分数指数幂教案
高一数学上 第二章 函数分数指数幂优秀教案
城东蜊市阳光实验学校分数指数幂 教学目的1.分数指数幂的概念2.有理指数幂的运算性质教学重点1．分数指数幂的概念2．有理指数幂的运算法那么教学难点对分数指数幂概念的理解教学方法发现法教具准备十张幻灯片教学过程教学过程一、复习二、分数指数幂1．导入)0()0()0(4824831243125102510>==>==>==a a a a a a a a a a a a⇒231254(0)(0)(0)a a b b c c =>=>=> 事实上，kn n k a a =)(假设设a>0,*),1(N n n nm k ∈>=，那么m n n m n k a a a ==)()( 由n 次根式定义,n a a m n m的是次方根，即：n m n ma a =2．正分数指数幂的意义 规定：)1*,,0(1>∈>=-n N n m a a a n mn m且0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
3．整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂注：1．分数指数幂是根式的另一种表示形式2．根式与分数指数幂可以进展6互化3．根式之间的运算可借助分数指数幂运算性质进展三、例题讲解练习1x 取何值时以下各式有意义？解：(1)10,1x x -≥∴≤(2)10,1x x -≠∴≠例1．求值 解：323(2)(3)61(1)()(2)22644----⨯-==== 例2．化简0a >解：313224()a a ====例3．化简求值11223x x -+=，求3322123x x x x --++++的值。
解：111222()27x x x x --+=+-=练习2：1．化简答案：4(1)a 2233(2)2x y ---2．30,3,na a >=求33n nn n a a a a --++的值 答案：73四、小结1．)1n ,,0(>∈>=+，N n m a a a n m n m2．分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进展6互化根式之间的运算可借助分数指数幂运算性质进展3．化简：将根式化为分数指数幂；立方和、立方差、平方和、平方差公式的灵敏运用。
分数指数幂教学案例二
分数指数幂教学案例二。
一、教学目标
1.学生能够理解分数幂的定义和基本性质。
2.学生能够应用分数幂的知识解决实际问题。
3.学生能够设计并解决与分数幂相关的问题。
二、教学内容
分数幂的概念、定义和基本性质。
三、教学过程及活动设计
1.活动一：引入知识点
通过展示实际问题引入分数幂的概念，例如物理学中所涉及的功率和液体中的密度。
2.活动二：呈现知识点
用课件或黑板呈现分数幂的定义和基本性质，包括“a的m/n次方根等于a的m次方的n次方根”。
3.活动三：示范应用
通过实际的例子，呈现分数幂的应用方法，例如计算火箭的推力和水平抛射的距离。
4.活动四：小组合作
让学生分成几个小组，设计相关问题并解决这些问题。
例如，一组学生可以设计一道问题：“如果一个物体的密度为1.5克/立方厘米，物体的质量是多少？”其他学生可以使用分数幂的知识点来解决这个问题。
5.活动五：辅助工具
在教学过程中，可以使用一些辅助工具来帮助学生更好地理解分数幂的知识点，例如计算器和图形化的展示方式。
四、教学效果及评价
通过这些活动，学生能够更好地理解分数幂的定义和应用方法，同时也能够设计和解决相关问题。
此外，这种图形化和实例化的教学方法有利于帮助学生更好地记忆和理解知识点。
五、教学总结
分数幂是数学中比较复杂的一种知识点，初学者很难理解其基本概念和应用。
本教学案例以图形化、实例化的方式来帮助初学者更好
地掌握分数幂的知识点。
通过本教学案例，学生能够更好地理解分数幂的定义和应用方法，同时也能够设计和解决相关问题。
必修一第二章教案2分数指数幂
课题：分数指数幂
授课时间：
教学目标
知识与技能
理解分数指数幂的概念。
过程与方法
让学生感受由特殊到一般的数学思想方法，通过一般化促进学生在原有的基础上的自足构建，从而增强学生对数学本质的认识。
情感，态度与价值观
让学生感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感。
重点难点
重点：利用正分数有理指数幂的运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式。
难点：正分数有理指数幂的运算性质。
教法学法：探讨研究
教学用具：多媒体。
分数指数幂市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
分数、指数和幂是数学中非常重要的概念。
掌握这些概念对于学生在数学学习中是至关重要的。
本教案将介绍如何教授分数、指数和幂的概念以及相关的计算方法。
一、教学目标通过本节课的教学，学生应能够：1. 了解分数、指数和幂的概念；2. 掌握分数的四则运算规则；3. 掌握指数和幂的基本性质和计算方法；4. 能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学准备1. 教材：《数学学习》第六册；2. 教具：课件、黑板、粉笔。
三、教学过程1. 导入（5分钟）老师简单介绍什么是分数、指数和幂的概念，以及它们在生活中的应用，激发学生对本节课的兴趣。
2. 分数（20分钟）（1）概念讲解：老师通过示例展示分数的定义和表示方法，并解释分子和分母的含义。
帮助学生理解分数的意义和基本性质。
（2）基本运算：接下来，老师介绍分数的加减乘除规则，并通过具体的例子进行讲解。
在讲解过程中，鼓励学生积极回答问题，加深对分数运算规则的理解。
3. 指数与幂（30分钟）（1）概念讲解：老师通过例子，引入指数和幂的定义和概念，帮助学生理解指数和幂的含义和基本性质。
（2）指数运算：老师重点讲解指数运算的基本规则和性质，包括指数相同、指数相加、指数相减的计算方法，并通过实例进行讲解和练习。
（3）幂运算：老师介绍幂运算的基本规则和性质，包括幂的乘方法则和幂的倒数法则，并通过例题和练习加深学生对幂运算的理解。
4. 实际应用（20分钟）老师提供一些与分数、指数和幂相关的实际问题，并指导学生如何应用所学知识解决这些问题。
通过解决实际问题，加深学生对所学知识的理解和掌握。
5. 总结（5分钟）老师对本节课的内容进行总结，并强调学生在日常学习中要多加练习，将所学知识应用到实际生活中。
四、作业布置布置相关的习题作为课后作业，巩固学生对分数、指数和幂的掌握程度。
以上是本节课的教案，通过有序的教学过程，学生应能够掌握分数、指数和幂的概念、运算规则以及应用方法。
希望本节课能够帮助学生在数学学习中取得更好的成绩。
分数指数幂课程设计二
分数指数幂课程设计二。
一、教学大纲1.分数指数的概念（1）分数指数的定义：正实数的分数指数幂是指一个正实数的幂次方的指数是一个分数。
（2）分数指数的含义：分数指数表示的是指数为分数时，底数的幂次方需要根号或分数幂次方来表示。
