圆内接四边形的性质判定定理习题及答案
《2.2圆内接四边形的性质与判定定理》同步练习2.docx
1.如图，已知AABC的外心为0,过点B、C任意作一圆，分别与AB、AC的延长线交于点E、F.求证：AO丄EF.2.在直角坐标系中，点A (5, 0)关于原点O的对称点为点C。
(1)请直接写出点C的坐标；(2)若点B在第一象限内，ZOAB=ZOBA,并且点B关于原点O的对称点为点D。
①试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；②现有一动点P从B点出发，沿路线BA-AD以每秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.已知AB=6,设点P、Q的运动时间为t 秒，在运动过程屮，当动点Q在以PA为直径的圆上时，试求t的值。
3.长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面.该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量对知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米.(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的血积及圆面的半径R的值；(2)因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC±设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值.4.下列说法：(1)如图1,已知PA=PB,则PO是线段AB的垂直平分线；2(2)对于反比例函数y二一，(xl, yl) , (x2, y2)是其图象上两点，若xl<x2,则yl>y2；（3） 对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（4） 如图 2,在 A ABC 中,ZA=30°, BC=2,则 AC=4；（5） 一组对边平行的四边形是梯形；k （6） y= —x 是反比例函数；（7） 若一个等腰三角形的两边长为2和3,那么它的周长为7,其中正确的有（ ）个.A. 0B. 1C. 2D. 55. 在圆内接四边形ABCD 中，CD 为ZBCA 外角的平分线，F 为弧AD 上一点，BC=AF,延 长DF 与BA 的延长线交于E 。
九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年压轴题版
九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年压轴题版答案解析答案解析2020年九上数学：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质练习题1.(2019拱墅.九上期末) 如图，在△ABC 中，AB =AC ， 以AB 为直径的⊙O 分别交BC ， AC 于点D ， E ， 连结EB ，交OD 于点F ．（1） 求证：OD ⊥BE ．（2） 若DE = ，AB =6，求AE的长．（3） 若△CDE 的面积是△OBF 面积的 ，求线段BC 与AC 长度之间的等量关系，并说明理由．考点： 垂径定理;圆周角定理;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;2.(2019鄞州.九上期末) 如图1，△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F ．（1） 求证：∠ADB=∠CDE ：（2） 若BD=7，CD=3，①求AD·DE 的值；②如图2，若AC ⊥BD ，求tan ∠ACB（3） 若tan ∠CDE= ，记AD=x ，△ABC 的面积和△DBC 面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数解析式．考点： 圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;3.(2019宁波.九上期中) 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．（1） 如图1，若四边形ABCD 是圆美四边形，求美角∠A 的度数．（2） 在(1)的条件下，若⊙O 的半径为5．①求BD 的长．②如图2，在四边形ABCD 中，若CA 平分∠BCD ，则BC+CD 的最大值是．答案解析答案解析（3） 在(1)的条件下，如图3，若AC 是⊙O 的直径，请用等式表示线段AB ，BC ，CD之间的数量关系，并说明理由．考点：含30度角的直角三角形;圆内接四边形的性质;4.(2020昌平.九上期末) 如图，已知 ，.（1） 求证：是等边三角形；（2） 求 的度数．考点： 等边三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质;5.(2020宁波.九上期末) 如图1，在平面直角坐标系中，已知⊙M 的半径为5，圆心M 的坐标为(3，0)，⊙M 交x 轴于点D ，交y 轴于A ，B 两点，点C 是 上的一点(不与点A 、D 、B 重合)，连结AC 并延长，连结BC ，CD ，AD 。
第二讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理
第⼆讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理第⼆讲直线与圆的位置关系2.2 圆内接四边形的性质与判定定理A级基础巩固⼀、选择题1．圆内接平⾏四边形⼀定是( )B．菱形A．正⽅形D．矩形C．等腰梯形解析：由于圆内接四边形对⾓互补，平⾏四边形的对⾓相等，所以圆内接平⾏四边形的各⾓均为直⾓，故为矩形．答案：D 2．已知AB，CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC⼀定是( )A．矩形B．菱形D．等腰梯形C．正⽅形解析：AB，CD均为⊙O的直径，故四边形ADBC的四个⾓均为直⾓，且对⾓线AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形．答案：A 3．四边形ABCD内接于圆，∠A∶∠B∶∠C＝7∶6∶3，则∠D等于( )B．72°A．36°D．54°C．144°解析：由圆内接四边形的性质定理，∠A＋∠C＝180°.⼜由∠A∶∠C＝7∶3，设∠A＝7x，∠C＝3x，则10x＝180°，即x＝18°，所以∠B＝6x＝108°.故∠D＝180°－∠B＝72°.答案：B4.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上⼀点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )A．20°B．40°C．80°D．100°解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，⼜由圆周⾓定理知∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C 5．如图所⽰，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠B CD的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．75°解析：如图所⽰，连接AD，则△ABD是直⾓三⾓形，∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝35°，根据同弧所对的圆周⾓相等，∠BCD＝∠DAB＝35°.答案：A⼆、填空题6.如图所⽰，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB与DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为____．解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BCP＝∠A.⼜∠P＝∠P，所以△BCP∽△DAP.所以BCAD＝PBPD＝13.答案：137．如图所⽰，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AC是⊙O1的直径，延长CA，CB，分别交⊙O2于D ，E，则∠CDE＝______．解析：连接AB，因为AC是⊙O1的直径，所以∠ABC＝90°.⼜因为∠ABC＝∠ADE，所以∠ADE＝90°，即∠CDE＝90°.答案：90°8．如图所⽰，点A，B，C，D在同⼀个圆上，AB，DC相交于点P，AD，BC相交于点Q，如果∠A＝50°，∠P＝30°，那么∠Q＝________．解析：因为∠A＝50°，∠P＝30°，所以∠QDC＝∠A＋∠P＝80°.⼜∠QCD＝∠A＝50°，所以∠Q＝180°－80°－50°＝50°.答案：50°三、解答题9.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三⾓形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．⼜AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.⼜∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三⾓形．10.如图所⽰，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AC＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的⾯积与△ABC外接圆⾯积的⽐值．(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BCFA＝DCEA，所以△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B、E、F、C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，所以∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°，所以CA是△ABC外接圆的直径．(2)解：连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，因为DB＝BE，CE＝DC，⼜因为BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2，⼜因为DC2＝DB·DA＝3DB2，所以CE2＝3DB2.所以过B、E、F、C四点的圆的⾯积与△ABC外接圆⾯积的⽐值为1 2.B级能⼒提升1.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )A．120°B．136°C．144°D．150°解析：因为∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，所以∠ECD＝72°.由圆内接四边形的性质得∠A＝∠ECD＝72°.⼜由圆周⾓定理知∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.答案：C 2．两圆相交于A，B，过A作两直线分别交两圆于C，D和E，F.若∠EAB ＝∠DAB，则CD＝________．解析：因为四边形ABEC为圆内接四边形，所以∠2＝∠CEB.⼜因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠2，所以∠CEB＝∠ECB.所以BC＝BE.在△CBD与△EBF中，∠ECD＝∠BEF，∠D＝∠F，BC＝BE，所以△CBD≌△EBF，所以CD＝EF.答案：EF3.如图所⽰，A，B，C，D四点在同⼀圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同⼀圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从⽽∠FED＝∠GEC.如图，连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.⼜CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．。
圆周角定理及圆的内接四边形-练习题 含答案解析
解： ， ， ， ，
在 中， ， ， ，
在 中， ， ， ．
【解析】 由AB为直径， ，易得 ，然后由垂径定理证得， ，继而证得结论； 由 ， ，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得 ，然后由圆周角定理，证得 ，则可求得答案．
此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理 此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【解答】
解： 是 的直径， ， ， ， ．
故答案为 ．
9. 如图，已知圆周角 ，则圆心角 ______．
【答案】
【解析】解： ， ．
故答案为 ．
根据圆周角定理即可得出结论．
本题考查了圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
10. 如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心， ，则 的度数为______．
解得： ， ， ，
故选：C．
设 的度数 ， 的度数 ，由题意可得 ，求出 即可解决问题．
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
4. 如图，已知AC是 的直径，点B在圆周上 不与A、C重合 ，点D在AC的延长线上，连接BD交 于点E，若 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
又AD平分 ，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍， 正确． ， ， ， ，故 错误． ， ，
又 ，
故 错误．
故答案为： ．
先利用等腰三角形的性质求出 、 的度数，即可求 的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出 、 ．
本题利用了： 等腰三角形的性质； 圆周角定理； 三角形内角和定理．
7. 如图，AB为 直径，点C、D在 上，已知 ， ，则 ______度
圆内接四边形的性质判定定 理习题及答案
17.已知：如图所示，平分. (1)求AC和DB的长； (2)求四边形ACBD的面积.
18.在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，为垂足. 求证：E、B、C、F四点共圆.
19.如图，矩形ABCD中，AD=8,DC=6,在对角线AC上取一点O,以OC为半径 的圆切AD于点E,交BC于点F,交CD于点G. (1)求⊙O的半径； (2)设，请写出之间关系式，并证明.
12.如图，AB为半圆O的直径，C、D为半圆上的两点，，则 .
三、解答径，⊙O交AB、AC于D、
E，求证：.
14.求证：在圆内接四边形ABCD中，. 15.在等边三角形ABC外取一点P,若，求证：P、A、B、C四点共圆.
16.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，M为CD中点，N为AB中点，于点 E，连接ON、ME，并延长ME交AB于点F.求证：.
