2.2.2对数函数及其性质(第二课时——反函数)
湖南省衡阳市高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(2)教案新人教A版必修1
湖南省衡阳市高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2对数函数及其性质（2）教案新人教A版必修1一. 教学目标：l.知识与技能(1)进一步掌握对数函数的图象和性质；(2)会利用对数函数的图象和性质解决有关问题；(3)了解底数相同的指数函数和对数函数互为反函数。
2. 过程与方法(1) 理解对数函数的图象和性质；(2) 能够利用对数函数的图象与性质解决问题；(3) 培养学生数学应用意识．3. 情感.态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；(2)用联系的观点看问题；(3)了解对数在生产、生活实际中的应用．二. 教学重难点1、教学重点：对数函数的图象性质的理解.2、教学难点：对数函数的图象与性质的应用.三.教学准备1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.四. 教学过程【引入课题】20世纪80年代末，教会用高科技手段澄清了一个历史大悬案，这就是关于耶稣裹尸布真伪的鉴定，鉴定证明了那块使人崇敬了多年的裹尸布是假的，它的原料纤维是十三世纪才种出来的，而此时耶稣已被钉在十字架上1200多年了。
这个轰动世界的年代鉴定是由研究碳14含量做出的。
【课堂探究】（2）对数函数的图象和性质二、图象和性质的应用1、对数函数的图象2、利用对数函数的单调性比较大小点评：两个对数比较大小1.同底数比较大小时(1)当底数确定时，则可由函数的单调性直接进行判断;(2)当底数不确定时，应对底数进行分类讨论;2.同真数的比较大小,常借助函数图象或对数的运算性质变形后进行比较；3.若底数、真数都不相同, 则常借助1、0等中间量进行比较。
3.探究：对数函数与指数函数之间的关系4、对数函数在生活中的应用例3.溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.【课时小结】1.掌握利用对数函数的性质比较数的大小的方法；2.对数函数单调性的灵活应用；3.对数函数与指数函数互为反函数．【课后作业】P74 习题2.2 A组第9题P75 习题2.2 B组第1题五、板书设计六、课后反思。
对数函数及其性质
2.2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数 y＝ logax(a＞ 0，且 a≠ 1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0 ，＋∞ )．(2)对数函数的特征：log ax的系数： 1特征 log ax的底数：常数，且是不等于 1的正实数log ax的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数 y＝ log7x 是对数函数，而函数y＝－ 3log 4x 和 y＝ logx2 均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例 1－ 1】函数 f(x)＝ (a2－ a＋ 1)log (a＋1)x 是对数函数，则实数a＝ __________ ．解析：由 a2－ a＋ 1＝ 1，解得 a＝ 0,1 ．又 a＋ 1＞ 0，且 a＋ 1≠ 1，∴ a＝ 1．答案： 1【例 1－ 2】下列函数中是对数函数的为__________ ．(1)y＝ log a x (a＞ 0，且 a≠ 1) ； (2)y＝ log2x＋2；(3)y＝ 8log 2 (x＋ 1) ； (4)y＝ log x6(x＞ 0，且 x≠ 1) ；(5)y＝ log 6x．解析：序号是否理由(1)×真数是x ，不是自变量x(2)×对数式后加 2(3)×真数为 x＋1，不是 x，且系数为 8，不是 1(4)×底数是自变量 x，不是常数(5) √底数是 6，真数是 x答案： (5)2．对数函数y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1)的图象与性质(1)图象与性质a＞ 1 0＜ a＜ 1图象(1)定义域 { x|x＞0}(2)值域 { y|y R }性(3)当 x＝1 时， y＝0，即过定点 (1,0)质(4)当 x＞1时， y＞ 0；当 0＜ x＜ 1(4) 当 x＞1 时， y＜0；当 0时， y＜0 ＜x＜1 时， y＞0(5) 在 (0，＋∞ )上是增函数(5) 在 (0，＋∞ ) 上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数． a＞ 1 时，函数单调递增；0＜ a＜ 1 时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较第 1 页共 10 页解析式y＝ a x(a＞0，且 a≠ 1) y＝ logax (a＞ 0，且a≠ 1)定义域R (0，＋∞ )值域(0，＋∞ ) R 性(0,1) (1,0) 过定点质单调性一致，同为增函数或减函数单调性奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数 a 对对数函数的图象的影响①底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当 a＞ 1 时，对数函数的图象“上升”；当 0＜ a＜ 1 时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞ 1 还是 0＜ a＜ 1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0) 点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线 y＝ 1 来切，自左到右 a 变大．【例 2】如图所示的曲线是对数函数y＝ log ax 的图象．已知a 从3 ，4 ， 3 ， 1 中取值，则相应曲线C1， C2， C3， C4的 a 值依次为 ()3 5 10A．3， 4 ，3 ， 13 5 10B． 3 ， 4 ， 1 ， 33 10 5C．4 ， 3 ，3 ， 13 5 10D．4 ， 3 ， 1 ， 33 10 5解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜ C3的底数＜ C2的底数＜ C1的底数．故相应于曲线C1， C2， C3， C4的底数依次是3 ，4，3，1．答案： A3 5 10点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在 x 轴下方“底大图左”； (2)方法y＝二：作直线1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数 y＝ a x (a＞ 0，且 a≠ 1) 与对数函数y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1) 互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝ x 对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：第 2 页共 10 页①由 y＝ f(x)解出 x，即用y 表示出x；②把 x 替换为 y， y 替换为 x；③根据 y＝ f(x)的值域，写出其反函数的定义域．【例 3－ 1】若函数y＝ f(x)是函数 y＝ a x(a＞ 0，且 a≠ 1)的反函数，且 f(2)＝ 1，则 f(x)＝ ( )1A． log 2x B ．2xC． log 1 x D．2x－ 22解析：因为函数 y＝a x(a＞ 0，且 a≠ 1)的反函数是f(x)＝ loga x，又f(2)＝ 1，即 log a2＝ 1，所以 a＝ 2．故 f(x)＝ log 2x．答案： A【例 3－ 2】函数 f(x)＝ 3x(0＜ x≤ 2)的反函数的定义域为 ( )A． (0 ，＋∞ ) B ． (1 ,9]C． (0,1) D ． [9，＋∞ )解析：∵ 0＜ x≤ 2，∴ 1＜ 3x≤9，即函数 f(x)的值域为(1,9] ．故函数 f(x)的反函数的定义域为(1,9] ．答案： B【例 3－ 3】若函数 y＝ f(x)的反函数图象过点(1,5) ，则函数 y＝ f(x)的图象必过点 () A． (5,1) B． (1,5) C． (1,1) D ． (5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝ x 对称，而点 (1,5) 关于直线 y＝ x 的对称点为(5,1)，所以函数 y＝ f(x)的图象必经过点(5,1)．答案： A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1) 中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝ n 或图象过点 (m， n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝ logax(a＞ 0，且 a≠ 1)，利用已知条件列方程求出常数a的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如loga m＝ n，这时先把对数式 logam＝ n 化为指数式的形式a n＝ m，把 m 化为以 n 为指数的指数幂形式m＝ k n(k＞ 0，且k≠1) ，1 1则解得 a＝ k＞ 0．还可以直接写出a m n，再利用指数幂的运算性质化简m n．例如：解方程－2 1loga 4＝－ 2，则 a＝ 4，由于4221 ．又 a＞ 0，所以 a1，所以a．当2 21 1 11然，也可以直接写出a 4 2，再利用指数幂的运算性质，得a 4 2(22) 22 1．【例 4－ 1】已知 f(e x) ＝x，则f(5)＝ ( )2A ． e 5B ． 5eC ． ln 5D ． log 5 e解析： (方法一 )令 t ＝ e x，则 x ＝ ln t ，所以 f(t)＝ lnt ，即 f(x)＝ ln x ．所以 f(5) ＝ ln5 ．(方法二 )令 e x＝ 5，则 x ＝ ln 5 ，所以 f(5) ＝ ln5 ．答案： C【例 4－ 2】已知对数函数 f(x)的图象经过点1,2 ，试求 f(3)的值．9分析： 设出函数 f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出． 解： 设 f(x)＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，∵ 对数函数 f(x)的图象经过点 1 , 2 ， ∴f 1 log a 1 2． ∴ a 2＝ 1．99 9 9第 3 页 共 10 页1 2 1 21 21 1x ． ∴ a ＝3．∴ f(x)＝ log 19 3 31 1 ∴ f(3)＝log 1 3 log 1＝－ 1．33 3【例 4－ 3】已知对数函数 f(x)的反函数的图象过点 (2,9) ，且 f(b)＝ 1，试求 b的值．2解： 设 f(x)＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，则它的反函数为y ＝ a x (a ＞ 0，且 a ≠ 1)，由条件知 a 2＝ 9 1 1＝ 32，从而 a ＝ 3．于是 f(x)＝ log 3 3 ，解得 b＝ 3 2 3 ． x ，则 f(b)＝ log b ＝25．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为 (0 ，＋∞ )．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于 0，底数大于 0，且不等于 1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等， 在解答问题时需要保证各个方面都有意义． 一般地，判断类似于 y ＝ loga f(x)的定义域时，应首先保证 f(x)＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于 1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 【例 5】求下列函数的定义域．