九年级数学中考二次函数专题三动点问题

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2020年九年级数学中考三轮压轴专题：《二次函数动点综合》

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
3．在平面直角坐标系中，对于任意三点 A，B，C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或重合，且 A，B，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点 A， B，C 的外延矩形，点 A，B，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点 A，B，C 的最佳外延矩形．例如，图①中的矩形 A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3，都是点 A，B，C 的外延矩形，矩形 A3B3CD3 是点 A，B，C 的最佳外延矩形．（1）如图②，已知 A（﹣1，0），B（3，2），点 C 在直线 y＝x﹣1 上，设点 C 的横坐标为 t．
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7．已知抛物线 C1：y＝ax2+bx+c 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度得到抛
物线 C2：y＝x2．
（1）直接写出抛物线 C1 的解析式
；
（2）如图 1，已知抛物线 C1 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧，点 P（，t）
示，且它的“孪生函数”的解析式为 y＝
．
（1）直接写出函数 y＝x+1 关于点（1，2）的“孪生函数”的解析式．
（2）请在图③的平面坐标系（单位长度为 1）中画出函数 y＝关于点（﹣1，﹣3）的
“孪生函数”的图象，并求出图象上到 x 轴距离为 6 的所有点的坐标．（3）点 M 是函数 G：y＝﹣x2+4x﹣3 的图象上的一点，设点 M 的横坐标为 m，G′是函数 G 关于点 M 的“孪生函数”． ①当 m＝1 时，若函数值 y 的范围是﹣1≤y＜1，求此时自变量 x 的取值范围； ②直接写出以点 A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣1）、D（1，﹣1）为顶点的正方形 ABCD 与函数 G′的图象只有两个公共点时，m 的取值范围．

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)(可编辑修改word版)

所以 S 2S△ADN ．
所以，四边形 MDNA 的面积 S (8 2t)(1 2t) 4t2 14t 8 ．因为运动至点 A 与点 D 重合为止，据题意可知 0 ≤ t 4 ．所以，所求关系式是 S 4t2 14t 8 ， t 的取值范围是 0 ≤ t 4 ．
单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，
点 M ，点 N 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点 A 与点 D 重合为止．求出四边形 MDNA 的面积 S 与运动时间 t 之间的关系式，并写出自变量 t 的取值范围；（3）当 t 为何值时，四边形 MDNA 的面积 S 有最大值，
函数解题思路方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 ax²+bx+c=0 中 a,b,c 的符号，或由二次函
数中 a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的
二次函数的动态问题（动点）
1.如图，已知抛物线 C1 与坐标轴的交点依次是 A(4，0) ， B(2，0) ， E(0，8) ．
（1）求抛物线 C1 关于原点对称的抛物线 C2 的解析式；
（2）设抛物线 C1 的顶点为 M ，抛物线 C2 与 x 轴分别交
于 C， D 两点（点 C 在点 D 的左侧），顶点为 N ，四边形 MDNA 的面积为 S ．若点 A ，点 D 同时以每秒 1 个
并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形 MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由．

初三复习二次函数动点问题(含答案)

二次函数的动态问题（动点）1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求正方形ABCD 的边长．（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．（4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =∠的点P 有个．（抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．()()01084A B ，，，，86FB FA ∴==，．10AB ∴=．（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒．又1010101AB =÷=，．P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．图①图②GA AP FA AB ∴=，即610GA t=．35GA t ∴=．3105OG t ∴=-．4OQ t =+，()113410225S OQ OG t t ⎛⎫∴=⨯⨯=+- ⎪⎝⎭．即231920105S t t =-++． 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值．此时4763311051555GP t OG t ===-=，，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（8分）方法二：当5t =时，1637922OG OQ S OG OQ ====，，．设所求函数关系式为220S at bt =++．抛物线过点()63102852⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，1001020286325520.2a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，31019.5a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，231920105S t t ∴=-++．19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值．此时7631155GP OG ==，，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（4）2．[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。

中考数学二次函数动点问题解答方法技巧（含例解答案）

中考数学二次函数动点问题解答方法技巧（含例解答案）函数解题思路方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a>0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线y ax2 bx 3（a≠0）与x 轴交于点A（1，0）和点 B （－3，0），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△ CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标-①C 为顶点时，以 C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

