高中数学必修1-5预备知识
高中数学必修1-5知识点归纳及公式大全
必修1数学知识点第一章、集合与函数概念§1.1.1、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
集合三要素：确定性、互异性、无序性。
2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
3、常见集合：正整数集合：*N 或N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .4、集合的表示方法：列举法、描述法.§1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。
记作B A .2、如果集合B A，但存在元素B x，且A x，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n2个子集.§1.1.3、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A.3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U 且§1.2.1、函数的概念1、设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数x f 和它对应，那么就称B Af :为集合A 到集合B 的一个函数，记作：A x x f y,.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.§1.3.1、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性证明的一般格式：解：设b a x x ,,21且21x x ，则：21x f x f =,§1.3.2、奇偶性1、一般地，如果对于函数x f 的定义域内任意一个x ，都有x f x f，那么就称函数x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、一般地，如果对于函数x f 的定义域内任意一个x ，都有x f x f，那么就称函数x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数（Ⅰ）§2.1.1、指数与指数幂的运算1、一般地，如果a xn，那么x 叫做a 的n 次方根。
高中数学预备知识点总结
高中数学预备知识点总结数学，作为一门重要的学科，有着广泛的应用和深远的影响。
在高中数学学习中，掌握并理解一些基础的预备知识点对于学生日后的学习和发展至关重要。
本文将对高中数学预备知识点进行总结和归纳，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
一、代数与方程1. 代数运算代数运算是数学中最基本的一部分，包括加法、减法、乘法和除法。
掌握运算的基本规则，如加法交换律、结合律和分配律，能够帮助我们在解决代数表达式和方程时更加灵活和准确。
2. 一次方程与二次方程一次方程和二次方程是最常见的方程形式，我们需要掌握如何解这些方程。
对于一次方程，我们可以通过移项和消元法来解；对于二次方程，我们可以使用配方法、求根公式等解法。
3. 不等式不等式在数学和实际问题中都有重要应用。
掌握不等式的性质和解法，能够帮助我们理解和解决一些关于大小关系的问题。
二、函数与图像1. 函数的概念函数是数学中一种重要的关系。
我们需要理解函数的定义及其基本性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等。
熟练掌握函数的表示方法和函数关系的表达方式，能够帮助我们更好地理解和分析实际问题。
2. 基本函数类型高中数学中常见的基本函数有线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
我们需要熟悉这些函数的图像、性质和变换规律，能够用它们来解决实际问题。
3. 图像的性质与变换图像是函数的可视化表达，我们需要理解图像的性质和变换规律，如平移、伸缩、翻转等。
了解图像的变换规律，有助于我们更加直观地理解函数的特征和变化。
三、平面几何1. 三角形三角形是平面几何中一个基础的图形。
我们需要掌握三角形的元素、性质和判定条件，如边长关系、角度关系、相似三角形、勾股定理等。
这些知识对于解决三角形相关的问题和计算都非常重要。
2. 圆圆是平面几何中另一个重要的图形。
我们需要了解圆的定义及其基本要素，如半径、直径、弧长、扇形和弦等。
熟练掌握圆的性质和定理，有助于我们解决与圆相关的问题和证明过程。
_新教材高中数学第一章预备知识1
1．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集， 则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
2．补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合 A 的 补集的前提是 A 为全集 U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
1．已知全集 U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则 A＝
所以－m≤－2，即 m≥2， 所以 m 的取值范围是{m|m≥2}．
[母题探究] 1．(变条件)本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则 m
的取值范围又是什么？
解：由已知得 A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B≠∅，所以－m>－2，解得 m<2. 故 m 的取值范围为{m|m<2}． 2．(变条件)本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R ”，其他条件不变，则 m 的取值范围又是什么？
A 的元素组成的集合，叫作 U 中子集 A 的补集，记作∁UA. 2．符号：∁UA＝{x|___x_∈__U_，__且___x_∉_A__ }． 3．Venn 图
4．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝__U__； (2)A∩(∁UA)＝__∅__； (3)∁UU＝__∅__，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝__A_； (4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)； (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．
解：由已知 A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2 或 x≥4}．
又(∁UB)∪A＝R ，所以－m≤－2，解得 m≥2. 故 m 的取值范围为{m|m≥2}．
由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解； (2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般 利用数轴分析求解．
高中数学第1章预备知识44.2一元二次不等式及其解法课件北师大版必修第一册
【例 3】 解关于 x 的不等式 ax2＋2x＋1<0.
[解]
(1)当 a＝0 时，不等式的解集为xx<－12
，
(2)当 a>0 时，Δ＝4－4a，
①Δ>0 即 0<a<1 时，
不等式的解集为x－1－a
1－a －1＋ <x< a
1－a
；
②Δ≤0 即 a≥1 时，
不等式的解集为∅.