(1)y ＝ log 5(1－ x)； (2) y ＝ log(2x － 1)(5x － 4)；(3) y log 0.5 (4 x 3) ．分析： 利用对数函数 y ＝ log ax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)的定义求解． 解： (1)要使函数有意义，则 1－ x ＞ 0，解得 x ＜ 1， 所以函数 y ＝ log5(1 － x)的定义域是 { x|x ＜ 1} ．5x 4>0,(2)要使函数有意义，则2x 1>0, 解得 x ＞ 4且 x ≠1，2x 1 1, 5所以函数 y ＝ log(2x － 1)(5x －4) 的定义域是4 ,1 (1，＋∞ )． 54x 3 0, 解得 3＜ x ≤ 1，(3)要使函数有意义，则log 0.5 (4x 3) 0, 4所以函数ylog 0.5 (4x 3)x 3的定义域是<x 1 ．46．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y＝ loga f(x)(a＞ 0，且 a≠1) 的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成 y＝ logau， u＝ f(x)这两个函数；②求 f(x)的定义域；③求 u 的取值范围；④利用 y＝ logau 的单调性求解．(3)对于函数 y＝ f(log ax)(a＞ 0，且 a≠ 1) ，可利用换元法，设loga x＝ t，则函数 f(t)(t R )的值域就是函数 f(log ax)(a＞ 0，且 a≠1) 的值域．注意： (1) 若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母 )，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．第 4 页共 10 页(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例 6－ 1】求下列函数的值域：(1)y ＝ log 2(x 2＋ 4) ； (2) y ＝ log 1 (3＋2x － x 2) ．2解： (1) ∵ x 2＋ 4≥ 4， ∴ log 2(x 2＋ 4)≥ log 24＝2．∴ 函数 y ＝ log 2(x 2＋ 4)的值域为 [2 ，＋ ∞ )．(2)设 u ＝ 3＋ 2x－ x2，则 u ＝－ (x － 1)2 ＋ 4≤4． ∵ u ＞0， ∴ 0＜ u ≤ 4． 又 y ＝ log 1 u 在 (0，＋∞ )上为减函数，∴ log 1 u ≥－2．2 2∴函数 y ＝ log 1 (3＋2x － x 2) 的值域为 [－ 2，＋∞ )．2 ，求 y ＝ [f(x)] 2 ＋f(x 2)的最大值及相应的【例 6－ 2】已知 f(x)＝ 2＋ log 3x ， x [1,3] x 的值．分析： 先确定 y ＝ [f (x)] 2 ＋ f(x 2)的定义域，然后转化成关于 log3 x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解： ∵ f(x)＝ 2＋ log 3 x ， x[1,3] ，∴ y ＝ [f(x)] 2 ＋ f(x 2)＝ (log 3x)2＋ 6log 3 x ＋ 6 且定义域为 [1,3] ．令 t ＝ log 3x(x [1,3]) ．∵ t ＝ log3 x 在区间 [1,3] 上是增函数， ∴ 0≤t ≤ 1．从而要求 y ＝ [f(x)] 2＋ f(x 2)在区间 [1,3] 上的最大值，只需求 y ＝ t 2＋ 6t ＋ 6 在区间 [0,1]上的最大值即可． ∵ y ＝ t 2＋ 6t ＋ 6 在 [－ 3，＋ ∞ )上是增函数，∴ 当 t ＝ 1，即 x ＝ 3 时， y max ＝ 1＋ 6＋ 6＝ 13．综上可知，当 x ＝ 3 时， y ＝ [ f(x)] 2＋ f(x 2)的最大值为 13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)过定点 (1,0) ，即对任意的 a ＞ 0，且 a ≠ 1 都有 loga1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数 y ＝ b ＋ kloga f(x)(k ，b 均为常数，且 k ≠ 0)，令f(x)＝ 1，解方程得 x ＝ m ，则该函数恒过定点 (m ， b)．方程 f (x) ＝0 的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题向左 (b>0)或向右 (b<0)①函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)――------- -- -------→ 函数 y ＝ log a(x ＋ b)(a ＞ 0，且 a ≠ 1)平移 |b|个单位长度 向上(b>0)或向下 (b<0)②函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)――------- -- ------→函数 y ＝ loga x ＋b(a ＞0，且 a ≠ 1)平移|b|个单位长度③函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1) 当 x>0时，两函数图象相同函数 y ＝ loga |x|(a ＞ 0，且 a ≠ 1) ―------ -- --- -- ---―→当x<0时，将 x>0时的图象关于 y 轴对称④函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)―― 保留 x 轴上方的图象--- → 函数 y ＝ |logax|(a ＞ 0，---------- -- ------------- --x 轴的对称变换---------- 同时将 x 轴下方的图象作关于且 a ≠ 1)【例 7－ 1】若函数 y ＝ log a(x ＋ b)＋ c(a ＞ 0，且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 (3,2) ，则实数 b ，c的值分别为 __________ ．解析： ∵ 函数的图象恒过定点 (3,2) ，∴ 将 (3,2)代入 y ＝ loga (x ＋ b)＋ c(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，得 2＝ loga(3＋ b)＋ c ． 又 ∵ 当 a ＞ 0，且 a ≠ 1 时，log a 1＝ 0 恒成立，∴ c ＝ 2． ∴ loga (3＋ b)＝ 0．∴ b ＝－ 2．答案： － 2,2【例 7－ 2】作出函数 y ＝ |log 2(x ＋ 1)|＋2 的图象．解： (第一步 )作函数 y ＝ log 2x 的图象，如图 ① ；(第二步 )将函数 y ＝ log2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度， 得函数 y ＝ log 2(x ＋ 1)的图象，如图 ② ；(第三步 )将函数 y ＝ log2(x ＋ 1)在 x 轴下方的图象作关于 x 轴的对称变换， 得函数 y ＝ |log2 (x ＋1)|的图象，如图 ③ ；(第四步 )将函数 y ＝ |log2 (x ＋ 1)|的图象， 沿 y 轴方向向上平移 2 个单位长度， 便得到所求函数第 5 页 共 10 页的图象，如图④ ．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数 (是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与 1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量 0,1 进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“ 1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于 1 进行分类讨论．【例 8－ 1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log 31.9 ， log3 2；(2)log 23， log0.3 2； (3)logaπ， loga3.141 ．分析： (1) 构造函数 y＝ log 3x，利用其单调性比较；(2) 分别比较与的大小； (3) 分类讨论底数的取值范围．解： (1)因为函数 y＝ log 3x 在 (0 ，＋∞ )上是增函数，所以 f(1.9)＜ f (2)．所以 log31.9 ＜ log32．(2)因为 log 23＞ log21＝ 0， log0.32＜ log0.31＝ 0，所以 log23＞ log 0.32．(3)当 a＞ 1 时，函数 y＝ loga x 在定义域上是增函数，则有 logaπ＞ log a3.141 ；当 0＜ a＜ 1 时，函数 y＝ log a x 在定义域上是减函数，则有 log aπ＜ log a3.141 ．综上所得，当 a＞ 1 时， log aπ＞ loga3.141 ；当 0＜ a＜ 1 时， log aπ＜ log a3.141 ．【例 8－ 2】若 a2＞ b＞ a＞ 1，试比较 log aa， logb b， logb a， log a b 的大小．b a分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵ b＞a＞ 1，∴ 0＜a＜ 1．b∴log a a＜ 0， loga b＞ log aa＝ 1， logb1＜ logb a＜ log bb，即 0＜ logba＜ 1．b第 6 页共 10 页由于 1＜ b＜ b ， ∴ 0＜ log b b＜ 1．由 log b a－ logb b＝ log b a 2， a a ab 2 ＞ b ＞ 1， ∴ a 2∵a ＞ 1．b ∴ log b a 2log b b ＞ 0，即 log b a ＞ a b ∴ logab ＞ logb a ＞log bb ＞ log a a a b．． 9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当 a ＞ 0，且 a ≠ 1时，有① logaf (x)＝ loga g(x) f(x)＝g(x)(f(x) ＞0， g(x)＞0) ；②当 a ＞ 1 时， logaf(x)＞loga g(x) f(x)＞ g( x)(f(x)＞ 0， g(x)＞ 0)；③当 0＜ a ＜ 1 时， log af(x)＞ log ag(x) f(x)＜ g(x)(f(x)＞0， g(x)＞ 0) ．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如 loga f(x)＞ log ag(x)的不等式， 借助函数 y ＝ log ax 的单调性求解， 如果 a 的取值不确定，需分 a ＞ 1 与 0＜ a ＜ 1 两种情况讨论．②形如 loga f(x)＞ b 的不等式，应将 b 化为以 a 为对数的对数式的形式，再借助函数 y ＝ logax的单调性求解．③形如 loga b g(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用f(x)＞log 对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如 f(log ax)＞ 0 的不等式，可用换元法 (令 t ＝ log ax)，先解 f( t)＞ 0，得到 t 的取值范围．然后再解 x 的范围．【例 9－ 1】解下列不等式： (1) log1xlog 1 (4 x) ；77(2)log x(2x ＋ 1)＞ logx (3－ x)．x>0,解： (1)由已知，得4 x>0, 解得 0＜ x ＜ 2． x<4x,所以原不等式的解集是 { x|0＜ x ＜ 2} ． (2)当 x ＞ 1 时，有当 0＜ x ＜ 1 时，有2x 1>3 x,2x 1>0, 解得 1＜ x ＜3； 3 x>0,2x 1<3x,2x 1>0, 解得 0＜ x ＜ 2．3 x>0, 3所以原不等式的解集是2 或．x 0<x<31<x<3【例 9－ 2】若log a 23 2＜ 1，求 a 的取值范围．