复数的几何意义及四则运算
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数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复
数都是纯虚数。
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
解：由mm22
m m
6 2
0 0
得m
3 2
m2 或m
1
m(3,2) (1,2)
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以 及乘法对加法的分配律. 即对任何z1,z2,z3有
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
即:两个复数相加(减)就是实部与 实部,虚部与虚部分 别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
2.复数的乘法与除法
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似
的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
（数）
（形）
z=a+bi Z(a,b)
a
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
例1.辨析：
1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实
轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在
虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复
当b ≠0 时，则z为虚数 当a= 0 且b ≠0时，则z为纯虚数
复数的分类
实数(b 0)
2、复数a+bi虚数(b
0)
纯虚数(a 0，b 0) 非纯虚数(a 0，b
0)
思 考？
3.复数集，虚数集，实数 集，纯虚数集之间的关
系？R C
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
ad )i
分母实数化
实数 (数)
实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应
数轴上的点 (形)
想 一 想
类比实数的 表示，可以 用什么来表
示复数？
？
回 忆
复数的 一般形
式？
…
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
来自百度文库
一个复数 由什么唯 一确定？
复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
复数相等的定义
如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就 说这两个复数相等.
根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数
a+bi和 c+di 相等规定为a+bi
=
c+diba
c d
两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相
等或不相等。
实数的几何意义
在几何上， 我们用什么 来表示实数?
(3)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子
与分母都乘以分母的共轭复数,化简后
写成代数形式(分母实数化).即
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
bd ) c2
(bc d2
的几何意义: |，即复数
z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的
距离。
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
uuur | z | = |OZ | a2 b2
小结
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
(a,b,c, d Î R)
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
引入新数，完善数系
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位， 并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算 时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换律、结合律 和分配律)仍然成立。
复数有关概念
1、定义:形如a+bi（a∈R，b∈R）的数叫复数,
其中i叫虚数单位。 注意:①复数通常用字母z表示，即复数a+bi （a∈R，b∈R)可记作:z =a+bi （a∈R，b∈R），
把这一表示形式叫做复数的代数形式。
②复数Z=a+bi (a∈R， b∈R )把实数a，b叫做
复数的实部和虚部。
③全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。
讨论
观察复数的代数形式 复数的分类？
z a bi(a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
当a= 0 且b= 0 时，则z=0 当b= 0 时，则z为实数
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
复数的几何意义（二）
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur
平面向量 OZ
一一对应
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
小结
对复应数平的面绝向对量值Ouu(Zur复的数模的| Ou模uZur)
数都是纯虚数。
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
解：由mm22
m m
6 2
0 0
得m
3 2
m2 或m
1
m(3,2) (1,2)
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以 及乘法对加法的分配律. 即对任何z1,z2,z3有
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
即:两个复数相加(减)就是实部与 实部,虚部与虚部分 别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
2.复数的乘法与除法
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似
的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
（数）
（形）
z=a+bi Z(a,b)
a
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
例1.辨析：
1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实
轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在
虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复
当b ≠0 时，则z为虚数 当a= 0 且b ≠0时，则z为纯虚数
复数的分类
实数(b 0)
2、复数a+bi虚数(b
0)
纯虚数(a 0，b 0) 非纯虚数(a 0，b
0)
思 考？
3.复数集，虚数集，实数 集，纯虚数集之间的关
系？R C
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
ad )i
分母实数化
实数 (数)
实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应
数轴上的点 (形)
想 一 想
类比实数的 表示，可以 用什么来表
示复数？
？
回 忆
复数的 一般形
式？
…
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
来自百度文库
一个复数 由什么唯 一确定？
复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
复数相等的定义
如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就 说这两个复数相等.
根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数
a+bi和 c+di 相等规定为a+bi
=
c+diba
c d
两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相
等或不相等。
实数的几何意义
在几何上， 我们用什么 来表示实数?
(3)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子
与分母都乘以分母的共轭复数,化简后
写成代数形式(分母实数化).即
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
bd ) c2
(bc d2
的几何意义: |，即复数
z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的
距离。
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
uuur | z | = |OZ | a2 b2
小结
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
(a,b,c, d Î R)
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
引入新数，完善数系
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位， 并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算 时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换律、结合律 和分配律)仍然成立。
复数有关概念
1、定义:形如a+bi（a∈R，b∈R）的数叫复数,
其中i叫虚数单位。 注意:①复数通常用字母z表示，即复数a+bi （a∈R，b∈R)可记作:z =a+bi （a∈R，b∈R），
把这一表示形式叫做复数的代数形式。
②复数Z=a+bi (a∈R， b∈R )把实数a，b叫做
复数的实部和虚部。
③全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。
讨论
观察复数的代数形式 复数的分类？
z a bi(a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
当a= 0 且b= 0 时，则z=0 当b= 0 时，则z为实数
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
复数的几何意义（二）
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur
平面向量 OZ
一一对应
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
小结
对复应数平的面绝向对量值Ouu(Zur复的数模的| Ou模uZur)