋（a2＋2a）y＋ 1＝0 表示一条直线，则实数 a 满足．考点七、由直线的一般式研究直线的平行与垂直命题角度 1 利用两直线的位置关系求参数例 9、（1）已知直线 l 1： 2x＋（m＋ 1）y＋4＝ 0与直线 l2：mx＋3y－2＝0 平行，求 m的值；（2）当 a 为何值时，直线 l1：（a＋2）x＋（1－a）y－1＝0 与直线 l2：（a－1）x＋（2a＋3）y＋2＝0互相垂直？变式训练 9、已知直线 l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋（a＋1）y－a＝0，求满足下列条件的 a 的值．（1）l1∥ l2；（2）l1⊥l2.例 10、已知直线 l 的方程为 3x＋ 4y－12＝ 0，求满足下列条件的直线 l′的方程：（1）过点（－1,3），且与 l 平行；（2）过点（－1,3），且与 l 垂直．变式训练 10、已知点 A（2,2）和直线 l：3x＋ 4y－20＝0. 求：（1）过点 A 和直线 l 平行的直线方程；（2）过点 A 和直线 l 垂直的直线方程．三、课后练习一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．不论 m为何值，直线（m－ 1）x＋（2m－ 1）y＝ m－ 5 恒过定点（）1A. 1,B. （－ 2,0）C. （2,3）D. （9 ，－ 4）范围为（）A. B. C. D.3．若直线 l1：x＋ay＋6＝0与 l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则 l1与 l2之间的距离为（）A. B. C. D.4．若点A 1,1 关于直线y kx b 的对称点是B 3,3 ，则直线y kx b 在y 轴上的截距是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 5．已知直线l1 :x y 1 0，动直线l2 : k 1 x ky k 0 k R ，则下列结论错误．．的是（）A. 存在k，l1使得l2的倾斜角为 90° B. 对任意的k，l1与l2都有公共点C. 对任意的k，l1与l2都不．重合D. 对任意的k，l1与l2都不．垂．直．6．设点A 2, 3 ，B 3, 2 ，直线 l 过点P 1,1 ，且与线段AB 相交，则 l 的斜率k 的取值范围（）33A. k 或k 4B. 4 k 44C. 3k 4D. 以上都不对47．图中的直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3 ，则有（）A. k1 k2 k3 B. k3k1k2 C. k3k2k1 D. k2k3k18．直线x 3y1 0 的倾斜角为（）.A. B. C. D.9．直线的斜率和在轴上的截距分别是（)A. B. C. D.10 ．过点，且平行于向量的直线方程为（）2．已知不等式组表示的平面区域为18．已知 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．11．过点 A （3，3） 且垂直于直线 的直线方程为二、填空题13．已知 a,b, c 为直角三角形的三边长， c 为斜边长，若点 M m,n 在直线 l :ax by 2c 0上，则 m 2 n 2的 最小值为 __________ ．14．m R ，动直线 l 1:x my 1 0过定点 A ，动直线 l 2:mx y 2m 3 0过定点 B ，若直线 l 与l 2相交于 点 P （异于点 A,B ），则 PAB 周长的最大值为 ________15．过点 （2，－ 3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 _________ ．16．定义点 到直线 的有向距离为 .已知点 到直线 的有向距离分别是 ，给出以下命题： ① 若 ，则直线 与直线 平行； ② 若 ，则直线 与直线 平行； ③若，则直线与直线 垂直；④若 ，则直线 与直线 相交；其中正确命题的序号是 _______________ . 三、解答题17．求符合下列条件的直线方程： （ 1）过点 ，且与直线 平行； （ 2）过点 ，且与直线垂直；（ 3）过点， 且在两坐标轴上的截距相等．1）求边 上的高所在直线的一般式方程；A. B. C. D.12．在平面直角坐标系中，已知 A 1,2， 3,0 ，那么线段 AB 中点的坐标为（）．A. 2, 1B. 2,1C. 4,D.1,22）求边上的中线所在直线的一般式方程19．已知直线l :3x y 2 2 x 4y 2 0（ 1）求证：直线 l 过定点。
直线方程知识点归纳总结
直线方程知识点归纳总结一、直线的倾斜角与斜率。
1. 倾斜角。
- 定义：直线l向上的方向与x轴正方向所成的最小正角α，叫做直线l的倾斜角。
- 范围：0^∘≤slantα < 180^∘。
2. 斜率。
- 定义：直线的倾斜角α≠90^∘时，k = tanα叫做直线的斜率。
- 经过两点P_1(x_1,y_1)，P_2(x_2,y_2)(x_1≠ x_2)的直线的斜率k=(y_2 -y_1)/(x_2 - x_1)。
二、直线方程的几种形式。
1. 点斜式。
- 方程：y - y_0=k(x - x_0)，其中(x_0,y_0)是直线上一点，k是直线的斜率。
- 适用范围：斜率存在的直线。
2. 斜截式。
- 方程：y = kx + b，其中k是斜率，b是直线在y轴上的截距。
- 适用范围：斜率存在的直线。
3. 两点式。
- 方程：(y - y_1)/(y_2 - y_1)=(x - x_1)/(x_2 - x_1)(x_1≠ x_2,y_1≠ y_2)，其中(x_1,y_1)，(x_2,y_2)是直线上两点。
- 适用范围：不垂直于坐标轴的直线。
4. 截距式。
- 方程：(x)/(a)+(y)/(b)=1(a≠0,b≠0)，其中a是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距。
- 适用范围：不垂直于坐标轴且不过原点的直线。
5. 一般式。
- 方程：Ax + By+C = 0(A,B不同时为0)。
- 可以表示平面内任意一条直线。
三、直线的平行与垂直。
1. 平行。
- 设直线l_1:y = k_1x + b_1，l_2:y = k_2x + b_2。
- 当k_1 = k_2且b_1≠ b_2时，l_1∥ l_2；对于直线l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0，l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0，当(A_1)/(A_2)=(B_1)/(B_2)≠(C_1)/(C_2)时，l_1∥l_2。
2. 垂直。
- 设直线l_1:y = k_1x + b_1，l_2:y = k_2x + b_2。
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结知识点归纳概括：1.直线的倾斜角为0°≤α<180°，斜率为k=tanα（α≠90°）。
2.已知两点求斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)（x2≠x1）。
3.两直线平行时，它们的斜率相等；垂直时，它们的斜率之积为-1.4.直线的五种方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