2 22＜ 1，即 loga 1 2解：∵log a＜ 1，∴ － 1＜log a log alog aa ．3 3 a 3(1)∵当 a ＞ 1 时， y＝ log ax 为增函数，∴ 1 2 a ．∴ a＞3，结合 a＞ 1，可知 a＞3．a 3 2 2第 7 页共 10 页1 2 (2)∵ 当 0＜ a ＜ 1 时， y ＝ loga x 为减函数， ∴ > >a ．∴ a ＜ 20＜ a ＜ 1，知 0＜ a＜ 2a 3，结合 ．3 3∴ a 的取值范围是a 0<a< 2，或 a> 3． 3 210．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键： 一是看底数是否大于 1，当底数未明确给出时， 则应对底数a 是否大于 1 进行讨论； 二是运用复合法来判断其单调性； 三是注意其定义 域．(2)关于形如 y ＝ loga f(x)一类函数的单调性，有以下结论：函数 y ＝ logaf(x)的单调性与函数 u ＝ f(x)(f(x)＞ 0)的单调性， 当 a ＞ 1 时相同， 当 0＜ a ＜ 1 时相反．例如：求函数y ＝ log2 (3 －2x)的单调区间． 分析： 首先确定函数的定义域，函数y ＝ log2(3－ 2x)是由对数函数 y ＝ log 2u 和一次函数 u ＝3 － 2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数 u ＝ 3－ 2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝ log2 u 的单调性考虑．解： 由 3－ 2x ＞ 0，解得函数 y ＝ log2(3 － 2x)的定义域是－ ∞ ， 3． 2设 u ＝ 3－2x ， x3 － ∞ ， 2 ， ∵ u ＝ 3－ 2x 在 － ∞ ， 3上是减函数，且 y ＝ log 2u 在 (0，＋ ∞ )上单调递增，2∴ 函数 y ＝ log 2(3 － 2x)在 － ∞ ， 3上是减函数．2∴ 函数 y ＝ log2(3 － 2x)的单调减区间是－ ∞ ，3．2【例 10－ 1】求函数 y ＝ log a (a － a x)的单调区间．t ＝ a － a x递减． 解： (1)若 a ＞ 1，则函数 y ＝ log a t 递增，且函数又 ∵ a － a x ＞ 0，即 a x＜a ，∴ x ＜ 1． ∴ 函数 y ＝ log a (a － a x)在 (－∞ ， 1)上递减．(2)若 0＜ a ＜ 1，则函数 y ＝ log at 递减，且函数 t ＝ a－ a x递增．又 ∵ a － a x ＞ 0，即 a x＜ a ，∴x ＞ 1．∴ 函数 y ＝ loga(a － a x)在 (1，＋ ∞ )上递减．综上所述，函数y ＝ loga (a － a x)在其定义域上递减．析规律判断函数 y ＝ log af(x)的单调性的方法 函数 y ＝ log af(x)可看成是 y ＝ logau与 u ＝ f(x) 两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性 “ 同增异减 ” 的规律即可判断．需特别注意的是， 在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即 “ 定义域优先 ”．【例 10－ 2】已知 f(x)＝ log 1 (x 2－ ax － a)在 , 1 上是增函数，求 a 的取值范围．22解：, 1 是函数 f(x)的递增区间，说明 , 1是函数 u ＝ x 2－ ax － a 的递减区间，2 2 由于是对数函数，还需保证真数大于0．令 u(x)＝ x 2－ ax － a ， ∵ f(x)＝log 1 u(x) 在, 1 上是增函数， 2 2∴ u(x)在 , 1上是减函数，且u(x)＞ 0 在, 1 上恒成立．22第 8 页 共 10 页a 1 , a 1, ∴ 22 即 1 a 0. u 14 a 0, 22∴－ 1≤ a ≤ 1．2∴满足条件的 a 的取值范围是a 1 a 1 ．211． 对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1) 求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数， 当定义域关于原点对称时，判断f(－ x)与 f(x)或－ f(x)是否相等； (2) 当 f(－ x)＝ f(x)时，此函数是偶函数；当 f(－ x)＝－ f(x)时，此函数是奇函数；(3) 当 f(－ x)＝ f(x)且 f(－x)＝－ f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数； (4) 当 f(－ x)≠ f(x)且 f(－x)≠－ f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．例如，判断函数f(x)＝log a ( x 2 1＋ x) (x R ， a ＞ 0，且 a ≠ 1) 的奇偶性． 解： ∵ f(－ x)＋ f(x)＝＝ log a ( x 2 1 x) ＋ log a ( x 21＋x) )＝log a (x 2 ＋ 1－ x 2)＝ log a 1＝ 0，∴f(－ x)＝－ f(x)． ∴ f(x)为奇函数．【例 11】已知函数 f(x)＝ 1 x loga 1 (a ＞ 0，且 a ≠1) ．x(1) 求函数 f(x)的定义域； (2) 判断函数 f(x)的奇偶性； (3) 求使 f(x)＞ 0 的 x 的取值范围．分析： 对于第 (2) 问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第 (3) 问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解： (1)由 1x＞ 0，得－ 1＜ x ＜1，1 x故函数 f(x)的定义域为 (－1,1) ．1 x ＝ 1 x＝－ f(x)，(2)∵ f(－ x)＝log a 1 x loga 1 x又由 (1)知函数 f(x)的定义域关于原点对称，∴ 函数 f(x)是奇函数．(3)当 a＞ 1 时，由log a1x＞ 0＝ loga1，得1x＞ 1，解得 0＜ x＜ 1；当 0＜ a＜ 1 时，1x 1 x由 log a1x＞ 0＝ loga1，得0＜ 1x＜ 1，解得－ 1＜ x＜0．1 x 1 x故当 a＞ 1 时， x 的取值范围是 { x|0＜ x＜ 1} ；当 0＜ a ＜ 1 时， x 的取值范围是 { x|－ 1＜x＜ 0} ．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液 pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；第 9 页共 10 页(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论． 由此看， 直接给定参数待定的函数模型时， 利用待定系数法的思想， 代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题． 代入法、 方 程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例 12】我国用长征二号 F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历 史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家 (其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱 )．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度 y(单位： km/s) 关于燃料重量 x(单位：吨 ) 的函数关系式为y ＝ kln(m ＋ x)－kln( 2m )＋4ln 2( k ≠ 0)，其中 m 是箭体、 搭载的飞行器、 航天员的重量和． 当燃料重量为 (e － 1)m 吨时， 火箭的最大速度是 4km/s ．(1)求 y ＝f(x)；(2)已知长征二号 F 型运载火箭的起飞重量是 479.8 吨 (箭体、搭载的飞行器、 航天员、 燃料 )，火箭的最大速度为 8 km/s ，求装载的燃料重量 (e ＝ 2.7，精确到0.1) ．解： (1)由题意得当 x ＝(e － 1)m 时， y ＝ 4， 则 4＝ kln[ m ＋ (e － 1)m]－ kln( 2m )＋ 4ln 2 ，解得 k＝ 8． 所以 y ＝ 8ln(m ＋ x)－ 8ln(2m )＋ 4ln 2 ，即 y ＝ 8ln m x． m(2)由于 m ＋ x ＝ 479.8，则 m ＝479.8 － x ，479.8 ，解得 x ≈302.1． 令8 8ln479.8x 302.1 吨． 故火箭装载的燃料重量约为第 10 页共 10 页。
对数函数图象及性质——图象反函数
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$log_a(M^n)=nlog_aM$，$log_aM=log_bM/log_ba$等。
02
对数函数图象分析
图象形状及特点
定义域与值域
对数函数的定义域为$(0, +infty)$，值域为$(-infty,
+ty)$。
过定点
对数函数图象恒过定点$(1,0)$ 。
单调性
当底数$a>1$时，对数函数在 其定义域内是增函数；当 $0<a<1$时，对数函数在其定 义域内是减函数。
涉及两者综合应用问题
对数函数与反函数的综合应用
01
结合对数函数和反函数的性质，解决一些复杂的数学问题，如
求解方程、不等式、最值等。
图象与反函数的综合应用
02
利用对数函数的图象和反函数的性质，解决一些实际问题，如
经济学中的复利计算、物理学中的声强级计算等。
拓展应用
03
将对数函数和反函数的综合应用拓展到其他领域，如工程学、
对数函数与反函数互化方法
对于对数函数$y=log_b(x)$，其反函 数为指数函数$y=b^x$。
互化方法：将对数函数的$x$和$y$互 换，即可得到其反函数的解析式。
两者在解决实际问题中联系和应用
在解决一些实际问题时，可以利 用对数函数和指数函数的互逆关 系进行转化，从而简化问题的求 解过程。
例如，在求解复利、增长率等问 题时，可以利用指数函数进行建 模；而在求解对数方程、求解某 些特定函数的定义域等问题时， 则可以利用对数函数的性质进行 求解。
此外，在一些工程和科学计算中 ，也经常需要利用对数函数和指 数函数的互逆关系进行数值计算 和数据处理。
《对数函数及其性质》第二课时参考课件
当a , b 0, a 1时, 有 (1) log a b 0 (a 1)( b 1) 0; ( 2) log a b 0 (a 1)( b 1) 0;
能力测试(比一比)
4.设f ( x) 2
x 2 2 x
( x 1),求反函数f ( x).
1
5.求函数y log1 ( x 2 3 x 2)的单调增区间 .
6.已知函数y loga ( x 2) 3, (a 0, a 1)不论a为 何值都经过一个定点 , 则这个定点坐标为______.
2 2 例2.已知(loga ) 1, 求a的取值范围 3
2 3 (0, ) ( ,) __________ _. 3 __________ 2
2
例3.解不等式logx (2 x x ) 0
1 5 解集为: { x | 1 x }. 2
能力测试(比一比)
1.已知f ( x 6 ) l og2 x , 那么f (8)等于( 4 1 A. B .8 C .18 D. 3 2 2
解： (2) 当 [ H ] 10 时，pH lg10 7. 即纯净水的 pH是7. 国家规定，饮用纯净水 的pH应该在 5.0 ～ 7.0之间 .
7
7
例题分析:
例1. l og( a 1) ( 2 x 1) l og( a 1) ( x 1)则( C ) A. x 0, a 0 B . x 1, a 1 C . x 1, a 2 D. x 1,1 a 2
1 解 ： (1)根据对数的运算性质得pH lg[H ] lg[H ] lg , [H ]
1
第二章 2.2.2 第2课时 对数函数及其性质(二)