如2的1/2次方表示为根号下2，2的1/3次方表示为2的开3次方。
（3）分数指数与整数指数的联系：整数指数是分数指数的特殊情况。
当指数为自然数时，分数指数的定义就是整数指数的拓展。
2.分数指数的性质（1）分数指数的加减法：分数指数的加减法可以用指数乘法公式进行推导。
如：a^(b+c)=a^b * a^ca^(b-c)=a^b / a^c（2）分数指数的乘除法：分数指数的乘除法需要用到指数运算法则和根号的概念。
如：a^(b*c)=(a^b)^ca^(b/c)=c√a^b（3）分数指数的零次幂和负次幂：分数指数的零次幂等于1，分数指数的负次幂可以用整数指数的规律进行推导。
a^0=1a^(-n)=1/a^n, (a不等于0)（4）分数指数与根号的关系：分数指数可以使用根号来表示。
二、教学策略1.针对分数指数概念的教学策略（1）引导学生理解分数指数的概念：可以通过实际应用来引导学生去理解分数指数的概念，如温度的变化规律以及物体的增长规律。
（2）梳理分数指数概念的难点：针对学生理解分数指数概念的难点，可以利用多媒体课件、数据分析软件、教学视频等教学资源。
（3）给予学生分数指数各类例题的练习：通过让学生多做几个分数指数的例题，可以让学生更加清晰分数指数的概念与性质。
2.针对分数指数性质的教学策略（1）强调分数指数的运算法则：可以通过多个例子引导学生去理解分数指数的运算法则，让学生能够更加清晰分数指数的乘除和加减法。
（2）引导学生树立自主思考的意识：在教学过程中，需要引导学生养成自主思考的习惯，让学生能够根据已经学习到的基本知识，去发掘新的知识点。
（3）引导学生发现分数指数的特殊性质：通过引导学生去发现分数指数的特殊性质，可以让学生通过掌握少量分数指数的性质，就能够快速掌握分数指数的运算法则。
《分数指数幂》教学设计
教学设计：《分数指数幂》教学目标〖知识与技能〗（1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。
（2） 会对根式、分数指数幂进行互化。
（3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。
〖情感、态度与价值观〗通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。
教学重难点根式、分数指数幂的概念及其性质。
教学情景设计1、复习讨论（1）根式的相关概念（2）整数指数幂：a a a a n⨯⨯⨯= 运算性质：n n n mn n m nm nmb a ab a a a a a ===⋅+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。
2、问题情境设疑问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP =，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。
例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为21，2)21(，3)21(，…… 21，2)21(，3)21(，……是正整数指数幂。
当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(。
设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322⨯？ 分析：66236263332222222=⨯=⨯=⨯，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？3、分数指数幂 实例引入：5102552510)(a a a a===，4123443412)(a a a a===问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数被开方数的指数a的形式2、4532,,c b a 如何表示？ 结论：规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm问题3、正数的负分数指数幂是：)1,,,0?(*>∈>=-n N n m a a nm分析：)1,,,0(1*00>∈>===--n N n m a a aa a anmnm nm nm如：3434515=-，)0(13232>=-a aa。
人教版高中数学教案-分数指数幂
2. 1.1第二課時分數指數冪教案【教學目標】1.通過與初中所學知識進行類比，理解分數指數冪的概念進而學習指數冪的性質.2.掌握分數指數冪和根式的互化，掌握分數指數冪的運算性質培養學生觀察分析、抽象類別比的能力3.能熟練地運用有理數指數冪運算性質進行化簡、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算能力.【教學重難點】教學重點：（1）分數指數冪概念的理解.（2）掌握並運用分數指數冪的運算性質.（3）運用有理數指數冪性質進行化簡求值.教學難點：（1）分數指數冪概念的理解（2）有理數指數冪性質的靈活應用.【教學過程】1、導入新課同學們，我們在初中學習了整數指數冪及其運算性質，那麼整數指數冪是否可以推廣呢？答案是肯定的.這就是本節的主講內容，教師板書本節課題—分數指數冪2、新知探究提出問題（1）整數指數冪的運算性質是什麼？a>（2）觀察以下式子，並總結出規律：01051025525===；a a a a()884242===；()a a a a③1212344434()a a a a ===； ④1010522252()aa a a ===.（3） 利用（2）的規律，你能表示下列式子嗎？435,57a ，n m x *(0,,,x m n N >∈且n>1)(4)你能用方根的意義來解釋（3）的式子嗎？（5）你能推廣到一般情形嗎？ 活動：學生回顧初中學習的整數指數冪及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最後兩步的指數之間的關係，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發學生類比（2）的規律表示，借鑒（2）（3），我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他同學鼓勵提示.討論結果：形式變了，本質沒變，方根的結果和分數指數冪是相通的.綜上我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書：規定：正數的正分數指數冪的意義是*(0,,,1)n nm ma a a m n N n =>∈>.提出問題（1） 負整數指數冪的意義是怎麼規定的？ （2） 你能得出負分數指數冪的意義嗎？（3） 你認為應該怎樣規定零的分數指數冪的意義？ （4） 綜合上述，如何規定分數指數冪的意義？（5） 分數指數冪的意義中，為什麼規定0a >，去掉這個規定會產生什麼樣的後果？ （6） 既然指數的概念從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質是否也適用於有理數指數冪呢？活動：學生回顧初中學習的情形，結合自己的學習體會回答，根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來類比，把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來，與整數指數冪的運算性質類比可得有理數指數冪的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明0a >的必要性，教師及時作出評價.討論結果：有了人為的規定後指數的概念就從整數推廣到了有理數.有理數指數冪的運算性質如下：對任意的有理數r,s,均有下面的運算性質：①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈3、應用示例例1 求值：21332416(1)8;(2)25;(3)()81--點評：本題主要考察冪值運算，要按規定來解.要轉化為指數運算而不是轉化為根式. 例2 用分數指數冪的形式表示下列各式.33223;;(0)a a a a a a a ••>點評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算.對結果不強求統一用什麼形式但不能不倫不類.變式訓練求值：（1）363333••； （2）346627()125mn4、拓展提升已知11223,a a +=探究下列各式的值的求法.（1）33221221122;(2);(3)a a a a a a a a-----++-點評:：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯繫，然後採取“整體代換”或“求值後代換”兩種方法求值5、課堂小結 （1）分數指數冪的意義就是：正數的正分數指數冪的意義是*(0,,,1)n n m ma a a m n N n =>∈>，正數的負分數指數冪的意義是*1(0,,,1),n mn nmmaa m n N n a a-==>∈>零的正分數次冪等於零，零的負分數指數冪沒有意義. （2） 規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數. （3）有理數指數冪的運算性質：①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈ 【板書設計】 一、分數指數冪 二、例題 例1 變式1 例2 變式2【作業佈置】課本習題2.1A 組 2、4.2.1.1-2分數指數冪課前預習學案一． 預習目標 1. 通過自己預習進一步理解分數指數冪的概念 2.能簡單理解分數指數冪的性質及運算二． 預習內容１．正整數指數冪：一個非零實數的零次冪的意義是： ． 負整數指數冪的意義是： ．２．分數指數冪：正數的正分數指數冪的意義是： ．正數的負分數指數冪的意義是： ． ０的正分數指數冪的意義是： ．０的負分數指數冪的意義是： ．３．有理指數冪的運算性質：如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ，那麼rsaa ⋅＝ ；)(a rs＝ ；)(ab r＝ ．４．根式的運算，可以先把根式化成分數指數冪，然後利用 的運算性質進行運算．三． 提出疑惑通過自己的預習你還有哪些疑惑請寫在下面的橫線上課內探究學案一． 學習目標 1. 理解分數指數冪的概念2.掌握有理數指數冪的運算性質，並能初步運用性質進行化簡或求值學習重點：（1）分數指數冪概念的理解.（2）掌握並運用分數指數冪的運算性質. （3）運用有理數指數冪性質進行化簡求值.學習難點：（1）分數指數冪概念的理解 （2）有理數指數冪性質的靈活應用.二． 學習過程 探究一１．若0a >，且,m n 為整數，則下列各式中正確的是 （ ） A 、mmnna a a ÷= B 、mn m n aa a = C 、()nm m n a a += D 、01n n a a -÷=２．c ＜0，下列不等式中正確的是（ ）A c 2B cC 2D 2c cc cc c．≥．＞．＜．＞()()()121212３．若)2143(x --有意義，則ｘ的取值範圍是（ ）Ａ．ｘ∈Ｒ Ｂ．ｘ≠０．５ Ｃ．ｘ＞０．５ Ｄ．Ｘ＜０．５ 4．比較a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7三個數的大小關係是________． 探究二例１：化簡下列各式：（1）()()()2233111a a a -+-+-；（２）)3324()3(5621121231b a baba-÷---例２：求值：（１）已知a xx =+-22（常數）求88xx -+的值；（２） 已知ｘ＋ｙ＝１２，ｘｙ＝９ｘ，且ｘ＜ｙ，求yxy x 21212121++的值例３：已知ax212+=，求aa aaxxx x --++33的值．三． 當堂檢測１．下列各式中正確的是（ ）Ａ．1)1(0-=- Ｂ．1)1(1-=-- Ｃ．aa 22313=- Ｄ．x x x 235)()(=--2.44等於（ ） A 、16aB 、8a C 、4a D 、2a３．下列互化中正確的是（ ）Ａ．)0(()21≠=--x x x Ｂ．)0(3162<=y yyＣ．)0,((4343)()≠=-y x xy yx Ｄ．331x x-=４．若1,0a b ><,且22bba a -+=,則b b a a --的值等於（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、2５．使)23(243x x ---有意義的ｘ的取值範圍是（ ）Ａ．Ｒ Ｂ．1≠x 且3≠x Ｃ．－３＜Ｘ＜１ Ｄ．Ｘ＜－３或ｘ＞１課後練習與提高１．已知ａ＞０，ｂ＞０，且b aab=，ｂ＝９ａ，則ａ等於（ ）Ａ．43 Ｂ．９ Ｃ．91Ｄ．39 ２．2222=+-x x且ｘ＞１，則x x 22--的值（ ）Ａ．２或－２ Ｂ．－２ Ｃ．6 Ｄ．２３．=⨯⨯61125.1323 ． ４．已知N n +∈則)1](1[812)1(---n n ＝ ．５．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>-n n a a x a 1121,0,求()nx x 21++的值．。
高一数学上 第二章 函数：2.5.2分数指数幂优秀教案
分数指数幂教学目的 1.分数指数幂的概念 2 .有理指数幂的运算性质 教学重点 1．分数指数幂的概念 2．有理指数幂的运算法则 教学难点 对分数指数幂概念的理解 教学方法 发现法 教具准备 十张幻灯片 教学过程 教学过程一、复习 二、分数指数幂 1．导入)0()0()0(4824831243125102510>==>==>==a a a a a a a a a a a a ⇒231254(0)(0)(0)a ab bc c =>=>=>事实上，kn n k a a =)(若设a >0,*),1(N n n nmk ∈>=， 则m n n mn k a a a ==)()(由n 次根式定义, n a a mnm 的是次方根，即：n m nm a a =2．正分数指数幂的意义规定：)1*,,0(1>∈>=-n N n m a aanm nm 且0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
