空间向量高考专题

空间向量高考专题

1.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

以F 为坐标原点， FA 的方向为x 轴正方向， AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.

由（1

）及已知可得2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，

0,0,2P ⎛ ⎝⎭，

2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，

,1,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.

所以22PC ⎛=-- ⎝⎭， ()

2,0,0CB =，

222PA ⎛=- ⎝⎭， ()0,1,0AB =. 设(),,n x y z =是平面PCB 的法向量，则

0{

0n PC n CB ⋅

=⋅=

，即0{ 22

0x y z -+-==， 可取(0,1,n =-.

设(),,m x y z =是平面PAB 的法向量，则 0{

0m PA m AB ⋅

=⋅=，即0{ 220

x z y -==， 可取()1,0,1n

=.

则cos ,n m n m n m ⋅=

=， 所以二面角A PB C --的余弦值为 2.【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点.

（Ⅰ）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小；

（Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小.

【答案】（Ⅰ）30CBP ∠=︒.（Ⅱ）60︒.

【解析】

（Ⅰ）因为AP BE ⊥， AB BE ⊥，

AB ， AP ⊂平面ABP ， AB AP A ⋂=，

所以BE ⊥平面ABP ，

又BP ⊂平面ABP ，

所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒，

因此30CBP ∠=︒

（Ⅱ）以B 为坐标原点，分别以BE ， BP ， BA 所在的直线为x ， y ， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得()0,0,3A ()2,0,0E ，

()G ，

()

C -，故()2,0,3AE =-，

()AG =， ()2,0,3CG =， 设()111,,m x y z =是平面AEG 的一个法向量.

由0

{ 0m AE m AG ⋅=⋅=

可得1111230,

{ 0,x z x -=+=

取12z =，可得平面AEG

的一个法向量()3,2m =.

设()222,,n x y z =是平面ACG 的一个法向量.

由0

{ 0n AG n CG ⋅=⋅=

可得22220,

{ 230,x x z =+=

取22z =-，可得平面ACG

的一个法向量()3,2n =-. 所以1cos ,2

m n m n m n ⋅==⋅. 因此所求的角为60︒.

3.【2017北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD

AB=4．

（I ）求证：M 为PB 的中点；

（II ）求二面角B -PD -A 的大小；

（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）详见解析：（Ⅱ）

3π ；

【解析】 （I ）设,AC BD 交点为E ，连接ME .

因为PD 平面MAC ，平面MAC ⋂平面PBD ME =，所以PD ME .

因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点.

（II ）取AD 的中点O ，连接OP ， OE .

因为PA PD =，所以OP AD ⊥.

又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD .

因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP OE ⊥.

因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥.

如图建立空间直角坐标系O xyz -

，则(P ， ()2,0,0D ， ()2,4,0B -， ()4,4,0BD =-，

(2,0,PD =.

设平面BDP 的法向量为(),,n x y z =，则0{ 0n BD n PD ⋅=⋅=

，即440{ 20

x y x -==. 令1x =，则1y =，

z =于是()2n =.

平面PAD 的法向量为()0,1,0p =，所以1cos ,2n p n p n p ⋅=

=. 由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为3

π

.

（III

）由题意知1,M ⎛- ⎝⎭， ()2,4,0D ，

3,2,MC ⎛= ⎝⎭

. 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则2sin cos ,9

n MC

n MC n

MC α⋅===所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为9

.

4.【2017天津，理17】如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2.

（Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；

（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；

（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE ，求线段AH 的长.

【答案】 （1）证明见解析（2 （3）85 或12 【解析】如图，以A 为原点，分别以AB ， AC ， AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，4，0），P （0，0，4），D （0，0，2），E （0，2，2），M （0，0，1），N （1，2，0）.

（Ⅰ）证明： DE =（0，2，0），DB =（2，0， 2-）.设(),,n x y z =，为平面BDE 的法向量， 则0{ 0

n DE n DB ⋅=⋅=，即20{ 220y x z =-=.不妨设1z =，可得()1,0,1n =.又MN =（1，2， 1-），可得0MN n ⋅=. 因为MN ⊄平面BDE ，所以MN //平面BDE .