2020年九年级数学中考三轮压轴每日一练：《二次函数动点综合》

三轮压轴每日一练：《二次函数动点综合》1．如图1，抛物线y＝﹣﹣x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）如图1，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣EG的值最小，求出PG﹣EG的最小值；（2）如图2，点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以点A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时，直接写出点N的坐标．2．如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B．（I）求抛物线的解析式；（Ⅱ）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M作直线MN垂直于x轴，与直线AB和抛物线分别交于点P、N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．3．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），AB平行于x轴，直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．①若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；②取BC的中点N，连接NP，BQ，试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E 作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一个动点（不与点C重合）（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）顶点为D（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△BCD的形状，并说明理由；（3）点P在抛物线上，点Q在直线y＝x上，是否存在点P、Q使以点P、Q、C、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图①，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P 从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向点A移动，同时点Q从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B移动，当点P与点A重合时移动停止．设点P移动的时间为t秒．（1）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（2）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图②所示，该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求B，C，D三点的坐标；（2）如图2，分别过点B，D作x轴、y轴的垂线BE，DF，BE与DF相交于点E，点G在线段OF上，现将△BOG沿BG折叠使得点O落在四边形BEFO的对角线上，求点G的坐标；（3）如图3，设M是y轴左侧抛物线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交x轴于点E，交直线BC于点N．连接BM，当△BMN为等腰三角形时，直接写出点M的坐标．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）连接AD并延长，过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴，垂足为N，与射线交于点M，使得QM＝3MN，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝x2+bx+c与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，作直线BC，点B 的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，﹣6）．（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；（2）D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线BC上的一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q．使以C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出Q点的横坐标；若不存在，请说明理由．12．定义：如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A．B两点不重合），如果△ABP中，PA与PB两条边满足其中一边是另一边的倍，则称点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的“好”点．（1）命题：P（0，3）是抛物线y＝﹣x2+2x+3的“好”点．该命题是（真或假）命题．（2）如图2，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a＜0）与x轴交于A，B两点，点P（1，2）是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ ＝S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．13．如图1，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴相交于A、B两点，交y轴于点C（A点在B点左侧），连接AC、BC．（1）如图2，若点M为线段BC上方的抛物线上的一个动点，Q为射线BA上的一个动点，过点M作MN∥y轴交BC于点N，过点N直线l∥∥x轴连接CQ交l于点P，连接MQ，当MN 的长度最大时，求出MQ+PN的最小值．（2）如图3，将图1中的△AOC沿y轴对称得△A1OC，将A点向左平移1个单位得点A2，将△A1BC绕点A1旋转，在旋转过程中，点B、C对应点分别为点B1、C1，当△A2B1C1为以A 2C1为腰的等腰三角形时，直接写出点A1到直线A2C1的距离．14．如图，抛物线y＝﹣+bx+c交x轴于点A、B（A在B左侧），交y轴于点C，直线y＝﹣x+6经过点B、C．（1）求抛物线解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，连接PA交BC于点D，设点P的横坐标为t，的值为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E为线段OB上一点，连接CE，过点O作CE的垂线交BC于点G，连接PG并延长交OB于点F，若∠OGC＝∠BGF，F为BE中点，求t的值．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m 的取值范围．（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．参考答案1．解：（1）抛物线y＝﹣﹣x+2…①，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则点A、B、C的坐标为：（﹣4，0）、（1，0）、（0，2），则点D（﹣2，1），函数的对称轴为x＝﹣，将点B、D的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BD的表达式为：y＝﹣x+，过点P作y轴的平行线交直线EF于点G，设点P（x，﹣﹣x+2），则点G（x，﹣x+），△PDF的面积S＝×PG×（x F﹣x D）＝（﹣﹣x+2+x﹣）×2＝﹣x2﹣x+，当x＝﹣时，S最大，即点P（﹣，）；过点E作x轴的平行线交PG于点H，直线BD的表达式为：y＝﹣x+…②，则tan∠EBA＝＝tan∠HEG，GH＝GE，故PG﹣EG＝PG﹣HG＝PH为最小值，即点G为所求，联立①②并解得：x＝﹣，故点E（﹣，），则PG﹣EG的最小值PH：﹣＝；（2）①当AM是正方形的边时，（Ⅰ）当点M在y轴左侧时（N在下方），如图2，当点M在第二象限时，过点A作y轴的平行线GH，过点M作MG⊥GH与点G，过点N作HN⊥GH于点H，∵∠GMA+∠GAM＝90°，∠GAM+∠HAN＝90°，∴∠HAN＝∠GMA，∠AGM＝∠NHA＝90°，AM＝AN，∴△AGM≌△NHA（AAS），∴GA＝NH＝4﹣＝，AH＝GM，即y＝﹣﹣x+2＝，解得：x＝，当x＝时，则GM＝x﹣（﹣4）＝，点y N＝﹣AH＝﹣GM＝，故点N（﹣，）；当x＝时，同理可得：点N（﹣，﹣）；当点M在第三象限时，同理可得：点N（﹣，﹣）；（Ⅱ）当点M在y轴右侧时，如图3，M在第一象限时，过点M作MH⊥x轴于点H，设AH＝b，MH＝a，同理可得：△AHM≌△MGN（AAS），则点M（﹣4+b，b﹣），即a＝b﹣，将点M的坐标代入①式并解得：b＝，a＝（a、b均舍去负值），y＝a+b＝，N故点N（﹣，），同理当点M在第四象限时，点N（﹣，﹣）；②当AM是正方形的对角线时，当点M在y轴左侧时，过点M作MG垂直于函数对称轴于点G，设函数对称轴与x轴交于点H，同理可得：△AHN≌△NGM（AAS），设点N（﹣，m），则点M（﹣﹣m，+m），将点M的坐标代入①式并解得：m＝或﹣（舍去），故点N（﹣，）；当点M在y轴右侧时，同理可得：点N（﹣，﹣）．综上，点N的坐标为：（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣，﹣）．2．解：（1）∵y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当y＝0时，x＝3，即A（3，0）．∴当x＝0时，y＝2，即B（0，2）．∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝3（舍去）或m ＝0.5；当M 为线段PN 的中点时，则有﹣m +2+（﹣m 2+m +2）＝0，解得m ＝3（舍去）或m＝﹣1；当N 为线段PM 的中点时，则有﹣m +2＝2（﹣m 2+m +2），解得m ＝3（舍去）或m＝﹣；综上可知当M ，P ，N 三点成为“共谐点”时m 的值为或﹣1或﹣．3．