3正规矩阵
第三章 内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵
复矩阵(向量)的4个一元运算()∀A=(a ij )∈C m ×n ,复矩阵(向量)的一元运算的性质11221122k A k A k A k A +=+ ;TT T A k A k A k A k 22112211)(+=+方阵A=(a ij )∈C n ×n 的迹定义为其所有对角元之和:行列式的性质方阵乘积的行列式公式重要特殊矩阵A=(a ij )∈C n ×n 称为对角矩阵,如果∀i ≠j,a ij =0;A称为上(下)三角矩阵,如果∀i>(<)j,a =0.特征值,特征向量λ∈C称为A=(aij)∈C n×n的一个特征值,如果存在0≠x∈C n,使得Ax=λx.此时,x称为A的特征向量.特征值、特征向量续三角矩阵A的所有对角元组成A的谱:σ(A)={a,…,a}.线性相关与线性无关定义1.1.3 (p.5): F上线性空间V中的向量组{α,…,α}是线性相关的充要条件是:在数域F线性映射与线性变换关于线性映射与线性变换的定义,请看教本第24页§3.1: 欧式空间,酉空间§3.2: 标准正交基,Schmidt方法第三章内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵§3.1: 欧式空间,酉空间从解析几何知二平面向量内积的概念定义3.1.1：设V是实数域R 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着欧式空间的概念例3.1.1：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈R n ,定义标准内积:(α,β)=a b +…+a b ,欧氏空间例1例3.1.2：∀α=(a 1,a 2)T ,β=(b 1,b 2)T ∈R 2,定义内积(R 2×R 2到R的映射):欧氏空间例2在R 2中至少可定义两个不同的内积.今后讨论R n 时都用例3.1.1中定义的内积.关于例1和例2的注例3.1.3:R m ×n ={(a ij )|a ij ∈R,i=1,…m,j=1,…,n}中任取A,B,定义内积:(A,B)=tr(A T B)=ΣΣa b .欧氏空间例3定义3.1.1：设V是复数域C 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着酉空间的概念欧氏空间是酉空间的特例.关于欧式空间和酉空间的注酉空间例1例3.1.6：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈C n ,酉空间例2例3.1.7：C m ×n ={(a ij )|a ij ∈C,i=1,…,m,j=1,…,n}§3.2: 标准正交基,Schmidt 方法欧氏空间中的C-S不等式推出:-1 ≤(α,β)/‖α‖‖β‖≤1正交的概念(,)1αβαβ≤§3.3: 酉变换,正交变换§3.6: 正规矩阵,Schur引理§3.8: Hermite矩阵,Hermite二次齐式§3.9: 正定二次齐式,正定Hermite矩阵证:设A∈H n×n,A(i1,…,ik)为A的第i1,…,ik行,列组成的k阶主子矩阵,易见:A(i,…,i)∈H n×n.(半)正定矩阵的任何主子矩阵仍为(半)正定证:因为(半)正定矩阵A的任何主子式都是(0或)正的定理:A ∈H n ×n 为正定⇔A的n个顺序主子式全为正:用主子式刻画(半)正定矩阵命题:A ∈H n ×n 为负定⇔-A为正定定理3.9.1:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:定理3.9.3:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:(1) A半正定:∀x ∈C n ,x *Ax ≥0半正定矩阵的基本定理命题:A ∈H n ×n 为半正定⇔∀ε>0,A+εE 为正定半正定矩阵是正定矩阵序列的极限命题:对任意A ∈H n ×n ,下列两条相互等价:半正定矩阵是正定矩阵序列的极限(续)(1) A ∈C n ×n 为(半)正定(半)正定矩阵的补充结果定理(3.9.4):每个(半)正定Hermite矩阵A都有唯下证唯一性.如果还有正定矩阵M=Wdiag(µ,…,µ)W *,使∀i,j,(√λi v ij )=(√λj v ij ) 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续再证与A可交换的矩阵X(XA=AX)必与B可交换.若XUdiag(λ,…,λ)U *=Udiag(λ,…,λ)U *X 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续试证:A,B ∈H n ×n 且A为正定⇒AB的特征值全为实数.应用举例例3.9.1:若A,B为同阶正定Hermite矩阵,应用举例命题:A,B ∈H n ×n 且B正定,则det(λB-A)=0的根全为实数.证明: B正定⇒有可逆矩阵P使P *BP=E;定理3.10.1:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有T ∈C n n ×n 使二矩阵经复相合变换同时对角化易见: µ1,…,µn 是det(λE-T 1*AT 1)=0的根.二矩阵经复相合变换同时对角化定理3.10.4:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有行列式等二矩阵经复相合变换同时对角化续定义3.11.1:由Hermite矩阵A定义的从C n –{0}到R 的下列函数:R(x)=x *Ax/x *x 称为矩阵A的Rayleigh商.§3.11: Rayleigh商(1)R(x)为x的齐次函数:∀0≠k ∈R ,R(kx)=R(x)(3)min x ≠0R(x)=λ1=min{λ1, …,λn };max R(x)=λ=max{λ, …,λ}.注:由(1)和(3)推出min x ≠0R(x)=min ‖x‖=1x *Ax,Rayleigh 商性质的注设M ∈H n ×n ,用λmin ,λmax 分别记M的最小,大特征值,则λ=min x *Ax,λ=max x *Ax.一个推论。
内积空间、正规矩阵5-7节
在谱定理的深化方面，可以研究更一般的矩阵类的谱定理，如非正规矩阵、算子矩 阵等，以及其在量子力学、量子计算等领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
特征值问题的求解方法
常见的求解方法包括幂法、反幂法、QR算法等。这些方法各有优缺点，适用于不同类型的问题 。
幂法与反幂法求解特征值问题
幂法
幂法与反幂法的优缺点
通过迭代计算矩阵的幂来逼近最大特 征值和对应的特征向量。适用于求解 主特征值和特征向量。
幂法收敛速度快，但可能受到初始向 量的影响；反幂法收敛速度较慢，但 精度较高。
06 课程总结与展望
课程重点内容回顾
内积空间的基本概念与性质
包括内积的定义、性质，以及由内积导出的范数和距离等 概念。
正规矩阵的定义与性质
介绍了正规矩阵的定义，以及其与自共轭矩阵、酉矩阵等的关系，探讨了 正规矩阵的性质，如可对角化、特征值的模长等于矩阵的范数等。
谱定理
详细阐述了谱定理的内容，包括复正规矩阵的谱分解、实对称矩阵的 特征值分解等，以及其在矩阵分析和量子力学等领域的应用。
PageRank算法的应用
PageRank算法广泛应用于搜索引擎中，用于对网页进行 排名和推荐。此外，它还可以应用于社交网络、推荐系统 等领域。
03
PageRank算法与特征值问题的关系
PageRank算法可以转化为求解转移矩阵的特征值和特征 向量问题。通过计算转移矩阵的主特征值和对应的特征向 量，可以得到网页的PageRank值排名。
课程学习成果展示
掌握了内积空间的基本概念和性 质，能够熟练运用内积、范数和 距离等概念进行向量和矩阵的分
正规矩阵的算子二范数_概述及解释说明
正规矩阵的算子二范数概述及解释说明1. 引言1.1 概述在线性代数和矩阵理论中，正规矩阵是一类特殊的方阵，具有重要的性质和应用价值。
算子二范数是衡量线性变换操作对向量长度影响程度的指标。
本文将探讨正规矩阵的算子二范数及其计算方法，并解释二范数在正规矩阵中的作用。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分。
引言部分进行整体概述，介绍文章内容和结构安排；第二部分将详细解释正规矩阵和算子范数的概念；第三部分将介绍计算算子二范数的三种方法：奇异值分解法、特征值分解法和迭代法估计法；第四部分将探讨算子二范数与正规矩阵性质之间的关系；最后，第五部分总结全文并展望未来可能涉及的问题和研究方向。
