第七章 位移法
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结构力学-位移法
则梁端结点转角为0；若柱子不平行，则梁端结
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
结构力学-第7章 位移法
第7章位移法一。
教学目的掌握位移法的基本概念；正确的判断位移法基本未知量的个数；熟悉等截面杆件的转角位移方程;熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。
二。
主要章节§7—1 位移法的基本概念§7-2 杆件单元的形常数和载常数-位移法的前期工作§7—3 位移法解无侧移刚架§7-4 位移法解有侧移刚架§7-5 位移法的基本体系§7—6 对称结构的计算＊§7—7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容)§7-8小结§7—9思考与讨论三. 学习指导位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程,它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。
四。
参考资料《结构力学(Ⅰ）—基本教程第3版》P224～P257第六章我们学习了力法,力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。
力法把结构的多余力作为基本未知量,将超静定结构转变为将定结构,按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位移作为未知量，先设法求出他们,在据以求出结构的内力和其他位移。
由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法,例如力矩分配法和迭代法等.因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理,还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。
此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架,取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程.位移法方程有两种表现形式：①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）② 基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比,加深理解）§7-1 位移法的基本概念1。
第七章-位移法
10
q
q
A
BA
B
M
F AB
ql 2 8
M
F AB
M
F BA
ql 2 12
A i EI /l
A
BA
MBA 4iA MBA 2iA
i EI /l B
A
M AB 3iA
5、位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁 的组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超静 定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
C
M
F BA
0
M
F BC
ql 2 8
3、此令时B结AB点、产B生C杆转类角似于B ()B端。为固端且产生转角 B
的单跨超静定梁。
A
A
BiC
i
B
i
B
B3iB
B
3iB
B
i
i EI l
C
13
4、杆端弯矩表达式（两种情况叠加）
M BA 3iB
M BC
3iB
ql 2 8
A
D BH
8
习题7-1 确定用位移法计算时结构的基本未知量个
数。(a) EI
EA
(b)
(1) 当EI、EA为无穷大时，
(3)
(2) (当c)EI、EA为有限值时， (6)
(1) 当0时，(10) (2) 当=0时，(9)
(d)
(1) 当不考虑轴向变形时，
(1) 当0时，
(4)
(3)
(2) 当考虑轴向变形时，(9)
(2) 当=0时，
9
小结： 1、位移法的基本未知量是结构内部结点（ 不 包括支座结点）的转角或线位移。
q
q
A
BA
B
M
F AB
ql 2 8
M
F AB
M
F BA
ql 2 12
A i EI /l
A
BA
MBA 4iA MBA 2iA
i EI /l B
A
M AB 3iA
5、位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁 的组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超静 定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
C
M
F BA
0
M
F BC
ql 2 8
3、此令时B结AB点、产B生C杆转类角似于B ()B端。为固端且产生转角 B
的单跨超静定梁。
A
A
BiC
i
B
i
B
B3iB
B
3iB
B
i
i EI l
C
13
4、杆端弯矩表达式（两种情况叠加）
M BA 3iB
M BC
3iB
ql 2 8
A
D BH
8
习题7-1 确定用位移法计算时结构的基本未知量个
数。(a) EI
EA
(b)
(1) 当EI、EA为无穷大时，
(3)
(2) (当c)EI、EA为有限值时， (6)
(1) 当0时，(10) (2) 当=0时，(9)
(d)
(1) 当不考虑轴向变形时，
(1) 当0时，
(4)
(3)
(2) 当考虑轴向变形时，(9)
(2) 当=0时，
9
小结： 1、位移法的基本未知量是结构内部结点（ 不 包括支座结点）的转角或线位移。
第7章位移法
A A
MAB
B
MBA
QAB= QBA
θ=1
B
4i
1
2i
- 6i l
12i
l
- 6i
3i
l
- 6i
0
l2
A A
θ=1
B B
- 3i
3i l
l
2
1 θ=1
B
- 3i
i
l
0
A
－i
0
3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力 Δ1=δ11X1 + Δ1P=0 1 l 2 2l l 3 11 EI 2 3 3 EI 1 1 ql 2 3l ql 4 1P - l EI 3 2 4 8 EI X1=－Δ1P / δ11 =3ql/8 各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成 了载常数表
X1
1 2
X X X2 X X
11 1 12 2 1C 21 1 22 2 2C
用力法求解单跨超静定梁
θA
X1
A
θB
B
Δ
Δ
X2
几种不同远端支座的刚度方程 （1）远端为固定支座
M AB 4i A 2i B - 6i l (1) M BA 2i A 4i B - 6i l
根据两图结点平衡
可得附加约束反力