5.两直线的交点坐标可通过联立两直线方程求得，两点间距离可用距离公式计算。
题型归纳分析：1.直线的倾斜角与斜率的计算。
2.平行和垂直直线的判断及斜率之间的关系。
3.直线的方程及其应用。
4.两直线交点坐标和两点间距离的计算。
例1：过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于1，则a的值为（）。
A。
1B。
4C。
1或3D。
1或4解析：由题意可得，直线MN的斜率为1，即(k=(4-a)/(a+2)=1)，解得a=2，故选B。
变式1：已知点A(1,3)、B(-1,3)，则直线AB的倾斜角是（）。
A。
60°B。
30°C。
120°D。
150°解析：由斜率公式可得，k=(3-3)/(-1-1)=0，因为斜率为0，所以直线与x轴平行，倾斜角为0°，故选A。
变式2：已知两点A(3,2)、B(-4,1)，求过点C(-1.)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。
解析：首先求出AB的斜率k1=(1-2)/(-4-3)=-1/7，然后求出点C到直线AB的距离d，d=|(-1-3)×(-1)+(?-2)×(-4+3)|/√((-4+3)²+(1-2)²)=|4-2×(?-1)|/√5，因为直线l与AB有公共点，所以点C到直线l的距离也为d，根据距离公式可得，|k1×(-1)+1×(?-1)-d|/√(k1²+1²)=d，化简得，|k1×(-1)+1×(?-1)|=2d√(k1²+1²)，即|k1+?(?-1)|=2d√(k1²+1²)，因为直线l过点C，所以直线l的斜率为k2=(?-1)/(-1-3)，代入得，|k1+k2|=2d√(k1²+1²)，整理得，|?-1+7k2|=2d√(50)，因为|?-1+7k2|≥0，所以d≥0，又因为√(50)>7，所以|?-1+7k2|≤2d×7，即|?-1+7k2|≤14d，代入得|?-1+7(?-1)/(-1-3)|≤14d，即|-2?-6/(-4)|≤14d，解得-1/2≤d≤1/2，因为d≥0，所以1/2≥d≥0，代入得-1/2≤?-1+7k2≤1/2，解得-3/14≤k2≤1/14，故k2的取值范围为[-3/14,1/14]。
高考直线方程题型归纳(最新整理)
高考直线方程题型归纳知识点梳理1．点斜式方程设直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线的方程为y －y 0=k (x －x 0)，由于此方程是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l 的倾斜角α=90°时，斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l 恰与y 轴平行或重合，这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0，所以此时的方程为x =x 0.（2）当直线l 的倾斜角α=0°时，k =0，此时直线l 的方程为y =y 0，即y－y 0=0.（3）当直线l 的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距，简称直线的截距. 注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y 轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x =2在y 轴上就没有截距，即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数，当k =0时，该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时，该函数为一次函数，且当k >0时，函数单调递增，当k <0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。
要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.3．直线的两点式方程若直线l 经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，则直线l 的方程为，这112121y y x x y y x x --=--种形式的方程叫做直线的两点式方程.注意（1）当直线没有斜率(x 1=x 2)或斜率为零(y 1=y 2)时，不能用两点式表示112121y y x x y y x x --=--它的方程；（2）可以把两点式的方程化为整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程； 如过两点A (1，2)，B (1，3)的直线方程可以求得x =1，过两点A (1，3)，B (－2，3)的直线方程可以求得y =3.（3）需要特别注意整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)与两点式方程的112121y y x x y y x x --=--区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。
直线方程总结知识点
一、直线方程的概念直线方程是描述平面上一条直线的数学关系式。
通常情况下，直线方程可表示为y = kx + b，其中x和y分别表示直线上的点的横纵坐标，k表示直线的斜率，b表示直线的截距。
直线方程可以用于描述直线的位置、方向等性质，是解决几何和代数问题的基本工具之一。
二、直线方程的常见形式1.点斜式方程点斜式方程是一种常见的直线方程形式，它的形式为y - y1 = k(x - x1)，其中(k,x1,y1)为直线上的已知点，k为直线的斜率。
点斜式方程直观地表示了直线斜率的概念，方便计算直线的位置和方向。
2.斜截式方程斜截式方程是另一种常见的直线方程形式，它的形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜截式方程直观地表示了直线截距的概念，方便计算直线与坐标轴的交点。
3.截距式方程截距式方程是直线的截距与坐标轴的关系式，它的形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示直线在x轴和y轴上的截距。
截距式方程可以直观地表示直线截距的性质，方便计算直线的位置和方向。
三、直线方程的求解方法1.根据已知点和斜率求解如果已知直线上的一个点和斜率，可以使用点斜式方程来表示直线。
首先找到直线上的一个点(x1,y1)，然后用直线的斜率k计算出直线方程y = kx + b中的截距b，最终得到直线方程。
2.根据已知点和截距求解如果已知直线上的两个点，可以使用截距式方程来表示直线。
首先根据已知的两点(x1,y1)和(x2,y2)计算出直线的斜率k，然后再计算出直线的截距a和b，最终得到直线方程。
3.根据两条直线的关系求解如果已知两条直线的关系，可以使用斜截式方程来表示直线。
首先根据两条直线的关系计算出直线的斜率k，截距b，最终得到直线方程。
1.几何问题中的应用直线方程可以用来描述几何问题中的直线性质，比如直线的位置、方向等。
例如，可以使用直线方程来描述平面上两点之间的连线，计算直线的斜率和截距等，从而解决几何问题。
直线的两点式方程、直线的一般式方程题型全归纳
