圆内接四边形性质定理

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圆内接四边形的性质与判定定理(人教选修)

圆． 3．判定定理的推论
对角
如果四边形的一个外角等于它的内角的
，那么这
个四边形的四个顶点共圆．
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[小问题·大思维] 1．所有的三角形都有外接圆吗？所有的四边形是否都有外接圆？提示：所有的三角形都有外接圆，但四边形并不一定有外接圆． 2．如果一个平行四边形有外接圆，它是矩形吗？提示：因为平行四边形的对角相等，圆内接四边形的对角和为180°，所以该平行四边形一定是矩形．
圆的半径．
[命题立意] 本题主要考查圆内接四边形的判定、一元
二次方程根与系数的关系以及逻辑推理和运算能力．
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解：(1)证明：连接 DE，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD×AB＝mn＝AE×AC，即AADC＝AAEB. 又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE＝∠ACB，所以 C，B，D，E 四点共圆．
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证明：(1)若∠DBA＝∠CBA，则DF＝CE. (2)若DF＝CE，则∠DBA＝∠CBA. 分析：本题考查圆内接四边形的判定及性质．解决本题需要借助三角形全等证明角相等或边长相等．
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证明：(1)连接 AE、AF、AC、AD，则∠3＝∠4，∠5＝∠6. 又∵∠1＝∠2，∴ AD＝ AE . ∴AD＝AE，∴△ACE≌△AFD. 故 CE＝DF. (2)由(1)∠3＝∠4，∠5＝∠6，又∵DF＝CE， ∴△ACE≌△AFD， ∴AD＝AE，∴∠1＝∠2，即∠DBA＝∠CBA.
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[悟一法] 证明比例线段或比例式通常利用三角形相似来解决，而证明三角形相似，常利用圆内接四边形的性质寻找角之间的关系．
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[通一类] 3．试证明：在圆内接四边形ABCD中，
AC·BD＝AD·BC＋AB·CD.