利用“载常数”可作 利用“形常数”可作 图示荷载弯矩图 图示单位弯矩图
典型方程法
以位移为基本未知量,先“固定”（不产 生任何位移） 考虑外因作用，由“载常数”得各杆受 力,作弯矩图。 令结点产生单位位移（无其他外因）， 由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。 两者联合原结构无约束，应无附加约束 反力（平衡）. 列方程可求位移。
MAB
B
MBA
QAB= QBA
θ=1
B
4i
1
2i
- 6i l
12i
l
- 6i
3i
l
- 6i
0
l2
A A
θ=1
B B
- 3i
3i l
l
2
1 θ=1
B
- 3i
i
l
0
A
－i
0
3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力 Δ1=δ11X1 + Δ1P=0 1 l 2 2l l 3 11 EI 2 3 3 EI 1 1 ql 2 3l ql 4 1P - l EI 3 2 4 8 EI X1=－Δ1P / δ11 =3ql/8 各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成 了载常数表
X1
1 2
X X X2 X X
11 1 12 2 1C 21 1 22 2 2C
用力法求解单跨超静定梁
θA
X1
A
θB
B
Δ
Δ
X2
几种不同远端支座的刚度方程 （1）远端为固定支座
M AB 4i A 2i B - 6i l (1) M BA 2i A 4i B - 6i l
根据两图结点平衡
可得附加约束反力
利用“载常数”可作 利用“形常数”可作 图示荷载弯矩图 图示单位弯矩图
典型方程法
以位移为基本未知量,先“固定”（不产 生任何位移） 考虑外因作用，由“载常数”得各杆受 力,作弯矩图。 令结点产生单位位移（无其他外因）， 由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。 两者联合原结构无约束，应无附加约束 反力（平衡）. 列方程可求位移。
结构力学I第7章 位移法
2015-12-21
Page 25
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2015-12-21
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LOGO
§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
位移法计算：
为什么不选结点C？
取结点角位移 ������������ 作为基本位置量。 C为支座结点！
6i 6i
/ /
l l
2015-12-21
A
=
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M BA =0
B
=
1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA
l
M AB 3iA 3i / l
B 0
FQAB FQBA 0
M AB M BA
第七章 位移法
结构力学 I
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
LOGO
§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
Page 2
LOGO
§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）
Page 20
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:
位移法——位移法的概念
加约束 →求内力 →建立平衡方程 →求位移 →求内力
拆
合
拆
第 七 章 位移法
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
1. 杆端弯矩的表示方法和正负号规定：
表示方法：双下标 如 : M AC , M AB 等 前一个下标表示近端,另一个下标表示远端。
转角： 结点转角——顺时针为正
杆端转角——顺时针为正
杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正
M AC M AB
qA
A
Aq A M AB = 3iq A
M BA = 0
B
FP C
M AC
=
4iq A
FPl 8
MCA
=
2iq A
FPl 8
由 MA = 0 得：
7iq A
FPl 8
=0
４．求内力
q = FPl A 56i
A
FP C
EI
L
EI
B
3 FP l
56
LF/2P
L9/2FPl 56
M AB
m
弯矩： 杆端——顺时针为正
AC
结点——逆时针为正
当结点上有荷载时,仍以顺时针为正
B
2. 杆端力与杆端位移的关系 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系 即：由杆端位移求杆端力
3. 转角位移方程 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系
单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下
x
M
AB
=
4i A
=
3iq A
=
3 56
FP L
M BA = 0
M (kN.m)
= F L MAC
=
4iq A
FPl 8
第七章 位移法(结构力学)
4m
用位移法计算并作图示结构M图，横梁 为无穷刚梁EI→∞，两柱刚度均为EI
7.5
典型方程法
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
位移法典型方程
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q C
F1
q C
A l
βA EI=常数
A θA
F1=0
A A
B
A A A A
F1 0 F1 0
B l
基本体系 转化为原结构的 条件：基本结构 在给定荷载以及 结点位移∆1作用 下，附加约束反 力应等于零。
M AB
A
EI
B
M AB 3i A
A
A
A
i
B
l EI i l
A
M AB
i
3i l
B
M AB
3i 3i A l
3). 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
EI
MBA
A
A
B
EI i l
M AB i A
M BA i A
4). 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
EI MBA A i l
MAB MAB
1) A
B
A
EI MBA A i l
B
M AB
6i 4i A l
M BA
6i 2i A l
单位杆端位移引起的杆端内力称为形常数. i=EI/l----线刚度
2.由荷载求固端弯矩（载常数教材表8-1）
荷载引起的杆端内力称为载常数.
