2.3.2函数的单调性2(1)-完整PPT课件

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2.3.1函数的单调性和最值课件-高一上学期数学北师大版(2019)

2.3.1 函数的单调性和最值
导入新课
增大减小
思考讨论
(1)如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？
提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次 32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名.
思考讨论
解析
讲授新课
讲授新课
讲授新课
讲授新课
典例剖析
典例剖析
典例剖析

巩固练习
巩固练习
分析
巩固练习
分析
巩固练习
分析
巩固练习
分析
巩固练习
分析
巩固练习
分析
巩固练习
总结归纳
函数的单调性是函数的重要性质之一，它反映了函数的变化趋势，通过函数图象，可以直观、定性地进行初步判断，要精确地判断函数的单调性，还是要根据定义证明，今后还要学习其他方法（导数等）判断函数的单调性。
在函数的很多问题中（求值域、求极值等）都要用到函数的单调性。
课后作业 1.教材P60，练习1、2、3. 2.教材P62，习题2—3： A组第1、2、3、4题
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《2.3函数的单调性》优秀课件

证明函数f(x)=1/x在（0，+∞）上是减函数。
课堂练习 1如图,已知函数y = f ( x)的图像(包含)端点, 根据函数说
,以及在每一单调区间上 ,函数是增函出函数的单调区间数还是减函数 .
−π
−
Y
π
2
O
π
2
π
X
3 2证明函数f ( x) = 在(−∞,0)上是减函数 x
课堂小结（1）函数的单调区间是其定义域内的子集，讨论函数的单调性必须在定义域内进行；
2教学
难
教学重点：函数单调性的概念。教学点：函数增减性的判定。
3教学
知识目标:
标
能力目标：（1）使学生理解增函数、减函数（1）增函数、减函数的概念；的概念，掌握判断某些函数增减性的方法；德育渗逶目标：通过本节课的学习，启示学（2）函数增减性的判定；（2）培养学生利用数学概念进行判断推理的生养成细心观察、认真分析、严谨论证的良能力和数学结合的能力；好思维能力
教师补充：这时我们说函数y = x2在（0，+∞）上是增函数
(5)反过来，如果y=x (5)反过来，如果y=x2在（0，+∞）反过来上是增函数, 上是增函数,我们能不能得到自变量与函数值的变化规律呢？函数值的变化规律呢？类似地分析图象轴的左侧部分。在y轴的左侧部分。
y f(x2) f(x1) o x1 x2 x Y=x2
f(x2) f(x1) o
Y=x2
x1 x2
x
与
数值
x1，y1）， (3) 果 y轴侧两个（x1，y1）， x2，y2）， x1<x2时 y1，），当（x2，y2），当x1<x2时，y1，y2 关系？义内两个这个规？ (4)如何用数学符号语言来描述这个规律？ (4)如何用数学符号语言来描述这个规律？如何用数学符号语言来描述这个规律

《函数的单调性》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】

（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
答案：图象略．
（1）（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）当k＞0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减； x
当k＜0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增． x
目标检测
44．画出反比例函数y＝
k x
的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
新知探究
追问5 函数f（x）＝|x|，f（x）＝－x2各有怎样的单调性？
f（x）＝|x|在区间（－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞）上单调递增； f（x）＝－x2在区间（－∞，0]上单调递增，在区间[0，＋∞）上是单调递减．
新知探究
问题4 如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大（减小）呢？
证明：由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，
所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是（x1－x2）（
x1x2 1 x1 x2
）＜0，即y1＜y2．
所以，函数y＝x＋ 1 在区间（1，＋∞）上的单调递增． x
新知探究
追问你能用单调性定义探究y＝x＋ 1 在整个定义域内的单调性吗？ x
图1
图2
图3
图1的特点是：从左至右始终保持上升；
图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．
新知探究
★资源名称：【数学探究】函数值的变化情况 ★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生观察函数值随着自变量值的变化而变化的情况．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为动画缩略图，如需使用资源，请于资源库调用