圆内接四边形的性质及判定定理

二圆内接四边形的性质及判定定理[对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．[对应学生用书P21][例1]如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA 的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DF A.[思路点拨]本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论．[证明]连接AD.因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EF A＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．所以∠DEA＝∠DF A.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形ABCD 中，已知∠A ，∠B ，∠C 的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数．解：设∠A ，∠B ，∠C 的度数分别为4x,3x,5x ，则由∠A ＋∠C ＝180°，可得4x ＋5x ＝180°.∴x ＝20°.∴∠A ＝4×20°＝80°，∠B ＝3×20°＝60°， ∠C ＝5×20°＝100°，∠D ＝180°－∠B ＝120°.2．已知：如图，四边形ABCD 内接于圆，延长AD ，BC 相交于点E ，点F 是BD的延长线上的点，且DE 平分∠CDF .(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，求DE 的长．解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3， ∴∠ABC ＝∠4. ∴AB ＝AC .(2)∵∠3＝∠4＝∠ABC ， ∠DAB ＝∠BAE ， ∴△ABD ∽△AEB . ∴AB AE ＝ADAB. ∵AB ＝AC ＝3，AD ＝2， ∴AE ＝AB 2AD ＝92.∴DE ＝92－2＝52(cm).[例2] 如图，在△ABC 中，E ，D ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，且AP ⊥BC于P .求证：E ，D ，P ，F 四点共圆．[思路点拨] 可先连接PF ，构造四边形EDPF 的外角∠FPC ，证明∠FPC ＝∠C ，再证明∠FPC ＝∠FED 即可．[证明] 如图，连接PF ， ∵AP ⊥BC ，F 为AC 的中点，∴PF ＝12AC .∵FC ＝12AC ，∴PF＝FC.∴∠FPC＝∠C.∵E、F、D分别为AB，AC，BC的中点．∴EF∥CD，ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C.∴∠FPC＝∠FED.∴E，D，P，F四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．3．判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．证明：(1)如图，连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴G、B、C、F四点共圆.[例3]如图，已知⊙O与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，P A、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C，⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.求证：PM⊥CD.[思路点拨]⊙O1与⊙O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥CD，再考虑证角相等．[证明]如图，分别连接AB，AE，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ABP＝∠D.∵A、E、B、P四点共圆，∴∠ABP＝∠AEP.∴∠AEP＝∠D.∴A、E、M、D四点共圆．∴∠PMC＝∠DAE.∵PE是⊙O1的直径，∴EA⊥P A.∴∠PMC＝∠DAE＝90°.∴PM⊥CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立．5.如图，P点是等边△ABC外接圆的BC上一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D，连接BP.求证：(1)∠D＝∠CBP；(2)AC2＝CP·CD.证明：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝60°.∴∠DBC＝120°.又∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠BPC＝180°－∠A＝120°.∴∠BPC＝∠DBC.又∵∠DCB＝∠BCP，∴△BCP∽△DCB.∴∠D＝∠CBP.(2)由(1)知△BCP ∽△DCB ， ∴BC DC ＝CP CB. ∴CB 2＝CP ·CD .又CB ＝AC ，∴AC 2＝CP ·CD .6．如图，在正三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)四点P ，D ，C ，E 共圆； (2)AP ⊥CP .解：(1)证明：在△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA 知：△ABD ≌△BCE ，即∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°，所以四点P ，D ，C ，E 共圆． (2)如图，连接DE .在△CDE 中，CD ＝2CE ， ∠ACD ＝60°，由余弦定理知∠CED ＝90°. 由四点P ，D ，C ，E 共圆知， ∠DPC ＝∠DEC ，所以AP ⊥CP .[对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A ＝sin C ，②sin A ＋sin C ＝0，③cos B ＋cos D ＝0，④cos B ＝cos D . 其中恒成立的关系式的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为圆内接四边形的对角互补，故∠A ＝180°－∠C ，且∠A ，∠C 均不为0°或180°，故①式恒成立，②式不成立．同样由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立．④式只有当∠B＝∠D＝90°时成立．答案：B2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对解析：由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．答案：B3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于()A．20°B．40°C．80°D．100°解析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知：∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．答案：B二、填空题5．(2014·陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.解析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴AEAC＝EFBC，即12＝EF6，∴EF ＝3. 答案：36．如图，直径AB ＝10，弦BC ＝8，CD 平分∠ACB ，则AC ＝______， BD ＝________.解析：∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6. 又∵CD 平分∠ACB . 即∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ＝BD . ∴BD ＝AB 22＝5 2. 答案：6 5 27．如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，若∠C ＝34°，则∠AOB ＝________，∠ADB ＝________.解析：∵∠C 和∠AOB 分别是AB 所对的圆周角与圆心角， ∴∠AOB ＝2∠C ＝68°.∵周角是360°，劣弧AB 的度数为68°，∴优弧AB 的度数为292°. ∴∠ADB ＝12×292°＝146°.答案：68° 146° 三、解答题8.已知：如图，E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 各边的中点，对角线AC 与BD 相交于O 点，求证：E ，F ，G ，H 共圆．证明：法一：连接EF 、FG 、GH 、HE . ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点， ∴EF ∥AC .同理EH ∥BD .∴∠HEF ＝∠AOB .∵AC ⊥BD ，∴∠HEF ＝90°. 同理∠FGH ＝90°. ∴∠HEF ＋∠FGH ＝180°. ∴E 、F 、G 、H 共圆．法二：连接OE 、OF 、OG 、OH .∵四边形ABCD 为菱形． ∴AC ⊥BD ， AB ＝BC ＝CD ＝DA .∵E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 各边的中点， ∴OE ＝12AB ，OF ＝12BC ，OG ＝12CD ，OH ＝12DA .∴OE ＝OF ＝OG ＝OH .∴E ，F ，G ，H 在以O 点为圆心，以OE 为半径的圆上．故E ，F ，G ，H 四点共圆．9.如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA . 故ECD ＝∠EBA . 所以CD ∥AB . (2)由(1)知，AE ＝BE . 因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC . 连接AF ，BG ，则△EF A ≌△EGB ，故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠F AB ＝∠GBA . 所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A ，B ，G ，F 四点共圆．别是劣弧AB 与10．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为23，点C 与点D 分优弧ADB 上的任一点(点C 、D 均不与A 、B 重合)．(1)求∠ACB .(2)求△ABD 的最大面积．解：(1)连接OA 、OB ，作OE ⊥AB ，E 为垂足，则AE ＝BE .Rt △AOE 中，OA ＝2. AE ＝12AB ＝12×23＝ 3.所以sin ∠AOE ＝AE OA ＝32，∴∠AOE ＝60°，∠AOB ＝2∠AOE ＝120°. 又∠ADB ＝12∠AOB ，∴∠ADB ＝60°.又四边形ACBD 为圆内接四边形， ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°.从而有∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)作DF ⊥AB ，垂足为F ，则S △ABD ＝12AB ·DF ＝12×23×DF ＝3DF .显然，当DF 经过圆心O 时，DF 取最大值，从而S △ABD 取得最大值．此时DF ＝DO ＋OF ＝3，S △ABD ＝33，即△ABD 的最大面积是3 3.。