(3)当 a<0 时，Δ＝4－4a>0，
A．{x|－7<x<－5}
B．{x|3<x<5}
C．{x|－5<x<3}
D．{x|－7<x<5}
C [S＝{x|－5<x<5}，T＝{x|－7<x<3}，
∴S∩T＝{x|－5<x<3}．]
1 2 3 45
4<x<52
[由 2x2＋x－15＝(2x－5)(x＋3)<0，得－3<x<52，
类型 1 一元二次不等式的解法 二次项系数大于 0
【例 1】 解不等式 3x2＋5x－2>0.
[解] 方程 3x2＋5x－2＝0 的两解是 x1＝－2，x2＝13. 函数 y＝3x2＋5x－2 的图象是开口向上的抛物线，与 x 轴有两个交
点(－2,0)和13，0.观察图象(下图)可得，
不等式的解集为xx<－2或x>13
则ba＝－12－13， －1a＝－12×－13
即ab＝－56 a1＝－16
又 a＜0，不等式 x2－bx－a＜0 可化为1ax2－bax－1＞0，即－16x2＋65
x－1＞0，
解得 2＜x＜3.]
2021高中数学第一章预备知识2常用逻辑用语 教案北师大版必修第一册
第一章预备知识第二节常用逻辑用语2.1 必要条件和充分条件常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.本节的内容包括必要条件、充分条件、充要条件，通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．一．教学目标：1、理解必要条件，充分条件，充要条件的概念，2、能够判断命题之间的充分必要关系二. 核心素养1.数学抽象：必要条件，充分条件，充要条件概念抽象概括2.逻辑推理：本节内容依初中所学的定理，研究条件和结论的关系，引出本节知识点，从而体现数学知识的连贯性和逻辑性3. 数学运算：判断命题之间的充分必要关系；利用充分必要关系求参数4.直观想象：讲解本节知识，利用初中所学过的定理，分析它们条件与结论的关系，从而引出抽象概述了充分，必要的概念，这种教学方式让学生更能直接的理解一个命题中，条件与结论的关系5. 数学建模：常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．重点：充分条件、必要条件的概念．难点：判断命题的充分条件、必要条件。
PPT一：必要条件与性质定理（1）知识引入定理1菱形的对角线互相垂直,即如果四边形为菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直.定理1是菱形的性质定理，即对角线互相垂直是菱形必有的性质.也就是说，如果能确定四边形为菱形,那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直，而一旦某个四边形的对角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形.思考交流：试用上面的方法分析定理2，定理3定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.定理3如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形的对应角相等.（2）必要条件的概述：一般地，当命题“若p,则q”是真命题时，称q是p的必要条件.也就是说，一旦q不成立,p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的.例如,在定理1中，“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.例1:将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述：(1) 平面四边形的外角和是360°；(2) 在平面直角坐标系中,关于(轴对称的两个点的横坐标相同.解(1) “平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”,所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件；(2)“在平面直角坐标系中，关于(轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“若平面直角坐标系中的两个点关于(轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于(轴对称”的必要条件.二．充分条件与性质判断(1)知识引入定理 4 若 a>0, b>0,则 ab>0.定理4是说:如果满足了条件a>0, b>0”,一定有结论 ab>0. ,但要注意，使得ab>0 的条件不唯一，例如，由a<0,b<0,也可以判定ab>0.实际上，定理4告诉我们：只要有了a>0,b>0"这个条件，就可以判定ab>0”.思考交流：试用上面的方法分析定理5，定理6定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理6平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似.（2）充分条件概述一般地，当命题“若p则q”是真命题时，称p是q的充分条件.综上，对于真命题“若p,则q”，即p q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件例2:用充分条件的语言表述下面的命题：(1) 若 a=-b，则 |a|=|b|(2) 若点C是线段AB的中点，则|AC|=|BC|(3) 当ac<0时,一元二次方程ax2十bx十c = 0有两个不相等的实数根.解( 1) “a = —b"是"|a|=|b|"的充分条件；（2）“点C是线段AB的中点”是“ | AC | = | BC|的充分条件；（3）“a c<0”是“一元二次方程 ax2十bx十c = 0 有两个不相等的实数根”的充分条件.三. 充要条件（1）知识引入勾股定理如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的逆定理如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
高中数学知识点总结(完整版)
