圆内接四边形性质定理

C

D

·O

B

A

E

P

圆内接四边形性质定理证明：

如右图：圆内接四边形ABCD ，圆心为O ，延长BC 至E ，AC 、BD 交于P ，则： 一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC +∠A DC=180°，∠BC D +∠B AD=180° 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠D CE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似：△B C P∽△ADP 四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP 五、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD

一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）

【证明】方法一：

利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

如图，连接OB 、OD 则∠A=

21β，∠C=2

1α ∵α+β=360°

∴∠A+∠C=

2

1

×360°=180° 同理得∠B+∠D=180°

（也可利用四边形内角和等于360°） 【证明】方法二：

利用直径所对应的圆周角为直角。 设圆内接四边形ABCD

证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°

连接BO 并延长，交⊙O 于E 。连接AE 、CE 。 则BE 为⊙O 的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180°

∴∠BAE+∠BCE -∠D AE+∠DAE=180° 即∠BAE -∠DAE+∠BCE +∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DCE（同弧所对的圆周角相等）

∴∠BAE -∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180°

∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180°

（四边形内角和等于360°）

【证明】方法三：

利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等

连接AC 、BD ，将∠A 、∠B、∠C 、∠D 分为八个角 ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8

∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°）

∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等）

∴∠1+∠2+∠5+∠6=

2

1

×360°=180° ∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180°

C A

B

D

·O α

β

·O B

C

D 1

2 4

3 5 6

7 8

∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）

二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明

如图，求证：∠D CE=∠BAD

∠BC D+∠D CE=180°（平角为180°）

∠BC D+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴∠D CE=∠BAD

三、圆内接四边形对应三角形相似

如上图，求证：△B C P∽△ADP ，△AB P∽△DCP

证明：

∵∠CBP =∠DAP ，∠BCP =∠ADP

（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。） 又∵∠APD =∠BPC （对顶角相等） ∴△B C P∽△ADP

∵∠BAP =∠CDP ，∠ABP =∠DCP

（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。） 又∵∠APB =∠DPC （对顶角相等） ∴△AB P∽△DCP

四、相交弦定理

仍用上图，求证：AP×CP=BP×DP 证明：

∵△B C P∽△ADP （圆内接四边形对应三角形相似） ∴CP

DP BP

AP =（相似三角形的三边对应成比例）

∴AP×CP=BP×DP

五、托勒密定理

求证：如图，四边形ABCD 内接于圆O ，那么AB ×CD+AD ×BC=AC ×BD

【证明】方法一：

作辅助线AE ，使∠BAE=∠CAD ，交BD 于点E ∵∠ABE=∠ACD （同弧AD 所对的圆周角相等） 又∵∠BAE=∠CAD

∴△ABE ∽△ACD ∴CD

BE AC

AB =

，即AB ×CD=AC ×BE (1)

∵∠BAE=∠CAD

E

E

∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC

即∠BAC=∠EAD

又∵∠ACB=∠ADE（同弧AB所对的圆周角相等）∴△ABC∽△AED ∴

AD

AC

DE

BC

，即BC×AD=AC×DE (2)

(1)+(2),得

∴AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×DE=AC（BE+DE）=AC×BD

【证明】方法二：

利用西姆松定理证明托勒密定理。（提示：本题要使用正弦定理），初三现有知识还不能求证。

广义托勒密定理

广义托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的

乘积，其推论是任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，而且当ABCD四点

共圆时取等号。

内容：凸四边形对边乘积和≥对角线的积

托勒密定理的推论：任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。证明如下：在四边形ABCD中,连接AC、BD,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD，则△ABE∽△ACD

∴ BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD ∴BE*AC=AB*CD ①,AB/AE=AC/AD ∵∠BAE=∠CAD

∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC

即∠BAC=∠DAE

又∵AB/AE=AC/AD,∴△ABC∽△AED

∴BC/ED=AC/AD

∴ED*AC=AD*BC②

①+②,得

AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC

又∵BE+ED≥BD

∴AC*BD≤AB*CD+AD*BC

从而命题得证，

且仅当E点落在线段BD上时，等号成立