第七章 位移法

ql 2 8
M
F AB
ql 2 8
q
BA
B
l
M
F BA
ql 2 8
BB
q
M
F AB
ql 2 8
AA
杆端弯矩顺时针方向为正！
21
§7-3 无侧移刚架的计算
刚架内部结点无线位移，只有角位移。 基本未知量：内部结点的角位移。
8kN/m
Bi
i
A
4m
Di
i
C
4m
E
4m
图示刚架，若忽略轴力引起的轴向变形，则 内部结点无线位移。
1 ql2 8
ql 2 16
ql 2 16
A
B
C
M图
3ql2 32
4
小结：
1）位移法选择结点位移(包括角位移和线位移) 作为基本未知量。 2）各杆件杆端取对应的结点位移即满足了结 点处的变形协调条件。
3）位移法方程是平衡方程，为基本未知量对 应的结点平衡方程，满足结点处的平衡条件。
4）单跨超静定梁的求解是基础。
M
F AB
3FPl 16
19
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
q
ql2 3 A
l
FPl 2
FP
BA ql2 6
B
l
FPl 2
M
F AB
ql 2 3
M
F BA
ql 2 6
M
F AB
FPl 2
M
F BA
FPl 2
各种单跨超静定梁的固端弯矩可查表7-1。
20
四、正确判别固端弯矩的正负号
q
q
A
l
M
F AB
ql2 12 A
ql2 24
l
ql2 12
B
FPl 8
FP FPl 8
A
B
FPl 8
l/2 l/2
M
F AB
M
F BA
ql 2 12
M
F AB
M
F BA
FPl 8
18
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
ql2 8
A
q
ql2 16
l
3FPl 16
FP
BA
B
5FPl 32
l/2 l/2
M
F AB
ql 2 8
5）先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构 (化 整为零，集零为整)。
5
二、 位移法基本未知量
1）结点分类： 内部结点：杆件与杆件连接的结点(B) 外部结点：只与单个杆件连接的结点(A、C)
A
B
q
C
EI l
B
EI l
2）位移法可选择全部结点位移作为基本未知量，亦
可只选择内部结点位移作为基本未知量。
手算选择后者(手算怕繁—尽可能减少未知量数目)；
第七章 位移法
§7-1 位移法基本概念 §7-2 等截面直杆的刚度方程 §7-3 无侧移刚架的计算 §7-4 有侧移刚架的计算 §7-5 位移法基本体系 §7-6 对称结构的计算 §7-7 支座移动和温度改变时的计算
1
§7-1 位移法基本概念
一、 位移法基本思路
1) 选择结点位移作为基本未知量。
A
MAB EI
A i l
A
MAB
B
A
A
i EI l
B
M AB
3i A
3i l
3)
A
MAB i EI l
A
MBA
B
MAB i EI MBA
A
l
B
A
M AB iA
M BA iA
17
三、固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称 为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时 针方向为负。
1. 两端固定梁 q
14
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
MBA
A
EI
A
M AB iA
M BA iA
B
i EI l
15
4. 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
1)
A
MAB
A i
EI l
MBA
B
MAB
A
i
EI l
A
MBA
B
M AB
4i A
6i l
M BA
2i A
6i l
16
2)
6i l 6i l
A B
上式就是两端固定梁的刚度方程。
式中系数4i、2i、-6i/l 称为刚度系数，即产生 单位杆端位移所需施加的杆端力矩。
13
2. 一端固定、一端滚轴支座的梁
M AB
A
EI
A
l
i EI l
B
M AB 3iA
A
i
B
A
A
iB
M AB
3i l
M AB
3i A
3i l
3iB
ql 2 8
3
3）建立位移法方程并求解 由结点B力矩平衡可得
MBA B MBC
M B 0 M BA M BC 0
3i B
3iB
1 8
ql 2
0
B
ql 2 48i
(
)
4） 求杆端弯矩作弯矩图
将θB代入杆端弯矩表达式，得：
M BA
3i B
3i
ql 2 48i
ql 2 16
,
M BC
3i B
计算机计算选择前者(机算怕乱—尽可能减少杆件类
型) 。
6
1．结点转角位移未知量θ 结构有几个刚结点就有几个结点转角未知量。
A
B
C
B
A
B
C
D
B C
A
B
C
B C
D
E
7
2．结点线位移未知量△
线位移未知量数目与是否考虑杆件轴线变 形有关。若考虑杆件轴向变形，每个结点两个 线位移。为尽可能减少未知量数目，手算通常 假设：对于受弯杆件，忽略轴向变形的影响。
10
2．结点转角
结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向
为负。 FP
A
B
C
D
B( )
3．杆件两端相对侧移
(
C
)
杆件两端相对侧移△的正负号与弦转角β 的
正负号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针
方向为负。
A
l
B
l
A
B
11
二、等截面直杆的刚度方程
1. 两端固定梁 i EI 线刚度 l
A
EI
B
A
ห้องสมุดไป่ตู้
l B
M AB 4iA M BA 2iA
A
i
B
A
M AB 2iB M BA 4iB
MAB
A
EI
MBA
B
A
l B
A
i B B
MAB
A
MBA
iB
M AB
M BA
6i l
12
由上图可得：
M AB
4i A
2iB
6i l
M BA
2i A
4iB
6i l
可写成：
M
AB
4i
M BA 2i
2i 4i
B
q
C
EI l
B
EI l
上图示连续梁，取结点B的转角θB作为基本未
知量，若θB已知，则AB杆与BC杆成为已知支座
位移和荷载的单跨超静定梁。
2
A
B
q
C
EI l
B
EI l
A
B MBA B
qC
EI B
l
MBC B
EI l
单跨超静定梁内力可由力法或材料力学知识求得。
2）杆端弯矩表达式
M BA 3iB
M BC
若忽略轴向变形，可用附加链杆的方法确 定结点线位移未知量△。从两个不动点（无线 位移的点）引出的两根无轴向变形的杆件，其 交点无线位移。
若一个结构需附加n根链杆才能使所有内
部结点成为不动点（无线位移），则该结构线
位移未知量的数目就是n。
8
附加链杆 B EA C
BH CH
A
D
D B
B D C C
A BH E CH
B EA为有限值 C
BH
A
CH
D
C B
D B BH A
9
§7-2 等截面直杆的刚度方程
一、符号规则
1．杆端弯矩 规定杆端弯矩顺时针方向
为正，逆时针方向为负。
杆端弯矩的双重身份：
B MBC
MBA
A
C MCB
1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力矩，顺时 针方向为正，逆时针方向为负。
2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内 力，弯矩图仍画在受拉边。