第六章微积分解析解
微积分求法
3.1.1 极限问题的解析解
• 单变量函数的极限
– 格式1： L= limit( fun, x, x0)
– 格式2： L= limit( fun, x, x0, ‘left’ 或 ‘right’)
• 例: 试求解极限问题
>> syms x a b; >> f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x); >> L=limit(f,x,inf) L= exp(a)*b
• 对原函数求4 阶导数，再对结果进行4次积分 >> y4=diff(y,4); >> y0=int(int(int(int(y4)))); >> pretty(simple(y0))
sin(x) -----------2 x + 4 x + 3
• 例:证明
>> syms a x; f=simple(int(x^3*cos(a*x)^2,x)) f = 1/16*(4*a^3*x^3*sin(2*a*x)+2*a^4 *x^4+6*a^2*x^2*cos(2*a*x)-6*a*x*sin(2*a*x)3*cos(2*a*x)-3)/a^4 >> f1=x^4/8+(x^3/(4*a)3*x/(8*a^3))*sin(2*a*x)+... (3*x^2/(8*a^2)-3/(16*a^4))*cos(2*a*x); >> simple(f-f1) % 求两个结果的差 ans = -3/16/a^4
• 多元函数的Jacobi矩阵:
–格式：J=jacobian(Y,X) 其中，X是自变量构成的向量，Y是由各个函数构成的 向量。
自考高等数学(一)第六章 多元函数微积分
第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
《微积分》教材目录
《微积分》教材目录 第一章 函数、极限与连续1.1 函数1.2 数列的极限1.3 函数的极限1.4 极限的运算法则1.5 极限存在准则、两个重要极限1.6 无穷小、无穷大及无穷小的比较1.7 函数的连续性与间断点1.8 闭区间上连续函数的性质第二章 导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 2.5 函数的微分第三章 中值定理与导数的应用3.1 中值定理3.2 洛必达法则3.3 函数单调性的判别法3.4 函数的极值及其求法3.5 最大值、最小值问题3.6 曲线的凹凸性与拐点3.7 函数图形的描绘3.8 导数与微分在经济分析中的简单应用第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分第五章 定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 微积分基本公式5.3 定积分的换元积分法与分部积分法5.4 定积分在几何学及经济学上的应用5.5 反常积分第六章 多元函数微积分6.1 空间解析几何简介6.2 多元函数的基本概念6.3 偏导数6.4 全微分6.5多元复合函数的导数6.6 隐函数的求导公式6.7 多元函数的极值6.8 二重积分第七章 无穷级数7.1 常数项级数的概念和性质7.2 常数项级数的审敛法7.3 函数项级数的概念与幂级数7.4函数展开成幂级数第八章 微分方程与差分方程初步8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶微分方程及解法8.3 一阶微分方程在经济学中的应用8.4 可降阶的高阶微分方程8.5 二阶常系数线性微分方程8.6差分方程的基本概念及常系数线性差分方程解的结构 8.7 一阶常系数线性差分方程及应用举例第九章 Matlab在微积分中的应用9.1 MATLAB的基本操作9.2 MATLAB在一元微积分中的应用9.3 MATLAB在二元微积分中的应用 9.4 MATLAB在级数中的应用附录参考答案参考文献。
微积分的基本计算方法与应用解析与归纳
微积分的基本计算方法与应用解析与归纳微积分是数学中的一个重要分支，研究函数的变化和物理问题的相关性。
它不仅是理论数学的基础，也是应用数学的重要工具。
本文将介绍微积分的基本计算方法及其在实际应用中的解析与归纳。
一、导数的计算方法导数是微积分的重要概念，表示函数在某一点处的变化率。
常用的导数计算方法有：1. 函数极限法：通过计算函数在某一点的极限来求导数。
2. 基本导数法则：包括常数规则、幂函数规则、指数函数规则、对数函数规则、三角函数规则等，可以简化导数的计算过程。
3. 链式法则：应用于复合函数的导数计算，通过链式法则可以将复杂函数的导数分解为多个简单函数的导数相乘。
4. 隐函数求导：用于求解含有隐含变量的方程的导数。
二、积分的计算方法积分是导数的逆运算，表示函数的累积变化量。
常用的积分计算方法有：1. 不定积分法：不定积分是求导的逆运算，可以还原出原始函数。
通过基本积分法则和换元法等，可以求解各种类型的不定积分。
2. 定积分法：定积分计算具体区间内的函数累积变化量，通过定积分的定义和牛顿-莱布尼茨公式可以进行计算。
3. 分部积分法：应用于乘积函数的积分计算，通过分部积分法可以将复杂函数的积分分解为两个简单函数的乘积。
4. 曲线长度与旋转体积的计算：通过定积分的方法可以计算曲线长度和旋转体积等几何问题。
三、微积分的应用解析微积分在科学、经济、工程等领域具有广泛的应用。
下面将介绍微积分在几个常见领域的应用解析：1. 物理学中的运动学问题：微积分可以应用于物体运动的速度、加速度和位移等问题的分析与求解。
2. 经济学中的优化问题：微积分可以应用于经济学中的最优化问题，如求解成本最小、收益最大等问题。
3. 工程学中的电路分析：微积分可以应用于电路中电流、电压和功率等问题的计算与分析。
4. 生物学中的生物动力学问题：微积分可以应用于生物学中的生物种群增长、食物链模型等问题的建模与研究。
四、微积分的应用归纳微积分的应用广泛且多样，可以总结为以下几个方面：1. 函数分析与优化：微积分可以用于研究函数的性质、极值问题和最优化等。
微积分下册知识点
微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =,),,(z y x b b b b = ,则),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±,),,(z y x a a a a λλλλ=；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =,其中ϕ为向量a 与u 的夹角;（二） 数量积,向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅12a a a =⋅2⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ,方向：c b a,,符合右手规则10 =⨯a a 2b a //⇔0 =⨯b azy x zy x b b b a a a kj i b a=⨯运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：),(=y x F 表示母线平行于z轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面不考1） 椭圆锥面：22222z by a x =+ 2） 椭球面：1222222=++c z b y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+czb y a x4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面马鞍面：z b y a x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b y a x 8） 双曲柱面：12222=-b y a x9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程 1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =,过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n = ,222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式点向式方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =,过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s =,222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pCn B m A ==第二章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;2、 多元函数：),(y x f z =,图形：3、 极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 4、 连续：),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→5、 偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 6、 方向导数：βαcos cos y fx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角; 7、 梯度：),(y x f z =,则j y x f i y x f y x gradf y x),(),(),(000000+=;8、 全微分：设),(y x f z =,则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂ （二） 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质有界性定理,最大最小值定理,介值定理3、 微分法 1） 定义：u x2） 复合函数求导：链式法则 z若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===,则v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 充分条件3） 