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正； • 付系数 kij= kji── 基本体系在Δj=1单独作用时，在第 i个 附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零； • 自由项 FiP── 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个 附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
第7部分位移法
sini sin2 i
P
EAi li
sin2 i
P
P
EAi li
sin2 i
位移法基本作法小结:
（1）基本未知量是结点位移； （2）基本方程的实质含义是静力平衡条件； （3）建立基本方程分两步——单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体
分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;
k211 + k222 +F2P =0………..(2)
6i 1.5 i
4
k21 3 i
0
4
3i
k22
16
k11=10i
k21= -1.5i
k12= -1.5i
15 k22 16 i
F1P 4kN`·m
B
4kN·m
A
MP
位移法方程：
C
F2P
F1P 0
4
-6
F2P
0
D
F1P=4kN·m F2P=-6kN
C
1）在可动结点上附加约束，限制其
位移，在荷载作用下，附加约束上
产生附加约束力；
2）在附加约束上施加外力，使结构 发生与原结构一致的结点位移。
B
分析：
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完 全一致，则其内力状态也完全相等；
2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力 应等于0，按此可列出基本方程。
k11 k12 ...... k1n
k
21
k 22
......
k
2
n
...... ...... ...... ......
位移法
• 在位移法典型方程中，每个系数都是单位 结点位移所引起的附加约束的反力，它的 大小与结构刚度有关，刚度愈大则反力也 愈大。故把系数称为结构的刚度系数，把 典型方程称为刚度方程，把位移法也叫刚 度法。 无论刚架、连续梁、铰接排架还是组合结 构，也无论结构形式有多大差异，也不管基 本未知量的类型有什么不同，只要结构的位 移法基本未知量数目相同，位移法方程形式 都是相同的。
Z2 l
EI l P
R2
Z1
r21
3i/l
Z1=1
2EI
R1
12i/l
12i/l
3i/l
r11
M1
l R2=0 R1 r11 Z1 r12 Z 2 R1 P 0 Z2=1
R2 r21 Z1 r22 Z 2 R2 P 0
r22 r12 P
M2
R2P R1P
MP
M M 1 Z1 M 2 Z 2 M P
3i r11 30i / l 2 8i 3i / l r12 r21 9i / l r21 4i R1 P P 3i / l 2 12i / l r22 11i 3i r22 24i / l 2 R2 P 0 3i / l Z1 0.044Pl 2 / i 8i 12i / l Z 2 0.036Pl / i R2P P
二、杆端内力的正负号规定 杆端弯矩M：对杆件而言，当杆端弯矩绕杆件 顺时针方向旋转为正，反之为负。对结点而言，当 杆端弯矩绕结点（或支座）逆时针方向旋转为正， 反之为负 杆端剪力Q：正负号的规定，同材料力学和本 书中前面的规定。
三、等截面直杆的刚度系数和固端力
形常数:：是指使单跨超静定杆件在杆端沿某位移方向 发生单位位移时，所需要施加的杆端力。又称为刚度 系数 载常数：单跨超静杆件在荷载等外部因素作用下引起 的杆端内力，常称为固端内力（包括固端弯矩和固端 剪力）。
第7章位移法-60页文档资料
（a） A
P
（c）
B
l
MAFB
MBFA
1Pl 8
（b）
q
（d）
P
A
B
l
M
F AB
3 16
Pl
q
A
B
l
MAFB
MBFA
1ql2 12
武汉理工大学土木工程与建筑学院
A
B
l
M
F AB
1 ql2 8
A
14kNB
C
M
F AB
M
F BA
M
F BC
A
14kN B
B
C
M
F AB
2m
M
F BA