第2课时 对数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.会解简单的对数不等式.3.了解反函数的概念及它们的图象特点.知识点一 不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴. 知识点二 反函数的概念一般地，像y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)这样的两个函数互为反函数.(1)y ＝a x 的定义域R 就是y ＝log a x 的值域；而y ＝a x 的值域(0，＋∞)就是y ＝log a x 的定义域. (2)互为反函数的两个函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.1.y ＝log 2x 2在(0，＋∞)上为增函数.( √ )2.212log y x 在(0，＋∞)上为增函数.( × )3.ln x <1的解集为(－∞，e).( × )4.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象相同.( √ )题型一 比较大小例1 (1)若a ＝log 0.23，b ＝log 0.22.5，c ＝log 0.20.3，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.c >a >b答案 B解析 因为0.3<2.5<3，且y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，所以c >b >a . (2)比较下列各组数的大小：①log 534与log 543；②1135log 2log 2与；③log 23与log 54.解 ①方法一 对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.方法二 因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.②由于1321log 21log 3=，1521log 21log 5=，又对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且0<15<13<1，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以3151l 2log 2og <.③取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练1 (1)设a ＝log 2π，12log πb =，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a 答案 C解析 a ＝log 2π>1，12log π0b <=，c ＝π－2∈(0,1)，所以a >c >b .(2)比较下列各组值的大小： ①2233log 0.5,log 0.6；②log 1.51.6，log 1.51.4；③log 0.57，log 0.67；④log 3π，log 20.8.解 ①因为函数23log y x =是减函数，且0.5<0.6，所以2233log 0.5log 0.6>.②因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4， 所以log 1.51.6>log 1.51.4.③因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57. ④因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8. 题型二 对数不等式的解法 例2 (1)7171lo lo g (g 4)x x >- ；(2)log a (2x －5)>log a (x －1). 解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}.(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4. 反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况进行讨论.(2)形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b ＝log a a b )，再借助y ＝log a x 的单调性求解.(3)形如log f (x )a >log g (x )a (f (x )，g (x )>0且不等于1，a >0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.跟踪训练2 (1)求满足不等式log 3x <1的x 的取值集合； (2)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围.解 (1)因为log 3x <1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x <log 33，即0<x <3.所以x 的取值集合为{x |0<x <3}. (2)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞).题型三 对数型复合函数的单调性命题角度1 求单调区间例3 求函数212log (1)y x =-的单调区间.解 要使212log (1)y x =-有意义，则1－x 2>0，所以x 2<1，所以－1<x <1， 因此函数的定义域为(－1,1). 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1).当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝12log t 减小.所以当x ∈(－1,0]时，212log (1)y x =-是减函数；同理可知，当x ∈[0,1)时，212log (1)y x =-是增函数.即函数212log (1)y x =-的单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间为[0,1).反思感悟 求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域.(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性. (3)判断出函数的增减性求出单调区间.跟踪训练3 求函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调区间.解 因为1－2x >0，所以x <12.又设u ＝1－2x ，则y ＝log 2u 是(0，＋∞)上的增函数. 又u ＝1－2x ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12时，u (x )是减函数， 所以函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围例4 已知函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上是减函数，∵0<12<1，∴12log ()y g x =是减函数，而已知复合函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)上恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g (2)＝(2)2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，22＋2].反思感悟 若a >1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，若0<a <1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 跟踪训练4 若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.[3，＋∞) 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围 答案 B解析 函数由y ＝log a u ，u ＝6－ax 复合而成，因为a >0，所以u ＝6－ax 是减函数，那么函数y ＝log a u 就是增函数，所以a >1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x ＝2时，u ＝6－ax 取得最小值，所以6－2a >0，解得a <3，所以1<a <3.故选B.1.不等式log 2(x －1)>－1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >23 B.{x |x >2}C.{x |x >1}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 答案 D解析 ∵log 2(x －1)>－1＝log 212，∴x －1>12，即x >32.2.函数f (x )＝－2x ＋5＋lg(2－x －1)的定义域为( )A.(－5，＋∞)B.[－5，＋∞)C.(－5,0)D.(－2,0) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5>0，2－x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >－5，2－x >20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－5，x <0，∴－5<x <0，故选C.3.如果2121l log og 0x y <<，那么( )A.y <x <1B.x <y <1C.1<x <yD.1<y <x 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D4.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________. 考点 函数的反函数 题点 求函数的反函数 答案 log 2x5.函数f (x )＝ln x 2的单调减区间为____________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (－∞，0)1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.2.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象是相同的，只是为了适应习惯用x 表示自变量，y 表示因变量，把x ＝log a y 换成y ＝log a x ，y ＝log a x 才与y ＝a x 关于直线y ＝x 对称，因为点(a ，b )与点(b ，a )关于直线y ＝x 对称.一、选择题1.函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 A解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥0，2x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥1，2x －1>0，∴x ≥1， ∴函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为[1，＋∞). 2.若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A.0<a <b <1 B.0<b <a <1 C.a >b >1 D.b >a >1答案 B解析 因为log a 2<0，log b 2<0， 所以0<a <1,0<b <1， 又log a 2<log b 2， 所以a >b ， 故0<b <a <1.3.函数f (x )＝12log x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.(0,1] C.(0，＋∞) D.[1，＋∞)答案 D解析 f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞).4.函数y ＝15log (1－3x )的值域为( )A.RB.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞) 答案 C解析 因为3x >0，所以－3x <0， 所以1－3x <1.