1.3 目的本文旨在提供一个全面而清晰的概述，以便读者了解正规矩阵的算子二范数及其相应性质。
通过本文可以更好地理解算子二范数对正规矩阵的描述和刻画，并了解到如何计算算子二范数。
同时，本文还将探讨算子二范数与正规矩阵性质之间的关系，帮助读者深入理解这一主题及其应用。
以上是“1. 引言”部分的内容，用于概述文章主要内容、介绍文章结构以及明确文章目的。
接下来的章节将更详细地解释和讨论相关概念和方法。
2. 正规矩阵的算子二范数2.1 正规矩阵概念解释正规矩阵是指满足以下条件的方阵：若A 是正规矩阵，则A 的共轭转置(A*) 与自身的乘积等于自身与其共轭转置的乘积，即A*A* = AA*。
这意味着正规矩阵的特征向量可以相互正交。
2.2 算子范数概念解释算子范数是一种衡量线性变换（或算子）大小的方法。
在本文中，我们关注算子二范数，也称为谱范数。
对于一个n x n 的方阵A，它的算子二范数可以定义为：||A||₂= max { ||Ax||₂: ||x||₂= 1 }，其中||x||₂表示向量x 的二范数。
2.3 解释说明二范数在正规矩阵中的作用正规矩阵中的算子二范数有许多应用和重要性质。
首先，二范数可以用于衡量一个正规矩阵A 所导致的线性变换对向量长度的影响程度。
矩阵分析第三章
例 1：在Rn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T, 定义
(α , β ) = α β = β α = ∑i =1 ai bi
T T n
则(α, β)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。 如果定义
(α , β ) = α T Aβ = β T Aα , 其中A ∈ R n×n > 0 容易验证: 以上定义的(α, β)也是Rn上的一个内积，从而在
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
(α , β ) 取k= ,则 (β , β )
⇒
(α , β )( β , α ) | (α , β ) |2 2 0 ≤ (α , α ) − = α − (β , β ) || β ||2 |(α, β)| ≤ ||α|| ⋅ ||β||
矩阵标准形
• 2.1 特征阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵
④多项式矩阵：对于多项式矩阵A(λ)=R(或C)[λ]m×n，行列式、子式、伴随矩 阵及分块等概念以及运算法则与常数矩阵相同，而以下概念有所不同。 1）多项式矩阵A(λ)的秩：A(λ)中有一个r阶子式（r≤min{m,n}）为非零多项 式（不恒为0），而一切r+1阶子式为0，则A(λ)的秩为r=rankA(λ)。 2）非奇异方阵（满秩的）：A为n阶方阵，detA(λ)不恒为0，即 rankA(λ)=n，显然，对于n阶方阵特征矩阵λE－A的秩为n，显然特征矩阵时 满秩的。 3）可逆矩阵：A(λ)为n阶方阵，若存在n阶方阵B满秩A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=E， A(λ)为可逆的（单模态的）。 ⑤多项式矩阵可逆的条件 1）必要条件：A(λ)∈K[λ]n×n可逆，则A(λ)必非奇异(满秩)； 2）充要条件：A(λ)∈K[λ]n×n可逆等价于detA(λ)为非零常数c。 1 即 det A( ) c 0, A1 ( ) adjA( )
设n阶方阵a是hermite矩阵则有iiiiii都是实数即的主对角元素axax相应有正交即不同特征值的特征向量对应于axax对任意矩阵hermite矩阵与正规矩阵的关系的特征值为实数为正规矩阵且矩阵的充分必要条件为征值为实数前面已证矩阵为正规矩阵且特
• 2.1 特征矩阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵 • ①定义：对于常数矩阵A=[aij]∈Cn×n，λ∈C，则A的特征矩阵 为λE－A，即 a11 a11 a1n
• ④矩阵可对角化的另一充要条件：λE－A的初等因子均为一次方幂。
• 2.3 矩阵的相似标准形
• 2.3.2 Jordan标准形 • ⑤应用：可见确定一个矩阵的相似形需先确定其特征矩阵λE－A的初等因子 组。
矩阵分析与计算--05-矩阵分解-02-Schur、SVD
1
酉矩阵： U U
H
1
U 为酉矩阵 U的列(行)向量为C n的标准正交基
任意复方阵都可以酉相 似于一个上三角矩阵
U AU R=+N
H
定理证明：对n作数学归纳法
当n =1，结论显然成立。 假设结论对n-1的矩阵成立，下面考虑A为n方阵 取矩阵A的一个特征值为 1 ，设其对应的单位特 征向量为 1 ，则有
2.概念：酉相抵
1. 酉相抵：
酉
F 上的m n矩阵A与B称为酉相抵，如果有m阶 和n阶酉方阵U 和V , 使UAV B, 记为A B
酉相抵关系是一种等价关系！也称为“酉等价”
酉相抵标准型定理：
酉相抵标准型定理
定理3
设A F mn ,rankA = r ,记
2 specAH A 12 , 2 ,
i Ai
T i
Ai 为A的 投影阵
单纯矩阵的 谱分解
三、矩阵的奇异值分解
Singular value decomposition
(SVD)
1.概述
前面介绍的Jordan分解、Schur分解、谱分解 只适用于方阵。 对角矩阵比上三角矩阵更容易计算 奇异值分解把矩阵分解称为酉矩阵与对角矩阵 的乘积 奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相 关的问题 A的奇异值分解依赖于正规矩阵A HA的酉相似 分解的。
Matrix Analysis and Computations
矩 阵 分 析 与 计 算 ——矩阵分解（二）
Matrix Decomposition 理学院 2011年10月
本讲主要内容 Schur分解、谱分解与奇异值分解
3内积空间,正规矩阵与H-阵
t
酉空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , ) (3) ( ki i , ) ki ( i , )
i 1 i 1 t t t
(4) ( , ki i ) ki ( , i )
b
a
f ( x ) g ( x )d ( x)
b
2
a
f ( x) d ( x)
b
2
a
g ( x) d ( x)
定义：设 V 为欧氏空间，两个非零向量 , 的夹角定义为
, : arccos
于是有
( , )
0 ,
定理：
2
,
2
( , ) 0
例 2 求下面齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 x1 2 x2 3x3 4 x4 0 2 x1 3x2 4 x3 5x4 0
其解空间的一个标准正交基底。
i 1 i 1
t
定义：设 V 是 n 维酉空间，i 为其一组 基底，对于 V 中的任意两个向量
xii , y j j
那么 与 的内积
i 1 j 1
n
n
( , ) ( xii , yii )
i 1 j 1
n
n
i , j 1
T
容易验证这是 R 上的一个内积，这样 R 对于这个内积成为一个欧氏空间。 例 3 在线性空间 C[a, b] 中，规定
n m
n m
( f , g ) : f ( x) g ( x)dx
正规矩阵
最后考虑向量组 γ1, . . . , γt. 显然, (γ1, . . . , γt) = (α1, . . . , αt)D, 其中 D 是对
角矩阵,
其对角线元素依次为
1 |βi
|
,
.
.
.
,
1 |βt |
.
于是,
(γ1, . . . , γt) = (β1, . . . , βt)CD.
因为 CD 是上三角矩阵, 且对角线元素是正数, 所以 CD 可逆. 于是, (γ1, . . . , γt)
显然,α 与 β 正交当且仅当 βH α = 0 当且仅当 αH β = 0. 由定义 4.2, 非零向量的长度必大于 0; 零向量与任何向量均正交; 一个向量 总是正交组.
命题 4.1 不含零向量的正交组必为线性无关的向量组.
107
108
第五章 方阵的标准形
证明 设 α1, α2, · · · , αs 为不含零向量的正交组, 且
按命题 4.1, 规范正交组必为线性无关向量组. 反过来, 一个线性无关向量
组显然未必是正交组, 但我们可以按下述方法求出与之等价的规范正交向量组.
命题 4.3 (Schmidt 正交化) 设 α1, α2, . . . , αt 为一组线性无关向量, 令
β1 = α1,
β2
=
α2
−
(α2 ,β1 ) (β1 ,β1 )
3. 对于任意非零的 α 均有 (α, α) > 0.
