第5章 支持向量机和核函数
支持向量机中核函数参数优化的方法研究
支持向量机中核函数参数优化的方法研究支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种常用的机器学习算法，它在分类和回归问题中表现出色。
SVM的优势在于可以处理高维数据，并且具有较好的泛化能力。
在SVM中，核函数是一项重要的参数，它可以将低维数据映射到高维空间中，从而使得数据更容易被分离。
本文将探讨支持向量机中核函数参数优化的方法。
首先，我们需要了解核函数在支持向量机中的作用。
SVM的核函数有多种选择，常见的有线性核函数、多项式核函数和高斯核函数等。
核函数的作用是将原始数据映射到一个更高维度的空间中，使得数据在新的空间中更容易被线性分离。
这样一来，我们可以在高维空间中找到一个超平面，将不同类别的数据分隔开来。
因此，核函数的选择对SVM的性能至关重要。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的核函数和优化其参数。
不同的核函数适用于不同的数据特征，因此我们需要通过实验和调参来确定最佳的核函数及其参数。
下面将介绍几种常用的核函数参数优化方法。
一种常用的方法是网格搜索（Grid Search）。
网格搜索通过遍历给定的参数空间，计算每个参数组合下的模型性能，并选择性能最好的参数组合。
具体来说，我们可以指定一组参数的候选值，然后通过交叉验证来评估每个参数组合的性能。
最终，我们选择性能最好的参数组合作为最终的模型参数。
网格搜索的优点是简单易懂，但是当参数空间较大时，计算复杂度较高。
另一种常用的方法是随机搜索（Random Search）。
与网格搜索不同，随机搜索在给定的参数空间中随机选择参数组合进行评估。
随机搜索的好处在于，它能够更快地找到较好的参数组合，尤其是当参数空间较大时。
然而，随机搜索可能无法找到全局最优解，因为它只是在参数空间中进行随机采样。
除了网格搜索和随机搜索，还有一些更高级的优化方法可供选择。
例如，贝叶斯优化（Bayesian Optimization）是一种基于贝叶斯推断的优化方法，它通过建立一个高斯过程模型来估计参数的性能，并选择最有可能提高性能的参数组合进行评估。
支持向量机原理SVMPPT课件
回归分析
除了分类问题，SVM也可以用于 回归分析，如预测股票价格、预 测天气等。通过训练模型，SVM
能够预测未知数据的输出值。
数据降维
SVM还可以用于数据降维，通过 找到数据的低维表示，降低数据
的复杂性，便于分析和理解。
02 支持向量机的基本原理
线性可分与不可分数据
线性可分数据
在二维空间中，如果存在一条直线， 使得该直线能够将两类样本完全分开 ，则称这些数据为线性可分数据。
支持向量机原理 svmppt课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 支持向量机的基本原理 • 支持向量机的数学模型 • 支持向量机的优化问题 • 支持向量机的核函数 • 支持向量机的训练和预测 • 支持向量机的应用案例 • 总结与展望
01 引言
什么是支持向量机
定义
支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种监督学习算法， 用于分类和回归分析。它通过找到一个超平面来分隔数据集，使得分隔后的两 类数据点到该平面的距离最远。
支持向量机的优势和局限性
01
对大规模数据集效 率较低
对于大规模数据集，支持向量机 可能需要较长时间进行训练和预 测。
02
核函数选择和参数 调整
核函数的选择和参数调整对支持 向量机的性能有很大影响，需要 仔细选择和调整。
03
对多分类问题处理 不够灵活
对于多分类问题，支持向量机通 常需要采用一对一或一对多的策 略进行处理，可能不够灵活。
图像识别
• 总结词：支持向量机用于图像识别，通过对图像特征的提取和分类，实现图像 的自动识别和分类。
• 详细描述：支持向量机在图像识别中发挥了重要作用，通过对图像特征的提取 和选择，将图像数据映射到高维空间，然后利用分类器将相似的图像归为同一 类别，不相似图像归为不同类别。
支持向量机及支持向量回归简介
3．支持向量机（回归）3.1.1 支持向量机支持向量机（SVM ）是美国Vapnik 教授于1990年代提出的，2000年代后成为了很受欢迎的机器学习方法。
它将输入样本集合变换到高维空间使得其分离性状况得到改善。
它的结构酷似三层感知器，是构造分类规则的通用方法。
SVM 方法的贡献在于，它使得人们可以在非常高维的空间中构造出好的分类规则，为分类算法提供了统一的理论框架。
作为副产品，SVM 从理论上解释了多层感知器的隐蔽层数目和隐节点数目的作用，因此，将神经网络的学习算法纳入了核技巧范畴。
所谓核技巧，就是找一个核函数(,)K x y 使其满足(,)((),())K x y x y φφ=，代替在特征空间中内积(),())x y φφ（的计算。
因为对于非线性分类，一般是先找一个非线性映射φ将输入数据映射到高维特征空间，使之分离性状况得到很大改观，此时在该特征空间中进行分类，然后再返会原空间，就得到了原输入空间的非线性分类。
由于内积运算量相当大，核技巧就是为了降低计算量而生的。
特别， 对特征空间H 为Hilbert 空间的情形，设(,)K x y 是定义在输入空间nR上的二元函数，设H 中的规范正交基为12(),(),...,(),...n x x x φφφ。
如果221(,)((),()),{}k k k k k K x y a x y a lφφ∞==∈∑，那么取1()()k k k x a x φφ∞==∑即为所求的非线性嵌入映射。
由于核函数(,)K x y 的定义域是原来的输入空间，而不是高维的特征空间。
因此，巧妙地避开了计算高维内积(),())x y φφ（所需付出的计算代价。