隐函数求导：两边求偏导,然后解方程组 （三） 应用 1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,① 若02>-B AC ,0>A ,函数有极小值, 若02>-B AC ,0<A ,函数有极大值；② 若02<-B AC ,函数没有极值； ③ 若02=-B AC ,不定;2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+= ———Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(0y x L L y x ϕ2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M 对应参数为0t 处的切线方程为：)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：))(,,())(,,())(,,(0=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F zyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第三章 重积分（一） 二重积分一般换元法不考1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k k Df y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：6条3、 几何意义：曲顶柱体的体积;4、 计算：1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ,21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ,21()()(,)d d d (,)d dy cy Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分 1、 定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z zz y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,(-------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bayx z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,(-------------“先二后一”2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ,(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3） 球面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r rr φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（三） 应用 曲面D y x y x f zS ∈=),(,),(:的面积：y x yz x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+=第五章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分 1、 定义：1(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰2、 性质： 1[(,)(,)]d (,)d (,)d .LLLf x y x y s f x y sg x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰ 212(,)d (,)d (,)d .LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰).(21L L L +=3在L上,若),(),(y x g y x f ≤,则(,)d (,)d .LLf x y sg x y s ≤⎰⎰4l s L=⎰d l 为曲线弧 L 的长度3、 计算：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为)(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ,则(,)d [(),( ,()Lf x y s f t t t βαφψαβ=<⎰⎰（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数),(y x P ,),(y x Q 在 L 上有界,定义∑⎰=→∆=nk k k k Lx P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ,∑⎰=→∆=nk k k kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d2、 性质：用-L 表示L 的反向弧 , 则⎰⎰⋅-=⋅-LL r y x F r y x F d ),(d ),( 3、 计算： 设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ,则(,)d (,)d {[(),()]()[(),()LP x y x Q x y y P t t t Q t t βαφψφφψ'+=+⎰⎰4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：,L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,,)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=,)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=, 则d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d2、G 为一个单连通区域,函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数,则y Px Q ∂∂=∂∂ ⇔曲线积分 d d LP x Q y +⎰在G 内与路径无关 ⇔曲线积分d d 0LP x Q y +=⎰⇔ y y x Q x y x P d ),(d ),(+在G 内为某一个函数),(y x u 的全微分 （四） 对面积的曲面积分1、 定义：设∑为光滑曲面,函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数,定义 i i i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(10ζηξλ 2、 计算：———“一投二换三代入”),(:y x z z =∑,xy D y x ∈),(,则x z y x z y x z y x f S z y x f y x D yx ,(),(1)],(,,[d ),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量2、 定义：设∑为有向光滑曲面,函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数,定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理,1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰1(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰3、 性质： 121∑+∑=∑,则12d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x yP y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ∑∑∑++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2-∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则d d d d R x y R x y -∑∑=-⎰⎰⎰⎰4、 计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑,xy D y x ∈),(,),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数,),,(z y x R 在∑上连续,则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“ + ”, ∑为下侧取“ - ”. 5、 两类曲面积分之间的关系：()R Q P y x R x z Q z y P dcos cos cos d d d d d d ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβα其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角;（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成, ∑的方向取外侧, 函数,,P Q R 在Ω上有连续的一阶偏导数,则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂yx R x z Q z y P z y x z R y Q x P d d d d d d d d d或()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂S R Q P z y x z R y Q x P d cos cos cos d d d γβα（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 ∑ 的边界 Γ是分段光滑曲线, ∑ 的侧与 Γ 的正向符合右手法则,),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含∑ 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有⎰⎰⎰Γ∑++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z R y Q x P y x y P x Q x z x R z P z y z Q y R d d d d d d d d d为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂z R y Q x P RQ P zy x y x x z z y d d d d d d d d d 第六章 常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数或微分的方程称为微分方程； 未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程;未知函数是多元函数的微分方程,称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶.