工程数学概率统计习题全解同济大学高等教育
习题一解答
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：
(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；
(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。 解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则
},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .
(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则
)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .
2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；
(3) =AC {取得球的号码是2，4}；
(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；
(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；
(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}
3. 在区间]2,0[上任取一数，记??????≤<=121x x A ，???
???≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：
(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .
解 (1) ???
???≤≤=234
1x x B A ;
(2) =??????≤<≤≤=B x x x B A 2121
0或?
?????
≤
≤231214
1x x x x ; (3) 因为B A ?，所以φ=B A ；
(4)=??????≤<<≤=223410x x x A B A 或 ?
?????≤<≤<<≤223
121410x x x x 或或 4. 用事件C
B A ,,的运算关系式表示下列事件：
(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）；
(8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。 解 (1)C B A E =1； (2)C AB E =2； (3)ABC E =3； (4)C B A E =4；
(5)C B A E =5； (6)C B A C B A C B A C B A E =6；
(7)C B A ABC E ==7；(8)BC AC AB E =8.
5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设i A 表示事件“第i 次
抽到废品”，3,2,1=i ，试用i A 表示下列事件：
(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；
(2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品；
(4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。
解 (1)21A A ； (2)321A A A ； (3)321A A A ；
(4)321A A A ； (5)321321321A A A A A A A A A .
6. 接连进行三次射击，设i A ={第i 次射击命中}，3,2,1=i ，=B {三次射击恰好命中二次}，=C {三次射击至少命中二次}；试用i A 表示B 和C 。
解 321321321A A A A A A A A A B = 323121A A A A A A C =
习题二解答
1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。
解 这是不放回抽取，样本点总数???
?
??=350n ，记求概率的事件为A ，则有利于A 的样本点数
???
? ?????? ??=15245k . 于是
39299!2484950!35444535015245)(=??????=????
?????? ?????? ??==n k A P 2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求
(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；
(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。
解 本题是有放回抽取模式，样本点总数27=n . 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为D C B A ,,,.
(ⅰ)有利于A 的样本点数25=A k ，故 492575)(2
=??
?
??=A P
(ⅱ) 有利于B 的样本点数25?=B k ，故 4910
725)(2=?=B P
(ⅲ) 有利于C 的样本点数252??=C k ，故 49
20
)(=C P
(ⅳ) 有利于D 的样本点数57?=D k ，故 75
49357
57)(2==
?=D P . 3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。
解 本题是无放回模式，样本点总数56?=n .
(ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利
样本点数为32?，所求概率为
5
1
5632=??. (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22?，
所求概率为
15
2
5622=??. 4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：
(1) 2只都合格；
(2) 1只合格，1只不合格； (3) 至少有1只合格。
解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为C B A ,,，则
522562342624)(=????=???
? ?????? ??=A P 15856224261214)(=???=???
? ?????? ?????? ??=B P 注意到B A C =，且A 与B 互斥，因而由概率的可加性知
15
14
15852)()()(=+=+=B P A P C P
5．掷两颗骰子，求下列事件的概率：
(1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为C B A ,,,样本点总数26=n (ⅰ)A 含样本点)2,5(),5,2(,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)
61
6
6)(2==∴A P
(ⅱ)B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
185
6
10)(2==∴B P
(ⅲ)C 含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。
2
1
3618)(==∴C P
6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解 记求概率的事件为A ，样本点总数为35，而有利A 的样本点数为345??，所以 2512
5
345)(3
=??=A P . 7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率： (1) 事件A ：“其中恰有一位精通英语”； (2) 事件B ：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件C ：“其中有人精通英语”。
解 样本点总数为???
?
??35
(1) 53106345!332352312)(==????=???
?
?????? ?????? ??=
A P ；
(2) 103345!33351322)(=???=???
?
?????? ?????? ??=
B P ； (3) 因B A
C =，且A 与B 互斥，因而
10
9
10353)()()(=+=+=B P A P C P .
8．设一质点一定落在xOy 平面内由x
解 记求概率的事件为A ，则A S
为图中阴影部分，而2/1||=Ω，
18
59521322121||2
=?=??? ??-=A S
最后由几何概型的概率计算公式可得
9
52/118/5||||)(==Ω=A S A P . 9．（见前面问答题2. 3）
10．已知B A ?，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求
(1))(A P ,)(B P ；(2))(B A P ；(3))(AB P ；(4))(),(B A P A B P ；(5))(B A P . 解 (1)6.04.01)(1)(=-=-=A P A P ，4.06.01)(1)(=-=-=B P B P ； (2)6.0)()()()()()()()(==-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P ； (3)4.0)()(==A P AB P ；
(4)0)()()(==-=φP B A P A B P , 4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ; (5).2.04.06.0)()(=-=-=A B P B A P
11．设B A ,是两个事件，已知5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，试求)(B A P -及).(A B P - 解 注意到 )()()()(AB P B P A P B A P -+= ，因而)()()(B P A P AB P += )(B A P -4.08.07.05.0=-+=. 于是，)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=- 1.04.05.0=-=；3.04.07.0)()()()(=-=-=-=-AB P B P AB B P A B P .
习题三解答
1．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .
解 4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P
)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==
3.04.06.05.01=+--=
2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。
解 1078
9
989981989910090910=?=????=p .
3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19
(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
解 记=A {基金}，=B {股票}，则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P
图2.3
(1) .327.058.019
.0)()()|(===
A P A
B P A B P (2) 678.028
.019
.0)()()|(===
B P AB P B A P . 4．给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下面四个等式：
),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )()|(B P A B P =，).()|(B P A B P = 解 )(2
1
3.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ====
)(5.07.035
.07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--==
)(3.05
.015
.0)()()|(B P A P AB P A B P ====
)(5
.015
.05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--==
5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。
解 =B {迟到}，=1A {坐火车}，=2A {坐船}，=3A {坐汽车}，=4A {乘飞机}，则 4
1
==i i BA B ，
且按题意
25.0)|(1=A B P ，3.0)|(2=A B P ，1.0)|(3=A B P ，0)|(4=A B P .
由全概率公式有：
∑==?+?+?==4
1145.01.01.03.02.025.03.0)|()()(i i i A B P A P B P
6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率： (1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解 (1) 记=B {该球是红球}，=1A {取自甲袋}，=2A {取自乙袋}，已知10/6)|(1=A B P ，14/8)|(2=A B P ，所以
70
41
1482110621)|()()|()()(2211=
?+?=+=A B P A P A B P A P B P (2) 12
7
2414)(==B P
7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解 02.04.004.035.005.025.0?+?+??
%45.30345.0008.00140.00125.0==++=
8．发报台分别以概率0.6，0.4发出""?和""-，由于通信受到干扰，当发出""?时，分别以概率0.8和0.2收到""?和""-，同样，当发出信号""-时，分别以0.9和0.1的概率收到""-和""?。求(1) 收到信号""?的概率；(2) 当收到""?时，发出""?的概率。
解 记 =B {收到信号""?}，=A {发出信号""?} (1) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=
52.004.048.01.04.08.06.0=+=?+?=
(2) 13
12
52.08.06.0)()|()()|(=?==B P A B P A P B A P .