直线的两点式方程、直线的一般式方程题型全归纳【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程2．(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．3．直线的一般式方程的定义我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.【例2】 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程．(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．【例3】(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？【类题通法】1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)若l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1=0(或A1C2－A2C1=0)．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．【练习反馈】1．直线x 3－y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－72．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y －2＝1 3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．4．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．5．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．参考答案【例1】由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0. 同理，直线BC 所在直线方程为：y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0.直线AC 所在直线方程为：y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【对点训练】1．答案：(1)x ＝2 (2)－2【例2】[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧ a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.【对点训练】2．解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ，则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋y b＝1. ∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2a a ＋2. ∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解； 当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y 1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 【例3】[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0.l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3.法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1. 综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.【对点训练】3．解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34. 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11.∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.(2)法一：设直线l 的斜率为k .∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直，∴k ·(－2)＝－1，∴k ＝12. 又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0. 法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0.∵直线l 经过点A (2,1)，∴2－2×1＋m ＝0，∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1.2．解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋y b＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式． 3．解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0. 答案：x －y ＋3＝04．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝05．解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0. 整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0.又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点，由截距式得x 2＋y －5＝1， 整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。
史上最全直线与直线方程题型归纳
精心整理直线与直线方程一、知识梳理1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.2.斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=3.直线方程的五种形式直线形式 直线方程局限性选择条件 点斜式不能表示与x 轴垂直的直线①已知斜率 ②已知一点 斜截式不能表示与x 轴垂直的直线①已知斜率②已知在y 轴上的截距两点式不能表示与x 轴、y 轴垂直的直线①已知两个定点 ②已知两个截距 截距式（b a 、分别为直线在x 轴和y 轴上的截距）不能表示与x 轴垂直、与y 轴垂直、过原点的直线 已知两个截距（截距可以为负）一般式表示所有的直线求直线方程的结果均可化为一般式方程 7．斜率存在时两直线的平行：21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠. 8．斜率存在时两直线的垂直：⇔⊥21l l 121-=k k ．9．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直． 