又y ＝15log t (t ＝1－3x )是关于t 的减函数，所以y ＝15log t >15log 1＝0.5.已知log a 12<2，那么a 的取值范围是( )A.0<a <22B.a >22C.22<a <1 D.0<a <22或a >1 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D解析 当a >1时，由log a 12<log a a 2得a 2>12，故a >1；当0<a <1时，由log a 12<log a a 2得0<a 2<12，故0<a <22. 综上可知，a 的取值范围是0<a <22或a >1. 6.函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(1,2)D.(2,3) 答案 D解析 由－3＋4x －x 2>0，得x 2－4x ＋3<0，得1<x <3. 设t ＝－3＋4x －x 2，其图象的对称轴为x ＝2. ∵函数y ＝13log t 为减函数，∴要求函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间，即求函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间， ∵函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间是(2,3)，∴函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,3)，故选D.7.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，4] B.[4，＋∞ ) C.[－4,4] D.(－4,4] 答案 D解析 令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减， ∴函数g (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，且恒大于0， ∴12a ≤2且g (2)>0， ∴a ≤4且4＋a >0，∴－4<a ≤4， 故选D.8.已知指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫1a x，当x ∈(0，＋∞)时，有y >1，则关于x 的不等式log a (x －1)≤log a (6－x )的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，72 C.⎝⎛⎦⎤1，72 D.⎣⎡⎭⎫72，6答案 D解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫1a x 在x ∈(0，＋∞)时，有y >1， ∴1a>1，∴0<a <1. 于是由log a (x －1)≤log a (6－x )， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥6－x ，x －1>0，6－x >0，解得72≤x <6，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪72≤x <6.故选D. 二、填空题9.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点⎝⎛⎭⎫32，23，则a ＝________. 考点 函数的反函数 题点 反函数的图象与性质 答案2解析 因为点⎝⎛⎭⎫32，23在y ＝f (x )的图象上，所以点⎝⎛⎭⎫23，32在y ＝a x 的图象上，则有32＝23a ， 即a 2＝2，又因为a >0，所以a ＝ 2. 10.函数y ＝log 2(x 2－1)的增区间为________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (1，＋∞)解析 由x 2－1>0得函数的定义域为{x |x <－1或x >1}，又y ＝log 2x 在定义域上单调递增，y ＝x 2－1在(1，＋∞)上单调递增，∴函数的增区间为(1，＋∞).11.若函数f (x )＝log a x (其中a 为常数，且a >0，a ≠1)满足f (2)>f (3)，则f (2x －1)<f (2－x )的解集是________. 答案 {x |1<x <2} 解析 ∵f (2)>f (3)， ∴f (x )＝log a x 是减函数，由f (2x －1)<f (2－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x >0，2x －1>2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <2，x >1，∴1<x <2. 三、解答题12.已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2. (1)若f (x )>0，求x 的取值范围； (2)若x ∈(－1,3]，求f (x )的值域. 解 (1)函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2， ∵f (x )>0，即log 2(x ＋1)－2>0， ∴log 2(x ＋1)>2，∴x ＋1>4，∴x >3. 故x 的取值范围是x >3. (2)∵x ∈(－1,3]， ∴x ＋1∈(0,4]，∴log 2(x ＋1)∈(－∞，2]， ∴log 2(x ＋1)－2∈(－∞，0]， 故f (x )的值域为(－∞，0]. 13.已知f (x )＝12log (x 2－ax －a ).(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数，求实数a 的取值范围. 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12log (x 2＋x ＋1)，∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴12log (x 2＋x ＋1)≤123log 4＝2－log 23， ∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23].∵y ＝x 2＋x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，－12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，y ＝12log x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)令u (x )＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数， 又∵y ＝12log u (x )为单调减函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调减函数，且u (x )＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立. ⎝⎛⎭⎫提示：⎝⎛⎭⎫－∞，－12⊆⎝⎛⎭⎫－∞，a 2 因此⎩⎨⎧ a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0， 解得－1≤a ≤12. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12.14.若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________.考点 对数函数的综合问题题点 与单调性有关的对数函数综合问题答案 12解析 当a >1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝a ＋log a 2，f (x )min ＝a 0＋log a 1＝1，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12(舍去)； 当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝a 0＋log a (0＋1)＝1，f (x )min ＝a ＋log a 2，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴a ＝12. 综上所述，a ＝12. 15.已知函数f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x ).(1)求函数f (x )的定义域，并证明f (x )是定义域上的奇函数；(2)用定义证明f (x )在定义域上是增函数；(3)求不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0的解集.(1)解 由对数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，1＋x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >－1， 即－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1).∵f (－x )＝lg(1－x )－lg(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )是定义域上的奇函数.(2)证明 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(1＋x 1)－lg(1－x 1)－lg(1＋x 2)＋lg(1－x 2)＝lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴0<1＋x 1<1＋x 2，0<1－x 2<1－x 1，于是0<1＋x 11＋x 2<1,0<1－x 21－x 1<1， 则0<(1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<1，∴lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )是(－1,1)上的增函数.(3)解 ∵f (x )在(－1,1)上是增函数且为奇函数，∴不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0可转化为f (2x －5)<－f (2－x )＝f (x －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2x －5<1，－1<x －2<1，2x －5<x －2，解得2<x <3.∴不等式的解集为{x |2<x <3}.。
2.2.2对数函数及其性质(反函数)
关于反函数主要考查两个方面 : 一.是给出函数解析式求其反函数, 注意不要பைடு நூலகம்略反函数的定义域; 二.是利用互为反函数的函数的图 象关于直线y x对称解决有关问题.
讨论归纳、导入定义
反函数定义：给定函数y=f（x）定义 域为A，值域为C，从式子y=f（x）解出得 到x=φ（y），如果对于y在C中的任何一 个值，x在A中都有唯一确定的值和它对应， 那么式子x=φ（y）就表示x是变量y的函数， 把x=φ（y）叫函数y=f（x）的反函数， 记作：x=φ(y)=f -1（y）
这两个函数一定是互为反函数.
2.若两个函数的图象关于直线 y=x对称，则这两个函 数一定是互为反函数.即结论的否命题成立. 3.若点P(a,b)在y=f(x)的图像上
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则P`(b,a)在y=f-1(x)的图象上
4.原函数与反函数的单调性相同， 5.奇函数的反函数还是奇函数
▲在平面直角坐标系中， ①点A(x,y)关于x轴的对称点A1(x,-y); ②点A(x,y)关于y轴的对称点A2(-x,y);
y 2x 3 x 1
（x≠1）
（1）求反函数前先判断一下决定 这个函数是否有反函数.
（2）求反函数的一般步骤分三步: 一解、二换、三注明. （ 3 ）反函数的定义域由原来函数的 值域得到，而一般不能由反函数的解 析式得到.
