九年级数学直线与圆的位置关系(含答案)

直线与圆的位置关系

中考要求

重难点

1．理解直线与圆的位置关系；

2．能够证明切线及利用切线解决相关问题．

课前预习

切线（tangent line ）

几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确的说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的，此时，“切线在切点附近的部分”最接近“曲线在切点附近的部分”（无限逼近思想）。tangent 在拉丁语中就是to touch 的意思。类似的概念也可以推广到平面相切等概念中。

曲线切线和法线的定义

P 和Q 是曲线C 上邻近的两点，P 是定点，当Q 点沿着曲线

C 无限地接近P 点时，割线PQ 的极限位置PT 叫做曲线C 在点P 的切线，P 点叫做切点；经过切点P 并且垂直于切线PT 的直线PN 叫做曲线C 在点P 的法线（无限逼近的思想）

说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；PT 是曲线C 在点P 的切线，但它和曲线C 还有另外一个交点；相反，直线l 尽管和曲线C 只有一个交点，但它却不是曲线C 的切线．

例题精讲

模版一 直线与圆位置关系的确定

设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：

1. 切线的性质

（1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心

①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB 过圆心，AB 过切点M ，则AB l ⊥． ②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB 过圆心，AB l ⊥，则AB 过切点M ． ③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l ⊥，AB 过切点M ，则AB 过圆心．

l

2. 切线的判定

（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

（3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．

l

3.切线长和切线长定理

（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

三．三角形的内切圆

1.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，

这个三角形叫做圆的外切三角形．

2.多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．

3.直角三角形内切圆的半径与三边的关系

c

b

c b

a

O F

E

D

C

B

A

C B

A

C

B

A

设a．b．c分别为ABC

△中A

∠．B

∠．C

∠的对边，面积为S，则内切圆半径为

s

r

p

=，其中()

1

2

p a b c

=++．若90

C

∠=︒，则()

1

2

r a b c

=+-．

【例1】（2011•成都）已知O的面积为2

9cm

π，若点O到直线l的距离为cm

π，则直线l与O的位置关系是（）

A．相交B．相切C．相离D．无法确定

【难度】1星

【解析】设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点O到直线l的距离π比较即可．

【答案】设圆O的半径是r，

则29

r

ππ

=，

∴3

r=，

∵点O 到直线l 的距离为π， ∵3π<， 即：r d <，

∴直线l 与O 的位置关系是相离， 故选C ．

【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当r d <时相离；当r d =

时相切；当r d > 时相交．

【巩固】（2010•湘西州）如果一个圆的半径是8cm ，圆心到一条直线的距离也是8cm ，那么这条直线和这

个圆的位置关系是（ ） A ．相离

B ．相交

C ．相切

D ．不能确定

【难度】1星

【解析】欲求圆与AB 的位置关系，关键是求出点C 到AB 的距离d ，再与半径r 进行比较．若d r <，则

直线与圆相交；若d r =，则直线于圆相切；若d r >，则直线与圆相离．

【答案】∵圆的半径是8cm ，圆心到直线的距离也是8cm ，

∴直线与圆相切． 故选C ．

【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关

系完成判定．

【巩固】已知⊙O 的半径为3cm ，点P 是直线l 上一点，OP 长为5cm ，则直线l 与O 的位置关系为（ ）

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．相交．相切．相离都有可能

【难度】1星

【解析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：

若d r <，则直线与圆相交；若d r =，则直线于圆相切；若d r >，则直线与圆相离．

【答案】∵垂线段最短，∴圆心到直线的距离小于等于5．

此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交．相切．相离都有可能． 故选D ．

【点评】判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．

特别注意：这里的5不一定是圆心到直线的距离．

【巩固】ABC △中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =．给出下列三个结论：