2m
M
F BC
4m
A
14kN B
θB
C
2m 2m
4m
（2）结构拆成杆件，做杆件分析
杆端弯矩—荷载和变形
MBA74iA
MAB72iA
MBC 3iA
M CB 0
（3）平衡方程，求解
M B 0 M B A M B C 0 7 7 iA 0 iA 1
武汉理工大学土木工程与建筑学院
A
14kN B
θB
武汉理工大学土木工程与建筑学院
➢ 连续梁
P=20kN
q=2kN/m
A
EI B B EI
C
3m 3m
6m
（1）基本未知量B
（2）固端弯矩
m BA P 8 l28 061k5N m
mAB 1k5N m mBCq82l 9kNm
武汉理工大学土木工程与建筑学院
(3) 列杆端转角位移方程
MAB
第七章 位移法
第 七 章 位移法
1
抓住问题的关键，方能破解问题
§ 7 —1 概
述
力法和位移法是求解超静定结构的两种基本方法
力法：普遍适用，随着混凝土结构的发展，高次
超静定刚架出现，计算过于麻烦。
结构在外力作用下，内力和位移存在对应关系。
力法——多余未知力作为基本未知量，列位移协调方程，求出 内力——最后求出位移。 位移法——某些结点位移作为基本未知量，列静力平衡方程， 求出结点位移——最后求出内力。
1
△
2
△
3
△
4
5
6
(a)
事实上，图 (a)( 所示结构的独立线位 将刚结点 包括固定支座)都变成 移数目，与图(b)所示铰结体系的线 铰结点 ,则使其成为几何不变添加的 位移数目是相同的。因此，实用上 最少链杆数，即为原结构的独立线位 为了能简捷地确定出结构的独立线 18 位移数目，可以 移数目。
(b)
两端固定梁杆端弯矩的一般公式，称为转角位移方程。 其转角位移方程 对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)， 可由上式导出，B端铰支，则: F t1 B MBA= 4i B +2i A__ A =0
EI
可见，B=f (A、△AB), 不独立, 代入第一式: MAB=3iA 式中 （转角位移方程） （固端弯矩）
同时,在有线位移的结点上加一个附加链杆(阻止结点移动)。
例
1 2 3
杆14, 36: 两端固定
4 5 6
基本未知量3个。
杆12, 23, 25: 一端固定 一端铰结
23
又例:
m m
原结构
（4次超静定）
基本结构
（6个独立位移）
24
§7—4 位移法的典型方程及计算步骤
1
抓住问题的关键，方能破解问题
§ 7 —1 概
述
力法和位移法是求解超静定结构的两种基本方法
力法：普遍适用，随着混凝土结构的发展，高次
超静定刚架出现，计算过于麻烦。
结构在外力作用下，内力和位移存在对应关系。
力法——多余未知力作为基本未知量，列位移协调方程，求出 内力——最后求出位移。 位移法——某些结点位移作为基本未知量，列静力平衡方程， 求出结点位移——最后求出内力。
1
△
2
△
3
△
4
5
6
(a)
事实上，图 (a)( 所示结构的独立线位 将刚结点 包括固定支座)都变成 移数目，与图(b)所示铰结体系的线 铰结点 ,则使其成为几何不变添加的 位移数目是相同的。因此，实用上 最少链杆数，即为原结构的独立线位 为了能简捷地确定出结构的独立线 18 位移数目，可以 移数目。
(b)
两端固定梁杆端弯矩的一般公式，称为转角位移方程。 其转角位移方程 对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)， 可由上式导出，B端铰支，则: F t1 B MBA= 4i B +2i A__ A =0
EI
可见，B=f (A、△AB), 不独立, 代入第一式: MAB=3iA 式中 （转角位移方程） （固端弯矩）
同时,在有线位移的结点上加一个附加链杆(阻止结点移动)。
例
1 2 3
杆14, 36: 两端固定
4 5 6
基本未知量3个。
杆12, 23, 25: 一端固定 一端铰结
23
又例:
m m
原结构
（4次超静定）
基本结构
（6个独立位移）
24
§7—4 位移法的典型方程及计算步骤
四川大学结构力学第7章
概括起来，只有位移和相应位移方向上的内力 均未知时，该位移作为位移法的基本未知量。
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
由平衡条件建立位移法方程
16i1
6i l
1
ql 2 8
0
(1)
M CD
FX 0, FQCA 0
M CA
B FQCA
M CA
M AC l
6i l
1