角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC 查四点共圆的判定方
上,且AE=AF. (1)证明:B,D,H,E四点共圆; (2)证明:CE平分∠DEF.
法及利用四点共圆的
性质证明角相等问题. 2.处理过程:第(1)小题
只要证明四边形BDHE
的内对角互补即可,但
该小题的的难点恰在
于如何证明内对角互
5.圆内接四边形ABCD中，BA与CD的延长线交于点P,AC与BD交于点E,则
图中相似三角形有
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
6.如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为，则四边形ABCD面积为
A. B.8 C. D.
T6
T7
T12
7.如图，在以BC为直径的半圆上任取一点P,过弧BP的中点A作于D.连接
题
共圆问题,引导学生作
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的性质1、（1）圆内接四边形的对角互补如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A+∠B=1800，∠C+∠B=1800。
（2）圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE=∠D2、圆内接四边形的判定（1）判定定理：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
（2）推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
例1 如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于FG。
求证：∠CFG=∠DGF.1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
2、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
3、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）4、弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半，相当它所夹的弧的圆周角度数。
例1：如图，四边形ABC D内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切于点C，∠BCM=600，则∠B的正切值是（）A. 12B. √33C. √32D.√3例2：如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=640，那么∠BOD=（）A.128°B.100°C.64°D.32°例3：如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD、DC。
（1）求证：BD=DE=DC=DI（2）若圆O的半径为10c m，∠BAC =120°，求△B D C的面积.O P E D C B A A B C D E O 第1题1、（2011年浙江杭州二模）如图，在半圆O 中，直径AE=10，四边形ABCD 是平行四边形，且顶点A 、B 、C 在半圆上，点D 在直径AE 上，连接CE ，若AD=8，则CE 长为 ．2、（2011武汉调考模拟)如图，AB 为半圆O 的直径，OC ⊥ AB 交⊙O 于C,P 为BC 延长线上一动点，D 为AP 中点，DE ⊥PA ，交半径OC 于E ，连CD ．下列结论：①PE ⊥AE ；②DC=DE ；③∠OEA=∠A PB ：④PC+2CE 为定值．其中正确结论的个数为( )A.l 个B.2个C.3个 D .4个3、如图，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点P 在⊙O 上，则∠A PB 等于( )A.300B.450C.550D.6004、如图所示，ABCD 是圆上的点，∠1=700，∠A=400，则∠C= 度。
人教A版选修4-1配套练习第二讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理 Word版含解析
第二讲直线与圆的位置关系圆内接四边形的性质与判定定理级基础巩固一、选择题．圆内接平行四边形一定是( )．菱形．正方形．矩形．等腰梯形解析：由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．答案：．已知，是⊙的两条直径，则四边形一定是( )．菱形．矩形．等腰梯形．正方形解析：，均为⊙的直径，故四边形的四个角均为直角，且对角线＝，所以四边形为矩形．答案：．四边形内接于圆，∠∶∠∶∠＝∶∶，则∠等于( )．°．°．°．°解析：由圆内接四边形的性质定理，∠＋∠＝°.又由∠∶∠＝∶，设∠＝，∠＝，则＝°，即＝°，所以∠＝＝°.故∠＝°－∠＝°.答案：.如图所示，四边形是⊙的内接四边形，为的延长线上一点，∠＝°，则∠等于( )．°．°．°．°解析：因为四边形是圆内接四边形，且∠＝°，由圆内接四边形性质知∠＝∠＝°，又由圆周角定理知∠＝∠＝°.答案：．如图所示，若是⊙的直径，是⊙的弦，∠＝°，则∠的度数为( )．°．°．°．°解析：如图所示，连接，则△是直角三角形，∠＝°，则∠＝°－∠＝°，根据同弧所对的圆周角相等，∠＝∠＝°.答案：二、填空题.如图所示，四边形是圆的内接四边形，延长与相交于点.若＝，。
圆内接四边形性质及判定定理
二圆内接四边形的性质及判判断理[ 对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD 内接于⊙ O，则有：∠ A＋∠ C＝ 180°，∠ B＋∠D＝ 180 °.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠ CBE 是圆内接四边形ABCD 的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判断(1)判判断理：假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆．(2)推论：假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个极点共圆．[ 对应学生用书P21]圆内接四边形的性质[例 1]如图，AB是⊙ O的直径，弦BD ， CA 的延伸线订交于点E，EF垂直BA 的延伸线于点 F.求证：∠DEA ＝∠ DFA.[思路点拨]此题主要察看圆内接四边形判断及性质的应用．解题时，只要证A， D， E，F四点共圆后可得结论．[证明 ]连结AD.由于AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝ 90 °又.EF⊥ AB ，∠EFA＝ 90°，所以A，D ，E， F四点共圆．所以∠ DEA ＝∠ DFA.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角， 可用来作为三角形相像的条件，进而证明一些比率式的建立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形 ABCD 中，已知∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数比为4∶ 3∶5，求四边形各角的度数．解： 设∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数分别为 4x,3x,5x ，则由∠ A ＋∠ C ＝ 180°，可得 4x ＋ 5x ＝ 180°∴.x ＝ 20°.∴∠ A ＝ 4×20°＝80°，∠ B ＝ 3× 20°＝ 60°，∠ C ＝ 5× 20°＝ 100°，∠ D ＝ 180°－∠ B ＝ 120°.2．已知：如图，四边形 ABCD 内接于圆，延伸 AD ，BC 订交于点 E ，点 F 是 BD 的延伸线上的点，且 DE 均分∠ CDF .(1)求证： AB ＝ AC ；(2)若 AC ＝ 3 cm ， AD ＝ 2 cm ，求 DE 的长．解： (1)证明：∵∠ ABC ＝∠ 2，∠ 2＝∠ 1＝∠ 3，∠ 4＝∠ 3，∴∠ ABC ＝∠ 4.∴ AB ＝ AC.(2)∵∠ 3＝∠ 4＝∠ ABC ，∠ DAB ＝∠ BAE ，∴△ ABD ∽△ AEB.∴AB ＝ AD .AE AB∵ AB ＝ AC ＝ 3，AD ＝ 2，2∴ AE ＝AB＝9.AD 2∴ DE ＝9－ 2＝ 5(cm).2 2圆内接四边形的判断[例 2]如图，在△ ABC 中， E ， D ，F 分别为 AB ， BC ， AC 的中点，且 AP ⊥ BC 于 P.求证： E ， D ， P ， F 四点共圆．[思路点拨 ]可先连结PF ，结构四边形EDPF 的外角∠ FPC ，证明∠ FPC ＝∠ C，再证明∠ FPC ＝∠ FED 即可．[证明 ]如图，连结PF ，∵AP⊥ BC， F 为 AC 的中点，∴PF＝1 AC.2∵FC＝1 AC，2∴PF＝ FC .∴∠ FPC＝∠ C.∵E、 F、D 分别为 AB， AC， BC 的中点．∴ EF∥ CD ，ED ∥ FC.∴四边形 EDCF 为平行四边形，∴∠ FED ＝∠ C.∴∠ FPC＝∠ FED .∴ E， D， P， F 四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①假如四点与必然点等距离，那么这四点共圆；②假如四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆；③假如四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个极点共圆；④假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个极点共圆．3．判断以下各命题能否正确．(1)随意三角形都有一个外接圆，但可能不但调个；(2)矩形有独一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解： (1)错误，随意三角形有独一的外接圆；(2)正确，由于矩形对角线的交点到各极点的距离相等；(3) 错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4) 正确，由于正多边形的中心到各极点的距离相等．4．已知：在△ ABC 中， AD＝ DB ，DF ⊥AB 交 AC 于点 F ，AE＝ EC，EG⊥ AC 交 AB 于点 G.求证：(1)D 、E、 F、 G 四点共圆；(2)G、B、 C、 F 四点共圆．证明： (1) 如图，连结 GF ，由DF ⊥AB，EG⊥ AC，知∠GDF ＝∠ GEF ＝ 90°，∴ GF 中点到 D、 E、F 、 G 四点距离相等，∴ D、 E、 F、 G 四点共圆．(2)连结 DE.由 AD＝ DB ， AE＝ EC，知 DE ∥BC，∴∠ ADE＝∠ B.