定义 4.2 令 |α| = (α, α), 称为 α 的长度. 长度为 1 的向量称为 单位向 量. 如果 (α, β) = 0, 则称 α 与 β正交. 若一个向量集合中的任意两个不同的向 量均正交, 则称该向量集为正交组；由单位向量组成的正交组称为规范正交组
正规矩阵的性质及判定资料
正规矩阵的性质及判定彭志平,何偲钰,邓泽,刘熠*（内江师范学院 数学与信息科学学院,四川 内江 641112）摘 要：根据正规矩阵在数系当中的应用,为了更好的学习和掌握正规矩阵的性质,于是利用伴随矩阵以及全转置矩阵与正规矩阵的关系得到了正规矩阵的一些性质与等价条件,其中由于伴随矩阵与正规矩阵的特殊联系又得到了高次混合伴随阵为正规矩阵的充分条件,为进一步了解正规矩阵奠定了基础.关键词：正规矩阵；伴随矩阵；全转置矩阵；高次混合伴随阵中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号:1671-1785(2011)10-0007-04 0 引言酉空间是欧氏空间在复数域上的自然类比. 在一般教材[1,2] 中均介绍了酉空间、酉矩阵和Hermite 矩阵的概念,以及它们的相关性质. 而对正规矩阵均没有提及．正规矩阵是在讨论矩阵的酉等价时产生的一类矩阵[3],它在矩阵分析中占有重要的位置,并且它还推广了酉矩阵、实对称矩阵和Hermite 矩阵．近年来, 许多学者对正规矩阵的一些性质与一些等价条件做了一系列的研究, 主要集中文献[4-7].在欧氏空间中, (R)n M ∈A ,A 是正规矩阵,如果T T AA =A A . 对于实正规矩阵的研究,包[6]给出了实正规矩阵的充要条件是11nnik jk ki kj k k a a a a ===∑∑. 而在酉空间中,为了讨论矩阵的酉等价,得到了复正规矩阵的概念,即：A 是复正规矩阵,如果T T A A =A A , 其中()n M C ∈A 且TA 为A 的共轭转置矩阵. 本文在上述文献的基础上,主要从伴随矩阵, 全转置矩阵以及高次混合伴随阵来进一步研究复正规矩阵的性质以及等价条件. 1 基本概念与引理定义1.1[1] 设矩阵U 是复数域上的n 阶方阵,若T T U U =UU =E ,则称U 为酉矩阵．定义1.2[2] 设矩阵A,B 是复数域上的n 阶方阵,如果存在酉矩阵U ,使得T B =U AU ,那么就称A 酉相似于B ．定义1. 3[4] 设矩阵()n M C ∈A ,如果TTA A =A A ,则称A 是正规矩阵.定义1.4[8] 设m n⨯ij A =(a ),若::⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭mnm11n 11a a B =a a 则称B 为A 的全转置矩阵,记作οB =A . 引理1.1[8] 设A ,B 为n 阶矩阵,则：(1) ()οοοA +B =A +B ; (2) ()()οTT οA =A ; (3) ()οοοAB =A B ;(4) ()()-1οο-1A =A ; (5) ()()ο**οA =A ; (6) ()οοA =A .设m n ⨯ij A =(a )是数域F 上的n 阶方阵,ij A 和ij M 分别为n 阶方阵A 的代数余子式和余子式且记为()*ij A =A ,()*ij A =M .引理1.2[9,10] 设A 和C 为n 阶方阵,其中o o ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭1-11C =-1,则 （1）()**A =C A C ;（2）C 为对称正交矩阵,且**C =C =C C ;(3) ()()****A =A ,即:两种伴随矩阵的运算可交换次序;若A 可逆,则: ()()*n-2***A =A =C AAC ;(4)()()*n-2***A =A =AA ,即* ** *A =A .引理1.3[11] 设m n ⨯ij A =(a )为复数域上的n 阶方阵()2n ≥, 则()n-2*AA, n>2* A ,n=2A ={.2 正规矩阵的性质性质2.1 若()n M C ∈A 是复正规矩阵,则T A 是复正规矩阵. 证明 因为A 是复正规矩阵,故TTA A =A A . 又因()TT T T A A=A A ,()TT TT AA=AA . 因此⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T AA =A A ⇒()TTT A A ()TT T=AA.所以T A 是复正规矩阵.性质2.2 设()n M C ∈A 是复正规矩阵,则k A 也是复正规矩阵,其中k C ∈. 证明 因为A 是复正规矩阵,故TT=A . 而()()2k k k ⋅=⋅⋅=⋅TTTA A ,()2k k k ⋅=⋅TTA A A A .故()()k k k k ⋅=⋅TTA A A A . 从而k A 也是复正规矩阵.性质2.3 设()n M C ∈A 是复矩阵. 则A 为正规矩当且仅当k A E +为正规矩阵,k C ∈,E 为n 阶单位矩阵.证明 因为()()()()2k k k k k k k T T T TA E A E A E A E AA A A E ++=++=+++,()()()()2k k k k k k k T TT TA E A E AE A E A A A A E ++=++=+++.由于A 是复正规矩阵, 故TTA A =A A . 因此()()()()k k k k TTA E A E A E A ++=++E . 从而k A E +为正规矩阵.反之,若k A E +为正规矩阵,则必有()()()()k k k k T ΤA E A E A E A E ++=++, 即22k k k k k k TTTTA A A A E AA A A E +++=+++.因此T TA A =AA ,故A 为正规矩性质2.4 若A 为复数域上的n 阶方阵,A 为正规矩阵当且仅当οA 为正规矩阵. 证明 若A 为正规矩阵,故TTA A =A A ,从而()()οοT T A A=A A . 由引理1(3) 知()()οοT T οοA A=AA .再由引理1.1 (2)有()()T TοοοοA A=A A , 因此οA 为正规矩阵.反之,上述过程可逆. 因此A 为正规矩阵当且仅当οA 为正规矩阵.性质2.5 若A ,B 为复数域上的n 阶方阵且A ,B 均为酉矩阵,则AB ,()οAB 为正规矩阵. 证明 因A ,B 为酉矩阵, 故TTA A =A A =E ,TTB B =B B =E , 其中,E 为n 阶单位矩阵. 所以,()()∙∙∙∙∙TT TT T AB AB =B A AB =B A AB =E .同理有()()∙∙∙TT T AB AB =AB B A =E . 因此AB 为正规矩阵. 由性质2.4可知()οAB 为正规矩阵. 性质2.6 设()n M C ∈A 是复正规矩阵,则n A ()N n ∈是复正规矩阵.证明 若2n =时,因为A 为n 阶正规矩阵,故TT=A . 由于()()∙∙∙∙∙∙∙∙∙TT2T T T T T T T T222A =A A ==A =A =A ,故2A 是正规矩阵.对于2n >的情况可以类似地证明. 故由n A ()n N ∈是复正规矩阵. 3 正规矩阵的等价条件定理3.1 若A 为复数域上的n 阶非奇异矩阵. A 为正规矩阵当且仅当-1A 为正规矩阵.证明 (必要性) 因A 为正规矩阵,故TTA A =A A . 又因为A 可逆,因此()()-1-1T TA A=A A ,即：()()-1-1T T -1-1AA =A A. 由A 可逆知：()()*T -1T TA A=A, 而()()()T **T T-1T TA A A==A A , 故()()-1TT -1A = A . 从而()()TT-1-1-1-1A A=A A ,即-1A 为正规矩阵.(充分性) 若-1A 为正规矩阵,则()()TT-1-1-1-1A A=AA ,即()()-1-1T TA A=A A . 因为A 可逆,故TTA A =A A . 因此A 为正规矩阵.定理3.2 若A , B 均为n 阶复矩阵且A 与B 酉相似. 则A 为正规矩阵当且仅当B 为正规矩阵.证明 若A 是正规矩阵,因A 酉相似于B ,则存在酉矩阵Q , 使得：TQ AQ =B . 又因为TTQ Q =QQ =E ,故T-1Q AQ =Q AQ =B . 因此TTT B =Q A Q ,于是有TTTTTBB =Q AQQ A Q =QAA Q .同理有：T T T T T B B =Q A QQ AQ =QA AQ . 又A 为n 阶复正规矩阵, 故T T A A =A A , 于是T TBB =B B . 因此B 是复正规矩阵.若B 为正规矩阵,同理可证A 为正规矩阵.定理3.3 若A 为复数域上的n 阶非奇异矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅当*A 为正规矩阵.证明 必要性：因为A 为正规矩阵,则TTA A =A A . 由A 可逆知：*-1A =A A . 又()()()()∙∙∙∙∙∙∙TTTTT-1-1**-1-1-1-1A A =A A A A =A A A A=A A A A,而()()()∙∙∙∙∙TTTT-1**-1-1-1A A =A A A A =A A A . 由定理3.1知：()()TT-1-1-1-1A A =A A ,有()()∙∙TT****A A =A A ,故*A 为正规矩阵.充分性：因*A 是正规矩阵,故()()∙∙TT****A A =A A . 由于A 可逆,故*A 可逆. 故()()()∙∙∙T-1-1-1T**T *T *A A =A A A A =A A A A且()()()∙∙∙T-1-1-1T**T **TA =A A AA =A A A A .因此T T=A ,即A 为正规矩阵.推论3.1 若A 为复数域上的n 阶可逆矩阵. 则A 是正规的当且仅当⋅⋅⋅n **A 个 (2n ≥）也是正规的. 证明 就**A 进行证明,其他的可类似证明. 