实际计算中，我们只要选定一个(,)K x y ，并不去重构嵌入映射1()()k k k x a x φφ∞==∑。
所以寻找核函数(,)K x y （对称且非负）就是主要任务了。
满足以上条件的核函数很多，例如● 可以取为d-阶多项式：(,)(1)dK x y x y =+ ，其中y 为固定元素。
支持向量机SVM、优化问题、核函数
⽀持向量机SVM、优化问题、核函数1、介绍它是⼀种⼆类分类模型，其基本模型定义为特征空间上的间隔最⼤的线性分类器，即⽀持向量机的学习策略便是间隔最⼤化，最终可转化为⼀个凸⼆次规划问题的求解。
2、求解过程1、数据分类—SVM引⼊假设在⼀个⼆维平⾯中有若⼲数据点(x,y)，其被分为2组，假设这些数据线性可分，则需要找到⼀条直线将这两组数据分开。
这个将两种数据分割开的直线被称作分隔超平⾯(separating hyperplane)，当其在更加⾼维的空间中为超平⾯，在当前的⼆维平⾯为⼀条直线。
这样的直线可能存在很多条，则我们需要找到⼀条最优的直线。
怎么定义这个最优直线呢？如果依此构建的分类器能够在测试结果将测试数据分开，且数据点离这⼀决策边界越远，其结果将更可信。
那么在该⼆维平⾯中，需要使得离分割超平⾯最近的点，其离分割⾯尽可能远。
设这些点到分割⾯的距离⽤间隔(margin)表⽰，则我们需要最⼤化这些间隔，从⽽使得最后得到的分类器在测试数据上表现地更加健壮。
那么，什么是⽀持向量(support vector)呢？就是离分割超平⾯最近的那些点。
在超平⾯两侧最近的点形成了间隔边界，⽽超平⾯则处于这两个间隔边界的中⼼。
2、找到最⼤间隔以⼆维平⾯为例。
在⼆维平⾯中的分割超平⾯为⼀条直线，我们将其表⽰为：其也可以表⽰为：我们可以把x,y看成在这⼆维平⾯上的某个数据点的两个特征，那么这个⼆维平⾯也就是特征空间。
这样，重新定义其特征为x1,x2 ,对应系数为w1,w2,对于更⾼维次，则有x n,w n,于是我们可以把特征及其系数表⽰为W T X，其中W、X都是n维列向量。
此时该超平⾯可表⽰为：那么如何刻画两个不同的分类呢？我们设：上式表⽰刻画n维特征的数据的分类函数。
显然，如果g(X)=0，则在超平⾯上;其余数据将被该超平⾯分为2部分，不妨设使得g(X)>0的数据类别为1，g(X)<0的数据类别为-1.函数间隔(函数距离)我们定义函数间隔如下：在超平⾯W T X+b=0确定的情况下，|W T X+b|可以能够相对的表⽰数据X距离超平⾯的远近。
核函数支持向量机
向量机不仅广泛应用于工程 、自 然科学和社会科学研究领域 ， 而且也广泛应用于医学 、 、 工业 商业和金融等领域。 第二章介绍核函数支持向量机的基本理论； 第三章分别叙 述核 函数支持 向量机 的原始与对偶 问题 、 数值优化 、 工作集选
择以及模型选择； 第四章着重描述核函数支持向量机在生物信 息学 、 器视觉 、 本分类 、 机 文 手写字符识别 、 语音识别和时间序 列预测等方面的应用 ， 最后是相关结 论。
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔ ｉ ｐ ｐ ｒ ｐ ｅ ｅ ｔ ｕ ｖ ｙ ｏ ｅ ｅ － ａ ｅ ｕ ｐ ￣ ｖ ｃｏ ｃ ｉ ｅ ． ｅ ｍａｎ ｉ ｅ ｓ ｏ ｕ ｐ ｒ ｖ ｃｏ ｃ ｉｅ ｄ ｈ ｓ ａ ｅ ｒ ｓ ｎ ｓ ａ ｓ ｒｅ ｆ ｋ ｍ ｌ ｂ ｓ ｄ ｓ ｐ ｏ ｅ ｔ ｒ ｍａ ｈ ｎ ｓ ｈ Ｔ ｉ ｄ ａ ｆ ｓ ｐ ｏ ｅ ｔｒ ｍａ ｈ ｎ ｓ ａ ｔ ｎ
间， 核函数能在特征空间中变换成内积表达形式。１９ 年， ９２ 根 据结构风险最小化原理 ，ａｎ 提出支持向量机的概念。支持 ２ 支持向量机与核函数 Ｖ ｐｉ ｋ 向量机推广性能的界取决于学习机的训练误差与 Ｖ 维 ， Ｃ 若最 在模式分类与回归分析方面，伴随着支持向量机的发展， 小 化推广性能的上 界 ， 则能提高学习机 的推广性能 。 核函数方法已成为 目前最盛行 与最有效的技术 。 支持向量机的 核函数方法是迄今最先进的分类算法 ， 伴随支持 向量机 的 基本思想是构造—个超平面作为决策面 ， 由此使两类样本的间 迅速发展 ， 在解决分类与回归问题方面， 核函数支持向量机已 隔最大（ １。 图 ）为了浅而易见 ， 在欧氏空间 中讨论问题， 并给 成为最流行且功能 强大 的工具 。 函数支持 向量机以统计 学习 核
支持向量机的核函数
支持向量机的核函数
支持向量机（SVM）是一种广泛用于分类、回归和异常检测的机器学习方法。
它基于一种名为核函数的技术，可以将非线性问题转换为线性问题。
下面是常见的支持向量机核函数：
1.线性核函数：线性核函数是最基本的支持向量机核函数，它将每个输入变量投影到同一特征空间，因此它不能解决复杂的非线性问题。
2.多项式核函数：多项式核函数是一种非线性核函数，用来处理复杂的非线性分类。
它利用多项式函数将输入变量投影到高维空间，这有助于多类分类器在该空间中构建复杂的划分边界。
3.径向基核函数：径向基核函数（也称为高斯核函数）是最常用的支持向量机核函数。
它利用输入数据的特征距离来构建内核变换。
该函数是非线性的，可以测量输入空间内两个实例的相似度。
4.Sigmoid核函数：Sigmoid核函数是一种拟s型核函数，该特征可以将非线性映射到线性支持向量机。
核函数的形状可以反映训练示例之间重要的变化，但这一学习效果很好地处理大规模支持向量机。
以上是常见的支持向量机核函数，它们都具有转换复杂非线性问题的能力，使SVM有效处理大规模数据集以及处理多类分类问题。
除此之
外，这些核函数还可用于不同类型的机器学习任务，比如回归、聚类和异常检测。
它们的共同点是，它们都可以将非线性问题转换为线性问题，从而提高模型的泛化能力。
支持向量机高斯核函数
支持向量机高斯核函数
