吉布斯现象的matlab实现

信号与系统实验

实验者信息：

一：实验题目

运用matlab 验证吉布斯现象 二：实验原理

对于具有不连续点（跳变点）的波形，所取级数项数越多，近似波形的方均误差虽可减小，但在跳变点处的峰起（上冲）值不能减小，此峰起随项数增多向跳变点靠近。（详见课本279页） 三：实验内容

1.计算N 取不同值时的方均误差N E 的值

2.用matlab 画出N 取不同值时

N

0n 1n 1n 1S(t)=a [a cos(n t)b sin(n t)]ωω=++∑的图。

四：实验过程

我们取课本99页的函数f (t)作为实验的目标函数

-E/2 (T /2t T /4)f(t)=E/2(T /4t T /4)

-E/2(T /4t T /2)-<<-⎧⎪

-<<⎨⎪<<⎩

matlab 有专门产生矩形波的函数square(t)，为了显示对称波形，

将它移动四分之一个周期，即square(t+T/2)，然后再乘上我们此题中的振幅E

2

,因此得到

f_t=(E/2)*square(t+T/2);

已知周期函数f (t)的傅里叶级数为

0n 1n 1n 1f(t)=a [a cos(n t)b sin(n t)]

ωω∞

=++∑

因为此题的函数既是偶函数，又是奇谐函数。因此在它的傅里叶级数中只可能含有奇次谐波的余弦项。所以n 2E n a sin()n 2ππ=

于是

1112E

11

f (t)[cos(t)cos(3t)cos(5t)]35ωωωπ=

-+-

若取傅里叶级数的前(2N 1)+项来逼近周期函数f (t)，则有限项傅里叶级数为

N

0n 1n 1n 1S(t)=a [a cos(n t)b sin(n t)]

ωω=++∑

进一步简化为

2N 1N n 12E sin(nt)

S T n -==∑ 为了得到对称波形，将它移动四分之一个周期，即

2N 1

N n 1

n T

sin(nt )2E

2S T

n

-=⨯+

=

∑

N S 就是代码中的S

这样用S(t)逼近f (t)引起的误差函数为N (t)f (t)S(t)ε=- 方均误差等于

010

t T 2

2

N N N t 11E (t)(t)dt T εε+==

⎰

在程序中我们取t=-T:0.0001:T;将t 等分成多份，所以不能直接用积分函数int （即不连续），所以依据定义的方法来求积分（极限法）

1T

2

N

1t 0

t T lim((t )t)ε∆→=-∆∑因为均分所以积分变为1T

2N

t T

t ε

=-∆⨯

∑其中

1T

2N

t T

ε

=-∑为

所有分量1t 对应的2

N ε值的总和

求N E 时应除以总周期即2T ，t

2T

∆即是将区间分为多少等份的倒数，matlab 中为

1

length(t)

，其中length(t)为将区间分成的等份数。

综上 ，我们得1T

2N

t T

N sum((f_t-S).^2)

E length(t)

length(t)

ε

=-=

=

∑ （后面是用在

matlab 中的计算方法）

第一问：

n 2N 1=-，n 为n E 的计数，

运行matlab 分别令N 1;N 3;N 5=== 得出123E 0.7577;E 0.3975;E 0.2678===…………如下表1

表1 方均误差

第二问：

-4

-3-2-1

01234

-3-2

-1

1

2

3

时间t

相应的函数值f (t )和S (t )

有限级数 S1

-4

-3-2-1

01234

-3-2

-1

1

2

3

时间t

相应的函数值f (t )和S (t )

有限级数 S2

-4

-3-2-1

01234

-3-2

-1

1

2

3

时间t

相应的函数值f (t )和S (t )

有限级数 S3

-4

-3-2-1

01234

时间t

相应的函数值f (t )和S (t )

有限级数 S20

放大跳变点附近的图像得到下图

五：实验结论与分析

由第一问的表1和第二问的图像可知，随着N 的增大，即随着所取级数项数的增多，进似方均误差减小，且峰起随着项数的增多向跳变点靠近，并且从有限级数S20跳变点附近的放大图可知峰起值趋于相同（峰起值趋近于跳变值的9%，这里不再予以验证）。 代码如下：

clear; E=4; T=pi;

t=-T:0.0001:T;%周期 N=input('N'); i=1;

for i=1:N%设出i ，让它变化，从而绘出S1，S2，S3……SN a=0;

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5 1.55 1.6

1.65

1.7

1.75

2.052.12.152.22.252.32.35时间t

相应的函数值f (t )和S (t )

有限级数 S20