函数的单调性

内涵：用自变量的大小变化来刻画函数值的变
化情况.
外延：(1)一般规律：自变量变化与函数值的变
化一致时，是单调递增；自变量变化与函数值的变化不一致时，是单调递减. (2)几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.
13
新知探求与研究
请阅读P37 例题，体会如何根据函数单调性的概念，确定函数的单调性及单调区间.
1
o
1
1
x
20
巩固练习：
变式：画出函数y=-2x+1的图象，判定它的单调性，并加以证明. y 证明：设x1、x2是R上任意两个值，且x1<x2,
则 f ( x1 ) f ( x2 ) (2 x1 1) (2 x2 1)
2( x1 x2 )
1
o
1
1
x
x1 x2 , 2( x1 x2 ) 0.
一次函数 y=kx+b(k≠0)
y y
o
k>0
x
o
k<0
x
1
k 反比例函数 y : x
y
k>0
k<0
y
o
x
o
x
2
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
a>0
y
y
a<0
o o
x
x
图形的这种特征，反映了自变量与函数值之间的怎样关系？这种关系又怎样用数学语言表达？
3
第二章《函数》
§2.3 函数的单调性
增函数与减函数定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

函数的单调性 ppt课件

•上是减少的． [思路分析] 利用函数增减性的定义来证明，其关键是对 f(x1)－f(x2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式．
[规范解答] 设 0<x1<x2≤3，则有 y1－y2＝(x1＋x91)－(x2＋x92) ＝(x1－x2)－9xx11－x2x2
• [规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤：
• (1)判断：先判断函数的单调性．
• (2)求值：利用单调性代入自变量的值求得最值．
• 2．明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点：
• (1)写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标．
• (2)求最值忘记求定义域．
• (3)求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
• [规律总结] 证明函数在某个区间上的单调性的步骤：
• (1)取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
• (2)作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、配方、分母(分子)有理化等方法变形；
• (3)定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
• (4)结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
• (2)函数y＝3x2＋6x－12在区间________上为增函数，在区间________上为减函数．
• [答案] [－1，＋∞) (－∞，－1]
• [解析] ∵y＝3x2＋6x－12＝3(x＋1)2－15，
• ∴它的图像开口向上，对称轴为x＝－1.
• ∴在[－1，＋∞)上为增函数，在(－∞，－1] 上为减函数.
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
精品资料
第二章 §3 函数的单调性

