球面镜成像

f f' 1 s s'
β ns' 1 n' s
β s' s
β 1
β fs' f 's
以像作物 最终性质
β=β1β2β3┄
21届预赛 2004
有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸 起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面 的半径R＝1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。 在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点 6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方 向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再 在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。 已知玻璃的折射率n1＝1.56，酒的折射率n2＝1.34。 试通过分析计算与论证解释这一现象。
光的干涉
本章内容
Contents chapter 19
光的反射 平面镜、球面镜成像 光的折射 薄透镜成像 简单光学仪器 光的本性
■光源：能够自行发光的物体叫做光源．点光源、平行光 ■光线：沿光的传播方向作一条线，并标上箭头，表示光的传 播方向，这样的线叫做光线． ■介质：光能够在其中传播的物质叫做光介质，简称介质． ■光速：在真空中传播速度c=3.00×108m/s. 在其它介质中光的 传播速度为v=c/n，式中n为介质的 折射率，故v<c．
放大 大小不变
缩小
物空间 n s f
符号规则：
像空间 n′ s′ f′
r y y′
β ns'
焦距
s f nr n' s n'n
s' f ' n'r n'n
fn
f ' n'
n
n′
P
O
rC
P′ s′
平面折射 球面反射 平面反射 薄透镜
n n' 0 s s' 1 1 2 s s' r
1 1 0 s s'
A．以速率0.5v 沿S ′S 连线向S 运动 B．以速率v 沿S ′S 连线向S 运动
C．以速率 3υ 沿S ′S连线向S运动
D．以速率2v 沿 S ′S 连线向S 运动
速度分解法、解析法（镜移至点光源S处，简单）、相对运动法。
30o
O
S
如图中AB表示一直立的平面镜，P1P2是水平放置的米尺(有刻度的一 面朝着平面镜)，MN是屏，三者互相平行．屏MN上的ab表示一条竖 直的缝(即a、b之间是透光的．)某人眼睛紧贴米尺上的小孔S(其位置 见图)，可通过平面镜看到米尺的一部分刻度．试在本题的图上用三角 板作图求出可看到的部位，并在P1P2上把这部分涂以标志．
物体AB经凹面镜成像为A1B1,
图中u为物距, v为像距
A
由于△ABC∽ △ A1B1C1, 故
u 2 f AB
B
2 f v A1B1
又由于△ABF∽ △ DOF (近轴),故
B1 F
O
C
（C1）A1
D
v u
u f AB AB
f OD A1B1
因此
u2f u f 2f v f
整理后得
1 1 1 2 u v f R
■ 光在同一种均匀介质中沿直线传播．小孔成像、本影、
半影、日食、月食等都是光的直线传播的典型例子．
■ 分析
（1）小孔成像（倒立实像）； （2）影的形成
太阳
本影区 月球
伪本影区 半影区
地球
■ 光的反射：当光从一种介质射入另一种介质，在两种介质的界面 上，光的传播方向发生改变，一部分光返回原来介质中，这种现象叫 做光的反射．
r
aiˆ
bˆj
ckˆ
方向由（a, b, c）决定
Z
建立直角坐标，使得三个反射面分别为
XOY(z=0), YOZ(x=0), ZOX(y=0)三个平面 X O
Y
设入射光线的方向为( a, b, c)
Z
O
经过 x=0 的平面反射后光线的方向变
X
为 ( -a, b, c)
同理，依次经过 y=0、z=0的平面反射后光线的 方向变为( -a, -b, -c)，原题得证
q
θ 很小，两个镜面间的间距可近似地认为都等于AC， 因此第m次在M2上反射后的光线在M1上的入射点相对于第（m－1）次的移 动的距离可近似地等于AC×2 (2m-1)θ
第m次在M2上反射后的光线在M1上的入射点相 对于A点的的距离为：
S AC 2θ 6θ 22m 1θ
B
D
3θ
M1
2θ M2
■ 反射定律： （1）反射光线跟入射光线在同一平面内， 反射光线和入射光线分别位于法线的两侧； （2）反射角等于入射角．
■ 在反射现象中，光路是可逆 的．镜面反射和漫反射都遵循光的 反射定律．
● 光在真空中的转播速度为c=3.00×108m/s。
（1）光在不同介质中的传播速度是不同的。根据爱因斯坦 的相对论光速不可能超过c。 （2）近年来（1999～2001年）科学家们在极低的压强 （10-9Pa）和极低的温度（10-9K）下，得到一种物质的凝聚 态，光在其中的速度降低到17m/s，甚至停止运动。 （3）也有报道称在实验中测得的光速达到1011m/s，引起物 理学界的争论。
球面的球心叫做曲率中心,镜面的中心叫做镜的顶点,顶点与曲率 中心的连线叫做主光轴
凹镜对光线有会聚作用,其焦点为实焦点;凸镜对光线有发散作 用,其焦点为虚焦点.
