北师大数学选修新素养应用案巩固提升：第四章 导数应用 章末综合检测四 含解析

章末综合检测(四)[学生用书P137(单独成册)]

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．使函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π

2上取最大值的x 为 ( ) A ．0 B ．π4

C ．π

3

D ．π2

解析：选B ．f ′(x )＝1－2sin x ，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上是递增的，在⎣⎡⎦⎤π4，π

2上是递减的，所以选B ．

2．定义在R 上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )<0的解集为( )

A ．(－2，－1)∪(1，2)

B ．(－1，0)∪(1，＋∞)

C ．(－∞，－1)∪(0，1)

D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析：选C ．当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f ′(x )>0，又xf ′(x )<0， 所以x ∈(－∞，－1)．

当x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0，又xf ′(x )<0，

所以x ∈(0，1)．综上可知解集为(－∞，－1)∪(0，1)．故选C ．

3．函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1，4]上是递减的，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4 解析：选D ．依题意得，当x ∈[1，4]时，f ′(x )＝1－

a 2x

≤0，即a ≥2x 恒成立．注意到x ∈[1，4]时，y ＝2x 的最大值是24＝4，因此，实数a 的最小值为4，选D ．

4．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值集合为( ) A ．{a |－1

B ．{a |－3

C ．{a |a <－1，或a >2}

D ．{a |a <－3，或a >6}

解析：选D ．f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为函数f (x )有极大值和极小值， 所以f ′(x )＝0有两个不同实根， 即Δ>0，(2a )2－4×3(a ＋6)>0， 解得a <－3或a >6．

5．若函数f (x )＝1

2x 2－m ln x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是递增的，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ＝1

4

B ．0

4

C ．m ≥1

4

D ．m ≤1

4

解析：选D ．f ′(x )＝x －m x ≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即m ≤x 2，设h (x )＝x 2，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞的值域为⎝⎛⎭⎫14，＋∞，所以m ≤1

4

． 6．函数f (x )＝1

2e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，1

2e π

2

B ．⎝⎛⎭⎫12，12e π

2

C ．[1，e π

2]

D ．(1，e π2

)

解析：选A ．因为f (x )＝1

2e x (sin x ＋cos x )

＝

22

e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以

f ′(x )＝

22e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2

2

e x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝e x sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

2＝e x cos x ． 在区间⎣⎡⎦

⎤0，π

2上f ′(x )＝e x cos x ≥0， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤f （0），f ⎝⎛⎭⎫π2＝⎣⎡⎦

⎤12，1

2e π

2，故选A ． 7．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足f (x )＋xf ′(x )>0且f (－1)＝0，则f (x )>0的解集

是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(0，＋∞)

C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

D ．(－1，0)

解析：选C ．令F (x )＝xf (x )，由f (x )＋xf ′(x )>0知F ′(x )>0，F (x )在R 上是递增的，又f (－1)＝0，所以F (－1)＝0，当x ∈(－∞，－1)时，F (x )＝xf (x )<0，f (x )>0；

当x ∈(－1，＋∞)时，F (x )＝xf (x )>0，若x ∈(－1，0]时，f (x )≤0，若x ∈(0，＋∞)时f (x )>0． 故f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．

8．已知函数g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ∈R 且a ≠0)，g (－1)＝0，且g (x )的导函数f (x )满足f (0)f (1)≤0.若方程f (x )＝0有两个实根，则b

a

的取值范围为( )

A ．⎣⎡⎦⎤－2

3，2 B ．⎣⎡⎦⎤

23，1 C ．⎣⎡⎦

⎤－2

3，1 D ．⎣⎡⎦

⎤－2

3，3 解析：选C ．因为g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ， 所以g (－1)＝－a ＋b －c ＝0，即c ＝b －a ． 又f (x )＝g ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由f (0)f (1)≤0，得c (3a ＋2b ＋c )≤0， 所以(b －a )(3b ＋2a )≤0．

因为a ≠0，所以⎝⎛⎭⎫b a －1⎝⎛⎭⎫

3·b a ＋2≤0， 解得－23≤b

a ≤1．

又

3ax 2＋2bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式

Δ＝(2b )2－4·3a ·c ＝4b 2－12a (b －a )＝4

⎝⎛⎭

⎫

b －32a 2

＋3a 2>0，满足题意，所以b

a

的取值范围是⎣⎡⎦⎤－23，1． 9．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )( )

A ．在(－∞，0)上为减函数

B ．在x ＝0处取极小值