12i l2
1
C
D
6i l
1
12i l2
1
0
例2、用位移法分析图示结构
10kN.m
20kN/m
B 2EI
40kN
E D 2EI
4m EI
EI
C
A
4m
2m
2m
❖ 解：１、确定基本未知量
20kN/m
40kN
10kN.m θ2
E
θ1 B
2i
D
2i
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
由平衡条件建立位移法方程
16i1
6i l
1
ql 2 8
0
(1)
M CD
FX 0, FQCA 0
M CA
B FQCA
M CA
M AC l
6i l
1
12i l2
1
C
D
6i l
1
12i l2
1
0
例2、用位移法分析图示结构
10kN.m
20kN/m
B 2EI
40kN
E D 2EI
4m EI
EI
C
A
4m
2m
2m
❖ 解：１、确定基本未知量
20kN/m
40kN
10kN.m θ2
E
θ1 B
2i
D
2i
07★结构力学A上★第七章★位移法
31
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
第7章 位移法
两端为固定结点
3i M AB 3i A AB l
c
一端为固定结点，一端铰支
c M AB i A c M BA i A
一端为固定结点，一端滑动支承
§7-2 杆件单元的形常数和载常数——位移法的前期工作
力法方程：
2、由荷载求固端内力——载常数 两端固定梁
F M AB F M BA
ui sini
几何条件
EAi sin i li FNi FP EAi 2 sin i li
FNi sin i FP
综合各杆件，得平衡条件
EAi 2 sin i FP li
FP EA i sin 2 i li
§7-1 位移法的基本概念
（2）杆端弯矩Mi j
3I0 E
4m 5m
F
4m
2m
4m
D
2 2 ql 20 4 F M BA 40 8 8
F M BC
ql 2 41.7 12
F M CB 41.7
计算线性刚度i，设EI0=1，则
E 4I 0 EI iAB AB 1 l AB 4
iBC 1, iCD 1, iBE
C
P
基本未知量 （如图所示刚架有几个
独立结点位移参数？） 在刚架分析中，通常只考虑弯曲变形， 忽略剪切和拉伸变形。 因此，取独立节点位移参数A和作为基本未知量。
A
B A
M AB
建立基本方程分两步
A
B
A
M AB
P C
A
（1）单元分析（拆分）确 定单杆的杆端内力与杆端 位移及杆件上荷载的关系；
力法方程：
结构力学 第七章 位移法
表示等截面直杆杆端力与杆端位移及杆上荷载间关系的表达式
B A
Δ
6i F M AB l 6i F M BA 2i A 4i B M BA l 6i 6i 12i F F QAB A B 2 FAB l l l M AB 4i A 2i B
B
4i
1
2i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ =1
B B
3i
3i l
l
2
1 θ =1
B
3i
i
l
0
A
－i
0
三 等截面直杆的载常数 由荷载作用所引起的杆端力（固端力）
单跨超静定梁简图
q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
mAB
B
mBA
ql 2 12
Pl 8
ql 2 12
Pl 8
位移法方程实质上平衡方程
Z1
D i A 2i E
Z2
C 2i
i EI l
4m
EI
i B
A
B
4m
2m
2m
位移法基本体系
解：1 确定位移法基本体系 2 列位移法方程 k11Z1+ k12Z2+ F1P=0 k21Z1+ k22Z2+ F2P=0
３ 计算系数和自由项 Z1=1
4i 4i D i8i A 2i 8i 2i E 2i i B C
M AB 2i B
M BC ql 2 4i B 12
ql 2 ql 2 ql 2 4i 96i 12 24
第7章 位移法
A
M
F AB
MF BA
0
⑤
B
l
A
A i=EI/l M AB 4iA
MBA 2iA
⑥
BD
l i=EI/l A
M
AB
M BA
6i l
D
⑦
B
D
l
i=EI/l A
M AB M BA 0
14
四、说明：
⑴杆件的线刚度 i 应为杆件的抗弯刚度EI 除以杆件长度l，即： i=EI/l 。
⑵转角位移方程中杆端位移若为负应以负值代入以获得杆端弯矩.