又由 (1)中 D、 E、 F 、 G 四点共圆，∴∠ ADE＝∠ GFE .∴∠ GFE＝∠ B.∴ G、 B、 C、 F 四点共圆 .圆内接四边形的综合应用[ 例 3] 如图，已知⊙ O1与⊙ O2订交于 A、 B 两点， P 是⊙ O1上一点， PA、PB 的延伸线分别交⊙ O2于点 D 、 C，⊙ O1的直径 PE 的延伸线交 CD 于点 M.求证： PM ⊥ CD.[思路点拨 ]⊙ O1与⊙ O2订交，考虑连结两交点A、B 得公共弦AB；PE 是⊙ O1的直径，考虑连结 AE 或 BE 得 90°的圆周角；要证PM ⊥ CD ，再考虑证角相等．[证明 ]如图，分别连结 AB， AE，∵A、B、C、 D 四点共圆，∴∠ ABP＝∠ D.∵A、E、B、P 四点共圆，∴∠ ABP＝∠ AEP.∴∠ AEP＝∠ D.∴A、 E、M 、 D 四点共圆．∴∠ PMC ＝∠ DAE .∵PE 是⊙O1的直径，∴ EA⊥ PA.∴∠ PMC ＝∠ DAE ＝ 90°.∴PM⊥ CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的方法大多是先判断四点共圆，此后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论建立．5.如图， P 点是等边△ ABC 外接圆的BC上一点， CP 的延伸线和AB 的延伸线交于点D，连结 BP .求证： (1) ∠D ＝∠ CBP；(2)AC2＝CP·CD.证明： (1) ∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ ABC＝∠ A＝ 60°.∴∠ DBC＝ 120°.又∵四边形ABPC 是圆内接四边形，∴∠ BPC＝ 180°－∠ A＝ 120°.∴∠ BPC＝∠ DBC .又∵∠ DCB ＝∠ BCP，∴△ BCP∽△ DCB .∴∠ D＝∠ CBP.(2)由 (1)知△ BCP∽△ DCB ，∴BC＝CP.DC CB∴CB2＝ CP·CD .又CB＝ AC，∴ AC2＝ CP·CD .6．如图，在正三角形ABC 中，点 D，E 分别在边BC，AC 上，且 BD ＝1BC，CE＝1CA，33AD， BE 订交于点P.求证： (1) 四点 P，D ， C， E 共圆；(2)AP⊥CP.解： (1)证明：在△ ABC 中，由BD ＝1BC， CE＝1CA 知：33△ABD≌△ BCE，即∠ ADB＝∠ BEC，即∠ ADC ＋∠ BEC＝ 180°，所以四点 P，D ，C， E 共圆．(2)如图，连结DE.在△ CDE 中， CD＝ 2CE，∠ACD＝ 60°，由余弦定理知∠CED ＝90°.由四点 P， D， C， E 共圆知，∠DPC＝∠ DEC ，所以 AP ⊥CP.[ 对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A＝sin C，② sin A＋ sin C＝ 0，③ cos B＋ cos D＝ 0，④ cos B＝cos D.此中恒建立的关系式的个数是 ()A． 1B． 2C． 3D． 4解析：由于圆内接四边形的对角互补，故∠ A＝ 180°－∠ C，且∠ A，∠ C 均不为 0°或 180°，故①式恒建立，②式不建立．相同由∠ B＝180°－∠ D 知，③式恒建立．④式只有当∠B＝∠ D＝ 90°时建立．答案： B2．圆内接四边形A． 4∶ 2∶3∶ 1 C． 4∶ 1∶3∶ 2解析：由四边形ABCD 中，∠ A∶∠ B∶∠ C∶∠ D 能够是 ()B． 4∶ 3∶1∶ 2D．以上都不对ABCD 内接于圆，得∠A＋∠ C＝∠ B＋∠ D，进而只有 B 符合题意．答案： B3．如图，四边形ABCD是⊙ O 的内接四边形， E 为AB 的延伸线上一点，∠CBE＝ 40°，则∠ AOC等于 ()A． 20 °B． 40 °C． 80 °D． 100°解析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠ D ＝∠CBE ＝ 40°，又由圆周角定理知：∠AOC＝ 2∠D ＝80°.答案： C4．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，以下结论中正确的有()①假如∠ A＝∠ C，则∠ A＝ 90°；②假如∠ A＝∠ B，则四边形ABCD 是等腰梯形；③∠ A 的外角与∠ C 的外角互补；④∠ A∶∠ B∶∠ C∶∠ D 能够是 1∶ 2∶3∶ 4A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个解析：由“圆内接四边形的对角互补” 可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等 (亦可能有∠ A＝∠ B＝∠ C＝∠ D 的特例 )；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必然相等 (这里 1＋3≠ 2＋ 4)．所以得出①③正确，②④错误．答案： B二、填空题5． (2014 陕·西高考 )如图，△ ABC 中， BC＝ 6 ，以 BC 为直径的半圆分别交AB ， AC 于点E， F，若 AC＝ 2AE，则 EF＝ ________.解析：∵ B，C， F， E 四点在同一个圆上，∴∠AEF ＝∠ ACB，又∠ A＝∠ A，∴△ AEF∽△ ACB，∴AE＝EF，AC BC即1＝EF，∴ EF ＝ 3.2 6答案： 36．如图，直径 AB＝ 10，弦 BC ＝8，CD 均分∠ ACB，则 AC ＝______，BD＝ ________.解析：∠ ACB＝90°，∠ ADB ＝90°.在Rt△ABC 中，AB＝10，BC＝8，∴ AC＝ AB2－ BC2＝ 6.又∵ CD 均分∠ ACB.即∠ ACD＝∠ BCD，∴AD＝BD .∴ BD＝AB2＝5 2.2答案： 6 5 27．如图，点A， B，C， D 都在⊙ O 上，若∠ C＝ 34 °，则∠ AOB＝ ________，∠ ADB ＝________.解析：∵∠ C 和∠ AOB 分别是AB所对的圆周角与圆心角，∴∠ AOB＝ 2∠ C＝ 68°.∵周角是 360°，劣弧 AB 的度数为68°，∴优弧 AB 的度数为292°.1∴∠ ADB＝× 292°＝ 146°.答案： 68° 146°三、解答题8.已知：如图，E、 F 、 G、 H 分别为菱形ABCD 各边的中点，对角线 AC 与 BD 订交于 O 点，求证： E，F ， G， H 共圆．证明：法一：连结EF、FG、GH、HE .∵E、 F 分别为 AB、 BC 的中点，∴ EF∥ AC.同理 EH∥ BD .∴∠ HEF ＝∠ AOB.∵AC⊥ BD ，∴∠ HEF ＝ 90°.同理∠ FGH ＝ 90°.∴∠ HEF ＋∠ FGH ＝ 180°.∴ E、 F、G、 H 共圆．法二：连结 OE、 OF、 OG、OH .∵四边形 ABCD 为菱形．∴AC⊥ BD ，AB＝ BC＝ CD＝DA .∵ E、 F、G、 H 分别为菱形ABCD 各边的中点，∴OE＝1AB， OF＝1BC，22OG＝1CD ， OH＝1DA . 22∴OE＝OF ＝ OG ＝ OH.∴E， F，G， H 在以 O 点为圆心，以 OE 为半径的圆上．故E， F ，G， H 四点共圆．9.如图， A， B， C， D 四点在同一圆上，AD 的延伸线与BC 的延伸线交于 E 点，且 EC＝ED .(1)证明： CD∥ AB；(2)延伸 CD 到 F ，延伸 DC 到 G，使得 EF＝ EG，证明： A， B， G， F 四点共圆．证明： (1) 由于 EC＝ ED，所以∠ EDC ＝∠ ECD .由于 A， B， C， D 四点在同一圆上，所以∠ EDC ＝∠ EBA.故ECD＝∠ EBA.所以 CD ∥ AB.(2)由 (1)知， AE＝ BE.由于 EF ＝EG，故∠ EFD ＝∠ EGC，进而∠ FED ＝∠ GEC.连结 AF ，BG，则△ EFA≌ △ EGB，故∠ FAE＝∠ GBE.又CD ∥AB，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠ FAB＝∠ GBA.所以∠ AFG ＋∠ GBA＝ 180°.故 A， B，G， F 四点共圆．10．如图，已知⊙ O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2 3，点 C 与点 D 分别是劣弧 AB 与优弧 ADB 上的任一点(点C、D均不与A、B重合)．(1)求∠ ACB.(2)求△ ABD 的最大面积．解： (1)连结 OA、 OB，作 OE⊥ AB， E 为垂足，则AE＝BE .Rt△ AOE 中， OA＝2.AE＝1AB＝1× 2 3＝ 3. 22AE3所以 sin ∠AOE＝＝，∴∠ AOE＝ 60°，∠ AOB＝ 2∠AOE＝ 120°.又∠ ADB＝1∠ AOB，2∴∠ ADB＝ 60°.又四边形 ACBD 为圆内接四边形，∴∠ ACB＋∠ ADB ＝ 180°.进而有∠ ACB＝180°－∠ ADB ＝120°.(2)作 DF ⊥ AB，垂足为F，则△1A B·DF ＝1× 23× DF ＝ 3DF . 22明显，当DF 经过圆心 O 时， DF 取最大值，进而 S△ABD获得最大值．此时 DF ＝ DO ＋ OF＝3， S△ABD＝3 3，即△ ABD 的最大面积是 3 3.。
高考数学二圆内接四边形的性质与判定定理专题1
高考数学二圆内接四边形的性质与判定定理专题12020.031,如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．（1）求证：PA//平面EFG ； （2）求证：GC PEF ⊥平面； （3）求三棱锥P EFG -的体积．2,如图所示为一几何体的三视图，那么这个几何体的体积为___________________3,已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112,a b ==454b =,12323a a ab b ++=+．（1） 求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前10项和10S ．4,如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．5,设⎩⎨⎧<>-=)0(1)0(1)(x x x f 则)(2)()()(b a b a f b a b a ≠-⋅--+的值为（ ）A ．aB ．bC ．a 、b 中较小的数D ．a 、b 中较大的数6,函数2sin(4)6y x π=+的图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ） A ．8π B ．4π C ．2πD ．π7,设函数)()(],2,2[,sin )(21x f x f x x x x f >-∈=若ππ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．021>+x xB ．2221x x >C ．21x x >D ．