支持向量机是一种常见的分类和回归方法，它在分类和回归问题中都有广泛的应用。
而支持向量机的核函数则是支持向量机的重要组成部分，尤其是高斯核函数在实际中应用比较广泛。
高斯核函数是一种能够将数据映射到高维空间的非线性函数，它能够将低维数据转化为高维数据，从而使数据在高维空间内更容易被分离。
采用高斯核函数的支持向量机可以学习到更加复杂的模型，从而提高模型的分类性能。
高斯核函数的形式为：
K(x, x') = exp(-γ||x-x'||)
其中，x和x'是样本向量，γ是高斯核函数的参数，||x-x'||
为样本向量之间的欧氏距离的平方。
在支持向量机算法中，高斯核函数可以被用于计算两个样本向量之间的相似度，从而得到支持向量机的分类决策边界。
具体来说，高斯核函数能够将样本向量投影到高维空间后，计算它们在高维空间内的距离并进行分类决策。
当然，高斯核函数的选择需要根据具体应用问题来确定，不同问题对应不同的高斯核函数参数。
在实际应用中，我们可以通过交叉验证等方式来选择最优的高斯核函数参数，从而得到更好的分类性能。
综上所述，支持向量机高斯核函数是一种强大的非线性分类和回归工具，通过高斯核函数的应用，使得支持向量机在实际中具有更高的适用性和效果。
支持向量机（四）--核函数
⽀持向量机（四）--核函数⼀、核函数的引⼊问题1：SVM 显然是线性分类器。
但数据假设根本就线性不可分怎么办？解决⽅式1：数据在原始空间（称为输⼊空间）线性不可分。
可是映射到⾼维空间（称为特征空间）后⾮常可能就线性可分了。
问题2：映射到⾼维空间同⼀时候带来⼀个问题：在⾼维空间上求解⼀个带约束的优化问题显然⽐在低维空间上计算量要⼤得多，这就是所谓的“维数灾难”。
解决⽅式2：于是就引⼊了“核函数”。
核函数的价值在于它尽管也是讲特征进⾏从低维到⾼维的转换。
⼆、实例说明⽐如图中的两类数据，分别分布为两个圆圈的形状，不论是不论什么⾼级的分类器，仅仅要它是线性的。
就没法处理。
SVM 也不⾏。
由于这种数据本⾝就是线性不可分的。
从上图我们能够看出⼀个理想的分界应该是⼀个“圆圈”⽽不是⼀条线（超平⾯）。
假设⽤ 和 来表⽰这个⼆维平⾯的两个坐标的话，我们知道⼀条⼆次曲线（圆圈是⼆次曲线的⼀种特殊情况）的⽅程能够写作这种形式：注意上⾯的形式，假设我们构造另外⼀个五维的空间，当中五个坐标的值分别为 , , , , ，那么显然。
上⾯的⽅程在新的坐标系下能够写作：关于新的坐标 。
这正是⼀个超平⾯ 的⽅程！也就是说，假设我们做⼀个映射 。
将 依照上⾯的规则映射为 ，那么在新的空间中原来的数据将变成线性可分的，从⽽使⽤之前我们推导的线性分类算法就能够进⾏处理了。
这正是 Kernel ⽅法处理⾮线性问题的基本思想。
三、具体分析还记得之前我们⽤内积这⾥是⼆维模型，可是如今我们须要三维或者更⾼的维度来表⽰样本。
这⾥我们如果是维度是三。
那么⾸先须要将特征x 扩展到三维，然后寻找特征和结果之间的模型。
我们将这样的特征变换称作特征映射（feature mapping ）。
映射函数称作，在这个样例中我们希望将得到的特征映射后的特征应⽤于SVM 分类，⽽不是最初的特征。
这样，我们须要将前⾯公式中的内积从，映射到。
为什么须要映射后的特征⽽不是最初的特征来參与计算，⼀个重要原因是例⼦可能存在线性不可分的情况，⽽将特征映射到⾼维空间后，往往就可分了。
第五章支持向量机
§5.1 支持向量机的理论基础
由于SVM 的求解最后转化成二次规划问题的求 由于 因此SVM 的解是全局唯一的最优解。 的解是全局唯一的最优解。 解，因此 SVM在解决小样本、非线性及高维模式识别问题 在解决小样本、 在解决小样本 中表现出许多特有的优势， 中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函 数拟合等其他机器学习问题中 。
11
关于支持向量机进一步的理论方法
统计学习理论和有关VC维的理论 统计学习理论和有关 维的理论 核方法的有关理论和方法 SVM求解和最优化的进一步方法 求解和最优化的进一步方法 支持向量回归机的理论和方法
返回
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§5.4 支持向量机的应用
近年来SVM 方法已经在图像识别、信号处理和 方法已经在图像识别、 近年来 基因图谱识别等方面得到了成功的应用， 基因图谱识别等方面得到了成功的应用，显示 了它的优势。 了它的优势。 SVM 通过核函数实现到高维空间的非线性映射 通过核函数实现到高维空间的非线性映射, 所以适合于解决本质上非线性的分类、 所以适合于解决本质上非线性的分类、回归和 密度函数估计等问题。 密度函数估计等问题。 支持向量方法也为样本分析、因子筛选、 支持向量方法也为样本分析、因子筛选、信息 压缩、知识挖掘和数据修复等提供了新工具。 压缩、知识挖掘和数据修复等提供了新工具。
6
§5.2 支持向量机的特点
SVM 是一种有坚实理论基础的新颖的小样本学习 方法。它基本上不涉及概率测度及大数定律等， 方法。它基本上不涉及概率测度及大数定律等，因 此不同于现有的统计方法。从本质上看， 此不同于现有的统计方法。从本质上看，它避开了 从归纳到演绎的传统过程， 从归纳到演绎的传统过程，实现了高效的从训练样 本到预报样本的“转导推理” 本到预报样本的“转导推理”(transductive inference) ,大大简化了通常的分类和回归等问题。 大大简化了通常的分类和回归等问题。 大大简化了通常的分类和回归等问题 SVM 的最终决策函数只由少数的支持向量所确定 的最终决策函数只由少数的支持向量所确定, 计算的复杂性取决于支持向量的数目， 计算的复杂性取决于支持向量的数目，而不是样本 空间的维数，这在某种意义上避免了“维数灾难” 空间的维数，这在某种意义上避免了“维数灾难”。
支持向量机组合核函数研究本科毕业论文.