必要性： 由引理1.2（2）有()()∙∙∙Tn-2TT Tn-2n-2n-2****A A=AA AA =AAAA()()∙∙Tn-2TT Tn-2n-2n-2****A A =A A A A =AAA A .所以()()∙∙TT********A A =A A ,即：**A 是正规矩阵充分性: 由定理3.3可有**A 是正规矩阵等价于*A 为正规矩阵,即等价于A 为正规矩阵. 可类似证明***A ,… , ⋅⋅⋅****A 为正规矩阵.定理3.4 若A 为复数域上n 阶可逆正规矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅当()**A 为正规矩阵.证明 必要性：因为A 为可逆正规矩阵,所以TTA A =A A . 由引理1.2及1.3有()()()∙∙TTn-2n-2****A A =C AAC C AAC⎛⎫∙∙ ⎪⎝⎭n-2n-2T T T T n-2n-2=A CAC A=A A CA C .同理有()()∙∙∙n-2T*T Tn-2***A A =AACA A C .所以()**A 为正规矩阵.充分性：由()**A 为正规矩阵有()()()()∙∙TT********A A =A A , 即∙∙n-2n-2T TT Tn-2n-2AACA AC =AACA A C .因为A 为n 阶可逆矩阵,故0≠A 且0≠TA . 又C 可逆的,故有TTA A =A A ,即A 为正规矩阵.可类似证明()**A 为正规矩阵.推论3.2 若A 为复数域上n 阶可逆正规矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅()**A 为正规矩阵.推论3.3 设A 为复数域上n 阶可逆矩阵,则A 为正规矩阵,当且仅当 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭m n ****A 个个(,N)m n Î是正规矩阵.证明 我们只证明2,1m n ==时的情形,其它情况可类似证.必要性：()()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T(n-2)(n-1)TT T****(n-2)(n-1)n-2n-2********A A =A A A A =A A CA A C . 因为A 正规,可知*A 正规,从而()()T T****A A=A A . 故()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T************A A =A A ,所以()***A 为正规矩阵.充分性：因为：()()()()⎛⎫∙ ⎪⎝⎭(n-2)(n-1)TT T**(n-2)(n-1)********A A =A A CA A C ,()()()()⎛⎫∙ ⎪⎝⎭(n-2)(n-1)TT T**(n-2)(n-1)********A A =A A C A A C ,由于()***A 为正规矩阵,所以：()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭TT************A A =A A ,即()()()()(n-2)(n-1)(n-2)(n-1)T TT T(n-2)(n-1)(n-2)(n-1)********AA CA AC =AA C AA C .又因为A 为n 阶可逆且n-1*A =A ,故*A 可逆,从而有()()T T****A A =A A ,即*A 正规,再由定理3.3有,A 正规.可类似证明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭n **m **A 个个为正规矩阵.定理3.5 设⎛⎫⎪⎝⎭12A 0A =0A 的矩阵.则1A , 2A 为n 阶正规矩阵当且仅当A 为正规矩阵. 证明必要性：⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭TTT1111TT2222A0A 0A A 0AA ==0A 0A 0A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭TTT 1111T T2222A 0A 0A A 0A A ==0A 0A 0A A . 又因为1A , 2A 为n 阶正规矩阵,可知：A 为正规矩阵. 充分性：A 为正规矩阵,所以TTA A =A A . 即⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T 1111TT2222A A 0A A 0=0A A 0A A , 故TT1111A A =A A ,TT2222A A =A A . 即是说：1A ,2A 为n 阶正规矩阵,故原命题成立.推论3.4设⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭123S A A 0 A = A 0 A ,其中i A 为方阵,()1,2,....,,i s s n =≤. 则A 为正规矩阵当且仅当i A ()1,2,....,i s =均为正规矩阵.参考文献[1] 张禾瑞,郝炳新．高等代数(第五版)[ M]．北京：高等教育出版社, 2007.[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)[ M]．北京：高等教育出版社, 2003. [3] 陆少华, 沈灏. 大学代数[M]. 上海：上海交通大学出版社,2001.[4] 高波．Hermite 正规矩阵性质的初探[J]．常州工学院学报,2006,19(03) : 54-55.[5] 杨震．正规矩阵的性质[J]．宜春学院学报,2004,2 6(04):18-18,35.[6] 包霞．关于实正规矩阵[J] 西北民族学院学报,1999,20(3)：30-31．[7] 卢辛全,王玉良,胡江海. 正规矩阵若干判定及性质,阜阳师范学院学报,2009,26(3):4-6.[8] 许永平.旋转矩阵的概念与一些结论[J]. 江苏广播电视大学学报,1997, 2:81-84.*的性质[J]. 工科数学,1997,13（1）：89-91.[9] 戴立辉,刘龙章,伴随矩阵A[10] 刘兵军.伴随矩阵的运算性质[J].保定师范专科学校学报,2002,15(2):6-8.[11] 林磊.方阵的伴随矩阵[J].高等数学研究,2004,7(6):21-24.Properties and Judgments of Normal MatricesPeng Zhi-ping, He Si-yu, Deng Ze, Liu Yi(College of Mathematics and Information Science, Neijiang Normal University, Sichuan Neijiang,641112) Abstract With the use of adjoint matrix and Full-transposed matrix, some properties and equivalent characterizations of normal matrices have been obtained. In addition, the sufficient condition of high-order mixed matrix to be a normal matrix are investigated.Keywords normal matrix; adjoin matrix; Full-transposed matrix; high-order mixed normal matrix.。
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵1
(α1 ,α 2 , , α n ) L
设：1α1 +k2α 2 +L +knα n＝0 k
(α j , k1α1 +k2α 2 +L +knα n )＝(α j , 0) ＝0
k j (α j , α j )＝0
k j＝0, 即k j＝0, j = 1, 2,L , n) (
正交向量组线性无关 那么线性无关向量组是否正交呢？ 那么线性无关向量组是否正交呢？
定义4.3： 子空间， 定义 ： 设 S , T 是C n 的（或 R n ）子空间，若对任意的 x ∈ S 和 y ∈ T 都有
( x, y ) = 0
是正交的， 则称 S 和 T 是正交的，记为 S ⊥ T
定理4.6： 两个正交子空间， 定理 ：设 S , T 是 C n 的（或 R n ）两个正交子空间，那么 （1）S I T = {0} ） （2）dim( S + T ) = dim( S ) + dim(T ) ）
α1 , α 2 ,L , α n
′ ′ α1′, α 2 ,L , α n
度量矩阵 度量矩阵
A B
′ ′ (α1′, α 2 ,L , α n ) = (α1 , α 2 ,L , α n ) P
B = PT AP or
BT = P H AT P
定义1.5: 定义
设V是酉（欧氏）空间，定义 ∀α ∈ V 长度为
(1), A−1 = AH
(2), det A = 1
(3), A ∈ U
T n×n
(1), A = A
−1
T
(2), det A = ±1
(4), if B ∈ U n×n , then AB, BA ∈U
第三章 内积空间,正规矩阵与H-矩阵
(1)
A (A )
H T H H H H H H H
(2 ) ( A B ) A B (3) ( kA ) k A
H
(4 ) ( A B ) B A
(5) (6) (7 ) (8 )
(A ) (A )
k H H
k
(A ) A
H
H
A A (A )
nn
H 1
( A 1 ) H
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , ) ( 2 ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 3) (4) ( k i i , )