圆内接四边形的性质与判定定理

A
B E
课例展示：
O1与 O2 都经过A,B两点。经过点A的例1 如图，直线CD与 O1交于点C,与 O2 交与点D，经过点B 的直线EF与 O1交于点E,与 O2交与点F. 求证：CE//DF.
证明：连接AB ∵四边形ABEC是 O1 的内接四边形。 ∴∠BAD=∠E. ∵四边形ADFB是 O2 的内接四边形。 ∴∠BAD+∠F=180° ∴∠E+∠F=180°
Q A
C P F
B
跟踪练习：
2.AD,BE是△ABC的两条高，求证：∠CED=∠ABC.
C
E
D B
A
拓展提高：
（2011全国新课标文科）几何证明选讲如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的 x2-14x+mn=0方程的两个根．（I）证明：C，B，D，E四点共圆；（II）若A 90，m 4, n 6 ，且求C，B，D，E所在圆的半径．
课堂小结：
一、圆内接四边形性质定理 1.圆内接多边形的对角互补 2.圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。二、圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆. 推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆. 三、判定四点共圆的方法
课后练习：
课本30页2、3题
下课，再见！
C
O1
A
O2
D
E
B
F
∴CE//DF .
跟踪练习：
1.若圆内接四边形中3个相邻的内角比为5:6:4,则这个四边形中最大的内角为：_______ 120 最小的内角为：_____________ 60

圆学复习圆内接四边形的性质与定理

圆学复习圆内接四边形的性质与定理圆内接四边形的性质与定理圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都位于同一个圆上的情况。

在数学几何中，圆内接四边形具有一些特殊的性质与定理，本文将对这些内容进行详细的讨论。

一、圆内接四边形的定义与性质圆内接四边形的定义很简单，它是指一个四边形的四个顶点都位于同一个圆上。

这意味着四边形的每条边都是圆的切线。

在圆内接四边形中，我们可以发现以下性质：1. 对角线互相垂直：在圆内接四边形中，对角线是互相垂直的。

这是因为相对的两个顶点位于圆的直径上，而直径是圆的性质之一，因此对角线互相垂直。

2. 对角线相互平分：在圆内接四边形中，对角线互相平分。

这是因为相对的两个顶点与圆心连线的中点即为对角线的交点，而圆心连线是圆的半径，因此对角线互相平分。

3. 两组对角的和相等：在圆内接四边形中，两组对角的和相等。

也就是说，相邻的两个角和等于另外两个角和。

这一性质可以通过角的对立角相等来证明。

二、圆内接四边形的定理在圆内接四边形中，还存在一些重要的定理。

接下来，我们将逐一介绍这些定理。

1. 圆内接四边形的内角和等于360度：这是圆内接四边形最基本的定理之一。

由于圆的内角和为360度，所以圆内接四边形的内角和也等于360度。

2. 等腰圆内接四边形的对角线互相垂直：对于一个等腰圆内接四边形，也就是两组对边相等的圆内接四边形，其对角线互相垂直。

3. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形：若一个四边形的对角线互相垂直且互相平分，那么这个四边形是一个矩形。