3．整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂 注：1．分数指数幂是根式的另一种表示形式2．根式与分数指数幂可以进行6互化3．根式之间的运算可借助分数指数幂运算性质进行 三、例题讲解练习1 x 取何值时下列各式有意义？ 解：(1)10,1x x -≥∴≤ (2)10,1x x -≠∴≠例1．求值 解：323(2)(3)61(1)()(2)22644----⨯-====例2．化简 0a >推广解：313224()a a====例3．化简求值已知11223x x-+=，求3322123x xx x--++++的值。
解：111222()27x x x x--+=+-=练习2：1．化简答案：4(1)a2233(2)2x y---2．已知30,3,na a>=求33n nn na aa a--++的值答案：73四、小结1．)1n,,0(>∈>=+，Nnmaaa n mnm2．分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行6互化根式之间的运算可借助分数指数幂运算性质进行3．化简：将根式化为分数指数幂；立方和、立方差、平方和、平方差公式的灵活运用。
分数指数幂教案二
分数指数幂教案二分数指数幂教案二Ⅲ.课堂练习课本P14练习1.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０) 解： 2.用分数指数幂表示下列各式： (1) （２）（ａ＋ｂ＞０）（３）（４）（ｍ＞ｎ） (5) （ｐ＞０） (6) 解：(1) (2) (3) (4) ＝（ｍ－ｎ）２ (5) (6) 3.求下列各式的值： (1) （２）（３）（4）（5）（6）解：(1) (2) （３） (4) (5) (6) 要求：学生板演练习，做完后老师讲评. Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质. Ⅴ.课后作业（一）1.课本P75习题2.5 2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1) （２）（３）（４）（５）（6）解：（１） (2) (3) （４）（５）（６） 3.求下列各式的值：(1) （2）（３）（4）解：（１）（２） (3) (4) 4.用计算器求值(保留4位有效数字) (1) （２）（３）（４） (5) （６）２５· 解：（１）＝１.７１０ (2) ＝４６.８８（３）＝０.１１７０（4）＝２８.９０（５）＝２.８８１（６）２５· ＝０.０８７３５（二）1.预习内容：课本P73 2.预习提纲： (1)根式的'运算如何进行? (2)利用有理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧? ●板书设计§2.5.2分数指数幂 1.正分数指数幂意义 3.有理指数幂性质（ａ＞０，ｍ，ｎ∈N*，ｎ＞１）（１）ａｒ·ａｓ＝ａｒ＋ｓ（２）（ａｒ）ｓ＝ａｒｓ（ａ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ）（３）（ａ·ｂ）ｒ＝ａｒ·ａｒ（ａ＞０，ｂ＞０，ｒ∈Ｑ）2.规定４.例题(1) ［例1］（ａ＞０，ｍ，ｎ∈N*，ｎ＞１），［例2］（２）０的正分数指数幂等于0，５.学生练习 (3)0的负分数指数幂无意义.。
高一数学分数指数幂数学教案
高一数学分数指数幂数学教案一、教学目标1.理解分数指数幂的定义。
2.学会运用分数指数幂的性质进行计算。
3.能够运用分数指数幂的知识解决实际问题。
二、教学重难点重点：分数指数幂的定义及性质。
难点：分数指数幂的计算及实际应用。
三、教学过程1.导入新课（1）复习整数指数幂的概念和性质。
（2）引导学生思考：当指数为分数时，幂的运算规律会发生怎样的变化？2.新课讲解（1）分数指数幂的定义引导学生回顾整数指数幂的定义，然后类比得出分数指数幂的定义。
板书：a^(m/n)=(a^m)^(1/n)=(a^(1/n))^m（2）分数指数幂的性质引导学生通过举例验证分数指数幂的性质。
板书：a^(m/n)a^(p/q)=a^((m/n)+(p/q))(a^m)^n=a^(mn)(a^m)^(1/n)=a^(m/n)(a^m)^(p/q)=a^((mp)/(nq))（3）分数指数幂的运算讲解分数指数幂的运算方法，引导学生运用分数指数幂的性质进行计算。
例题：计算(2^3)^(1/2)(2^2)^(3/4)解析：根据分数指数幂的性质，我们可以将原式化简为2^(3/2)2^(3/2)=2^(3+3/2)=2^(9/2)3.练习与巩固（1）课堂练习1.计算(3^4)^(1/2)(3^2)^(3/4)2.计算(5^3)^(2/3)/(5^2)^(1/3)（2）课后作业1.计算(2^5)^(1/2)(2^3)^(1/4)2.计算(7^2)^(3/2)/(7^3)^(1/2)3.已知a>0，求证：(a^(m/n))^(p/q)=a^((mp)/(nq))4.课堂小结5.课后反思教师根据课堂教学情况，反思教学效果，为下节课的教学做好准备。
四、教学反思本节课通过复习整数指数幂的概念和性质，引导学生类比得出分数指数幂的定义和性质。
在教学过程中，注重让学生通过举例验证分数指数幂的性质，培养学生的动手操作能力和思维能力。
在练习环节，让学生独立完成课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
分数指数幂运算教案
分数指数幂运算教案Teaching plan of fractional exponential power operation编订：JinTai College分数指数幂运算教案前言：本文档根据题材书写内容要求展开，具有实践指导意义，适用于组织或个人。
便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。
2.1.1.2 分数指数幂的运算一、内容及其解析（一）内容：分数指数幂的运算。
（二）解析：本节课要学的内容有分数指数幂的概念以及运算，理解它关键就是能够利用次方根概念转化到分数指数幂的形式。
学生已经学过了根式概念和运算性质，对于转化到分数指数幂的形式难度不大，本节课的内容分数指数幂就是在此基础上的发展。
由于它还与有理数指数幂有必要的联系,所以在本学科有着比较重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的一般内容内容。