解：（1）∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3）， ∴点B 的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A （0，﹣1），B （4，﹣1）两点， ∴，解得：∴抛物线的函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x ﹣1．（2）可设P 的坐标为（m ，m ﹣1），则平移后抛物线的函数表达式为：y ＝﹣（x ﹣m ）2+m ﹣1．解方程组：，解得：，，∴P （m ，m ﹣1），Q （m ﹣2，m ﹣3）．过点P 作PE ∥x 轴，过点Q 作QF ∥y 轴，则PE ＝m ﹣（m ﹣2）＝2，QF ＝（m ﹣1）﹣（m ﹣3）＝2．∴PQ ＝2＝AP 0．若以M 、P 、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ 为直角边时：点M 到PQ 的距离为2（即为PQ 的长）．由A （0，﹣1），B （4，﹣1），P 0（2，1）可知，△ABP 0为等腰直角三角形，且BP 0⊥AC ，BP 0＝2．如答图1，过点B 作直线l 1∥AC ，交抛物线y ＝﹣x 2+2x ﹣1于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 1的解析式为：y ＝x +b 1， ∵B （4，﹣1），∴﹣1＝4+b 1，解得b 1＝﹣5， ∴直线l 1的解析式为：y ＝x ﹣5．解方程组，得：，，∴M 1（4，﹣1），M 2（﹣2，﹣7）．②当PQ 为斜边时：MP ＝MQ ＝2，可求得点M 到PQ 的距离为．如答图2，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为（2，﹣1）．由A （0，﹣1），F （2，﹣1），P 0（2，1）可知： △AFP 0为等腰直角三角形，且点F 到直线AC 的距离为．过点F 作直线l 2∥AC ，交抛物线y ＝﹣x 2+2x ﹣1于点M ，则M 为符合条件的点． ∴可设直线l 2的解析式为：y ＝x +b 2， ∵F （2，﹣1），∴﹣1＝2+b 2，解得b 2＝﹣3， ∴直线l 2的解析式为：y ＝x ﹣3．解方程组，得：，，∴M 3（1+，﹣2+），M 4（1﹣，﹣2﹣）．综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：M 1（4，﹣1），M 2（﹣2，﹣7），M 3（1+，﹣2+），M 4（1﹣，﹣2﹣）．ii）存在最大值．理由如下：由i）知PQ＝2 为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值．如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ＝B′Q．连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN＝PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP＝FQ．∴NP+BQ＝FQ+B′Q≥FB′＝＝2．∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2 ．∴的最大值为＝．4．解：（1）x2﹣（a+1）x+a＝0，则x1+x2＝a+1，x1x2＝a，则AB＝＝（a﹣1）2＝16，解得：a＝5或﹣3，抛物线与y轴负半轴交于点C，故a＝5舍去，则a＝﹣3，则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3…①；（2）由y＝x2+2x﹣3得：点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），设点E（m，m2+2m﹣3），OA＝OC，故直线AC的倾斜角为45°，EF∥AC，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，则设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b，将点E的坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y＝﹣x+（m2+3m﹣3）…②，联立①②并解得：x＝m或﹣3﹣m，故点F（﹣3﹣m，m2+4m），点M、N的坐标分别为：（m，﹣m﹣3）、（﹣3﹣m，m+3），则EF＝（x F﹣x E）＝（﹣2m﹣3）＝MN，四边形EMNF的周长S＝ME+MN+EF+FN＝﹣2m2﹣（6+4）m﹣6，∵﹣2＜0，故S有最大值，此时m＝﹣，故点E的横坐标为：﹣；（3）①当点Q在第三象限时，﹣﹣﹣﹣当QC平分四边形面积时，则|x Q|＝x B＝1，故点Q（﹣1，﹣4）；﹣﹣﹣﹣当BQ平分四边形面积时，则S△OBQ ＝×1×|y Q|，S四边形QCBO＝1×3+×3×|x Q|，则2（×1×|y Q|）＝1×3+×3×|x Q|，解得：x Q＝﹣，故点Q（﹣，﹣）；②当点Q在第四象限时，同理可得：点Q（，）；综上，点Q的坐标为：（﹣1，﹣4）或（﹣，﹣）或（，）．5．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），﹣12a＝6，解得：a＝﹣，函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+6…①，顶点D坐标为（﹣2，8）；（2）如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线与点P″、P′″，过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，∵OA＝OC，∴∠PHG＝∠CAB＝45°，则HP＝PG，S＝PG×AC＝PG×6＝12，解得：PH＝4，△PCA直线AC的表达式为：y＝x+6，则直线m的表达式为：y＝x+10…②，联立①②并解得：x＝﹣2或﹣4，则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；直线n的表达式为：y＝x+2…③同理可得点P（P″、P′″）的坐标为（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1），综上，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1）．（3）点A、B、C、D的坐标为（﹣6，0）、（2，0）、（0，6）、（﹣2，8），则AC＝，CD＝，AD＝，则∠ACD＝90°，sin∠DAC＝＝，延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，则DD′＝2，AD＝AD′＝，S△ADD′＝DD′×AC＝DH×AD′，即：2×＝DH×，解得：DH＝，sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝＝＝＝sin∠EAB，则tan∠EAB＝，①当点E在AB上方时，则直线AE的表达式为：y＝x+b，将点A坐标代入上式并解得：直线AE的表达式为：y＝x+…④，联立①④并解得：x＝（不合题意值已舍去），即点E（，）；②当点E在AB下方时，同理可得：点E（，﹣），综上，点E（，）或（，﹣）．6．解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC ＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CF sin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．7．解：（1）把点A、C坐标代入抛物线表达式得：，解得：，抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3，顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）y＝x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝1或﹣3，故点B（﹣3，0），而C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），则BD＝，CD＝，BC＝，故：BD2＝CD2+BC2，故△BCD为直角三角形；（3）存在，理由：①当OC是平行四边形的一条边时，设：点P（m，m2+2m﹣3），点Q（m，m），则PQ＝OC＝3，PQ＝|m2+2m﹣3﹣m|＝3，解得：m＝﹣1或2或0或﹣3（舍去0），故m＝﹣1或2或﹣3；②当CO是平行四边形的对角线时，设点P（m，m2+2m﹣3），点Q（n，n），由中线定理得：，解得：m＝0或﹣1（舍去0）；故m＝﹣1或2或﹣3，则点P（﹣1，﹣4）或（2，5）或（﹣3，0）．8．解：（1）如图①，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，∴0＜t＜3．∵四边形OABC是矩形，∴∠B＝∠PAQ＝90°．∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：①当△QBC∽△PAQ时，∴，∴．∴4t2﹣15t+9＝0．∴t1＝3（舍），t2＝；②当△CBQ∽△PAQ时，∴．∴＝．∴t2﹣9t+9＝0．∴t＝（舍去）．综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t＝或t＝；（2）当t＝1时，P（1，0），Q（3，2）．把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y＝x2+bx+c中并解得：抛物线：y＝x2﹣3x+2．∴顶点k（，﹣），连接MQ，∵Q（3，2），M（0，2），∴MQ∥x轴，作抛物线对称轴，交MQ于E，∴KM＝KQ．∴KE⊥MQ．∴∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ．设DQ交y轴于H．（ⅰ）当点D在直线MQ的上方时，如图②所示，则∠DQM＝∠MKQ＝∠MKE．∵∠HMQ＝∠MEK＝90°，∴△HMQ∽△MEK．∴．∴．解得MH＝2．∴H（0，4）．∴直线HQ的解析式为y＝﹣x+4．由方程组得x2﹣3x+2＝﹣xx+4．解得x 1＝3（舍），x 2＝﹣．∴D （﹣，）；（ⅱ）当点D 在直线MQ 的下方时，y 轴上存在点H ，如图③所示，使∠HQM ＝∠MKQ ＝∠MKE ．由对称性得H （0，0），即H 与原点重合．∴直线OQ 的解析式y ＝x ．由方程组得3x 2﹣11x +6＝0．