4. 正方形是圆内接四边形：一个正方形的四个顶点位于同一个圆上，因此它是一个圆内接四边形。

5. 圆内接梯形的两个对角线相等：圆内接梯形是指一个梯形的两条腰都位于同一个圆上。

在圆内接梯形中，两个对角线相等。

这些定理的证明可以通过运用几何学中的基本原理与性质进行推导，读者可以根据需要自行探索。

三、应用与扩展圆内接四边形的性质与定理在数学中有广泛的应用。

例如，在计算几何学中，我们常常需要考虑到四边形的性质来解决一些问题，圆内接四边形就是其中之一。

2.2圆内接四边形的性质与判定定理

知识要点圆内接四边形的性质：
定理1 圆的内接四边形的对角互补 .
2.从补角来考虑内接四边形的四个角：如图：
将AB延长到点E，得如图， ∵ ∠ABC+∠EBC=180° . 又∵ ∠ABC+∠D=180° .
∴∠EBC=∠D.
知识要点圆内接四边形的性质：
定理2 圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角 .
B F A H D G
E
3.如图， ∵ A、B、C、D四点共圆.∴∠FCE = ∠A. ∵∠CFG = ∠FCE + ∠CEF, ∠DGF = ∠A + ∠AEG, 而∠AEG = ∠CEF. ∴∠CFG = ∠DFG.
A G D F C B E
C
点D只能在圆ห้องสมุดไป่ตู้，即A、B、C、D共圆.
圆内接四边形的判定定理
知识要点圆内接四边形判定定理：
如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.
知识要点推论：
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
课堂小结
1、圆内接四边形的性质定理
定理 1 圆的内接四边形的对角互补. 定理 2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
讨论：如果一个四边形的对角互补，那么是否
可以推出这个四边形存在外接圆？
思考
圆内接四边形判定定理？
假设四边形ABCD中， ∠B+ ∠D=180°. 求证：A、B、C、D在同一圆周上. 分析: 根据不在同一直线上的三点确定一个圆，所以可以经过A、B、C三点做圆O，如果能证明圆 O过点D，那么就证明了结论. 显然，圆O与点D有且只有三种位置关系：
观察

圆内接四边形的性质

圆内接四边形的性质在几何学中，圆内接四边形是指四边形的四个顶点都能与一个圆相切。

在本文中，我们将探讨圆内接四边形的性质。

一、面积对于圆内接四边形ABCD，其面积可以通过下面的公式计算：S = (AD × BC)/2其中，AD表示对角线AD的长度，BC表示对角线BC的长度。

二、对角线的关系在圆内接四边形中，对角线的乘积等于两条对边的乘积，即AD ×BC = AB × CD。

这一性质也被称为圆内接四边形的对角线定理。

三、周长圆内接四边形的周长可以通过下面的公式计算：P = AB + BC + CD + DA其中，AB、BC、CD和DA分别表示四边形的四条边的长度。

四、正方形和矩形的特殊情况当圆内接四边形是正方形时，它的对角线相等且垂直平分对方角。

而当圆内接四边形是矩形时，它的对角线相等且相交于对角线的中点。

五、圆内接四边形和三角形的关系对于一个圆内接四边形ABCD，将其顶点A、B、C和D分别与圆心O连接，我们可以得到四个扇形AOB、BOC、COD和DOA。

而这四个扇形的总和等于一个完整的圆，即AOB+BOC+COD+DOA = 360°。

六、欧拉公式对于任意圆内接四边形ABCD，其顶点A、B、C和D所构成的四个角的外角和等于360°，即∠A+∠B+∠C+∠D = 360°。

七、特殊情况下的圆内接四边形如果一个圆内接四边形是菱形或者平行四边形，那么它的性质和这些特殊四边形的性质相同。

例如，菱形内接圆的对角线相互垂直且平分对角线的夹角。

综上所述，圆内接四边形具有一些特殊的性质，包括面积关系、对角线的关系、周长计算公式以及和其他几何形状的关系。

这些性质在解决几何问题中起到了重要的作用，为我们提供了简化问题和推导结论的便利。

圆内接四边形的性质是几何学中的基础知识，对于进一步学习和应用几何学知识具有重要的意义。

圆内接四边形的性质

11.2.5 圆内接四边形的性质1、（1）圆的内接四边形对角互补。

如图：四边形ABCD内接于⊙o ，则有:∠A＋∠B=1800。

∠B＋∠C=1800。

(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

如图：∠CBE是圆内接四边形ABCDD的一外角，则有:∠CBE=∠D.2、圆内接四边形的判定。

（1）判定定理:如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

（2）推论;如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

〖例1〗如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于FG。

求证：∠CFG=∠DGF.分析：已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理,即∠BCE=∠BAD，又EG平分∠BEC,故△CFE∽△AGE。

［证明]因为四边形ABCD是圆内接四边形。

所以∠ECF=∠EAG。

又因为EG平分∠BEC,即∠CEF=∠AEG，所以△EFC∽△EGA。

所以∠EFC=∠EGA.而∠DGF=1800-∠EGA,∠CFG=1800-∠EFC,所以∠CFG=∠DGF.3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