9．设某工厂有C B A ,,三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次
品，求它依次是车间C B A ,,生产的概率。
解 为方便计，记事件C B A ,,为C B A ,,车间生产的产品，事件=D {次品}，因此 )|()()|()()|()()(C D P C P B D P B P A D P A P D P ++= 02.04.004.035.005.025.0?+?+?= 0345.0008.0014.00125.0=++=
362.00345.005
.025.0)()|()()|(=?==D P A D P A P D A P
406.00345.004
.035.0)()|()()|(=?==D P B D P B P D B P
232.00345
.002
.04.0)()|()()|(=?==D P C D P C P D C P
10．设A 与B 独立，且q B P p A P ==)(,)(，求下列事件的概率：)(B A P ，)(B A P ，)(B A P . 解 pq q p B P A P B P A P B A P -+=-+=)()()()()(
pq q q p q p B P A P B P A P B A P +-=---+=-+=1)1(1)()()()()( pq B P A P AB P B A P -=-==1)()(1)()(
11．已知B A ,独立，且)()(,9/1)(B A P B A P B A P ==，求)(),(B P A P . 解 因)()(B A P B A P =，由独立性有
)()()()(B P A P B P A P =
从而 )()()()()()(B P A P B P B P A P A P -=- 导致 )()(B P A P =
再由 9/1)(=B A P ，有 2))(1())(1))((1()()(9/1A P B P A P B P A P -=--== 所以 3/1)(1=-A P 。最后得到 .3/2)()(==A P B P
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。
解 记 =B {命中目标}，=1A {甲命中}，=2A {乙命中}，=3A {丙命中}，则 3
1==i i A B ，因
而
.98
9113121321)()()(11)(32131=-=??-=-=???
? ??-==A P A P A P A P B P i i 13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p ，求这
解 记 =A {通达}，
=i A {元件i 通达}，6,5,4,3,2,1=i
则 654321A A A A A A A =， 所以
)()()()(654321A A P A A P A A P A P ++=
)()(654321652165434321A A A A P A A A A P ---642)1()1(3)1(3p p p -+---=
14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
解 0512.0)8.0()2.0(352
3=???
? ??=p .
15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
解 104.0096.0008.0)2.0(8.023)2.0(332
3=+=?????
? ??+???? ??=p . 16．设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P .
解 记=i A {A 在第i 次试验中出现}，.3,2,1=i )(A P p =
依假设 3
32131)1(1)(12719p A A A P A P i i --=-=???
? ??== 所以， 27
8
)1(3=-p ， 此即 3/1=p .
17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 =i A {第i 道工序为次品}，.3,2,1=i 则次品率
097.090307.0195.097.098.01)()()(132131≈-=??-=-=???
? ??==A P A P A P A P p i i
18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。
解 记 =A {译出密码}， =i A {第i 人译出}，.3,2,1=i 则 7075
.02925.016.065.075.01)()()(1)(32131=-=??-=-=???
?
??==A P A P A P A P A P i i 19．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？
解 (1) 256632151010
=??
? ?????? ?? ； (2) 106
42110??
? ?????? ??∑=k k .
20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：
(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。
解 (1) 256255
)25.0(1)75.01(144=-=--
(2) 1282741436)25.0()75.0(242
22
2=??? ?????? ???=???
? ?? (3) 2568143)75.0(4
4
=??
? ??=
习题四解答
1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。
（1）5,4,3,2,1,0,15==i i
p i ；
（2）()3,2,1,0,652=-=i i p i ； （3）5,4,3,2,41
==i p i ；
（4）5,4,3,2,1,25
1
=+=i i p i 。
解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证i p 是否满足下列二个条件：其一条件为 ,2,1,0=≥i p i ，其二条件为1=∑i
i p 。
依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，
因为064
6953<-=-=p ；
（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为∑=≠=5
1
12520
i i p 。 2. 试确定常数c ，使()()4,3,2,1,0,2
===i c
i X P i 成为某个随机变量X 的分布律，并求：()2≤X P ；
??? ??<<252
1
X P 。
解 要使i c 2成为某个随机变量的分布律，必须有12
4
0=∑=i i c ，由此解得3116
=c ；
（2） ()()()()2102=+=+==≤X P X P X P X P
3128
412113116=??? ??++=
（3）()()21252
1
=+==??? ??< 3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数。 解 X 可能取的值为-3，1，2，且()()()6 1 2,211, 13=====-=X P X P X P ，即X 的分布律为 X 的分布函数 0 3- ()()x X P x F ≤== 31 13<≤-x 6 5 21<≤x 1 2≥x 4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X 表示取出的3个球中最大号码，写出X 的分布律和分布函数。 解 依题意X 可能取到的值为3，4，5，事件{}3=X 表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即()1013513=??? ? ??= =X P ；事件{}4=X 表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时()103352314=???? ?????? ???= =X P ；同理可得()106352415=??? ? ?????? ???= =X P 。 X 的分布律为 X 的分布函数为 0 3 ()=x F 101 43<≤x 10 4 54<≤x 1 5≥x 5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X 的分布律。 解 依题意X 服从参数6.0,5==p n 的二项分布，因此，其分布律 ()5,,1,0,4.06.055 =??? ? ??==-k k k X P k k ， 6. 从一批含有到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律。 （1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。 解 （1）设事件 ,2,1,=i A i 表示第i 次抽到的产品为正品，依题意， ,,,1n A A 相互独立，且 () ,2,1,13 10 == i A P i 而 ()()()() () ,2,1,13 10 1331 1 111=? ? ? ??====---k A P A P A P A A A P k X P k k k k k 即X 服从参数13 10 = p 的几何分布。 （2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X 可能取到的值为1，2，3，4， ()()()(). 286 1 10111213101234,143511121310233,26 512131032,13101=??????===????===??=== =X P X P X P X P X 的分布律为 （3）X 可能取到的值为1()()()(). 