⑶固端弯矩表在应用时，应随实际杆件所受荷载，其固端弯矩
作相应变化。
q
q
M
F AB
ql 2 8
A
BA
l
l
B
B
B
M
F BA
ql 2 8
q
q
A
M
F AB
ql 2 8
A
M
F AB
ql 2 8
固端弯矩表 P230表7-1
15
⑷补充固端弯矩表
l
l
3ql2/32
C
中点
方法二 基本体系解法(附加约束法)
6
Ex:位移法作图示连续梁的M图。
A
方法二 附加约束法
⑴构造基本结构确定基本未知量B=D1
⑵建立位移法方程
A
F1 k11D1 F1P 0
⑶作 M1, M图P
⑷求系数和自由项
A
k11 6i,F1P
⑸解方程
D1
第七章位移法
二. 荷载作用下求固端弯矩 单跨超静定梁仅由荷载作用产生的杆端弯矩和杆端力，叫固 F F F F 端弯矩和固端剪力 M AB , M BA和FQAB , FQBA 只与荷载形式有关的常数，叫载常数。为了便于运用，将其 数值列于表7-1中。 在已知荷载和支座位移作用下，杆端内力的一般公式： 1） 两端固定梁的杆端弯矩和杆端剪力：
+ 12
∆ l2
2）列平衡方程：
∑M ∑F
θA =
3FP l 25FP l ,∆ = 16i 96i
2
A
= 0, M AB + M AC + M AD + M AE = 0
x
= 0, FQAC = 2 FP
∆ F l 11iθ A − 6i − P = 0 l 2 − 6i θ A + 12i ∆ = 2 F P l l2
θ3
△7
θ4
θ5 △8
θ6
θ1 △5 θ3
θ2 EA θ4
△7 △6
△1 △2
等截面杆件杆端内力（ §7-2 等截面杆件杆端内力（M和FQ）
方向规定: ●1 方向规定: 杆端M和杆端FQ, 都以对杆端顺时针转向为正；对结点或支座 而言，弯矩以逆时针为正。 结点转角θA、θB以顺时针转向为正，杆件两端相对线位移也 以顺时针转向为正。
3FPl/28 FQBA
M AB + M BA FQAB = FQBA = − l 3 FP l FP + 328 l 9 56 =− = − FP l 56
FQBC = M BC FP 3FP FP 17 + = + = FP l 2 28 2 28
3FPl/28 FQBC
结构力学第七章位移法
结构力学第七章位移法1.引言结构力学是研究结构受力、变形和稳定性的力学分支。
在结构力学中，位移法是一种重要的分析方法，用于求解结构的变形和应力分布。
2.位移法的基本原理位移法是基于以下两个基本原理：（1）弹性体的受力状态可通过满足平衡条件来确定；（2）位移场的连续性条件，即位移场在结构内部要处处连续，边界上要满足给定的边界条件。
3.位移法的基本步骤位移法的基本步骤如下：（1）建立结构的受力模型，包括结构的材料性质、几何形状和边界条件等；（2）选取适当的位移函数形式，以确定位移场；（3）利用平衡方程和满足位移场连续性条件的边界条件，求解未知的位移和受力分布；（4）利用位移和受力分布计算结构的变形和应力分布。
4.位移法的应用位移法广泛应用于各种结构的力学分析，特别是对于复杂的非线性和不规则结构，位移法是一种常用的分析方法。
以下是一些常见的应用：（1）梁的挠曲分析：位移法可以用来求解梁的挠曲问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到梁的弯曲形状和弯矩分布。
（2）柱的稳定性分析：位移法可以用来求解柱的稳定性问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到柱的稳定性临界载荷和稳定形状。
（3）桁架结构的分析：位移法可以用来求解桁架结构的强度和刚度，通过选取合适的位移函数形式，可以得到桁架结构的内力和变形。
（4）地基基础的分析：位移法可以用来求解地基基础的变形和应力分布，通过选取合适的位移函数形式，可以得到地基基础的沉降和周边土体的应力分布。
5.位移法的优缺点位移法作为一种结构力学的分析方法，具有以下优点：（1）位移法适用于各种结构的力学分析，可以求解复杂的非线性和不规则结构问题；（2）位移法具有较强的适用性和灵活性，可以根据实际情况选取不同的位移函数形式；（3）位移法的计算步骤相对简单，易于实现。
然而，位移法也存在一些缺点：（1）位移法需要选取适当的位移函数形式，这对分析结果的准确性有较大影响；（2）位移法的计算过程较为繁琐，需要手动推导和求解方程组，耗费时间和精力。
第七章 位移法
位移法基本概念可知，如果结构的每根杆件的杆端 位移已知，即可求出杆件内力。又由于汇交于刚结 点处各杆端位移相等，且等于结点位移，位移法把 结构的独立结点位移作为基本未知量。 结点位移 由结点角位移和结点线位移两部分组成，则基本未 知量由结点角位移和结点线位移两部分组成。同时 位移法引入变形假设： 假设结构变形是微小的；忽 略受弯直杆（件）的轴向变形和剪切变形对结点位 移的影响。
位移，编号为Z1；另
外结点A、B、C有一
个独立水平线位移，编
号为Z2，基本未知量
a图
和基本结构见图（b）。
b图
基本结构在外荷载q单
独作用下引起的弯矩
图，记为MP图，见图
（C）。它引起附加 刚臂和附加链杆的反
c图
力矩和反力，分别用
R1P、R2P（图C）
基本结构在Z1=1及
d图
Z2=1单独作用下产
