曲线拟合——最小二乘法算法

曲线拟合——最小二乘法算法

一、目的和要求

1）了解最小二乘法的基本原理，熟悉最小二乘算法；

2）掌握最小二乘进行曲线拟合的编程，通过程序解决实际问题。

二、实习内容

1）最小二乘进行多项式拟合的编程实现。

2）用完成的程序解决实际问题。

三、算法

1）输入数据节点数n ，拟合的多项式次数m ，循环输入各节点的数据x j , y j (j=0,1,…,n-1)

2）由x j 求S ；由x j ,y j 求T ：

S k =

∑-=10n j k j x ( k=0,1,2, … 2*m ) T k = ∑-=1

0n j k j j x y ( k=0,1,2,… m )

3）由S 形成系数矩阵数组c i,j ：c[i][j]=S[i+j] (i=0,1,2,…m, j=0,1,2,…,m)；由T 形成系数矩阵增广部分c i,m+1：c[i][m+1]=T[i] (i=0,1,2,…m)

4）对线性方程组CA=T[或A C ]，用列主元高斯消去法求解系数矩阵A=(a 0,a 1,…,a m )T

四、实验步骤

1）完成最小二乘法进行曲线拟合的程序设计及录入、编辑；

2）完成程序的编译和链接，并进行修改；

3）用书上P105例2的例子对程序进行验证，并进行修改；

4）用完成的程序求解下面的实际问题。

5）完成实验报告。

五、实验结果

1. 经编译、链接及例子验证结果正确的源程序：

#include

#include

#define Q 100

float CF(int,float);

main()

{

int i,j,n1,n,p,k,q;

float x[Q],y[Q],s[Q]={0},t[Q]={0},a[Q][Q]={0},l,sum=0;

/*以下是最小二乘的程序*/

printf("input 数据组数n");

scanf("%d",&n);

printf("input 拟合次数n1");

scanf("%d",&n1);

for(i=0;i

{

printf("x[%d]=",i);

scanf("%f",&x[i]);

printf("y[%d]=",i);

scanf("%f",&y[i]);

}

for(i=0;i<=2*n1;i++)

for(j=0;j

{

s[i]=s[i]+CF(i,x[j]);

if(i<=n1)

t[i]=t[i]+y[j]*CF(i,x[j]);

}

for(i=0;i

for(j=0;j

{

a[i][j]=s[i+j];

if(j==n1+1)

a[i][j]=t[i];

}

for(i=0;i

for(j=0;j

printf("a[%d][%d]=%f",i,j,a[i][j]); /*以下的是削去法的程序*/

for(j=0;j<=n1-1;j++)

{p=j;

for(i=j+1;i<=n1;i++)

{

if(fabs(a[j][j])

p=i;

}

if(p!=j)

for(i=j;i<=n1+1;i++)

{l=a[p][i];

a[p][i]=a[j][i];

a[j][i]=l;

}

for(k=j+1;k<=n1;k++)

{l=a[k][j]/a[j][j];

for(q=j;q<=n1+1;q++)

a[k][q]=a[k][q]-l*a[j][q];

}

}

for(i=0;i

{for(j=0;j

printf("a[%d][%d]=%f\n",i,j,a[i][j]);

printf("\n");}

x[n1]=a[n1][n1+1]/a[n1][n1];

for(i=n1-1;i>=0;i--)

{for(j=i+1;j<=n1;j++)

sum=a[i][j]*x[j]+sum;

x[i]=(a[i][n1+1]-sum)/a[i][i];

sum=0;

}

for(i=0;i<=n1;i++)

printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);

}

float CF(int i,float v)

{float a=1.0;

while(i--)a*=v;

return a;

}

2. 实例验证结果：

1）输入初始参数：

n=9，m=2

X：1 3 4 5 6 7 8 9 10

Y：10 5 4 2 1 1 2 3 4

2）结果输出：

1.实际应用

问题：

作物体运动的观测实验，得出以下实验测量数据，用最小二乘拟合求物体的运动方程。

时间t(秒) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(cm) 0 10 30 50 80 110

解题步骤：

1）画草图

2）确定拟合方程次数为1：

用完成的程序输入数据，求取拟合方程中的未知数，得出方程：

S=-7.855.58+22.253763T

计算误差：

3）确定拟合方程次数为2：

用完成的程序输入数据，求取拟合方程中的未知数，得出方程：