高中数学复习总结目录预备部分初中知识复习----------6第一部分集合及其运算----------7第二部分方程与不等式----------8(绝对值方程与不等式;一次,二次方程与不等式)第三部分函数------------------11(常数函数,一次函数,二次函数,指数函数,对数函数,三角函数,简谐振动)第四部分函数性质--------------18(单调性,奇偶性,反函数,周期性,图像的平移与伸缩，可导性,定积分)第五部分数列------------------23(等差数列,等比数列)第六部分命题与简易逻辑--------25(原命题,否命题,逆命题,逆否命题,或,且,非,全称量词,存在量词)第七部分几何和向量------------26(点,线,面,垂直,平行,二维向量,三维向量)第八部分直线和圆的方程--------32(点斜式,斜截式,两点式,截距式,一般式,点到线距离公式, 定比分点公式)第九部分圆锥曲线--------------34(椭圆,双曲线,抛物线,弦长公式)第十部分统计-----------------37(随机抽样,线性回归,独立性检验)第十一部分概率-----------------41(排列与组合,古典概型,几何概型,两点分布,超几何分布,二项分布,正态分布,期望,方差)第十二部分复数及其运算----------44(实部,虚部,虚数单位i，加法，减法，乘法，除法)第十三部分推理与证明-----------46数学（必修1）人教A版第一章集合与函数的概念1.1 集合1.2函数及其表示1.3 函数的基本性质第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用（必修2）人教A版第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积第二章点,直线,平面之间的位置关系2.1空间点,直线,平面之间的位置关系2.2 直线,平面平行的判定及其性质2.3 直线,平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2直线,圆的位置关系4.3空间直角坐标系（必修3）人教A版第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句 1.3 算法案例 第二章 统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量间的相关关系第三章 概率 3.1 随机事件的概率 3.2 古典概型 3.3 几何概型（必修4）人教A 版第一章 三角函数1.1任意角和弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图像与性质1.5 函数()sin y A x ωφ=+的图像1.6 三角函数模型的简单应用 第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量应用举例 第三章 三角恒等变形3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.2 简单的三角恒等变形（必修5）人教A 版第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例 第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法 2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和n S 2.4 等比数列2.5 等比数列的前n 项和n S 第三章 不等式3.1不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性3.4 基本不等式:2ba ab +≤理（选修2-3）人教版第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项式及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用理（选修4-5）人教版第一章不等式和绝对值不等式1.1不等式1.2绝对值不等式第二章证明不等式的基本方法2.1比较法2.2综合法与分析法2.3反证法与放缩法第三章柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式3.3排序不等式第四章数学归纳法证明不等式4.1数序归纳法4.2用数学归纳法证明不等式初中知识复习1.实数轴:2.完全平方公式:()2222a b a b ab +=++()2222a b a b ab-=+-3.平方差公式:4.运算:42,1222323,5052==⨯⨯==5.中点坐标公式:-∞ +∞1•••()22,B x y 1212(,)22x x y y ++中点,B ,B "⊆";A 拥有的元素都有时记作A ⎧⎪6.勾股数组: 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13第一部分 集合及其运算（必修1）1.集合定义:若干个指定的对象集在一起.2.表示法:a.如：{0，1，-2}是列举法.b.如：{x|x>2}是描述法.c. 如： 是文氏图法d.特殊符号如：∅是空集；N 是自然数集; N *或N +是正整数集.(自然数集合中去掉零)Z 是整数集； Q 是有理数集. R 是实数集； C 是复数集.3.集合中元素具有的性质：①1{1,0,2,3}2{1,0,2,3}∉-⎫⎬∈-⎭体现确定性；②{1,0,1,2,5}--是错误书写体现互异性；③{025}{502}=，，，，体现无序性. 4.关系a.集合和元素的关系.(是否是属于关系)(以A,B 代表集合,以m 代表元素)m 和A 的关系:b.集合和集合的关系(是否是包含关系)m m ⎧∈⎨∉⎩当在A 中时，记作"m A",读作"m 属于A".当不在A 中时，记作"m A".读作"m 不属于A".222a b c+=cba⇒A 和B 的关系:定理1:空集是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真子集.定理2：当集合A 中的元素个数为n 个时，那么A 有..nn⎧⎪⎨⎪⎩子集个数为2个真子集个数为2-1个 5.运算第二部分 方程与不等式1. 方程定义:含有未知量的等式.(初中)2. ①绝对值方程(初中)“|x-a|”表示数轴上点x 到点a 的距离. 例1.求解 5x =分析：如图所示解：055,5x x x x =-=⇒=-=例2.