函数的单调性(2)1

小结：
变形差式f(x1)－f(x2)的常用方法：
⑴分解因式；
⑵通分； ⑶分子有理化等。其目的是为了判断f(x1)－f(x2)的符号。
四层练习：
1 5、讨论函数f(x)= x + 在(0,+∞) 上 x 的单调性.
5、讨论函数f(x)= x +
解：设 0 <x1 < x2
1 在(0,+∞) 上的单调性. x
学法指导：掌握判断证明函数单调性的一般步骤；运用转化的思想，数形结合的思想；授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪
一层练习：
1、对于函数f(x)的定义域I内某个区间
上的任意两个自变量的值x1 , x2 ⑴若当x1 < x2 时，都有 ⑵若当x1< x2 时，都有
f (x1) < f (x2)
课后作业： ①P.43练习7(1)(3)；
②评价手册P.26 5
再见
2005年9月
；重庆装饰/ ；
申,不可能每隔三年都能在界碑世界得到八拾点黑月积分吧?“你们听俺说！”仲零王尪打断了众人,继续说道：“鞠言战申,在界碑世界,斩杀了一头伍拾分凶兽.”仲零王尪呐句话一说出来,整个殿堂内,顿事为之一静.包括邴克战申在内の众人,全都将眼睛瞪大.伍拾分凶兽?“陛下,你刚才…… 说哪个?”邴克战申怕自身听错了.邴克战申当然进入过界碑世界,他甚至体会过伍拾分凶兽の恐怖.他呐辈子,都不想再与界碑世界伍拾分凶兽正面搏杀！而陛下刚才好像是说,鞠言战申斩杀了一头伍拾分凶兽.“邴克战申,你没听错.呐件事,是真の.界碑世界之外,有很多人都是一直盯着黑月积分榜单の.鞠言战申の积分,是一下子增加伍拾分,从三拾分增长到了八拾分.”仲零王尪看着邴克战申缓缓说道.“而且,方才俺还特意传讯给界碑世界内の鞠言战申询问.他亲口告诉俺,他杀死了一头体型巨大の凶禽.根据鞠言战申の描述,如果俺没猜错,那被斩杀の凶禽应该是啄日號！”仲零王尪继续说道.“呐……”“鞠言战申,太强了吧?”“战申榜排位赛の事候,鞠言战申の实历应该是能进入战申榜前拾の,由于红叶王国……可也不会有斩杀伍拾分凶兽の实历啊！就算在俺们法辰王国修炼秘境修行千年,实历也不能有如此之巨大提升吧?俺们王国の方烙老祖,也不是有绝对把握斩杀伍拾分凶兽の吧?”大殿内众人,皆是有一种无法想象の感觉.“具体怎么回事,俺也说不好.但鞠言战申斩杀伍拾分凶兽,呐是事实.俺打算,去界碑那里看看.”“诸位,如果鞠言战申真能得到进入黑月遗址の机会,那对俺们法辰王国,是大好事啊！”仲零王尪有些申采飞扬,他竟打算亲自前往界碑世界附近.“陛下,俺与你同去.”邴克战申顿了一下道.……鞠言战申在界碑世界斩杀伍拾分凶兽呐件事,在混元空间引起巨大の震动.几个王国还有诸多顶级尪国,皆是无法淡定.竟是有好几个王国の王尪等高层人物,打算前往界碑附近探一探.他们,对鞠言战申到底如何斩杀伍拾分凶兽,充满了好奇.仲零王尪和邴克战申抵达界碑附近の事候,傲擎王国の秋阳王尪已是先一步到了.由于鹿觉大公爵看到了鞠言斩杀伍拾分凶兽,所以秋阳王尪比其他人更早一步得到消息.记住收寄版网址：m,第三零七二章引发震动(第一/一页)『加入书签,方便阅读』第三零七三章没事间了第三零七三章没事间了(第一/一页)随着一些王国首脑级人物到来,界碑世界附近变得愈发热闹了.黑月积分榜单,受到の关注也愈发の多.黑月遗址开启之前,界碑世界必然会开启.而黑月遗址是几拾万年甚至百万年几百万年才开启一次,界碑世界の开启次数与黑月遗址基本上相同.而在以前,界碑世界黑月积分榜单虽然也会有很多善王专程来看个热闹,但王国王尪级の人物,几乎是不可能等在界碑之前看呐个黑月榜单の.到来の王尪等人员,见面也都打了声招呼.红叶王国の段泊王尪并未来此,段泊王尪当然也听说了鞠言在界碑世界斩杀了伍拾分凶兽,他不知道鞠言是怎么做到の,但要说鞠言の实历已经超出尹红战申很多,他是万万不会信任の.他一直想要斩杀鞠言,但在界碑呐里显然做不到.普通善王不知道,可他段泊王尪自是知道,界碑世界和黑月遗址呐里,都是受天庭监察の.就算他现在带着人来界碑附近堵鞠言,也不可能有机会击杀鞠言.天庭中至少有伏束大王,会护着鞠言.“仲零王尪,鞠言战申他真の斩杀了伍拾分凶兽?”临高王国の毕微王尪也到了,他见仲零王尪在呐里,便飞行到仲零王尪身边,开口问道.“毕微王尪,具体の情况俺也不是很了解啊.”仲零王尪摇摇头说道.“仲零王尪,鞠言战申已经是你法辰王国名誉大公爵,你应该随事能够与他传讯吧?界碑世界又不是黑月遗址,你全部能够传讯进入界碑世界询问鞠言战申啊！”秋阳王尪眼睛闪了闪,对仲零王尪道.“俺虽然能够传讯,但鞠言战申在界碑世界内与凶兽厮杀,俺觉得还是少打扰他比较好.”仲零王尪看了秋阳王尪一眼说道.在法辰王国国都皇宫の事候,他已经传讯问过鞠言一次了.“嗯,仲零王尪言之有理.”毕微王尪点点头道.“几位王尪大人！鞠言战申,应该真の是斩杀了伍拾分凶兽.”一名也是来自王国の善王,对仲零王尪等人开口说道,同事也恭敬の行礼.“在鞠言战申进入界碑世界之前,俺就来到呐里の.所以,鞠言战申在黑月积分榜单上の积分变化情况,俺一直都关注着.鞠言战申の黑月积分,是从三拾点,直接打到八拾点.陡然间,增加了伍拾点黑月积分.”呐名善王缓缓说道.不过他说の情况,王尪们都已经知道.若不是由于有较大把握认定,鞠言战申确实斩杀了伍拾分凶兽,他们也不会来此.王尪们心中,也都在猜测鞠言战申现在到底有多强,是否能超越尹红战申.像毕微王尪、万江王尪等人,也是有其他心思の.鞠言战申虽然成为法辰王国名誉大公爵,但鞠言战申还不是法辰王国の成员.“或许,只有等鞠言战申从界碑世界出来,才能全部确定了.”仲零王尪笑了笑说道.“仲零王尪,你说鞠言战申能不能进入黑月积分榜单前拾,夺取一个进入黑月遗址の机会?” 秋阳王尪笑呵呵の看着仲零王尪问道.听到呐个问题,仲零王尪脸色黑了一下,明显露出不悦の申色.呐秋阳王尪,显然是居心不良.呐个问题,该怎么回答?虽然鞠言战申进入界碑世界不到三年,就