能使微分方程成为恒等式的函数,称为微分方程的解. 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的即不可合并而使个数减少的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解为微分方程的通解. 不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程： 对于第1种形式,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：)()(d )(d )(y g x h dxdyx x f y y g ==或2、 齐次微分方程：代入微分方程即可;3、 一阶线性微分方程型如称为一阶线性微分方程; 其对应的齐次线性微分方程的解为利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解4、 伯努利方程： 于是U 的通解为：5、 全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程 12型的微分方程),(6.4.2 )1()(-=n n y x f y 3型的微分方程),(6.4.3 y y f y '='' 8、线性微分方程解的结构 1函数组的线性无关和线性相关 2线性微分方程的性质和解的结构叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解 3刘维尔公式4二阶非齐线性微分方程解的结构特解的求解过程主要是通过常数变异法,求解联立方程的解：⎰⎰=xx f y y g d )(d )( )( )( yxx x y y ψϕ='='或者 ,)( 可将其化为可分离方程中，令在齐次方程xy u x y y =='ϕ , xu y x y u ==，则令,u dx du x dx dy +=.)()1(的方程形如c by ax f y ++=',y b a u '+=').(u f bau =-'原方程可化为)()(x q y x p y =+' d )(。
微积分的数学模型解析
微积分的数学模型解析微积分，是数学的一个分支，它是构建现代科学的基础之一。
微积分是研究自然界各种现象的基础，几乎所有科学的研究都需要用到微积分的方法。
微积分的核心是求解导数和积分，通过导数和积分的作用，可以建立不同的数学模型，此时微积分就将不同的问题转化为数学问题，使问题的求解变得简单明了。
微积分的数学模型解析，虽然是微积分的一个难点，但是却是非常重要的。
在现实生活中，经常会遇到各种需要建立数学模型的问题，如经济、发展、生物、环境等，这些问题都需要微积分的数学模型进行分析和解决。
下面，就来详细探讨微积分的数学模型解析。
一、导数的数学模型解析导数是微积分中的一个重要概念，具有解决许多问题的力量。
导数包含了物理学、工程学、生物学、经济学等众多学科中的各种数学模型。
导数可以体现一个量随着另一个量的改变所带来的变化率。
导数的推导过程中涉及到极限，而极限则是微积分的核心概念之一。
在数学模型解析过程中，常常需要建立函数的导数模型。
假设函数f(x)表示某一变量随着另一变量的变化而发生变化的规律，那么f(x)的导数f'(x)就是一个新的变量随着原变量x的改变而发生变化的规律。
这里需要注意的是，导数f'(x)并不是函数的直接表示，而是函数变化的速度，也就是函数斜率的大小。
导数的数学模型解析，有助于解决许多现实生活中的问题。
例如，对于销售某种商品的商家，可以通过建立该商品的销售量与时间的导数模型，来分析该商品在不同时间下销售情况的变化趋势，并为制定销售策略提供支持。
二、积分的数学模型解析积分是微积分中的另一个核心概念，也有着非常重要的应用价值。
积分可以将一个函数曲线下的面积求出，因此，在物理学、化学、统计学、经济学等学科领域中，经常会用到积分的方法。
在数学模型解析过程中，建立函数的积分模型需要注意一些要点。
首先，需要选择合适的积分方法，例如，定积分、不定积分、面积积分等。
其次，需要确定积分区间，即对函数需要积分的范围进行明确。
专题二 微积分问题专题(解析解及级数展开求和)
解 由题意知，前 5 年的总产量为
Q( t )
5 0
3 2 ( 70 t 1 0 t dt ) 10
clear syms t Q Q=int(70+10*t-3/10*t^2,t,0,5)
例 已知某产品的边际成本和边际收入分别为
C ( x ) x 2 4 x 6, R( x ) 105 2 x
– 格式2： L= limit( fun, x, x0, ‘left’ 或 ‘right’)
• 例: 求极限
• >> syms x a b; >> f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x); >> L=limit(f,x,inf)
• 例:求极限
>> syms x; >> limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
>> m=1:10000000; s1=sum(1./((3*m-2).*(3*m+1)));%数值计算方法 >> format long; s1
例:求
>> syms m n; limit(symsum(1/m,m,1,n)log(n),n,inf)
>> vpa(ans, 70) % 显示 70 位有效数字
例：求
x sin x I1 dx 1 cos x 1 cos x
和
cos x x2 I2 2x ln 2 x
并画出 I1 x sin x dx 的积分曲线族
syms x C fx=(x+sin(x))/(1+cos(x)); I1=int(fx,x)+C ezplot(fx,[-2,2]) hf=ezplot(fx,[-2,2]); xx=linspace(-2,2); plot(xx,subs(fx,xx),'k','LineWidth',2) hold on for c=0:6 y=inline(subs(I1,C,c)); plot(xx,y(xx),'LineStyle','--'); end legend('函数曲线','积分曲线族',8)
高中数学的解析解析微积分的概念与运算规则
高中数学的解析解析微积分的概念与运算规则高中数学的解析：微积分的概念与运算规则微积分是数学的重要分支，对于高中学生来说，理解微积分的概念与运算规则是非常基础且关键的。
本文将介绍微积分的基本概念，包括导数和积分，并探讨其在实际问题中的应用。
一、导数的概念与运算规则导数是微积分的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
在高中数学中，我们通常用极限来定义导数。
设函数y=f(x)，点A(x₁,y₁)和点B(x₂,y₂)在函数图象上，若点B沿着函数图象无限接近点A时，线段AB的斜率的极限存在，那么我们称此极限为函数f(x)在点A的导数，记作f'(x)。
导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率或者斜率。
在求导的过程中，有一些常用的运算规则，如常数因子法则、和差法则、乘法法则、除法法则和复合函数法则等。
利用这些运算规则，我们可以针对不同的函数求导。
二、积分的概念与运算规则积分是导数的逆运算，它描述了函数所围成的曲边梯形的面积。
同样是用极限的概念来定义，设函数y=f(x)，在区间[a,b]上划分出许多矩形，这些矩形的宽度趋向于0，如果当矩形的个数趋向于无穷大时，这些矩形的面积和存在极限，那么我们称该极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
定积分可以看作是函数图像下面的面积。
在积分的运算规则中，有基本的积分公式，如幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分等，同时也有一些积分的性质和运算规则，如定积分的线性性、换元积分法、分部积分法等。
通过应用这些积分的运算规则，我们可以从已知的函数中求得其积分。
三、微积分在实际问题中的应用微积分作为一种强大工具，在实际问题中有着广泛的应用。
我们可以通过微积分来解决变化率、面积、体积、曲线长度等实际问题。
1. 变化率与函数图像：通过导数可以计算函数在某一点上的变化率，即斜率。
这在物理学中有着广泛的应用，如速度、加速度等。
2. 曲线下面积：通过定积分可以计算曲线下的面积，这在概率统计中有着重要的应用，如概率密度函数的计算。
第六章微积分的创立(下】)
在这篇积分学论文中，莱布尼茨给出了摆线方程为 :
y = 2x − x + ∫
2
dx 2x − x
2
,
目的是要说明他的方法和符号，可以将一些被其他 方法排斥的超越曲线表为方程．而正是在这篇论文 中，积分号第一次出现于印刷出版物上 .他所创设 的微积分符号，远远优于 牛顿 的符号，这对微积 分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分 通 用符号 就是当时莱布尼茨精心选用的
莱布尼茨首先着眼于求和，并从简单的情形 y=x开始．因为x表示相邻两项的次序，莱布 尼茨取序数差为1，设L为两相邻项的实际差. 莱布尼茨用拉丁文omnia的缩写omn．表示和， 则有：omn. =L=y.