对近轴光线:球面镜的焦距与球面的半径之间的关系为 f R 2
R为球面的半径. 凹镜焦距为正;凸镜焦距为负.
球面镜成像作图中常用的三条特殊光线:
该例题的引申：
如果给定入射光线的方向( a, b, c)和入射点的 坐标(x0, y0, z0)，如何求反射光线和入射光线 的垂直间距？
Y
Y
r
aiˆ
bˆj
r
aiˆ
bˆj
X
例5、两平面镜M1和M2夹一很小的角θ，当一根光线从M1的A点以垂直于 AB的方向射到M2上时，如果这根光线经过100次来回反射后仍然跑不出 两镜面，则θ角不能超过多少？（AB=1mm, AC=5cm)
O2相距2.6R,现于主轴上距凹透镜顶点O1为0.6R处放一点光源S,设 点光源的像只能直接射到凹镜上,问S经凹镜和凸镜各反射一次后 所成的像在何处?
o1
s s2
o2
s1
n
n′
P
O
rC
P′ s′
物像距公式 n n' n'n s s' r
β>0 正立 β<0 倒立
横向放大率
β y' y
β 1 β 1 β 1
C
F
O
一凹镜所成的像,像高为物高的1/3, 且已知物像间 距离为1m, 求凹镜的曲率半径.
由于成缩小的像, 对于凹镜只有两种可能,一种是实物成实像,
由物像同侧.
u v 1m
u 3v
1 11 f uv
求得 R=2f=0.75m
一种是虚物成实像, 则物像异侧. u v 1m
u 3v
1 11
(1) 跟主轴平行的入射光线,其反射光线通过焦点.
(2) 通过焦点的入射光线,其反射光线与主轴平行.
(3) 通过曲率中心的入射光线,其反射光线和入射光线重合但方向相反.
球面镜成像公式 1 1 1 uv f
符号法则: 实物 u 为正值, 虚物 u 为负值; 实像 v 为正值,虚像 v 为负值; 凹镜的焦距 f 为正值, 凸镜的焦距 f 为负值.
解：把酒杯放平，分析成像问题。
1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和 n0＝1。在图中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线
PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成 角
的另一光线PA在A处折射。设A处入射角为i，折射角为r，
半径CA与PO的夹角为q ，由折射定律和几何关系可得
看到AB完整像的范围
AB
M
A′
N B′
先根据对称性作出AB的像A′B′，分别作出A点、B点发 出的光经平面镜反射后能射到的范围，再找到它们的公共区 域（交集）。就是能看到完整像的范围。
两个平面镜相互垂直放置，证明：不论入射光线方向如何， 经过平面镜两次反射后的光线，总是与入射光线平行反向。
证明：
1 2
于轴的所有入射光线,经凹面镜反射后都将能到达该圆形屏幕,试求圆形屏幕直径.
如图所示,O为凹面镜的曲率 中心, h表示凹面镜孔镜之半,
P h2αα α F
过P点的平行于主轴的光线
F1
O
反射后交主轴于F1点,则
Q
FF1
OF1
OF
R 2 cos α
R 2
在直角三角形F1FQ中,应用小量近似,可得
x
FF1
tan 2α
h 2 3 R R 9.87 105 m 3
■ 成像特点；等大、正立、虚像，物像关于镜面对称，但左右倒置． ■ 平面镜的作用：平面镜改变光的传播方向，而不改变光束的性质．
S
平行光束
S′ 发散光束
S
S′ 会聚光束
一个点源S 对平面镜成像，设光源不动，平面镜以速率v 沿OS 方向向光源平 移，镜面与OS 方向之间的夹角为30º，则光源的像S ′将
像的长度放大率
m A1B1 f v AB u f u
上面的公式只适用于近轴光线成像的情况.