2197 6 1313131234,21977213131312233,169 3313131132,13101=????===????===??=== =X P X P X P X P 所求X 的分布律为 7. 设随机变量()p B X ,6~，已知()()51===X P X P ，求p 与()2=X P 的值。 解 由于()p B X ,6~，因此()()6,,1,0,1666 =-??? ? ??==-k p p k X P k k 。 由此可算得 ()()()(),165,16155p p X P p p X P -==-== 即 ()(),161655p p p p -=- 解得2 1=p ； 此时，()64 1521!25621212626 2 62 =??? ????=? ? ? ????? ?????? ??==-X P 。 8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X 表示出现国徽的次数，求X 的分布函数。 解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为21，因此X 服从2 1,4==p n 的二项分布，即 ()4,3,2,1,0,212144=? ? ? ????? ?????? ??==-k k k X P k k 由此可得X 的分布函数 0， 0 161 ， 10<≤x ()=x F 165 ， 21<≤x 1611 ， 32<≤x 16 15 ， 43<≤x 1， 4≥x 9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X 服从参数4=λ的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？ 解 设至少要进n 件物品，由题意n 应满足 ()(),99.0,99.01≥≤<-≤n X P n X P 即 ()99.0! 4110 4<=-≤∑ -=-n k k e k n X P ()99.0! 404 ≥=≤∑=-n k k e k n X P 查泊松分布表可求得 9=n 。 10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。 解 设X 为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X 服从0001.0,1000==p n 的二项分布，即()0001.0,1000~B X ，由于n 较大，p 较小，因此也可以近似地认为X 服从1.00001.01000=?==np λ的泊松分布，即()1.0~P X ，所求概率为 ()()() . 004679.0090484.0904837.01! 11.0!01.0110121 .011.00=--=--≈=-=-=≥--e e X P X P X P 11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X 的分布律。 解 设事件i A 表示第i 次试验成功，则()75.0=i A P ，且 ,,,1n A A 相互独立。随机变量X 取k 意味着前1-k 次试验未成功，但第k 次试验成功，因此有 ()()()()()75.025.011111---====k k k k k A P A P A P A A A P k X P 12. 设随机变量X 的密度函数为 ()=x f x 2， A x <<0 0， 其他， 试求：（1）常数A ；（2）X 的分布函数。 解 （1）()x f 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为()0≥x f ；其二为 ()?+∞ ∞ -=1dx x f ，因此有?=A xdx 012，解得1±=A ，其中1-=A 舍去，即取1=A 。 （2）分布函数 ()()()?∞-=≤=x dx x f x X P x F = ??????+++∞-∞-∞-x x x dx xdx dx xdx dx dx 10 1 000020200 1100 ≥<≤ = 1 02x 1 100 ≥<≤ 13. 设随机变量X 的密度函数为()+∞<<-∞=-x Ae x f x ,，求：（1）系数A ；（2）()10< X 的分布函数。 解 （1）系数A 必须满足?+∞ ∞--=1dx Ae x ，由于x e -为偶函数，所以 ???+∞∞-+∞+∞---===12200dx Ae dx Ae dx Ae x x x 解得2 1=A ； （2）()() 1101012 1 2 1 21 10----===< -=x dx x f x F = ???-∞--∞--+x x x x x dx e dx e dx e 00212121 ≥ = ???-∞-∞-+x x x x x dx e dx e dx e 00212121 00≥ = () x x e e --+121 2121 00≥ = x x e e --2 1121 00≥ 14. 证明：函数 ()=x f 0 22c x e c x - <≥x x （c 为正的常数） 为某个随机变量X 的密度函数。 证 由于()0≥x f ，且()120 22 0222 2 2 =-=??? ? ? ?- -==+∞ - ∞ +- ∞ +∞-∞+∞-- ???c x c x c x e c x d e dx e c x dx x f ， 因此()x f 满足密度函数的二个条件，由此可得()x f 为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数 ()=x f 025.05.0x e 2 200 >≤<≤x x x 对应的分布函数()x F 的表达式。 解 当0≤x 时，()()??∞-∞-===x x x x e dx e dx x f x F 5.05.0 当20≤ 025.05.025.05.0x dx dx e dx x f x F x x x 当2>x 时，()15.05.0025.05.00 22 0=+=++=???∞-x x dx dx dx e x F 综合有 ()=x F , 1,25.05.0, 5.0x e x + .2;20;0≥≤≤≤x x x 16. 设随机变量X 在()6,1上服从均匀分布，求方程012=++Xt t 有实根的概率。 解 X 的密度函数为 ()=x f ,5 1 61< 方程012=++Xt t 有实根的充分必要条件为042≥-X ，即42≥X ，因此所求得概率为 () ()()()?=+=≥+-≤=≥-≤=≥6225 451 022224dx X P X P X X P X P 或。 17. 设某药品的有效期X 以天计，其概率密度为 ()=x f (),10020000 3 +x 0>x ; 0， 其他. 求：(1) X 的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率。 解 (1) ()()?∞-=x dx x f x F = () ,10020000 , 00 3 dx x x ?+ .0;0≥ = (), 10010000 1, 02 +- x . 0; 0≥ (2)()()()()91 10020010000 11200120012002 =??? ? ? ?+--=-=≤-=>F X P X P 。 18. 设随机变量X 的分布函数为 ()=x F (), 11, 0x e x -+- >≤x x 求X 的密度函数，并计算()1≤X P 和()2>X P 。 解 由分布函数()x F 与密度函数()x f 的关系，可得在()x f 的一切连续点处有()()x F x f '=，因此 ()=x f , 0, x xe - 其他0>x 所求概率()()()112111111---=+-==≤e e F X P ； ()()()()() 223211121212--=+--=-=≤-=>e e F X P X P 。 19. 设随机变量X 的分布函数为()+∞<<-∞+=x x B A x F ,arctan ，求(1) 常数B A ,；(2)()1 解：(1)要使()x F 成为随机变量X 的分布函数，必须满足()()1lim ,0lim ==+∞ →-∞→x F x F x x ，即 ()()1 arctan lim 0arctan lim =+=++∞ →-∞→x B A x B A x x 计算后得 120 2 =+ =- B A B A π π 解得 π 121= = B A 另外，可验证当π1,21= =B A 时，()x x F arctan 1 21π +=也满足分布函数其余的几条性质。 （2） ()()()()11111--=<<-= ()??????-+-+= 1arctan 1211arctan 121ππ 2 4141πππππ=??? ??-?-?= （3）X 的密度函数 ()()() +∞<<-∞+= '=x x x F x f ,11 2 π。 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min ）服从5 1 =λ的指数分布，其密度函数 为()=x f 0 ,515 x e - 其他0>x ，某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开。 （1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率； （2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。 解 （1）设随机变量X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X 服从5 1=λ的指数分布，且顾客等待时间超过10min 就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为 ()?∞ +--==≥10 25 5 110e dx e X P x ； （2）设Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y 服从2,5-==e p n 的二项分布，所求概率为 ()()() ()() () ()() 4 2 24 225 20 2141115105101-------+=-??? ? ??