高考数学 高考必会题型 专题8 概率与统计 第36练 概率的两类模型(精编文档).doc

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第36练概率的两类模型

题型一古典概型问题

例1 某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：

(1)选取的2位学生都是男生；

(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生．

破题切入点先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解．

解(1)设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．

从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．

所以选取的2位学生全是男生的概率为P1＝6

15

＝

2

5

.

(2)从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．

所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2＝8 15 .

题型二几何概型问题

例2 (2013·四川改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．

破题切入点由几何概型的特点，利用数形结合即可求解．

答案

3

4

解析

设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、

y，x、y相互独立，由题意可知

⎩

⎨

⎧0≤x≤4

0≤y≤4

|x－y|≤2

，如图所示．∴两

串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝S正方形－2S△ABC

S正方形

＝

4×4－2×

1

2

×2×2

4×4

＝

12

16

＝

3

4

.

题型三古典概型与几何概型的综合问题

例3 已知关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R.

(1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；

(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率．

破题切入点本题中含有两个参数，显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件问题．

第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来，再结合题意求解．

第(2)问将a，b满足的不等式转化为可行域——平面区域问题，从而利用几何概型的概率公式求解．

解设事件A为“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有两个不相等的实数根”；事件B为“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有实数根”．

(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，

(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．

由Δ＝36a2－36(－b2＋4)＝36a2＋36b2－36×4>0，得a2＋b2>4. 事件A 要求a ，b 满足条件a2＋b2>4，可知包含6个基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，

所以方程有两个不相同实根的概率P(A)＝69＝23

.

(2)由题意，方程有实根的区域为图中阴影部分，

故所求概率为：

P(B)＝6－π6＝1－π6

. 总结提高 (1)求解古典概型问题的三个步骤

①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求事件A.

②分别计算基本事件的总数n 和所求事件A 所包含的基本事件的个数m.

③利用古典概型的概率公式P(A)＝m n

求出事件A 的概率．若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．

(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决．

(3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题．在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域．几何概型的试验中事件A 的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长

度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关．

1．从标有1,2,3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是________．

答案

16

49

2．已知实数a，b满足

⎩⎪

⎨

⎪⎧

0≤a≤4，

0≤b≤4，

x1，x2是关于x的方程x2－2x ＋b－a＋3＝0的两个实根，则不等式0

答案

3

32

解析由题意，关于x的方程x2－2x＋b－a＋3＝0对应的一元二次函数f(x)＝x2－2x＋b－a＋3满足f(0)>0，f(1)<0，即

⎩⎪

⎨

⎪⎧

b－a＋3>0，

b－a＋2<0，

建立平面直角坐标系如图．

满足题意的区域为图中阴影部分，故所求概率P＝

3

2

16

＝

3

32

. 3．(2014·陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．