i 1 t
k (
i i 1 t i i 1
t
i
n n
(, ) ( x , y ) x ( , ) i i i i iy j i j
i 1 j 1 ij , 1
令
g (, ) ,i , j 1 , 2 ,, n i j i j
g 11 g 21 G g n1
例1 设 C
n
是
n 维复向量空间，任取
( a , a ,,) a , ( b , b ,, b ) ( , ) : ( ) a b a b a b ( , )
1 2 n 1 2 n
规定
T
1 12 2
n n
容易验证 是 C n 上的一个内积，从 n 而C 成为一个酉空间。 例2 设 C [ a , b ] 表示闭区间 [ a , b ] 上的所有 连续复值函数组成的线性空间，定义
, )
矩阵理论第2章
1 1 及反厄米特矩阵均为正规矩阵；但 A= 也为正规矩阵。 1 1 a b H H 例3 设 A= 为正规矩阵，则 b 0 ， B B BB 。 0 B
a b a b a b a b 证明由 A A AA 可得， ，从而 0 B 0 B 0 B 0 B
k E B2
故 0 的代数重数至少为 k ，故 m k 。 注： A 的特征子空间为线性子空间，所有几何重数之和不超过 n ，所有代数 重数之和为 n 。
1 1 0 例1设线性变换 T 在基 e1 , e2 , e3 之下的矩阵为 A 4 3 0 ，求 T 的特征值 1 0 2
H AH x 证明 设 Ax x, x 0 ， 则 xH
x H Ax x H x x H x 。 。 由 AH A 可得，
由 x 0 可知， ，即特征值 为实数。 推论2 厄米特阵不同特征值对应的特征向量正交。
第 6 页 共 23 页
证明设 Ax x, Ay y, x 0, y 0 ，则 x H AH x H 。由 AH A 和 可 得， x H y x H Ay x H y ，从而 x H y 0 ，即 x 与 y 正交。 例4 设 A, B 为厄米特阵，证明 AB 为厄米特阵的充要条件是 AB BA 。 证明 由 AB B H AH BA ，又 AB AB ，故 AB BA 。
第 2 页 共 23 页
础解系为 0, 0,1
T
。由此可得，T 对应于 2 的特征向量为 ce ，其中 c 为非零
第五节正规矩阵Schur引理
(3) A是酉矩阵的充要条件是A的特征值按模等于1。
证明 由定理3知，存在U U nn , 使得
U H AU diag( , , , )，
12
n
即
A Udiag( , , , )U H，
12
n
AH Udiag( , , , )U H，
12
n
(1) 若 AH A , (2) 若 AH A ，
U H AU B
由引理1知，B是正规矩阵，由引理2知，B是对角阵
因为对角阵diag( , , , )是正规矩阵，
12
n
由引理1知，A是正规阵.
15/18
推论1 正规矩阵有n个线性无关的特征向量。
由 U H AU diag( , , , )，
12
n
有 AU diag( , , , )U，
i
i
i
（3）用Schmidt方法求V 的标准正交基 , , , ;
1
i1 i2
ini
（4）令U ( , , , , , , , , , , )
11 12
1 n1
21
2 n2
s1
sns
则酉矩阵U满足
U H AU diag( , , , ).
12
n
17/18
定理4 设A是正规阵，则
(1) A是H阵的充要条件是A的特征值是实数。 (2) A是反H-阵的充要条件是A的特征值的实部为0。
12/18
引理1 设A为正规矩阵,则与A酉相似的矩阵 都是正规矩阵. 证明 设B H U H AHU 即B U H AU， 有 BB H U H AAHU U H AH AU B H B 引理2 设A为正规矩阵,并且A是三角矩阵， 则A是对角矩阵.
第三章内积空间、正规矩阵8-11节
下页 返回
( 2) A为H 矩阵 S H AS为H 矩阵， 其中S C nn
2、 有关结论 (1) A为H 矩阵 X H AX为实数 ( 2) A为H 矩阵 对任意n阶方阵S，S H AS为H 矩阵 证： “”设A为H 矩阵， 则A H A 故S H AS为H 矩阵 ( S H AS ) H S H A H S S H AS， “”设对任意n阶方阵S，S H AS为H 矩阵， 则( S H AS ) H S H AS，取S E得： ( E H AE ) H E H AE， 故A为H 矩阵 AH A， ( 3) A为H 矩阵 存在酉阵U， 使U H AU diag(1， 2， ， n ) 其中1， 2， ， n为实数 证： “”设A为H 矩阵， 则A为正规矩阵且 A的特征值为实数 又正规矩阵可以U相似于对角矩阵， 故存在酉阵U， 使
(3) A的特征值全大于零； (4)存在可逆矩阵P， 使得P H AP E；
(5)存在可逆矩阵Q， 使得A Q H Q； (6)存在正线上三角阵R， 使得A R H R且分解式唯一
证： (1) (2)， 由引理2得 (2) (3) 由A为H 矩阵得：存在酉阵U使得
U 1 AU U H AU diag(1， 2， ， n )
令X UY， 则f 3 y2 y2 2 y3 y3
上页
下页 返回
第三章 内积空间和正规矩阵
第九节 正定H 二次齐式、正定H 矩阵
上页
下页
返回
一、正定H 二次齐式或正定H 矩阵 1、 正(负)定二次齐式： 若对任意X 0， 有f X H AX ( )0， 而A称为正(负)定矩阵 则称f正(负)定二次齐式， 2、 半正(负)定二次齐式： 若对任意X 0， 有f X H AX ( )0， 而A称为半正(负)定矩阵 则称f半正(负)定二次齐式， 3、 两个引理 (1)设A是正线上三角阵且为酉阵， 则A为单位矩阵E a11 0 0 a11 a12 a1n a12 a 22 0 0 a22 a2 n H 则A 证： 设A (aii 0)， a a a 0 0 a nn 1n 2 n nn H H 且由AA A A E得 a11a11 a12 a12 a1n a1n a11a11 1 a a a a a a a a 1 2n 2n 12 12 22 22 22 22 annann a1n a1n a2 n a2 n ann ann 1 2 a ii 1， 故A E 又 a ， a 0 ( i j ) ， a a 0(i j )， ij ii 1
关于正规矩阵的一些充要条件
关于正规矩阵的一些充要条件李东方;刘会彩【摘要】由矩阵对角化、矩阵分解、谱分解、矩阵实部和虚部及特征向量等方面论证了正规矩阵的充要条件.【期刊名称】《林区教学》【年(卷),期】2016(000)001【总页数】3页(P89-91)【关键词】正规矩阵;对角化;谱分解;特征向量【作者】李东方;刘会彩【作者单位】许昌电气职业学院公共教学部,河南许昌461000;许昌电气职业学院公共教学部,河南许昌461000【正文语种】中文【中图分类】O151.21通过对矩阵分解、谱分解、对角化及特征向量等方面的分析，论证构成正规矩阵的一系列充分必要条件。
首先对文中使用的符合作如下约定：Cn表示复数域上的n维列向量的集合；Mn(C)表示复数域上n×n矩阵的集合；AH表示矩阵A的共轭转置矩阵；A≥0表示矩阵A为半正定的。
定义1[1]：称是y的欧几里得长度，其中y∈C。
定义2：A∈Mn(C)是正规矩阵，若满足AAH=AHA。
定义3：A∈Mn(C)，设，则称矩阵B，C为A的实部和虚部，记B=ReA，C=ImA。
事实上，引理1[1]：若A∈Mn(C)，则酉相似于一个上三角阵B，B的对角线上元素均为A 的特征值，即A=UHBU，其中U为酉矩阵。
引理2：设A∈Mn(C)，则必存在酉阵U∈Un，与两个半正定厄米特阵H1,H2,使A=H1U=UH2且该分解式唯一。
命题1[1]：A∈Mn(C)是正规矩阵的充要条件是对所有y∈Cn,Ay与AHy的欧几里得长度相同。
证明：“⟹”设,则,又因为A是正规矩阵，故AAH=AHA，从而，结论得证。
“⟹”因为Ay与AHy的欧几里得长度相同，所以即yHAHAy=yHAAHy,yH(AAH-AHA)y=0，由y的任意性，故AAH-AHA=0，所以A为正规矩阵。
命题2：A∈Mn(C)是正规矩阵的充要条件是AAH-AHA≥0。
证明：“⟹”A是正规矩阵，由定义知AAH=AHA，即AAH-AHA=0，从而AAH-AHA≥0。
矩阵谱分解
例3 判断A是否为正规矩阵，如果是，将其酉对角化
1 i 0 Ai 0 i
0 i 1
解 显然A满足 AH A 即A是Hermite矩阵，从而是正规阵 由 E A ( 1)( 1)( 2) 得A的特征值
1 1 2 1 3 2
解i I AX 0
1
1 2i
1
求得对应的线性无关特征向量
1
2 0
1
1
3 i
1
经过验证它们两两正交。
实际上，对于正规矩阵来说，属于不同特征值的特征向 量相互正交。 因此，只需将它们单位化得：
p1
1 6
1 2i 1
1
p2
1
2
0 1
p3
1 3
1 i 1
即酉变换矩阵为
1 1 1
6
2 3
P
2i 6
0
i 3
1
1 1
s
(3) Pi I
i 1
0 1 1 1
例5、求正规矩阵
A
1 1 1
0 1 1
1 0 1
1
1 0
的谱分解
由矩阵A的特征多项式 E A ( 1)3( 3)
得A的特征值 1 1(三重）, 2 3 对于 1 1, 相应的线性无关的特征向量为
x1 1,1,0,0T , x2 1,0,1,0T , x3 1,0,0,1T
对于2 3, 相应的特征向量为 x4 1,1,1,1T
将x1,x2,x3标准正交化得：
1
1, 2
1 2
,0,0
T
,2
1, 6
1, 6
2 6
T
,0
,3
1, 12
矩阵分析 第三章内积空间、正规矩阵1-4节
四、长度及其性质
记为 . 1、定义： 非负实数 ( , )称为向量的长度， 2、 单位向量： 1 , 则称 为单位向量. 设 1 0 注 :当 0时， 为单位向量
上页
下页
返回
3、 性质： (1) 非负性： 0， 当且仅当 0 时 0;
( 2) 齐次性： ; ( 3) 三角不等式： .
