二次函数与不等式课件PPT
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《二次函数与一元二次方程、不等式---第一课时》名师课件
道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
变式训练
高中数学
ZHONGSHUXUE
3.对一切实数，关于的不等式 2 − + < 0 恒成立，
求实数的取值范围.
解：要使 2 − + < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时，原不等式化为−<0，解得 > 0,不合题意；
成立，求的取值范围.
解析
要使 2 − − 1 < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时， < 0 化为-1<0，恒成立,符合题意；
< 0,
⑵当≠0时，则有ቊ
, 解得−4 < < 0.
2
△=(−) + 4 < 0
综合两种情况可得的取值范围为 | − 4 < ≤ 0 .
对a是否为
①当a＝0时，b＝0，c<0；
零要进行
②当a≠0时， ቊ
> 0,
△ < 0.
讨论．
当堂练习
高中数学
ZHONGSHUXUE
1．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是( A )
A.
2
，2
3
C.
3
，2
2
2
B.ቀ−∞， ቃ∪[2，＋∞)
3
D.
2
− ，2
3
2
3
2
3
解析：原不等式等价于(x－ )(x－2) ≤0，解得 ≤x≤2，故选A.
y = 2 + +
(>0)的图象
方程 2 + + = 0
（>0）的根
变式训练
高中数学
ZHONGSHUXUE
3.对一切实数，关于的不等式 2 − + < 0 恒成立，
求实数的取值范围.
解：要使 2 − + < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时，原不等式化为−<0，解得 > 0,不合题意；
成立，求的取值范围.
解析
要使 2 − − 1 < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时， < 0 化为-1<0，恒成立,符合题意；
< 0,
⑵当≠0时，则有ቊ
, 解得−4 < < 0.
2
△=(−) + 4 < 0
综合两种情况可得的取值范围为 | − 4 < ≤ 0 .
对a是否为
①当a＝0时，b＝0，c<0；
零要进行
②当a≠0时， ቊ
> 0,
△ < 0.
讨论．
当堂练习
高中数学
ZHONGSHUXUE
1．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是( A )
A.
2
，2
3
C.
3
，2
2
2
B.ቀ−∞， ቃ∪[2，＋∞)
3
D.
2
− ，2
3
2
3
2
3
解析：原不等式等价于(x－ )(x－2) ≤0，解得 ≤x≤2，故选A.
y = 2 + +
(>0)的图象
方程 2 + + = 0
（>0）的根
新人教版高中数学必修一二次函数与一元二次方程不等式PPT课件
9 所以原不等式的解集为xx＝4 . (3)不等式 3＋5x－2x2≤0 可变为－(2x＋1)(x－3)≤0，
1 所以(2x＋1)(x－3)≥0，所以 x≥3 或 x≤－2 ， 所以该不等式的解集为xx≥3或x≤－12 .
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集． 微提醒：解一元二次不等式时，若二次项系数为负，则应先将二次项系数化为正 数再求解．
3．解下列不等式： (1)求不等式 x2＋2x＋9<0 的解集； (2)求不等式－4x2＋18x－841 ≥0 的解集； (3)求不等式 3＋5x－2x2≤0 的解集．
【解析】(1)因为函数 y＝x2＋2x＋9 的图象开口朝上，且Δ＝4－36<0，所以不等 式 x2＋2x＋9<0 的解集为∅.
9 2 (2)原不等式可化为2x－2 ≤0，
本例中的条件不变，求关于 x 的不等式 cx2－bx＋a>0 的解集．
b
c
【解析】由根与系数的关系知a ＝－5，a ＝6 且 a<0.
所以 c<0，cb ＝－65 ，故不等式 cx2－bx＋a>0，
即 x2－bc x＋ac <0，即 x2＋56 x＋61 <0.
解得－12 <x<－31 ，
故原不等式的解集为x－12<x<－13 .
2．下列不等式中解集为 R 的是( )
1 所以(2x＋1)(x－3)≥0，所以 x≥3 或 x≤－2 ， 所以该不等式的解集为xx≥3或x≤－12 .
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集． 微提醒：解一元二次不等式时，若二次项系数为负，则应先将二次项系数化为正 数再求解．
3．解下列不等式： (1)求不等式 x2＋2x＋9<0 的解集； (2)求不等式－4x2＋18x－841 ≥0 的解集； (3)求不等式 3＋5x－2x2≤0 的解集．
【解析】(1)因为函数 y＝x2＋2x＋9 的图象开口朝上，且Δ＝4－36<0，所以不等 式 x2＋2x＋9<0 的解集为∅.
9 2 (2)原不等式可化为2x－2 ≤0，
本例中的条件不变，求关于 x 的不等式 cx2－bx＋a>0 的解集．
b
c
【解析】由根与系数的关系知a ＝－5，a ＝6 且 a<0.
所以 c<0，cb ＝－65 ，故不等式 cx2－bx＋a>0，
即 x2－bc x＋ac <0，即 x2＋56 x＋61 <0.
解得－12 <x<－31 ，
故原不等式的解集为x－12<x<－13 .