解得x 1＝3（舍），x 2＝．∴D （，）．综上所述，点D 的坐标为（﹣，）或（，）．9．解：（1）y ＝﹣x 2+2x +3，令x ＝0，则y ＝3，令y ＝0，则x ＝﹣1或3，故点A 、B 、C 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），函数的对称轴为：x ＝1，故点D （1，4）；（2）①当点O 落在OE 上时（左侧图），则OO′⊥BG，设∠EOB＝α，则tanα＝＝，则sin，cos OH＝OB cosα，而∠BGO＝∠HOB＝α，则OG＝＝＝，故点G（0，）；②当点O落在BF上时（右侧图），设OG＝OG′＝a，则FG＝4﹣a，FO′＝5﹣BO′＝5﹣3＝2，故（4﹣a）2＝4+a2，解得：a＝，故点G（0，）；综上，点G的坐标为：（0，）或（0，）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点M（m，﹣m2+2m+3），则点N（m，﹣m+3），点B（3，0）．①当MN＝BN时，即：﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）＝BN＝BE＝（3﹣m），解得：m＝3或﹣（舍去3），故点M（﹣，1﹣2）；②当MN＝BN时，则点M在BN的中垂线上，BN的中点坐标为：（，），则BN的中垂线的表达式为：y＝x﹣m，将点M的坐标代入上式得：﹣m2+2m+3＝m﹣m，解得：m＝﹣1或3（舍去3），故点M的坐标为：（﹣1，0）；③当BN＝BM时，同理可得：点M（﹣2，﹣5）；综上点M的坐标为：（﹣，1﹣2）或（﹣1，0）或M（﹣2，﹣5）．10．解：（1）点A、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（2）存在，理由：作点D关于对称轴的对称轴D′（﹣1，2），连接BD′交抛物线对称轴与点P，则点P 为所求，将点B、D′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线BD′的函数表达式为：y＝﹣x+，抛物线的对称轴为：x＝，当x＝时，y＝，故点P（，）；（3）设点N（m，0），则点M、Q的坐标分别为：（m，m+1）、（m，﹣m2+m+3），则QM＝|﹣m2+m+3﹣m﹣1|＝|﹣m2+2|，3MN＝3（m+1），∵QM＝3MN，即|﹣m2+2|＝3（m+1），解得：m＝﹣2或﹣1或5（舍去﹣2），故点（﹣1，2）或（5，﹣7）．11．解：（1）将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，令y＝0，则x＝﹣2或6，则点A（﹣2，0），则函数的对称性x＝2；（2）①当∠BCD＝90°时，将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：直线BC的表达式为：y＝x﹣6，则直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣6，当x＝2时，y＝﹣8，故点D（2，﹣8）；②当∠DBC＝90°时，同理可得点D（2，4），故点D（2，﹣8）或（2，4）；（3）①当CE为菱形的一条边时，则PQ∥CE，设点P（m，m﹣6），则点Q（m，n），则n＝m2﹣2m﹣6…①，由题意得：CP＝PQ，即m＝m﹣6﹣n…②，联立①②并解得：m＝6﹣2，n＝4﹣8，则点Q（6﹣2，4﹣8）；②当CE为菱形的对角线时，则PQ⊥CE，即PQ∥x轴，设点P（m，m﹣6），则点Q（s，m﹣6），其中m﹣6＝s2﹣2s﹣6…③，则PC＝﹣m，CQ2＝s2+m2，由题意得：CQ＝CP，即：（﹣m）2＝s2+m2…④，联立③④并解得：m＝6或﹣2（舍去6），故点（2，﹣8）；综上，点Q（6﹣2，4﹣8）或（2，﹣8）．12．解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），则PA＝＝，PB＝3，则PA与PB两条边满足其中一边是另一边的倍，则该命题是假命题，故答案为：假；（2）将点P的坐标代入抛物线表达式得：a+b＝2，点A（0，0），则点B（，0），点P（1，2），则PA2＝5，PB2＝4+（﹣1）2＝4+（）2，①当PA＝2PB时，即5＝8[4+（）2]，解得：方程无解；②当PB＝2PA时，4+（）2＝5×8＝40，解得：a＝﹣，则b＝，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+x ；（3）S △ABQ ＝S △ABP ，则|y Q |＝y P ＝2，则±2＝﹣x 2+x ，解得：x ＝1（舍去）或6或，则点Q 的坐标为：（6，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．13．解：（1）y ＝﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣3）（x +1），则点A 、B 、C 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，），由B 、C 的坐标可得直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +，设点M （x ，﹣x 2+x +），则点N （x ，﹣x +），则MN ＝（﹣x 2+x ++x ﹣）＝﹣（x ﹣）2+，当x ＝时，MN 的长度最大，此时，点M 、N 的坐标分别为：（，）、（，）；此时，点N 恰好是BC 的中点，如图1（左侧图），由点B 、C 的坐标知，∠CBO ＝30°，在y 轴半轴取点C 关于x 轴的对称点C ′（0，﹣3），连接BC ′，过点C 作CT ⊥C ′B ，交OB 于点Q ，垂足为点T ，则QT ＝BQ ，而点N 是BC 的中点，则PN ＝BQ ＝QT ，故MQ +PN 的最小值等于QT +MQ 的最小值，当点M 、Q 、T 三点共线时（如图1右侧图），QT +MQ ＝MT ，即MQ +PN 的最小值等于QT ，延长MN 交x 轴于点R ，则∠RMQ ＝∠OBC ′＝30°，而MR ＝，则RQ ＝MR tan30°＝，同理MQ ＝，BQ ＝，QT ＝，MQ +PN 的最小值等于MT ＝MQ +QT ＝+＝；（2）点A 2（﹣2，0），点A 1（﹣1，0），A 1C 1＝A 1B 1＝2，则A 1A 2＝3， ①当A 2C 1＝A 2B 1时，如图2，则x 轴为B 1C 1的中垂线，有如图2所示的两种情况，当点C 1在上方时，如左图所示，过点A 1作A 1H ⊥A 2C 1于点H ，在△A 1A 2C 1中，A 1C 1＝2，则A 1A 2＝3，∠C 1A 1A 2＝120°，S △A 1A 2C 1＝A 1A 2×B 1C 1＝A 2C 1×h ，解得：h ＝；当点C 1在下方时，如右图所示，同理可得：h ＝；②当A 2C 1＝B 1C 1＝2时，如图3所示两种情况，当点C 1在上方时，如左图所示，过点A 1作A 1H ⊥A 2C 1于点H ，在△A 1A 2C 1中，A 1C 1＝2，则A 1A 2＝3，A 2C 1＝2，设HC 1＝x ，则A 2H ＝2﹣x ，则A 1H 2＝9﹣（2﹣x ）2＝2﹣x 2，解得：x ＝，h ＝＝；当点C 1在下方时，如右图所示，在△A 1A 2C 1中，A 1C 1＝2，则A 1A 2＝3，A 2C 1＝2，故h ＝；综上所述：点A 1到直线A 2C 1的距离为得：或或．14．解：（1）直线y ＝﹣x +6经过点B 、C ，则点B 、C 的坐标分别为：（6，0）、（0，6），则c ＝6，将点A 的坐标代入抛物线表达式并解得：b ＝2，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +6…①；（2）点P （t ，﹣t 2+2t +6），将点P 、A 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 并解得：直线AP 的表达式为：y ＝﹣（t ﹣6）x +（6﹣t ），将上式与直线BC 的表达式联立并解得：x ＝，故点D （，+6），则＝，则d ＝＝﹣1＝﹣t 2+t （0＜t ＜6）；（3）设OE＝a，则点E（a，0），设OG交CE于点H，∵∠ECO+∠COH＝90°，∠COH+∠HOE＝90°，∴∠HOE＝∠OCH，tan∠OCH＝＝＝tan∠HOE，则直线OH的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：x＝，故点G（，），则BG＝＝，则CG＝BC﹣BG＝，∵OB＝OC＝6，故∠OCB＝∠OBC＝45°，而∠OGC＝∠BGF，则△CGO∽△BGF，即：，即：，解得：BF＝a，F为BE中点，则OE＝EF＝FB，故a＝2，故点F（4，0），点G（，）；将点F、G的坐标代入一次函数表达式并解得：直线FG的表达式为：y＝3x﹣12…③，联立①③并解得：x＝﹣1（舍去负值），故t＝﹣1+．15．解：（1）y＝a（x+3）（x﹣1），令y＝0，则x＝1或﹣3，故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）；（2）抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x﹣1）…①，当∠MAO＝45°时，如图所示，则直线AM的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：m＝x＝4或﹣3（舍去﹣3），故点M（4，7）；②∠M′AO＝45°时同理可得：点M（﹣2，﹣1）；故：﹣2≤m≤4；（3）①当BD是矩形的对角线时，如图2所示，过点Q作x轴的平行线EF，过点B作BE⊥EF，过点D作DF⊥EF，抛物线的表达式为：y＝ax2+2ax﹣3a，函数的对称轴为：x＝﹣1，抛物线点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），则点P的横坐标为：﹣1，OB＝1，而CD＝4BC，则点D的横坐标为：﹣4，故点D（﹣4，5a），即HD＝5a，线段BD的中点K的横坐标为：＝﹣，则点Q的横坐标为：﹣2，则点Q（﹣2，﹣3a），则HF＝BE＝3a，∵∠DQF+∠BQE＝90°，∠BQE+∠QBE＝90°，∴∠QBE＝∠DQF，∴△DFQ∽△QEB，则，，解得：a＝（舍去负值），同理△PGB≌△DFQ（AAS），∴PG＝DF＝8a＝4，故点P（﹣1，4）；②如图3，当BD是矩形的边时，作DI⊥x轴，QN⊥x轴，过点P作PL⊥DI于点L，同理△PLD≌△BNQ（AAS），∴BN＝PL＝3，∴点Q的横坐标为4，则点Q（4，21a），则QN＝DL＝21a，同理△PLD∽△DIB，∴，即，解得：a＝（舍去负值），LI＝26a＝，故点P（﹣1，），；综上，点P的坐标为：P（﹣1，4）或（﹣1，）．。

