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八年级下册数学 第十九章 一次函数 知识点总结

一、基本概念：

1. 变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。

常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。

2.函数定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。如果当x=a 时y=b ，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值。

3、定义域：一般的，一个函数的自变量x 允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：（即:自变量取值范围）

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

（或：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间关系的式子叫做函数的解析式。） 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

6、函数图像的性质：

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。

7、函数的三种表示法及其优缺点

（1）解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法：把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

8、由函数解析式画其图像的一般步骤：

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

9、正比例函数和一次函数：所有一次函数或者正比例函数的图像都是一条直线。

（1）正比例函数定义：

一般地，形如 y=kx （k 为常数，k ≠0）y 叫x 的正比例函数）。k 叫做比例系数。

（2）一次函数定义：

如果 y=kx+b （k ，b 是常数，k ≠0 ），那么y 叫x 的一次函数。k 叫比例系数。

当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx 。正比例函数是一种特殊的一次函数。

(3)正比例函数的图像：y=kx （k ≠0）是经过点（0，0）和（1，k ）的一条直线。

一次函数的图象：y=kx+b （k ≠0）是经过点（0，b ）和)0,(k

b

的一条直线。

（4）一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ），)0,(k

b .即横坐标或纵坐标为0的点。 （5）性质：（1）在一次函数上的任意一点P （x ，y ），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y 轴交点的坐标总是（0，b)，与x 轴总是交于（-b/k ，0） ----------------正比例函数的图像都是过原点。

（3）函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

10、直线y=kx ＋b 和直线y=kx 的图象和性质与k 、b 的关系如下表所示：

总结如下：

k>0时，y 随x 增大而增大，必过一、三象限。

k>0，b>0时, 函数的图象经过一、二、三象限；（一次函数）

k>0，b<0时, 函数的图象经过一、三、四象限；（一次函数）

k>0，b=0时, 函数的图象经过一、三象限。 （正比例函数）

k<0时, y 随x 增大而减小，必过二、四象限。

k<0，b>0时，函数的图象经过一、二、四象限；（一次函数）

k<0，b<0时，函数的图象经过二、三、四象限；（一次函数）

k<0，b=0时，函数的图象经过二、四象限。 （正比例函数）

11、直线y 1=kx ＋b 与y 2=kx 图象的位置关系：

(1)当b>0时，将y 2=kx 图象向x 轴上方平移b 个单位，就得到y 1=kx ＋b 的图象．

(2)当b<0时，将y 2=kx 图象向x 轴下方平移－b 个单位，就得到了y 1=kx ＋b 的图象．

11.在两个一次函数表达式中： 直线l 1：y 1=k 1x ＋b 1与l 2：y 2=k 2x ＋b 2

k 相同， b 也相同时，两一次函数图像重合；

k 相同， b 不相同时，两一次函数图像平行；

k 不相同，b 不相同时，两一次函数图像相交；

k 不相同，b 相同时， 两一次函数图像交于y 轴上的同一点（0，b ）。

12、特殊位置关系：直线l 1：y 1=k 1x ＋b 1与l 2：y 2=k 2x ＋b 2

两直线平行，其函数解析式中K 值（即一次项系数）相等 。即：b k k 2121b ≠=且 两直线垂直，其函数解析式中K 值互为负倒数（即两个K 值的乘积为-1）。即:121-=•k k

13、直线平移规律：上加下减（y ），左加右减（x ）

向右平移n 个单位 y=k （x-n ）+b

向左平移n 个单位 y=k （x+n ）+b

向上平移n 个单位 y =kx+b+n

向下平移n 个单位 y =kx+b-n

14、待定系数法：先设待求函数的关系式（其中含未知系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法。

待定系数法求函数解析式步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的解析式y=kx 或者y=kx+b ；

（2）将x 、y 的几对值或图象上几个点的坐标代入上述解析式，

得到待定系数为未知数的方程或方程组。

（3）解方程（组）得到待定系数的值。

（4）将求出的待定系数代回所求的函数解析式，得到所求函数的解析式。

如何设一次函数解析式：

点斜式 y-y 1=k(x-x 1)（k 为直线斜率,(x 1,y 1)为该直线所过的一个点）

两点式 (y-y 1) / (y 2-y 1)=(x-x 1)/(x 2-x 1)（已知直线上（x 1,y 1）与（x 2,y 2）两点）

截距式 （y=-b/ax+b a 、b 分别为直线在x 、y 轴上的截距 ,已知（0，b ）,(a ，0) ） 扩展：1.求函数图像的k 值：x x y

y 2

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