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反馈练习
（1） 函数 y
x2 1 ( x R且x ) 的反函数为： 2x 1 2
（2） 函数 y
9 4x2
（x[- 3 ,0]）的反函数为： 2
（3） 已知函数 f（x）=2x2–4x+9（x≥1）且满足 f-1（a+1） =3， 求 f（ a）
2.2.2对数函数及其性质, 反函数——王彦文
4
loga 5.1,loga 5.9(a 0, a 1)
例4:比较下列各组数中两个值的大小： log 6 7 ＞ log 6 6 = 1 log 7 6 ＜ log 7 7 = 1 log 6 7 ＞ log 7 6 log 3 2 ＞ log 3 1 = 0 log 2 0.8 ＜ log 2 1 = 0 log 3 2 ＞ log 2 0.8
成： y f 1 ( x)
1
( y)通常改写
y f 1 ( x ) 的值 注：y=f(x)的定义域、值域分别是反函数
域、定义域
例3 求下列函数的反函数 （1）y=0.2－x+1 （2）y=log2（4－x） (x<4)
对数函数与指数函数的图象
y ax 由于对数函数 y loga x 与指数函数 互为反函数， 所以 y loga x 的图象与 y a x
2
（2） y loga (4 x)
2
(1)解:由 x 2 0 得 x 0 ∴函数 y loga x 的定义域是 x | x 0 由 (2)解： 4 x 0 得 x 4 ∴函数 y loga (4 x)的定义域是x | x 4
练习： y loga (9 x ) （2）y log( 2 x1) (3 x 2) （1） 1 (3) y log 7 (4) y log 3 x 1 3x
的图象关于直线
5 4
yx
对称。
4 4
y=ax
(a>1)
3
y=ax
0<a<1
-4 -4 -2 -2
3 3
2 2
2
1 1
1
2 2
-4
2.2.2 第2课时 对数函数的性质应用--第二章基本初等函数(I)《新课程同步进阶攻略(人教A版必修一》
第2课时对数函数的性质应用[目标] 1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式；2.会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域；3.能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题．[重点] 对数函数的图象和性质的应用．[难点] 对数函数的图象和性质的综合应用.知识点一对数函数的单调性[填一填]1．对数函数的单调性：当a>1时，y＝log a x为增函数，当0<a<1时，y＝log a x为减函数．2．对于y＝log a x，若a>1，当x>1时，y>0，当0<x<1时，y<0；若0<a<1，当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0.[答一答]1．若a>1，且m>n，则log a m与log a n的大小关系是log a m>log a n.若0<a<1，且m>n，则log a m与log a n的大小关系是log a m<log a n.2．若a>1，且log a m>log a n，则m与n的大小关系是m>n；若0<a<1，且log a m>log a n，则m与n的大小关系是m<n.知识点二复合函数的单调性[填一填]复合函数y＝log a f(x)，x∈D的单调性：设集合M⊆D，若a>1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝log a f(x)的增(减)区间；若0<a<1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝log a f(x)的减(增)区间．[答一答]3．f(x)＝log3(x＋5)的单调区间是否只有一个？是否就是y＝x＋5的单调区间？提示：是只有1个，但不是y＝x＋5的单调增区间(－∞，＋∞)，而是(－5，＋∞)．知识点三 反函数[填一填]函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)与y ＝a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称．[答一答]4．指数函数与对数函数有哪些主要的相同点？两种函数之间有哪些关系？提示：(1)底数及其范围相同；(2)a >1时同为增函数，0<a <1时同为减函数；(3)互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称；(4)指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域．类型一 比较大小[例1] 比较下列各组值的大小． (1)log 534与log 543；(2)log 13 2与log 15 2；(3)log 23与log 54.[解] (1)法一：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，∴log 534<log 543.法二：∵log 534<0，log 543>0，∴log 534<log 543.对数式比较大小的三种类型和求解方法 (1)底数相同时，利用单调性比较大小.(2)底数与真数均不相同时，借助于0或1比较大小.(3)真数相同时，可利用换底公式换成同底，再比较大小，但要注意对数值的正负.[变式训练1] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( D ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解析：由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D. 类型二 解对数不等式[例2] (1)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围．(2)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．[分析] 对于(1)“1”变为log a a 讨论单调性；对于(2)直接根据单调性列不等式组求解． [解] (1)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞)． (2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.∴x 的取值范围为(1，＋∞)．解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形.若非同解变形，最后一定要检验.[变式训练2] 若－1<log a 34<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围．解：∵－1<log a 34<1，∴log a 1a <log a 34<log a a .当a >1时，1a <34<a ，则a >43；当0<a <1时，1a >34>a ，则0<a <34.故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 类型三 对数复合型函数的值域[例3] 求下列函数的值域： (1)y ＝log 12(－x 2＋2x ＋3)；(2)y ＝log 3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x －2，x ∈[－3，－1]． [分析] 先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的值域． [解] (1)设u ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4≤4， ∵y ＝log 12 u 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 12 (－x 2＋2x ＋3)≥log 12 4＝－2.∴函数的值域为[－2，＋∞)． (2)设u ＝⎝⎛⎭⎫13x －2，∵x ∈[－3，－1]． ∴3≤⎝⎛⎭⎫13x ≤27，即1≤u ≤25.∵函数y ＝log 3u 在(0，＋∞)上是增函数，∴0≤log 3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x －2≤log 325. ∴原函数的值域为[0，log 325]．1.与对数函数有关的复合函数的值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法).2.对于形如y ＝log a f (x )(a >0，且a ≠1)的复合函数的值域的求解的步骤：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解.[变式训练3] 设函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，14≤x ≤4.若t ＝log 2x .(1)求t 的取值范围． (2)求f (x )的值域．解：(1)因为t ＝log 2x ，14≤x ≤4，所以log 214≤t ≤log 24，即－2≤t ≤2.(2)函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，即f (x )＝(log 2x )2＋3log 2x ＋2，又t ＝log 2x ， 则y ＝t 2＋3t ＋2＝⎝⎛⎭⎫t ＋322－14(－2≤t ≤2)． 当t ＝－32时，即log 2x ＝－32，x ＝2－32时，f (x )min ＝－14；当t ＝2时，即log 2x ＝2，x ＝4时，f (x )max ＝12. 综上可得，函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－14，12. 类型四 对数复合型函数的单调性[例4] 已知f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上是增函数，求a 的取值范围． [解] 令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝log 12 u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上是增函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上是减函数，且u (x )>0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立．∴⎩⎨⎧a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0.∴－1≤a ≤12.∴满足条件的a 的取值范围是{a |－1≤a ≤12}．与对数函数有关的复合函数y ＝log a g (x )的单调性的求解步骤：(1)确定定义域，研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行.(很多同学忽略了定义域，即要满足g (x )>0导致错误)(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数：外层函数y ＝log a u ，内层函数u ＝g (x ).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝log a g (x )为增函数；若一增一减，则y ＝log a g (x )为减函数，即“同增异减”.