二、典例精析题型一：倾斜角与斜率【例1】下列说法正确的个数是（） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②倾斜角为030的直线有且仅有一条； ③若直线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ； ④如果两直线平行，则它们的斜率相等 A.0个B.1个C.2个D.3个【练习】如果0<AC 且0<BC ，那么直线0=++C By Ax 不通过（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例2】如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( ) A ．k sin α>0 B ．k cos α>0C ．k sin α≤0 D ．k cos α≤0【练习】图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()．A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2【例3】经过点()2,1P 作直线l ，若直线l 与连接()10—，A ，()1,4B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围。
直线方程知识点和经典题型
1．直线方程的五种形式 斜截式纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线 点斜式过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式纵、横截距 x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 所有直线直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
题型一：两直线的位置关系1.判断直线相交:1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，若两直线相交，则有12210A B A B -≠2.设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0， 设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0．两点间的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离1.两点间距离公式：设平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；2.点到直线距离公式：点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200B A C By Ax d +++=3.两平行直线距离公式：两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B -=+， 1.若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于A ．1 B ．13- C ．23- D ．2- 2.若直线1:(3)4350l m x y m +++-=与2:2(5)80l x m y ++-=平行，则m 的值为A ．7- B ．1-或7- 题型二：定点问题1. 直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点.A ．(0,0) B ．（3，1）C ．(1,3) D ．(1,3)--2.若不论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点的坐标为A ．(2,1)-B ． (2,1)-C ．(2,1)--D ．(2,1)3.不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0 恒过定点 A.(1, －21) B.(－2, 0) C.(2, 3) D.(－2, 3) 题型三：对称问题1.已知点(5,8),(4,1)A B ，则点A 关于点B 的对称点C 的坐标 .2.求点（1,2）关于直线20x y --=的对称点。
(精品)直线与方程知识点+经典习题
直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义:倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ; 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点:(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；（2）k 与P 1、P 2的顺序无关；（3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；（4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1. ②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y ab+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ，即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ,B 不全为0)注意：错误!各式的适用范围 错误!特殊的方程如: 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线:a x =（a 为常数）； (5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数) （二）过定点的直线系(ⅰ)斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ;（ⅱ)过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）,其中直线2l 不在直线系中.(6）两直线平行与垂直当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时,212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否. （7）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的一组解。
高二数学直线方程知识点总结
高二数学直线方程知识点总结一、直线方程的基本形式直线方程的一般形式是Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不能同时为0。
直线方程的一般形式可以表示所有直线。
二、直线的斜率和截距1. 斜率的定义：直线的斜率是指直线上任意两点的纵坐标的差与横坐标的差的比值。
如果直线的斜率存在且不为零，就表示直线不平行于y轴。
2. 斜率的计算：设直线上两点为P(x1, y1)和Q(x2, y2)，则直线的斜率k = (y2-y1)/(x2-x1)。
3. 直线的截距：直线与坐标轴相交的点称为截距。
直线与y轴的交点称为纵截距，用b表示；直线与x轴的交点称为横截距，用a表示。
三、直线的一般式和斜截式1. 一般式：直线的一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C 为常数，A和B不能同时为0。