+-??? ? ??==+==≤e e e e e e Y P Y P Y P 21. 设X 服从()1,0N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）()2.2 解 查正态分布表可得 （1）()()9861.02.22.2=Φ= （2）()()()0392.09608.0176.1176.1176.1=-=Φ-=≤-=>X P X P ； （3）()()()2177.07823.0178.0178.078.0=-=Φ-=-Φ=- ()()()()8788 .019394.02155.1255.1155.1=-?=-Φ=Φ--Φ= （5） ()()()[]15.2215.215.2-Φ-=≤-=>X P X P ()()0124.09938.0125.222=-=Φ-=。 22. 设X 服从()16,1-N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）()44.2 解 当()2,~σμN X 时，()?? ? ??-Φ-??? ??-Φ=≤≤σμσμa b b X a P ，借助于该性质，再查标准正态分布函 数表可求得 （1）()()8051.086.04144.244.2=Φ=??? ??+Φ= （2）()()125.01415.115.1-Φ-=?? ? ??+-Φ-=->X P ()()()5498.0125.0125.011=Φ=Φ--=； （3）()()()3264.06736.0145.0145.0418.28.2=-=Φ-=-Φ=?? ? ??+-Φ=- ? ??+-Φ-??? ??+Φ= ()()6678.07734.018944.075.0125.1=+-=Φ+-Φ=； （5）()()()175.041541225-Φ-Φ=?? ? ??+-Φ-??? ??+Φ=<<-X P ()()9321.018413.07734.01175.0=+-=+Φ-Φ=； （6）()()()??? ?????? ??+Φ-??? ? ?+Φ-=≤≤-=≤--=>-410412*********X P X P X P ()()8253.05987.07724.0125.075.01=+-=Φ+Φ-=。 23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布()01.0,05.2N ，合格品的规格规定为2.02±，求该厂滚珠的合格率。 解 所求得概率为 ()()()()()927 .09938.019332.05.215.15.25.11.005.28.11.005.22.22.022.02=+-=Φ+-Φ=-Φ-Φ=? ? ? ??-Φ-??? ??-Φ=+≤≤-X P 24. 某人上班所需的时间()100,30~N X （单位：min ）已知上班时间为8：30，他每天7：50出 门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。 解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为 ()()1587.08413.0111103040140=-=Φ-=?? ? ??-Φ-=>X P ； （2）记Y 为5天中某人迟到的次数，则Y 服从1587.0,5==p n 的二项分布，5天中最多迟到一 次的概率为 ()()()()8192.08413.01587.0158413.01587.01514 50=???? ? ??+????? ??=≤Y P 。 习题五解答 1. 二维随机变量()Y X ,只能取下列数组中的值：()()()0,2,31,1,1,1,0,0?? ? ? ?--，且取这些组值的概率依次为12 5 ,121, 31,61，求这二维随机变量的分布律。 解 由题意可得()Y X ,的联合分布律为 2. 3,2,2,1中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X 、Y 分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求()Y X ,的分布律及()Y X P =。 解 X 可能的取值为3,2,1，Y 可能的取值为3,2,1，相应的，其概率为 ()()()()()()()()(). 03,3,61 34212,3,1211,3,61 34123,2,6134122,2,6134121,2,12 1 34113,1,6134212,1,01,1====??=======??====??====??====??====??= =====Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 ()()()()6 3,32,21,1===+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P 。 3. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量 X 、Y 如下： X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量()Y X ,的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。 解 （1）在放回抽样时，X 可能取的值为1,0，Y 可能取的值也为1,0，且 ()()()(), 251 1010221,1,2541010820,1, 254 1010281,0,25161010880,0=??====??====??====??= ==Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 （2）在无放回情形下，X 、Y 样，具体为 ()()()(), 451 910121,1,458910820,1,45 8 910281,0,4528910780,0=??====??====??====??= ==Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 4. 对于第1题中的二维随机变量(Y X ,X 及关于Y 的边缘分布律。 解 把第1 按列相加得Y 的边缘分布律为 5. 对于第3Y X ,于 X 及关于Y 的边缘分布律。 解 在有放回情况下X Y 的边缘分布律为 在无放回情况下X 的边缘分布律为 Y 的边缘分布律为 6. 求在D Y X ,D 为x 轴、y 轴及直线12+=x y 围成的三角形区域。 解 区域D 见图5.2。 易算得D 的面积为4 12 112 1=??=S ，所以()Y X ,的密 度函数 ()=y x f , ,0,4 ()其他 D y x ∈, ()Y X ,的分布函数 ()()??∞- ∞-=y x dxdy y x f y x F ,, 当21- 1 +<≤<≤-x y x 时, ()202 1244,y y xy dx dy y x F y x y -+==??-； 当12,02 1+≥<≤-x y x 时，()1444,22 11 20 ++==??- +x x dy dx y x F x x ； 当10,0<≤≥y x 时，()2002124,y y dx dy y x F y y -==??-； 当1,0≥≥y x 时，()??- +==02 11 20 14,x dy dx y x F 综合有 ,0 02 1<- ,242y y xy +- 120021 +<≤<≤- x y x 且 ()=y x F , ,1442++x x 1202 1 +≥<≤-x y x 且 ,22y y - 100<≤≥y x 且 ,1 10≥≥y x 且 7. 对于第6题中的二维随机变量()Y X ,的分布，写出关于X 及关于Y 的边缘密度函数。 解 X 的边缘密度函数为 ()()?+∞ ∞-=dy y x f x f X , = , 0, 41 20 ?+x dy 其他021<<- x = (), 0,124+x 其他 21 <<-x Y 的边缘密度函数为 ()()?+∞ ∞-=dx y x f y f Y , = , 0, 40 2 1?-y dx 其他 10< (),0, 12y - 其他 10< 8. 在第3题的两种情况下，X 与Y 是否独立，为什么？ 解 在有放回情况下，由于()25160,0= ==Y X P ，而()()25 16 545400=?===Y P X P ，即()()()000,0=====Y P X P Y X P ；容易验证()()(),101,0=====Y P X P Y X P ()()()()()()111,1,010,1==========Y P X P Y X P Y P X P Y X P ，由独立性定义知X 与Y 相互独立。 在无放回情况下，由于()45280,0===Y X P ，而()()25 16 545400=?===Y P X P ，易见 ()()()000,0==≠==Y P X P Y X P ，所以X 与Y 不相互独立。 9. 在第6题中，X 与Y 是否独立，为什么？ 解 431,41=?? ? ??-f ，而3 431,241=?? ? ??=?? ? ??-Y X f f ，易见?? ? ???? ? ??-≠?? ? ??-314131,41Y X f f f ，所以X 与Y 不相互独立。 10. 设X 写出表示()Y X ,解 由于X 与Y 相互独立，因此 ()()() ,3,2,1,4,3,2,1,,=======j i y Y P x X P y Y x X P j i j i 例如()()()8 121415.025.0,2=?=-=-==-=-=Y P X P Y X P 其余的联合概率可同样算得，具体结果为 X\Y -0.5 1 3 -2 81 161 161 -1 61 121 121 0 241 481 481 0.5 6 1 121 12 1 11. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，X 服从[]2.0,0上的均匀分布，Y 服从参数为5的指数分布， 求()Y X ,的联合密度函数及()Y X P ≥。 解. 由均匀分布的定义知 ()=x f X ,0,5 其他 2.00< ()=y f Y , 0, 55y e - 其他0>y 因为X 与Y 独立，易得()Y X ,的联合密度函数 ()()()==y f x f y x f Y X , , 0,255y e - 其他0,2.00>< dxdy y x f Y X P ,， 其中区域(){}y x y x G ≥=|,见图5.3，经计算有 ()() 12 .0052 .00051525---=-==≥???e dx e dy e dx Y X P x x y 。 12. 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为 ()=y x f , (), 0, 43y x ke +- 其他0,0>>y x 求：（1）系数k ；（2）()20,10≤≤≤≤Y X P ；（3）证明X 与Y 相互独立。 解 （1）k 必须满足()??+∞∞-+∞ ∞-=1,dxdy y x f ，即()10430=??+∞ +-+∞ dx ke dy y x ，经计算得12=k ； （2）()()()()832 01 043111220,10--+---==≤≤≤≤??e e dx e dy Y X P y x ； （3）关于X 的边缘密度函数 ()()?+∞ ∞-==dy y x f x f X , (), 0,120 43dy e y x ?+∞+- 其他 0>x = , 0, 33x e - 其他0>x 同理可求得Y 的边缘密度函数为 ()=y f Y , 0, 44y e - 其他0>x 易见()()()+∞<<-∞+∞<<-∞=y x y f x f y x f Y X ,,,，因此X 与Y 相互独立。 13. 已知二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为 ()=y x f , (),0, 1y x k - 其他 x y x <<<<0,10 （1）求常数k ；（2）分别求关于X 及关于Y 的边缘密度函数；（3）X 与Y 是否独立？ 解 （1）k 满足()??+∞∞-+∞∞-=1,dxdy y x f ，即()??=-10011x ydy x k dx 解得24=k ； （2）X 的边缘密度函数 ()()?+∞ ∞-==dy y x f x f X , (), 0, 1240 dy y x x ?- 其他10< = (), 0, 1122x x - 其他10< Y 的边缘密度函数为 ()=y f Y (), 0,1241 ?-y ydx x 其他 10< 0, 1122 y y - 其他10< （3） 3141212441,21=??=?? ? ??f ，而()()16271694112,23214112= ??==??=y f x f Y X ，易见 ?? ? ????? ??≠??? ??412141,21Y X f f f ，因此X 与Y 不相互独立。 14. 设随机变量X 与Y 且()5 30|1===X Y P ，（1） 求常数b a ,的值；（2）当b a ,取（1）中的值时，X 与Y 是否独立？为什么？ 解 （1）b a ,必须满足∑∑===2 13 11j i ij p ，即 1252251253252=+++++a b ，可推出25 17 = +b a ，另外由条件概率定义及已知的条件得 ()()()5325 201,00|1=+===== ==b b X P Y X P X Y P 由此解得253=b ，结合2517 =+b a 可得到2514=a ， 即 25 32514= = b a （2）当253,2514==b a 时，可求得()()25 17 0,2550====Y P X P ，易见 ()()()0025 2 0,0==≠===Y P X P Y X P 因此，X 与Y 不独立。 15. 对于第2题中的二维随机变量()Y X ,的分布，求当2=Y 时X 的条件分布律。 解 易知()122===?Y P p ，因此2=Y 时X 的条件分布律为 16. 对于第6题中的二维随机变量()Y X ,的分布，求当?? ? ??<<-=021,x x X 时Y 的条件密度函数。 解 X 的边缘密度函数为（由第7题所求得） ()=x f X (), 0,124+x 其他0 21 <<-x 由条件密度函数的定义知当??? ??<<-=021,x x X 时Y 的条件密度函数为 ()()()==x f y x f x y f X X Y ,|| () , 0,1244 +x 其他 120+< 0, 121 +x 其他 120+< 习题六解答 1. 设X 的分布律为 求出：以下随机变量的分布律。（1）2+X ；（2）1+-X ；（3）2X 。 解 由X 由此表可定出 （1）2+X 的分布律为 （2）1+-X 的分布律为（3）2X 的分布律为 其中() ()()24 682242=+=-=+===X P X P X P 。 2. 设随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，记随机变量=Y , 1,1;1,0>≤X X 若若试求随机变量Y 的分 布律。 解 由于X 服从参数1=λ的泊松分布，因此 (),,2,1,0,! !11 1 ====--k k e e k k X P k 《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。 7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。 同济大学 09 学年 第一学期 专业 级《 概率统计 》期中试卷 考试形式：（ 闭卷 ） 一、填空题（共 30 分，每空2分）： 1．事件C B A ,,中至少有一个发生可表示为 ，三个事件都发生可表示为 ，都不发生可表示为 . 2．设()4.0=A P ，()3.0=B P ，()4.0=B A P ，则() =B A P . 3．一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球. 每次从中任取一球，直到第3次才取到黑球的概率为 ，至少取3次才能取到黑球的概率为 . 4．设随机变量X 的分布函数()??? ?? ??≥<≤<≤--<=31318 .0114 .010x x x x x F ，则X 的分布列为 . 5．进行10次独立重复射击，设X 表示命中目标的次数，若每次射击命中目标的概率都是4.0，则X 服从 分布，其数学期望为 ，方差为 . 6．设连续型随机变量()λe X ~，)0(>λ，则=k 时，{}4 12= >k X P . 7．已知随机变量()2~P X ，则102-=X Y 的数学期望=EY ，方差=DY . 8. 已知随机变量X 的概率密度函数为()?? ?>-<≤≤-=2 ,20 2225.0x x x x f ，则X 服从 分布，设随机变量 12+=X Y ，则=EY . 二、选择题（共10 分，每小题 2 分） 1．设事件B A ,互不相容，且()()0,0>>B P A P ，则有 （ ） （A ）()0>A B P （B ）() ()A P B A P = （C ）() 0=B A P （D ）()()()B P A P AB P = 一、计算 （1）)]11ln([lim 2x x x x +-∞→ （3）dx e x ?+∞-0)2 1,min( （2）设变换方程? ??+=-=ay x v y x u 2可把222226y z y x z x z ??-???+??=0简化为02=???v u z ，求常数a 。 二、将函数??? ??? ?≤≤≤≤+=ππππx x x x f 20202)(展开正弦级数，并指出该正弦级数的和函数。 三、求在椭球面),,(1222222+ ∈=++R c b a c z b y a x 内嵌入的有最大体积的各棱平行于坐标轴的直角平行六面体的体积 四、证明曲线积分dy x y x y x y dx x y x y L )cos _(sin )cos 1(22+- ?在右半平面内与积分路径无 关，并当L 的起点为),1(π，终点为),2(π时计算此积分。 五、求积分 ,)1(22d x d y z y z d z d x a z x d y d z ??∑-+-其中∑为yoz 面上的曲线y e z =)0(a y ≤≤绕z 轴旋转所得的曲面的下侧。 六、设函数),(y x f 在2R 上有连续的偏导数，问函数??? ????>≤=≥??∞+-0)sin (0)),(()(0sin x dt t t e dx d x dy y x f dx d x g xt x x 在哪些间断点处连续？若有间断点，请指出其类型并说明理由。 七、设)(x f 为].0[∞+上恒 取正值的连续函数，且当 令时,1 )(22x x f x ≥≥) 0()()(0 0>=? ?∞++∞x dt t f dt t tf x ）（?，证明对任意），在（）（方程∞+=+∞∈0),,0(c x c ?上有唯一解。 八、设函数)(x f 在区间],[h x x +上连续且二次可微，证明存在)1,0(∈θ，使得 概率统计试卷二 一、（10分）已知随机变量X 服从参数为1的泊松分布，记事件{}2,X A =≥ {}1,X B =<求()()() ,,.P P P A B A -B B A 二、(10分)对以往数据分析结果表明，当机器运转正常时，产品的合格率为９０％；而当机器发生故障时其合格率为３０％，机器开动时，机器运转正常的概率为７５％，试求已知某日首件产品是合格品时，机器运转正常的概率。 三、（１２分）设（X ，Y ）为二维离散型随机变量，X ，Y 的边缘概率函数分别为 且()01,P XY ==试求： （1）（X ，Y ）的联合概率函数；（2）X ，Y 是否相互独立？为什么？ （3）X ，Y 是否相关？为什么？ 四、（14分）设（X ，Y ）的联合密度函数为()()22,0,0,0, x y e x y f x y -+?