在y=x的条件下，如图所示，对于无限小的x 1 来说，ly（矩形的面积）的和等于 2 y（三角形 的面积）．莱布尼茨在这里认为：“从0起增 长的直线，每一个用与它相应的增长的元素 相乘，组成一个三角形”．所以可以写出： omn. yl = 1 y 2
牛顿与莱布尼茨之争无损于莱布尼茨的名声， 对英国的科学事业却是一场灾难。虽然说 科学没有国界，但是科学家有祖国” “科学没有国界，但是科学家有祖国”（巴 斯德语），但是让民族主义干扰了科学研究， 就很容易变成了科学也有国界，被排斥于国 际科学界之外，反而妨碍了本国的科学发展。
中西文化交流之倡导者
莱布尼茨对中国的 科学 、 文化 和 哲学思想 十分关注，他是最早研究 中国文化 和 中国 哲学 的德国人。他向 耶稣会 来华传教士 格 里马尔迪 了解到了许多有关中国的情况，包 括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地 理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册 出版。他还曾经通过传教士，建议 中国 清朝 的康熙皇帝在 北京 建立科学院。
微积分法求解一元三次方程
微积分法求解一元三次方程一、导引在数学中，一元三次方程是指只含有一个未知数并且其最高次项是三次幂的方程。
本文将使用微积分法介绍如何求解一元三次方程。
二、背景知识在开始解答一元三次方程之前，我们需要掌握一些背景知识。
1. 零点：方程f(x)=0的解称为方程的零点。
2. 导数：函数f(x)在某点x处的导数，可以表示为f'(x)，它表示了函数在该点处的变化率。
3. 小于等于原则：如果两个数相等，那么它们的平方也相等。
三、微积分法求解一元三次方程下面将结合具体的例子来详细介绍如何使用微积分法求解一元三次方程。
例子：求解方程x^3 - 4x^2 + 3x - 12 = 0的解。
步骤1：求解导函数将方程f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x - 12 = 0对x求导，得到f'(x) = 3x^2 - 8x + 3。
步骤2：寻找可能的零点我们观察f'(x)的图像，寻找可能的零点。
通过描点或利用计算机绘图软件，我们可以发现f'(x)在x=1和x=3附近有两个零点。
步骤3：验证零点是否满足条件对于每一个零点，我们将其代入原方程f(x) = 0，即将x=1和x=3代入方程。
计算结果表明，x=1满足方程，而x=3不满足方程。
步骤4：将满足方程条件的零点代回原方程根据步骤3的结果，零点x=1满足方程。
将x=1代回原方程f(x) =x^3 - 4x^2 + 3x - 12 = 0中，我们得到1^3 - 4(1)^2 + 3(1) - 12 = 0。
计算结果表明，等式成立。
步骤5：应用小于等于原则找出其他根根据小于等于原则，我们可以将刚刚找到的根除去，并进行二次求根。
通过这个过程，我们可以得到另外两个根为-2和4。
综上所述，方程x^3 - 4x^2 + 3x - 12 = 0的解为x = 1，x = -2，x = 4。
四、总结本文通过介绍微积分法求解一元三次方程的步骤，并通过一个具体的例子进行了说明。
微积分内容总结
《微积分》考试大纲第一章：函数与Mathematica入门1.1 集合掌握集合运算，理解邻域的概念。
1.2 函数理解函数的概念,掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。
理解复合函数和反函数的概念。
熟悉基本初等函数的性质及其图形。
1.3 经济学中常用的函数掌握常用的经济函数,会建立简单的经济问题的函数关系式。
第二章：极限与连续2.1 极限了解数列极限及函数极限的概念和性质，掌握极限的四则运算法则,会用变量代换求简单复合函数的极限，了解极限存在的两个准则(夹逼准则和单调有界准则)，连续性掌握两个重要极限,并会用它们求相关的极限。
2.2 函数的连续性理解函数的连续性的概念，了解函数间断点的概念，会判断函数的连续性及间断点的类型。
了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理和有界性理、零点定理和介值定理)。
2.3 无穷小的比较了解无穷大量和无穷小量的有关概念及性质，了解无穷小量的比较方法，会用等价无穷小求极限。
第三章：导数与微分3.1 导数的概念理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。
3.2 求导法则和基本初等函数导数公式掌握基本初等函数的求导公式，掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则，了解反函数的求导法则，会求隐函数的导数。
了解高阶导数的概念,掌握初等函数的一阶,二阶导数的求法,了解几个常见的函数( )的n阶导数的一般表达式。
3.3 微分的概念理解微分的概念,理解函数的可微性,可导性及连续性的关系,了解微分四则运算法和一阶微分的形式不变性。
第四章：中值定理及导数应用4.1 中值定理了解罗尔(Rolle)中值定理,拉格朗日(Lagrange) 中值定理及柯西(Cauchy)中值定理。
4.2 导数的应用会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限，理解函数的极值的概念,掌握利用导数判断函数的单调性和求极值的方法。
4.3 泰勒公式了解泰勒(Taylor)定理及用多项式逼近函数的思想。
实验09数值微积分与方程数值解(第6章)
实验09数值微积分与方程数值解（第6章）《数学软件》课内实验王平（第6章MATLAB数值计算）一、实验目的1.掌握求数值导数和数值积分的方法。