2221x x <8,已知关于x 的二次方程22(x 1)(x 2)m(x a b )--=--对一切m R ∈恒有实数解，则点(a,b)在平面ab 上的区域面积为______________9,已知非零向量AB u u u r与AC u u u r 满足().0AB AC BC AB AC+=u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r 且1..2AB AC AB AC =u u u r u u u r u u u r u u u r 则ABC ∆为（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形10,化简22cos 1cos 2sin 2cos 2αααα-⋅的结果为（ ）A ．tan αB ．tan 2αC ．1tan 2αD ．111,已知直线 则平面平面,,//,//b a a =βαβαI a 与b （ ） A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．共面或异面 12,已知()()32f x ax x bx c a,b,c R a 0=-++∈≠且在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数，且方程()0=x f 有三个实根． （1）求b 的值；（2）求实数a 的取值范围 13,不等式||22>++x xx x 的解集是（ ）A ．(2,0)-B ．(2,0]-C ．RD ．(,2)(0,)-∞-+∞U14,若数列{}n a 的前n 项和为：221n S n =-，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．42n a n =-B ．42n a n =+C ．1 14 2 2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩ D ．1 14 2 2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩15,设)(x f y =是一次函数，1)0(=f ，且)13(),4(),1(f f f 成等比数列，则f (2)f (4)f (2n)+++=L ______________． 16,在△ABC 中，A=60°，AB=2，且△ABC 的面积,23=∆ABC S 则边BC 的长为（ ）A ．3B ．3C ．7D ．717,已知集合{}2,0x M y y x ==>，{N y y ==，则则M N I 等于__________18,已知向量a (x,1),b (2,3x),==r r 则22a b|a ||b |⋅+r r r r 的取值范围是19,函数31xf (x)x ln 11x +=++- （x ∈R ）,若f(a)=2,则f(-a)的值为（ ）A ．3B ．0C ．-1D ．-220,解: （1）∵()b x axx f +-='232()x f 在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数.∴ 当x=0时()x f 取得极小值.∴()00='f . ∴b=0 (2) ∵方程()0=x f 有三个实根, ∴a ≠0∴()b x ax x f +-='232=0的两根分别为.32,021a x x ==又()x f 在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数. ∴()0>'x f 在()0,∞-∈x 时恒成立,()0≤'x f 在[]3,0∈x 时恒成立 由二次函数的性质可知3320≥>a a 且∴920≤<a . 故实数a 的取值范围为2(0,]9∵方程()0=x f 有三个实根∴f |0f |0>>极大值极小值且由前面知：2f |f (0)c 024f |f ()c 03a 27a ==>⎧⎪⎨==-+<⎪⎩极大值极小值∴当0c <≤20a 9<≤当c >时，0a 9c <≤21,已知向量()m sin B,1cos B =-u r, 向量()n 2,0=r，且m u r 与n r的夹角为3π，其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角． （1）求角B 的大小； （2）求 C A sin sin +的取值范围．22,若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+=答案1, 解（1）证法1：如图，取AD 的中点H ，连接,GH FH ， ∵,E F 分别为,PC PD 的中点， ∴EF CD P ．∵,G H 分别为,BC AD 的中点， ∴GH CD P ． ∴EF P GH ．∴,,,E F H G 四点共面． ∵,F H 分别为,DP DA 的中点， ∴PA FH P ．∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， ∴PA P 平面EFG ．证法2：∵,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点，∴EF CD P ，EG PB P ． ∵CD AB P ， ∴EF AB P ．∵PB AB B =I ，EF EG E =I ， ∴平面EFG P 平面PAB ． ∵PA ⊂平面PAB ， ∴PA P 平面EFG ．（2）解：∵PD ⊥平面ABCD ，GC ⊂平面ABCD ， ∴GC PD ⊥．∵ABCD 为正方形，∴GC CD ⊥． ∵PD CD D =I ， ∴GC ⊥平面PCD ． ∵112PF PD ==，112EF CD ==， ∴1122PEF S EF PF ∆=⨯=．∵112GC BC ==，∴111113326P EFG G PEF PEF V V S GC --∆==⋅=⨯⨯=2,328π+3, 解（1）132-⨯=n n b（2）29010=S4, 2；-2 5, D 6, B 7, B 8, π 9, A 10, B 11, C12, 解: （1）∵()b x axx f +-='232()x f 在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数.∴ 当x=0时()x f 取得极小值.∴()00='f . ∴b=0 (2) ∵方程()0=x f 有三个实根, ∴a ≠0 ∴()b x ax x f +-='232=0的两根分别为.32,021a x x ==又()x f 在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数. ∴()0>'x f 在()0,∞-∈x 时恒成立,()0≤'x f 在[]3,0∈x 时恒成立 由二次函数的性质可知3320≥>a a 且∴920≤<a . 故实数a 的取值范围为2(0,]9∵方程()0=x f 有三个实根∴f |0f |0>>极大值极小值且由前面知：2f |f (0)c 024f |f ()c 03a 27a ==>⎧⎪⎨==-+<⎪⎩极大值极小值∴当0c <≤20a 9<≤当c >时，0a 9c <≤13, A 14, D15, 22n 3n + 16, A 17, φ18,[19, B 20, 解：（1）由条件知 224)2(≥++=c b a f 恒成立又∵取x=2时，2)22(8124)2(2=+≤++=c b a f 与恒成立,∴2)2(=f .（2）∵⎩⎨⎧=+-=++024224c b a c b a∴,124==+b c a ∴1142,==-b c a .又 x x f ≥)(恒成立，即0)1(2≥+-+c x b ax 恒成立. ∴0)41(4)121(,02≤---=∆>a a a ， 解出：21,21,81===c b a , ∴212181)(2++=x x x f .（3）由分析条件知道，只要)(x f 图象（在y 轴右侧）总在直线412+=x m y上方即可，也就是直线的斜率2m小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=4122121812x m y x x y∴221-≤m .解法2：),0[4121)221(81)(2+∞∈>+-+=x x m x x g 在必须恒成立,即 ),0[02)1(42+∞∈>+-+x x m x 在恒成立.①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得：221221+<<-m ;②⎪⎩⎪⎨⎧>=≤--≥∆02)0(0)1(20f m 解出：221-≤m21, 解：（1）Θ m =()B B cos 1,sin -，且与向量n = （2，0）所成角为3π，∴ 3sin cos 1=-B B∴cos 1B B +=∴21)6sin(=+πB又Θπ<<B 0∴ 6766πππ<+<B∴656ππ=+B∴32π=B（2）由（1）知，32π=B ，∴A+C= 3π∴C A sin sin +=)3sin(sin A A -+π=A A cos 23sin 21+=)3sin(A +πΘ30π<<A ， ∴ 3233πππ<+<A∴)3sin(A +π⎥⎦⎤⎝⎛∈1,23， ∴ C A sin sin +⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,23 22, 79-。
2.圆的内接四边形
综上所述， 综上所述， 点D只能在圆 A 只能在圆 周上， 周上，即A、 、 B、C、D四 、 、 四 点共圆． 点共圆． B
O C
3 四边形存在外接圆的判定定理
说明：在此判定定理的证明中，用到了分类讨论的思想和 说明：在此判定定理的证明中，用到了分类讨论的思想和 分类讨论的思想 反证法．又当问题的结论存在多种情形时， 反证法．又当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种 情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为穷举法 穷举法． 情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为穷举法．于是 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补， 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那 判定定理 么这个四边形的四个顶点共圆． 么这个四边形的四个顶点共圆．
C P Q A F B
练习2：
1、(1)圆内接平行四边形一定是 矩 形. (2)圆内接梯形一定是等腰梯形. (3)圆内接菱形一定是 正方 形. 2.如果四边形一边上的两个顶点的视角 D 相等，那么四边形的四个顶点共圆． 已知：如图，四边形ABCD中， ABCD ∠ADB=∠ACB. A 求证: A、B、C、D四点共圆． 分析:要用圆内接四边形判定定理或推论 无法找到足够 分析 要用圆内接四边形判定定理或推论,无法找到足够 要用圆内接四边形判定定理 的条件,即直接方法不易证明 于是仿照判定定理 即直接方法不易证明,于是仿照判定定理的证明 的条件 即直接方法不易证明 于是仿照判定定理的证明 反证法 用反证法.