支持向量机组合核函数研究目录摘要 (I)Abstract (II)1引言 (1)1.1研究背景和意义 (1)1.2支持向量机的研究现状 (2)1.3本文的主要研究内容 (4)2基础知识和基本理论 (5)2.1支持向量机基础知识 (5)2.2支持向量分类机 (5)3核函数 (9)3.1核函数功能 (9)3.2核函数理论基础 (9)3.3常用核函数及基本性质 (10)4 组合核函数 (12)4.1高斯核函数的性质： (12)4.2Sigmoid核函数的性质 (14)4.3组合核函数的构造 (17)4.4本文的组合核函数 (19)5实验结果分析 (21)5.1实验1：简单的回归分析 (21)5.2实验2：复杂的数据分类分析 (23)6结束语 (26)6.1本文研究工作总结 (26)6.2本文展望 (26)致谢....................................................... 错误！未定义书签。
附录....................................................... 错误！未定义书签。
摘要支持向量机是二十世纪九十年代发展起来的统计学习理论的核心内容，而核函数是它的重要组成部分。
核函数将低维输入向量通过映射而工作在高维特征空间，从而有效的解决维数灾难及非线性问题，并且它携带了数据样本间的依存关系、先验知识等信息。
为更好的描述现实生活中存在的大量复杂非线性系统，人们提出了不同的非线性映射形式的模型。
本文主要讨论了支持向量机核函数的以下几方面内容：首先，通过参考文献了解核函数的基本理论和知识，熟悉核函数的功能和性质，以及组合核函数的构造原理。
其次，具体分析高斯核函数，讨论其可分性和局部性，接着分析sigmoid核函数的可分性和全局性。
对高斯核函数进行修正，提高泛化能力，根据修正后高斯核的局部性，选择全局核函数（sigmoid核函数）与修正高斯核组成组合核函数以提高分类器性能。
支持向量机PPT课件
给出。由 minw,b Φ(w,b;α) 得
ə Φ/ ə b=0 ⇒ ∑n i=1 αiyi=0 ə Φ/ ə w =0 ⇒ w=∑n i=1 αiyixi
.
16
于是得到对偶问题
这是一个二次规划 (QP) 问题
i的全局最大值总可以求得 W的计算
支持向量机
.
1
内容提要
§1 引言 §2 统计学习理论 §3 线性支持向量机 §4 非线性支持向量机 §5 支持向量回归 §6 支持向量聚类
.
2
§1 引言
一. SVM (Support Vector Machine)的历史
神经网络分类器，Bayes分类器等是基于大样本学习
的分类器。
Vapnik 等从1960年开始关于统计学习理论的研究。统 计学习理论是关于小样本的机器学习理论。
i ∊ {土1}
对于 (2-类) 分类, 建立一个函数:
f:Rn1 : 表示函数的参数
第1类
使得 f 能正确地分类未学习过的样本
.
第2类
6
二.期望风险与实验风险
期望风险最小化
Rf1 2yfxdP x,y
其中 x, y的联合概率 P(x, y) 是未知的
实验风险最小化
实验风险是由在训练集上测得的平均误差所确定的
.
40
软件
关于 SVM 的实现可以在下列网址找到 /software.html
SVMLight 是最早的 SVM 软件之一 SVM 的各种 Matlab toolbox 也是可利用的 LIBSVM 可以进行多类别分类 CSVM 用于SVM分类 rSVM 用于SVM回归 mySVM 用于SVM分类与回归 M-SVM 用于SVM多类别分类
支持向量机原理
第3章支持向量机基础By Dean支持向量机（SupportVectorMachies）是由Vapiiik等人于1995年提出来的。
之后随着统计理论的发展，支持向量机也逐渐受到了各领域研究者的关注，在很短的时间就得到很广泛的应用。
支持向量机是建立在统计学习理论的VC维理论和结构风险最小化原理基础上的，利用有限的样本所提供的信息对模型的复杂性和学习能力两者进行了寻求最佳的折衷，以获得绘好的泛化能力。
SVM的基本思想是把训练数据非线性的映射到一个更高维的特征空间（Hilbert空间）中，在这个高维的特征空间中寻找到一个超平而使得正例和反例两者间的隔离边缘被最大化。
SVM的出现有效的解决了传统的神经网络结果选择问题、局部极小值、过拟合等问题。
并且在小样本、非线性、数据高维等机器学习问题中表现出很多令人注目的性质，被广泛地应用在模式识别，数据挖掘等领域（张学工2000：崔伟东2001） o支持向量机可以用于分类和回归问题，本章着重介绍分类相关的知识。
3. 1 SVM的基本思想3.1.1最优分类面SVM是由线性可分情况的最优分类而发展而來的，用于两类问题的分类。
下而用一个二维两类问题來说明SVM基本思想（白鹏等，2008） o图3・1最优超平面示意图C1和C2代表两类数据样本，各样本在二维中显示如图3. 1,图中的直线PO,P1 就是分类函数。
如果一个线性函数就完全可以把两类所有样本分开，那么就称这些数据是线性可分的：否则称非线性可分。