2．下列不等式中解集为 R 的是( )
二次函数与方程(不等式) 课件
抛物线y=ax²+bx+c与直线y=0的交点 转化 转化
一元二次方程ax²+bx+c=0的解
抛物线y=ax²+bx+c与直线y=k的交点 转化 转化
一元二次方程ax²+bx+c=k的解
抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+n的交点 转化 转化
一元二次方ax²+bx+c=kx+n
结合
数
y
(X1,0)
x
继续探究：
y
不等式ax²+bx+c＞0的解 转化
二次函数y=ax²+bx+c的
值y＞0的x的取值范围 数形结合
变式1 ：
(X1,0)
OA
y (x1,k)
Ck) D 直线y=
x
不等式ax²+bx+c＞k的解
y 直线y=kx+n
变式2 ： 不等式ax²+bx+c＞kx+n的解
(2)如图，设P是线段AB上的一个动点(不与A、B重 合)，过点P作直线PK⊥x轴交抛物线于点K， ①求线段PK长度的最大值及此时点K的坐标；
y
B(4,5)
P
A -1 o
3x
-3
y=x+1
K
y=x2-2x-3
②.当线段PK取得最大值时，抛物线上是否存在点Q(不与 点K重合)，使S△ABQ =S△ABK？若存在，请求出点Q的横坐 标；若不存在，请说明理由.
抛物线y＝ ax2 ＋bx＋c
与x轴的交
点个数
图像
y
2个
oA B x
y
1个
oA x
一元二次方程ax²+bx+c=0的解
抛物线y=ax²+bx+c与直线y=k的交点 转化 转化
一元二次方程ax²+bx+c=k的解
抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+n的交点 转化 转化
一元二次方ax²+bx+c=kx+n
结合
数
y
(X1,0)
x
继续探究：
y
不等式ax²+bx+c＞0的解 转化
二次函数y=ax²+bx+c的
值y＞0的x的取值范围 数形结合
变式1 ：
(X1,0)
OA
y (x1,k)
Ck) D 直线y=
x
不等式ax²+bx+c＞k的解
y 直线y=kx+n
变式2 ： 不等式ax²+bx+c＞kx+n的解
(2)如图，设P是线段AB上的一个动点(不与A、B重 合)，过点P作直线PK⊥x轴交抛物线于点K， ①求线段PK长度的最大值及此时点K的坐标；
y
B(4,5)
P
A -1 o
3x
-3
y=x+1
K
y=x2-2x-3
②.当线段PK取得最大值时，抛物线上是否存在点Q(不与 点K重合)，使S△ABQ =S△ABK？若存在，请求出点Q的横坐 标；若不存在，请说明理由.
抛物线y＝ ax2 ＋bx＋c
与x轴的交
点个数
图像
y
2个
oA B x
y
1个
oA x
二次函数与一元二次方程、不等式_课件
对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次 不等式或一元一.次不等式组求解，但要注意分母不 为零.
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程
一元二次函数方程和不等式课件
y>0, 即 x2－2x －3 >0
x <－1 或 x > 3 y=0，即x2－2x －3 =0 x =－1 或 x = 3
-1
3
y<0，即x2－2x －3 <0 －1< x < 3
y = x2－2x －3
变一变
一元二次方程： a x 2 + b x + c = 0 ( a > 0 ) ,
一元二次不等式：a x 2 + b x + c > 0 ( a > 0 ) ,
画一画
画出二次函数 y = x 2 - 2 x - 3 的图象.
y x
-1
3
看一看
说一说
（1）方程 x 2 - 2 x - 3 = 0 的根是
x 1 = -1, x 2 = 3 （2）不等式 x 2 - 2 x - 3 > 0 的解集是 { x | x﹤-1 或 x > 3 } （3）不等式 x 2 - 2 x - 3 < 0 的解集是 { x | -1 < x < 3} 思考： 二次方程、二次不等式、二次函数， 三者之间有什么关系？ y = x 2-2x3 y -1 3 x
x2 +bx+c<0
x
的解集是 { x | -1 < x < 3 }, 求实数 b , c 的值.
解：依题意，-1 ，3 是方程
x2 +bx+c=0
x
y = x 2+ bx + c y -1 3 x
的两根 , 所以 -1 + 3 = - b, -1×3 = c, 解得b = -2 , c = -3.
a x 2+ b x + c < 0 ( a > 0 ) , 一元二次函数： y = a x 2 + b x + c ( a > 0 ) ， 三者之间有什么关系？
《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》集体备课ppt课件
解得10≤x≤30.]
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合作探究 提素养
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分式不等式的解法 【例1】 解下列不等式： (1)xx－＋32<0； (2)2xx＋－13≤1.
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[解] (1)xx－＋32<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． (2)∵2xx＋－13≤1， ∴2xx＋－13－1≤0， ∴－2xx－＋34≤0，
y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k
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3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准 不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数 关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题．
锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于
由三角形相似得：4x0＝404－0 y，且
300m2的内接矩形花园(阴影部分)， x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，
则其边长x(单位：m)的取值范围是 整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入
________．
xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第2课时 一元二次不等式的应用
栏目导航
学习目标
核心素养
1.掌握一元二次不等式的实际应用 1.通过分式不等式的解法及不等式
(重点).
的恒成立问题的学习，培养数学运
2.理解三个“二次”之间的关系. 算素养.
3.会解一元二次不等式中的恒成立 2.借助一元二次不等式的应用培养
《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT【精品课件】
(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
《二次函数与一元二次方程、不等式 》一元 二次函 数、方 程和不 等式PP TPPT 课件完 美课件p pt优秀 课件ppt下载ppt课件课 件免费 下载pp t精品 课件
零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
3.借助一元二次函
数的图象,了解一
元二次不等式与相
等式 》一元 二次函 数、方 程和不 等式PP TPPT 课件完 美课件p pt优秀 课件ppt下载ppt课件课 件免费 下载pp t精品 课件
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当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
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①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
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零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
3.借助一元二次函
数的图象,了解一
元二次不等式与相
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当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
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