九年级数学圆与直线的关系

第三课时直线与圆的位置关系

课型：同步复习

【教学目标】掌握圆与直线的位置关系、切线以及切线长定理、三角形的内切圆和内心

【教学重点】切线、切线长定理；三角形内心

【教学难点】切线、切线长性质定理的应用

【教学过程】

【知识点回顾】1. 直线与圆的位置关系

如果圆O的半径是，圆心O到直线的距离为，根据直线和圆相交、相切、相离的定义，容易得到：

直线与圆的位置

相交相切相离

关系

公共点个数210圆心到直线的距

离与半径的关系

公共点的名称交点切点

直线名称切线

注意：① 判断直线与圆的位置关系，可以转化为比较圆心到直线的距离与半径大小比较

② 直线与圆的位置关系与点和圆的位置关系既有相似之处，也有区别，要注意区分

例1：圆O的半径为5，圆心O到直线的的距离为4，则直线与圆O的位置关系是（ ）

A 相交

B 相切

C 相离

D 无法确定

例2：在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（ ）

A 若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则着两条直线不可能垂直

B 若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点

C 若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点

D 若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径

例3：如图，在平面直角坐标系中，圆O的半径为1，则直线与圆O的位置

关系是（ ）

A 相离

B 相切

C 相交

D 都有可能

2.切线的判定定理与性质定理

判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

推论2：经过切点且垂直于切线必经过圆心

例4：如图，AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，CD是圆O的切线，D为切点，若∠A=25°，则∠C等于（ ）

A 25°

B 35°

C 40°

D 50°

例5：如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（-3,0），

将圆P沿 轴正方向平移，使圆P与轴相切，则平移的距离为（ ）

A 1

B 1或5

C 3

D 5

例4图

例6：如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线

段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延

长线于点F。下列结论：① CE=CF；② 线段EF的最小值为；③

当AD=2时，EF与半圆相切。其中正确结论是_____________

例5图 例6图

3.三角形的内切圆、内心

三角形的内切圆：三角形的三边都与圆O相切，则圆O为三角形的内切圆；点O为三角形的内心。

注意：① 任意三角形有且只有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形

② 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形内心是

三角形三个角平分线的交点

③ 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角

形的内部

例7：下列四边形中，一定有内切圆的是 （ ）

A 矩形

B 等腰梯形

C 菱形

D 平行四边形

例8：如图，O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交E、F，则（ ）

A B C D

例8图 例9图例9：如图，圆O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则圆O的半径等于________

例10：如图，AB是圆O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB

（1） 求证：BC是圆O的切线

（2） 若圆O的半径为，OP=1，求BC的长

4.切线长的定义和定理

切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段长切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

注意：① 切线和切线长是两个不同的概念；切线是直线，切线长是线段的长

② 切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例以

及垂直关系的重要依据

如图，PA、PB分别是圆O的切线，A、B为切点，AC是圆O的直径，已知

∠BAC=35°，∠P的度数为（ ）

A 35°

B 45°

C 60°

D 70°

例12：如图Rt△ABC的内切圆圆O与两直角边AB、BC分别相切于点D，E，过劣弧DE（不包括端点D、E）上任意一点P作圆O的切线MN与AB、BC分别交于点

M、N，若圆O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（ ）

A r

B

C 2r D

例11图 例12图 例13图 例14图

如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作

半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于E点，则△ADE的面

积=__________

例14：如图，在平面直角坐标系中，有一个正方形AOBC，反比例函数经过正方形AOBC对角线的交点，半径为的圆内切于△ABC，则的值为___________

1．已知圆O的半径是6cm，点O到同一平面内直线的距离为5cm，则直线与圆O的位置关系是（ ）

A 相交

B 相切

C 相离

D 无法判断

2.下列说法正确的是（ ）

A 垂直于半径的直线是圆的切线

B 圆的切线垂直于半径

C 经过半径的外端的直线是圆的切线

D 圆的切线垂直于过切点的半

径

如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，连接OC交圆O于点D，连接BD，

∠C=40°，则∠ABD的度数是（ ）

A 30°

B 25°

C 20°

D 15°

第3题图 第4题图 第5题图

4.如图，P是圆O的直径BA延长线上一点，PC与圆O相切，切点为C，点D

是圆O上一点，连接PD，已知PC=PD=BC。下列结论：①PD与圆O相切；

②四边形PCBD是菱形；③PO=AB；④∠PDB=120°其中正确的个数为（

）