工程数学概率统计习题全解同济大学高等教育

习题一解答

1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：

(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；

(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。 解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则

},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .

(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则

)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .

2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：

(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；

(3) =AC {取得球的号码是2，4}；

(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；

(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；

(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}

3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫

⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：

(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .

解 (1) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧≤≤=234

1x x B A ;

(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 2121

0或⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤

≤231214

1x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；

(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223

121410x x x x 或或 4. 用事件C

B A ,,的运算关系式表示下列事件：

(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）；

(8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。 解 (1)C B A E =1； (2)C AB E =2； (3)ABC E =3； (4)C B A E =4；

(5)C B A E =5； (6)C B A C B A C B A C B A E =6；

(7)C B A ABC E ==7；(8)BC AC AB E =8.

5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设i A 表示事件“第i 次

抽到废品”，3,2,1=i ，试用i A 表示下列事件：

(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；

(2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品；

(4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。

解 (1)21A A ； (2)321A A A ； (3)321A A A ；

(4)321A A A ； (5)321321321A A A A A A A A A .

6. 接连进行三次射击，设i A ={第i 次射击命中}，3,2,1=i ，=B {三次射击恰好命中二次}，=C {三次射击至少命中二次}；试用i A 表示B 和C 。

解 321321321A A A A A A A A A B = 323121A A A A A A C =

习题二解答

1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

解 这是不放回抽取，样本点总数⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=350n ，记求概率的事件为A ，则有利于A 的样本点数

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15245k . 于是

39299!2484950!35444535015245)(=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==n k A P 2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求

(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；

(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。

解 本题是有放回抽取模式，样本点总数27=n . 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为D C B A ,,,.

(ⅰ)有利于A 的样本点数25=A k ，故 492575)(2

=⎪⎭

⎫

⎝⎛=A P

(ⅱ) 有利于B 的样本点数25⨯=B k ，故 4910

725)(2=⨯=B P

(ⅲ) 有利于C 的样本点数252⨯⨯=C k ，故 49

20

)(=C P

(ⅳ) 有利于D 的样本点数57⨯=D k ，故 75

49357

57)(2==

⨯=D P . 3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。

解 本题是无放回模式，样本点总数56⨯=n .

(ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利

样本点数为32⨯，所求概率为

5

1

5632=⨯⨯. (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22⨯，