满足以下条件:
i 1
i 1
(1) (， ) ( ， ) ； (2) (k， ) k (， )； (3) ( ， ) (， ) ( ， )； (4) (， ) 0， 当且仅当 0时等号成立. 则称V为C上的酉空间， (， )称为内积. 而
ii
4、 内积表示式： 设内积空间V中基 1， 2， ， n的度量矩阵为G 且， 在基下的坐标为 ， ， (， ) X T GY . X Y 则
证： (1， 2， ， n ) X， (1， 2， ， n )Y，
G (1， 2， ， n )T (1， 2， ， n ). (， ) T [(1， 2， ， n ) X ]T [(1， 2， ， n )Y ] X T [( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )]Y X T GY . 注： V为酉空间， (， ) Y H GX 若 则
上页
下页
返回
5、 不同基下度量矩阵的关 设 1， 2， ， n； 1， 2， ， n为内 系： 积空间V中的基且度量矩阵为 ， ， A B 过渡矩阵为C， B C T AC 则
证： A ( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n ). B ( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )，
第三章 内积空间 正规矩阵 Hermite矩阵
第三章 内积空间 正规则阵 Hermite 矩阵3－1(1)证实：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ,(βα,k )＝),(βαβαk A k H =H A αααα=),(,因为A 为正定H 矩阵,所以0),(≥αα,当且仅当0),(0==ααα时，由上可知c n 是酉空间.証毕. （2）解： ∑∑==njni j ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnijijix ax ),(||||ααα,∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：3－2解：依据核空间的界说知道N(A)是方程组 3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得 λ= －1是A 的特点值,当λ＝－1时,可得|λE-A|＝000000201于是ε1＝（0,1,0）T 是A 的特点向量.选择与ε1正交,并且互相也正交两个向量构成酉阵：U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010 则U 1*A U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---520830631 取A 1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283,|λE- A1| =(λ+1)2 λ= －1是A 1的特点值. 当λ＝－1时,可得|λE- A 1|＝021,于是,α1 ＝（ --52,51）T是A 的特点向量,选择与α1正交的向量构成酉阵U 2 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡52515152-,U 2*A 1U 2 = 51⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10101 3－3（2）解：起首求出其特点多项式 3－4．证实：由教材定理可知正交投影矩阵为11H P U U =,个中1n .U r ⨯为一个次酉矩阵3－5（1）解：易证,H A A A =是Hermite 矩阵. 3－5（2）解：3－5（3）解：3－5（4）解：解：3－6（2）解:解：3－7（2）解法仿3－7（1）解题办法.证实：因为n 阶酉矩阵U 的特点值不等于1,所以-10E U -≠ 由此可知0,E U E U +≠+即为满秩矩阵. 3－9 证实：令1)(),(---=++=iS T E C iS T E B ,BCiS T E iS T E A =--++=))((,==A BC A A **)(1**1**))(()())((----++++--=iS T E iS T E iS T E iS T E A B C ,又S,T 分离是实对称矩阵和反实对称矩阵,即有T T S S -==**,,则有,)()())((**1**iS T E iS T E iS T E A B C ++++--=-111))()(()()(-----++--++=--iS T E iS T E iS T E iS T E iS T E ,因为))((iS T E iS T E ++-- ))((iS T E iS T E --++=显然有E A A =*,同理可得E AA =*,即E AA A A ==**,即证.3－10证实：须要性 因为类似矩阵具有雷同的特点值,所以A 与B 的特点值雷同. 充分性 A,B 均为实对称矩阵,所以分离消失正交矩阵12Q Q ，使得 3－11 证实:须要性 因为类似矩阵具有雷同的特点值,所以A 与B 的特点值雷同. 充分性 A,B 均为实对称矩阵,所以分离消失酉矩阵12U U ，使得 3-12证实：（1）须要性：因为A,B 是正规则阵,所以消失n n U U ⨯∈1使得=1*1AU U),,,(21n diag λλλ ,消失n n U U ⨯∈2使得),,,(''2'12*2n diag BU U λλλ =又因为A酉类似于B,所以消失n n U U ⨯∈,使得AU U B *=所以)()(2*22**22*2UU A UU AUU U U BU U ==又因为n n U U ⨯∈n n U U ⨯∈2,所以),,(212*22n n n diag BU U U UU λλλ =⇒∈⨯可记为：n n λλλλλλ==='2'21'1,,, 即A 与B 特点值雷同.（2）充分性：消失n n U U ⨯∈1使得=1*1AU U ),,,(21n diag λλλ ,消失n n U U ⨯∈2使得)()(121*121--U U A U U 因为n n n n U U U U ⨯-⨯∈∈121,所以n n U U U ⨯-∈121即A 酉类似3-13证实： A 是Hermite 矩阵,则消失m m U U ⨯∈,使得U 1-AU=diag （1`λ,2λ,……n λ）则A=()H U 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U ,由2A =A 可得A 2=()H U1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U =()H U 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U =()H U 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U ⇒ 121λλ=, ……,n n λλ=2,从而可知0,1是A 的特点值,取(){}00,0,11,1,1 =A σ,得出U 1-AU=⎢⎣⎡⎥⎦⎤000rE,标题得证. 3-14证实：A是Hermite矩阵,则消失mm U U ⨯∈,使得=⇒=-2211),,,(A diag AU U n λλλE U U n r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛*2221λλλ 则122221====n λλλ , 则-1和1为A 的特点值,可记121===r λλλ ,11-==+n r λλ ,即有U H AU=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--r n r E E 标题得证.3-15 解：（仅供参考）于是 123(,,)=X AX H f x x x个中 123X=(,,)T x x x .因为A 为一个Hermite 矩阵,所以A 可以酉对角化.A 的特点值12==2λλ的正交单位特点向： A 的特点值3=-1λ的单位特点向：3Tα,于是3-18证实：令2/1A P =,显然P 为Hermite 矩阵并且正定独一,A 正定⇒A 的特点值全大于0.