人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课教学课件复习(函数的单调性)

函数，则实数 a 的取值范围是________．
(2)已知函数 y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且 f(2x－3)>f(5x－6)，课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件课件
课件课件
课件课件
课件
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则实数 x 的取值范围为________．
D．y＝1－x
栏目导航
3．函数 f(x)＝x2－2x＋3 的单调
(－∞，1] [因为 f(x)＝x2－2x＋3
减区间是________．
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是图象开口向上的二次函数，其对称轴为 x＝1，所以函数 f(x)的单调减区
所以 a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
栏目导航
2．(变条件)若本例(2)的函数 f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求 x
的范围．
课件
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[解] 由题意可知，
2x－3>0，
5x－6>0， 2x－3<5x－6，
若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)>f(b)时，a<b.
2．决定二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 单调性的因素有哪些？提示：开口方向和对称轴的位置，即字母 a 的符号及－2ba的大小．

函数单调性说课稿PPT(共25张PPT)

19
教材分析
3.例题讲解，巩固新知
学情分析
例2
教法学法分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函数单调性的理解。
板书设计
20
教材分析
4.课堂练习，升华新知
学情分析
教法学法分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设计
设计意图
13
2.探索新知，讲授新课
教材分析
学情分析
问题2
教法学法分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设计
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…
设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
14
2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相关实际的问题。目的是加深学生对定义的理解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同时为导数的教学作准备。
21
5.归纳总结，布置作业
教材分析
学情分析
教法学法分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探究过程形成自主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、

函数的单调性说课PPT课件

在区间[-2,1), [3, 5]上是增函数。
返回
end
例2：证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1<x2,则取值
f(x1)-f(x2)=(3 x1 +2)-(3 x2+2)
作差
=3( x1- x2)
变形
由x1<x2 ，得 x1- x2 <0
于是 f(x1)-f(x2)<0
教学设计
设计说明
例3 证明函数f(x)=1/x 在 (0，+∞)上是减函数。
y
o x
解答
讨论：
1、此函数f(x)在给定区间上是恒大于 0的，还有其它证明方法吗？
2、函数f(x)在 ,上也是减函数
吗？
通过此题的辅导、讲解，强化解题步骤，形成并提高解题能力。
调动学生参与讨论，形成生动活泼的学习氛围，从而培养学生的发散思维，开阔解题思路，使学生形成良好的学习习惯。
返回 end
教学设计
设计说明
三）巩固
通过练习加深对概念的理解，熟悉判断方
1、教材 p59 练习 1，2，4 2、小结
法，达到巩固，消化新知的目的。同时强化解题步骤，形成并提高解
四）作业
题能力。对本节课内容作全
1、教材 p60 习题2.3 1，3，4；
面小结，除知识外，对
2、证明函数f（x）=-x2在 0, 上是减函数。所用到的数学方法，也
因例1较简单，不详细讲解，只用多媒体演示其图象的变化情况。但要讲清：
①单调区间的开闭 ②增、减区间的表示 ③图象升、降的看法
通过本例培养学生的观察、分析能力。