生的弯矩图，称为
因此位移法分析中应解决的问题有以下几方面：
1、确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
2、确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
3、如何建立求解基本未知量的位移法方程式。
7.2等截面直杆的形常数和载常数
对单跨超静定杆件分析是位移法分析的基础。通 常有三种基本杆件类型：两端固定杆件；一端固定、 另一端铰支座杆件；一端固定、另一端定向支座杆件。
对于具有n个独立结点位移的结构则可建立n个方程如下
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22Z 2 r2n Z n R2P 0 rn1Z1 rn2 Z 2 rnn Z n RnP 0
第七章
超静定结构的解法
——位移法 (Displacement Method)
7.1位移法基本概念
位移，编号为Z1；另
外结点A、B、C有一
个独立水平线位移，编
号为Z2，基本未知量
a图
和基本结构见图（b）。
b图
基本结构在外荷载q单
独作用下引起的弯矩
图，记为MP图，见图
（C）。它引起附加 刚臂和附加链杆的反
c图
力矩和反力，分别用
R1P、R2P（图C）
基本结构在Z1=1及
d图
Z2=1单独作用下产
生的弯矩图，称为
因此位移法分析中应解决的问题有以下几方面：
1、确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
2、确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
3、如何建立求解基本未知量的位移法方程式。
7.2等截面直杆的形常数和载常数
对单跨超静定杆件分析是位移法分析的基础。通 常有三种基本杆件类型：两端固定杆件；一端固定、 另一端铰支座杆件；一端固定、另一端定向支座杆件。
对于具有n个独立结点位移的结构则可建立n个方程如下
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22Z 2 r2n Z n R2P 0 rn1Z1 rn2 Z 2 rnn Z n RnP 0
第七章
超静定结构的解法
——位移法 (Displacement Method)
7.1位移法基本概念
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B
q
C
EI l
B
EI l
上图示连续梁，取结点B的转角θB作为基本未
知量，若θB已知，则AB杆与BC杆成为已知支座
位移和荷载的单跨超静定梁。
2
A
B
q
C
EI l
B
EI l
A
B MBA B
qC
EI B
l
MBC B
EI l
单跨超静定梁内力可由力法或材料力学知识求得。
2）杆端弯矩表达式
M BA 3iB
M BC
14
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
MBA
A
EI
A
M AB iA
M BA iA
B
i EI l
15
4. 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
1)
A
MAB
A i
EI l
MBA
B
MAB
A
i
EI l
A
MBA
B
M AB
4i A
6i l
M BA
2i A
6i l
16
2)
第七章 位移法
§7-1 位移法基本概念 §7-2 等截面直杆的刚度方程 §7-3 无侧移刚架的计算 §7-4 有侧移刚架的计算 §7-5 位移法基本体系 §7-6 对称结构的计算 §7-7 支座移动和温度改变时的计算
1
§7-1 位移法基本概念
一、 位移法基本思路
1) 选择结点位移作为基本未知量。
A
ql2 12 A
ql2 24
l
ql2 12
B
FPl 8
FP FPl 8
A
B
FPl 8
l/2 l/2
M
F AB
M
F BA
ql 2 12
M
F AB
M
F BA
FPl 8
18
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
ql2 8
A
q
ql2 16
l
3FPl 16
FP
BA
B
5FPl 32
l/2 l/2
M
F AB
ql 2 8
ql 2 8
M
F AB
ql 2 8
q
BA
B
l
M
F BA
ql 2 8
BB
q
M
F AB
ql 2 8
AA
杆端弯矩顺时针方向为正！
21
§7-3 无侧移刚架的计算
刚架内部结点无线位移，只有角位移。 基本未知量：内部结点的角位移。
8kN/m
Bi
i
A
4m
Di
i
C
4m
E
4m
图示刚架，若忽略轴力引起的轴向变形，则 内部结点无线位移。
10
2．结点转角
结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向
为负。 FP
A
B
C
D
B( )
3．杆件两端相对侧移
(
C
)
杆件两端相对侧移△的正负号与弦转角β 的
正负号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针
方向为负。
A
l