>>?=???其余， 试求：（1）()X 1,Y 2;P <> （2）()X Y 1.P +< 五、（12分）假设一条生产流水线在一天内发生故障的概率为0.1，流水线发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日无故障这条流水线可产生利润20万元，一周内发生一次故障时，仍可获利润6万元，发生二次或二次以上故障就要亏损2万元，求一周内这条流水线所产生利润的期望值。 六、（12分）假设生产线上组装每件成品花费的时间服从指数分布。统计资料表明：该生产线每件成品的平均组装时间10分钟。假设各件产品的组装时间相互独立。试求在15小时至20小时之间在该生产线组装完成100件成品的概率。（要用中心极限定理） 七、（16分）设()1n X ,,X 是取自总体X 的一个样本，X 服从区间[],1θ上的均匀分布， 其中1,θθ<未知，求（1）*θθ的矩估计； （2）θθ的极大似然估计； （3）试问：θ是否为θ的无偏估计？若不是，试将θ修正成θ的一个无偏估计。 八、（14分）已知某种食品的袋重（单位：千克）服从正态分布() 2N μσ，，其中 习 题 一 1．下列随机试验各包含几个基本事件？ （1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个 一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的 任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ?=种。 （2）观察三粒不同种子的发芽情况。 解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有81 21212=??C C C 种不同情况。 （3）从五人中任选两名参加某项活动。 解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序， 所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。 （4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。 解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。 （5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。 解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一 个一个放入盒子内（按要求）。a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。b 球因 为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球 的盒子）两个中任一个，其放法有21 2=C 个。c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=??C C 种。 2． 事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB U 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？ 解： 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。此随机试验E 的样 本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而 12345A A A A A A =U U U U ,A B S ∴=U φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。 3. 随机抽验三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”，设B 表示“三件中至少有两件是废品”，C 表示“三件都是正品”，问 ,,,,A B C A B AC U 各表示什么事件？ 习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件两次出现的面相同}； (2) 记录某电话总机一分钟， (2) 记X为一分钟 2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设取得球的号码是偶数}，取得球的号码是奇数}，取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件： ；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)；；解是必然事件； 是不可能事件； 取得球的号码是2，4}； 取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}； 取得球的号码为奇数，且不小于取得球的号码为5，7，9}； 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6，8，10}； 取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10} 在区间[0,2]上任取一数，记，，求下列事件的表达式： ；(2)B；(3)A； 解 或 (3) 因为，所以； 或或或用事件 的运算关系式表示下列事件： (1) A出现，B,C都不出现（记为E1）； (2) A,B都出现，C不出现（记为E2）； (3) 所有三个事件都出现（记为E3）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）； (5) 三个事件都不出现（记为E5）； (6) 不多于一个事件出现（记为E6）； (7) 不多于两个事件出现（记为E7）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。 解；AB； ；； ；； ； 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，，试用Ai表示下列事件： (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品； (4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。 解；(2)A1A2A3；(3)A1A2A3；； 6. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，，三次射击恰好命中二次}，三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和C。 解 习题二解答 1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。 解这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为A， 则有利于A的样本点数 于是 2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求 (1) 第一次、第二次都取到红球的概率； (2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。 解本题是有放回抽取模式，样本点总数记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D. ⅰ)有利于A的样本点数，故 ⅱ) 有利于B的样本点数，故 20(ⅲ) 有利于C的样本点数，故 ⅳ) 有利于D的样本点数，故 3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。 解本题是无放回模式，样本点总数 (ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利 样本点数为，所求概率为 (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为， 同济大学概率论与数理统计 复习试卷 1、对于任意二个随机事件B A ,，其中1)(,0)(≠≠A P A P ，则下列选项中必定成立的是( ) （A ） ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分必要条件； (B) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分条件非必要条件； (C) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的必要条件非充分条件； (D) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的既非充分条件也非必要条件. 2、 设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，现从中随机地取出一件，结果发现取到的这件不是三等品，在此条件下取到的这件产品是一等品的概率为 ，在此条件下取到的这件产品是二等品的概率为 . 3、 对任意常数)(,,b a b a <，已知随机变量X 满足 (),()P X a P X b αβ≤=≥=. 记()b X a P p ≤<=,则下列选项中必定成立的是 ( ) (A))(1βα+-=p ； (B) )(1βα+-≥p ； (C) )(1βα+-≠p ； (D) )(1βα+-≤p . 4、 设随机变量X 的概率密度为 ???<<=其它,010,5)(4x x x f ，则使得)()(a X P a X P <=>成立的常数=a ，X Y ln 2-=的密度函数 为=)(y f Y . 