简易逻辑练习题(包含详细答案)

1．“|a|>0”是“a>0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B
解析因为|a|>0⇔a>0或a<0，所以a>0⇒|a|>0，但|a|>0a>0.
2．(2012·陕西)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋b
i为纯
虚数”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B
解析由a＋b
i为纯虚数可知a＝0，b≠0，所以ab＝0.而ab＝0a＝0，且
b≠0.故选B项．
3．“a>1”是“1
a<1”的()
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件
答案 B
4．(2013·湖北)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
答案 A
解析綈p：甲没有降落在指定范围；綈q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p或綈q发生．故选A.
5．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()
A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1<x<1，则x2<1
C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
答案 D
解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．
6．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，
如x＝y＝7
4，满足x
2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋
y2≥4的充分而不必要条件，故选择A.
7．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析ab＝0a＝0，但a＝0⇒ab＝0，因此，p是q的必要不充分条件，故选B.
8．设M、N是两个集合，则“M∪N≠∅”是“M∩N≠∅”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析M∪N≠∅，不能保证M，N有公共元素，但M∩N≠∅，说明M，N中至
少有一元素，∴M ∪N ≠∅.故选B.
9．若x ，y ∈R ，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的是( )
A ．甲：xy ＝0 乙：x 2＋y 2＝0
B ．甲：xy ＝0 乙：|x |＋|y |＝|x ＋y |
C ．甲：xy ＝0 乙：x 、y 至少有一个为零
D ．甲：x <y 乙：x y <1
答案 B
解析 选项A ：甲：xy ＝0即x ，y 至少有一个为0，
乙：x 2＋y 2＝0即x 与y 都为0.甲乙，乙⇒甲．
选项B ：甲：xy ＝0即x ，y 至少有一个为0，
乙：|x |＋|y |＝|x ＋y |即x 、y 至少有一个为0或同号．
故甲⇒乙且乙甲．
选项C ：甲⇔乙，选项D ，由甲x <y 知当y ＝0，x <0时，乙不成立，故甲乙．
10．在△ABC 中，设p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A ；q ：△ABC 是正三角形，那么p
是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 C
解析 若p 成立，即a sin B ＝b sin C ＝c sin A ，由正弦定理，可得a b ＝b c ＝c a ＝k .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝kb ，b ＝kc ，
c ＝ka ，∴a ＝b ＝c .则q ：△ABC 是正三角形成立．
反之，若a ＝b ＝c ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，则a sin B ＝b sin C ＝c sin A .
因此p⇒q且q⇒p，即p是q的充要条件．故选C.
11．“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增”的()
A．充分不必要条件B．充分必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析∵当a＝1时，f(x)＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，∴a＝1⇒f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增，而f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增可得a>0，∴“a ＝1”是“函数f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件，故选A.
12．“x>y>0”是“1
x<
1
y”的________条件．
答案充分不必要
解析1
x<
1
y⇒xy·(y－x)<0，
即x>y>0或y<x<0或x<0<y.
13．“tan θ≠1”是“θ≠π
4”的________条件．答案充分不必要
解析题目即判断θ＝π
4是tan θ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．14．如果对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的________条件．答案必要不充分
解析可举例子，比如x＝－0.5，y＝－1.4，可得〈x〉＝0，〈y〉＝－1；比如x＝1.1，y＝1.5，〈x〉＝〈y〉＝2，|x－y|<1成立．因此“|x－y|<1”是〈x〉＝〈y〉的必要不充分条件．
15．已知A为xOy平面内的一个区域．
命题甲：点(a ，b )∈{(x ，y )|⎩⎨⎧ x －y ＋2≤0，
x ≥0，
3x ＋y －6≤0
}；
命题乙：点(a ，b )∈A . 如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是________． 答案 2
解析 设⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≤0，x ≥0，
3x ＋y －6≤0所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN 为集
合B .由题意，甲是乙的充分条件，则B ⊆A ，所以区域A 面积的最小值为S △PMN ＝ 12×4×1＝2.
16．“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋a x ≥1”的________条件． 答案 充分不必要
解析 当a ＝14时，对任意的正数x ，x ＋a x ＝x ＋14x ≥2x ·14x ＝1，而对任意的正数x ，要使x ＋a x ≥1，只需f (x )＝x ＋a x 的最小值大于或等于1即可，而在a 为
正数的情况下，f (x )＝x ＋a x 的最小值为f (a )＝2a ≥1，得a ≥14，故充分不必要．
17．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)，命题q ：|x 2－4|<1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 答案 0<a ≤5－2
解析 由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a ，q ：|x 2－4|<1⇔
－1<x 2－4<1⇔
3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5.
又由题意知p 是q 的充分不必要条件，
所以有⎩⎪⎨⎪⎧ －5≤2－a ，2＋a ≤－3，
a >0， ①或⎩⎪⎨⎪⎧ 3≤2－a ，2＋a ≤5，a >0， ②.
由①得a 无解；由②解得0<a ≤5－2.
18．已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．
(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；
(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件；
(3)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个必要但不充分条件．
答案 (1){a |－3≤a ≤5} (2)在{a |－3≤a ≤5}中可任取一个值a ＝0
(3){a |a <－3}
解析 由题意知，a ≤8.
(1)M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件－3≤a ≤5.
(2)M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充分但不必要条件，显然，a 在[－3,5]中任取一个值都可．
(3)若a ＝－5，显然M ∩P ＝[－5，－3)∪(5,8]是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的必要但不充分条件．
结合①②知a <－
3时为必要不充分．。