假设两类线性可分的训练数据样本 {(巾力),(尢2』2)，…(祁珈)}，焉G R d (d代表样本人的长度)，刃6 {+1,-1}, i = 其线性判别函数的一般表达式是f(x) = w*x + b,该函数对应的分类而方程是：w * x + b = 0 (3-1)线性判别函数的值一般是连续的实数，而分类问题需要输出的是离散值。
例如利用数值-1表示类别C1,而用数值+1表示类别C2.所有的样本都只能用数值-1 和+1表示。
支持向量机中常用的核函数及选择技巧
支持向量机中常用的核函数及选择技巧支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种常用的机器学习算法，在许多领域中都有广泛的应用。
核函数是SVM中的一个重要概念，它能够将原始数据映射到高维空间中，从而使得数据在低维空间中线性不可分的问题变得线性可分。
本文将介绍SVM中常用的核函数及其选择技巧。
一、线性核函数线性核函数是SVM中最简单的核函数之一，它将数据映射到原始特征空间中，不进行任何映射。
当数据在原始特征空间中是线性可分的时候，线性核函数是一种很好的选择。
但是在实际应用中，线性可分的情况并不常见。
二、多项式核函数多项式核函数是一种常用的非线性核函数，它将数据映射到高维空间中，通过引入高次项来处理线性不可分的问题。
多项式核函数的形式为K(x, y) = (x·y + c)^d，其中d为多项式的次数，c为常数项。
选择合适的多项式次数和常数项是关键，过小的次数可能无法很好地拟合数据，而过大的次数则容易导致过拟合。
三、高斯核函数高斯核函数（也称为径向基函数核）是SVM中最常用的核函数之一，它能够将数据映射到无穷维的特征空间中。
高斯核函数的形式为K(x, y) = exp(-γ||x-y||^2)，其中γ为控制函数衰减速度的参数。
高斯核函数的优势在于它能够处理任意复杂的非线性问题，并且具有较好的鲁棒性。
选择合适的γ值是关键，过小的γ值可能导致欠拟合，而过大的γ值则容易导致过拟合。
四、sigmoid核函数sigmoid核函数是一种常用的非线性核函数，它将数据映射到无穷维的特征空间中。
sigmoid核函数的形式为K(x, y) = tanh(αx·y + c)，其中α和c为参数。
sigmoid核函数在某些情况下可以取得不错的效果，但是相对于高斯核函数来说，它的性能较差。
因此，在实际应用中，一般更倾向于使用高斯核函数。
在选择核函数时，需要根据具体的问题和数据集的特点来进行选择。
支持向量机名词解释
支持向量机名词解释支持向量机（SVM）是一种常见的监督学习算法，在机器学习中得到广泛应用。
它被广泛认为是一种高效、准确和可靠的模型，尤其在处理分类问题时效果显著。
本文将简单介绍SVM的一些基本概念和术语，以便理解该算法的工作原理和实现过程。
1. 支持向量支持向量是指对于已知分类的数据集，对超平面（将两类数据分开的区域）有贡献的最小数据集。
换句话说，支持向量是在SVM分类器中最重要的训练样本，它们确定了分类器的位置。
2. 超平面超平面是将不同类别的数据样本分开的一条直线、曲线或者更高维的平面，可以理解为是分类器的决策边界。
在二维空间中，超平面可以表示为一条直线，而在更高维空间中，超平面可以表示为多条直线。
3. 核函数核函数是用来将低维特征空间中的数据映射到高维特征空间的一种技术。
由于在低维空间中可能存在不可分数据样本，但在高维空间中，则可以更容易地进行分类。
SVM算法中常用的核函数有线性核函数、多项式核函数和径向基函数（RBF）核函数等。
4. 松弛变量在SVM分类器中，有一些数据点可能很难完美地分到某一类，因此引入了松弛变量，这允许一些样本被分错。
松弛变量可以限制分类器的严格性，使其更适合实际应用场景。
5. C参数C参数是SVM模型中的一个重要参数，控制了松弛变量的程度，即分类器允许多少样本分类错误。
C值越大，分类器越严格，而C值越小，则分类器允许更多的松弛变量，允许分类器在某些情况下接受错误分类。
总之，支持向量机是一种十分重要的学习算法，在机器学习任务中有着广泛的应用，本文对其进行了简要介绍。
了解这些基本概念和术语可以帮助我们理解和应用SVM算法，提高建模和预测的准确性，为未来的研究提供便利。
核函数的性质及其构造方法
Space ,R KHS) ,记作 H 。根据定义 , k 满足
k ( x , x′) =〈k ( x , ·) , k ( x′, ·〉
定义特征映射
Φ∶X →H ,Φ( x) = k ( x , ·) 则 k ( x , x′) =〈Φ( x) ,Φ( x′) 〉。证毕 。
2. 2 核函数的基本性质
tion invariant and co nvolution kernels. By t hem , a lot of impo rtant kernel f unctions are const ructed so me of which are
co mmonly employed in p ractice.