5、如果22,,EY EX ∞<<∞且X 与Y 满足()(),D X Y D X Y +=-则必有 （ ） ()A X 与Y 独立； ()B X 与Y 不相关； ()()0C D Y =； ()()()0.D D X D Y = 6、 设12,,n X X X 相互独立且服从相同的分布， ∑====n i i X n X X D X E 1 111,3)(,1)(，则由切比雪夫不等式可得() ≤≥-11X P ，∑=n i i X n 121依概率收敛于 . 7、 设521,X X X 独立且服从相同的分布， ()1,0~1N X .()()2 542321X X X X X c Y +++=.当常数c = 时,Y 服从自由度为 的F 分布. 8、一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫，他断言凶犯是黑人。然而，当调查这一案件的警察在可比较的光照条件下多次重新展现现场情况时，发现受害者正确识别袭击者肤色的概率只有80%，假定凶犯是本地人，而在这个城市人口中90%是白人，10%是黑人，且假定白人和黑人的犯罪率相同， 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞< 《线性代数》期终试卷1 （ 2学时） 本试卷共七大题 一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)： 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 ()； 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随 矩阵, 则的行列式()； 3.(4分)设, , 则 ()； 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()； 5.(3分)二次型经过正交变换可化为 标准型,则()； 6.(3分)行列式中的系数是()； 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个 解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。 二、计算行列 式： (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。 (满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型， (1)写出二次型的矩阵表达式； (2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型； (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量 不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。 《线性代数》期终试卷2 （ 2学时） 本试卷共八大题 一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）： 1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵 。（） 2.若矩阵和矩阵满足，则 。（） 3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交 阵。（） 4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本 身。（） 5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有 。（） 数学分析（上）期末试题 得分_________ 姓名_________ 1. 计算(每小题6分，共36分) 学号_________ (1)?++∞→x x t t dt 1)1(lim (2) dx xe x ? --1 1| | (3) 121lim ++∞→+++p p p p n n n (4) 00,01)(2 ='=--+=?x y t y x dt e y e x y y 求满足设 (5) h x f h x f x f h 2) ()3(lim ,1)(000 0--='→则 (6) ?dx x x 2 cos cos ln 2 写出下列命题的分析表述(8分) (1) f '(x )在x 0的极限不是A . (2) {a n }是基本数列. 3 (8分)指出下列命题之间的关系： (1) f (x )在点0x 局部有界；(2) f (x )在点0x 极限存在； (3) f (x )在点0x 可导；(4) f (x )在点0x 连续；(5) f (x )在点0x 有定义. 4. (8分)讨论函数???? ???<=>--=? cos 10, 20 ,1) 1(2sin )(20 22 x tdt x x x e e x f x x x 的连续性, 若有间断点, 是哪种间断点? 给出函数的连续区间. 5. (12分)设x 1>0, x n +1=ln(1+x n )(n=1,2,???), 证明 ).(2~)(;0lim )(∞→=∞→n n x ii x i n n n 6. (8分)设函数f (x ), g (x )在闭区间[a , b ]上连续, 证明存在ξ∈(a , b ), 单选 题(共 40 分) 1、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (C) A、在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 B、在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率 C、在H0成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 D、在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率 2、设,AB是两个事件,且P(A)≤P(A|B),则有 (C) A、P(A)=P(A|B) B、P(B)>0 C、P(A|B)≥P(B) D、设,AB是两个事件 3、某中学为迎接建党九十周年,举行了”童心向党,从我做起”为主题的演讲比赛.经预赛,七、八年纪各有一名同学进入决赛,九年级有两名同学进入决赛,那么九年级同学获得前两名的概率是（ ）(A) A、1/6. B、1/5. C、1/4. D、1/3. 4、设,,ABC是三个相互独立的事件，且0 《概率论与数理统计》期末试卷（基础卷） 一．填空题（本题满分22分，每空2分） 1、设A ,B 是两个相互独立的事件,()=0.4P A B ?,()0.2P A =, 则 ()P B = ,()P A B -= ,()P A B = . 2、设一个袋中装有两个白球和三个黑球，现从袋中不放回地任取两个球，则取到的两个球均为白球的概率为 ；第二次取到的球为白球的概率为 ；如果已知第二次取到的是白球，则第一次取到的也是白球的概率为 . 3、设X 服从区间)4,1(-上的均匀分布，则(2)P X <= ，Y 表示对X 作3次独立重复观测中事件}2|{| 第一章概率论基本概念 一、填空 1.（1）AUBUC (2) (3) A B C A B C A B C -- - - -- ??A B B C AC -- -- -- ??2. 0.7 (注释: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B)-P(A)*P(B|A) ) 3. 3/7 (注释: ) ()()()()1()()()()P A B P A P B P A B P A P B P B P AB - - - ?=+-=-+-+4.77 221A ?- 5. 0.75 (注释: , 此时不能直接用BEYES 公式,因为要得到一个划分.)() (|)() P AB P B A P A = [掌握]二、选择 1.A 2.D 3.B 4.D 5.A 三、计算题 1.全概率公式求解： 设能开门记为事件A ，B0为取到0把能开门的锁，B1为取到一把能开门的锁，B2为取到两把能开门的锁 P(A)=P(B0)P(A|B0)+ P(B1)P(A|B1)+ P(B1)P(A|B1)=8/15 2.设3本一套放在一起记为A ，两套各自放在一起记为B ，两套中至少有一套放在一起记为C (1)13783710 101 ()=15 A A A P A A =(2) 35435410 101 ()=210 A A A P B A =(3) 3847354384735410 102 ()=21 A A A A A A A P C A +-=3.设购买空调记为A,购买电脑记为B,购买DVD 记为C (1) P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=0.15+0.12+0.2+-0.06-0.1-0.05+0.02 =0.28 (2)()()()()-2() P A B B C AC P A B P B C P AC P A B C -- -------- -- --- ??=++ (3)()1() P A B C P A B C --- =-??[掌握]4. 全概率公式求解：设取得正品记为A, 取到的产品来自甲厂记为B1, 取到的产品来自乙厂记为B2, 取到的产品来自丙厂记为B3, ()(1)(|1)(2)(|2)(3)(|3)0.92 P A P B P A B P B P A B P B P A B =++= 同济大学课程考核试卷（B卷）（工科研究生）2011—2012学年第一学期 命题教师签名：审核教师签名： 课号：2102002课名：数值分析(工科研究生)考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考(√)试卷 （注意：本试卷共7大题，3大张，满分100分．考试时间为120分钟.要求写出解题过程，否则不予计分. 精确到小数点后3位） 一、(15分)设 212 233 618 A - ? ? ? =- ? ? - ?? , 2 5 b -?? ? =- ? ? ?? .