[变式训练4] 已知f (x )＝log a (8－3ax )在[－1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( B )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1，43 C.⎣⎡⎭⎫43，4D ．(1，＋∞)解析：由题意，知8－3ax >0，x ∈[－1,2]，∴8＋3a >0,8－6a >0，∴－83<a <43.又易知a >0，且a ≠1，∴0<a <1或1<a <43，此时可知函数g (x )＝8－3ax 是减函数．若f (x )在[－1,2]上是减函数，则必有a >1.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，43.故选B.1．若0<x <y <1，则下列关系式正确的一组是( D ) A ．log 3x >log 3y B ．log 12 x <log 12 yC ．log x 3<log y 3D ．log 4x <log 4y解析：∵y ＝log 3x 是增函数，∴当x <y 时，log 3x <log 3y .∵y ＝log 12 x 是减函数，∴当x <y 时，log 12 x >log 12 y .∵log 3x <log 3y <0，∴1log 3y <1log 3x <0.∴log y 3<log x 3.∵y ＝log 4x 是增函数，且0<x <y <1知log 4x <log 4y . 2．函数y ＝2x 的反函数是( C ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝log 12 xC ．y ＝log 2x (x >0)D ．y ＝log 12x (x >0)解析：函数y ＝2x 的值域是(0，＋∞)． 又其反函数为y ＝log 2x .故选C.3．函数y ＝log 12 (x 2－6x ＋17)的值域是(－∞，－3]．解析：由x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8>0恒成立，知x ∈R .设u ＝x 2－6x ＋17.∵0<12<1，∴函数y ＝log 12 u 是减函数．又∵x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，∴log 12 (x 2－6x ＋17)≤log 12 8＝log 12 23＝log 12⎝⎛⎭⎫12－3＝－3.故函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域为(－∞，－3]．4．函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． 解析：∵3＋2x －x 2>0，∴x 2－2x －3<0. ∴－1<x <3.令u ＝3＋2x －x 2＝－(x 2－2x －3)＝ －(x －1)2＋4，∴当x ∈(－1,1)时，u 是x 的增函数，y 是ln u 的增函数，故函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递增区间是(－1,1)．同理，函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递减区间是(1,3)． 5．已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)使f (x )＝log a (a x －1)有意义，则a x －1>0，即a x >1.当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0，∴当a >1时，函数的定义域为{x |x >0}；当0<a <1时，函数的定义域为{x |x <0}．(2)①当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2，∴0<ax 1－1<ax 2－1，∴log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)，∴f (x 1)<f (x 2)，∴当a >1时，函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数；②当0<a <1时，设x 1<x 2<0，则ax1>ax2>1，∴ax1－1>ax2－1>0，∴log a(ax1－1)<log a(ax2－1)，∴f(x1)<f(x2)，∴当0<a<1时，函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．综上可知：函数f(x)＝log a(a x－1)在其定义域上为增函数．——本课须掌握的三大问题1．利用对数的单调性可解简单的对数不等式．解对数不等式的关键是把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式，但一定要注意真数大于零这一隐含条件．2．求与对数函数有关的复合函数的单调区间，首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成的，再按“同增异减”的方法来求其单调区间．3．对于对数型复合函数的综合应用的题目，无论是求最值还是求参数的取值范围，必须抓住两点：一是先求出原函数的定义域，二是在定义域内求出函数的单调区间，然后由函数的单调性求出其最值或参数的取值范围．此外在解题过程中一定要注意数形结合方法的灵活应用．学习至此，请完成课时作业21。
222对数函数及其性质(二)——反函数
2.2.2 对数函数及其性质（二）——反函数一、教学目标（一）知识目标：理解反函数的概念，知道什么函数有反函数，会求一个函数的反函数，掌握原函数与反函数之间的关系。
（二）能力目标：进一步培养学生的逆向思维，从逆反的角度加深理解函数的对应法则。
（三）情感目标：体验函数对应法则的可逆性，体会互为反函数的两个函数之间的对称统一。
二、教学重难点（一）重点：反函数的概念的理解，反函数的求法，互为反函数的两个函数之间的关系（定义域、值域关系，单调性关系）。
（二）难点：反函数的概念的理解，互为反函数的两个函数之间的关系（定义域、值域关系，单调性关系）。
三、活动设计复习引入 列表比较 推导演练 四、教学过程1) 回顾复习回顾复习对数函数与指数函数的定义域与值域，提醒它们的定义域与值域之间的互换关系，揭示函数的对应法则的可逆性。
下面以对数函数x y 2log =与指数函数x y 2=为例，用列表法分别描述，更直观地解释之。
表一 x y 2=．表二 x y 2log =．再举例分析函数y = 2x + 6（x ∈[0，5]）与32-=xy （x ∈[6，16]）之间自变量与因变量、定义域与值域之间的关系。
2) 引出反函数的概念通过上述例子的分析，我们可以看到对数函数与指数函数之间、函数y =2x + 6（x ∈[0，5]）与32-=xy （x ∈[6，16]）之间有一种联系，尤其是在对应法则上有逆反性的关系。
我们现在总结归纳这种联系，从而得出反函数的定义。
反函数的概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数（inverse function ）．函数2log x y = 由2x y =解出，是把指数函数2x y =中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为x y 2log =.这样，对数函数x y 2log =是指数函数2x y =的反函数。
2.2.2对数函数及其性质(2)
(3)已知 a>0，且 a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图像只 能是图中的( )
[答案] B
[解析] 函数 y＝loga(－x)的定义域是{x|x<0}，图像只能在 y 轴 左侧，故排除 A，C.再看单调性，y＝ax 的单调性与 y＝loga(－ x)的单调性正好相反，又排除 D.
【变式】 函数 f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是(
)
[答案] A
[解析] 因为 f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，排除选 项 C，又 f(0)＝0，排除选项 B，D，故选 A.
拓展
函数 f(x)＝1＋log2x 与 g(x)＝2－x＋1 在同一坐标 )
系下的图像大致是(
∴此函数不具备奇偶性．
拓展 已知函数 f(x)＝lg(ax ＋2x＋1)． (1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (2)若 f(x)的值域为 R， 求实数 a 的 取值范围．
2
解：(1)若 f(x)的定义域为 R，则关于 x 的不等式 ax2＋2x＋ 1>0 的解集为 R. 1 当 a＝0 时，x>－ ，这与 x∈R 矛盾，所以 a≠0. 2 当 a≠0
f(x)，∴f(x)＝log2|x|为偶函数． 1－x 1＋x 1－x －1 1－x (2)设 f(x)＝lg ，f(－x)＝lg ＝lg( ) ＝－lg 1＋x 1－x 1＋x 1＋x 1－x ＝－f(x)，∴y＝lg 为奇函数． 1＋x
x－1>0 (3)由于 x＋1>0
，∴x>1，定义域不关于原点对称．
a>0， 时，由题意得 解得 Δ ＝ 4 － 4 a <0 ，
2019A新高中数学必修第一册：2.2.2 对数函数及其性质(第2课时)
(1) 根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式, 说明溶液酸
碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
(2) 已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7摩尔/升, 计算
纯净水的 pH.
解:
(1)
公式化为
pH
=
lg[H+]-1 =
lg
1 [H
, ]
此对数函数是 (0, ∞) 上的增函数,
当[H+]增大时,
当 I=10-12 W/m2 时,
LI =10lg(1100--1122 ) =10lg1 =0.
∴人听觉的声强级范围是 0 到 120 dB.
3. 声强级 LI (单位: dB) 由公式 LI =10lg(10I-12 )
给出, 其中 I 为声强 (单位: W/m2).
(1) 一般正常人听觉能忍受的最高声强为 1 W/m2, 能
y = logax (a>0, a≠1). 即 指数函数与对数函数互为反函数.
一般地, 求一个函数的反函数, 就是将函数中 的自变量 x 表示成 y 的函数, 其定义域是原函数的 值域.
由于习惯用 x 表示自变量, 所以将变换后函数 中的字母 x, y 相交换.
如: y=log3x,
用 y 表示 x: x=3y,
5. (1) 试着举几个满足 “对定义域内任意实数 a、 b, 都有 f(a·b)=f(a)f(b)” 的函数例子, 你能说出这些 函数具有哪些共同性质吗?
(2) 试着举几个满足 “对定义域内任意实数 a、b, 都有 f(ab)=f(a)·f(b)” 的函数例子, 你能说出这些函 数具有哪些共同性质吗?
函数中的字母 x, y 相交换得
y=g(x), 指数函数与对数函数互为反函数. 如果两函数互为反函数, 则它们的图象关 于直线 y=x 即称.
2.2.2对数函数及其性质(二)
例5：已知函数 f ( x) log 2 (3x 1), 若 f ( x) 0， 求 x 的取值范围．
总结点评：注意对数函数定义中定义域限制 (3x-1>0)
变式1：已知函数 y log 2 (2x 1)， 求满足 f ( x) 1 的 x 的取值范围.
