第三章几何光学球面反射折射物像公式

2、牛顿公式： 若将取值原点由顶点O改 为物、像方焦点F、F’，则 有如下关系（如右图示）
n
P
n`
F
x
f
源自文库
O
r
f
C
P`
F' ' x
s`
牛顿公式
对任何理 想成像过 程均适用
sf x
s' f ' x'
'
-s
则高斯公式变为 :
3、说明： ①
f f ' ' 1 化简可得 : xx ff f ' x' f x
2
r
2
s r
'


2
2 r s ' r cos


光程 PAP ' nl nl ' n
r 2 r s 2 2 r r s cos r

2
n
s r
'


2
2 r s r cos
对球面O2折射成像
也可用高斯公 式、牛顿公式 求解！
n'
n n n r s 2 2
'
代入数据 10cm
§3-4
光连续在几个球面上的折射
虚物
实际的光学系统大多由两个或两个以上的球面所构成。研究多个 球面上的折射成像更具实际意义。
一、共轴光具组
光学上称： 很小的区域为近轴（或傍轴）区域，此区域内的光线为近轴光线
性得以保持。一个物点将有一个确定像点与之对应。
在近轴光线条件下：像点称为高斯像点；研究物像关系的内容为高斯光学。
A
2、物像公式
r ' 当 s 有 s 2
焦点：沿主轴方向的平行光束经球面反射后将会聚于
主轴上一点，该点称为反射球面的焦点(F’)。
例题： 一个点状物放在凹面镜前0.05m处，凹面镜的曲率半径为
0.20m，试确定像的位置和性质. [解]：设光线从左至右
已知 : s 0.05m r 0.20 m
P` C P
1 1 2 -r 由球面反射成像公式 ' s s r rs 0.2 0.05 ' 得:s 0.1m 2 s r 2 0.05 0.2
A、像方焦点 F’、像方焦距
f
'
'
n
n n -s
'
n`
O
F`
当 s 时,由物像公式 得:
' n f ' s' ' r n n
n n ' s s
r
s’ f`
n
B、物方焦点F、物方焦距
'
f
F
n`
O
n' n n' n 当 s 时,由物像公式 ' s s r n 得: f s ' r n n ' f' n' f • ∵ n n C、 f n
'


r s
'
r

s'

1 1 1 s' s ' ' l l rl l
化简为 :
1 1 2 ' s s r
即：对一定的反射球面（r一定），Ｓ’和Ｓ一一对应，而与入射点无关。 ∴ 由P点所发出的单心光束，经球面反射后将交于一点P’，光束的单心
垂轴线段
③ 图中出现的长度和角度只用正值。符号按 照新笛卡尔法则额外加入。 例：球面反射成像各量的正负。 无论光线从左至右还是从右至 左，无论是球面反射还是折射， 以上符号法则均适用。 以下的讨论假设光线从左至右进行。
A
l
P -u C

i
-r
' l -i`
-u` P` -s` O
-s
对l , l ' , 不适用 !!
'


A
对给定的物点，不同的入射点，对
l
P -u
C
应着不同的入射线和反射线，对应
着不同的 。
由费马原理可知 : 当
d PAP ' d
0 时,
i -i` l ' -u` P` -s` O -r
PAP ' 取得极值(此处是恒定值). 由 d PAP ' d
-s
n 2r r s sin n' 2r s ' r sin 0 l l
' '
P2 ‘
-s1
s1 ’ -s2’
-s2
得 : s1'
n'
n' n n r s 1 1
代入数据 16cm
已知 : s2 20 16 4cm, r2 2cm, n 1.6, n ' 1 同1有 : s
' 2
2、P1
’为物,



r s s' r 1 1 1 s' s 化简有 : 0 即: ' ' ' l l l l rl l 对一定的球面和发光点P（s一定），不同的入射点对应有不同的s’。 即：同一个物点所发出的不同光线经球面反射后不再交于一点。
由P点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏
1、高斯公式：

球面反射 : f ' f 1 1 2 ' s s r
六、理想成象的两个普适公式
n' n n' n 将物像公式 ' 变形为 : s s r n' n r r ' ' ' f f n n n n 1 1 ' ' s s s s
高斯公式
对任何理想成像 过程均适用
-s -f
s’
f
'
• “—”号表示 f 与 f ' 永远异号，物、像方焦点一定位于球面两侧。
⑦ 球面反射从数学处理上可视为球面折射的特例 ∵ 在球面反射中，物像空间重合，且入射光线与反射光线行进方向相反 ∴ 在数学处理方法上，可假设： n
'
n
物理上无意义
f' n' 球面折射: f n n' n n' n ' s s r
n' n n' n f ' f 在 球 面 折 射 中, ' , ' 1, xx ' ff '三 者 等 效 ; s s r s s
② 高斯公式、牛顿公式是近轴条件下理想成像的普适公式。 只是在不同情况下，焦距的形式不同而已。 r 1 1 2 高斯公式 ' 如 : 球面反射 f f ' 2 s s r
二、球面反射对单心性的破坏
从主轴上P点发出单心光束，其中一条光线在球面上A点反射，反射光与 主轴交于P`点。即P`为P的像。 按符号法则，各有关线段和角度的正负如图所示。s — 物距 s`— 象距
在 PAC 和 ACP '中,由余弦定理有 : l l
'
r
2
r s 2 r r s cos
n' n const ② 当介质和球面一定时（n,n’,r 一定）， r
计算时 r 取 米为单位
n' n r
对于给定的介质及球面，
n n 是常量，不随物点改变。 r
n n —— 是表征球面的光学特征的常量 —— 该球面 r 的光焦度。
物理意义：表示光进入光学系统的折光程度——折光度。
物空间
像空间 S’>0:实像 物空间 像空间
n P
物空间 像空间
n` s` P`
S’<0:虚像 物空间
n
P P` -s` O -s n`
虚像在物空 间,但实际 存在的是像 空间的发散 光束,故像 方折射率仍 为n’.
-s O
P
-s
S’<0:实像
P` -s` O
像空间
P -s
s’ P’
S’>0:虚像
⑥ 焦点、焦距
' 焦距：焦点到球面顶点的距离（f
C
F` -r
f
'
P` -s` O
-s
r ）。它同样遵守符号法则。 2