如图所示，一物体在曲率半径为12cm的凹面镜的顶点左方 4cm处，求像的位置及横向放大率，并作出光路图。
C
F
O
如图所示，一物体在曲率半径为12cm的凹面镜的顶点左方
4cm处，求像的位置及横向放大率，并作出光路图。 O点之右12cm处；放大率为3
θ
A
C
AC 2θ1 3 5 2m 1
m2
AC 2m2θ
θ
S AC 2m2θ
✓令 m＝100，并且 S AB ，则有：
AB θ 2m2 AC
106 弧度
B
D
3θ
M1
2θ M2 θ
A
C
q （AB=1mm , AC=5cm)
球面镜: 反射面是球面的一部分.反射面如果是凹面的,叫做凹 面镜, 简称凹镜; 反射面是凸面的,叫做凸面镜,简称凸镜.
P1
S
P2
M ab
N
A
B
P1
S
P2
M ab
N
A
wenku.baidu.com
B
P1
S EF
P2
M
ab
N
A
B
S′ （眼的像的位置）
图一
P1
SEF
P2
M
ab
N
A
B
M′
a′ b′ （屏的像N的′位置）
P1′
P2′
（尺的像的位置）
图二
如图所示，用作图法确定人在镜前通过平面镜可看到AB完 整像的范围。
A M
B N
如图所示，用作图法确定人在镜前通过平面镜可看到AB完 整像的范围。
n1sini＝n0sinr
q ＝i+
（1） （2）
在△PAC中，由正弦定理，有
R PC
sin sin i
考虑近轴光线成像，、i、r 都是小角度，则有
r n1 i n0
（4）
R i
PC
（5）
由（2）（4）（5）式、n0、nl、R的数值及
可得
q ＝1.31i
（6）
r ＝1.56i
（7）
● 平面反射有两个对称:反射光线与入射光线关于法线对
称;反射光线与入射光线的延长线关于界面对称.因此常用于 进行光路控制.
一个绕地球赤道上空飞行的人造卫星, 在日落2小时后 仍能在正上方看到它,求它飞行的最低高度.(地球半径 为6.38×106m)
θR
地球自转24小时转过360o,则2个小时中转过 的角度为360o/12=30o, 飞行的最低高度为:
FF1
sin2α
R ( 2 cos α
R ) s in 2α
2
x R sinα R sin2α R sinα(1 cos α) R sinα α 2 h3
2
2 2R2
将数值代入后可得 x=1.95mm, 因此,圆形屏幕直径为3.9mm
、 如图所示, 半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置,两镜顶点O1
B
43
反射定律：∠1=∠2，∠3=∠4
A
A、B两点的两法线相互垂直：∠2+∠3=90o
∠1+∠2+∠3+∠4=180o
原题得证
问题
光线经过成 θ交角的两平面镜的两次反射后，出射光线跟入射光线的夹角
α 为多少？
M1 A
三角几何关系： α DBC DCB
DCB 290 1
反射关系：
DBC 290 2
B
D
光线在每个镜面上反射时，入射角依次
M1 3q
增加θ q
在M2镜面上的入射角依次为θ， 3θ ， 5θ ，.. .. .., A
2q M2
C
（2m－1) θ ，.. ..
在M2镜面上的入射光线和反射光线的夹角依
次为2 θ ， 6 θ ， 10 θ ，.. .. ..,
2(2m-1) θ ，.. ..
f uv 求得 R=2f=0.75m
在半径为R=2m、孔径d=0.5m的凹面镜的焦点位置上,放置一块
圆形屏幕,使平行于轴的所有入射光线,经凹面镜反射后都将能到 达该圆形屏幕,试求圆形屏幕直径.
P h2αα α F
F1
O
Q
在半径为R=2m、孔径d=0.5m的凹面镜的焦点位置上,放置一块圆形屏幕,使平行
C
D
1
α
θ2
三角形内角： θ 180 1 2
B
M2
α 2θ
θ=90o时，α=180o
出射光线与入射光线反平行
角反射器： 三块平面镜相互垂直 反向作用
三面互成直角
长方形玻璃体切出一只角 自行车尾灯反射罩
角锥棱镜
证明入射光线经过角反射器三次反射后的出射光线与入射光线反向平行.
证明：
光线可以可以用矢量表示：