求解 |2|3x -=分析：如图所示 解：231,5x x x -=⇒=-=②绝对值不等式（必修5） 形态1.文氏图数学表达式何种运算说明{}|x x A x B ∈∈且 A B取A 和B 的公有元素{}|x x A x B ∈∈或A B取A 和B 的所有元素{}|x x I x A ∈∉且I C A相对于全集I 求A 的补集,(0)x a b b -<>图(1)形态2.图(2)3.①一元一次方程（初中）形如:0,(0)ax b a +=≠叫一元一次方程. 例1.②一元一次不等式（必修5）定理:不等式的两侧同时加上或者减去一个数,不等式不改变符号.但若同时乘以或者除以一个负数要改变不等式符号. (如是正数不变号)4.①一元二次方程（初中）形如:20,(0)ax bx c a ++=≠叫一元二次方程.解法一.(公式法)（第一步:首先计算）判别式24b ac ∆=-（第二步:确定∆属于下面哪一类型）:解法二.(十字交叉法) 例.2230x x --= 分析:,(0)x a b b x a b x a b x a b x a b->>⇒-<-->⇒<->+ or or 2302332x x x -=⇒=⇒=b b 0,. 22b 0,.2<0,. x x a ax a ⎧--∆-+∆∆>==⎪⎪-⎪∆==⎨⎪⎪∆⎪⎩方程有两个不相等的实解，方程有两个相等的实解方程无实解(错) (对)解:注:此法的关键是将系数a 与c 拆分成两个数的乘积并且拆分所得数交叉相乘的和必须等于系数b.并不是所有的一元二次方程都可拆分. 定理:(韦达定理)(又名根与系数关系)在一元二次方程20,(0)ax bx c a ++=≠有解12,x x 的情况下:②一元二次不等式（必修5）形态1.求解 260x x --> 解:令()(),23,.∴-∞-+∞不等式解集为形态2.求解 2230x x -++>解:31,.2⎛⎫∴- ⎪⎝⎭不等式解集为步骤总结：1.要解不等式先解等式.2.画草图看大小号.形态3.求解 304x x -≤+解:223(1)(23)031,2x x x x x x --=+-=⇒=-=1212;b cx x x x aa-+==，260(2)(3)02,3x x x x x x --=⇒+-=⇒=-=2230(1)(-23)031,2x x x x x x ++=⇒++=⇒=-=令-(3)(4)030404434340x x x x x x x x -+≤⎧-≤⇒⎨+≠+⎩-≤≤⎧⇒⇒-<≤⎨+≠所以解集为}{|43x x -<≤5.基本不等式（必修5） 1)来源①②2)基本不等式使用注意事项 口诀:1正2定3相等①1正，是指参加运算的量必须是正数.②2定，是指参加运算的量,要么和是定值,要么积是定值. ③3相等，是指参加运算的量相等时,均值不等式才能取等号.第三部分 函数1. 定义:在集合A 中的每一个元素x 经过对应法则f 在集合B 中都有唯一的元素y 与之对应,那么我们就称这个整体叫函数. （必修1） 记作::f A B→2. 函数的三要素（必修1）①定义域和值域定义域一般情况下会给出,当题目没有给出时,定义域默认使函数表达式有意义的自变量取值范围. 常见陷阱有以下几处①.分母不能为零. ②.偶次根号下的量要大于或等于零. ③.底数位置上的量要大于零且不等于1. ④.真数位置上的量要大于零.⑤.不能有双零结构,即“ ”.例. 求031()3log (1)2f x x x x x =++++++的定义域. 解:由222222()02.a ab b a b a b ab -+=-≥⇔+≥2222()2()()02,(0,0)a ab b a a b b a b a b ab a b -+=-+=-≥⇔+≥>>03y =3020100x x x x +≥⎧⎪+≠⎪⇒⎨+>⎪⎪≠⎩ ()f x 的定义域为}{|>10x x x -≠且②对应法则所谓对应法则就是指运算的混合物,要掌握的运算有四对共八个: 加←->减 乘←→除 乘方←→开方 指数←->对数 常见函数主要有a.常数函数,如b.一次函数,如 21y x =-c.二次函数,如 223y x x =+-d.指数函数,如 12,()3xx y y ==e.对数函数,如 213log ,log y x y x ==f.三角函数,如 sin ,cos ,tan y x y x y x ===具体如下:（注意：学函数核心点就是学系数） a.常数函数:图像是平行于x 轴的一条直线. （必修2） b.一次函数（必修2） 通式: 例如:图像:直线(两点确定一条直线)12,(0):3;:1y ax b a l y x l y x =+≠=+=-+222,(0)21;23y ax bx c a y x x y x x =++≠=-+=-++①系数a图像上坡,增函数.图像下坡,减函数.②系数b 决定图像在y 轴上的截距.c.二次函数通式: 例如: 图像:抛物线 ①系数a图像开口向上.图像开口向下.②系数b 和a 共同决定对称轴: 2bx a-=,顶点坐标24(,)24b ac b p a a --. ③系数c 决定图像在y 轴的截距. ④表达式的另外形式:(一般式)(顶点式)(双根式)d.和e.指数函数和对数函数(必修1)①运算法则 指数运算 对数运算222124()24()()y ax bx c b ac b a x a aa x x x x =++-=++=--log log log ()log log log ()log ()log log a a a a a a N a a M N MN M M N N M N M b +=-==()r s r s r s r s s r rsra a a a a a a a +-⋅=÷==00a a >⎧⎨<⎩时，时，00a a >⎧⎨<⎩时，时，②指数运算与对数运算的关系 当>01a a ≠且时,log x a a N x N =⇐⇒=如:32283log 8=⇐⇒=③指数函数和对数函数的区别与联系指数函数 对数函数表达式x y a =log a y x =图像函数存在条件 底数都要满足:≠a>0且a 1单调性①当0<a<1时,其为减函数↘;②当a>1时,其为增函数↗f.三角函数 （必修4）1.角：共端点的两条射线组成的图形。
高中数学必修1-5_知识点总汇+公式大全
（ 2 ）图象过定点（ 1，0）
Y
a >1
X 01
Y 0<a<1
1
X
0
六、幂函数 y = x a 的图象 : （1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .
a>1
0<a<1
a<0
例如：
2
y=x
1
y x x2
y 1 x1 x
七. 图象平移：若将函数 y f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位，
（ 2 ）图象过定点（ 0，1）
Y a>1
1 X
0
Y 0<a<1
1
0
X
5. 指数式与对数式的互化：
log a N b ab N (a 0, a 1, N 0) .
五、对数与对数函数
1 对数的运算法则： （1） a b = N <=> b = log
a N（ 2）log a 1 = 0 （ 3） log a a = 1 （ 4） log a a b = b （ 5） a log a N = N
3.二分法求函数零点的步骤： （给定精确度
（ 1 ）确定区间 a, b ，验证 f (a) f (b)
）
0 ;(2) 求 a, b 的中点 x1
ab 2
（ 3）计算 f ( x1 ) ①若 f ( x1) 0 ，则 x1 就是零点；②若 f (a) f ( x 1 ) 0 ，则零点
得到函数 y f (x a) b 的图象； 规律：左加右减，上加下减
八. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为
N，平均增长率为
p ，则对于时间 x 的总产值 y ，有
高中数学新人教A版必修第一册预备知识.集合的基本关系课件
由已知B ⊆A,如图在数轴上表示出两个集合,
由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,
解得a≥
5
2
或a≤-3.又因为a<1,所以a≤-3.
综上,实数a的取值范围为a≥1或a≤-3.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分类讨论思想与数形结合思想在解决集合含参问题中的应用
② 空集 是任何集合的子集,即对于任意一个集合 A,都有
性质
⌀⊆A.
③对于集合 A,B,C,如果 A⊆B,且 B⊆C,那么 A⊆C
激趣诱思
知识点拨
微思考
在子集的定义中,能否认为“集合A是由集合B中的部分元素组成的
集合”?
提示:不能.若A⊆B,则A有以下三种情况:
①A=⌀;
②A=B;
③A是由B中的部分元素组成的集合.
对于两个集合A与B,已知A或B中含有待确定的参数,若A⊆B或A=B,
课标阐释
1.理解集合之间包
含与相等的含
义.(数学抽象)
2.能识别给定集合
的子集.(数学抽象)
3.会判断两个集合
间的基本关系.(逻
辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
同学们,你现在所在的班级是一个由若干名同学组成的集合,我们
不妨记为S,如果把班内所有男生组成的集合记为A,把班内所有女
生组成的集合记为B,集合A,B与集合S有怎样的关系?集合A中的元
(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.