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

初三二次函数动点练习题及答案

初三二次函数动点练习题及答案1.已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ 垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC 重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．2.如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与x轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？3.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9．（1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为（0，﹣5），求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP=MC，连结CD，PD，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．1. （1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），把点A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x，∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，∴顶点M的坐标为（2，﹣）；（2）∵点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，∴OP=2t，[来源:学+科+网]∴点P的坐标为（2t，0），∵A（1，﹣1），∴∠AOC=45°，∴点Q到x轴、y轴的距离都是OP=×2t=t，∴点Q的坐标为（t，﹣t）；（3）∵△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，∴旋转后点O、Q的对应点的坐标分别为（2t，﹣2t），（3t，﹣t），若顶点O在抛物线上，则×（2t）2﹣×（2t）=﹣2t，解得t=，若顶点Q在抛物线上，则×（3t）2﹣×（3t）=﹣t，解得t=1，综上所述，存在t=或1，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上；（4）点Q与点A重合时，OP=1×2=2，t=2÷2=1，点P与点C重合时，OP=3，t=3÷2=1.5，t=2时，OP=2×2=4，PC=4﹣3=1，此时PQ经过点B，所以，分三种情况讨论：①0＜t≤1时，S=×（2t）×=t2，②1＜t≤1.5时，S=×（2t）×﹣×（t﹣）2=2t﹣1；③1.5＜t＜2时，S=×（2+3）×1﹣×[1﹣（2t﹣3）]2=﹣2（t﹣2）2+；所以，S与t的关系式为S=．2. （1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b=0，解得b=，∴直线BD解析式为：y=﹣x+．当x=﹣5时，y=3，∴D（﹣5，3）．∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴k=．（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=k，∴C（0，﹣k），OC=k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△ABP．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠P AB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠P AB，即：，∴y=x+k．∴D（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k=．②若△ABC∽△ABP，则有∠ABC=∠P AB，如答图2﹣2所示．与①同理，可求得：k=．综上所述，k=或k=．（3）由（1）知：D（﹣5，3），如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA===，∴∠DBA=30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，∴t=AF+FG，即运动时间等于折线AF+FG的长度．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣x+，∴y=﹣×（﹣2）+=2，∴F（﹣2，2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．3.（1）令y=0，则x2﹣2mx+m2﹣9=0，∵△=（﹣2m）2﹣4m2+36＞0，∴无论m为何值时方程x2﹣2mx+m2﹣9=0总有两个不相等的实数根，∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9的开口向上，顶点在x轴的下方，∴该抛物线与x轴总有两个交点．（2）∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与y轴交点坐标为（0，﹣5），∴﹣5=m2﹣9．解得：m=±2．当m=﹣2，y=0时，x2+4x﹣5=0解得：x1=﹣5，x2=1，∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），∴m=﹣2不符合题意，舍去．∴m=2．∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5；（3）如图2，假设E点存在，∵MC⊥EM，CD⊥MC，∴∠EMP=∠PCD=90°．∴∠MEP+∠MPE=90°∵PE⊥PD，∴∠EPD=90°，∴∠MPE+∠DPC=90°∴∠MEP=∠CPD．在△EMP和△PCD中，，∴△EPM≌△PDC（AAS）．∴PM=DC，EM=PC设C（x0，y0），则D（4﹣x0，y0），P（x0，y0）．∴|2x0﹣4|=﹣y0．∵点C在抛物线y=x2﹣4x﹣5上；∴y0═x02﹣4x0﹣5∴|2x0﹣4|=﹣（x02﹣4x0﹣5）．当2x0﹣4=﹣（x02﹣4x0﹣5）时，解得：x01=3，x02=﹣7（舍去），当4﹣2x0=﹣（x02﹣4x0﹣5）时，解得：x03=1，x04=11（舍去），∴x0=1或x0=3．∴P（1，﹣2）或P（3，﹣2）．∴PC=6．∴ME=PC=6．∴E（7，0）或E（﹣3，0）．。