C A D
O１
E B
O2
F
变式1：如图，⊙O1和⊙O2都经过 、B两点．过A点的 如图， 都经过A、 两点 两点． 点的
直线CD与 交于点C， 交于点D． 直线 与⊙O1交于点 ，与⊙O2交于点 ．过B点的直线 点的直线 交于点E， 交于点F．求证： EF与⊙O1交于点 ，与⊙O2交于点 ．求证：CE//DF. 与
高中数学 第二讲二 圆内接四边形的性质与判定定理（含解析）4-1(1)
【全程温习方略】2021-2021学年高中数学 第二讲二 圆内接四边形的性质与判定定理课时作业（含解析）新人教A 版选修4-11．只有一对边平行的圆内接四边形必然是( )A ．正方形B ．菱形C ．等腰梯形D ．矩形解析：选C.只有一对边平行的四边形为梯形且又为圆内接四边形．故四边形必然是等腰梯形．2．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，那么∠BAD 和∠BCD 的度数别离为( )A ．50°，130°B ．30°，130°C ．100°，130°D ．100°，50°解析：选A.由圆周角定理，得∠BAD ＝12∠BOD ＝50°.依照圆内接四边形的性质定理，得∠BAD ＋∠BCD ＝180°， ∴∠BCD ＝130°，应选A.3．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE ＝50°，那么∠BOD ＝( )A ．75°B ．90°C ．100°D ．120°答案：C4．如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，∠ACB ＝60°，AB ＝a ，那么CD 等于( )a aa a解析：选A.∵AC为BD的垂直平分线，∴AB＝AD＝a，AC⊥BD，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°，∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝tan30°·AD＝3 3 a.5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝CD＝5，AC＝7，BE＝3，以下命题错误的选项是( )A．△ABE≌△DCEB．∠BDA＝45°C．S四边形ABCD＝D．图中全等的三角形共有2对解析：选D.在△ABE和△CDE中，∠CAB＝∠CDB，∠AEB＝∠DEC，AB＝CD，∴△ABE≌△DCE，故A正确；据此，也可得AE＝DE，BE＝CE＝3，∴AE＝DE＝4.∵在△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，∴AC⊥BD.∵AE＝DE，∴∠BDA＝45°，故B正确；S四边形ABCD＝2S△ABE＋S△BEC＋S△ADE＝2×12×3×4＋12×32＋12×42＝，故C 正确； 在该图形中，有3对全等三角形，故D 错误．6．过点P(－1,0)，作⊙C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，那么过A 、B 、C 的圆的方程为________．解析：∵PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴P 、A 、B 、C 四点共圆，且PC 是其直径，故此圆的方程为x2＋(y －1)2＝2，即为过A 、B 、C 的圆方程．答案：x2＋(y －1)2＝2.7．如图，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，CD 平分∠ACB ，那么AC ＝________，BD ＝________. 解析：∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°.在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝AB2－BC2＝6.又∵CD 平分∠ACB ，即∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD ，∴BD ＝ AB22＝5 2.答案：6 5 2 8．正方形ABCD 的中心为O ，面积为50 cm2，P 为正方形内一点，且∠OPB ＝45°，PA ∶PB ＝3∶4，那么PB ＝________.解析：如图，连接OA ，OB ，那么∠OAB ＝45°，∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝∠OPB ＝45°.∴A ，B ，O ，P 四点共圆．∴∠APB＝∠AOB＝90°，即△APB为直角三角形．∴AP2＋PB2＝AB2＝50.又∵PA ∶PB ＝3∶4， ∴2516PB2＝50，即PB ＝4 2 (cm)．答案：4 2 cm 9．已知圆内接四边形ABCD 的边长别离是AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解：由于四点共圆，∴∠B ＋∠D ＝180°.∴cos ∠B ＝－cos ∠D.依照余弦定理，得AC2＝22＋62－2×2×6cos∠B ＝22＋62＋2×2×6cos∠D ， AC2＝42＋42－2×4×4cos∠D ，∴cos ∠D ＝－17，si n ∠D ＝sin ∠B ＝4 37. ∴四边形ABCD 的面积＝12×AB×BC×sin∠B ＋12×AD×DC×sin∠D ＝8 3.10．如图，锐角三角形ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA 的切点．(1)求证：A ，I ，H ，E 四点共圆；(2)假设∠C ＝50°，求∠IEH 的度数．解：(1)证明：由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ，结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90°.因此，四点A ，I ，H ，E 共圆．(2)由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆，那么∠IEH ＝∠HAI.在△HIA 中，∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠ABC ＋12∠BAC＝12(∠ABC ＋∠BAC)＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C. 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ， 因此∠IEH ＝12∠C. 由∠C ＝50°，得∠IEH ＝25°.11．如图，已知AD 是△A BC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB 、FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)假设AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC.∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC.∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB.∴FB ＝FC.(2)证明：∵∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB.∴FBFD ＝FA FB，∴FB2＝FA·FD. (3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°. ∠D ＝30°.∵BC＝6，∴AC＝2 3 (cm)．∴AD＝2AC＝4 3 (cm)．。
课时作业1：二 圆内接四边形的性质与判定定理
二 圆内接四边形的性质与判定定理一、基础达标1．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，下列结论中正确的有( )①如果∠A ＝∠C ，则∠A ＝90°②如果∠A ＝∠B ，则四边形ABCD 是等腰梯形③∠A 的外角与∠C 的外角互补④∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的比可以是1∶2∶3∶4A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D 的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．2．如图所示，分别延长圆内接四边形ABCD 两组对边相交于E 和F 两点，如果∠E ＝30°，∠F ＝50°，那么∠A 为( )A ．55°B ．50°C ．45°D ．40°答案 B解析 由∠A ＋∠ADC ＋∠E ＝180°，∠A ＋∠ABC ＋∠F ＝180°，∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∴∠A ＝12(180°－∠E －∠F )＝50°. 3．如图所示，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，那么∠BOD 等于( )A ．144°B ．36°C ．72°D ．100°答案 A解析 ∵∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，∴可设∠BCD ＝3k ，则∠ECD ＝2k ，∵∠BCD ＋∠ECD ＝180°，∴3k ＋2k ＝180°，解得k ＝36°，∴∠BCD ＝108°，∠ECD ＝72°，∴∠A ＝72°，∴∠BOD ＝144°.4．如图所示，已知在圆内接四边形ABCD 中，AB 和DC 的延长线交于点P ，AC 和BD 相交于点E ，则图中共有相似三角形( )A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对答案 B解析 ∵∠DCE ＝∠ABE ，∠CDE ＝∠BAE ，∴△CDE ∽△BAE .同理△AED ∽△BEC .∵∠P ＝∠P ，∠CDB ＝∠BAC ，∴△PDB ∽△P AC .∵∠DCB ＋∠BCP ＝180°，∠DCB ＋∠DAB ＝180°，∴∠BCP ＝∠DAB ，∵∠P ＝∠P ，∴△PCB ∽△P AD ，∴共有4对．5．若圆内接四边形中三个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为______，最小的内角为______．答案 120° 60°解析 四边形ABCD 内接于圆且三个相邻内角比为5∶6∶4，故四个角之比一定为5∶6∶4∶3，从而最大角为360°×65＋6＋4＋3＝120°，最小角为360°×35＋6＋4＋3＝60°. 6．如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝60°，则∠BAD＝________，∠BCD ＝________.答案 30° 150°解析 由∠A ＝12∠BOD ＝30°， ∠BCD ＝180°－∠A ＝150°.7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，并且AD 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，AB 和DC 的延长线交⊙O 外一点E .求证：BC ＝EC .证明 连接AC .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°＝∠ACE .∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠EBC ＝∠D .∵C 是弧BD 的中点，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠E ＝∠2＋∠D ＝90°，∴∠E ＝∠D ，∴∠EBC ＝∠E ，∴BC ＝EC .二、能力提升8．如图，已知ABCD 是一个以AD 为直径的圆内接四边形，分别延长AB 和DC ，它们相交于P ，若∠APD ＝60°，AB ＝5，PC ＝4，则⊙O 的面积为( )A ．26πB ．16πC ．15πD ．13π答案 D解析 连接AC ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∵∠APD ＝60°，∴∠P AC ＝30°，∴AP ＝2PC ＝2×4＝8，∵AB ＝5，∴PB ＝8－5＝3，∵四边形ABCD 是以AD 为直径的圆内接四边形，∴∠BAD ＝∠PCB ，又∵∠APD ＝∠APD ，∴△PCB ∽△P AD ， ∴PC AP ＝PB PD ，即48＝3PD ，PD ＝6， ∴CD ＝PD －PC ＝6－4＝2，∴AC ＝AP 2－PC 2＝ 82－42＝4 3.在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2＋CD 2＝(4 3)2＋22＝213.∴OA ＝12AD ＝13， ∴⊙O 的面积＝π× (13)2＝13π.9．若两条直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0，(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a ＝________.答案 1或－1解析 由圆内接四边形的性质，知(a ＋2)(a －1)＋(1－a )·(2a ＋3)＝0，整理得a 2＝1，∴a ＝±1.10．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB P A ＝12，PC PD ＝13，则BC AD的值为________． 答案 66解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ，∴△PCB ∽△P AD ，∴PB PD ＝PC P A ＝BC AD . ∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴PB ＝12P A ，PD ＝3PC ， 由PB PD ＝PC P A ，得12P A 2＝3PC 2，∴ BC AD ＝PC P A ＝66. 11．如图所示，AB 、CD 都是圆的弦，且AB ∥CD ，F 为圆上一点，延长FD 、AB 交于点E .求证：AE ·AC ＝AF ·DE .证明 连接BD ，因为AB ∥CD ，所以BD ＝AC .因为A 、B 、D 、F 四点共圆，所以∠EBD ＝∠F .因为∠E 为△EBD 和△EF A 的公共角，所以△EBD ∽△EF A .所以DE AE ＝BD AF ，所以DE AE ＝AC AF， 即AE ·AC ＝AF ·DE .12．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A 、C 重合)，延长BD 至E .(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；(2)若∠BAC ＝30°，△ABC 中BC 边上的高为2＋3，求△ABC 外接圆的面积．(1)证明 如图，设F 为AD 延长线上一点，∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠CDF ＝∠ABC .又AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，且∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ADB ＝∠CDF .对顶角∠EDF ＝∠ADB ，故∠EDF ＝∠CDF .即AD 的延长线平分∠CDE .(2)解 设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ，则AH ⊥BC .连接OC ，由题意得∠OAC ＝∠OCA ＝15°，∠ACB ＝75°，∴∠OCH ＝60°.设圆半径为r ，则r ＋32r ＝2＋3，得r ＝2， 故外接圆面积为4π.三、探究与创新13．如图所示，在半径为1的⊙O中，引两条互相垂直的直径AE和BF，在EF上取点C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q.证明：四边形APQB的面积是1.证明∵AE、BF为互相垂直的两条直径，垂足O为圆心，∴AE、BF互相垂直、平分且相等，∴四边形ABEF是正方形．∴∠ACB＝∠AEF＝45°，即∠DCQ＝∠QED.∴D、Q、E、C四点共圆．连接CE、DQ，PQ，则∠DCE＋∠DQE＝180°.∵AE为⊙O的直径，∴∠DCE＝90°，∠DQE＝90°.∵∠FOE＝90°，∴DQ∥BF，∴S△BPQ＝S△BPD，∴S△ABP＋S△BPQ＝S△ABP＋S△BPD，即S四边形ABQP＝S△ABD.∵⊙O的半径为1，∴正方形ABEF的边长为2，即AB＝AF＝ 2.∴S四边形ABQP＝S△ABD＝12AB·AF＝1.。
圆内接四边形的性质与判定定理
(2)如果点D在⊙O内部. 延长AD交圆于点E, 连接CE,则
∠B+∠E=180° ∵∠B+∠ADC=180°
A D
E O
B
C
∴∠E=∠ADC
（2）
这同样与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾.