2. 斜截式：直线的斜截式方程为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线的截距。
四、点斜式方程1. 点斜式：直线过点P(x1, y1)，斜率为k，则直线的点斜式方程为y - y1 = k(x - x1)。
2. 根据点斜式方程可以求得直线的斜率和截距。
五、两点式方程1. 两点式：直线过点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，则直线的两点式方程为(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
2. 根据两点式方程可以求得直线的斜率和截距。
六、平行和垂直直线的关系1. 平行关系：两条直线的斜率相等时，它们平行。
2. 垂直关系：两条直线的斜率的乘积为-1时，它们垂直。
七、直线的倾斜角1. 倾斜角的定义：直线与x轴的夹角称为直线的倾斜角。
2. 倾斜角的计算：设直线的斜率为k，则倾斜角θ = arctan(k)。
八、直线的距离和点到直线的距离1. 直线的距离：点P到直线Ax + By + C = 0的距离为d = |Ax1 + By1 + C|/√(A^2 + B^2)，其中(x1, y1)为点P的坐标。
直线与方程知识点归纳
直线与方程知识点归纳直线是平面几何中的一种基本图形，它具有很多特殊的性质和重要的应用。
直线与方程相关的知识点主要包括直线的方程的表示形式、直线的斜率和截距、直线的点斜式和一般式等。
一、直线的方程的表示形式1.一般式：直线的一般式方程形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C都是实数，且A和B不能同时为零。
2.点斜式：直线的点斜式方程形式为y-y1=k(x-x1)，其中k是直线的斜率，(x1,y1)是直线上的一点。
3. 斜截式：直线的斜截式方程形式为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线的截距。
二、直线的斜率和截距1.斜率：直线的斜率表示线的倾斜程度，可以用k表示。
斜率等于直线上任意两点的纵坐标之差除以横坐标之差。
如果直线过两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，则直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)。
2.截距：直线的截距表示直线与y轴的交点在y轴上的纵坐标，可以用b表示。
一条直线的斜率和截距唯一决定着这条直线。
斜截式方程中的b就是直线的截距。
三、直线的点斜式直线的点斜式方程形式为y-y1=k(x-x1)，其中k是直线的斜率，(x1,y1)是直线上的一点。
点斜式可以通过直线上的一点和斜率来表示直线的方程，方便求解和分析。
四、直线的一般式1.一般式方程形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C都是实数，且A和B 不能同时为零。
2.一般式方程可以用来表示任意一条直线，但表达方式较为复杂，一般在特定情况下使用，如直线的方程已知时。
五、直线的性质和应用1.平行和垂直：两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-12.交点：两条直线交于一点时，此点的横坐标和纵坐标同时满足两条直线的方程，可以通过解方程组求解。
3.切线和法线：切线是与曲线仅有一个公共点且在这一点处与曲线相切的直线；法线是与曲线仅有一个公共点且垂直于曲线的直线。
4.直线的应用：直线作为数学工具经常应用在几何中的图形分析、计算和证明中，也广泛用于物理、工程、经济等实际问题的解决中。
直线的方程知识点总结
直线的方程知识点总结一、直线的方程1、倾斜角：范围0≤α＜180，若x l //轴或与x 轴重合时，α=00。
若l x ⊥轴时，α=900。
2、直线的斜率：（1）定义： k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k≠--=；当1x =2x 时，α=900，k 不存在。
α为锐角时，k>0; α为钝角时，k<0;（3）应用：证明三点共线：AB BC k k =。
3、直线方程的几种形式已知方程 说明 几种特殊位置的直线 点斜式()k y x P ,,00()00x x k y y -=-斜率k 必须存在①x 轴：y=0斜截式 b k ，b kx y +=斜率k 必须存在 ②y 轴：x=0两点式()()222111,,y x P y x P 121121x x x x y y y y --=--不包括垂直于坐标轴的直线③平行于x 轴：y=b截距式 在x ，y 轴上的截距为b a ，1=+by a x 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx 或x=0一般式 Ax+by+c=0 A 、B 不同时为0提醒：直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0。
注意：“截距相等”0,10,x y a b a b a b y kx ⎧=≠+=⎪=⎨⎪===⎩若则设为若则必过原点，可设为或x=0两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。
②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。
4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y y k x x -=-，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；二、直线的位置关系1、222111::b x k y l b x k y l +=+= 0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ()0222≠C B A21l l 与组成的方程组相交⇔21k k ≠2121B B A A ≠ 有唯一解平行⇔2121,b b k k ≠=212121C C B B A A ≠= 无解重合⇔2121b b k k ==且 212121C C B B A A == 有无数多解垂直⇔121-=⨯k k02121=+B B A A（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、（1）已知直线b kx y +=与之平行的直线方程设为()b b R b b kx y ≠∈+=111, 与之垂直的直线方程设为21b x ky +-= （2）已知直线()0022≠+=++BA C By Ax与之平行的直线方程设为()C D D By Ax ≠=++0 与之垂直的直线方程设为0=+-D Ay Bx3、距离公式：（1）两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离0022Ax By C dA B++=+；（3）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为1222C C d A B-=+。
直线与方程知识点总结(实用4篇)
直线与方程知识点总结第1篇空间两条直线只有三种位置关系。
1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线xxx的角：范围为（0，90）esp。