x ∈S and x′∈S ot herwise
是 X ×X 上的核函数 ,称为 k 的零置换 。
证明 : k ( x , x′) = k ( x , x′) IS ×S ( x , x′) = IS ( x) k ( x , x′) IS
( x′) ,由定理 2. 1. 3 (2) , k ( x , x′) 是核函数 。证毕 。
摘 要 支持向量机是一项机器学习技术 ,发展至今近 10 年了 ,已经成功地用于模式识别 、回归估计以及聚类等 ,并 由此衍生出了核方法 。支持向量机由核函数与训练集完全刻画 。进一步提高支持向量机性能的关键 ,是针对给定的 问题设计恰当的核函数 ,这就要求对核函数本身有深刻了解 。本文首先分析了核函数的一些重要性质 ,接着对 3 类核 函数 ,即平移不变核函数 、旋转不变核函数和卷积核 ,提出了简单实用的判别准则 。在此基础上 ,验证和构造了很多重 要核函数 。 关键词 支持向量机 ,核函数 ,机器学习 ,核方法
《数据科学与大数据技术》第5章 数据分析与计算
表5.1 客户贷款情况表
图5.5是利用上述历史数据训练出来的一个决策树。利用该决策树，金 融机构就可以根据新来客户的一些基本属性，决定是否批准其贷款申请。比 如某个新客户的年龄是中年，拥有房产，我们首先访问根节点Age，根据该 用户的年龄为中年，我们应该走中间那个分支，到达是否拥有房产的节点 “Own_House”，由于该客户拥有房产，所以我们走左边那个分支，到达叶 子节点，节点的标签是“Yes”，也就是应批准其贷款申请。
（3）应用阶段的主要任务是使用分类器，对新数据进行分类。
5.2.4 K最近邻（KNN）算法
KNN（K-Nearest Neighbors）算法是一种分类算法。它根据某个数据 点周围的最近K个邻居的类别标签情况，赋予这个数据点一个类别。具体的 过程如下，给定一个数据点，计算它与数据集中其他数据点的距离；找出距 离最近的K个数据点，作为该数据点的近邻数据点集合；根据这K个最近邻所 归属的类别，来确定当前数据点的类别。
当决策树出现过拟合现象时，可以通过剪枝减轻过拟合。剪枝分为预 先剪枝和后剪枝两种情况。
5.2.3 朴素贝叶斯方法
贝叶斯分类，是一类分类算法的总称。该类算法都以贝叶斯定理为基 础。
1．贝叶斯定理
P(B|A)表示在事件A已经发生的前提下，事件B发生的概率，称为事件 A发生情况下，事件B发生的“条件概率”。
图5.6 KNN算法实例
在KNN算法中，可用的距离包括欧式距离、夹角余弦等。一般对于文本 分类来说，用夹角余弦计算距离（相似度），比欧式距离更为合适。距离越 小（距离越近），表示两个数据点属于同一类别的可能性越大。
KNN分类算法的应用非常广泛，包括协同过滤推荐（Collaborative Filtering）、手写数字识别（Hand Written Digit Recognition）等领 域。
支持向量机中核函数选择的指南
支持向量机中核函数选择的指南支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习算法，广泛应用于分类和回归问题。
在SVM中，核函数的选择对于模型的性能和泛化能力起着至关重要的作用。
本文将为读者提供一些关于核函数选择的指南，帮助读者在实际应用中更好地使用支持向量机。
首先，了解核函数的作用是十分重要的。
核函数是SVM中的一个关键概念，它能够将低维特征空间中的数据映射到高维特征空间中，从而使得数据在高维空间中更容易被线性分类器分隔开。
核函数的选择决定了数据映射的方式，因此直接影响了模型的性能。
其次，根据数据的特点选择合适的核函数是至关重要的。
在实际应用中，数据的特征可能具有不同的性质，如线性可分、非线性可分、存在噪声等。
根据数据的特点选择合适的核函数可以更好地适应数据的分布，提高模型的性能。
对于线性可分的数据，可以选择线性核函数。
线性核函数将数据映射到高维空间后，使用线性分类器进行分类。
线性核函数的计算速度快，模型的复杂度低，适用于数据特征简单、线性可分的情况。
对于非线性可分的数据，可以选择非线性核函数。
常用的非线性核函数包括多项式核函数和高斯核函数。
多项式核函数将数据映射到高维空间后，通过多项式函数进行分类。
高斯核函数则使用高斯分布来描述数据在高维空间中的分布，通过高斯函数进行分类。
非线性核函数能够更好地适应数据的复杂分布，提高模型的分类性能。
此外，根据数据的噪声情况选择合适的核函数也是十分重要的。
如果数据存在噪声，可以选择鲁棒核函数。
鲁棒核函数能够有效地降低噪声的影响，提高模型的鲁棒性。
最后，通过交叉验证选择最优的核函数参数也是核函数选择的重要步骤。
在实际应用中，核函数通常具有一些参数，如多项式核函数的次数、高斯核函数的带宽等。
通过交叉验证，可以选择最优的核函数参数，提高模型的泛化能力。
综上所述，核函数的选择对于支持向量机的性能和泛化能力至关重要。
根据数据的特点选择合适的核函数，可以更好地适应数据的分布，提高模型的分类性能。
支持向量机的核函数选择技巧(五)
支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种非常重要的机器学习算法，它在分类和回归问题中都有着出色的表现。
SVM的核心思想是找到一个能够将不同类别的数据点分隔开的超平面，通过调整超平面的位置和方向，使得离超平面最近的数据点（支持向量）到超平面的距离最大化。
在SVM中，核函数的选择是非常关键的一步，不同的核函数会对分类器的性能产生显著影响。
在这篇文章中，我将介绍一些关于SVM核函数选择的技巧和方法。
一、线性核函数首先，我们来讨论一下最简单的线性核函数。
线性核函数形式简单，计算速度快，适用于特征空间维度较高的情况。
但是在实际应用中，很多数据集是线性不可分的，这时候就需要选择非线性核函数来提高分类器的性能。
二、多项式核函数多项式核函数是SVM中常用的一种非线性核函数。
它的形式为K(x, y) = (x·y + c)^d，其中d为多项式的次数，c为常数项。
多项式核函数的优点是能够在一定程度上拟合非线性关系的数据，但是需要调节的参数较多，选择合适的多项式次数和常数项是一个比较困难的问题。