2.掌握代数方程数值求解的方法。
3.掌握常微分方程数值求解的方法。
二、实验内容1.求函数在指定点的数值导数某f(某)1程序及运行结果：某2某36某2某3某2,某1,2,3 022.用数值方法求定积分(1)I120cot24in(2t)21dt的近似值。
程序及运行结果：(2)I220ln(1某)d某1某2程序及运行结果：3.分别用3种不同的数值方法解线性方程组6某5y2z5u49某y4zu133某4y2z2u13某9y2u11程序及运行结果：4.求非齐次线性方程组的通解2某17某23某3某463某15某22某32某449某4某某7某22341程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_olution）：5.求代数方程的数值解(1)3某+in某-e某=0在某0=1.5附近的根。
程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_olution）：(2)在给定的初值某0=1，y0=1，z0=1下，求方程组的数值解。
in某y2lnz70y33某2z10某yz50程序及运行结果：26.求函数在指定区间的极值某3co某某log某(1)f(某)在(0,1)内的最小值。
e某程序及运行结果：332(2)f(某1,某2)2某1在[0,0]附近的最小值点和最小值。
4某1某210某1某2某2程序及运行结果：7.求微分方程的数值解，并绘制解的曲线某d2ydy5y0d某2d某y(0)0y'(0)0程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：令y2=y,y1=y'，将二阶方程转化为一阶方程组：1'5yy1某1某y2'y2y1y(0)0,y(0)0218.求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线y'1y2y3y'yy213y'0.51yy123y1(0)0,y2(0)1,y3(0)1程序及运行结果：3三、实验提示四、教程：第6章MATLAB数值计算（2/2）6.2数值微积分p1556.2.1数值微分1.数值差分与差商对任意函数f(某)，假设h>0。
微积分中的微分方程与解析解
微积分是数学的一个重要分支，研究物体变化过程中的趋势和规律。
微分方程作为微积分的一个重要应用领域，是研究变化过程中的数学模型和解析解的一种方法。
微分方程是用数学语言描述变化过程的方程，其中包含未知函数及其导数。
微分方程的解是能满足方程的函数，可以通过解微分方程来预测和描述变化过程的行为。
微分方程的解可以分为两种类型：解析解和数值解。
解析解是通过代数运算和求导积分的方法求得的，它是一个具有数学形式的函数表达式。
而数值解是使用计算机和数值方法来逼近微分方程的解，得到一些近似结果。
解析解在微积分中具有重要的意义。
它可以给出变化过程的具体表达式，使人们能够更好地理解和研究问题。
解析解还能够直接用于计算和模拟过程，有助于设计控制系统和预测变化的趋势。
此外，解析解所具有的数学形式也可以帮助人们发现问题的一些性质和规律。
然而，并非所有的微分方程都能够得到解析解。
有些微分方程在数学上是难以求解的，甚至无解。
这时，数值解就成为了一个重要的工具。
数值解可以通过数值方法和计算机来求解微分方程，它通过对微分方程进行近似计算得到结果。
尽管数值解不能给出精确的解，但它可以提供一个很好的近似结果，使得人们能够对变化过程有一个大致的了解。
微分方程与解析解在许多学科中都有广泛的应用。
在物理学中，微分方程可以描述物体的运动和变化过程；在工程学中，微分方程可以用于模拟和优化控制系统；在经济学中，微分方程可以分析经济变化的趋势和规律。
微分方程与解析解的研究不仅可以增进我们对变化过程的认识，还能够为实际问题提供解决方案和预测模型。
总之，微积分中的微分方程与解析解是研究物体变化过程的一种重要方法。
解析解能够给出变化过程的具体表达式，使人们能够更好地理解和研究问题；而数值解则通过数值方法和计算机来求解微分方程，提供一个近似结果。
微分方程与解析解在许多学科中都有广泛的应用，为问题的解决和预测提供了重要的数学工具。
微积分中的微分方程与解析解的研究为我们揭示了变化过程的规律和趋势，有助于我们对世界的认知和理解。
高中数学的解析微积分的性质与应用
高中数学的解析微积分的性质与应用解析微积分是高中数学课程中的一门重要内容，它涉及到微分与积分的性质与应用。
了解解析微积分的性质和应用，有助于我们理解数学中的一些重要概念和原理，同时也有助于我们在实际问题中灵活应用微积分的知识。
本文将在以下几个方面对解析微积分的性质和应用进行论述。
一、微分的性质与应用1. 导数的定义与性质在解析微积分中，导数是一个重要的概念。
导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数曲线上某一点处的切线斜率。
导数的定义是：\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\]其中，\(f'(x)\)表示函数\(f(x)\)在点\(x\)处的导数。
导数具有一些性质，如可导函数的导数必然存在，导数具有线性性等。
这些性质对于解析微积分的应用非常重要。
2. 微分的应用微分在数学和物理中有许多应用。
在数学中，微分可以用来研究函数的变化趋势、求解极值等问题；在物理中，微分可以用来描述物体的运动、描述变化率等。
例如，我们可以通过求解导数来确定函数的极值点。
在函数的极值点处，导数为零或者不存在。
这种方法可以应用于求解最优化问题。
3. 泰勒级数展开泰勒级数展开是一种重要的数学工具，它可以将函数表示为一系列无穷求和的形式。
泰勒级数展开可用于函数逼近、解析计算以及高精度近似等问题。