分析(1)由a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断
其是否存在包含关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后
高中数学必修1-5知识点
高一数学必修1知识网络集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。
新教材适用2023_2024学年高中数学第1章预备知识复习课北师大版必修第一册
第1课时 预备知识是( ).A.∁U A={x|x<1或3<x<4或x>6}B.∁U B={x|x<2或x ≥5}C.A ∩(∁U B )={x|1≤x<2或5≤x<6} ∪B={x|x<1或2<x<5,或x>6}A={x|1≤x ≤3或4<x<6},所以∁U A={x|x<1或3<x ≤4或x ≥6},故A 错误. {x|2≤x<5},所以∁U B={x|x<2或x ≥5},故B 正确.由∁U B={x|x<2或x ≥5}可得A ∩(∁U B )={x|1≤x<2或5≤x<6},故C 正确.x|x<1或3<x ≤4或x ≥6}可得(∁U A )∪B={x|x<1或2≤x<5或x ≥6},故D 错误.p :∃x ∈R ,使2x 2+1≤2,则该命题的否定是( ).A.∃x ∈R ,使2x 2+1>2B.∃x ∈R ,使2x 2+1≥2C.∀x ∈R ,有2x 2+1≤2 R ,有2x 2+1>2,可知命题p 的否定是“∀x ∈R ,有2x 2+1>2”.3.已知集合A={x|x 2-2x+1>0},B={y |y =x 2+12},则A ∩B=( ). A.[12,+∞)B.(1,+∞)C.[1,1)D.[12,1)∪(1,+∞)A={x|x 2-2x+1>0}={x|x ≠1},B={y |y =x 2+12}={y |y ≥12},∴A ∩B={x |x ≥12,且x ≠1}.x ,y 满足2x+y+6=xy ,则xy 的最小值是 .xy ≥2√2√xy +6,令√xy =t ,得不等式t 2-2√2t-6≥0,解得t ≤-√2(舍)或故xy ≥18,即xy 的最小值为18.U=R ,集合A={x|x 2-3x-10<0},B={x|m+1≤x ≤2m-1}. (1)当m=3时,求集合(∁U A )∩B ;A ∩B=B ,求实数m 的取值范围.集合A={x|x 2-3x-10<0}={x|(x+2)(x-5)<0}={x|-2<x<5},当m=3时,B={x|4≤x ≤5},所以U x|x ≤-2,或x ≥5},所以(∁U A )∩B={5}.(2)因为A ∩B=B ,所以B ⊆A.①当B=⌀时,有m+1>2m-1,解得m<2,此时满足B ⊆A.②当B ≠⌀时,要使B ⊆A ,应满足{m +1≤2m -1,m +1>-2,2m -1<5,解得2≤m<3.B.5C.6D.9,N={2,3,4,5,6},N 中的元素个数为5.故选B .2.(多选题)以下四个命题正确的有().A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件B.“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件C.“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件D.设a,b∈R,且ab≠0,若ab <1,则ba>1解析:选项A为假命题,如2>-322>(-3)2;选项B,由a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|,故B为真命题;选项C,a>b⇒a+c>b+c,又a+c>b+c⇒a>b,故C为真命题;选项D,可举反例,当ab<0时,ab <1,但ba<0.故D为假命题.答案:BC3.若正实数x,y满足1x +4y=1,且不等式x+y4<m2-3m有解,则实数m的取值范围是().A.(-1,4)B.(-4,1),-1)∪(4,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞)(1 x +4y)(x+y4)=2+y4x+4xy≥2+2√y4x·4xy=4,则x+y4≥4,所以不等式x+y4<m2-3m有解,可转化为,解得m<-1,或m>4,选C.A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.B=⌀时,显然B⊆A,此时有m+1≥2m-1,解得m≤2.时,要使B⊆A,在数轴上表示出集合A,B,如图.则有{m+1≥-2,2m-1≤7,m+1<2m-1,解得2<m≤4.m的取值范围为{m|m≤4}.m|m≤4}x的不等式ax2+(1-2a)x-2<0(a≠0).(1)当a=3时,求不等式的解集;a<0时,求不等式的解集.当a=3时,不等式为3x2-5x-2<0,即(3x+1)(x-2)<0,解得-13<x<2.所以不等式的解集为{x|-13<x<2}.(2)由不等式ax2+(1-2a)x-2<0(a≠0),可得(ax+1)(x-2)<0.又方程(ax+1)(x-2)=0的两根为x1=-1a,x2=2.①当-1a >2,即-12<a<0时,原不等式的解集为{x|x<2,或x>-1a};②当a=-12时,原不等式的解集为{x|x≠2};③当-1a <2,即a<-12时,原不等式的解集为{x|x>2,或x<-1a}.。
2021高中数学第一章预备知识4套 教案北师大版必修第一册
（3）设由 1～20以内的所有质数组成的集合为 C，那么 C = {2，3，5，7，11，13，17，19}. （2）描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法称为描述法。 具体方法是：{x及 x 的范围|x满足的条件}
例 2:用描述法表示下列集合 （1）小于 10的所有有理数组成集合 A （2）所有奇数组成集合 B （3）平面 a 内，到定点 O 的距离等于定长 r 的所有点组成集合 C
（1）我班全体学生；
（2）我国的直辖市；
（3）我们班高个子男生； （4）大于 200的数。
[学生活动]:学生回答：
（1）可以，全体学生
（2）可以构成集合，元素是直辖市；
（3）有的说可以，有的说不可以； （4）可以，大于 200的数。
[教师总结]：
（1）确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不 是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
如果集合 含有 个元素，那么它的子集个数为 个。 思考讨论：
(1) 你 能 说 出 集 合 的关系吗？
与集合
(2)集 合 都有
，非空集合
满足：
，并且任意
，这样的集合
有多少个，请写出来？
提示：(1)
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)满 足 条 件 的 非 空 集 合
、
、
有 7 个，依次为
、
、
、
、
。
三、课题练习 教材 P7，练习 1、2、3、4。
Z 所有整数组成的集合叫做整数集，记作 ．
Q 所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作 ．
R 所有实数组成的集合叫做实数集，记作 ．
不含任何元素的集合叫做空集，记作 （五）集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法 （1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，一般可将集合表 示为{a, b ,c,……} 例如：20以内的所有素数组成的集合 C 用列举法可表示为 C={2,3,5,7,11,13,17,19} 注：用列举法表示集合时，元素排列的顺序可以不同，例如：{1,2,3},{2,1,3}{3,2,1}这些 都是同一集合 例 1 ：用列举法表示下列集合 （1）由大于 3 且小于 10的所有整数组成的集合 （2）方程 x2-9=0的所有实数解组成的集合 答案：（1）A={4,5,6,7,8,9}