空间向量法两异面直线间距离：公垂线段（有且只有一条）esp。
空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点相交直线；（2）没有公共点平行或异面直线与方程知识点总结第2篇常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
有些学生仍然在遇到三角函数题目的时候画直角三角形协助理解，这是十分危险的，也是我们所不提倡的。
三角函数的定义在引入了实数角和弧度制之后，已经发生了革命性的变化，sinA中的A不一定是一个锐角，也不一定是一个钝角，而是一个实数弧度制的角。
有了这样一个思维上的飞跃，三角函数就不再是三角形的一个附属产品（初中三角函数很多时候依附于相似三角形），而是一个具有独立意义的函数表现形式。
既然三角函数作为一种函数意义的理解，那么，它的知识结构就可以完全和函数一章联系起来，函数的精髓，就在于图象，有了图象，就有了所有的性质。
对于三角函数，除了图象，单位圆作为辅助手段，也是非常有效就好像配方在二次函数中应用广泛是一个道理。
三角恒等变形部分，并无太多诀窍，从教学中可以看出，学生听懂公式都不难，应用起来比较熟练的都是那些做题比较多的同学。
题目做到一定程度，其实很容易发现，高一考察的三角恒等只有不多的几种题型，在课程与复习中，我们也会注重给学生总结三角恒等变形的统一论，把握住降次，辅助角和万能公式这些关键方法，一般的三角恒等迎刃而解。
关键是，一定要多做题。
直线与方程知识点总结第3篇①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率xxx 表示。
必修2《直线与方程___知识点_总结》及习题
直线与方程 知识点 总结一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②与x 轴垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值与两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=∙k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可；②斜截式：b kx y += 将已知截距 k b 与斜率 直接带入即可； ③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可；⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可（可简记为“方程组思想”）。
3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-=推导方法：构造直角三角形“勾股定理”； ②点到直线距离：2200B A C By Ax d +++=推导方法：构造直角三角形“面积相等”；③平行直线间距离：2221BA C C d +-=推导方法：在y 轴截距),0(1C 代入②式；4、中点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ 推导方法：构造直角“相似三角形”；一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y xB. 052=-+y xC. 052=-+y xD. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，且sin cos 0θθ+=则a,b 满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或210、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（ ）A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211.（北京卷）“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( ) （A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 12、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 13. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0 14.（北京文）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件15. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1C. 2 D 、22 16. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________.2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a 的值为（ ）3.经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是 。
直线的方程知识点总结
直线的方程知识点总结一、直线的性质1. 直线的定义直线是由一组无限多个点构成的集合，在直线上任取两点，直线上的任意一点都可以表示为这两点的线性组合。
直线是一维的几何图形，可以用一个点和一个方向来描述。
2. 直线的斜率直线的斜率是描述直线倾斜程度的重要参数，斜率的计算公式为：m=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
斜率代表了直线与x轴正方向的夹角的正切值，斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜，斜率为零表示直线平行于x轴。
3. 直线的截距直线与坐标轴的交点称为直线的截距，可以分为x轴截距和y轴截距。
直线与x轴的交点的横坐标称为直线的x轴截距，直线与y轴的交点的纵坐标称为直线的y轴截距。
直线的斜截式方程就是以斜率和截距作为参数的直线方程表示形式。
4. 直线的性质直线是一维的几何图形，它具有以下性质：（1）两点确定一条直线（2）直线的斜率存在且唯一（3）平行于同一直线的两条直线的斜率相等（4）垂直于同一直线的两条直线的斜率互为相反数二、直线的方程表示形式1. 截距式方程直线的截距式方程是直线的一种表示形式，以截距作为参数。
一条直线的截距式方程可以表示为：x/a+y/b=1，其中a和b分别是直线与x轴和y轴的截距。
2. 斜截式方程直线的斜截式方程是直线的一种表示形式，以斜率和截距作为参数。
一条直线的斜截式方程可以表示为：y=mx+b，其中m是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。
3. 一般式方程直线的一般式方程是直线的一种表示形式，以直线的一般系数作为参数。
一条直线的一般式方程可以表示为：Ax+By+C=0，其中A、B和C是直线的一般系数。
4. 对称式方程直线的对称式方程是直线的一种表示形式，以直线的斜率和截距的倒数作为参数。
一条直线的对称式方程可以表示为：xcosα+ysinα=p，其中α是直线的倾斜角，p是直线与原点的距离。
三、直线的求解方法1. 点斜式方程的求解点斜式方程是直线的一种表示形式，以直线上一点和直线的斜率作为参数。
