2.3.2函数的单调性2(1)-完整PPT课件
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减少的，称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性.
如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或减少 的,那么称A为单调区间.
证明函数单调性的步骤：
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2 2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形； 3.定号:确定f(x1)-f(x2)的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
x x
0 ,
0
若
f (1 a) f (2a 1), 求a的取值范围。
(a 3)x 5, (x 1)
思考：已知函数f
(x)
2a x
,
(x
1)
对任意实数
x1,
x1
R，都有
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x1
0, 求实数a的取值范围。
思考：已知函数
f
(
x)
x
1 x
,
x
1 2
,2,
求函数
f
( x)的最值。
课堂训练：
1 .定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a,b
总有
f a f b
0 ab
成立，则必有（ C ）
A.函数f(x)是先增后减 B.函数f(x)是先减后增
C.函数f(x)在R上是增函数 D.函数f(x)在R上是减函数
2.已知函数
f x 5
x
，则下列区间不是递减区间
例4.函数f (x)对任意x, y R,总有f (x y) f (x) f ( y), 且当x 0时，f (x) 0，证明f (x)在R上是增函数.
思考：条件不变，若 f (1) 1, f (2a 1) 3,求实数a 的取值范围
例5：已知函数
f
(x)
x 2 4 x
4x, x2,
的是（ D ）
A.0,
B. , 0
C.3,9
D.,0 0,
3. 已知函数f(x)是定义(-2,2)在上的减函数，若 f(m-1)>f(2m-1)，实数m的取值范围是( ).
A. m>0
B.
0<m< 3 2
C. -1<m<3
D.
1 2
m
3 2
4.设函数 f x 2a 1 x b 是R上的减函数，
则有（ D ）
wk.baidu.com
A.a 1 2
B.a 1 2
C.a 1 2
D.a 1 2
x2 1, x 1
5.若函数 f (x)
在R上是单调增函数，
ax 1, x 1
求 a 的取值范围。
0a3
6、 函数f(x)对任意的m, n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1.
并且当x > 0时，f(x)> 1. 1）求证：f(x)在R上是增函数； 2）已知f(3)=4,解不等式 f ( a-5) < 2.
（减少的（递减的））
x1、x2的三大特征：①属于同一区间 ②任意性 ③有大小: 通常规定 x1＜x2
增函数（减函数）
如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的，
则称这个函数为增函数.
（减少的）
（减函数）
函数y=f(x)在整个定义域内是增函数或减函数， 统称为单调函数.
单调性与单调区间
函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或
f (x)
（ⅲ）在公共区间内，增 增=增，增 减=增，
减 减=减。
例2：证明函数 是增加的.
f
( x)
k x
(k<0)在区间（0,+∞）上
思考：讨论f (x) ax 在区间（1， ）的单调性。 x 1
例3：已知函数f (x) x2 2(a 1)x 2的单调减区间 为（ ,4）,则a的值是什么？
复习回顾
在区间A上递增或递减
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，
yy
如果对于区间A内的任意两个值 x1, x2 ,
y=f(x)
f(fx(x11)) f(xf(2x) 2)
当 x 1＜x2 时，都有 f x1 f x2
f x1 f x2
O 0 xx11 x2x2 x x 那么就说y= f(x)在区间A上是增加的（递增的）
7、
变1：已知函数f (x)在区间2，4上是增函数，
求实数a的取值范围。
变2：已知函数f (x)在区间2，4上是减函数，
求实数a的取值范围。
变3：已知函数f (x)在区间2，4上单调，
求实数a的取值范围。
变4：已知函数f (x)在区间2，4上不单调，
求实数a的取值范围。
例3：若y f (x)是定义在（1,1）上的减函数， 且f (1 a) f (2a 1),求a的取值范围。
课堂思考 填表（一）
函数
y kx+b（k 0）
y k (k 0) x
k >0 k <0 k >0 k <0
单调区间 (, ) (, ) (,0),(0, ) (,0),(0, )
单调性 增函数 减函数 减少的
增加的
填表（二）
函数
y ax2 bx c (a 0)
a0
a0
单调区间
(, b ) 2a
( b , ) 2a
(, b ) 2a
( b , ) 2a
单调性 减少的 增加的 增加的 减少的
例1：求下列函数的单调区间 （1）f (x) x2 2x 3
(2) f (x) 2x 1 (3) f (x) x 1 x 1
(4) f (x) x2 2x 3
(5) f (x) x2 2x 3 (6) f (x) 1
x2 2x 3 （7）f (x) x 1
x
判断函数单调性（求函数单调区间）的方法 （1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数单调性；
（4）结论法：
（ⅰ）函数 y f (x) 与 y f (x) 在相应区间
上单调性相反；
（ ⅱ ） 若 函 数 y f (x) 恒 正 或 恒 负 ， 则 函 数 y 1 与 y f (x) 在相应区间上单调性相反；
如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或减少 的,那么称A为单调区间.