_新教材高中数学第一章预备知识1
1．用描述法表示函数 y＝3x＋1 图象上的所有点的是
A．{x|y＝3x＋1}
B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1}
D．{y＝3故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，故选 C. 答案：C 2．用描述法表示不等式 4x－5＜7 的解集为________．
用描述法表示集合的注意点 (1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等； (2)说明该集合中元素的共同特征，如满足的方程、不等式、函数或几何图形等； (3)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确； (4)“{}”有“所有”“全体”的含义，因此自然数集可以表示为{x|x 为自然数}或
第一
章
预备知识
§1 集合 1．1 集合的概念与表示
第 2 课时 集合的表示
语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又 有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐”， 用繁体中文为“生日快樂”，英文为“Happy Birthday”……
[问题] 对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
知识点一 列举法 把集合中的元素__一__一__列__举__出来写在花括号“_{_}_”内表示集合的方法，
用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
1．区间(－3，2]用集合可表示为 A．{－2，－1，0，1，2}
[跟踪训练] B．{x|－3＜x＜2}
即kΔ≠＝0，（－8）2－4×k×16<0，解得 k>1.
综上，实数 k 的取值集合为{k|k＝0 或 k≥1}．
高一数学必修1-5知识清单
高一数学知识清单数学知识：代数 几何 统计1-1：集合与函数的概念 1-2：基本初等函数2-1：空间几何体 2-2：立体几何 2-3：直线与方程 2-4：圆与方程3-1：算法初步 3-2：统计 3-3：概率4-1：三角函数 4-2：平面向量 4-3：三角恒等变换5-1：解三角形 5-2：数列 5-3：不等式数学描述：文字（通俗易懂） 图形（形象直观） 符号（简洁抽象）代数部分：⎪⎩⎪⎨⎧反比，三角，指对幂），函数（一次，二次，集合间元素对应：映射减，乘，除，方，开方集合内元素运算：加，运算关系表示元素构成集合：概念必修1—第1章：集合与函数的概念一、元素与集合1、集合的含义： 研究对象统称为元素；元素组成的总体叫做集合。
2、元素的性质：确定性、互异性、无序性。
3、集合的表示：列举法、描述法。
4、集合的图示：数轴、Venn 图。
5、集合的分类：空集、有限集、无限集。
6、元素与集合的关系：属于、不属于。
7、集合与集合的关系：相等、包含（子集 真子集）。
8、集合与集合的运算：并集、交集、补集。
二、映射与函数 1、映射（1）文字描述：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称B A f →：为从集合A 到集合B 的一个映射。
（2）图形理解：（3）符号表示：B A f →： “f （对应关系） A （原象） B （象）” 2、函数（集合为数集的映射）设A 、B 是两个非空的数集，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 与之对应，那么就称B A f →：为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作 A x x f y ∈=),( （1）域：定义域： A x 的取值范围自变量，定义域既要有数学意义又要有物理意义。
值域： {}的子集。
，它是集合｜构成的集合函数值B A x x f x f ∈,)( )(（2）表示方法：解析式 图象法 列表法（3）性质：单调性，奇偶性，最值（注意定义域内的存在性）。
_新教材高中数学第一章预备知识2
全称量词与存在量词新课程标准解读核心素养1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义数学抽象、逻辑推理2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定数学抽象3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定数学抽象第1课时全称量词命题与存在量词命题在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．这就是著名的“罗素理发师悖论”．[问题] 你能对上述问题进行逻辑分析吗？知识点一全称量词命题与全称量词1．全称量词命题在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．2．全称量词在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”．1．一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”．2．全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．( )(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．( )答案：(1)√ (2)√ (3)×2．将命题“x 2＋y 2≥2xy ”改写为全称量词命题为________．解析：命题“x 2＋y 2≥2xy ”是指对任意x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立，故命题“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称量词命题为：对任意x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立．答案：对任意x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立知识点二 存在量词命题与存在量词1．存在量词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题． 2．存在量词在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”．1．一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃a ，b ∈R ，使(a ＋b )2＝(a －b )2”．2．含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 解析：选B A 是全称量词命题．B 项为存在量词命题，当x ＝0时，x 2＝0成立，所以B 正确．因为3＋(－3)＝0，所以C 为假命题．对于任何一个负数x ，都有1x<0，所以D 错误．故选B. 2．下列语句是存在量词命题的是________．(填序号)①任意一个自然数都是正整数；②存在整数n ，使n 能被11整除；③若3x －7＝0，则x ＝73； ④有些函数为奇函数．答案：②④全称量词命题与存在量词命题的判断[例1] (链接教科书第19页例4)(1)下列命题：①有的平行四边形是菱形；②任何一个实数乘以0都等于0；③有一个角α，使sin α＝12；④凸多边形的外角和等于360°；⑤所有正数都是实数．其中是全称量词命题的为____________，是存在量词命题的为____________．