(完整word版)直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结一、直线基本知识1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向.②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③倾斜角的范围00180. ④0,900k；,18090k（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。
②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ）的直线的斜率公式是1212x x y y k （21x x ）③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k 。
特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式)(11x xk y y),(11y x 为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式bkx y k 为斜率，b 是直线在y轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式121121x x x x y y y y ),(2121y y x x 其中),(),,(2211y x y x 是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式1b y ax a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线一般式CByAx）不同时为其中0,(B A A ，B ，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。
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直线的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 斜率与倾斜角我们把直线y kx b =+中k 的系数k （k R ∈）叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，其斜率不存在。
x 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。
倾斜角[)0,απ∈，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是2π的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=。
当0k =时，直线平行于轴或与轴重合；当0k >时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0k <时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k 随的增大而减小； 二、基本公式1. 111222(,),(,)P x y P x y 两点间的距离公式12||PP =2. 111222(,),(,)P x y P x y 的直线斜率公式121212tan (,)2y y k x x x x παα-==≠≠-3.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率k 存在且过00(,)x y ，00()y y k x x -=- 注：①当0k =时，0y y =；②当k 不存在时，0x x = （2）斜截式：直线的斜率k 存在且过(0,)b ，y kx b =+（3）两点式：112121y y x x y y x x --=--，不能表示垂直于坐标轴的直线。
注：211121()()()()x x y y x x y y --=--可表示经过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的所有直线 （4）截距式：1x ya b+=不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式：220(0)Ax By C A B ++=+≠，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)n A B =是这条直线的一个法向量）题型归纳及思路提示题型1 倾斜角与斜率的计算 思路提示正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式1212y y k x x -=-，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当1212,x x y y =≠时，直线的斜率不存在，倾斜角为90求斜率可用tan (90)k αα=≠，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割。
牢记“斜率变化分两段，90是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”。
这可通过画正切函数在0,,22πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上的图像来认识。
例9.1 若三点(2,2),(,0),(0,)A B a C b (0)ab ≠共线，则11a b+=___________.分析 由三点共线可联想到斜率相等或向量共线。
解析 解法一：由题设可知AB AC k k =， 即022202b a --=--，(2)(2)4,2()a b ab a b --==+ 1112a b a b ab ++== 解法二：由题设可知//AB AC ，即(2,2)//( 2.2)a b ----，即(2)(2)4a b --=。
2()ab a b =+，1112a b a b ab ++== 解法三：由题设可知点(2,2)A 在直线BC 上，又由截距式方程得直线BC 方程：1x ya b+=，故221111,2a b a b +=+=。
评注 关于三点共线问题，可以联想到斜率相等或向量共线，亦可先由两点确定一条直线，再证第三点在该直线上，这些方法对学习平面解析（空间立体）几何或几何证明都很有益处。
变式1 若直线l 先向左平移一个单位，再向上平移两个单位后，所得直线与直线l 重合，则直线l 的斜率为__________.变式2 已知过2(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角，则实数m 的取值范围是___________.例9.2 已知(0,0),(1,1),(1,1),(1,1)O A B C --，P 点为一动点。
（1）当P 点在线段AB 上运动时，求直线OP 倾斜角的范围 （2）当P 点在线段AC 上运动时，求直线OP 的斜率的范围。
解析 （1）当P 点在线段AB 上运动时，求直线OP 斜率为[]1,1-，可得倾斜角的范围为30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭。