∴点D不可能在⊙O内.
综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆.
2.【圆内接四边形的判断定理】
∠DGF = ∠A +∠AEG,
A
B
而∠AEG = ∠CEF. ∴∠CFG = ∠DFG.
GF
E
D
C
如果多边形所有顶点都在一个圆上.那么这个多边 形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.
思考:
任意三角形都有外接圆.那么 任意正方形有外接圆吗?为什么? 任意矩形有外接圆吗?为什么?
需要具备 什么样的 条件呢？
等腰梯形呢?为什么?
一般地, 任意四边形都有外接圆吗?为什么?
A
DA
D
A
D
A
D
O
B
C
别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，则
FG ∥ BD,GH ∥ AC.∵AC ⊥ BD,
A
H
∴FG ⊥ GH.同理可证，HE ⊥ EF.
E
D
∴∠HEF +∠FGH = 180o.
G
∴F、G、H、E四点共圆.
B
F
3.如图，∵A、B、C、D四点共圆.∴∠FCE = ∠A.
C
∵∠CFG = ∠FCE +∠CEF,
过D就证明了.
O C
显然，点D与圆有且只有三种位置关系：
课件2：二 圆内接四边形的性质与判定定理
证明：连接 EN. ∵四边形 AEND 是圆内接四边形，∴∠BNE＝∠A. 又∵∠ABD＝∠ABD，∴△BNE∽△BAD，∴BENN＝AADB. ∵AB＝AC，AC＝2AD，∴AB＝2AD，BN＝2EN. 由题意知∠ADE＝∠NDE， ∴A︵E＝E︵N，∴AE＝EN，∴BN＝2AE. 点评：圆内接四边形的性质即对角互补、一个外角等于其内角的 对角，可作为三角形相似的条件，进而证明一些比例式成立，最终证 明某些等量关系．
∴∠A＝∠QPC.∴A、B、P、Q四点共圆． 答案：共圆
析疑难提能力
例 如图所示，已知⊙O过A，B，C三点，∠AOB＝100°， 求∠C的度数．
【解】在优弧上任取一点D，连接AD，BD， ∵∠AOB＝100°， ∴∠D＝∠AOB＝50°， ∵四边形ACBD为圆内接四边形， ∴∠C＋∠D＝180°， ∴∠C＝180°－∠D＝180°－50°＝130°.
例2 如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相 交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于F、G.求 证：∠CFG＝∠DGF.
证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ECF＝∠EAG.又∵EG平分∠BEC，即∠CEF＝∠AEG， ∴△EFC∽△EGA.∴∠EFC＝∠EGA. 而∠EGD＝180°－∠EGA，∠CFG＝180°－∠EFC， ∴∠CFG＝∠DGF.
题型二 判定定理的应用
例3 如图所示，已知四边形ABCD为平行四边形，过点A 和点B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：点C、D、E、 F四点共圆．
证明：如图，连接EF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＋∠C＝180°. ∵四边形ABFE内接于圆， ∴∠B＋∠AEF＝180°， ∴∠AEF＝∠C， ∴点C、D、E、F四点共圆．
高中数学第二讲二圆内接四边形的性质与判定定理课后训练新人教A版选修
圆内接四边形的性质与判定定理练习1下列说法正确的有( )①圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角；②圆内接四边形的对角相等；③圆内接四边形不能是梯形；④在圆的内部的四边形叫圆内接四边形．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2圆内接平行四边形的对角线( )A．互相垂直 B．互相垂直平分C．互相平分且相等 D．相等且平分每组对角3如图，四边形ABCD是O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )A．20° B．40°C．80° D．100°4如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AH⊥CD，如果∠HAD＝30°，那么∠B＝( )A．90° B．120°C．135° D．150°5如图，在O中，弦AB的长等于半径，∠DAE＝80°，则∠ACD＝( )A．30° B．45°C．50° D．60°6如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若13PBPD，则BCAD的值为______．7如图，两圆相交于A，B两点，过点A的直线交两圆于点C，D，过点B的直线交两圆于点E，F，连接CE，DF，若∠C＝95°，则∠D＝__________.8(能力拔高题)已知圆内接四边形ABCD的边长分别是AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，则四边形ABCD的面积等于__________．9如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，过点C作DB的平行线交AB的延长线于E点，求证：BE·AD＝BC·C D．10(探究题)如图，已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点，通过P作正方形的边的垂线，垂足分别为点E，F，G，H.你能判断出点E，F，G，H是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想．参考答案1 答案：B ①是圆内接四边形的性质定理2，则①正确；圆内接四边形的对角互补，但不一定相等，则②不正确；圆的内接四边形可以是梯形，则③不正确；顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形，则④不正确.2 答案：C 圆内接平行四边形必为矩形，故其对角线互相平分且相等.3 答案：C ∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，且∠CBE ＝40°，由圆内接四边形的性质，知∠D ＝∠CBE ＝40°，又由圆周角定理知∠AOC ＝2∠D ＝80°.4 答案：B ∵AH ⊥CD ，∴∠AHD ＝90°.∵∠HAD ＝30°，∴∠D ＝90°－∠HAD ＝60°.又四边形ABCD 内接于圆，∴∠B ＝180°－∠D ＝120°.5答案：C ∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠DAE ＝∠BCD ＝80°.∵弦AB 的长等于半径，∴弦AB 所对圆心角为60°.∴∠ACB ＝12×60°＝30°. ∴∠ACD ＝∠BCD －∠ACB ＝80°－30°＝50°.6 答案：13由于∠PBC ＝∠PDA ，∠P ＝∠P ， 则△PAD ∽△PCB ，故13PB BC PD AD ==. 7 答案：85°8 答案：由于四点共圆，∴∠B ＋∠D ＝180°.∴cos B ＝－cos D .根据余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos D ，∴有AC 2＝22＋62－2×2×6×cos B＝22＋62＋2×2×6×cos D ，AC 2＝42＋42－2×4×4×cos D ，∴cos D ＝17-，sin D ＝sin B∴四边形ABCD 的面积＝0.5×AB ×BC ×sin B ＋0.5×AD ×DC ×sin D ＝9 答案：分析：转化为证明△ADC ∽△CBE .证明：如图，连接AC ，∵四边形ABCD 为圆内接四边形，∴∠ADC ＝∠EBC .又BD ∥EC ，∴∠CEB ＝∠DBA .∵∠ACD ＝∠DBA ，∴∠CEB ＝∠ACD .∴△ADC∽△CBE.∴AD BCDC BE，即BE·AD＝BC·CD.10答案：分析：根据正方形的对称性，可以猜想，此四个点应当在以O为圆心的圆上，于是连接线段OE，OF，OG，OH，再设法证明这四条线段相等.解：猜想：E，F，G，H四个点在以O为圆心的圆上.证明如下：如图，连接线段OE，OF，OG，OH.在△OBE，△OBF，△OCG，△OAH中，OB＝OC＝OA.∵PEBF为正方形，∴BE＝BF＝CG＝AH，∠OBE＝∠OBF＝∠OCG＝∠OAH＝45°.∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.∴OE＝OF＝OG＝OH.由圆的定义，可知E，F，G，H四个点在以O为圆心的圆上.。
高中数学第二讲直线与圆的位置关系第二节圆内接四边形的性质与判定定理课后导练
第二节圆内接四边形的性质与判定定理课后导练基础达标1.圆内接四边形ABCD中,若∠A∶∠B∶∠C∶∠D=5∶m∶4∶n,则( )A.5m=4nB.4m=5nC.m+n=9D.m+n=100°解析:圆内接四边形对角互补,∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°．∴m+n=9.答案:C2.圆内接四边形ABCD中,cosA+cosB+cosC+cosD等于( )A.0B.4C.2D.不确定解析:∵ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°．∴cosA=-cosC,cosB=-cosD.∴cosA+cosB+cosC+cosD=0.答案:A3.如图2-2-9,四边形ABCD内接于⊙O,则∠BOD等于( )图2-2-9A.140°B.110°C.130°D.150°解析:∵∠A=∠DCE=70°，∠BOD=2∠A=140°．答案:A4.如图2-2-10,在△ABC外接圆中=,D为的中点,E为CA延长线上一点,且∠EAD=114°,则∠BAD等于( )图2-2-10A.57°B.38°C.45°D.30°解析:∵=,∴∠BAD=∠1.∴∠D=180°-2∠BAD.∵∠DAE=∠DBC,∴∠1+∠2=114°．∴∠2=114°-∠1=114°-∠BAD.又∵=,∴∠C=∠2=114°-∠BAD.∵∠C+∠D=180°，∴∠180°-2∠BAD+114°-∠BAD=180°．∴∠BAD=38°．答案:B5.如图2-2-11,AB为⊙Ｏ直径,弦CD⊥AB,M为上一点,AM延长线交DC延长线于E,则能成立的是( )图2-2-11A.∠AMC=∠DCMB.∠A=∠ＥC.∠EMC=∠AMDD.∠ECM=∠AMD解析:∵AB⊥CD,∴=.∴∠ADC=∠AMD.又∠EMC=∠ADC,∴∠EMC=∠AMD.故C正确.答案:C综合运用6.如图2-2-12,四边形ABCD内接于圆,CE∥DB交AB延长线于E点,求证:BC·CD=DA·BE.图2-2-12证明:连结AC,∵=,∴∠2=∠3.∵CE∥BD,。
课时作业3：二 圆内接四边形的性质与判定定理