三、高斯核函数高斯核函数（也称为径向基函数核）是SVM中应用最为广泛的一种非线性核函数。
它的形式为K(x, y) = exp(-||x - y||^2 / (2σ^2))，其中σ为高斯核函数的宽度参数。
高斯核函数的优点在于能够适应各种数据分布，不需要过多的参数调节，对于大多数数据集都有着不错的表现。
在实际应用中，高斯核函数是SVM的首选核函数之一。
四、选择核函数的技巧和方法在实际应用中，选择合适的核函数是非常重要的。
以下是一些选择核函数的技巧和方法：1. 数据分布分析在选择核函数之前，需要对数据集的分布进行分析。
如果数据集是线性可分的，可以选择线性核函数；如果数据集是非线性可分的，可以考虑使用多项式核函数或高斯核函数。
2. 交叉验证交叉验证是一种常用的选择核函数的方法。
通过将数据集分为训练集和测试集，利用交叉验证的方式评估不同核函数的性能，选择表现最好的核函数。
第5章 支持向量机和核函数
由于SVM在解决小样本，非线性及高维模式识 别问题中表现出许多特有的优势，因此受到广泛 的关注。
最优分类面：
1）线性可分情况： 对于线性可分问题，是在经验风险为零时， 最小化置信范围。
使两类无错误的分开，且使两类的分类空隙最大，前 者是保证经验风险尽可能小, 后者是使真实风险最小。
SVM问题的数学表示（线性可分情况）
能被函数集打散，则函数集的VC维就是h。
若对于任意的样本数，总能找到一个样本集能够被这 个函数集打散，则函数集的VC维就是无穷大。
例如：3个样本被线性分类器打散的情况
有2h ＝23＝8种分类形式
能打散 VC维为3
不能打散
VC维是目前为止对函数集学习性能的最好描 述指标。但遗憾的是目前尚没有通用的关于如何 计算任意函数集的VC维的理论。
在这一理论基础上，发展了一种新的通用 模式识别方法——支持向量机（SVM） 发展迅速，已经在许多领域都取得了成功 的应用。 • VC维的概念： （VC是取Vapnik和Chervonenkis名字的首字而成） 描述函数集或学习机器的复杂性的指标，即描述 机器学习能力的重要指标
• 样本数量，给定的样本数量越大，学习结果越有 可能正确，此时置信风险越小； 分类函数的VC维，VC维越大，推广能力越差， 置信风险会变大。 提高样本数量，降低VC维，降低置信风险。 • 以前机器学习的目标是降低经验风险，要降低经 验风险，就要提高分类函数的复杂度，导致VC维 很高，VC维高，置信风险就高，所以，结构风险 也高。---- 这是SVM比其他机器学习具有优势的 地方
机器学习本质上就是一种对问题真实模型的逼近，但真实 模型一定是不知道的。那么我们选择的假设与问题真实解之 间究竟有多大差距，我们就没法得知。这个与问题真实解之 间的误差，就叫做风险。我们选择了一个假设后，真实误差 无从得知， 但我们可以用某些可以掌握的量来逼近它。最直 观的想法就是使用分类器在样本数据上的分类的结果与真实 结果（因为样本是已经标注过的数据，是准确的数据）之间 的差值来表示。这个差值叫做经验风险Remp(w)。以前的机 器学习方法都把经验风险最小化作为努力的目标，但后来发 现很多分类函数能够在样本集上轻易达到100%的正确率，在 真实分类时却一塌糊涂（即所谓的推广能力差，或泛化能力 差）。
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（2）式是一个二次优化问题，存在唯一最优解。把 该式分别对w、b求偏导，并使其等于零，即：
L w, b, 0 w L w, b, 0 b
N
w i yi xi
i 1
N
y
i 1 i
N
i
0
将上面两式带入（2），可得到下式：
1 N N Q J (w, b, ) i i j yi y j xi , x j 2 i 1 j 1 i 1
VC维是目前为止对函数集学习性能的最好描 述指标。但遗憾的是目前尚没有通用的关于如何 计算任意函数集的VC维的理论。
•结构风险最小化的思想 Vapnik证明，期望风险与经验风险之间的关系满 足如下公式：
R(w) Remp (w) (n / h)
(n / h) 其中n表示样本数，h为学习机器的VC维， (n / h)是随n/h增大而减小的函数。 称为置信区间。
如何寻找w及b
分类平面应使两类之间的间隔最大。归一化后分类 面方程 g x w x b 应满足：
T
对于任意样本x有：
if if
yi 1 g ( xi ) w xi＋b 1
T
yi 1 g ( xi ) w xi＋b 1
T
即： yi ( wxi＋b) 1
设两类线性可分训练样本集为 ， y1, x1 ,, yN , xN
x R ,
d
其中y +1,-1 是类别标识。
d维空间，线性判别函数的一般形式为：
g( x) w,x b＝w x＋b,
T
w R
d
,b R
存在超平面为 ：
w x b 0
T
决策面方程
机器学习本质上就是一种对问题真实模型的逼近，但真实 模型一定是不知道的。那么我们选择的假设与问题真实解之 间究竟有多大差距，我们就没法得知。这个与问题真实解之 间的误差，就叫做风险。我们选择了一个假设后，真实误差 无从得知， 但我们可以用某些可以掌握的量来逼近它。最直 观的想法就是使用分类器在样本数据上的分类的结果与真实 结果（因为样本是已经标注过的数据，是准确的数据）之间 的差值来表示。这个差值叫做经验风险Remp(w)。以前的机 器学习方法都把经验风险最小化作为努力的目标，但后来发 现很多分类函数能够在样本集上轻易达到100%的正确率，在 真实分类时却一塌糊涂（即所谓的推广能力差，或泛化能力 差）。
VC维的引入
打散:若存在一个有h个样本的样本集，被一函数集里
的某个函数按照所有可能的2h种形式分为两类，则称
函数集能够把样本数为h的样本集打散(shattering)。
函数集的vc维： 用这个函数集中的函数所能够打散的最大样本集 的样本数目。也就是说，如果存在h个样本的样本集 能够被函数集打散，而不存在有h＋1个样本的样本集
H3可表示为 ： 两边同除以k，令
T
w'T x b' k
w w， k
T '
b' b k
则H为：
H2为： H3为：
w xb 0
T
w x b 1
T
w x b 1