教学的重点是利用次方根的性质转化成分数指数幂的形式，在利用有理数指数幂的运算性质化简指数幂的算式，所以解决重点的关键是利用分数有理指数幂的运算性质的'运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式。
二、目标及其解析（一）教学目标1.理解分数指数幂的概念;2.掌握有理指数幂的运算性质;（二）解析1.理解分数指数幂的概念就是指通过复习已学过的整数指数幂的概念和根式的概念，推导出分数指数幂的概念;2.学会有理指数幂的运算性质，能够化简一般有理指数幂的算式。
三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是分数指数幂的运算性质，产生这一问题的原因是：学生对根式化简到分数指数幂的形式熟练程度低，对于整数指数幂的运算性质不够熟练，不能很好的结合从特殊到一般的思想。
要解决这一问题，就要在在练习中加深理解。
四、教学过程设计1、导入新课同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢?答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题分数指数幂2、新知探究提出问题（1）整数指数幂的运算性质是什么?（2）观察以下式子，并总结出规律：① ;② ;③ ;④ .（3）利用（2）的规律，你能表示下列式子吗?，且n1）（4）你能用方根的意义来解释（3）的式子吗?（5）你能推广到一般情形吗?活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比（2）的规律表示，借鉴（2）（3），我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示.讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是 .提出问题（1）负整数指数幂的意义是怎么规定的?（2）你能得出负分数指数幂的意义吗?（3）你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义?（4）综合上述，如何规定分数指数幂的意义?（5）分数指数幂的意义中，为什么规定，去掉这个规定会产生什么样的后果?（6）既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回顾初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明的必要性，教师及时作出评价.讨论结果：有了人为的规定后指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运算性质如下：对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质：① ② ③变式训练求值：（1） ; （2）拓展提升五.小结（1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是，正数的负分数指数幂的意义是零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义.（2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.（3）有理数指数幂的运算性质：① ②【总结】20xx年已经到来，新的一年数学网会为您整理更多更好的文章，希望本文高一数学教案：分数指数幂的运算能给您带来帮助！-------- Designed By JinTai College ---------。
分数指数幂的应用教案二：运用分数指数幂解决实际问题
【教案】教学内容：分数指数幂的应用教学目标：学生能够在实际问题中运用分数指数幂解决问题教学重点：分数指数幂的具体应用方法教学难点：运用分数指数幂解决实际问题的思路和方法教学方式：讲述、练习、案例分析教学内容：一、分数指数幂的应用1.分数指数幂的定义和特点2.分数指数幂在解决实际问题中的应用二、分数指数幂在实际问题中的应用1.计算体积2.计算面积3.计算电阻4.计算物理量5.计算生物学问题三、案例分析1.根据体积计算物品的大小2.根据电阻定量检测电路3.根据生物学规律计算物种数量教学设计：一、导入请学生回顾一下上节课所学的知识，提醒学生分数指数幂的定义和特点。
二、学习过程1.分数指数幂的应用讲述分数指数幂在实际问题中的具体应用，强调分数指数幂在解决实际问题中的重要性，引导学生认识到掌握分数指数幂的方法对于综合解决问题的重要性。
2.分数指数幂在实际问题中的应用（1）计算体积在计算物体体积时，我们通常会用到分数指数幂的知识。
例如，当我们计算一个长方体的体积时，就可以用到以下公式：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高。
即：V= lwh。
其中，V表示体积，l表示长度，w表示宽度，h表示高度。
这个公式就涉及到了分数指数幂的知识。
（2）计算面积在计算各种几何图形的面积时，我们也可以用到分数指数幂的知识，例如：圆的面积：S = πr^2球的表面积：S = 4πr^2球的体积：V = (4/3)πr^3（3）计算电阻在电学中，我们也需要用到分数指数幂的知识。
例如，我们计算电路的总电阻时，可以用以下公式：总电阻R = R1 + R2 + R3 + … + Rn。
其中，R1、R2、R3、…、Rn 为电路中的各个电阻。
（4）计算物理量物理学中很多公式也涉及到了分数指数幂的知识，例如：牛顿第二定律F = ma功Paul = F × s简谐振动的运动方程x = A sin(ωt + φ)（5）计算生物学问题在一些生物学问题中，也可能用到分数指数幂的知识。
《3.1.1分数指数幂》教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.1.1分数指数幂》教案教学目标:(一)知识与技能目标:理解分数指数幂的概念(二)过程与方法目标:掌握有理指数幂的运算性质(三)情感与态度目标:让学生感受从特殊到一般的数学思想方法(正整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂),增强学生对数学本质的认识｡ 教学重点:利用正分数有理指数幂的运算性质,计算､化简有理数的指指数幂的算式｡教学难点:正分数有理指数幂的运算性质的理解教具:多媒体课件､板书教学过程:一.复习前面一节课学习的重要知识点1.n 次方根的定义 记法 n 是奇数n 是偶数2.根式3.运算性质 n 为奇数n 为偶数巩固强化知识点,为本节课的教学奠定知识基础二.回顾正整数指数幂导出探究的问题思考1. 能否这样表示? nan a±==n n nn a a a )(a ==412510)2()1(a a 34432552)()(aa a a ==412510a a ==)0()0(>>a a =32a 132a )0()0(>>b a指出当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式,能否将这个结论推广到正数的正分数指数幂的形式上去?