几何语言：∵PT切⊙0于T，PBA是⊙0的割线。

∴PT2=PA·PB（切割线定理）4、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

几何语言：∵PT是⊙0的切线，PBA、PDC是⊙0的割线.∴PO·PC=PA·PB （割线定理）由上可知：PT2=PA·PB=PC·PD.5、相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。

（经过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两段的积相等）证明：连结AB，CD由圆周角定理的推论，得∠A=∠C,∠B=∠D。

（圆周角推论2：同（等)弧所对圆周角相等）∴△PAB∽△PCD∴PA∶PC=PB∶PD，PA·PD=PB·PC6、弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

圆内接四边形的性质和判定定理

圆内接四边形的
性质和判定定理
D C
·
A
OB
如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就是多边形的外接圆
圆内接四边形性质定理圆内接四边形对角互补
圆内接四边形判定定理对角互补的四边形内接于圆
如果 n(n N*,n 4) 个点在同一个圆
上，也称这 n 个点共圆
M A
O1·
C
N
B
·O 2D
例2、如图，D为△ABC的边BC上一点， ⊙O1经过点B、D，交AB于另一点E，⊙O2 经过点C、D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2 交于点G，求证：（1）∠BAC+∠EGF＝180°
（2）∠EAG＝∠EFG A
F E
G
O1·
·O2
B
D
C
例3、如图，以锐角三角形ABC的三边为边向外作三个等边三角形ABD、BCE、CAG，求证：△ABD、△BCE、△CAG的外接圆⊙O1 、 ⊙O2、⊙O3交于一点
一个四边形内接于圆也称这个四边形的
顶点四点共圆
D
C
D
C
·
A
OB
A
B
定理若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆
特别的，对定线段张角为直角的点共圆
例1、如图，⊙O1与⊙O2交于点M、N，直线AB过M与⊙O1与⊙O2 分别交于点A、B，直线CD过N与⊙O1与⊙O2 分别交于点C、D，求证：AC//BD
D
A
G
O1 ·F
·O3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
·O2
E

圆内接四边形性质定理

CD ·OBA EP圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形ABCD ，圆心为O ，延长BC 至E ，AC 、BD 交于P ，则：一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD+∠BAD=180° 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠DCE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似：△BCP ∽△ADP 四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP五、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

如图，连接OB 、OD 则∠A=21β，∠C=21α ∵α+β=360°∴∠A+∠C=21×360°=180°同理得∠B+∠D=180°（也可利用四边形内角和等于360°）【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。

设圆内接四边形ABCD证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°连接BO 并延长，交⊙O 于E 。

连接AE 、CE 。

则BE 为⊙O 的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180°∴∠BAE+∠BCE-∠DAE+∠DAE=180° 即∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DAE=180°∵∠DAE=∠DCE （同弧所对的圆周角相等） ∴∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）【证明】方法三：利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等连接AC 、BD ，将∠A 、∠B 、∠C 、∠D 分为八个角 ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°）∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等）∴∠1+∠2+∠5+∠6=21×360°=180°∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明如图，求证：∠DCE=∠BAD ∠BCD+∠DCE=180°（平角为180°）∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴∠DCE=∠BAD三、圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证：△BCP ∽△ADP ，△ABP ∽△DCP证明： ∵∠CBP=∠DAP ，∠BCP=∠ADP （一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

圆内接四边形的性质及其应用

03 圆内接四边形的面积和周长
面积的计算
面积公式
圆内接四边形的面积可以通过公式计算，公式为$S = frac{1}{2} times d times p$，其中$d$是圆的直径，$p$是圆内接四边形
的周长。
面积与半径的关系
圆内接四边形的面积与半径成正比，当半径增大时，面积也相应
增大。
面积与角度的关系
04 圆内接四边形的实际应用
在几何作图中的应用
性质利用
圆内接四边形的对角互补性质在几何作图中常被用来确定点或线的位置。例如，通过已知的两个相对角的度数，可以确定一个圆的圆心和半径。
VS
作图工具
圆内接四边形可以作为作图工具，帮助确定复杂图形的角和边的长度。例如，在绘制椭圆或更复杂的几何图形时，可以利用圆内接四边形的性质来辅助作图。
，证明相对的两个内角互补。
弦切角定理的证明
总结词
弦切角定理表明，在圆内接四边形中，切线与弦之间的夹角等于该弦所对的圆周角。
详细描述
要证明弦切角定理，可以首先在圆内接四边形中作一条切线，并连接该切线与弦的端点。然后，利用圆的切线性质和圆周角定理（圆周角等于同弧所对的圆心角的一半），证明弦切角定理成立。
切线长定理
总结词
切线长定理表明在圆内接四边形中，两条相对的切线长度相等，且两条切线的交点到两切点的距离也相等。
详细描述
在圆内接四边形ABCD中，如果AB和CD是切线，那么线段AC等于线段BD，即AC = BD。这是因为切线与半径垂直，而两条切线的交点到两切点的距离相等。这个定理可以用来判断一个四边形是否为圆内接四边形。
圆内接四边形的面积还与其相对的两个角度有关，相对角度越大，