二圆内接四边形的性质与判定定理一、基础达标1.如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()A.120°B.136°C.144°D.150°解析∵∠BCD∶∠ECD＝3∶2，∴∠ECD＝72°，∴∠BOD＝2∠A＝2∠ECD ＝144°.答案C2.在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A.4∶2∶3∶1B.4∶3∶1∶2C.4∶1∶3∶2D.以上都不对解析四边形ABCD内接于圆，故∠A＋∠C＝∠B＋∠D，所以只有B适合.答案B3.如图所示，已知在圆内接四边形ABCD中，BA的延长线和CD的延长线交于点P，AC和BD相交于点E，则图中共有相似三角形()A.5对B.4对C.3对D.2对解析由圆内接四边形的性质和圆周角定理可以判定：△ABE∽△DCE，△ADE ∽△BCE，△P AC∽△PDB，△P AD∽△PCB,共4对.答案B4.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝110°，那么∠BCD的度数为________.解析∵∠A＝12∠BOD＝12×110°＝55°，∴∠BCD＝180°－55°＝125°.答案125°5.如图，两圆相交于点A ，B ，过点A 的直线交两圆于点C ，D ，过点B 的直线交两圆于点E ，F ，连接CE ，DF ，若∠C ＝115°，则∠D ＝________. 解析 如图，连接AB ，∵∠C ＝115°，∴∠ABE ＝65°， ∴∠D ＝∠ABE ＝65°. 答案 65°6.如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC . (1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长. (1)证明 连接DE ，∵ACED 是圆的内接四边形， ∴∠BDE ＝∠BCA . 又∠DBE ＝∠CBA ， ∴△BDE ∽△BCA ，即有BE BA ＝DECA ，而AB ＝2AC ，∴BE ＝2DE . 又CD 是∠ACB 的平分线， ∴AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .(2)解 由条件得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t ，根据割线定理得BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )， ∴(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即AD ＝12.二、能力提升7.如图，AB是⊙O的弦，过A，O两点的圆交BA的延长线于C，交⊙O于D，若CD＝5 cm，则CB等于()A.25 cmB.15 cmC.5 cmD.52cm解析连接OA，OB，OD，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠ODB＝∠OBD.∵C，D，O，A四点共圆，∴∠OAB＝∠CDO，∠CDO＝∠OBA，∴∠CDO＋∠ODB＝∠OBA＋∠OBD，即∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB，∵CD＝5 cm，∴CB＝5 cm.答案C8.如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC 于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.解析∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，∴△AEF∽△ACB，∴AC AE＝BCEF，∴2＝BCEF，∴EF＝3.答案39.如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，AC＝a，则四边形ABCD的面积为________.解析如图，连接BD，易知∠BAD＝∠ABD＝∠ADB＝∠ACB ＝∠ACD＝60°.设∠CAD＝θ，AB＝AD＝b，则∠BAC ＝60°－θ， S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12ab sin(60°－θ)＋12ab sin θ ＝12ab sin(60°＋θ)＝12ab sin ∠ABC ， 在△ABC 中，由正弦定理可知 a sin ∠ABC ＝b sin ∠ACB ＝bsin 60°，∴b sin ∠ABC ＝a sin 60°.∴S 四边形ABCD ＝12·a ·a ·sin 60°＝34a 2. 答案 34a 210.四边形ABCD 是圆内接四边形，过点C 作DB 的平行线交AB 的延长线于E 点.求证：BE ·AD ＝BC ·CD . 证明 如图，连接AC .∵四边形ABCD 为圆内接四边形， ∴∠ADC ＝∠EBC . 又BD ∥EC ，∴∠CEB ＝∠DBA ，且∠ACD ＝∠DBA ，∴∠CEB ＝∠ACD .∴△ADC ∽△CBE .∴AD DC ＝BCBE ，即BE ·AD ＝BC ·CD . 11.如图，⊙O 中AB ︵的中点 为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点.(1)若∠PFB ＝2∠PCD ，求∠PCD 的大小；(2)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明:OG ⊥CD .(1) 解 连接PB ，BC ，则∠BFD ＝∠PBA ＋∠BPD ，∠PCD ＝∠PCB ＋∠BCD .因为AP ︵＝BP ︵，所以∠PBA ＝∠PCB ，又∠BPD ＝∠BCD .所以∠BFD ＝∠PCD .又∠PFB ＋∠BFD ＝180°，∠PFB ＝2∠PCD ， 所以3∠PCD ＝180°， 因此∠PCD ＝60°.(2)证明 因为∠PCD ＝∠BFD ，所以∠EFD ＋∠PCD ＝180°，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心.所以G 在CD 的垂直平分线上.又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD . 三、探究与创新12.如图，在正方体ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE ＝DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . (1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.(1)证明 因为DF ⊥EC ，则∠EFD ＝∠DFC ＝90°，易得∠DEF ＝∠CDF ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，DF CF ＝DE CD ＝DGCB ，所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF ，因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆.(2)解 由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB ，连接GB ，由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG ，因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB的面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝12.。
圆内接四边形判定定理之证明
圆内接四边形判定定理之证明龚飞涛1. 四边形分为两种：凸四边形和凹四边形。
如图：2. 若凸四边形ABCD 内，内对角：︒=∠=∠90B D ，则凸四边形ABCD 中，A 、B 、C 、D 四点共圆。
证明：作辅助线如图所示，其中O 点是AC 的中点。
在Rt ∆ABC 中，由直角三角形斜边上的中线性质，得：OB=OC=OA又∵在Rt ∆ADC 中，由直角三角形斜边上的中线性质， 得：OD=OC=OA ∴OB=OC=OA=OD ∴A 、B 、C 、D 在⊙O 上 即：A 、B 、C 、D 四点共圆三点共圆且C 为圆心。
AB CDDCBAABCDOD证明：作辅助线如图所示。
∵CB=CD ，CF ⊥BD∴∠BCF=∠DCF=DCB ∠21且FB=FD∵DCB A ∠=∠21且︒=∠+∠180ECG A∴∠BCF+︒=∠180ECG ∴∠BCE+︒=∠180FCG ∵∠FDG+︒=∠180FCG ∴∠BCE=∠FDG∵四边形BECF 内接于圆（由2中定理可得） ∴∠BCE=∠BFE ∴∠BFE=∠FDG ∴EF ∥AD又∵FB=FD=BD 21∴EA=EB=AB 21（由三角形中位线定理可得） ∵CE ⊥AB ∴CA=CB 又∵CB=CD ∴CA=CB=CD ∴A 、B 、D 在⊙C 上即：A 、B 、D 三点共圆且C 为圆心ABCEFG4. 若凸四边形ABCD 内，内对角：︒=∠+∠180C A ，则凸四边形ABCD 中，A 、B 、C 、D 四点共圆。
证明：作辅助线如图所示，其中FC=FD,EC=EB∵︒=∠+∠180C A ，︒=∠+∠180C FOE∴FOE A ∠=∠∵FC=FD=CD 21,OF ⊥CD∴∆COD 是等腰三角形∴COD DOF COF ∠=∠=∠21同理可得：COB BOE COE ∠=∠=∠21∴()COB COD COF COE ∠+∠=∠+∠21即：BOD FOE ∠=∠21∵FOE A ∠=∠ ∴BOD A ∠=∠21∴A 、B 、D 在⊙O 上（由3中定理可得） ∴OA=OB=OD ∵∆COD 是等腰三角形 ∴OC=OD ∴OA=OB=OC=OD ∴A 、B 、C 、D 在⊙O 上OAE BFCD即：A 、B 、C 、D 四点共圆5. 若凸四边形ABCD 上，AB 所对的两角相等即：ADB ACB ∠=∠,则凸四边形ABCD 中，A 、B 、C 、D 四点共圆。
学案1：二 圆内接四边形的性质与判定定理
二圆内接四边形的性质与判定定理1．圆内接多边形的定义．如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做____________，这个圆叫做多边形的________．2．圆内接四边形的性质定理1：圆内接四边形的对角________．圆内接四边形的性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的________．3．圆内接四边形的判定定理．如果一个四边形的对角________，那么这个四边形的四个顶点共圆．4．判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的________，那么这个四边形四个顶点共圆．5．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，求证：A、B、C、D四点共圆．一课堂练习1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的个数有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.A．1个B．2个C．3个D．4个2．圆内接平行四边形一定是()A．正方形B．菱形C．等腰梯形D．矩形3．下列命题中，真命题的个数为()①任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；②矩形有唯一的外接圆；③菱形有外接圆；④正多边形有外接圆．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图所示，四边形ABCD为⊙O内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝______，∠BCD ＝________.5．在圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是( )A ．4∶2∶3∶1B ．4∶3∶1∶2C ．4∶1∶3∶2D ．以上都不对6．如图所示，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，过C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于E ，那么与∠BCE 互补的角是( )A ．∠BADB ．∠ADC C ．∠CDED ．∠DEC7．如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，点E 为AB 延长线上一点，∠CBE ＝40°，则∠AOC 等于( )A ．20°B ．40°C ．80°D ．100°8.如图所示，P A 为⊙O 直径，PC 为⊙O 的弦，过AC ︵的中点H 作PC 的垂线交PC 的延长线于点B .若HB ＝6，BC ＝4，则⊙O 的直径为( )A ．10B ．13C ．15D ．209．若圆内接四边形中3个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为________，最小的内角为________．10．如图，⊙O的内接四边形BCED，延长ED、CB交于点A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________，CE＝________．11．如下图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为________．12．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB 于点G.(1)求证：点D、E、F、G四点共圆；(2)求证：点G、B、C、F四点共圆．