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解标准答案)

其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、抛物线上动点
5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．
[解]（1）点，点，点关于原点的对称点分别为，，．
设抛物线的解析式是
，
则
解得
所以所求抛物线的解析式是．
（2）由（1）可计算得点．
过点作，垂足为．
⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
当运动到时刻时，，．
根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形．
所以．
所以，四边形的面积．
因为运动至点与点重合为止，据题意可知．
所以，所求关系式是，的取值范围是．
（3），（）．

(完整版)九年级--二次函数中的动点问题

第九讲-—二次函数动点问题的学习归纳模式1：平行四边形例题1：在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A （-4，0），B （0，-4），C （2，0)三点.(1）求抛物线的解析式；(2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S 。

求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3）若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标。

练习:如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C,顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴;（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF//DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长,并求出当m 为何值时,四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．模式2:直角三角形例题2：如图，已知一次函数y=0。

5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．(1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；(2）设一次函数y=0。

5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D,已知P为x轴上的一个动点,且△PBD为直角三角形,求点P的坐标．练习：如图1，直线434+-=xy和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2,0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时,△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式;②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．模式3:等腰三角形例题3:如图，抛物线y=ax2—5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．(1）求抛物线的对称轴；（2)写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式;（3）探究:若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．练习：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)经过点B （12,0)和C （0,－6)，对称轴x ＝2．（1）求该抛物线的解析式．（2)点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一个动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒）和点Q 的运动速度；若存在，请说明理由．（3）在（2）的结论下,直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形?若存在,请求出所有点M 的坐标;若不存在,请说明理由．模式4：相似三角形例题4：已知：在平面直角坐标系中，抛物线32+-=x ax y （0≠a )交x 轴于 A 、B 两点,交y 轴于点C,且对称轴为直线2x =-．（1）求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2）若点P （0，t ）是y 轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设△PAD 的面积为S,令W ＝t·S，当0＜t ＜4时，W 是否有最大值？如果有，求出W 的最大值和此时t 的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2，是否存在以P 、A 、D 为顶点的三角形与Rt △AOC相似？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．练习：如图，已知抛物线经过A （﹣2,0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以AO 为边的四边形AODE 是平行四边形，求点D 的坐标．(3）P 是抛物线上第一象限内的动点,过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M,是否存在点P,使得以P ，M,A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在,求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．yx O CBA D。

二次函数动点问题(共9张PPT)

•〔2〕在BC上方的抛物线上是否存在一点K，使四边形ABKC的面积最大？假设存在，求出K点的坐标及最大面积；
•〔3〕连接CP，在第一象限的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？假设存在，求出点R的坐标；假设不存在，说明理由．
3、二次函数中四边形问题：
①抛物线上的点能否构成平行四边形； ②抛物线上的点能否构成矩形、菱形或正方形。
解二次函数动点问题解题方法及解题步骤
•解题方法：
•一般的，在二次函数动点问题中应用的解题方法：待定系数法、数形结合、分类讨论、联系与转化、图像的平移
变化等思想方法，并且要与平面图形的性质有机结合，从而使得复杂的、综合的二次函数动点问题化整为零，逐一击破。
①习抛题物从线局〔上部3的到〕点整能体求否的构联〔成系平更2行清〕四晰中边，形列面；出相积应的S关〔系平式；方单位〕与t时间〔秒〕的函数关系式及面积S取〔1〕求最正方大形A值BC时D的P边点长．的坐标．
〔2〕在BC上方的抛物线上是否存在一点K，使四边形ABKC的面积最大？假设存在，求出K点的坐标及最大面积；
x
图① 〔2〕设点P是直线l上的一个动点，当△PAC是以AC为斜边的Rt△时，求点P的坐标；
例1抛物线y=ax2+bx+c经过A〔-1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕三点，直线l是抛物线的对称轴．
②习题各个量、未知量的联系，对习题进展解剖，使
〔0，3〕三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M．
二次函数动点问题
解二次函数动点问题应用知识点
•二次函数动点问题所包含的知识点及考点：
1、二次函数中最短问题：
①是否存在一点到某两点的距离和为最短；
②是否存在一点使某三角形周长最短；