泰勒级数展开的公式如下：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2 + \cdots +\frac{1}{n!}f^n(a)(x-a)^n + \cdots \]其中，\(f^{(n)}(a)\)表示函数\(f(x)\)在点\(a\)处的\(n\)阶导数。
二、积分的性质与应用1. 定积分的定义与性质定积分是解析微积分中的另一个重要概念。
微积分的累加效应及其解析解求解
微积分的累加效应及其解析解求解微积分，作为数学中的基础学科之一，是现代物理学、化学、经济学等领域的重要基础。
微积分的主要内容包括积分和微分。
积分是微积分学中的一个重要概念，它描述了函数的累加效应。
在物理中，积分可描述物体在经过某段时间内的运动状态；在经济学中，积分可描述某企业在某一时间内的市场情况。
因此，积分在各个领域都具有重要的应用价值。
在微积分中，一阶导数和二阶导数是两个重要的概念。
一阶导数表示函数在某一点上的切线斜率，二阶导数表示函数曲线上某一点处的曲率。
这两个概念是微积分的核心，它们描述了函数的变化趋势和变化速度。
函数的导数所描述的是函数的瞬时变化率。
在实际应用中，我们往往需要对某一变量进行累加求和，以达到对整个过程的描述。
这就需要用到积分。
积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数的累加效应。
最简单的积分形式是定积分，它表示函数在某一区间内的总和。
定积分的概念通过曲线下面积的概念进行定义。
曲线下面积，即曲线与x轴所夹面积，可以被连续划分为无数个小矩形，每个小矩形的面积可以被精确地计算出来。
通过对所有小矩形面积的累加，最终得到曲线下面积的值。
定积分是微积分中的一个核心内容，它是众多积分的基石。
与定积分相对应的是不定积分，不定积分表示对函数的求导过程的逆过程。
不定积分可以被理解为积分的原函数，即对于一个函数f(x)，存在一个函数F(x)，使得F(x)的导数为f(x)。
积分的求解过程往往需要使用到数值积分和解析积分两种方法。
数值积分是通过数值计算的方法对积分进行近似计算，它的精度和计算复杂度与所选方法密切相关。
解析积分则是通过代数运算和函数的性质来求解积分，解析积分求解的结果通常更加简洁。
在实际应用中，我们需要根据不同的情况选取不同的方法进行计算。
微积分在实际应用中具有重要的作用。
例如，在经济学中，我们经常对某一经济指标的变化趋势进行分析，这就需要通过对时间对指标的积分来确定经济的发展趋势；在物理学中，我们需要对物体的位移、速度、加速度等变量进行分析，而这些变量的计算往往需要通过微积分来进行。
《高等数学》 第六章 二元函数微积分及其应用3—4节 课堂笔记及练习题2
高等数学 第六章 二元函数微积分及其应用3—4节 课堂笔记及练习题主 题：第六章 二元函数微积分及其应用3—4节 学习时间：2016年1月4日—1月10日内 容：这周我们将学习第七章多元函数的积分，第五节二重积分。
在一元函数积分学中我们已经知道，定积分是某种特定形式的和的极限，把这种和的极限的概念推广到定义在某个区域或某段曲线上的多元函数的情形，便得到二重积分的概念。
其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、了解二重积分的概念、性质及几何意义。
2、掌握二重积分的计算方法—直角坐标和极坐标，会利用二重积分计算简单的平面图形的面积。
基本概念：二重积分的概念、性质及几何意义 知识点：二重积分的计算方法知识结构图一、二重积分的概念和性质定义：设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数。
将闭区域D 任意分成n 个小闭区域k σσσ∆∆∆,,,21 。
其中k σ∆表示第k 个小区域,也表示它的面积。
在每个k σ∆上任取一点),(i i ηξ，作和k i i ni f σηξ∆=∑),(1。
如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在,则称此极限为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分,记作σd y x f D⎰⎰),(,即k i i ni Df d y x f σηξσλ∆==→∑⎰⎰),(lim ),(10。
),(y x f 为被积函数，σd y x f ),(为被积表达式，σd 为面积元素，y x ,为积分变量，D 为积分区域，积分和。
（请了解此概念）直角坐标系中的面积元素：如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D ，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。
设矩形闭区域i σ∆的边长为i x ∆和i y ∆，则i i i y x ∆∆=∆σ，因此在直角坐标系中,有时也把面积元素σd 记作dxdy ，而把二重积分记作dxdy y x f D⎰⎰),(。
数值分析-第六章-数值积分
k 0
而对应的误差为
b
b f (n1) ( )
I In
(
a
f
(
x)
Ln
(
x))dx
a (n 1)! wn1(x)dx
Newton-Cotes公式
当节点为等距节点时，对应的插值型求积公式称为 Newton-Cotes 公式。
梯形公式：最简单的 Newton-Cotes 公式
a
2
梯形公式的误差
梯形公式的误差为：
b f ( )
E I T a 2 (x a)(x b)dx
注意到对任意的 x [a,b] ，有 (x a)(x b) 0，根据积分中值定理，
若 f "(x) C[a,b] ，有