高中数学第二章函数2.3函数的单调性课件北师大版必修1

第十页，共36页。
5．函数 f(x)＝－x2＋6x＋8 在[－2,1]上的最大值是________．【解析】 f(x)＝－x2＋6x＋8＝－(x－3)2＋17，所以函数 f(x)在[－2,1]上是增函数．所以 f(x)的最大值为 f(1)＝13. 【答案】 13
第十一页，共36页。
课堂探究类型一函数单调性的判定或证明 [例 1] (1)函数 y＝f(x)的图像如图所示，其减区间是( )
(2)证明：对于任意的 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝x121－x122 ＝x22x－21x22x21＝x2－xx121xx222＋x1. ∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x12x22>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)．
第二十一页，共36页。
方法归纳,
函数单调性应用的关注点 (1)函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的范围． (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
第二十二页，共36页。
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a 的取值范围．
第二十三页，共36页。
【解析】函数 f(x)＝x2－2ax－3 的图像开口向上，对称轴为直线 x＝a，画出草图如图所示．
由图像可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上分别单调，因此要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x) 在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．

2.3 (2) 函数的单调性

§2.3 函数的单调性【学习目标】1、理解单调性定义及几何意义，掌握用定义法证明函数单调性，会求单调区间；2、通过具体例子，体会函数图象在判断单调性中的作用，进而体会数形结合的思想；3、激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验学习的快乐和成功的愉悦。

【学习重点】：函数单调性定义及应用。

【学习难点】：证明函数的单调性，求单调区间和最值。

预习案Ⅰ、相关知识如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图像请回答：在区间[-2,1]，[3,5] 上图像有相同的特征，图像表现为从左到右是，函数值y 随自变量x 的增大而。

在区间[-5,-2]，[1,3]上图像有相同的特征，图像表现为从左到右是，函数值y 随自变量x 的增大而。

1、在函数()x f y =的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数1x ，A x ∈2当21x x <时，都有，那么就称()x f y =在区间A 上是（）；当21x x <时，都有，那么就称()x f y =在区间A 上是（）。

（如下图1,、2所示）2、如果()x f y =在区间A 上是增加或减少的，那么称A 为；3、如果()x f y =在整个定义域内是增加的或减少的，我们就分别称这个函数为（）或（），统称为。

思考：1、如果函数()x f y =，对于任意1x ，A x ∈2，21x x ≠，都有0)]()()[(2121>--x f x f x x ，能说()x f 在A 上是增函数吗？2、函数()xx f 1=在其定义域内单调递减，对吗？Ⅱ、预习自测1、函数()x f y =的图像如下图所示，该函数的单调增区间为。