（2）当P 点在线段AC 上运动时，倾斜角范围为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得斜率为直线OP 的斜率的范围(][).11,-∞-⋃+∞评注 当斜率有正负时，倾斜角为两段；当角度包括90时，斜率分两段，可用正切函数0,,22πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭上的图像求解。
变式1 若直线12,l l 的倾斜角分别为12,αα，则下列四个命题正确的是（ ） A.若12αα<，则两直线的斜率12k k < B.若12αα=，则两直线的斜率12k k = C.若12k k <，则两直线的斜率12αα< D.若12k k =，则两直线的斜率12αα=变式2 若直线l 的斜率k 的变化范围是⎡-⎣，则其倾斜角的变化范围是（ ）A. ,()43k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B.,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.3,34ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D .30,,34πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭变式3 直线l 经过2(2,1),(1,)A B m 两点（m R ∈），那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A. [)0,π B. 0,,42πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .0,,42πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭例9.3 已知直线l 过(1,2)P -，且与以(2,3),(3,0)A B --为端点的线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围。
分析 本题为“由直线区域求直线斜率范围”求解步骤。
①做出直线区域图；②求出区域边界斜率12,k k ；③按逆时针方向旋转得到12k k →；④若12k k >，直接写出12[,]k k k ∈（或开区间），若12k k <过无穷，[)12(,],k k k ∈-∞⋃+∞。
解析 解法一：如图所示，15,2PA PB k k ==-。
因为过点(1,2)P -且与x 轴垂直的直线PC 与线段AB 相交，但此时直线l 斜率不存在，直线PA 绕点P 逆时针旋转到PC 时，l 斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时l 斜率的范围是[)5,+∞；直线l 由PC （不包括PC ）逆时针旋转至PB 时，l 斜率始终为负值，且逐渐增大，范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦。
故所求直线的斜率的取值范围是[)1,5,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦。
解法二：本题也可以用线性规划的知识来解决，当l x ⊥轴时，与线段AB 相交，此时斜率不存在。
当斜率k 存在时，设直线l 的方程为(1)2y k x =++，即20kx y k -++=，要使l 与线段AB 有交点，只需,A B 落在直线l 的两侧或直线上，则应满足[(2)(3)2](32)0k k k k ---++⋅⋅++≤，得12k ≤-或5k ≥，故所求直线l 的斜率k 的取值范围是[)1,5,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦。
评注 本题主要用了数形结合的方法。
另外，直线斜率的绝对值越大，直线就越“陡”，这一规律在判断直线的倾斜程度上应用较广。
变式1 已知线段PQ 两端点的坐标分别为(1,1),(2,2)-，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 有交点，求实数m 的范围。
变式2 已知实数,x y 满足222(11)y x x x =-+-≤≤，试求32y x ++的最大值与最小值。
，题型2 直线的方程 思路提示要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式。
例9.4 求下列直线方程：（1）直线`1l ：过点(2,1)，斜率2k =-； （2）直线`2l ：过点(2,1)-和点(3,3)-； （3）直线`3l ：过点(0,1)，斜率12-。
分析 已知点的坐标和斜率用点斜式，已知两点的坐标用两点式，已知在轴上的截距和斜率用截距式，最终的结果最好化成直线的一般式。
解析 （1）由直线的点斜式方程得12(2)y x -=--，整理得`1l 的方程为250x y +-=。
（2）解法一：由直线的两点式方程得1(2)313(2)y x ---=----，整理得`2l 的方程为4530x y ++=。
解法二：直线`2l 的方程求解也可用点斜式，先算出314325k --==-+，再代入点斜式得41(2)5y x -=-+，即4530x y ++=（3）由直线的点斜式方程得112y x =-+，整理得`3l 的方程为220x y +-= 评注 已知直线上一点的坐标以及直线斜率，或已知直线上两点坐标均可用直线方程的点斜式表示，使用直线方程的点斜式时，应在直线斜率存在的条件下使用，当斜率不存在时，直线方程为0x x =。
变式1 求满足下列条件的直线方程： （1）斜率2k =，在y 轴上的截距是5； （2）斜率3k =，在x 轴上的截距是1-；； （3）在x 轴, y 轴上的截距是2，-5。
变式2 直线`1l ： 310x y -+=，直线`2l 过点(1,0)，且它的倾斜角是`1l 的倾斜角的2倍，则`2l 的方程为__________.例9.5 已知两直线`111:70l a x b y ++=，`2l 22:70a x b y ++=都经过点(3,5)，则经过点112212(,),(,)()a b a b a a ≠的直线方程是____________.解析 解法一：由题设可知所求直线斜率为2121b b k a a -=-，且112235703570a b a b ++=⎧⎨++=⎩，作差得12123()5()0a a b b -+-=，则350k +=，35k =-。
故所求直线为：113()5y b x a -=--，即1135(35)0x y a b +-+=， 即3570x y ++=。
解法二： 由两直线`111:70l a x b y ++=，`2l 22:70a x b y ++=都经过点(3,5),得112235703570a b a b ++=⎧⎨++=⎩，两点112212(,),(,)()a b a b a a ≠都适合方程3570x y ++=，又过这两点的直线是唯一的。
故经过点112212(,),(,)()a b a b a a ≠的直线方程是3570x y ++=评注 若两点1122(,),(,)A x y B x y 同时满足方程：220()Ax By C A B ++=+，即0(1,2)i i Ax By C i ++==，则过,A B 两点的直线方程为AB l ：0Ax By C ++=变式1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，设△ABC 的顶点为(0,),(,0),(,0)A a B b C c 。