定义 正数的正分数指数幂的意义 正数的负分数指数幂的意义 注意:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义规定了正数的分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数推广到了分数｡例1.有理数指数幂的运算性质利用类比的思想方法,将整数指数幂的运算性质类比为有理数指数幂的运算性质,体现了合情推理,便于学生对知识的整体建构｡三､例题讲解,巩固重点 利用有理数指数幂的运算性质要求这些式子的值,既熟悉了运算性质,又体现了这些运算性质的计算优势｡利用适当的板书讲解这些例题,巩固利用有理指数幂的性质求值的一般步骤｡ )1,,,0(>∈>=*n N n m a a a n m n m 且)1,,,0(1>∈>=*-n N n m a a a n mn m 且=⨯==⨯223243)21(2)3()2)(2(22)1(232)43()212(22⨯⨯+),0,0())(3(),,0())(2(),,0()1()(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>⋅=∈>=∈>=⋅+43521-32811621258.2--），（），（，求值例33223)3()2()1()03a a a a a a a ⋅⋅⋅>示下列各式（其中用分数指数幂的形式表例27213213a a a a ==⋅=+38322322a a a a ==⋅=+32342131)()(a a a a ==⋅=四.有理数指数幂推广到无理数指数幂,进而推广到整个实数范围五.课堂小结1.正数的正分数指数幂的意义2.正数的负分数指数幂的意义3.运算性质4.作业布置。
分数指数幂教案
分数指数幂一、 教学目标1、 知识与技能目标（1） 掌握分数指数幂的含义；（2） 掌握分数指数幂与根式之间的互化； （3） 掌握分数指数幂的运算性质. 2、 过程与方法目标通过引导学生观察、比较、归纳得到分数指数幂的含义，并提高学生观察问题、解决问题的能力.3、 情感态度与价值观培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透“转化”的数学思想；以及对“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂”这一知识体系的不断扩充和完善的过程的学习，增强学生对数学本质的认识.二、 教学重难点1、 重点：分数指数幂的含义理解及其运算性质；2、 难点：分数指数幂与根式之间的互化.三、 教学方法：启发式教学法 四、 教学过程1、 复习引入(1) n 次方根一般地，如果*(,1)n x a n N n =∈>，那么x 叫做a 的n 次方根.练习：①9的平方根为 ； ②16的四次方根为 ；③8的立方根为 ； ④—32的五次方根为 .(2)n 次根式*,1)n N n ∈>的式子叫做a 的n 次根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.其中na =；当n a =；当n ||a =.练习：①4= ；3= ；5= ；= = = .2、 新课内容22==，102522=1052=；53==，155333=1533=；3a ==，1234a a =124a =.（0a >）通过计算并观察能得到什么结论？m na =其中0a >且*,1n N n ∈>.(1) 引出正分数指数幂的含义：规定：m na=*,,1n m N n ∈>，①当n 为奇数时，a R ∈，② 当n 为偶数时，a ≥0.练习：47a = ；35(3)-= ；832= ；344= ；问：正数a 的负分数指数幂该怎么处理呢？即m na -=？.回忆：初中学过的负整数指数幂1(0)mm aa a-=≠. 类似的，正数a 的的负分数指数幂的含义就可以得到解释了. （2）引出负分数指数幂的含义 规定：0m naa -=≠）. 练习：32a-= ；122-= ；23(3)--= ； 23(3)--= ；（3）知识巩固例1：将下列各根式写成分数指数幂的形式分析：要把握好形式互化过程中字母的位置关系，按照公式，先正确找出公式的m 和n ,再逆向进行形式的转化.解：①3,2n m ==23x =；②3,4n m ==43a =； ③5,3n m ==35a -=；④5,7n m ==753-=.练习1：66P 1题，2题3、小结（1）理解分数指数幂的含义（2）熟练掌握分数指数幂与根式之间的互化五、 作业布置：71P 1题，2题六、 教学反思我认为本节课直接将知识呈现于学生，他们可能会更易接受，但失去了探索知识的过程，且不能启发学生对问题的思考，而由特殊到一般要分几种情况，同学们易混乱。
高一数学教案：分数指数幂
【课题】分数指数幂【教学目标】1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化.4．培养学生用联系观点看问题 .【教学重点】分数指数幂的概念.分数指数幂的运算性质.【教学难点】对分数指数幂概念的理解。
【教学过程】一．复习引入1．整数指数幂的运算性质：a m an a mn(m,nZ)(a m )na mn(m,nZ )(ab)nanbn(nZ)2．根式的运算性质：①当n为任意正整数时，(n a)n= a.②当n为奇数时，n a n =a；当n为偶数时，nan=|a|=a(a).a(a)3．引例：当a＞0时1 01 2①(a2)5a15a10a2a5②(a4)3a123a12a4a3 m推广：naman二．讲解新课1．正数的正分数指数幂的意义mnm,且n＞1)(a0,m,n注意：⑴分数指数幂是根式的另一种表示形式；第1页共4页⑵根式与分数指数幂可以进行互化.⑶“a>0〞为什么？另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 规定：m1(1)a *n m(a＞0，m,n∈N,且n＞1) a n( 2)0的正分数指数幂等于0.(3)0的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r ,s,均有下面的运算性质.有理指数幂的运算性质:a ma n a mn(m,nQ)(a m)na mn(m,n Q)(ab)nanbn(n Q)说明：假设a＞0，P是一个无理数，那么a p表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.三、讲解例题：213例1求值：83,1002,(1)3,(16)4.81例2用分数指数幂的形式表示以下各式： a 2 a, a 3 3a 2, a a ， 4(a b)3(式中a ＞0)例3计算以下各式〔式中字母都是正数〕2 1 1 5(1)(2a 3b 2 )(6a2b 3(3a 6b 6);1)8.(2)(m 4n 8第2页 共4页a 2( a0 );(3)a 3a 2(4)32 5125)45例4．计算⑴(a22a2)(a2a 2)1111⑵a2b2a2b2 1111 a2b2a2b2 11例5．x2x25，求以下各式的值：3311⑴xx1⑵x2x2⑶x2x2例6．解以下方程34⑴2x4115⑵x31 6【课堂小结】【课后作业】【教学后记】第3页共4页第4页共4页。