E f ()
b
(x a)(x b)dx
第六章 数值积分
数值积分的基本概念 数值积分的基本思想 代数精度 插值型求积公式
Newton-Cotes 求积公式 梯形公式、辛普森公式、一般的 Newton-Cotes 公式 复化积分公式：复化梯形公式、复化辛普森公式 区间逐次分半法
Romberg（龙贝格）积分
高斯型求积公式
数值积分的基本概念
微积分中定积分的定义为：b Nhomakorabean
a
f
(x
)dx
lim
n m a xxk
k01
xk
f
k( ，)
n
b
n
可用 xk f (xk ) 作为原积分的近似： a f (x)dx xk f (xk ) 。
k 1
k 1
进一步推广得到更一般的公式：
《定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义强调定积分的重要性1.2 定积分的性质演示定积分的几何意义证明定积分的可加性1.3 定积分的计算方法介绍牛顿-莱布尼茨公式演示定积分的计算步骤第二章：定积分的应用2.1 定积分在几何中的应用求解平面区域的面积求解曲线的弧长2.2 定积分在物理中的应用解释定积分在物理学中的意义求解物体的体积2.3 定积分在概率中的应用引入概率密度函数的概念求解概率问题第三章：微积分基本定理3.1 微积分基本定理的定义解释微积分基本定理的含义强调微积分基本定理的重要性3.2 微积分基本定理的证明介绍牛顿-莱布尼茨公式的证明过程解释微积分基本定理的证明方法3.3 微积分基本定理的应用演示微积分基本定理在实际问题中的应用求解实际问题中的定积分第四章：定积分的近似计算4.1 定积分的数值计算方法引入数值计算方法的概念介绍数值计算方法的原理4.2 定积分的数值计算实例演示定积分的数值计算过程分析数值计算的精度4.3 定积分的蒙特卡洛方法介绍蒙特卡洛方法的概念演示蒙特卡洛方法在定积分计算中的应用第五章：定积分的优化问题5.1 定积分的最值问题引入定积分最值问题的概念解释定积分最值问题的意义5.2 定积分的极值点问题介绍极值点的概念求解定积分的极值点5.3 定积分的优化应用演示定积分在实际问题中的应用求解实际问题中的定积分优化问题第六章：定积分的变限函数6.1 变限函数的概念解释变限函数的定义强调变限函数在定积分中的作用6.2 变限函数的极限介绍变限函数极限的概念证明变限函数极限的性质6.3 变限函数的定积分演示变限函数定积分的计算方法分析变限函数定积分的结果第七章：定积分的换元法7.1 换元法的概念解释换元法的定义强调换元法在定积分计算中的重要性7.2 换元法的步骤介绍换元法的计算步骤演示换元法在定积分计算中的应用7.3 换元法的注意事项分析换元法的适用条件讨论换元法可能遇到的问题第八章：定积分的分部积分法8.1 分部积分的概念解释分部积分法的定义强调分部积分法在定积分计算中的作用8.2 分部积分的步骤介绍分部积分的计算步骤演示分部积分法在定积分计算中的应用8.3 分部积分的推广介绍分部积分的推广形式讨论分部积分的扩展应用第九章：定积分的瑕点处理9.1 瑕点的概念解释瑕点的定义强调瑕点在定积分计算中的重要性9.2 瑕点的处理方法介绍瑕点的处理方法演示瑕点处理在定积分计算中的应用9.3 瑕点问题的进一步讨论分析瑕点问题的复杂性讨论瑕点问题的解决策略第十章：定积分的实际应用案例分析10.1 定积分在经济学中的应用引入经济学中的优化问题演示定积分在经济学中的应用10.2 定积分在生物学中的应用介绍生物学中的种群动力学问题求解生物学中的定积分问题10.3 定积分在工程学中的应用解释工程学中的质心问题应用定积分求解工程学问题第十一章：定积分的进一步拓展11.1 多元函数的定积分引入多元函数定积分概念解释多元函数定积分的计算方法11.2 定积分在多变量函数中的应用演示多元函数定积分在几何和物理问题中的应用求解多变量函数的定积分问题11.3 定积分的向量分析介绍向量分析与定积分的关系应用向量分析解决定积分问题第十二章：定积分的数值方法12.1 数值方法概述解释数值方法的定义和作用强调数值方法在定积分计算中的应用12.2 数值方法的原理与步骤介绍数值方法的原理和计算步骤演示数值方法在定积分计算中的应用12.3 常用数值方法分析讨论龙格-库塔和其他数值方法的优缺点分析不同数值方法在定积分计算中的应用场景第十三章：定积分的优化问题13.1 优化问题的定义与分类引入优化问题的概念解释优化问题的分类和特点13.2 定积分与优化问题的关系强调定积分在优化问题中的作用演示定积分在优化问题中的应用13.3 定积分优化问题的求解方法介绍常见的优化方法应用定积分求解优化问题第十四章：定积分在概率论中的应用14.1 概率论与定积分的关系解释概率论中定积分的作用强调定积分在概率论中的重要性14.2 定积分在概率密度函数中的应用引入概率密度函数的概念演示定积分在概率密度函数计算中的应用14.3 定积分在概率问题求解中的应用讨论定积分在概率问题求解中的方法求解概率问题中的定积分第十五章：定积分在现代科学技术中的应用15.1 定积分在物理学中的应用介绍定积分在物理学中的作用演示定积分在物理学问题中的应用15.2 定积分在化学中的应用解释定积分在化学问题中的重要性求解化学问题中的定积分15.3 定积分在其他学科中的应用分析定积分在其他学科领域的作用探讨定积分在不同学科中的应用前景重点和难点解析重点：1. 定积分的概念与性质：理解定积分的定义、几何意义以及其可加性等基本性质。