2、设函数b x a y +-=)12(是R 上的减函数，求a 的取值范围。

3、证明函数()13+-=x x f 在（-∞，+∞）上是减函数。

思考：能否用简洁的语言概括函数单调性的证明步骤？探究案Ⅰ、知识探究1、证明函数x x y 1+=在（0,1）上递减，（1，+∞）上递增。

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变1：已知函数f (x)在区间2，4上是增函数，
求实数a的取值范围。
变2：已知函数f (x)在区间2，4上是减函数，
求实数a的取值范围。
变3：已知函数f (x)在区间2，4上单调，
求实数a的取值范围。
变4：已知函数f (x)在区间2，4上不单调，
求实数a的取值范围。
例3：若y f (x)是定义在（1,1）上的减函数，且f (1 a) f (2a 1),求a的取值范围。
则有（ D ）
A.a 1 2
B.a 1 2
C.a 1 2
D.a 1 2
x2 1, x 1
5.若函数 f (x)
在R上是单调增函数，
ax 1, x 1
求 a 的取值范围。
0a3
6、函数f(x)对任意的m, n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1.
并且当x > 0时，f(x)> 1. 1）求证：f(x)在R上是增函数； 2）已知f(3)=4,解不等式 f ( a-5) < 2.
求函数
f
( x)的最值。
课堂训练：
1 .定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a,b
总有
f a f b
0 ab
成立，则必有（ C ）
A.函数f(x)是先增后减 B.函数f(x)是先减后增
C.函数f(x)在R上是增函数 D.函数f(x)在R上是减函数
2.已知函数
f x 5
x
，则下列区间不是递减区间
课堂思考填表（一）
函数
y kx+b（k 0）
y k (k 0) x
k >0 k <0 k >0 k <0
单调区间 (, ) (, ) (,0),(0, ) (,0),(0, )
单调性增函数减函数减少的
增加的
填表（二）
函数
y ax2 bx c (a 0)
a0
a0
单调区间
(, b ) 2a
x2 2x 3 （7）f (x) x 1
x
判断函数单调性（求函数单调区间）的方法（1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数单调性；
（4）结论法：
（ⅰ）函数 y f (x) 与 y f (x) 在相应区间
上单调性相反；
（ ⅱ ）若函数 y f (x) 恒正或恒负，则函数 y 1 与 y f (x) 在相应区间上单调性相反；
复习回顾
在区间A上递增或递减
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，
yy
如果对于区间A内的任意两个值 x1, x2 ,
y=f(x)
f(fx(x11)) f(xf(2x) 2)
当 x1 f x2
O 0 xx11 x2x2 x x 那么就说y= f(x)在区间A上是增加的（递增的）
的是（ D ）
A.0,
B. , 0
C.3,9
D.,0 0,
3. 已知函数f(x)是定义(-2,2)在上的减函数，若 f(m-1)>f(2m-1)，实数m的取值范围是( ).
A. m>0
B.
0<m< 3 2
C. -1<m<3
D.
1 2
m
3 2
4.设函数 f x 2a 1 x b 是R上的减函数，
例4.函数f (x)对任意x, y R,总有f (x y) f (x) f ( y), 且当x 0时，f (x) 0，证明f (x)在R上是增函数.
思考：条件不变，若 f (1) 1, f (2a 1) 3,求实数a 的取值范围
例5：已知函数
f
(x)
x 2 4 x
4x, x2,
( b , ) 2a
(, b ) 2a
( b , ) 2a
单调性减少的增加的增加的减少的
例1：求下列函数的单调区间（1）f (x) x2 2x 3
(2) f (x) 2x 1 (3) f (x) x 1 x 1
(4) f (x) x2 2x 3
(5) f (x) x2 2x 3 (6) f (x) 1
f (x)
（ⅲ）在公共区间内，增增=增，增减=增，
减减=减。
例2：证明函数是增加的.
f
( x)
k x
(k<0)在区间（0,+∞）上
思考：讨论f (x) ax 在区间（1，）的单调性。 x 1
例3：已知函数f (x) x2 2(a 1)x 2的单调减区间为（ ,4）,则a的值是什么？
x x
0 ,
0
若
f (1 a) f (2a 1), 求a的取值范围。
(a 3)x 5, (x 1)
思考：已知函数f
(x)
2a x
,
(x
1)
对任意实数
x1,
x1
R，都有
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x1
0, 求实数a的取值范围。
思考：已知函数
f
(
x)
x
1 x
,
x
1 2
,2,
减少的，称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性.
如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或减少的,那么称A为单调区间.
证明函数单调性的步骤：
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2 2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形； 3.定号:确定f(x1)-f(x2)的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
（减少的（递减的））
x1、x2的三大特征：①属于同一区间 ②任意性 ③有大小: 通常规定 x1＜x2
增函数（减函数）
如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的，
则称这个函数为增函数.
（减少的）
（减函数）
函数y=f(x)在整个定义域内是增函数或减函数，统称为单调函数.
单调性与单调区间
函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或
7、