证明函数单调性的步骤：
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2 2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形； 3.定号:确定f(x1)-f(x2)的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
x x
0 ,
0
若
f (1 a) f (2a 1), 求a的取值范围。
(a 3)x 5, (x 1)
思考：已知函数f
(x)
2a x
,
(x
1)
对任意实数
x1,
x1
R，都有
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x1
0, 求实数a的取值范围。
思考：已知函数
f
(
x)
x
1 x
,
x
1 2
,2,
求函数
f
( x)的最值。
课堂训练：
1 .定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a,b
总有
f a f b
0 ab
成立，则必有（ C ）
A.函数f(x)是先增后减 B.函数f(x)是先减后增
C.函数f(x)在R上是增函数 D.函数f(x)在R上是减函数
2.已知函数
f x 5
x
，则下列区间不是递减区间
例4.函数f (x)对任意x, y R,总有f (x y) f (x) f ( y), 且当x 0时，f (x) 0，证明f (x)在R上是增函数.
思考：条件不变，若 f (1) 1, f (2a 1) 3,求实数a 的取值范围
例5：已知函数
f
(x)
x 2 4 x
4x, x2,
的是（ D ）
A.0,
B. , 0
C.3,9
D.,0 0,
3. 已知函数f(x)是定义(-2,2)在上的减函数，若 f(m-1)>f(2m-1)，实数m的取值范围是( ).
A. m>0
B.
0<m< 3 2
C. -1<m<3
D.
1 2
m
3 2
4.设函数 f x 2a 1 x b 是R上的减函数，
则有（ D ）
wk.baidu.com
A.a 1 2
B.a 1 2
C.a 1 2
D.a 1 2
x2 1, x 1
5.若函数 f (x)
在R上是单调增函数，
ax 1, x 1
求 a 的取值范围。
0a3
6、 函数f(x)对任意的m, n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1.
并且当x > 0时，f(x)> 1. 1）求证：f(x)在R上是增函数； 2）已知f(3)=4,解不等式 f ( a-5) < 2.
（减少的（递减的））
x1、x2的三大特征：①属于同一区间 ②任意性 ③有大小: 通常规定 x1＜x2
增函数（减函数）
如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的，
则称这个函数为增函数.
（减少的）
（减函数）
函数y=f(x)在整个定义域内是增函数或减函数， 统称为单调函数.
单调性与单调区间
函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或
f (x)
（ⅲ）在公共区间内，增 增=增，增 减=增，
减 减=减。
例2：证明函数 是增加的.
f
( x)
k x
(k<0)在区间（0,+∞）上
思考：讨论f (x) ax 在区间（1， ）的单调性。 x 1
例3：已知函数f (x) x2 2(a 1)x 2的单调减区间 为（ ,4）,则a的值是什么？
复习回顾
在区间A上递增或递减
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，
yy
如果对于区间A内的任意两个值 x1, x2 ,
y=f(x)
f(fx(x11)) f(xf(2x) 2)
当 x 1＜x2 时，都有 f x1 f x2
f x1 f x2
O 0 xx11 x2x2 x x 那么就说y= f(x)在区间A上是增加的（递增的）
7、
变1：已知函数f (x)在区间2，4上是增函数，
求实数a的取值范围。
变2：已知函数f (x)在区间2，4上是减函数，
求实数a的取值范围。
变3：已知函数f (x)在区间2，4上单调，
求实数a的取值范围。
变4：已知函数f (x)在区间2，4上不单调，
求实数a的取值范围。
例3：若y f (x)是定义在（1,1）上的减函数， 且f (1 a) f (2a 1),求a的取值范围。
课堂思考 填表（一）
函数
y kx+b（k 0）
y k (k 0) x
k >0 k <0 k >0 k <0
单调区间 (, ) (, ) (,0),(0, ) (,0),(0, )
单调性 增函数 减函数 减少的
增加的
填表（二）
函数
y ax2 bx c (a 0)
a0
a0
单调区间
(, b ) 2a
( b , ) 2a
(, b ) 2a
( b , ) 2a
单调性 减少的 增加的 增加的 减少的
例1：求下列函数的单调区间 （1）f (x) x2 2x 3
(2) f (x) 2x 1 (3) f (x) x 1 x 1
(4) f (x) x2 2x 3
(5) f (x) x2 2x 3 (6) f (x) 1
x2 2x 3 （7）f (x) x 1
x
判断函数单调性（求函数单调区间）的方法 （1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数单调性；
（4）结论法：
（ⅰ）函数 y f (x) 与 y f (x) 在相应区间
上单调性相反；
（ ⅱ ） 若 函 数 y f (x) 恒 正 或 恒 负 ， 则 函 数 y 1 与 y f (x) 在相应区间上单调性相反；