《定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义强调定积分表示的是平面区域内曲线与x轴之间区域的面积1.2 定积分的性质介绍定积分的性质，如可加性、保号性等通过图形演示定积分的性质1.3 定积分的计算介绍定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式演示如何计算常见函数的定积分第二章：微积分基本定理2.1 微积分基本定理的引入解释微积分基本定理的概念强调微积分基本定理是定积分与原函数的关系2.2 微积分基本定理的证明讲解微积分基本定理的证明过程强调证明中重要的极限概念2.3 微积分基本定理的应用介绍如何利用微积分基本定理求解定积分演示如何应用微积分基本定理解决实际问题第三章：定积分的换元法3.1 换元法的引入解释换元法的概念和作用强调换元法可以简化定积分的计算3.2 换元法的步骤介绍换元法的具体步骤通过例子演示换元法的应用3.3 换元法的常见类型介绍常见的换元法类型，如代数换元、三角换元等强调不同类型换元法的适用场景第四章：定积分的分部积分法4.1 分部积分的引入解释分部积分法的概念和作用强调分部积分法可以简化定积分的计算4.2 分部积分的步骤介绍分部积分的具体步骤通过例子演示分部积分的应用4.3 分部积分的常见类型介绍常见的分部积分类型，如基本分部积分、进位分部积分等强调不同类型分部积分的适用场景第五章：定积分的应用5.1 定积分在几何中的应用介绍定积分在几何中的应用，如计算曲线围成的面积强调定积分在几何中的重要性5.2 定积分在物理中的应用介绍定积分在物理中的应用，如计算物体的体积强调定积分在物理中的实际意义5.3 定积分在其他领域的应用介绍定积分在其他领域的应用，如经济学、生物学等强调定积分在不同领域中的广泛应用第六章：定积分的极限条件6.1 引入定积分的极限条件解释定积分的极限条件概念强调定积分的极限条件对于定积分计算的重要性6.2 定积分的收敛性讲解定积分的收敛性及其判断方法强调定积分的收敛性与发散性的区别6.3 定积分的绝对收敛与条件收敛介绍定积分的绝对收敛与条件收敛的概念强调判断定积分的绝对收敛与条件收敛的方法第七章：定积分的数值计算7.1 引入定积分的数值计算解释定积分的数值计算概念及意义强调定积分的数值计算在实际应用中的重要性7.2 梯形公式与辛普森公式介绍梯形公式与辛普森公式的概念及应用强调两种公式的优缺点及其适用场景7.3 数值计算方法的改进讲解数值计算方法的改进途径，如自适应细分法强调改进方法在提高计算精度方面的作用第八章：定积分在实际问题中的应用8.1 定积分在物理学中的应用介绍定积分在物理学中的应用，如求解物体的速度、位移等问题强调定积分在物理学中的实际意义8.2 定积分在经济学中的应用介绍定积分在经济学中的应用，如计算最大收益、最优化问题等强调定积分在经济学中的重要作用8.3 定积分在其他领域中的应用介绍定积分在生物学、环境科学等领域的应用强调定积分在不同领域中的广泛应用价值第九章：定积分的进一步拓展9.1 双重定积分引入双重定积分概念强调双重定积分表示的是空间区域内曲面与坐标平面之间区域的体积9.2 双重定积分的计算介绍双重定积分的计算方法，如双重牛顿-莱布尼茨公式演示如何计算常见函数的双重定积分9.3 三重定积分与多重定积分介绍三重定积分与多重定积分的概念及计算方法强调多重定积分在更高维度问题中的应用回顾本章所学内容，强调定积分与微积分基本定理的关键点提醒学生注意定积分在实际问题中的应用10.2 定积分的拓展学习推荐学生进一步学习的内容，如数值计算方法、多重积分等强调定积分在数学及其它领域中的广泛应用，激发学生的学习兴趣重点和难点解析重点环节1：定积分的性质解析：定积分的性质是理解定积分概念的基础，包括定积分的可加性、保号性等。
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【例6-3】求出二元函数极限值
6.1.2 函数导数的解析解
6.1.2.1 函数的导数和高阶导数
【例6-4】
f4=diff(f,x,4)
6.1.2.2 多元函数的偏导
【例6-5】
【例6-6】
6.1.2.3 隐函数的偏导数
【例6-7】
6.1.2.5 参数方程的导数
• 已知参数方程 ，求
【例6-20】试求解无穷级数的和
【例6-21】了两个建立符号对象的函数： sym和syms sym用来建立单个符号量 sym x； syms用来一次定义多个符号变量 syms x y；
6.1.1 极限问题的解析解
6.1.1.1单变量函数的极限
【例6-1】试求解极限问题
【例6-2】求解单边极限问题
6.1.1.2 多变量函数的极限
【例6-12】
【例6-13】
6.1.3.3多重积分问题的MATLAB求解
【例6-14】
【例6-15】
6.2 函数的级数展开与 级数求和问题求解
• 6.2.1 Taylor 幂级数展开 • 6.2.2 Fourier 级数展开 • 6.2.3 级数求和的计算
6.2.1 Taylor 幂级数展开
6.2.1.1 单变量函数的 Taylor 幂级数展开
【例6-16】
【例6-17】试对正弦函数y=sin(x)进行Taylor幂级数展 开，观察不同阶次下的近似效果。
6.2.2 Fourier 级数展开
【例6-17】
【例6-18】
6.2.3 级数求和的计算
【例6-19】计算
数值计算方法
主要内容
• 微积分问题的解析解 • 函数的级数展开与级数求和问题求解
6.1 微积分问题的解析解
• 6.1.1 极限问题的解析解 • 6.1.2 函数导数的解析解 • 6.1.3 积分问题的解析解
• 应用MATLAB语言的符号运算工具箱，可以很容 易求解极限问题、微分问题、积分问题等微积分基 本问题的计算机辅助求解方法及应用。
【例6-8】
6.1.3 积分问题的解析解
6.1.3.1 不定积分的推导
【例6-9】 用diff() 函数求其一阶导数，再积分， 检验是否可以得出一致的结果。
对原函数求4 阶导数，再对结果进行4 次积分
【例6-10】证明
【例6-11】两个不可积问题
的积分问题求解。
6.1.3.2 定积分与无穷积分计算