圆内接四边形的性质与判定定理课件

点共圆提供两个方法．
类型 1 性质定理的应用(规范解答)
[典例 1] 如图所示，⊙O 是等腰三角形 ABC 的外接圆，AB＝AC，延长 BC 到点 D，使 CD＝AC，连接 AD 交⊙O 于点 E，连接 BE 与 AC 交于点 F.
(1)判断 BE 是否平分∠ABC，并说明理由． (2)若 AE＝6，BE＝8，求 EF 的长．，所以 EF＝AED·EEC＝92.(10 分)
归纳升华圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，这两个性质可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．
类型 2 判定定理的应用(互动探究)
圆内接四边形的性质与判定定理
1．圆内接多边形的定义如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆． 2．圆内接四边形的性质定理定理 1：圆内接四边形的对角互补．定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
3．圆内接四边形的判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 4．判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形四个顶点共圆．温馨提示圆内接四边形判定定理及推论为证明四
审题指导：(1)判断 BE 是否平分∠ABC，关键是判断 ∠ABC＝2∠EBC 是否成立．
(2)EF 的长可利用三角形相似来求． [规范解答] (1)BE 平分∠ABC.(2 分) 因为 AC＝CD，所以∠CAD＝∠ADC，
所以∠ACB＝∠CAD＋∠ADC＝2∠CAD.(4 分) 又因为 AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD. 因为∠CAD＝∠EBC，所以∠ABC＝2∠EBC，所以 BE 平分∠ABC.(6 分)