变式2：已知 log a (3a 1) 恒为正数， 求 a 的取值范围．
x
探 究:
么 x 是 y 的函数吗？如果是，那么对应关系是
什么？如果不是，请说明理由。 y=2x x log2 y y 0,
xR
指数函数y=2x(x ∈R)与对数函数y=log2x (x∈(0,+∞)) 互为反函数． 一般地，指数函数y=ax(x ∈R)与对数函数 y=logax (x∈(0,+∞)) 互为反函数．
得到：log 0.35＞log 0.37
（3）log a5 与log a7 ( a＞0 且 a≠1 )
对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还 是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大? 因此需要对底数a进行讨论:
y 0 1 x y 0 x
1
当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,故 log a5＜log a7 当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,故 log a5＞log a7
(6) loga x2与 loga (x2+1) (x≠0)
练习
1995年我国人口总数是12亿，如果人口的自然增长率 控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将大约等于14亿？ 解： 设 X年后人口总数超过14亿，依题意得 12.(1+0.0125)X=14 即 1.0125X=14/12，两边取常用对数， 得：X.lg1.0125=lg14-lg12 即：X= (lg14-lg12)/ lg1.0125≈12.4
222对数函数及其性质(二)——反函数
2.2.2 对数函数及其性质（二）——反函数一、教学目标（一）知识目标：理解反函数的概念，知道什么函数有反函数，会求一个函数的反函数，掌握原函数与反函数之间的关系。
（二）能力目标：进一步培养学生的逆向思维，从逆反的角度加深理解函数的对应法则。
（三）情感目标：体验函数对应法则的可逆性，体会互为反函数的两个函数之间的对称统一。
二、教学重难点（一）重点：反函数的概念的理解，反函数的求法，互为反函数的两个函数之间的关系（定义域、值域关系，单调性关系）。
（二）难点：反函数的概念的理解，互为反函数的两个函数之间的关系（定义域、值域关系，单调性关系）。
三、活动设计复习引入 列表比较 推导演练 四、教学过程1) 回顾复习回顾复习对数函数与指数函数的定义域与值域，提醒它们的定义域与值域之间的互换关系，揭示函数的对应法则的可逆性。
下面以对数函数x y 2log =与指数函数x y 2=为例，用列表法分别描述，更直观地解释之。
表一 x y 2=．表二 x y 2log =．再举例分析函数y = 2x + 6（x ∈[0，5]）与32-=xy （x ∈[6，16]）之间自变量与因变量、定义域与值域之间的关系。
2) 引出反函数的概念通过上述例子的分析，我们可以看到对数函数与指数函数之间、函数y =2x + 6（x ∈[0，5]）与32-=xy （x ∈[6，16]）之间有一种联系，尤其是在对应法则上有逆反性的关系。
我们现在总结归纳这种联系，从而得出反函数的定义。
反函数的概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数（inverse function ）．函数2log x y = 由2x y =解出，是把指数函数2x y =中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为x y 2log =.这样，对数函数x y 2log =是指数函数2x y =的反函数。
对数函数[二]
![对数函数[二]](https://img.taocdn.com/s3/m/249bf499cc22bcd126ff0c82.png)
a3
小 结：
若函数y＝f(x)的图象经过点(a, b)，
则其反函数的图象经过点(b, a).
例3 已知函数y＝f (x)＝ x 1，
求f －1(3)的值. f －1(3)=4
函数y＝f(x) 反函数y＝f－1(x) 定义域 值域 A C C A
例1.求下列函数的反函数 (1) y＝4x (x∈R)
1 x (3) y＝( ) (x∈R) 3
(2) y＝0.25x (x∈R) (4) y＝ ( 2 ) x (x∈R)
(5) y＝lgx (x＞0)
例2 函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1) 的反函数的图象经过点(1, 4)，求a的值.
2.2.2 对数函数及其性质（二）
反函数的概念：
在指数函数y=2x中，x为自变量(x∈R)，y是x的函 数(y＞0),由指数式y=2x可得到对数式x=log2y，对于任 意一个y∈(0，+∞)通过式子x=log2y，x在R中都有唯 一确定的值和它对应.也就是说，可以把y作为自变量， x作为y的函数，这时我们就说x=log2y ( y＞0 )是函数 y=2x（x∈R）的反函数. 由上述概念可知，对数函数y=log2x（ x ＞0 ）是指 数函数y=2x（x∈R）的反函数；同时，指数函数y=2x （x∈R）也是对数函数y=log2x（ x ＞0 ）的反函数.因 此，指数函数y=2x（x∈R）与对数函数y=log2x（x ＞0 ） 互为反函数.
一般地，对数函数y=logax（a＞0且a≠1）和指数 函数 y=ax（ a＞0且a≠1 ）互为反函数. 它们的图象 关于直线 y=x 对称.
1 x y( ) 2
y
y 2x
y x
y log 2 x
人教必修一数学《2.2.2.2对数函数及其性质(2)反函数、对数型复合函数》(课件).pptx
4. 想一想产生上述图象关 系的根源是什么？
「家庭作业」
1.《考向标》P59—P60； 2.自学教材：P75T10、B组T4的研究
求m的取值范围。
知探究
1. 在同一坐标系中作出 y 2x与y log2 x的图象， 并指出两个图象间的关 系。
2. 在同一坐标系中作出 y
1 x与y 2
log 1
2
x的图象，
并指出两个图象间的关 系。
3. 在同一坐标系中作出 y 2x 1与y x 1的图象， 2
2
3.求函数y log（2 3 2x x2）的单调区间。
能力提升
已知a
0且a
1，f
(loga
x)
a a2 1(x
1 )
x
（1）求f ( x)的解析式；
（2）判断f ( x)的奇偶性及其单调性；
（3）x (1，1)，有f (1 m) f (1 m2 ) 0，
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知识回顾
对数函数及其性质
知识检测
1.求下列函数的定义域 （1）y 3 log2 x；（2）y log0.5 (4 x 3)
2.求下列函数的值域：
（1）y log2 ( x2 4)；（2）y log1 (3 2x x2 )
课件19：2.2.2 对数函数及其性质 第二课时
[思路分析] (1)题目给定的关键条件是 f(x)是奇函数，一般 考虑用 f(－x)＝－f(x)，f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0(当 0、－1 在定 义域中时)等，它是从反面考查函数奇偶性的判定．
3.对数型复合函数的值域
例 3.求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝log1 (3＋2x－x2)．
2
[解析] (1)y＝log2(x2＋4)的定义域为 R. ∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2. ∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设 u＝3＋2x－x2，
[解析] (1)f(－x)＝ln－1＋x－mx1＝ln－11＋－xmx， －f(x)＝－ln1x－－m1x＝ln1x－－m1x. ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即 ln－11＋－xmx＝ln－1－1＋mxx， 得－1＝m－＝m1，， ∴m＝－1.
(2)由(1)知 f(x)＝lnxx＋－11＝ln(1＋x－2 1)． 任取 x1，x2 满足 1＜x1＜x2，则 (1＋x1－2 1)－(1＋x2－2 1)＝x1－2 2－x2－2 1＝x12－x12－xx2－1 1. 由 1＜x1＜x2 知，x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0， ∴(1＋x1－2 1)－(1＋x2－2 1)＞0，1＋x1－2 1＞1＋x2－2 1＞0， ln(1＋x1－2 1)＞ln(1＋x2－2 1)， 即 f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
跟踪练习 2. 求函数 y＝log0.1(2x2－5x－3)的单调减区间．
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定义域：(0, +∞)； 值域：R 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
在(0,+∞)上是减函数
3. 指数函数的图象和性质
a＞1
图 象
y (0,1) y＝ax (a＞1) y＝1 x
0＜a＜1
y＝ax (0＜a＜1) y (0,1) O y＝1 x
O
性 质
定义域 R；值域(0，＋∞) 过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
x 1 (2) y . x 1
小结：这节课学习了些什么内容？
（1） y log a x 当a>1时，a值越大， 函数图像越靠近x轴；当0<a<1时，a值 越大，函数图像越远离x轴。
（2）同底的指数函数与对数函数互为反 函数.
（3）互为反函数的两个函数图象关于直 线y=x对称.
作业：习题2.2 A ： 9、10 B： 2 精讲精练： P48~49：1~5；9、11、12.
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y log a x
当a>1时，a值越大，函数图像越 靠近x轴； 当0<a<1时，a值越大，函数图 像越远离x轴。
例1：比较下列各组中两个值的大小:
⑴log 27 , log
y log a x(a 0, a 1) 的图象有什 么关系?
结论2:互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.
y2
x
y=x
(0,1)
y=log2x
y a (0 a 1)
x
y=x
(0,1)
y=logax（0<a<1）
例2：求下列函数的反函数
(1) y x 1;
在R上是增函数 在R上是减函数 x＞0时，ax＞1; x＞0时，0＜ax＜1; x＜0时，0＜ax＜1 x＜0时，ax＞1
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3
7 ; (2) log 1 4, log 1 4
3 5
y log 2 x
y log 3 x
0 1
y log 1 x y log x
x=4 x=7
5 1 3
二、反函数的有关概念与性质： x 在指数函数 y 2 中,x为自变量,y 探 为因变量.如果把y当成自变量,x当成因 究 变量,那么x是y的函数吗?如果是,那么 对应关系是什么?如果不是,请说明理由. 结论1:同底的指数函数与对数函数互为反函数. x (1)函数 y 2 与函数 y log 2 x 的 探 图象有什么关系? x 究 (2)函数 y a (a 0, a 1) 与函数
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知识回顾:
1.对数函数的定义：
函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 ) 叫做对数函数.其中 x是自变量,函数的 定义域是（ 0 , +∞）
2. 对数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
y
图 象
y
O
x
O
x
性 x∈(0, 1)时，y<0； x∈(0, 1)时，y>0 质 x∈(1, +∞)时，y>0. x∈(1, +∞)时，y<0.