分数指数幂教案及反思
12.7分数指数幂教学目标：1、理解分数指数幂的意义，能将方根与分数指数幂互化。
2、了解幂指数从正整数到整数到有理数的发展过程，并能用分数指数幂解决简单的计算问题。
3、亲历分数指数幂意义的推导过程，体验数域拓展的一般规律和数学知识的内在逻辑。
教学重点及难点理解分数指数幂的意义，能将方根与指数幂互化. 教学过程设计一、 复习练习（口答）（1）101522=⨯ （2）532=（） （3）1π-= （4）2=（ （5）6= （6）6= 复习整数指数幂的运算性质： （1）同底数幂的乘除 m n m n a a a += （2）幂的乘方 ()m n mn a a = （3）积的乘方 ()m m m ab a b =二、新课探索思考：?=通过分析引出分数指数幂的意义：（其中m 、n 为整数，1>n ）.(0)(0)m nmna a a a -=≥=>上面规定中的nm a 和nm a -叫做分数指数幂，a 是底数.指导学生浏览教材上的概念并做圈划。
2．例题例1 把下列方根化为幂的形式: （1）35； （2）435； （3）3251； （4（5；例2 把下列幂化为方根的形式：（1）137； （2）137-； （3）437； （4）437-；三、巩固练习1、课本P32练习12.7 1、22、计算：（1）)()412343810.027---① ② ③（2）()1122112124-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭1123①427 ②（3）1113228116⎛⎫- ⎪⎝⎭回顾思考引例. 四、拓展练习利用分数指数幂计算（结果用方根形式表示）（1÷（2五、课堂小结1、在理解分数指数幂意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化；2、体会数学的内在逻辑.五、作业布置教学反思：分数指数幂这节课是在学生在已经学过了整数指数幂和n次方根的基础上，从具体的实例出发，和学生共同亲历分数指数幂的指数从正整数到整数再到有理数的发展过程和推导过程，让学生能体验数域拓展的一般规律和内在逻辑联系，在教学过程中由于从问题出发，采取了分数指数幂和整数指数幂的类比，学生在原有认知的基础上进行了探究，其学习是主动的、积极的，知识的形成也是自然的，同时在学习和探究的过程中，从解决问题到方法使用，让学生体会到从特殊到一般的数学思想，同时也培养了学生缜密的数学逻辑思维能力，引导和帮助学生在这样的数学学习过程中高效、有序地学习数学，让学生真正体会到在问题解决中学习，在交流中学习，使之成为一种学习习惯。
分数指数幂教案
分数指数幂教案教案标题：分数指数幂教案教学目标：1. 理解分数指数幂的概念和性质。
2. 掌握计算分数指数幂的方法。
3. 能够应用分数指数幂解决实际问题。
教学重点：1. 理解分数指数幂的定义和运算规则。
2. 掌握分数指数幂的计算方法。
3. 能够运用分数指数幂解决实际问题。
教学难点：1. 理解分数指数幂的概念和性质。
2. 掌握计算分数指数幂的方法。
教学准备：1. 教材：包含有关分数指数幂的知识点和例题的教材。
2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教案、练习题、实例题。
3. 学具：计算器。
教学过程：Step 1：导入新知1. 引入分数指数幂的概念，通过实例引发学生对分数指数幂的思考。
2. 提问学生：你们对分数指数幂有什么了解？它们与整数指数幂有何异同？Step 2：概念解释与讲解1. 通过示意图和实例，解释分数指数幂的定义和性质。
2. 引导学生理解分数指数幂的运算规则，并进行实例演示。
Step 3：练习与巩固1. 分发练习题，让学生进行个人或小组练习。
2. 指导学生解答练习题，解答过程中注重引导学生运用分数指数幂的计算方法。
Step 4：拓展与应用1. 提供一些实际问题，引导学生运用分数指数幂解决实际问题。
2. 鼓励学生思考并讨论其他应用场景，并进行分享和讨论。
Step 5：归纳总结1. 综合学生的学习情况，对分数指数幂的概念、性质和运算规则进行归纳总结。
2. 强调分数指数幂的重要性和应用价值。
Step 6：作业布置1. 布置相关的作业题目，巩固学生对分数指数幂的掌握程度。
2. 鼓励学生自主学习，通过课外阅读或网络资源进一步了解分数指数幂的应用。
教学延伸：1. 针对学生的学习情况，可以提供更多的练习题和拓展问题，以加深对分数指数幂的理解和应用。
2. 可以组织学生进行小组讨论或展示，分享他们在实际生活中发现的分数指数幂的应用案例。
教学评价：1. 课堂练习：通过学生在课堂上的练习情况，评估他们对分数指数幂的掌握程度。
高一数学上 第二章 函数：2.5.2分数指数幂优秀教案
分数指数幂教学目的 1.分数指数幂的概念 2 .有理指数幂的运算性质 教学重点 1．分数指数幂的概念 2．有理指数幂的运算法则 教学难点 对分数指数幂概念的理解 教学方法 发现法 教具准备 十张幻灯片 教学过程 教学过程一、复习)()(),()(),(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+ a a n n =)( ⎩⎨⎧=为偶数为奇数n a n aa n n ||二、分数指数幂 1．导入)0()0()0(4824831243125102510>==>==>==a a a a a a a a a a a a ⇒231254(0)(0)(0)a ab bc c =>=>=>事实上，kn n k a a =)(若设a >0,*),1(N n n nmk ∈>=， 则m n n mn k a a a ==)()(由n 次根式定义, n a a m n m 的是次方根，即：n m nm a a =2．正分数指数幂的意义 )1n ,,0(>∈>=+，N n m a a an m nm规定：)1*,,0(1>∈>=-n N n m a aa nm nm 且0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