(填序号)(2)用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：①所有实数x 都能使x 2＋x ＋1＞0成立；②对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；③一定有整数x ，y ，使得3x －2y ＝10成立．(1)[解析] ①含有存在量词“有的”，故为存在量词命题；②含有全称量词“任何一个”，故为全称量词命题；③含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题；④可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，含有全称量词“所有”，故为全称量词命题；⑤含有全称量词“所有”，故为全称量词命题．[答案] ②④⑤ ①③(2)[解] ①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0.②∀a ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解．③∃x ，y ∈Z ，3x －2y ＝10.判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路[提醒] 全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．[跟踪训练]判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：(1)矩形有一个外接圆；(2)非负实数有两个平方根；(3)有一对实数(x，y)，使2x－y＋1＜0成立．解：(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题．(2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题．(3)可以改写为“∃x∈R，y∈R，使2x－y＋1＜0成立”，是存在量词命题.全称量词命题与存在量词命题的真假判断[例2] 判断下列命题的真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(3)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；(4)∃x∈R，x2－3x＋2＝0；(5)∀x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2.[解] (1)是真命题．(2)是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为2，就不能用正有理数表示．(3)是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形．(4)是真命题，x＝2或x＝1都能使x2－3x＋2＝0成立．(5)是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数成立．全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧(1)全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)；(2)存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M 中，找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．[跟踪训练]指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：(1)∃x∈Q，x2＝3；(2)每一个三角形的内角和都是180°；(3)钝角三角形有的高在三角形外部；(4)对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0.解：(1)存在量词命题．由于使x2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数．因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以该命题是假命题．(2)全称量词命题．由三角形的内角和定理可知，该命题是真命题．(3)存在量词命题．钝角三角形的高有可能在三角形外部，所以该命题是真命题．(4)全称量词命题．a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以该命题是假命题.由含量词命题的真假求参数的范围[例3] (1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“∀x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是____________．(2)若命题“∃x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围．(1)[解析] 当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m＞0，即m＞－1，所以实数m的取值范围是{m|m＞－1}．[答案] {m|m＞－1}(2)[解] 由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x －1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.综上知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．[母题探究](变条件)本例(2)中的方程改为“x2＋2x＋2＝m”，求实数m的取值范围．解：依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1，故实数m的取值范围是{m|m≥1}．利用含量词的命题的真假求参数的取值范围(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围；(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．[跟踪训练]若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________．解析：当m≤5时，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题．答案：(－∞，5]1．下列命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0不成立．其中是全称量词命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由定义知②③正确．故选B.2．下列各命题中，真命题是( )A ．∀x ∈R ，1－x 2＜0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C ．∃x ∈Z ，x 3＜1D ．∃x ∈Q ，x 2＝2 解析：选C ∃x ∈Z ，x 3＜1正确．A 、B 、D 不正确．3．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称量词命题；④是存在量词命题．答案：①②③ ④4．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：(1)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立；(2)每个二次函数的图象都与x 轴相交． 解：(1)存在量词命题．因为x 2＋x ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋314＞0.所以该命题为假命题． (2)全称量词命题．如函数y ＝x 2＋1的图象与x 轴不相交，所以该命题为假命题．。
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