2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题(动点问题)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（动点问题）1．抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()10A -，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为第一象限内抛物线上的一动点，作DE x ⊥轴于点E ，交BC 于点F ，过点F 作BC 的垂线与抛物线的对称轴、x 轴、y 轴分别交于点G ，N ，H ，设点D 的横坐标为m ．①当DF HF +取最大值时，求点F 的坐标；②连接EG ，若45GEH ∠=︒，求m 的值．2．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()5,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，求此时点P 的坐标；(3)点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C 、B 重合），过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 把BDF V 的面积分成两部分，若:3:2BDE BEF S S =V V ，请求出点D 的坐标．3．如图1，对于平面内小于等于90︒的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内部或边上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则将PE PF +称为点P 与MON ∠的“点角距”，记作(),d MON P ∠．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，x 、y 正半轴所组成的角为xOy ∠．(1)已知点()5,0A 、点()3,2B ，则(),d xOy A ∠=______ ，(),d xOy B ∠=______．(2)若点P 为xOy ∠内部或边上的动点，且满足(),5d xOy P ∠=，在图2中画出点P 运动所形成的图形．(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x mx n =-++经过()5,0A 与点()3,4D 两点，点Q 是A 、D 两点之间的抛物线上的动点(点Q 可与A 、D 两点重合)，求当(),d xOD Q ∠取最大值时点Q 的坐标．4．如图，抛物线2134y ax bx =++与x 轴交于点()30A -，和点B ，点D 是抛物线1y 的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点()10C -，．(1)求抛物线1y 所对应的函数表达式；(2)如图1，点M 是抛物线1y 上一点，且位于x 轴上方，横坐标为m ，连接MC ，若MCB DAC ∠=∠，求m 的值；(3)如图2，将抛物线1y 平移后得到顶点为B 的抛物线2y ．点P 为抛物线1y 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线2y 于点Q ，过点Q 作x 轴的平行线，交抛物线2y 于点R ．当以点P ，Q ，R 为顶点的三角形与ACD V 全等时，请直接写出点P 的坐标．5．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标；(3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数24y x bx =+-的图像经过点()3,4A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，连接AB ，BC ．(1)填空：b =______；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一个动点，过点P 作PT x ⊥轴，垂足为T ，PT 交AB 于点Q ，求线段PQ 的最大值；(3)点D 是y 轴正半轴上一点，若∠=∠BDC ABC ，求点D 的坐标．7．如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，()1,0A ，4AB =(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ，求CPQ V 面积的最大值，并求此时P 点坐标；(3)如图，设抛物线与y 轴交于点D ，平行于BD 的直线MN 交抛物线于点M ，N ，作直线MB ND 、交于点G ，问点G 是否在某一定直线上运动，若在求此直线的解析式，若不在说明理由．8．如图，已知抛物线23y ax bx =+-的图象与x 轴交于点A ()10，和B ()30，，与y 轴交于点C ，D 是抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴DE 上求作一点M ，使A M C V 的周长最小，M 的坐标__________周长的最小值______．(3)如图2，点P 是x 轴上的动点，过P 点作x 轴的垂线分别交抛物线和直线BC 于F 、G ．设点P 的横坐标为m ．是否存在点P ，使FG 最长？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．9．如图1，抛物线()230y ax bx a =+->交x 轴于点A ，B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ，且3O B O C O A ==，点D 为抛物线上第四象限的动点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，直线AD 交BC 于点P ，连接AC BD ，，若ACP △和BDP △的面积分别为1S 和2S ，当12S S -的值最小时，求直线AD 的解析式．(3)如图2，直线BD 交抛物线的对称轴于点N ，过点B 作AD 的平行线交抛物线的对称轴于点M ，当点D 运动时，线段MN 的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．10．已知抛物线23y ax bx =++（0a ≠）交x 轴于()0A 1，和()30B -，，交y 轴于C ．(1)求抛物线的解析式；(2)若M 为抛物线上第二象限内一点，求使MBC V 面积最大时点M 的坐标；(3)若F 是对称轴上一动点，Q 是抛物线上一动点，是否存在F 、Q ，使以B 、C 、F 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于()20A -，，()40B ，，()08C ，三点，点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时，PBC V 的面积最大，求此时P 点坐标及PBC V 面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC V 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段BC 上的一个动点，平行于y 轴的直线EF 交抛物线于点F ，求FBC V 面积的最大值；(3)设点P 是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足6PAB S =△的点P ？如果存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线2y ax bx =+经过()()3,0,2,10A B -两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点，求PAB V 面积的最大值；(3)点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，设点M 的横坐标为m ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，请直接写出m 的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =++经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B ，点P 为抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当ACP △的面积与ABC V 的面积相等时，求点P 的坐标；(3)是否存在点P ，使得ACP ABC BAC ∠=∠-∠，若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知拋物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A ，()3,0B -，与y 轴交于点()0,3C -．点P 是抛物线上一动点，且在直线BC 的下方，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)连接CP ，若45CPD ∠=︒，求点P 的坐标；(3)连接BP ，求四边形OBPC 面积的最大值．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线28y x bx =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y x t =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．(1)求抛物线的解析式；(2)当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以Q ，M ，N ，D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在；说明理由17．如图，抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．(1)请直接写出点A ，B ，C 的坐标；(2)若点P 是抛物线BC 段上的一点，当PBC V 的面积最大时求出点P 的坐标，并求出PBC V 面积的最大值．(3)点F 是抛物线上的动点，作FE AC ∥交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21=2y x bx c ++经过点()4,0A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，直线AB 与抛物线在第一象限交于点()2,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OC ，点Q 是直线AC 上不与A 、B 重合的点，若2OAQ OAC S S =V V ，请求出点Q 的坐标；(3)在x 轴上有一动点H ，平面内是否存在一点N ，使以点A 、H 、C 、N 为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =-++(2)①点F 的坐标为⎝⎭；②1或952．(1)245y x x =-++(2)()2,3P (3)335,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．(1)5，5 (3)54,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)21113424y x x =--+(2)2-(3)304⎛⎫ ⎪⎝⎭，或524⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2246y x x =-++ (2)126,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫ ⎪⎝⎭6．(1)3-(2)PQ 的最大值是4 (3)50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)223y x x =+-(2)CPQ V 面积的最大值为2，此时P 点坐标为()1,0-(3)在，3y x =--8．(1)2=+43y x x --(2)()21-，(3)存在，m 的值为329．(1)2=23y x x --(2)22y x =--(3)不变，值为810．(1)223y x x =--+ (2)31524⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)存在，点Q 的坐标为()23-，或()45-，-或()25，-11．(1)228y x x =-++(2)当P 点坐标为()28，时，PBC V 的最大面积为8； (3)存在，点Q 的坐标为()016，或()016-，或()01，或()01-，．12．(1)2=23y x x -- (2)278(3)存在，点P 的坐标为()1或()1或()0,3-或()2,3-13．(1)23y x x =-(2)PAB S V 最大值为1258(3)23m -≤<或34m <<或338m =14．(1)抛物线的函数表达式为213222y x x =-- (2)点P 的坐标为(5,3)P(3)存在，点P 的横坐标为2911或7．15．(1)223y x x =+- (2)(14)--， (3)63816．(1)278y x x =-++(2)()3,0(3)存在，()0,17Q 或()0,33-17．(1)()2,0A -，()6,0B ，()0,6C - (2)点P 的坐标为153,2⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PBC S V 有最大值272(3)存在，点F 的坐标为()4,6-或()2+或()2-18．(1)21=22y x x + (2)()8,12或()16,12--(3)()2N +或()2N -或()2,6N -或()4,6-。