B
l
A
B
11
二、等截面直杆的刚度方程
1. 两端固定梁 i EI 线刚度 l
A
EI
B
A
l B
M
F AB
3FPl 16
19
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
q
ql2 3 A
l
FPl 2
FP
BA ql2 6
B
l
FPl 2
M
F AB
ql 2 3
M
F BAqBiblioteka 2 6MF AB
FPl 2
M
F BA
FPl 2
各种单跨超静定梁的固端弯矩可查表7-1。
20
四、正确判别固端弯矩的正负号
q
q
A
l
M
F AB
3iB
ql 2 8
3
3）建立位移法方程并求解 由结点B力矩平衡可得
MBA B MBC
M B 0 M BA M BC 0
3i B
3iB
1 8
ql 2
0
B
ql 2 48i
(
)
4） 求杆端弯矩作弯矩图
将θB代入杆端弯矩表达式，得：
M BA
3i B
3i
ql 2 48i
ql 2 16
,
M BC
3i B
若忽略轴向变形，可用附加链杆的方法确 定结点线位移未知量△。从两个不动点（无线 位移的点）引出的两根无轴向变形的杆件，其 交点无线位移。
若一个结构需附加n根链杆才能使所有内
部结点成为不动点（无线位移），则该结构线
位移未知量的数目就是n。
8
附加链杆 B EA C
BH CH
A
D
D B
B D C C
M AB 4iA M BA 2iA
A
i
B
A
M AB 2iB M BA 4iB
MAB
A
EI
MBA
B
A
l B
A
i B B
MAB
A
MBA
iB
M AB
M BA
6i l
12
由上图可得：
M AB
4i A
2iB
6i l
M BA
2i A
4iB
6i l
可写成：
M
AB
4i
M BA 2i
2i 4i
A BH E CH
B EA为有限值 C
BH
A
CH
D
C B
D B BH A
9
§7-2 等截面直杆的刚度方程
一、符号规则
1．杆端弯矩 规定杆端弯矩顺时针方向
为正，逆时针方向为负。
杆端弯矩的双重身份：
B MBC
MBA
A
C MCB
1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力矩，顺时 针方向为正，逆时针方向为负。
2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内 力，弯矩图仍画在受拉边。
计算机计算选择前者(机算怕乱—尽可能减少杆件类
型) 。
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1．结点转角位移未知量θ 结构有几个刚结点就有几个结点转角未知量。
A
B
C
B
A
B
C
D
B C
A
B
C
B C
D
E
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2．结点线位移未知量△
线位移未知量数目与是否考虑杆件轴线变 形有关。若考虑杆件轴向变形，每个结点两个 线位移。为尽可能减少未知量数目，手算通常 假设：对于受弯杆件，忽略轴向变形的影响。
5）先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构 (化 整为零，集零为整)。
5
二、 位移法基本未知量
1）结点分类： 内部结点：杆件与杆件连接的结点(B) 外部结点：只与单个杆件连接的结点(A、C)
A
B
q
C
EI l
B
EI l
2）位移法可选择全部结点位移作为基本未知量，亦
可只选择内部结点位移作为基本未知量。
手算选择后者(手算怕繁—尽可能减少未知量数目)；
1 ql2 8
ql 2 16
ql 2 16
A
B
C
M图
3ql2 32
4
小结：
1）位移法选择结点位移(包括角位移和线位移) 作为基本未知量。 2）各杆件杆端取对应的结点位移即满足了结 点处的变形协调条件。
3）位移法方程是平衡方程，为基本未知量对 应的结点平衡方程，满足结点处的平衡条件。
4）单跨超静定梁的求解是基础。
6i l 6i l
A B
上式就是两端固定梁的刚度方程。
式中系数4i、2i、-6i/l 称为刚度系数，即产生 单位杆端位移所需施加的杆端力矩。
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2. 一端固定、一端滚轴支座的梁
M AB
A
EI
A
l
i EI l
B
M AB 3iA
A
i
B
A
A
iB
M AB
3i l
M AB
3i A
3i l
MAB EI
A i l
A
MAB
B
A
A
i EI l
B
M AB
3i A
3i l
3)
A
MAB i EI l
A
MBA
B
MAB i EI MBA
A
l
B
A
M AB iA
M BA iA
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三、固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称 为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时 针方向为负。
1. 两端固定梁 q