所以A 可逆,P 可逆2/12/12/12/12/12/1~--==BAA A BA A ABA A AB ;所以AB 与BA 类似BA AB ~,则AB 与BA 的特点值雷同）（）（BA AB λλ=,2/12/1*2/12/1BA A BA A =）（,2/12/1BA A 也为H 矩阵⇒2/12/1BA A 的特点值为实数,BA BA A AB ~~2/12/1,所以AB,BA 的特点值都是实数 3-19证实：因为A 是一个半正定的Hermite 矩阵,所以A 的n 个特点值12n λλλ均为非负实数,又因为0A ≠,于是12n λλλ不克不及全为零,1212n +1+1+111=(+1)(+1)(+1)>1n A E A E λλλλλλ++那么的特征值，，，都是大于等于的数，且至少有一个大于，故：3-20 证实： 3-21证实：由E A A U A n n =⇒∈⨯*,A A H A n n =⇒∈⨯*,所以E A =2,由题3－14可知,A 的特点值为1=i λ又A 是正定的,所以A 的特点值全体为1,则消失E AU U U U n n =⇒∈⨯*所以可得 E UEU A ==* 即证. 3－22证实：（1）令A,B 为半正定Hermite 矩阵,则消失n C x ∈,使得,0,0**≥≥Bx x Ax x 又由Hermite 矩阵的简略性质,)(B A +为Hermite 矩阵,且消失n C x ∈,使得0)(***≥+=+Bx x Ax x x B A x ;则B A +为半正定Hermite 矩阵.（2）令A 为半正定Hermite 矩阵,B 为正定Hermite 矩阵,则有n C x ∈,使得,0,0**>≥Bx x Ax x 又由Hermite 矩阵的简略性质,)(B A +为Hermite 矩阵,且消失n C x ∈,使得0)(***>+=+Bx x Ax x x B A x ;则B A +为正定Hermite 矩阵. 3－23 证实：因为矩阵A 是一个正定的Hermite 矩阵,所以A 可逆,于是 3-24证实：充分前提：因为A,B 是n 阶正规则阵,则消失,n n U U ⨯∈n n U V ⨯∈,使得),,,(,),,,(21*21*n n diag BV V diag AU U μμμλλλ ==,个中n λλλ,,,21 ;n μμμ,,,21 分离是A 与B 的特点值.又因为A 与B 类似,所以其对应的特点值雷同.则有B AUV U V BV V AU U =⇒=--1*1***)(.令1-=UV W ,则B AW W =*,因为U.V 是酉矩阵,则W 也是酉矩阵.所以A 与B 酉类似.须要前提：因为A 与B 酉类似,则∃,nn U U ⨯∈使得B AU U =*,又因为,n n U U ⨯∈ 则E U U =* ⇒1-*=U U B AU U AU U ==⇒-1*,因而A 与B 类似. 3-25 证实：3-26 证实：3-27 证实：由已知前提可得 3-28 证实： 3－29 证实：（1）nm C A ⨯∈,则A A A A A A AA A A AA ************)()(,)()(====,nC x ∈∀,0)()())(()(,0)()()(************≥==≥==x A x A x A A x x AA x Ax Ax Ax A x x A A x ;所以A A *和*AA 都是半正定的Hermite 矩阵.（2）令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m E A E S 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A A A AA AA E A E A AA S A AA n m ********0000,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m E A E A A A S **00 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A A A AA AA A A A ******00*,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A A S S AAA ****0000又因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m E A E S 为可逆矩阵,则1****1**1**00000000---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S A A A S A AA S A A A S SS A AA 则0)det(*=-AA E λ与0)det(*=-A A E λ有雷同的非零解3－30证实：因为A 是正规则阵,所以**=AA A A ,则消失U ∈n n U ⨯使),,(21n diag AU U λλλ⋅⋅⋅=*,个中n λλλ⋅⋅⋅,,21为A 的特点值;*⋅⋅⋅=⇒U Udiag A n ),,(21λλλ （1）***⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=U U Udiag U Udiag A n n r ),,(),,(2121λλλλλλ0),,(21=⋅⋅⋅=*U Udiag r n r r λλλ(2)**⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=U Udiag A U Udiag A n n ),,(),,(21222212λλλλλλn n λλλλλλ=⋅⋅⋅==⇒2222121,, ),2,1(10n i i ⋅⋅⋅==⇒或λ即A 的特点值都为实数又A 为正规则阵A A =⇒*（3）同理2322322131n n λλλλλλ=⋅⋅⋅==，， 10或=⇒i λ i i λλ=⇒2即A A U Udiag U Udiag n n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅**22122221),,(),,(即λλλλλλ 3－31 证实：3－32设n n C A ⨯∈,那么A 可以独一的写成iT S A +=,个中T S ,为Hermite 矩阵,且A 可以独一的写成C B A +=,个中B 是Hermite 矩阵,C 是反Hermite 矩阵.证：令i AA T A A S 2,2-=+=**,且 A=S+iT,T T S S ==**,. 下证独一性：用反证法.假设消失2211,;,T S T S 使2211iT S iT S A +=+=,且2211,;,T S T S 均为Hermite 矩阵.则由：A=S 1+iT 1⇒1111iT S iT S A -=-=***⇒i AA T A A S 2,211-=+=** 同理有：i AA T A A S 2,222-=+=**⇒S 1=S 2,T 1=T 2 可知：A 可独一的写成A=S+iT.令B=S,C=iT,则显然B 为Hermite 矩阵,C 为反Hermite 矩阵 则A 可独一写成A=B+C,个中i AA C A AB 2,2-=+=**証毕. 3-33. 设n R 是n 维实(列)向量空间,若：12=a ,,,T n α（a a ）,12=,b ,,Tn β（b b ）令 ()1122,==a b ++T T n n a b a b αβαββα=轻易验证,所划定的(α,β)知足界说n R 成为欧氏空间. 3-34.解： 这只需验证(),αβ知足内积的四个前提即可. 等式成立的充要前提是12a ==0,=0.a α即 3-35.解： 设=(a ),B=(b )ij n n ij n n A ⨯⨯,不难验证 等号成立当且仅当()=0,=0ij a i j ∀，即A . 所所以n n R ⨯欧式空间.3-36. 用[]a,C b 暗示闭区间[]a,b 上的所有实值持续函数构成的实线性空间,对随意率性(x)f .[]g(x)a,C b ∈,划定轻易验证,如许划定的(),f g 是[]a,C b 上的一个内积,从而[]a,C b 成为一个欧氏空间.3-37. 设A 为n 阶正定矩阵,对于n R 中随意率性两个列向量X,Y .划定轻易验证(),X Y 是n R 上的一个内积,于是n R 成为一个欧氏空间. 3-38. 设n C 是n 维复(列)向量空间,若 命 ()()1122,==+++=TH n n a b a b a b αββαβα轻易验证,所划定的(),αβ知足界说中的四个前提,是以n C 成为一个酉空间.3-39. 在n n C ⨯中,对随意率性,n n A B C ⨯∈界说轻易验证(),A B 是n n C ⨯的一个内积,从而n n C ⨯成为一个酉空间. ()tr A 暗示A 的迹,等于()tr A A 的主对角元素之和. 3-40. 在空间4R 中,设求{}123span ααα，，的一个尺度正交基. 解： 运用Schmidt 正交化办法得到因为3β=0,故1α,2α,3α线性相干,轻易1α,2α线性无关,是以12312{,,}={,}span span ααααα,把12,ββ单位化后,12{,}span αα的一个尺度正交基3-41. 