T
该过程称为分类直线的规范化过程（即判别函数归 一化）。
2 此时两条直线H2和H3之间的间隔为： w
如前所述，对于适当的法向量，会有两条极端的 直线，这两条直线之间有间隔。最优分类直线就应该 是两直线间隔最大的那个法向量所表示的直线。
在这一理论基础上，发展了一种新的通用 模式识别方法——支持向量机（SVM） 发展迅速，已经在许多领域都取得了成功 的应用。 • VC维的概念： （VC是取Vapnik和Chervonenkis名字的首字而成） 描述函数集或学习机器的复杂性的指标，即描述 机器学习能力的重要指标
• 样本数量，给定的样本数量越大，学习结果越有 可能正确，此时置信风险越小； 分类函数的VC维，VC维越大，推广能力越差， 置信风险会变大。 提高样本数量，降低VC维，降低置信风险。 • 以前机器学习的目标是降低经验风险，要降低经 验风险，就要提高分类函数的复杂度，导致VC维 很高，VC维高，置信风险就高，所以，结构风险 也高。---- 这是SVM比其他机器学习具有优势的 地方
Class 2
Class 1
m
2 图中分类间隔为 m w
g ( x) （利用式r ） || w ||
SVM基本思想：就是最大化分类间隔 2 w ，因此 等价于 w 2 最小化 。
2 1 即 max min || w ||2 || w || 2
因此，求取最优平面问题就转化为优化问题。 因对于所有样本
约束是什么？
yi w, xi b 1
在条件式（1）下，求函数
1 1 2 w w w, w 2 2
的最小值。
使式(1)等号成立的样本（即H2 和H3 上
的样本）就叫支持向量。
求极值：可用拉格朗日乘子法求解 引入拉格朗日乘子i0，设Lagrange函数为：
N （2） 1 T T L( w, b, ) w w i [ yi ( w xi b) 1] 2 i 1
由于SVM在解决小样本，非线性及高维模式识 别问题中表现出许多特有的优势，因此受到广泛 的关注。
最优分类面：
1）线性可分情况： 对于线性可分问题，是在经验风险为零时， 最小化置信范围。
使两类无错误的分开，且使两类的分类空隙最大，前 者是保证经验风险尽可能小, 后者是使真实风险最小。
SVM问题的数学表示（线性可分情况）
结构风险最小化（SRM）
结构风险最小就是根据函数集的性质将它划 分成一系列嵌套的子集，学习问题就是选择最好 的子集(根据推广能力)和在子集中选择最好的函 数（根据经验风险）
SVM是一种比较好地实现了结构风险最小化思想 的方法
•分类超平面的一些基本概念
g ( x) w x b 0
T
W是超平面H的法向量,决定超平面的方向；
2）经验非线性方法
如人工神经网络（ANN）
利用已知样本建立非线性模型。
缺点：缺乏一种统一的数学理论
统计学习理论
—针对小样本统计估计和预测的最佳理论
1.统计学习理论基本思想
由贝尔实验室Vapnik于1992年首次提出
•研究小样本下机器学习规律的理论。针对小样本 统计问题，建立了一套新的理论体系 基本思想：折衷考虑经验风险和推广的置信界限， 取得实际期望风险的最小化。即根据有 限样本信息在模型复杂性和学习能力之 间寻求最佳折中 两大核心概念： VC维和结构风险最小化。
b 决定超平面的位置。
两类问题：g(x)表示分类面
w g ( x) w ( x p r )b || w ||
T T w w T w xp b r r || w || || w ||
g ( x) r || w ||
2.支持向量机算法
目标： 找到一个超平面，使得它能够尽可能多的将两 类数据点正确的分开，同时使分开的两类数据点距 离分类面最远。 解决方法： 构造一个在约束条件下的优化问题。 SVM是利用核函数将输入向量映射到一个高维 特征空间,并在该空间内构造一个最优超平面来逼 近分类函数。最优分类超平面的构造最终可以归结 为二次寻优问题。
能被函数集打散，则函数集的VC维就是h。
若对于任意的样本数，总能找到一个样本集能够被这 个函数集打散，则函数集的VC维就是无穷大。
例如：3个样本被线性分类器打散的情况
有2h ＝23＝8种分类形式
能打散 VC维为3
不能打散
VC维是目前为止对函数集学习性能的最好描 述指标。但遗憾的是目前尚没有通用的关于如何 计算任意函数集的VC维的理论。
H1
H2
Class 2
H3
H W’
如何寻找最优面？
Cl已给定。直线H1 是一条以w’为法向量且能正确划分两类样本的直线。
这样的直线并不唯一。如果平行推移直线H1 ，
直到碰到某类训练点，就可得到两条极端直线H2和
H3 ，在直线H2和H3之间的平行直线都能正确分类。
使得训练样本中的正类输入和负类输入分别位 于该超平面两侧。 存在参数（w，b），使得：
yi sgn wT x b , i 1,..., N
许多决策平面都可以将两类样本分开，应选择 哪一个呢？
Class 2
Class 1
目标：最优分类面
满足条件： 经验风险最小（错分最少） 推广能力最大（空白最大）
第 5章
支持向量机和核函数
• “支持向量机方法是建立在统计学习理论的 VC 维理论和结构化风险最小原理基础上” • 结构化风险 • 结构化风险 = 经验风险 + 置信风险 • 经验风险 = 分类器在给定样本上的误差 • 置信风险 = 分类器在未知样本上分类的结 果的误差
一般模式识别方法的问题 1）传统统计方法 •基于经验风险最小化，经验风险最小不等于期望 风险最小，不能保证分类器的推广（泛化）能力。 •经验风险只有在样本数无穷大趋近于期望风险， 即在有限样本情况下，经验风险最小并不意味着 期望风险最小。 •需要已知样本的分布形式
于是，对w和b求拉个朗日函数的极小值来求解最优分
类面问题，可转化为在如下约束条件下
y
i 1 i
• 推广能力是指: 将学习机器(即预测函数, 或称学习函数、学习模型)对未来输出进行 正确预测的能力。 • “过学习问题”：某些情况下，当训练误 差过小反而会导致推广能力的下降。 例如：对一组训练样本(x,y),x分布在 实数范围内，y取值在[0，1]之间。无论这 些样本是由什么模型产生的，我们总可以 用y=sin(w*x)去拟合，使得训练误差为0.
显然在H2和H3中间的那条直线H为最好。