3．整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂),0,0()(),,0()(),,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+注：1．分数指数幂是根式的另一种表示形式推广2．根式与分数指数幂可以进行6互化3．根式之间的运算可借助分数指数幂运算性质进行三、例题讲解练习1 x取何值时下列各式有意义？131322(2)(1)(3)(1)(4)(41)x x x-----131322(2)(1)(3)(1)(4)(41)x x x-----解：(1)10,1x x-≥∴≤(2)10,1x x-≠∴≠(3)10,1x x-≥∴≥1(4)410,4x x->∴>例1．求值31(1)()4-解：323(2)(3)61(1)()(2)22644----⨯-====11111113633622323()122332(34)2-=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯1111111111(1)()3336332362(222)(333)236--+++=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=11=+=例2．化简0a>2解：313224()a a====12522(2)2362132aa aa a--===⋅例3．化简求值已知11223x x-+=，求3322123x xx x--++++的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分数指数幂
编写人 王大毛 审核 数学组 上课时间 月 日 寄语：谁要游戏人生，他就一事无成，谁不能主宰自己，永远是一个奴隶
一、教学目标： 1、知识与技能（1） 在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算．（2） 能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简．2、 过程与方法（1）让学生了解分数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．3、情感．态度与价值观：使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心． 二、教学重点、: 分数指数幂的运算性质．教学难点：分数指数的运算与化简． 三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。
四、教学过程 （一）、新课导入
前面我们已经把正整数指数幂扩充到整数指数幂,还要进一步扩充到分数指数幂．有许多问题都不是整数指数．例如3327=,若已知3
a 27=,你能表示出a 吗？怎样表示？我们引入分数指数幂表示为13
a 273==． （二）新知探究 （Ⅰ）分数指数幂
1．a 的1
n 次幂:一般地,给定正实数a ,对于给定的正整数n ,存在唯一的正实数b ,使得n b a =,我们把b 叫做a 的1n 次幂,记作1
n b a =．例如：3
a 29=,则13a 29=；5
b 36=,则
1
5
b 36=．
由于3
2
48=,我们也可以记作23
84=
2．正分数指数幂:一般地,给定正实数a ,对于任意给定的正整数n m ，,存在唯一的正实数b ,
使得n m b a =,我们把b 叫做a 的m n 次幂,记作m
n
b a =,它就是正分数指数幂．例如：32b 7=,
则23
b 7=；5
3
x 3=,则35
x 3=等．
说明: 有时我们把正分数指数幂写成根式的形式,
即
m n
a 0)=>,例如
：12255==
；23
279==
例1．把下列各式中的b 写成正分数指数幂的形式：
()
5455m 2n (1)b 32;(2)b 3;(3)b m,n N +===π∈
解：（1）1
5
b 32=；（2）54b 3=；（3）2n 5m
b =π
练习1：把下列各式中的b 写成正分数指数幂的形式：（1）5x 64=；（2）
2n
3x 45(n N )+=∈
例2：计算：（1）13
27；（2）32
4
解：（1）因为3
327=,所以13
27=3；（2）因为32
48=,所以32
4=8 练习：计算（1）15
32；（2）23
27
请同学们回顾负整数指数幂的定义,能否类似地引入负分数指数幂呢?
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定
m n
m n
1a
(a 0,m,n N ,n 1)
a
-
+=
>∈>;
说明:（1）．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
（2）规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数推广到有理指数．当我们把正整数指数幂推广到有理指数幂m n
a 或m n
a
-(m,n N )+∈时,对底数a 应有所限制,即a 0>．
（3）对于每一个有理数我们都定义了一个有理指数与它对应,这样就可以把整数指数函数扩展到有理指数函数,一个定义在有理数集上的指数函数． 例3．把下列各式中的b 写为负分数指数幂的形式：
()
5455m 2n (1)b 32;(2)b 3;(3)b m,n N ---+===π∈
解：（1）15
b 32-=；（2）54
b 3-=；（3）2n 5m
b -
=π
例4．计算：（1）1
38
-；（2）2
3
27
-
解：（1）因为3
28=,所以
1
3
13
118
2
8
-
=
=；（2）因为2
3
279=,所以
2
3
23
1127
9
27
-
=
=
．
练习: 1,2, （Ⅱ）、有理指数幂的运算
请同学们探讨一下整数指数幂的运算性质对于有理指数幂是否适用?
结论:整数指数幂的运算性质对于有理指数幂同样适用,即有以下运算性质：
（1）．a a αβ=a α
+β （2）．
(a)αβ
=a αβ （3）．(a b
)α
=a b αα其中a 0,b 0,,>>αβ为
有理数．
例5．求值：（1）34625；（2）3
24-
；（3）31
022217()( 2.8)(1)0.149--+--+
解：（1）3
33443444
625(5)5
5125⨯====；（2）
3
332()
2
32
2
2
311
4
(2)
2
228-
-
⨯--====
=
；
（3）310
2
2217()( 2.8)(1)0.149--+--+
3122
2
23122
12
2231(1)(2)
23161
(2)1()()910
421[()](10)34
21()103
131180311010024848----⨯------⨯-=+-+=+-+=+-+=+-+=++=
例6．计算下列各式（式子中字母都是正数）,并把结果化为只含正有理指数的形式： （1）35442(x y )；（2）11112
42
4
(2x 3y )(2x 3y )-
-
+-
解：（1）
3
5354
44310
4
242(x y )(x )(y )x y ==； （2）
11111112
2
2
4
2
4
242
12
9
(2x 3y )(2x 3y )(2x )(3y )4x 9y
4x y -
-
-
-
+-=-=-=-
练习： 3,4 （三）、小结:1．正整数指数幂→负分数指数幂→整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→分数指数幂；2．正整数指数函数→整数指数函数→有理数指数函数；3．有理数指数的运算法则． （四）、作业:习题3-2 A 组3,4,5 五、教学反思：。