(word完整版)初中数学二次函数动点问题

函数性问题专题—动点问题函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带．它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的综合性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题．因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要．以函数为背景的综合性问题往往都可归结为动点性问题，我们把它归纳为以下七种题型（附例题）一、因动点而产生的面积问题例1：如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x …-3 -2 1 2 …y …-52-4 -520 …(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：(2) 若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积.例2：如图1，已知直线12y x=-与抛物线2164y x=-+交于A B，两点．（1）求A B，两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A B，构成无数个三角形，这些三角求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．yxOyxOPA图2图1BBA图10例3：如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODE F ∽矩形ABCO ，其相似比为1 : 4，矩形ABCO 的边AB=4,BC=43．(1)求矩形ODEF 的面积； (2）将图l 中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转 900，若旋转过程中OF 与OA 的夹角（图2中的∠FOA ）的正切的值为x ，两个矩形重叠部分的面积为y ，求 y 与 x 的函数关系式；(3)将图1中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转一周，连结EC 、EA ，△ACE 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由。

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4.如图，在 Rt△ABO 中，OB=8,tan∠OBA=
3 .若以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，建立如图 4
2
所示的平面直角坐标系，点 C 在 x 轴负半轴上，且 OB＝4OC.若抛物线 y ax bx c 经过点 A、 B、C . （1）求该抛物线的解析式；（2）设该二次函数的图象的顶点为 P，求四边形 OAPB 的面积；（3）有两动点 M,N 同时从点 O 出发，其中点 M 以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 OAB 按 O→A→B 的路线运动，点 N 以每秒 4 个单位长度的速度沿折线按 O→B→A 的路线运动，当 M、N 两点相遇时，它们都停止运动.设 M、N 同时从点 O 出发 t 秒时，△OMN 的面积为 S . ①请求出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； ②判断在①的过程中,t 为何值时，△OMN 的面积最大？
8.如图，在直角坐标系中，以点 A( 3， 0) 为圆心，以 2 3 为半径的圆与 x 轴相交于点 B,C，与 y 轴相交于点 D,E．（1）若抛物线 y x2 bx c 经过 C,D 两点，求抛物线的解析式，并判断点 B 是否在该抛物线上．（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点 P ，使得 △PBD 的周长最小．（3）设 Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点 M，使得四边形 BCQM 是平行四边形．若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．
PA EF 是否成立．若成立， PB EG
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专项练习
7.如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点 P，Q 都是斜边 AB 上的动点，点 P 从 B 向 A 运动（不与点 B 重合），点 Q 从 A 向 B 运动，BP=AQ．点 D，E 分别是点 A，B 以 Q，P 为对称中心的对称点， HQ⊥AB 于 Q，交 AC 于点 H．当点 E 到达顶点 A 时，P，Q 同时停止运动．设 BP 的长为 x， △HDE 的面积为 y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求 y 关于 x 的函数解析式并求 y 的最大值；（3）当 x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？
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专项练习
3.如图，在平面直角坐标系中，已知 OA=12 厘米，OB=6 厘米．点 P 从点 O 开始沿 OA 边向点 A 以 l 厘米／秒的速度移动；点 Q 从点 B 开始沿 BO 边向点 O 以 l 厘米，秒的速度移动．如果 P、Q 同时出发，用 t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么 (1)设△POQ 的面积为 y，求 y 关于 t 的函数解析式； (2)当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线 PQ 翻折后得到△PCQ，试判断点 C 是否落在直线 AB 上，并说明理由； (3)当 t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似．
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专项练习
5.如图，在平面直角坐标系中，以点 C (0 ，4) 为圆心，半径为 4 的圆交 y 轴正半轴于点 A ， AB 是 ⊙C 的切线．动点 P 从点 A 开始沿 AB 方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，点 Q 从 O 点开始沿 x 轴正方向以每秒 4 个单位长度的速度运动，且动点 P 、 Q 从点 A 和点 O 同时出发，设运动时间为 t (秒)． ⑴当 t 1 时，得到 P 1 、 Q1 两点，求经过 A 、 P 1 、 Q1 三点的抛物线解析式及对称轴 l ； ⑵当 t 为何值时，直线 PQ 与 ⊙C 相切？并写出此时点 P 和点 Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴 l 上存在一点 N ，使 NP NQ 最小，求出点 N 的坐标并说明理由．
y A l P1 P B C O Q1 Q x
6.已知：抛物线 y ax 2 bx c a 0 ，顶点 C 1 ， 3 ，与 x 轴交于 A 、 B 两点， A 1 ，0 ． ⑴ 求这条抛物线的解析式． ⑵ 如图，以 AB 为直径作圆，与抛物线交于点 D ，与抛物线对称轴交于点 E ，依次连接 A 、D 、B 、 E，点 P 为线段 AB 上一个动点( P 与 A 、B 两点不重合)，过点 P 作 PM AE 于 M ，PN DB 于 PM PN 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． N ，请判断 BE AD ⑶ 在⑵的条件下，若点 S 是线段 EP 上一点，过点 S 作 FG EP ， FG 分别与边．AE 、 BE 相交于点 F 、G ( F 与 A 、 E 不重合， G 与 E 、 B 不重合)，请判断请给出证明；若不成立，请说明理由．4Fra bibliotek说明理由。
2.如图，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上另一点 A,它的对称轴 x=2 ，与 x 轴交于点 C，直线 y=-2x-1 经过抛物线上一点 B(-2,m)，且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点 D、E. （1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证：① CB=CE ；② D 是 BE 的中点；（3）若 P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点 P,使得 PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由
专项练习
二次函数专题三动点问题
1.已知抛物线 y x 2 2mx m 2 m 3 （1）证明抛物线的顶点一定在直线 y=-x+3 上；（2）若抛物线与 x 轴交于 M、N 两点，当 OM·ON=3，且 OM≠ON 时，求抛物线的解析式；（3）若（2）中所求抛物线顶点为 C，与 y 轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 B，直线 y=-x+3 与 x 轴交于点 A。点 P 为抛物线对称轴上一动点，过点 P 作 PD⊥AC，垂足 D 在线段 AC 上。试问：是否存在点 P，使 S PAD 1 S ABC ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请