将A进行 LU 分解，并由此求解线性方程组 AX b =. 二、(15分)用牛顿法求出方程x2 e2 x +=的二个实根(计算精度为ε=10-3). 三、(10分) 四、(15分) 构造三点积分公式： 1 2 012 1 ()((0) x f x dx f f f ωωω - ≈++ ? 使该积分公式有尽可能高的代数精度.并指出该公式的代数精度.它是Gauss公式吗？ 由此公式计算积分1 2 1 x x e dx - ?的近似值,并与积分的精确值比较,从而得到误差值. 五、(15分)写出求解方程组Ax b =的Jacobi迭代格式，初始迭代向量为 x ?? ? = ? ? ?? ，计算迭 代3次的数值结果.其中 210 131 012 A - ?? ? =-- ? ? - ?? ， 1 8 5 b ?? ? = ? ? -?? 六、(15分) 取步长0.2h =,用欧拉(尤拉)公式计算下列微分方程在节点 0.2n x n =(n=1,2,3,4,5)上的近似值. 并与精确解y =比较各节点上的误差. 2, 01 (0)1dy x y x dx y y ?=-≤≤???=? 以下为Matlab 编程题 七、(15分)用改进的乘幂法计算矩阵 213116282A ?? ? = ? ??? 的主特征值和相应的特征向量(取初 始向量00(1,1,1)T v u ==计算精度为3 10ε-=). 2013—2014学年第一学期A 备用数据：975.0)96.1(=Φ ，5345.17)8(,1797.2)8(,3060.2)8(2 975.02 025.0975.0===χχt 。 一、填空题(16分) 1、(4分）设C B A ,,是三个随机事件，φ=AC ，52.0)(=AB P ,15.0)(=C P ，则 )(C AB P = ， )(C AB P = . 2、（4分）设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为1的指数分布，记 ()),max(,,min Y X V Y X U ==，则U 的密度函数为=)(u f U ， V 的密度函数为 =)(v f V . 3、（4分）设随机变量X 服从自由度为2的t 分布，用)2(αt 表示自由度为2的t 分布的α分位数,且()05.0)(,95.0=>= 数学分析I参考文献及学习资料 "If I have seen further, it is by standing on the shoulders of giants." ——Sir Isaac Newton 目录 参考文献 (1) 数学网站 (2) 数学软件 (3) 数学家 (5) 参考文献 （1）欧阳光中，朱学炎，秦曾复，《数学分析》，上海科学技术出版社，1982. （2）北京大学，《数学分析》，高等教育出版社，1986. （3）王慕三，庄亚栋，《数学分析》，高等教育出版社，1990. （4）常庚哲，史济怀，《数学分析》，江苏教育出版社，1998. （5）张筑生，《数学分析新讲》，北京大学出版社，1990. （6）黄玉民，李成章，《数学分析》（上，下），科学出版社，1999. （7）R.柯朗，F.约翰，《微积分和数学分析引论》，科学出版社，2001. （8）武汉大学数学系，《数学分析》，人民教育出版社，1978. （9）邓东皋，尹小玲，《数学分析简明教程》，高等教育出版社，1999. （10）江泽坚，吴智泉，周光亚，《数学分析》（上，下），人民教育出版社，1960. （11）吉林大学数学系，《数学分析》（上，中，下），人民教育出版社，1978. （12）吉米多维奇，《数学分析习题集》，李荣冻译，高等教育出版社，1958. （13）邹应，《数学分析习题及解答》，武汉大学出版社，2001. （14）卢丁，《数学分析原理》，赵慈庚，蒋铎译，高等教育出版社，1979. （15）吴良森等，《数学分析习题精解》，科学出版社，2002. （16）G.波利亚《数学分析中的问题与定理》，上海科学技术出版社，1981. （17）李德本，杨旭，倪宝汉，《数学分析方法及例题》，吉林教育出版社，1989. （18）杨熙鹏等《数学分析习题解析》（上，下），陕西师范大学出版社，1993. （19）汪林，《数学分析中的问题和反例》，云南科技出版社，1988. 【最新整理，下载后即可编辑】 2.2 试确定常数c ,使得下列函数成为概率函数:(1)(),1,...,P X k ck k n ===;(2)()P X k ==/!,k c k λ1,k = 2,...,∞,其中0λ>. 2.3 把一个表面涂有红色的立方体等分成1000个小立方体.从这些小立方体中随机地取一个,它有X 个面涂有红色,试求X 的概率函数. 2.4 已知随机变量X 的概率函数如下.试求一元二次方程2 32(1)0t Xt X +++=有实数根 的概率. 2.6 设随机变量(,)X B n p ,已知(1)(1)P X P X n ===-.试求p 与(2)P X =的值. 2.9 已知某商店每周销售的电视机台数X 服从参数为6的泊松分布.试问,周初至少应 进货多少才能保证该周不脱销的概率不小于0.99.假定上周没有库存,且本周不再进货. 2.10 某地有3000个人参加了人寿保险,每人交纳保险金10元,一年内死亡时家属可以从保险公司领取2000元,假定该地一年内人口死亡率为0.1％,且死亡是相互独立的.试求保险公司一年内赢利不少于1万元的概率. 2.13某台仪器由三只不太可靠的元件组成,第i个元件出故障的概率 1 ,1, (2) i p i i == + 2,3. 假定各元件是否出故障是相互独立的.设X表示该仪器中出故障的元件数.试求X的概率函数. 2.14 把一颗骰子独立地上抛两次,设X表示第一次出现的点数,Y表示两次出现点数的最大值.试求:(1) X与Y的联合概率函数;(2)() P X Y =与22 (10) P X Y +<;(3)X,Y的边缘概 {4} Y=X{4} X=Y 件概率函数. 2.15 两名水平相当的棋手奕棋三盘．设X表示某名棋手获胜的盘数,Y表示他输赢盘数之差的绝对值.假定没有和棋,且每盘结果是相互独立的.试求(1)X与Y的联合概率函数;(2)X,Y的边缘概率函数. 同济大学课程考核试卷（A 卷） 2006 — 2007 学年第 一 学期 命题教师签名：陈雄达 审核教师签名：徐承龙 课号：122145 课名：数值方法与计算机算法 考试考查： 考查 此卷选为：期中考试( )、期终考试(√)、重考( )试卷 年级 专业 学号 姓名 任课 （注意：本试卷共 7 大题， 2 大张，满分100分．考试时间为120分钟。要求写出解题过程，否则不予 计分。 一至五题为笔算题，要求给出答案；六、七题为编程题，请只用Matlab 编写） 一、 (12分)已知函数2)(3-=x x f ，求一个四次多项式)(x p ，满足下面的插 值条件： .1)1(')1(' ,3,2,1,0 ),()(+===f p k k f k p 且 二、 (12分)利用追赶法求下面方程的解: .4411303120211033411354321????????? ???????---=????????????????????????????????------x x x x x 三、 (12分)待定下面求积公式中的参数α，使其代数精度最高，并指明其代 数精度： ?-++=h f h f h f f h x x f 0 )).0(')('())()0((2 d )( α 四、(12分)试写出一个迭代格式求解下面的线性代数方程组，使其对任意初始 向量皆收敛： ???? ??????=????????????????????210108481044410321x x x . 五、(12分)用显式Euler 方法计算下述微分方程在步长25.0=h 时的近似解： ?????≤≤=-=.10, 1)0(),1(4d d x y xy x y 六、(20分)下面的数据表近似地满足函数21cx b ax y ++=，请适当变换成为线性最小二乘问题，编程求最好的系数 c b a ,,，并在同一个图上画出所有数据和函数图像. 625 .0718.0801.0823.0802.0687.0606.0356.0995.0628.0544.0008.0213.0362.0586.0931.0i i y x ---- 七、(20分)若在Matlab 工作目录下已经有如下两个函数文件，写一个割线法程序，求出这两个函数精度为1010-的近似根，并写出调用方式： 一、填空题 1、已知事件A 与事件B 相互独立，,25 1)(),()(= =B A P B A P B A P 则()B P = ,()P A B = ，)(A B P -= . 2、设随机变量X 的分布函数为 0,157(),111616 1,1 x F x x x x <-???=+-≤>，则下列选项中必定成立的是 ( ) (A) ()()P A P A B = ； (B) ()()P A P A B <； (C) ()()P A P A B > ； (D) ()(),P A P A B 的大小关系无法确定 . 2、 设连续型随机变量X 的概率密度函数为 )(x f ,且对于任意实数0,0>>t s 都有()()t X P s X t s X P >=>+>，则随机变量X 的概率密度函数)(x f 具有表达式 ( ) (A) ???≤>=-0 ,00,)(x x e x f x λλ，其中0>λ ； (B) ∞<<-∞+=x x x f ,)1(1)(2π ； (C) ∞<<-∞=-x e x f x ,21)(22π； (D) ?????<<-=其它 ,0,21)(πππx x f . 三、(20分)将一枚硬币连续抛两次，以X 表示两次中出现正面的次数，以Y 表示两次中出现反面次数。记 22Z X Y =- 。 (1)求 ()Z X ,的联合概率函数； (2)问：Z X ,是否相互独立？请说明理由； (3)求() 223P X Z +≤。 四、设随机变量(,)X Y 的联合密度函数为 ()1(6),024,80,x y x y f x y ?--<<<同济大学高等数学教学大纲
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