已知求{}123span ααα，，的一个尺度正交基. 解： 命把123,,βββ单位化得 则123υυυ，，为所求之基3-42. 设n C α∈,且=1H αα,若 =2H n n n H E C αα⨯-∈ 则H 是酉矩阵. 解：故H 是酉矩阵. 3-43. 试证 是正交矩阵.解：易知T n A A E =,故A 是正交矩阵.该矩阵所代表的正交变换为吉文斯变换.3-44. 2阶矩阵是正交矩阵,它暗示平面上的绕坐标原点的扭改变换 3阶矩阵是正交矩阵,它暗示三位空间绕x 轴的扭改变换.3-45. 设1234,,,αααα是V 的尺度正交基,则12{,}S span αα=与34{,}T span αα=是正交的.3-46. 已知()1212=(1,0,1,1),=0,1,1,2,T=span{,}T T αααα,求T 的正交补. 解：取不难知线性方程组0H A X =的基本解系为12=(-1,-1,1,0),=(-1,-2,0,1)T T ξξ, 则12{,}S span ξξ=,等于T 的正交补.3-47. 设W 是欧式空间V 的一个子空间,那么V 在W 上的正交投影变换P 就是一个对称变换.3-48. 在3R 中,设u 为过直角坐标系原点的平面π轻易验证：对于随意率性的3,R αβ∈,随意率性实数k,l 都有 是以A 既是正交变换,又是对称变换,称其为镜面反射.3-49. 已知 试求酉矩阵W,使得 解：3-50. 已知验证A 是正规则阵,且求酉矩阵U,使H U AU 为对角矩阵. 解：因为1-1=11HA ⎛⎫⎪⎝⎭,经盘算得：20==02H HAA A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以A是正规则阵A 的特点多项式 当1=1+i λ时,特点矩阵 故 12=x ix所以属于1=1+i λ的单位特点向量1=Tα 当2=1-i λ时,特点矩阵 故 12=-x ix所以属于2=1-i λ的单位特点向量1=Tα 命 ()12==U αα⎥⎥⎦， U 是酉矩阵,且知足 3-51.. 已知验证A 是正规举证,且求酉矩阵U,使H U AU 为对角矩阵.解： 0i -1-i 0i =-1-i 0H A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 是Hermite 矩阵对1=-1λ的特点矩阵作初等行变换得 解得属于特点值-1的特点向量为用Schmidt 办法把1α ,2α单位化并正交化得 对3=2λ的特点矩阵作初等行变换得故A 的属于3=2λ的单位特点向量为 命：3-52. 已知 ,0(k )A=0H k A A A ==为自然数，则. 解： 消失n n U U ⨯∈,知足3-53. 已知U 是n 阶酉矩阵,且U-E 可逆,试证 是反Hermite 矩阵. 解：因为：3-54. 设A 为欧式空间V 上的一个对称变换,那么有=.H A A 因为依据对称变换的界说有设A 为欧式空间V 上的一个否决称变换,那么有=-.H A A 依据否决称变换的界说有3-55. 设A 为欧氏空间V 上的一个Hermite 变换,那么有=.H A A Hermite变换也经常被称做自陪同变换.3-56. 设A 为欧氏空间V 上的一个正交变换,那么有-1=.H A A 由界说有3-57. 设A 为酉空间V 上的一个酉变换,那么有-1=.H A A 3-58. 对于随意率性给定的n 阶矩阵A,依据界说不难证实： 3-59. 已知正规则阵试求酉矩阵U,使得H U AU 为对角矩阵. 解：3-60. 已知Hermite 二次型求酉变换Z=Uy 将123(,,)f x x x 变成Hermite 尺度二次型. 解： 所给Hermite 二次型123(,,)f x x x 对应的Hermite 矩阵 于是 123(,,)=X AX H f x x x个中 123X=(,,)T x x x .因为A 为一个Hermite 矩阵,所以A 可以酉对角化.A 的特点值12==2λλ的正交单位特点向量： A 的特点值3=-1λ的单位特点向量：3Tα,于是 3-61. 已知A.B 是n 阶正定Hermite 矩阵,则=0B A λ-的根全身正的实数.证实： 因为B 是正定的,消失n n n P C ⨯∈,知足 且H P AP 0E PAP λ-=故=0B A λ-的根是正的实数3-62. 已知A.B 是n 阶正交矩阵,并且=-A B ,试证：A+B 不成逆. 证实：3-63. 设验证A是Hermite矩阵B是正定的Hermite矩阵,并求满秩矩阵T,使得=H HT AT T BT E为对角矩阵，.解：易证B是正定Hermite矩阵.3-64.设A,B是Hermite矩阵,且B是半正定的,则解：因为因为矩阵B为半正定,所以1(B)0λ≥.从而得到所需结论.。
第四章正规矩阵与矩阵的分解
第一节 正规矩阵
由 Schur 三角化定理, 任何一个矩阵都可以酉三角化, 因此一个“好矩阵”当能够酉对角 化. 但是以往判断一个矩阵能否 (酉) 对角化需要借助于特征值与特征向量, 这是极其不方便 的, 因为我们知道寻找矩阵的特征值与特征向量常常是极为困难的工作. 本节的目的即是给出 一类可以酉对角化的“好矩阵”一个直接的判断, 即下述
第四章 正规矩阵与矩阵的分解
除特别说明, 本章讨论的矩阵都是复数矩阵.
引 言 矩阵如何快速计算?
在第一章中, 我们已经看到如果将一个小秩矩阵分解为两个满秩矩阵的乘积, 则可以
快速地计算该矩阵的高次幂. 实际上, 利用初等变换求可逆矩阵 A 的逆矩阵, 其本质就是
将矩阵 A 分解为若干较为简单的矩阵 (即初等矩阵) 的乘积. 解线性方程组的 Gauss 消元法
定理 4.1.1 矩阵 A 可以酉对角化 ⇐⇒ AA∗ = A∗A.
证 由 Schur 三角化定理, 存在酉矩阵 U 使得 U ∗AU = T 为上三角矩阵. 显然 AA∗ = A∗A ⇐⇒ T T ∗ = T ∗T . 因此不妨设 A 是上三角矩阵.
必要性是显然的, 因为如果 A 可以酉对角化, 则存在酉矩阵 U 使得 U ∗AU = D 为对角矩 阵, 因此
将正规矩阵 A 酉对角化的酉矩阵的每一列都是 A 的特征向量, 由酉矩阵的构造可得 (细 节见习题 4)
定理 4.1.2 设 A ∈ Cn×n, 则 A 为正规矩阵 ⇐⇒ A 有 n 个两两正交的单位特征向量.
推论 4.1.1 正规矩阵属于不同特征值的特征向量是相互正交的.
正规矩阵有许多良好的数字特性, 比如下面的
实际上在第三章习题 5 中, 我们已经看到了实正规矩阵在正交变换下的最简形式如下
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
位 根. 4、 A为 实 反 对 称 矩 阵 或 斜 若 Hermite矩 阵 ， 则 的 A 特征值为零或纯虚数 .
1 1 1 1 H 6、A 1 1 ，A - 1 1， 2 0 . A A AA 0 2 ， A是正规矩阵
H H
7、若A为一个斜 rmite He 矩阵， ( )为一个多项式 g 则g( A)是正规矩阵 .
第四章
正规矩阵与矩阵分解
第二节 正规矩阵
定义 正规矩阵举例 正规矩阵的特征与性质
一、定义
定义 设矩阵 M n，若AH A AA H，则称 正规 1 A A 矩阵.
引理1 A M n是正规矩阵 酉等价于 的一切矩阵 A 都是正规矩阵 .
二、正规矩阵举例
1、酉矩阵是正规矩阵 . 2、 正交矩阵是正规矩阵 . 3、He rmite 矩阵是正规矩阵 . 4、斜He rmite 矩阵是正规矩阵 . 5、 实对称矩阵、反对称矩 阵是正规矩阵 .
下述命题等价： 1、 A是正规矩阵 ; 2ห้องสมุดไป่ตู้A是可酉对角化矩阵；
3、
i , j 1
a
n
2 ij
i ；
2 i 1
n
4、A有n个特征向量组成标准正 交基； 5、 存在一个多项式 )，使AH g( A). g(
定理2 设A M n是正规矩阵，且 y是A的不同 x和 特征值的特征向量，则 y. x
定 理2 若U 1、U 2均 为n阶 酉 矩 阵 ， 则 有 (1) U 1U 2是 酉 矩 阵 ； ( 2) U 11是 酉 矩 阵 .
定理3 所有的 阶酉矩阵按矩阵乘法构 n 成一个群 . 定理4 酉矩阵的特征值的模等1. 于
三、正规矩阵的特征与性质
定义2 若A M n酉等价于一个对角矩阵 ，则称 A 是可酉对角化的 . 定理 如果A (aij )nn 有特征值 1 , 2 ,, n，那么 1
8、 循环矩阵是正规矩阵 .
c0 c1 c n 1 c n 1 c0 c n 2 方 阵C 称 为n阶 循 环 矩 阵 ， c c 2 c0 1 记 为circ(c0 ,c1 , ,cn- 1 ).
方阵P circ(0 ,1, ,0)称为基本循环阵 . 任一循环矩阵都是基本 循环阵的多项式 .