1 1 1 s' s f'
说明：1、它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件下成立； 2、式中各量必须严格遵从符号法则； 3、对凸球面反射同样适用； 4、当光线从右至左时同样适用。
2 2
n
'
r s r
2 '


2
2 r s ' r cos


n
对给定的物点，不同的入射点，对 应着不同的入射线和折射线，对应 着不同的
l
-i1 A

P
-u -s
-i2
l'
n` P`
O

r
u` C s`
。
由费马原理可知 : 当
d PAP ' d
0 时,
PAP ' 取得极值此处是极小值 . 由 d PAP ' d n n' 2 r r s sin ' 2r s ' r sin 0 l l
由P点所发出的单心光束经球面折射后，单心性被破坏
五、近轴光线下球面折射的物像公式 1、物像公式: 当 很小时, cos 1
l l
'
r 2 r s 2 r r s
2
r r s 2
'
s
2
r s r
2 '


2
2r s r
设n<n’
P`
-s
s`
在 PAC 和 ACP '中,由余弦定理有 : l l
'
r 2 r s 2 r r s cos
2
r s r
2 '


2
2 r s ' r cos


光程 PAP ' nl n 'l ' n r r s 2 r r s cos
§3-3
1、基本概念：
光在球面介面上的反射和折射
符号法则 r O 主轴
一、球面的几个概念
球面顶点：O 球面曲率中心：C C 球面曲率半径：r 球面主轴：连接O、C而得的直线。 主截面：通过主轴的平面。
2、符号法则：为使计算结果普遍适用，对线段和角度正负取法的规定。
① 线段长度均从顶点算起： 新笛卡尔法则
沿轴线段
A、凡光线与主轴交点在顶点右方者线段长度数值为正； 凡光线与主 轴交点在顶点左方者线段长度数值为负； B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，下方为负。 ② 光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于900的角度；由主轴 （或法线）转向有关光线时： A、顺时针转动，角度为正；B、逆时针转动，角度为负。 （注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）
三、近轴光线下球面反射的物像公式
1、近轴光线条件
当 很小时, cos 1 l l
'
r 2 r s 2 2 r r s r r s 2 r
2
s
2
s r
'


2
2 r s r
'


r s r
s'
n ' n 1 n ' s ' ns 由: ' ' l l r l l
2、讨论：
n' n n' n 得: ' s s r
① 当介质和球面一定时（n,n’,r 一定），s’与s一一对应，即：在近轴 光线条件下光束单心性得到保持。
例3.4:
一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径为 2cm。若在 离哑铃左端5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。
[解]：两次折射成像问题。
n
P
O1
n
P’1 n` O 2
1、P为物, 对球面O1折射成像P1’
已知 : s1 5cm , r1 2cm , n 1, n ' 1.6 n n n n 由折射成像公式 ' r1 s1 s1
大表示折光程度大； 小表示折光程度小。 0 系统是会聚系统
0 系统是发散系统 0 无焦系统
③ 物像公式对凹球面折射同样适用。
④ 物像共轭：P’为P的像点，反之，当物点为P’时，像点必在P点；这种
物像可易性称为物像共轭。它是光路可逆原理的必然结果。 其中：P、P’称为共轭点，光线PA、AP’称为共轭光线。 ⑤ 物空间与像空间： 规定：入射光束（或入射线）在其中进行的空间——物空间； 折射光束（或折射线）在其中进行的空间——像空间。
-s O
s`
最后像是处于镜后0.1米处的虚像。 当光线从右至左时，可得到相同结论。说明符号法则均适用
四、球面折射对光束单心性的破坏 -i A 1 n n` ' l -i2 l 从主轴上P点发出单心光 -u u` 束，其中一条光线在球面 O C r P 上A点折射，折射光与主
轴交于P`点。即P`为P的 像。




n(r s ) n ' ( s ' r ) n ' n 1 n ' s ' ns 化简有 : 0 即: ' ' ' l l l l r l l
对一定的球面和发光点P（s一定），不同的入射点对应有不同的s’。
即：同一个物点所发出的不同光线经球面折射后不再交于一点。