圆内接四边形知识点总结

圆内接四边形知识点总结在几何学中，圆内接四边形是指四个顶点都位于同一圆上的四边形。

它具有一些独特的性质和特点，下面将对圆内接四边形的相关知识点进行总结。

一、定义：圆内接四边形是指四个顶点都位于同一圆上的四边形。

二、性质：1. 对角线互相垂直：在圆内接四边形中，对角线互相垂直。

换句话说，连接圆内接四边形相对顶点的线段相互垂直。

2. 对角线平分：在圆内接四边形中，对角线互相平分。

这意味着连接圆内接四边形相对顶点的线段相互等长。

3. 对角线交点是圆心：对角线的交点是圆内接四边形的圆心。

圆内接四边形的圆心是四个顶点所在圆的中心。

4. 对角线和边的关系：圆内接四边形的任意一条边与圆心连线构成的角是顶点对边上相对顶点与圆心的角的一半。

5. 内接四边形周长公式：圆内接四边形的周长等于对角线的和。

6. 面积公式：圆内接四边形的面积可以通过利用已知的弦长和半径来计算。

三、推论：1. 正方形是圆内接四边形的一种特殊情况：当正方形的对角线相等时，它也是一个圆内接四边形。

2. 矩形是圆内接四边形的一种特殊情况：当矩形的对角线相等时，它也是一个圆内接四边形。

3. 圆内接四边形的内角和：圆内接四边形的内角和等于360度。

这是因为，对角线互相垂直，所以每个顶点的内角和为90度，而四个顶点的内角和为360度。

四、示例问题：1. 已知一个圆的半径为r，求解圆内接四边形的面积。

解答：可以利用已知的半径和弦长来计算四边形的面积。

首先根据已知半径r和弦长的关系，可以求出弦长。

然后利用弦长和半径计算圆内接四边形的面积。

2. 已知一个圆内接四边形的对角线d1和d2的长度分别为x和y，求解四边形的周长。

解答：根据圆内接四边形的性质可知，对角线相等，即d1 = d2。

可以利用已知对角线的长度x或y来求解四边形的周长，周长等于2(x+y)。

3. 若一个圆内接正方形的面积为16平方厘米，求解正方形的边长。

解答：已知圆内接正方形的面积为16平方厘米，根据正方形的性质可知，面积等于边长的平方。

圆内接四边形的性质与判定定理课件

2.如图，A,B,C,D四点在同一个圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED． (1)证明：CD∥AB； (2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A,B,G,F四点共圆．
【解析】1.∵过点B，C，D作⊙O,则BC是直径，又∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°,∴点E也在⊙O上，故点B，C，D， E四点共圆. 答案：在 2.(1)因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD. 因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA，故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC, 从而∠FED=∠GEC. 连接AF，BG,则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE. 又CD∥AB，∠EAB=∠EBA，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°. 故A,B,G,F四点共圆.
【想一想】解答题2的关键点及思路是什么？提示：(1)当已知条件中出现圆内接四边形时，常用到圆内接四边形的性质定理来获得角相等或互补，从而为证明三角形相似或两直线平行等问题创造了条件. (2)当判定四点共圆时，要时刻掌握前面讲的四点共圆的判定方法，灵活选择适当的方法判定.
圆内接四边形的综合应用圆内接四边形的综合应用此类问题综合性较强,考查知识点较为丰富,往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用,最终得到结论.
【典例训练】 1．如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=70°，CF是△ABC的边AB上的高，FP⊥BC于点P，FQ⊥AC于点Q，则∠CQP的大小为 _____.
1.任意平行四边形的四个顶点在同一个圆上吗？提示：平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，因为它的对角相等，但不一定互补.当互补时，共圆. 2.在我们学过的特殊四边形中，有哪些四边形的四个顶点共圆？提示：有矩形、正方形、等腰梯形，因为它们的四个内角中相对的两个内角互补.

圆内接四边形的性质对角互补证明

圆内接四边形的性质对角互补证明圆内接四边形是一种定义在圆周上的几何形状，它由四条对角线和四个顶角组成。

推广来看，圆内接四边形的性质就是任意两条对角线之间的夹角都是相反的，即对角互补的性质。

这一性质是由“正弦定理”和“余弦定理”构成的，也就是这两个定理在证明圆内接四边形的性质中起到了重要的作用。

正弦定理是古希腊数学家海拉尔提出的一个定理，他定义了三条相交的线段AB、BC和CD，以及在向量AB上的点P使得AB=BP的等式，以及在向量CD上的另一点Q使得CD=DQ的等式。

这个定理可以用坐标表示为：sin（α）/AB =cos（α）/CD其中α是AB和CD之间的夹角。

因此，正弦定理表明AB和CD之间的夹角是相反的，即对角互补。

余弦定理是海拉尔在1632年提出的定理，这个定理用Lambert向量方程来描述，它定义了三条相交的线段AB、BC和AC，以及在向量BC上的点P使得BC=BP的等式，以及在向量AC上的另一点Q使得AC=CQ的等式。

用坐标表示为：cos（α）/BC =cos（β）/AC其中α和β分别是AB和AC之间的夹角。

因此，余弦定理表明AB和AC之间的夹角也是相反的，也是对角互补的。

在上述两个定理的基础上，可以得出圆内接四边形的性质，即任意两条对角线之间的夹角都是相反的，也就是对角互补的性质。

通过以上推理可以证明圆内接四边形的性质是对角互补的。

另外，圆内接四边形也有一些其他显著的特性，比如每条对角线都是直径的一半，而所有顶角的夹角都相等。

此外，如果我们计算圆内接四边形的面积，会发现它等于圆的半径的平方乘以二级正弦（2sin）的乘积，这也是证明圆内接四边形的性质之一。

总之，“正弦定理”和“余弦定理”可以证明圆内接四边形的性质，是对角互补的。

有了基础的概念，就能更好地了解圆内接四边形的性质，也能更准确地计算它们的面积和角度。

圆内接四边形性质定理

圆内接四边形的性质与判定定理(人教选修)

圆内接四边形的性质及判定定理

圆内接四边形的性质与判定定理

圆学复习圆内接四边形的性质与定理

2.2圆内接四边形的性质与判定定理

圆内接四边形的性质

圆内接四边形的性质

圆内接四边形的性质和判定定理

圆内接四边形性质定理

圆内接四边形的性质及其应用

圆内接四边形的性质与判定定理 课件

圆内接四边形知识点总结

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圆内接四边形的性质对角互补证明

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