13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．14．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C、B、D、E所在圆的半径．小结：1.当题目中出现圆内接四边形时，首先利用圆内接四边形性质定理，再结合其他条件进行推理证明．2.判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)．3.圆内接四边形相关定理应用的重点是证明角相等、四点共圆等典型问题．4.判定四边形为圆内接四边形除定理及推论两种方法外，也可以用这几个点到同一点的距离相等来证明．参考答案预习导学1．圆内接多边形外接圆2．互补对角3．互补4．对角5．证明：四边形ABCD为矩形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝DB ， ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD .∵点A 、B 、C 、D 到O 点的距离相等，∴A 、B 、C 、D 这四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上． 1．B 2.D3．解析：①错误，任意三角形有唯一的外接圆；②正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；③错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；④正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等． 答案：B4．30°150° 5.B 6.C 7.C8．解析：连PH 及CH ，由圆内接四边形的性质定理有∠BCH ＝∠A ， 则△P AH ∽△HCB ，P A CH ＝HABC ，又CH ＝HA ，则P A ＝13.答案：B 9．120° 60°10．解析：由圆内接四边形的性质定理有∠ADB ＝∠C ，∠ABD ＝∠E . 则△ABD ∽△AEC ，则AD AC ＝AB AE ＝BDCE 代入数据即得DE ＝5，CE ＝27.答案：5 27 11.1312．证明：(1)连接GF ，由DF ⊥AB ， EG ⊥AC ，知∠GDF ＝∠GEF ＝90°，∴GF 中点到点D 、E 、F 、G 四点距离相等． ∴点D 、E 、F 、G 四点共圆．(2)连接DE .由AD ＝DB ，AE ＝EC ， 知DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B . 又由(1)中点D 、E 、F 、G 四点共圆， ∴∠ADE ＝∠GFE . ∴∠GFE ＝∠B . ∴∠B ＋∠GFC ＝180°. ∴点G 、B 、C 、F 四点共圆．13．证明：(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠D ＝∠CBE . 由已知得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .(2)如图设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上．又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点，故OM ⊥AD ， 即MN ⊥AD .所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE .又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E .由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形． 14解析：(1)连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即AD AC ＝AEAB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH . 由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC . 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.。
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圆内接四边形的性质与判定定理习题及答案
2.处理过程：让学生独立完成这两道自测题
成两组,每一组推荐一名同学说出解题思路和答案.
例1 (2011·课标全国卷)如图3,D,E分别为△ABC 的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于方程x2-14x+mn=0的两个根.
(1)证明:C,B,D,E四点共圆;
(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径. 1.选题立意:本题考查三角形相似、四点共圆的基本知识与方法,考查推理论证能力及运算求解能力.
2.处理过程：第(1)小题是证明四点共圆问题，那么要证四点共圆,我们有那些方法呢?通过提问让学生在大脑中搜索相关知识,寻找最佳解题方案这样问题可以转化为证明Rt△ADE与
似,从而利用本节的推论来证明四点共圆
题是计算问题，关键是引导学生如何确定圆心的位置.根据圆的性质可知,圆心即为该圆弦的中垂线的交点，问题就转化为在矩形AFHG
半径了.
3.老师点评：证明四点共圆主要是利用圆内接四
能力锤炼:
能说的让学生说,学生能做的让学生做第(2)小题实际上是证明角相等问题,请一个学生用分析法来寻求证明思路.当学生“找路”有困难时，及时正确引导，同时注意引导方式3.老师点评：解答平面几何问题时不仅要用到几何定理，而且还要用到各种不同的推理形式，推理策略，有时还要使用“添加辅助线”之类的技巧性较高的方法.在几何学习中，除了运用逻辑推理外，还要应用观察、比较、类比、直觉、猜想、归纳、概括等合情推理.
如图6,已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆劣弧AC ⌒
上的点(不与A,C 重合),延长BD 到E. (1)求证:AD 的延长线平分∠CDE;
(2)若∠BAC=30°,△ABC 中
BC 边上的高为2+ 3 ,
求△ABC 外接圆的面积.
设计意图:检验所学习的知识，从而熟练掌握本节的重点，形成相应的数学能力.
1. 如图7,在Rt △ABC 中,∠BCA=90°,以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点,D 为AC 的中点,连结BD 交⊙O 于F 点.求证:
BC BE = CF EF
. 2. 如图8,AB 为⊙O 的弦,CD 切⊙O 于P,AC ⊥CD 于C,BD ⊥DC 于D,PQ ⊥AB 于Q,求证:PQ 2
=AC ·BD.
3. 如图9,已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于B,C 两点,圆心O 在∠PAC 的内部,点M 是BC 的中点.
(1)证明:A,P,O,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小.
4.E,EG 平分∠E,且与BC 、AD F
5.如图11,已知PA 、PB 是圆O 的切线分别是切点,C 为圆O 上不与A 重合的另一点,若∠ 一、 选择题
1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有
2. 3. 4.
C.12a
D.13a
5.圆内接四边形ABCD 中，BA 与CD 的延长线交于点P,AC 与BD 交于点E,则图中相似三角形有
A.5对
B.4对
C.3对
D.2对
6.如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积为
A.
163 B.8 C.323
D.
D
T6 T7 T12
7.如图，在以BC 为直径的半圆上任取一点P ,过弧BP 的中点A 作AD BC ⊥于D.连接BP 交AD 于点E,交AC 于点F,则:BE EF =
A.1:1
B.1:2
C.2:1
D.以上结论都不对
8.直线370x y +-=与20kx y --=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k = B.3 C.-6 D.6
二、填空题
9.圆内接四边形ABCD 中，cos cos cos cos A B C D +++= . 10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 . 11.圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= .
12.如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=
，则ADC ∠= .
三、解答题
13.如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=
，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：
2BC DE =.
D
B
O
C
E
A
14.求证：在圆内接四边形ABCD 中，AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅.
15.在等边三角形ABC 外取一点P ,若P A P B P C =+
，求证：P 、A 、B 、C 四点共圆.
16.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，M 为CD 中点，N 为AB 中点，AC BD ⊥于点E ，连接ON 、ME ，并延长ME 交AB 于点F.求证：MF AB ⊥.
A
B
C
17.已知：如图所示，10,8,AB cm BC cm ==CD 平分ACB ∠. (1)
(2)18.求证：19.E,交BC 于点F,(1)求⊙(2)设∠
圆内接四边形的性质与判定定理
(参考答案)
一、 选择题
1-5 BBCAB 6-8 DAB 二、填空题
9. 0 10.132
11.90 12.110
三、解答题
13.法一：302ABE ABE AB AE ∠=⇒∆=
在Rt 中，
1
2
A D A E D E A D E
A C
B A
C A B B C ∆∆⇒===∽ 法二：连接BE, 30ABE DE
∠=⇒ 的度数为60
60DOE ⇒∠=
即ODE ∆为正∆ OD DE ⇒=
14.在AC 上取点E,使1,23ADE ∠=∠∠=∠又
A E
B C A D E B D C A E B D A D B C
A D
B D
⇒∆
∆⇒=⇒⋅=⋅∽ ①
1A D E A D B C D E A B D A C D A B D E C D
∠=∠⇒∠=∠∠=∠∆∆又得∽
AB BD
BD EC AB CD EC CD
⇒
=⋅=⋅即 ② ①+②即可
15.延长PC 至D,作CAD BAP ∠=∠，并取AD=AP ，
则A D P A B P A B P A C D ∆≅∆⇒∠=∠⇒P 、
A 、
B 、
C 四点共圆
16.,DE EC DM MC EM DM ⊥=⇒=
M D E D E M ⇒∠
=∠ 90EAF AEF MDE AEF DEM MEC ⇒∠+∠=∠+∠∠=∠+∠=
17.(1)6,52AC BD ==
(2)49ACB ADB ABCD S S S ∆∆=+=四边形
18.法一：连结EF,,9090180DE AB DF AC AED AFD ⊥⊥⇒∠+∠=+=
⇒A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF BEF C ⇒∠=∠⇒∠+∠
90180
B E D D E F C
D A F C =∠+∠+∠=+∠+∠=
321B
E
A
D
C
P
B
A
C
法二： A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF ⇒∠=∠
9090A E F D E F D A F C
⇒∠
=-∠=-∠=∠
19.(1)1015
6104
OE AO R R AEO ADC R CD AC -∆∆⇒
=⇒=⇒=∽ (2)90EFB EGC βα∠=∠⇒+=。