圆内接三角形的一个性质及应用 专题辅导

圆内接三角形的一个性质及应用
五方向王永梅
性质：三角形任意两边的乘积等于第三边上的高与其外接圆直径的乘积。
已知圆O是△ABC的外接圆，AD是边BC上的高，AE是圆O的直径。
求证：AB·AC=AD·AE。
证明：如图1所示，连结BE，则有
图1
又AD上是边BC上的高，
所以
故
即
因此，AB·AC=AD·AE。
该性质应用非常广泛，巧妙地应用此性质解题，能简化解题过程。现举例说明如下：
1.证明等积式
例1.如图2所示，已知AB为圆O的一条弦，C、D在圆O上且在AB的同侧， 求证：AD·BD·CE=AC·BC·DF。
图2
证明：设圆O的直径为d，则
AD·BD=DF·d
AC·BC=CE·d
两式相乘得
AD·BD·CE·d=AC·BC·DF·d
即
2.证明比例式
例2.已知圆O的内接四边形ABCD的对角线BD平分AC于E。求证； 。
图5
解：连结AO，并延长交圆O于E，则
因为△ABD、△ACD均为直角三角形，且
AD=3，所以
即自变量x的取值范围是 。
练习：
已知AC、BD是圆O的内接四边形的两条对角线，且 。
求证： 是定值。
证明：如图3所示，分别过点A、C作 。
图3
设圆O的直径为d，则
3.证明定值
例3.两圆相交于两点A、B，经过交点B的任意一直线和两圆分别相交于点C、D。求证：AC与AD的比为定值。
证明：如图4所示，连结AB，ห้องสมุดไป่ตู้A作
图4
设圆O1、圆O2的直径分别为 ，则 ，两式相除，得 （为定值）。
4.求函数式
例4.如图5所示，已知圆O的内接△ABC中，AB+AC=12， 且AD=3。设圆O的半径为y，AB的长为x。求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。